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Um sistema axiomatico na logica proposicional
Alexsandro Santos [email protected]
Universidade Federal de GoiasDepartamento de Ciencia da Computacao
17 de abril de 2008
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Sumario
1 Objetivos
2 O Sistema Axiomatico Pa
3 Consequencia logica em Pa
4 Completude do Sistema Axiomatico Pa
5 Referencia
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Sumario
1 Objetivos
2 O Sistema Axiomatico Pa
3 Consequencia logica em Pa
4 Completude do Sistema Axiomatico Pa
5 Referencia
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Sumario
1 Objetivos
2 O Sistema Axiomatico Pa
3 Consequencia logica em Pa
4 Completude do Sistema Axiomatico Pa
5 Referencia
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Sumario
1 Objetivos
2 O Sistema Axiomatico Pa
3 Consequencia logica em Pa
4 Completude do Sistema Axiomatico Pa
5 Referencia
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Sumario
1 Objetivos
2 O Sistema Axiomatico Pa
3 Consequencia logica em Pa
4 Completude do Sistema Axiomatico Pa
5 Referencia
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Objetivos da aula
Analise de um sistema formal de deducao em logica proposicional: osistema Pa;
Definicao das nocoes de prova e consequencia logica.
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Definicao
sistema axiomatico Pa
O sistema axiomatico Pa da logica proposicional e definido pelacomposicao de quatro elementos:
O alfabeto da logica proposicional.
O conjunto de formulas da logica proposicional.
Um subconjunto das formulas denominado de axiomas.
Um conjunto de regras de deducao.
Um dos objetivos do estudo do sistema Pa e o estudo formal darepresentacao e deducao de conhecimento.
E analisada a deducao de um conhecimento implcito dado a partirde outro fornecido de antemao e denominado por axiomas.
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Definicao
sistema axiomatico Pa
O sistema axiomatico Pa da logica proposicional e definido pelacomposicao de quatro elementos:
O alfabeto da logica proposicional.
O conjunto de formulas da logica proposicional.
Um subconjunto das formulas denominado de axiomas.
Um conjunto de regras de deducao.
Um dos objetivos do estudo do sistema Pa e o estudo formal darepresentacao e deducao de conhecimento.
E analisada a deducao de um conhecimento implcito dado a partirde outro fornecido de antemao e denominado por axiomas.
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Definicao
sistema axiomatico Pa
O sistema axiomatico Pa da logica proposicional e definido pelacomposicao de quatro elementos:
O alfabeto da logica proposicional.
O conjunto de formulas da logica proposicional.
Um subconjunto das formulas denominado de axiomas.
Um conjunto de regras de deducao.
Um dos objetivos do estudo do sistema Pa e o estudo formal darepresentacao e deducao de conhecimento.
E analisada a deducao de um conhecimento implcito dado a partirde outro fornecido de antemao e denominado por axiomas.
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Definicao
axiomas do sistema Pa
Os axiomas Pa sao formulas da logica proposicional determinadas pelosesquemas indicados a seguir. Nestes esquemas E , G e H sao formulasquaisquer da logica proposicional.
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 ((H G )) (((E H)) (G E ))
Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 (H G ) ((E H) (G E ))
Fazendo G = E no axioma Ax2, pode-se reescreve-lo como:Ax2 H (E H)
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Definicao
axiomas do sistema Pa
Os axiomas Pa sao formulas da logica proposicional determinadas pelosesquemas indicados a seguir. Nestes esquemas E , G e H sao formulasquaisquer da logica proposicional.
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 ((H G )) (((E H)) (G E ))
Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.
Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 (H G ) ((E H) (G E ))
Fazendo G = E no axioma Ax2, pode-se reescreve-lo como:Ax2 H (E H)
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Definicao
axiomas do sistema Pa
Os axiomas Pa sao formulas da logica proposicional determinadas pelosesquemas indicados a seguir. Nestes esquemas E , G e H sao formulasquaisquer da logica proposicional.
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 ((H G )) (((E H)) (G E ))
Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 (H G ) ((E H) (G E ))
Fazendo G = E no axioma Ax2, pode-se reescreve-lo como:Ax2 H (E H)
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Definicao
axiomas do sistema Pa
Os axiomas Pa sao formulas da logica proposicional determinadas pelosesquemas indicados a seguir. Nestes esquemas E , G e H sao formulasquaisquer da logica proposicional.
