Download - apostila_fundamentos
-
1
Autores: Profa. Adriana Rodrigues de Matos Prof. Alcides Martinelli Esquilache Prof. Amrico Augusto Barbosa Prof. Geraldo Magela Barbosa
Prof. Ivan Pegoretti
-
2
Plano de ensino 1 - Conjuntos numricos. Expresses numricas. 2 - Nmeros reais. Expresses algbricas. Operaes. 3 - Equaes de 1. Grau. Resoluo. 4 - Equaes de 2. Grau. Resoluo. 5 - Funes do 1. Grau. Resoluo. 6 - Funes do 2. Grau. Resoluo. 7 - Aplicaes das funes de 1 e 2 graus na Economia; representao grfica das funes: demanda e oferta. 8 - Determinao algbrica e grfica do ponto de equilbrio 9 - Aplicaes das funes de 1 e 2 graus na Economia: receita total, custo total, custo fixo, custo varivel, lucro total, prejuzo. 10 - Determinao algbrica e grfica do ponto crtico (Break even point).
APRESENTAO
Caro aluno,
O objetivo deste material preparar o discente para a vida acadmica, despertando-lhe o
desejo de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes
aspectos da realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como
objetivo principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos prticos, o conceito dos Fundamentos
da Matemtica e suas aplicaes, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fcil compreenso.
Vale lembrar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros,
apostilas, sites, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este material
serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreenso, dessa forma, no
substitui, em hiptese alguma, a pesquisa em livros especficos.
Os autores.
Jamais considere seus estudos como uma obrigao, mas como uma oportunidade invejvel para aprender a conhecer a influncia libertadora da beleza do reino do esprito, para seu
prprio prazer pessoal e para proveito da comunidade qual seu futuro trabalho pertencer."
Albert Einstein
-
3
Nenhuma parte desta apostila, sem autorizao prvia por escrito do autor, poder ser reproduzida ou transmitida sejam quais forem os meios empregados: eletrnicos, mecnicos, fotogrficos, gravao ou quaisquer outros.
Regra de Sinais
A grande maioria dos alunos erram em sinais e em fraes, talvez porque no entenderam bem ou
por no ter sido bem explicado, um dos casos, talvez, seja a maneira pela qual apresentada a regra
de sinais, que muitas vezes confundem o aluno: "mais com mais", etc. Apresentamos aqui, a mesma e
velha regra de sinais tentando diminuir as chances de erros do aluno. Primeiro, vamos lembrar que o
erro se d no sinal, ento devemos lembr-los que antes de efetuar a conta eles devem obter qual
ser o sinal, aps o qual deve calcular o resultado obedecendo a operao em questo.
REGRA DE ADIO E SUBTRAO
Pense em dbito (-) e crdito (+)
Primeiro devemos informar que no h necessidade de se "decorar" uma regra, se pensarmos em
dbito(-) e crdito(+) no erramos nunca, pois podemos dizer que se temos por exemplo R$ 10,00
(dez reais) e recebemos mais R$ 5,00 (cinco reais), ficamos com R$ 15,00 (quinze reais); ou se
devemos R$ 10,00 (dez reais) a algum e devemos R$ 5,00 (cinco reais) a outra pessoa ento
devemos ao todo R$ 15,00 (quinze reais) (sinais iguais soma-se e repete o sinal); agora se temos
os mesmos R$ 10,00 (dez reais) e gastamos R$ 5,00 (cinco reais) ficamos com R$ 5,00 (cinco reais);
ou se temos R$ 5,00 (cinco reais) e devemos a algum R$ 10,00 (dez reais), s podemos pagar o que
temos, isto , os R$ 5,00 (cinco reais), e ainda assim ficamos devendo R$ 5,00 (cinco reais) (sinais
diferentes subtra-se e d o sinal do maior nmero em valor absoluto).
-
4
REGRA DE MULTIPLICAO E DIVISO
Para no esquecer a regra de sinais de produtos e divises vamos considerar um nmero positivo como amigo e um nmero negativo como inimigo. Assim: O amigo (+) de meu amigo (+) meu amigo (+). O amigo (+) de meu inimigo (-) meu inimigo (-). O inimigo (-) de meu amigo (+) meu inimigo (-). O inimigo (-) de meu inimigo (-) meu amigo (+). Portanto, sinais iguais, resultado positivo; sinais diferentes, resultado negativo.
EXPRESSES NUMRICAS
As expresses numricas so expresses matemticas que envolvem nmeros. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expresso numrica.
Resumidamente: 1) Parnteses ( ) 2) Colchetes [ ] 3) Chaves { } 4) Potncia ou Radiciao 5) Multiplicao ou Diviso 6) Soma ou Subtrao
Sempre da esquerda para a direita
Veja o exemplo abaixo:
1 exemplo: [6 + (9 / 3) . (2 + 2 + 42) - 170 . (40 : 8 -3)] / (1 2)
[6 + 3 . (4 + 16) - 1 . (5 -3)] / -1
[6 + 3 . (20) - 1 . 2] / -1
[6 + 60 - 2]/ - 1
64 / -1
- 64
-
5
Exerccios: Calcule o valor de cada expresso numrica: 1) 2-(-7+2.5):(-1) Resposta 5 2) 16-30:[6-2.(3-1)+3] Resposta: 10 3) [(+23)+(-5)]:[12-(+3).(-2)] Resposta:1 4) -15-(-8).(+4)-(+20):(-5) Resposta: 21 5) {86-[-(3-10+4)+(13-20+4)]}-36 Resposta: 50 6) 51-{[46+(6-7)]-[32-(5+6+18)]} Resposta: 9 7) -11.(-3)-5+(-32):4-[16:(-2)-(-8):4] Resposta: 26 8) {-[-2-5.(-2)]+(-3).(-2)-(7-3-1)}:(-5) Resposta: 1 9) -32-3.{-9-3.4-[4.(-8)-2.(- 4+28:7)]} Resposta:-65 Nmeros Racionais Efetue:
1) 4
2
5
4
8
1 Resposta:
40
17
2) 2
7
8
2
4
5
Resposta: 2
3) 5
2
4
1
Resposta:
20
13
4)
6
1
5
1
2
1 Resposta:
15
8
5)
4
3
2
1
4
5
10
72
5
2 Resposta:
5
6
6)
5
62
2
128 Resposta:
10
103
7)
3
2.
