Aula 3 - Ondas
Rene F. K. Spada
ITA
14 de Maio de 2018
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 1 / 41
1 Princípio da Superposição
2 Ondas Estacionárias
3 Batimentos e Velocidade de Grupo
4 Reflexão de Ondas
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1 Princípio da Superposição
2 Ondas Estacionárias
3 Batimentos e Velocidade de Grupo
4 Reflexão de Ondas
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Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;
Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
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Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 =
∂2 (ay1 + by2)∂x2 = a∂
2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 =
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
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Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 =
∂2 (ay1 + by2)∂t2 = a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 =
a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Sejam y1(x , t) e y2(x , t) duas soluções da equação de onda;Assim, uma combinação linear dessas soluções:
y(x , t) = ay1(x , t) + by2(x , t)
Sendo a e b constantes, temos que:
∂2y(x , t)∂x2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂x2 = a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2
∂2y(x , t)∂t2 = ∂2 (ay1 + by2)
∂t2 = a∂2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 4 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 =
1v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2
e ∂2y2∂x2 = 1
v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 5 / 41
Assim temos:
∂2y(x , t)∂x2 = 1
v2∂2y(x , t)∂t2
a∂2y1∂x2 + b∂
2y2∂x2 = 1
v2
[a∂
2y1∂t2 + b∂
2y2∂t2
]
Como:
∂2y1∂x2 = 1
v2∂2y1∂t2 e ∂2y2
∂x2 = 1v2∂2y2∂t2
É direto ver que y(x , t) também é solução.
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Assim vale o princípio da Superposição:
Princípio da SuperposiçãoPara a equação de onda unidimensional, qualquer combinação linear desoluções também é solução.
Já utilizamos esse fato para estudarmos a solução geral da equaçãode onda;Esse princípio possui várias outras aplicações;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 6 / 41
Assim vale o princípio da Superposição:
Princípio da SuperposiçãoPara a equação de onda unidimensional, qualquer combinação linear desoluções também é solução.
Já utilizamos esse fato para estudarmos a solução geral da equaçãode onda;Esse princípio possui várias outras aplicações;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 6 / 41
Assim vale o princípio da Superposição:
Princípio da SuperposiçãoPara a equação de onda unidimensional, qualquer combinação linear desoluções também é solução.
Já utilizamos esse fato para estudarmos a solução geral da equaçãode onda;
Esse princípio possui várias outras aplicações;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 6 / 41
Assim vale o princípio da Superposição:
Princípio da SuperposiçãoPara a equação de onda unidimensional, qualquer combinação linear desoluções também é solução.
Já utilizamos esse fato para estudarmos a solução geral da equaçãode onda;Esse princípio possui várias outras aplicações;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 6 / 41
Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:
Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 7 / 41
Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
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Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
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Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;
Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 7 / 41
Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;
A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 7 / 41
Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;
Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
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Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;
y(x , t) atinge seu valor máximo;
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Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
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Para dois pulsos gaussianos se propagando em sentidos opostos:Considerando primeiro as duas perturbações no mesmo sentido:
y2(x , t)y1(x , t)~v1 ~v2
y1(x , t) + y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela soma dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor máximo;
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Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;
Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;
A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;
Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;
y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
Agora considerando as duas perturbações em sentidos opostos:
y2(x , t)
y1(x , t)~v1
~v2
y1(x , t)
y2(x , t)
Com o passar do tempo os pulsos se movem;Até que começam a se sobrepor;A sobreposição é dada pela subtração dos dois pulsos;Quando o máximo dos dois pulsos estão no mesmo ponto;y(x , t) atinge seu valor mínimo;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 8 / 41
1 Princípio da Superposição
2 Ondas Estacionárias
3 Batimentos e Velocidade de Grupo
4 Reflexão de Ondas
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 9 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;
Para simplificar:
I Mesma frequência;I Mesma amplitude;
Ou seja:
{
y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:
I Mesma frequência;I Mesma amplitude;
Ou seja:
{
y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:
I Mesma frequência;
I Mesma amplitude;Ou seja:
{
y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:
I Mesma frequência;I Mesma amplitude;
Ou seja:
{
y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:
I Mesma frequência;I Mesma amplitude;
Ou seja:
{
y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:
I Mesma frequência;I Mesma amplitude;
Ou seja:
{y1(x , t) = A cos(kx − ωt)
y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Considerando duas ondas senoidais se propagando em sentidosopostos;Para simplificar:
I Mesma frequência;I Mesma amplitude;
Ou seja:
{y1(x , t) = A cos(kx − ωt)y2(x , t) = A cos(kx + ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 10 / 41
Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 11 / 41
Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 11 / 41
Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 11 / 41
Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) + A sin(kx) sin(ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) + A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸A cos(kx−ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) + A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸A cos(kx−ωt)
+A cos(kx) cos(ωt)− A sin(kx) sin(ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) + A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸A cos(kx−ωt)
+ A cos(kx) cos(ωt)− A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸A cos(kx+ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) +((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸
A cos(kx−ωt)
+ A cos(kx) cos(ωt)−((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸
A cos(kx+ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) +((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸
A cos(kx−ωt)
+ A cos(kx) cos(ωt)−((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸
A cos(kx+ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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Pelo princípio da Superposição:
y(x , t) = y1(x , t) + y2(x , t) = A cos(kx − ωt) + A cos(kx + ωt)
Sabendo que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b:
y(x , t) = A cos(kx) cos(ωt) +((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸
A cos(kx−ωt)
+ A cos(kx) cos(ωt)−((((((((A sin(kx) sin(ωt)︸ ︷︷ ︸
A cos(kx+ωt)
Assim temos:
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;
Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);
Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;
Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;
Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 12 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 12 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 12 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Essa onda não se propaga;Não possui a forma y(x , t) = f (kx ± ωt);Mas a soma de duas ondas é uma onda;Nesse caso é uma Onda Estacionária;Apenas o amplitude de cada ponto muda, e eventualmente o sinal;
t = 0t = T8t = 2T8t = 3T8t = 4T8t = 5T8t = 6T8t = 7T8t = T
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Em uma imagem com um longo tempo de exposição:
NóAntinó
Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 13 / 41
Em uma imagem com um longo tempo de exposição:
NóAntinó
Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 13 / 41
Em uma imagem com um longo tempo de exposição:
NóAntinó
Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 13 / 41
Em uma imagem com um longo tempo de exposição:
NóAntinó
Existem pontos imóveis → Nós;
Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.
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Em uma imagem com um longo tempo de exposição:
NóAntinó
Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;
Iremos localizar matematicamente esses pontos.
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Em uma imagem com um longo tempo de exposição:
NóAntinó
Existem pontos imóveis → Nós;Existem pontos em que a amplitude é máxima → Antinós;Iremos localizar matematicamente esses pontos.
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0 =⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . . ,
nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 14 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);
O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0 =⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . . ,
nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);
Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0 =⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . . ,
nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 14 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0 =⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . . ,
nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 14 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0
=⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . . ,
nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 14 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0 =⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . .
,nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 14 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
O termo que causa a oscilação é cos(ωt);O termo que determina a amplitude em cada ponto é 2A cos(kx);Assim, o ponto é um nó se:
cos(kx) = 0 =⇒ kx = π
2 ,3π2 ,
5π2 , . . . ,
nπ2 , n = 1, 3, 5, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 14 / 41
Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:
Em que λ é o comprimento das ondas.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 15 / 41
Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:
x = nπ2k | k = 2π
λ
Em que λ é o comprimento das ondas.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 15 / 41
Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:
x = nπ2k | k = 2π
λ
x = nπλ2 · 2π
Em que λ é o comprimento das ondas.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 15 / 41
Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:
x = nπ2k | k = 2π
λ
x = n�πλ2 · 2�π
Em que λ é o comprimento das ondas.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 15 / 41
Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:
x = nπ2k | k = 2π
λ
x = n�πλ2 · 2�π
∴ x = nλ4 , n = 1, 3, 5, . . .
Em que λ é o comprimento das ondas.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 15 / 41
Utilizando kx = nπ/2 com n = 1, 3, 5, . . .:
x = nπ2k | k = 2π
λ
x = n�πλ2 · 2�π
∴ x = nλ4 , n = 1, 3, 5, . . .
Em que λ é o comprimento das ondas.
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y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;Ou seja:
cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;
A amplitude deve ser máxima;Ou seja:
cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;
Ou seja:
cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;Ou seja:
cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;Ou seja:
cos(kx) = 1
=⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;Ou seja:
cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . .
, nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
y(x , t) = 2A cos(kx) cos(ωt)
Para o caso dos antinós;A amplitude deve ser máxima;Ou seja:
cos(kx) = 1 =⇒ kx = 0, π, 2π, 3π, . . . , nπ , n = 0, 1, 2, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 16 / 41
Utilizando kx = nπ com n = 0, 1, 2, 3, . . .:
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 17 / 41
Utilizando kx = nπ com n = 0, 1, 2, 3, . . .:
x = nπk | k = 2π
λ
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 17 / 41
Utilizando kx = nπ com n = 0, 1, 2, 3, . . .:
x = nπk | k = 2π
λ
x = nπλ2π
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 17 / 41
Utilizando kx = nπ com n = 0, 1, 2, 3, . . .:
x = nπk | k = 2π
λ
x = n�πλ2�π
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 17 / 41
Utilizando kx = nπ com n = 0, 1, 2, 3, . . .:
x = nπk | k = 2π
λ
x = n�πλ2�π
∴ x = nλ2 , n = 0, 1, 2, 3, . . .
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 17 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;
Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;
Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:
Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:
Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:
Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
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Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:
Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
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Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:
Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
Voltando com a imagem com um longo tempo de exposição;Nós → nλ/4 com n = 1, 3, 5, . . .:Antinós → nλ/2 com n = 0, 1, 2, 3, . . .;
λ
n=1 n=3 n=5 n=7
n=0 n=1 n=2 n=3
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 18 / 41
1 Princípio da Superposição
2 Ondas Estacionárias
3 Batimentos e Velocidade de Grupo
4 Reflexão de Ondas
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 19 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;
Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{
y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;
A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{
y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{
y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)
y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄
= 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄
= 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Consideremos agora duas ondas viajando no mesmo sentido;Possuem mesma amplitude;A frequência e número de onda são ligeiramente diferentes:
{y1(x , t) = A cos(k1x − ω1t)y2(x , t) = A cos(k2x − ω2t)
Sendo k1 > k2 e ω1 > ω2:
∆k = k1 − k2 � k̄ = 12 (k1 + k2)
∆ω = ω1 − ω2 � ω̄ = 12 (ω1 + ω2)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 20 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) =
12 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 1
2(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t)
= 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2) x − 1
2(ω1 + ω2) t
= 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2) t
= 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Pelo princípio da superposição:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Como cos a + cos b = 2 cos[
12(a + b)
]cos
[12(a − b)
];
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a + b) = 1
2 (k1x − ω1t + k2x − ω2t) = 12(k1 + k2)︸ ︷︷ ︸
k̄
x − 12(ω1 + ω2)︸ ︷︷ ︸
ω̄
t
∴12(a + b) = k̄x − ω̄t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 21 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) = 1
2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) =
12 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 1
2 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) = 1
2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t)
= 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) = 1
2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2) x − 1
2 (ω1 − ω2) t
= 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) = 1
2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2) t
= 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) = 1
2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Sendo a = k1x − ω1t e b = k2x − ω2t;
12(a − b) = 1
2 (k1x − ω1t − k2x + ω2t) = 12 (k1 − k2)︸ ︷︷ ︸
∆k
x − 12 (ω1 − ω2)︸ ︷︷ ︸
∆ω
t
∴12(a − b) = ∆k
2 x − ∆ω2 t
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 22 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)com A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)com A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)com A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)com A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)com A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)
com A(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Como:
y(x , t) = y2(x , t) + y2(x , t) = A cos(k1x − ω1t) + A cos(k2x − ω2t)
Temos:
y(x , t) = 2A cos(∆k
2 x − ∆ω2 t
)cos(k̄x − ω̄t
)
É usual escrever:
y(x , t) = A(x , t) cos(k̄x − ω̄t
)com A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 23 / 41
Essa forma sugere a interpretação:
Uma onda cos(k̄x − ω̄t
);
Modulada por A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
Esse fenômeno é chamado de batimento;
×
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 24 / 41
Essa forma sugere a interpretação:Uma onda cos
(k̄x − ω̄t
);
Modulada por A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
Esse fenômeno é chamado de batimento;
×
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 24 / 41
Essa forma sugere a interpretação:Uma onda cos
(k̄x − ω̄t
);
Modulada por A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
Esse fenômeno é chamado de batimento;
×
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 24 / 41
Essa forma sugere a interpretação:Uma onda cos
(k̄x − ω̄t
);
Modulada por A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
Esse fenômeno é chamado de batimento;
×
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 24 / 41
Essa forma sugere a interpretação:Uma onda cos
(k̄x − ω̄t
);
Modulada por A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
Esse fenômeno é chamado de batimento;
×
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 24 / 41
Essa forma sugere a interpretação:Uma onda cos
(k̄x − ω̄t
);
Modulada por A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
Esse fenômeno é chamado de batimento;
×
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 24 / 41
Continuaremos com a discução considerando ondas em cordas;Sabemos que a velocidade de uma onda é v = ω/k;Assim podemos calcular a velocidade dessas ondas separadamente;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 25 / 41
Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;
Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:
~vF
vϕ = ω̄
k̄
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 26 / 41
Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;
A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:
~vF
vϕ = ω̄
k̄
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 26 / 41
Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )
A velocidade de fase é dada por:
~vF
vϕ = ω̄
k̄
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 26 / 41
Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:
~vF
vϕ = ω̄
k̄
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 26 / 41
Primeiro considerando a fase como ϕ = k̄x − ω̄t;Estamos interessados na corda;A velocidade de um ponto de fase constante (ex: F )A velocidade de fase é dada por:
~vF vϕ = ω̄
k̄
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 26 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;
Ou seja A(x , t) = 2A cos(
∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;
Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;
Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;
A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;
Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;
Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k
≈ dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;
A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k
≈ dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;
A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Agora considerando a velocidade da onda que modula a amplitude nacorda;Ou seja A(x , t) = 2A cos
(∆k2 x − ∆ω
2 t);
A fase dessa onda é dada por ∆k2 x − ∆ω
2 t;Considerando um ponto fixo G ;A velocidade de grupo é dada por;Se ∆k for suficientemente pequeno;A derivada deve ser calculada para k = k̄;
~vG
vg = ∆ω∆k ≈
dωdk
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 27 / 41
Para ondas em uma corda homogênea:
v =√
Tµ
Então:
vϕ = vg =√
Tµ
Mas esse é um caso particular;Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 28 / 41
Para ondas em uma corda homogênea:
v =√
Tµ
Então:
vϕ = vg =√
Tµ
Mas esse é um caso particular;Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 28 / 41
Para ondas em uma corda homogênea:
v =√
Tµ
Então:
vϕ = vg =√
Tµ
Mas esse é um caso particular;Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 28 / 41
Para ondas em uma corda homogênea:
v =√
Tµ
Então:
vϕ = vg =√
Tµ
Mas esse é um caso particular;Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 28 / 41
Para ondas em uma corda homogênea:
v =√
Tµ
Então:
vϕ = vg =√
Tµ
Mas esse é um caso particular;
Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 28 / 41
Para ondas em uma corda homogênea:
v =√
Tµ
Então:
vϕ = vg =√
Tµ
Mas esse é um caso particular;Não se aplica a ondas eletromagnéticas, na água, e etc.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 28 / 41
1 Princípio da Superposição
2 Ondas Estacionárias
3 Batimentos e Velocidade de Grupo
4 Reflexão de Ondas
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 29 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;
Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;
Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;
Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;
Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;
Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
Consideraremos uma corda na extremidade esquerda;Na corda existe um pulso;Ele está viajando para esquerda;
y(x , t)~v
Sendo y(x , t) = g(x + vt):
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 30 / 41
y(x , t)~v
A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:
y(0, t) = 0 para qualquer t
Trabalharemos com a solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 31 / 41
y(x , t)~v
A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:
y(0, t) = 0 para qualquer t
Trabalharemos com a solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 31 / 41
y(x , t)~v
A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:
y(0, t) = 0 para qualquer t
Trabalharemos com a solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 31 / 41
y(x , t)~v
A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:
y(0, t) = 0 para qualquer t
Trabalharemos com a solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 31 / 41
y(x , t)~v
A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:
y(0, t) = 0 para qualquer t
Trabalharemos com a solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 31 / 41
y(x , t)~v
A condição de a extremidade permanecer fixa resulta em:
y(0, t) = 0 para qualquer t
Trabalharemos com a solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Mas, pela condição inicial, f (x , t) não pode afetar a corda antes dopulso atingir a extremidade;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 31 / 41
Aplicando a condição de contorno na solução geral:
y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)
Ou seja, temos que:
f (z) = −g(−z)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 32 / 41
Aplicando a condição de contorno na solução geral:
y(0, t) = f (−vt) + g(vt)
= 0∴ f (−vt) = −g(vt)
Ou seja, temos que:
f (z) = −g(−z)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 32 / 41
Aplicando a condição de contorno na solução geral:
y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0
∴ f (−vt) = −g(vt)
Ou seja, temos que:
f (z) = −g(−z)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 32 / 41
Aplicando a condição de contorno na solução geral:
y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)
Ou seja, temos que:
f (z) = −g(−z)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 32 / 41
Aplicando a condição de contorno na solução geral:
y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)
Ou seja, temos que:
f (z) = −g(−z)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 32 / 41
Aplicando a condição de contorno na solução geral:
y(0, t) = f (−vt) + g(vt) = 0∴ f (−vt) = −g(vt)
Ou seja, temos que:
f (z) = −g(−z)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 32 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;
Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;
Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Essa é a condição para que a onda seja nula na extremidade paratodo t;Perceba que z pode ser qualquer número real;Então fazendo z = x − vt:
f (x − vt) = −g(vt − x)
Substituindo na solução geral:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
∴ y(x , t) = −g(−x + vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 33 / 41
Podemos visualizar a solução;
Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
Podemos visualizar a solução;Basta imaginar um prolongamento fictício da corda;
Não existe cordag(x + vt)
−g(vt − x)
~v1
−~v1
Na prática vemos o pulso atingir a extremidade e ser refletido aocontrário.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 34 / 41
E o que gera essa onda refletida?