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 ((H G )) (((E H)) (G E ))
Note que o sistema Pa possui infinitos axiomas.Utilizando outros conectivos, tais axiomas sao representadosequivalentemente por:
Ax1 (H H) HAx2 H (G H)Ax3 (H G ) ((E H) (G E ))
Fazendo G = E no axioma Ax2, pode-se reescreve-lo como:Ax2 H (E H)
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Axiomas sao tautologias
Os axiomas de Pa sao tautologias.
A validade de Ax1 e Ax2 e imediata.
A validade de Ax3 e demonstrada pela tabela verdade
H G E H G E H G E Ax3T T T T T T TT T F T T T TT F T F T T TT F F F T F TF T T T T T TF T F T F T TF F T T T T TF F F T F F T
Note que a coluna da formula Ax3 somente contem o smbolo T.
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Axiomas sao tautologias
Os axiomas de Pa sao tautologias.
A validade de Ax1 e Ax2 e imediata.
A validade de Ax3 e demonstrada pela tabela verdade
H G E H G E H G E Ax3T T T T T T TT T F T T T TT F T F T T TT F F F T F TF T T T T T TF T F T F T TF F T T T T TF F F T F F T
Note que a coluna da formula Ax3 somente contem o smbolo T.
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Axiomas sao tautologias
Os axiomas de Pa sao tautologias.
A validade de Ax1 e Ax2 e imediata.
A validade de Ax3 e demonstrada pela tabela verdade
H G E H G E H G E Ax3T T T T T T TT T F T T T TT F T F T T TT F F F T F TF T T T T T TF T F T F T TF F T T T T TF F F T F F T
Note que a coluna da formula Ax3 somente contem o smbolo T.
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Definicao
regra de inferencia do sistema Pa, Modus Ponens
Dadas as formulas H e G, o esquema de regra de inferencia do sistemaPa, denominado Modus Ponens (MP), e definido pelo procedimento aseguir: tendo H e (H G ) deduza G.
Para representar o esquema da regra de inferencia Modus Ponens,usa-se
H, (H G )G
O numerador desta equacao e denominado antecedente, e odenominador consequente.
O esquema do Modus Ponens na verdade representa um conjuntoinfinito de regras pois H e G sao formulas arbitrarias.
Ele define um procedimento sintatico de deducao de conhecimentoque pode ser mecanizado em um computador.
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Definicao
regra de inferencia do sistema Pa, Modus Ponens
Dadas as formulas H e G, o esquema de regra de inferencia do sistemaPa, denominado Modus Ponens (MP), e definido pelo procedimento aseguir: tendo H e (H G ) deduza G.
Para representar o esquema da regra de inferencia Modus Ponens,usa-se
H, (H G )G
O numerador desta equacao e denominado antecedente, e odenominador consequente.
O esquema do Modus Ponens na verdade representa um conjuntoinfinito de regras pois H e G sao formulas arbitrarias.
Ele define um procedimento sintatico de deducao de conhecimentoque pode ser mecanizado em um computador.
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Definicao
regra de inferencia do sistema Pa, Modus Ponens
Dadas as formulas H e G, o esquema de regra de inferencia do sistemaPa, denominado Modus Ponens (MP), e definido pelo procedimento aseguir: tendo H e (H G ) deduza G.
Para representar o esquema da regra de inferencia Modus Ponens,usa-se
H, (H G )G
O numerador desta equacao e denominado antecedente, e odenominador consequente.
O esquema do Modus Ponens na verdade representa um conjuntoinfinito de regras pois H e G sao formulas arbitrarias.
Ele define um procedimento sintatico de deducao de conhecimentoque pode ser mecanizado em um computador.
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Definicao
regra de inferencia do sistema Pa, Modus Ponens
Dadas as formulas H e G, o esquema de regra de inferencia do sistemaPa, denominado Modus Ponens (MP), e definido pelo procedimento aseguir: tendo H e (H G ) deduza G.
Para representar o esquema da regra de inferencia Modus Ponens,usa-se
H, (H G )G
O numerador desta equacao e denominado antecedente, e odenominador consequente.
O esquema do Modus Ponens na verdade representa um conjuntoinfinito de regras pois H e G sao formulas arbitrarias.
Ele define um procedimento sintatico de deducao de conhecimentoque pode ser mecanizado em um computador.
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Definicao
regra de inferencia do sistema Pa, Modus Ponens
Dadas as formulas H e G, o esquema de regra de inferencia do sistemaPa, denominado Modus Ponens (MP), e definido pelo procedimento aseguir: tendo H e (H G ) deduza G.
Para representar o esquema da regra de inferencia Modus Ponens,usa-se
H, (H G )G
O numerador desta equacao e denominado antecedente, e odenominador consequente.
O esquema do Modus Ponens na verdade representa um conjuntoinfinito de regras pois H e G sao formulas arbitrarias.
Ele define um procedimento sintatico de deducao de conhecimentoque pode ser mecanizado em um computador.
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Consequencia logica em Pa
No incio da deducao no sistema axiomatico Pa ha o conhecimentorepresentado pelos axiomas e mais algumas formulas extrar,denominadas hipoteses.
As regras de inferencia determinam um mecanismo de inferencia quese aplicado aos axiomas e hipoteses permite deduzir um conjunto deformulas denominado por consequencias logicas.
Assim, as consequencias logicas representam o conhecimentoprovado partindo dos axiomas e hipoteses, via as regras deinferencias.
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Consequencia logica em Pa
No incio da deducao no sistema axiomatico Pa ha o conhecimentorepresentado pelos axiomas e mais algumas formulas extrar,denominadas hipoteses.
As regras de inferencia determinam um mecanismo de inferencia quese aplicado aos axiomas e hipoteses permite deduzir um conjunto deformulas denominado por consequencias logicas.
Assim, as consequencias logicas representam o conhecimentoprovado partindo dos axiomas e hipoteses, via as regras deinferencias.
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Consequencia logica em Pa
No incio da deducao no sistema axiomatico Pa ha o conhecimentorepresentado pelos axiomas e mais algumas formulas extrar,denominadas hipoteses.
As regras de inferencia determinam um mecanismo de inferencia quese aplicado aos axiomas e hipoteses permite deduzir um conjunto deformulas denominado por consequencias logicas.
Assim, as consequencias logicas representam o conhecimentoprovado partindo dos axiomas e hipoteses, via as regras deinferencias.
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Definicao
prova no sistema Pa
Sejam H uma formula e um conjunto de formulas denominadashipoteses. Uma prova de H a partir de , no sistema axiomatico Pa, euma sequencia de formulas H1,H2, ,Hn, onde:
H = HnPara todo i , tal que 1 i n,
Hi e um axioma ouHi ouHi e deduzida de Hj e Hk , utilizando a regra Modus Ponens, comj < i e k < i . Isto e,
Hj HkHi
Observe que neste caso, necessariamente, tem-se que Hk = Hj Hi .
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}
H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}
H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }
H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }
H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}
H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}
H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}
H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}
H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8}
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Exemplo: prova no sistema Pa
Exemplo 1: prova no sistema Pa
Use o conjunto de hipoteses = {G1, ,G9} abaixo para provar (S P) em Pa.
G1 = (P R) PG2 = Q P4G3 = P1 QG4 = (P1 P2) QG5 = (P3 R) R
G6 = P4 PG7 = P1G8 = P3 PG9 = P2
Dem.
H1 P1 {de G7}H2 P1 Q {de G3}H3 Q {resultado de MP em H1 e H2 }H4 Q P4 {de G2 }H5 P4 {resultado de MP em H3 e H4}H6 P4 P {de G6}H7 P {resultado de MP em H5 e H6}H8 P (S P) {pelo Ax2}H9 (S P) {resultado de MP em H7 e H8} 10 / 60
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Outra notacao para provas em Pa
A prova anterior poderia tambem ser representada conforme oesquema a seguir.
P1 (P1 Q)Q (Q P4)
P4 (P4 P)P (P (S P))
(S P)
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Definicoes
consequencia logica no sistema Pa
Dada uma formula H e um conjunto de hipoteses , entao H e umaconsequencia logica de em Pa, se existe uma prova de H a partir de .
teorema no sistema Pa
Uma formula H e um teorema em Pa se existe uma prova de H, em Pa,que utiliza apenas os axiomas. Neste caso, o conjunto de hipoteses evazio.