g(x + vt)
~F
−~F
A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 35 / 41
E o que gera essa onda refletida?
g(x + vt)
~F
−~F
A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 35 / 41
E o que gera essa onda refletida?
g(x + vt)
~F
−~F
A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 35 / 41
E o que gera essa onda refletida?
g(x + vt)
~F
−~F
A corda faz uma força na extremidade para cima;
A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 35 / 41
E o que gera essa onda refletida?
g(x + vt)
~F
−~F
A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;
Essa força que gera a onda refletida.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 35 / 41
E o que gera essa onda refletida?
g(x + vt)
~F
−~F
A corda faz uma força na extremidade para cima;A extremidade reage com uma força para baixo;Essa força que gera a onda refletida.
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 35 / 41
Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;
Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;Esse anel se move na extremidade sem atrito.
y(x , t)
~v
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 36 / 41
Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;
Esse anel se move na extremidade sem atrito.
y(x , t)
~v
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 36 / 41
Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;Esse anel se move na extremidade sem atrito.
y(x , t)
~v
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 36 / 41
Agora podemos estudar o que acontece se a corda estiver livre;Podemos imaginar que a corda está presa na extremidade por umanel;Esse anel se move na extremidade sem atrito.
y(x , t)
~v
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 36 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:
Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ ≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:
Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ ≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:
Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ ≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:
Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ ≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:
Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ
≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ
≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ ≈ T tan θ
= T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
Como já vimos, para a componente vertical da força na corda:Assumindo pequenos ângulos;
~T
θ
Ty = T sin θ ≈ T tan θ = T ∂y∂x
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 37 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;
Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;
Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) =
T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x =
0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
No entanto, a corda se desloca livremente na extremidade;Na extremidade não existe força vertical na corda;Assim:
Fy (0, t) = T ∂y(0, t)∂x = 0
Precisamos aplicar essa condição de contorno à solução:
y(x , t) = f (x − vt) + g(x + vt)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 38 / 41
Assim:
∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)
Aplicando em x = 0:
∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0
Como feito anteriormente, essa condição deve valer para qualquernúmero;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 39 / 41
Assim:
∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)
Aplicando em x = 0:
∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0
Como feito anteriormente, essa condição deve valer para qualquernúmero;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 39 / 41
Assim:
∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)
Aplicando em x = 0:
∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0
Como feito anteriormente, essa condição deve valer para qualquernúmero;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 39 / 41
Assim:
∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)
Aplicando em x = 0:
∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0
Como feito anteriormente, essa condição deve valer para qualquernúmero;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 39 / 41
Assim:
∂y∂x = f ′(x − vt) + g ′(x + vt)
Aplicando em x = 0:
∂y(0, t)∂x = f ′(−vt) + g ′(+vt) = 0
Como feito anteriormente, essa condição deve valer para qualquernúmero;
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 39 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0
f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:
Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:
Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z)
=⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z)
=⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Então deve valer para z :
f ′(z) + g ′(−z) = 0f ′(z) = −g ′(−z)
Assim, para as funções primitivas:Fazendo z → x − vt;
f (z) = g(−z) =⇒ f (x − vt) = g(vt − x)
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 40 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41
Substituindo na solução:
y(x , t) = g(x + vt) + g(vt − x)
Podemos visualizar a solução:
Não existe corda
g(x + vt)g(vt − x)~v1−~v1
Rene F. K. Spada (ITA) Aula 3 - Ondas 14 de Maio de 2018 41 / 41