Dada uma formula H, se H e consequencia logica de um conjunto de hipoteses
= {H1,H2, ,Hn},entao isto e indicado pela notacao
` H ou {H1,H2, ,Hn} ` HNo caso em que H e um teorema, isto e, e vazio, entao utiliza-se a notacao
` H
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Definicoes
consequencia logica no sistema Pa
Dada uma formula H e um conjunto de hipoteses , entao H e umaconsequencia logica de em Pa, se existe uma prova de H a partir de .
teorema no sistema Pa
Uma formula H e um teorema em Pa se existe uma prova de H, em Pa,que utiliza apenas os axiomas. Neste caso, o conjunto de hipoteses evazio.
Dada uma formula H, se H e consequencia logica de um conjunto de hipoteses
= {H1,H2, ,Hn},entao isto e indicado pela notacao
` H ou {H1,H2, ,Hn} ` H
No caso em que H e um teorema, isto e, e vazio, entao utiliza-se a notacao
` H
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Definicoes
consequencia logica no sistema Pa
Dada uma formula H e um conjunto de hipoteses , entao H e umaconsequencia logica de em Pa, se existe uma prova de H a partir de .
teorema no sistema Pa
Uma formula H e um teorema em Pa se existe uma prova de H, em Pa,que utiliza apenas os axiomas. Neste caso, o conjunto de hipoteses evazio.
Dada uma formula H, se H e consequencia logica de um conjunto de hipoteses
= {H1,H2, ,Hn},entao isto e indicado pela notacao
` H ou {H1,H2, ,Hn} ` HNo caso em que H e um teorema, isto e, e vazio, entao utiliza-se a notacao
` H
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Teorema
Teorema 1
Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que
{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}
Dem.
1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .
2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))
3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao
` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))
4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,
` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)
5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.
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Teorema
Teorema 1
Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que
{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}
Dem.
1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .
2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))
3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao
` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))
4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,
` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)
5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.
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Teorema
Teorema 1
Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que
{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}
Dem.
1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .
2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))
3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao
` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))
4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,
` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)
5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.
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Teorema
Teorema 1
Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que
{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}
Dem.
1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .
2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))
3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao
` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))
4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,
` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)
5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.
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Teorema
Teorema 1
Sejam um conjunto de formulas e A, B e C tres formulas da logica proposicional.Tem-se que
{ ` (A B) e ` (C A)} { ` (B C)}
Dem.
1 Seja D a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendo:H = A, G = B, E = C .
2 Assim,D = (A B) ((C A) (B C))
3 Como, ` (A B), entao, usando Modus Ponens, ocorre a deducao
` (A B) ` ((A B) ((C A) (B C))) ` ((C A) (B C))
4 Considerando que, ` (C A) e aplicando novamente Modus Ponens,
` (C A) ` ((C A) (B C)) ` (B C)
5 E assim a prova de ` (B C) e obtida.13 / 60
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).
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Teorema
Teorema 2
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 Seja A a formula obtida a partir do axioma Ax3 fazendoH = (P P), G = P e E = P.
2 Assim,
A = ((P P) P) ((P (P P)) (P P))
3 Seja B a formula obtida a partir do axioma Ax1 fazendo H = P.
4 Assim,B = (P P) P
5 Aplicando Modus Ponens em A e B, obtem-se
C = (P (P P)) (P P).
6 A subformula P (P P) pode ser reescrita como: P (P P).14 / 60
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Teoremacontinuacao da demonstracao
Dem.
1 Portanto,C = (P (P P)) (P P).
2 Considere a formula D obtida a partir do axioma Ax2 fazendo:H = P e G = P.
3 Assim,D = P (P P).
4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.5 Logo, ` (P P).
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Teoremacontinuacao da demonstracao
Dem.
1 Portanto,C = (P (P P)) (P P).
2 Considere a formula D obtida a partir do axioma Ax2 fazendo:H = P e G = P.
3 Assim,D = P (P P).
4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.5 Logo, ` (P P).
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Teoremacontinuacao da demonstracao
Dem.
1 Portanto,C = (P (P P)) (P P).
2 Considere a formula D obtida a partir do axioma Ax2 fazendo:H = P e G = P.
3 Assim,D = P (P P).
4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.5 Logo, ` (P P).
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Teoremacontinuacao da demonstracao
Dem.
1 Portanto,C = (P (P P)) (P P).
2 Considere a formula D obtida a partir do axioma Ax2 fazendo:H = P e G = P.
3 Assim,D = P (P P).
4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.
5 Logo, ` (P P).
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Teoremacontinuacao da demonstracao
Dem.
1 Portanto,C = (P (P P)) (P P).
2 Considere a formula D obtida a partir do axioma Ax2 fazendo:H = P e G = P.
3 Assim,D = P (P P).
4 Aplicando Modus Ponens em C e D, a formula P P e obtida.5 Logo, ` (P P).
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Regra de substituicao
Teorema 3 (regra da substituicao)
Sejam um conjunto de formulas e H uma formula da Logica Proposicional tais que ` H. Considere P1,P2, ,Pn um conjunto de smbolos proposicionais que ocorremem H mas nao ocorrem nas formulas de . Seja G a formula obtida de H substituindoos smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enrespectivamente. Tem-se que ` G.
Comentario
Para obter a prova de G a partir de , basta substituir os smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enem todos os passos da prova de H a partir de .
Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.
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Regra de substituicao
Teorema 3 (regra da substituicao)
Sejam um conjunto de formulas e H uma formula da Logica Proposicional tais que ` H. Considere P1,P2, ,Pn um conjunto de smbolos proposicionais que ocorremem H mas nao ocorrem nas formulas de . Seja G a formula obtida de H substituindoos smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enrespectivamente. Tem-se que ` G.
Comentario
Para obter a prova de G a partir de , basta substituir os smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enem todos os passos da prova de H a partir de .
Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.
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Regra de substituicao
Teorema 3 (regra da substituicao)
Sejam um conjunto de formulas e H uma formula da Logica Proposicional tais que ` H. Considere P1,P2, ,Pn um conjunto de smbolos proposicionais que ocorremem H mas nao ocorrem nas formulas de . Seja G a formula obtida de H substituindoos smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enrespectivamente. Tem-se que ` G.
Comentario
Para obter a prova de G a partir de , basta substituir os smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enem todos os passos da prova de H a partir de .
Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .
A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.
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Regra de substituicao
Teorema 3 (regra da substituicao)
Sejam um conjunto de formulas e H uma formula da Logica Proposicional tais que ` H. Considere P1,P2, ,Pn um conjunto de smbolos proposicionais que ocorremem H mas nao ocorrem nas formulas de . Seja G a formula obtida de H substituindoos smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enrespectivamente. Tem-se que ` G.
Comentario
Para obter a prova de G a partir de , basta substituir os smbolos proposicionais
P1,P2, ,Pnpelas formulas
E1,E2, ,Enem todos os passos da prova de H a partir de .
Observe que no argumento acima e essencial que os smbolos proposicionaisP1,P2, ,Pn nao ocorram nas formulas do conjunto .A demonstracao desta proposicao utiliza inducao finita no comprimento da provae e proposta como exerccio.
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Teorema
Teorema 4
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).
2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).3 Conforme o teorema 2 tem-se que
` (P P).
4 Utilizando a regra de substituicao e substituindo P por P noteorema acima,
5 a prova` (P P)
e obtida.
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Teorema
Teorema 4
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).
3 Conforme o teorema 2 tem-se que
` (P P).
4 Utilizando a regra de substituicao e substituindo P por P noteorema acima,
5 a prova` (P P)
e obtida.
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Teorema
Teorema 4
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).3 Conforme o teorema 2 tem-se que
` (P P).
4 Utilizando a regra de substituicao e substituindo P por P noteorema acima,
5 a prova` (P P)
e obtida.
17 / 60
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Teorema
Teorema 4
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).3 Conforme o teorema 2 tem-se que
` (P P).
4 Utilizando a regra de substituicao e substituindo P por P noteorema acima,
5 a prova` (P P)
e obtida.
17 / 60
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Teorema
Teorema 4
Tem-se que ` (P P).
Dem.
1 A formula (P P) pode ser reescrita como (P P).2 Portanto, basta demonstrar que ` (P P).3 Conforme o teorema 2 tem-se que
` (P P).
4 Utilizando a regra de substituicao e substituindo P por P noteorema acima,
5 a prova` (P P)
e obtida.
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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao
Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao
1 Considere = {P, P Q}
2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .
3 Logo, ` Q
4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir
` Ronde Q e substitudo por R.
5 Mas e falso que{P, P Q} ` R
6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.
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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao
Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao
1 Considere = {P, P Q}
2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .
3 Logo, ` Q
4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir
` Ronde Q e substitudo por R.
5 Mas e falso que{P, P Q} ` R
6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.
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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao
Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao
1 Considere = {P, P Q}
2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .
3 Logo, ` Q
4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir
` Ronde Q e substitudo por R.
5 Mas e falso que{P, P Q} ` R
6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.
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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao
Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao
1 Considere = {P, P Q}
2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .
3 Logo, ` Q
4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir
` Ronde Q e substitudo por R.
5 Mas e falso que{P, P Q} ` R
6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.
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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao
Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao
1 Considere = {P, P Q}
2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .
3 Logo, ` Q
4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir
` Ronde Q e substitudo por R.
5 Mas e falso que{P, P Q} ` R
6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.
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Exemplo: uso incorreto da regra da substituicao
Exemplo 2: uso incorreto da regra da substituicao
1 Considere = {P, P Q}
2 Aplicando Modus Ponens em o smbolo proposicional Q ededuzido de P e P Q .
3 Logo, ` Q
4 Aplicando de forma incorreta a regra da substituicao neste resultadoe possvel concluir
` Ronde Q e substitudo por R.
5 Mas e falso que{P, P Q} ` R
6 A regra da substituicao foi aplicada de forma incorreta poisQ {P, Q}, o conjunto de smbolos proposicionais da hipotese eisto fere as condicoes de aplicacao da regra.
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax3
2. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax3
2. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax3
3. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax2
4. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .3
5. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .4
6. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .5
7. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .6
8. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .7
9. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex5
10. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
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Teorema
Teorema 5
Tem-se que ` (P P).
Dem.
No exerccio 5 do livro e demonstrado que ` (P P).1. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax32. ` (P P) (P P) MP, teo4, Ax33. ` P (P P) Ax24. ` (P P) P teo1, .1, .35. ` P (P P) teo3, teo4; teo1; .46. ` (P P) P teo1, .2; .57. ` P (P P) teo3, ex5, teo1, .68. ` P P teo1, Ax1, .79. ` P P teo3, .8, teo1, ex510. ` P P teo3, ex5, teo1, .9
19 / 60
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Teorema
Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.
Teorema 6
Tem-se que ` (A B) (B A).
Dem.1. ` (P P) teo5
2. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3
20 / 60
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Teorema
Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.
Teorema 6
Tem-se que ` (A B) (B A).
Dem.1. ` (P P) teo5
2. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3
20 / 60
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Teorema
Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.
Teorema 6
Tem-se que ` (A B) (B A).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .1
3. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3
20 / 60
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Teorema
Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.
Teorema 6
Tem-se que ` (A B) (B A).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax3
4. ` (A B) (B A) MP, .2, .3
20 / 60
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Teorema
Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.
Teorema 6
Tem-se que ` (A B) (B A).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3
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Teorema
Nas proposicoes que se seguem, e um conjunto de hipoteses e A, B eC sao formulas.
Teorema 6
Tem-se que ` (A B) (B A).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` (B B) teo3, .13. ` (B B) ((A B) (B A)) Ax34. ` (A B) (B A) MP, .2, .3
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Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip
2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
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Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip
2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
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Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip
3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
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Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .2
4. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
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Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo6
5. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
-
Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .4
6. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
-
Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
-
Teorema
Teorema 7 (transitividade)
Se ` (A1 A2) e ` (A2 A3), entao ` (A1 A3).
Dem.1. ` (A1 A2) hip2. ` (A2 A3) hip3. ` (A3 A1) teo1, .1, .24. ` (A3 A1) (A1 A3) teo65. ` (A1 A3) MP, .3, .46. ` (A1 A3) reescrita de .5
21 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip
2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip
2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax3
3. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .2
4. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip
5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax3
6. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .5
7. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .6
8. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax1
9. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 8
Se ` (A C ) e ` (B C ), entao ` ((A B) C ).
Dem.1. ` (B C ) hip2. ` (B C ) ((A B) (C A)) Ax33. ` (A B) (C A) MP, .1, .24. ` (A C ) hip5. ` (A C ) ((C A) (C C )) Ax36. ` (C A) (C C ) MP, .4, .57. ` (A B) (C C ) teo7, .3, .68. ` (C C ) C Ax19. ` (A B) C teo7, .7, .8
22 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip
2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip
2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip
3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .2
4. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo2
5. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 9
Se ` (A C ) e ` (A C ), entao ` C .
Dem.1. ` (A C ) hip2. ` (A C ) hip3. ` (A A) C teo8 .1, .24. ` (A A) teo25. ` C MP, .3, .4
23 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip
2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip
2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax2
3. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .2
4. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo6
5. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 10
Se ` (A B) entao ` (A (C B)) e ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` B (C B) Ax23. ` A (C B) teo7 .1, .24. ` (C B) (B C ) teo3, teo65. ` A (B C ) teo7, .3, .4
24 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo5
2. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo5
2. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo10
3. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo10
4. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .3
5. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .4
6. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo10
7. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .6
8. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 11 (associatividade)
Tem-se que ` ((A B) C ) (A (B C )).
Dem.1. ` (P P) teo52. ` A (A (B C )) teo3, .1, teo103. ` B (B C ) teo3, .1, teo104. ` B (A (B C )) teo10, .35. ` (A B) (A (B C )) teo8, .2, .46. ` C (B C ) teo3, .1, teo107. ` C (A (B C )) teo10, .68. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo8, .5, .7
25 / 60
-
Teorema
Teorema 12
Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) C ) hip
2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo113. ` (A (B C )) MP, .1, .2
26 / 60
-
Teorema
Teorema 12
Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) C ) hip
2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo113. ` (A (B C )) MP, .1, .2
26 / 60
-
Teorema
Teorema 12
Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) C ) hip2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo11
3. ` (A (B C )) MP, .1, .2
26 / 60
-
Teorema
Teorema 12
Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) C ) hip2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo113. ` (A (B C )) MP, .1, .2
26 / 60
-
Teorema
Teorema 12
Se ` ((A B) C ) entao ` (A (B C )).
Dem.1. ` (A B) C ) hip2. ` ((A B) C ) (A (B C )) teo113. ` (A (B C )) MP, .1, .2
26 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip
2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip
2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip
3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .2
4. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .3
5. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita
6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .5
7. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita
8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
-
Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .7
9. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
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Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .8
10. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
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Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .9
11. ` (A C ) reescrita
27 / 60
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Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
27 / 60
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Teorema
Teorema 13
Se ` (A B) e ` (A (B C )) entao ` (A C ).
Dem.1. ` (A B) hip2. ` (A (B C )) hip3. ` ((B C ) A) teo6, .24. ` (B (C A)) teo12, .35. ` (B (C A)) reescrita6. ` (A (C A)) teo7, .1, .57. ` (A (C A)) reescrita8. ` ((C A) A) teo6, .79. ` (C (A A)) teo12, .810. ` (A C ) teo1, Ax1, .911. ` (A C ) reescrita
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.
3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.
4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A
5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).
6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)
10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Lema
Lema 14
Suponha que {A} ` B e B {A} ou B e um axioma. Tem-se entao que ` (A B).
Dem.
1 Esta demonstracao e dividida em dois casos.
2 Caso 1: Suponha que B ou B e um axioma.3 Logo, ` B.4 Utilizando Ax2 = H (G H), com H = B e G = A5 E obtida a prova ` B (A B).6 Aplicando Modus Ponens aos resultados 3 e 5, a prova
` (A B)e obtida.
7 Caso 2: Suponha que B = A.
8 Neste caso, utilizando a Regra da Substituicao (teorema 3) no resultado` (P P) (teorema 5)
9 Obtem-se ` (A A)10 Logo, ` (A B).
28 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` B
e e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn.
29 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).
Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn.
29 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,
entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn.
29 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.
Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn.
29 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn.
29 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.
A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn.
29 / 60
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Teorema da deducao
Teorema 15 (Teorema da deducao)
Seja um conjunto de hipoteses da logica proposicional.Se {A} ` B, entao ` (A B).
Dem.
Tem-se que {A} ` Be e necessario demonstrar que ` (A B).Como {A} ` B,entao existe uma sequencia de formulas C1, ,Cn, que e uma prova de B apartir de {A}.Isto significa que B = Cn.
E demonstrado a seguir, utilizando o princpio da inducao, que
` (A Ci )para todo inteiro i , 1 i n.A partir deste fato, fazendo i = n, conclui-se que
` (A B)pois B = Cn. 29 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).
30 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )
3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).
30 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)
4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).
30 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.
5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).
30 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}
6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).
30 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.
7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).
30 / 60
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Teorema da deducaoDemonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 A demonstracao de ` (A Ci )
utiliza o princpio da inducao no natural i .
2 Considere a assercao:
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )3 Demonstracao da base da inducao Para i = 1, na assercao A(i) obtem-se
A(1) se {A} ` C1, entao ` (A C1)4 Portanto, deve-se demonstrar que
` (A C1)partindo de
{A} ` C1.5 C1 e a primeira formula de uma prova a partir de {A}6 logo C1 {A} ou C1 e um axioma.7 Neste caso, utilizando o lema anterior tem-se que
` (A C1).30 / 60
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.
2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.
3 Em outras palavras, se a assercao
A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado
` (A Ci )e demonstrado a seguir.
6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que
` (A Ci )
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.
2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.
3 Em outras palavras, se a assercao
A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado
` (A Ci )e demonstrado a seguir.
6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que
` (A Ci )
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.
2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.
3 Em outras palavras, se a assercao
A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )
4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado
` (A Ci )e demonstrado a seguir.
6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que
` (A Ci )
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.
2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.
3 Em outras palavras, se a assercao
A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .
5 O resultado ` (A Ci )
e demonstrado a seguir.
6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que
` (A Ci )
31 / 60
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.
2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.
3 Em outras palavras, se a assercao
A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado
` (A Ci )e demonstrado a seguir.
6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que
` (A Ci )
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 Demonstracao do passo da inducao Esta demonstracao considera a segundaforma do princpio da inducao.
2 Neste caso, para cada natural i , 1 i n e necessario demonstrar que se A(k)e verdadeira para todo k < i , entao A(i) tambem e verdadeira.
3 Em outras palavras, se a assercao
A(k) se {A} ` Ck , entao ` (A Ck )e verdadeira para todo k < i entao tambem e verdadeira a assercao
A(i) se {A} ` Ci , entao ` (A Ci )4 Para demonstrar A(i) suponha {A} ` Ci .5 O resultado
` (A Ci )e demonstrado a seguir.
6 Neste caso, se Ci e axioma, hipotese ou e igual a A, entao utilizando o lemaanterior, conclui-se que
` (A Ci )
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .
4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.
5 Portanto, {A} ` Cj e {A} ` Cs .
6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .
6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).
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Teorema da deducaocontinuacao da demonstracao pelo princpio da inducao
Dem.
1 No entanto, suponha que Ci nao e axioma, nem hipotese e e diferente de A.
2 Logo, existem as formulasCj , (Cj Ci )
tal queCs = (Cj Ci ),
onde j < i , s < i .
3 Isto e, as formulas B e (B Ci ) pertencem a` prova de Ci .4 Neste caso, Ci e deduzida de Cj , (Cj Ci ) usando Modus Ponens.5 Portanto,
{A} ` Cj e {A} ` Cs .6 Como j < i , s < i , entao utilizando A(k),obtem-se que
` (A Cj ) e ` (A Cs ).
7 Logo, ` (A Cj ) e ` (A (Cj Ci )).
8 Utilizando o teorema 13, conclui-se o resultado
` (A Ci ).32 / 60
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Teorema
Teorema 16
Tem-se que` (A (B (A B))).
Dem.1. ` A A teo3, teo4
2. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita
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Teorema
Teorema 16
Tem-se que` (A (B (A B))).
Dem.1. ` A A teo3, teo4
2. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita
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Teorema
Teorema 16
Tem-se que` (A (B (A B))).
Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo4
3. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita
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Teorema
Teorema 16
Tem-se que` (A (B (A B))).
Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .1
4. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita
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Teorema
Teorema 16
Tem-se que` (A (B (A B))).
Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .2
5. ` (A B) (A B) teo8, .3, .46. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)) reescrita
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Teorema
Teorema 16
Tem-se que` (A (B (A B))).
Dem.1. ` A A teo3, teo42. ` B B teo3, teo43. ` A (A B) teo10, .14. ` B (A B) teo10, .25. ` (A B) (A B) teo8, .3, .4
6. ` (A B) (A B) teo6, .57. ` A (B (A B)) teo11, .68. ` A (B (A B)