2
14 Resposta: 3
8) 2
1
6
3.
4
5
8
1
Resposta:
16
3
9)
2
1.
8
2:
8
13
5
2 Resposta:
5
141
10)
2
1.
12
3:
4
1
3
2
8
1 Resposta:
3
7
-
6
EXPRESSES ALGBRICAS So expresses matemticas que apresentam letras e podem conter nmeros. So tambm denominadas expresses literais. Exemplos A = 2a + 7b B = (3c + 4) 5 C = 23c + 4 As letras nas expresses so chamadas variveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituda por um valor numrico. Prioridade das operaes numa expresso algbrica Nas operaes em uma expresso algbrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciao ou Radiciao Multiplicao ou Diviso Adio ou subtrao Observaes: Antes de cada uma das trs operaes citadas anteriormente, deve-se realizar a operao que estiver dentro dos parnteses, colchetes ou chaves. A multiplicao pode ser indicada por x ou por um ponto ( . ) ou s vezes sem sinal, desde que fique clara a inteno da expresso. Muitas vezes devemos utilizar parnteses quando substitumos variveis por valores negativos. Exemplos: Consideremos P=2A+10 e tomemos A=5. Assim P = 2(5) + 10 P = 10 + 10 P = 20 Aqui A a varivel da expresso, 5 o valor numrico da varivel e 20 o valor numrico da expresso indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: A = 2(9) + 10 A = 18 + 10 A = 28 Quando A=9, o valor numrico de P=2A+10 igual a 28. Seja X = 4A + 2 + B - 7 e tomemos A=5 e B=7. Desse modo: X = 4.(5) + 2 + 7 7 X = 20 + 2 0 X = 22 Quando A=5 e B=7, o valor numrico de X = 4A + 2 + B - 7, igual a 28. Seja Y = 18 - C + 9 + D + 8C, onde C=-2 e D=1. Ento : Y = 18 -(-2) + 9 + 1 + 8(-2) Y = 18 + 2 + 9 + 1 16 Y = 30 16 Y = 14 Se C=-2 e D=1, o valor numrico de Y=18-C+9+D+8C, 14. Operaes Algbricas Adio e Subtrao Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes. Ex: 7xy xy + 5xy. Os termos xy so semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numrica e conservar a parte literal. Soluo: (7-1+5).xy = 11xy. OBS: Quando a expresso algbrica tiver sinais de associao e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parnteses, colchetes ou chaves. Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x 5x = 3x b) 7x ( 4x 5) = 7x 4x + 5 = 3x + 5
-
7
EXERCICIOS EXPRESSES 1) Calcule o valor das expresses numricas: a) (-3)
2 4 (-1) + 5
2 =
b) 15 + (-4) . (+3) 10 =
c) 52 + 9 - [(+20) : (-4) + 3] =
d) 5 + (-3)2 + 1 =
e) 10 + (-2)3 4 =
f) 18 - (+7) + 32 =
g) (-2)3 + ( 3)
2 25 =
h) (-3)2 . (+5) + 2 =
i) 49 + 23 1 = j) 40:[(-1)
9 + (-2)
3 11] =
k) 10 [5 + (-2) + (-1)] = l) 2 {3 + [4 (1 -2) + 3] -4} = m) 50:{-5 + [-1 (-2)
5 + (-2) + 3]} =
n) 72 [6 (-1)
5 2
2] =
2) Resolva as expresses algbricas: a) 5ab 2ab + ab = b) 3y + (-2y) = c) 4xy + (-3xy) + 5xy = d) 5y + 4y 3 = e) 6a + 2ab + (-3a) = f) 19x
3 34x
3 + (-2y) =
g) 5x9 + 12 x
9 =
h) 4x5y
6 6 x
5y
6 =
i) (6x3 + 2x
2 3x + 1) + (2x
3 - 4x
2 + 2x - 2) =
j) (x5 - 3x
2 + 2) - (4x
5 + x
3 - 4x
2 + 2) =
3) Para as expresses a seguir se, x = 2 e y = - 3, encontre o valor de A. a) A = 3x + 2y b) A = - 4x + 3y c) A = y + 3x d) A = - 5x + y 4) Calcule o valor numrico das expresses algbricas: a) (x + 1). (x + 2). (x + 3), para x = - 4
b)22 ba , para a = 3 e b = 4
c) 12 x + 37 x , para x = 4 d) 3
x + x , para x = 2
e) yx
yxyx
22 2, para x = 1 e y = 3
f) x = a
cabb
.2
..42 , calcule x, para a = 3,b = - 7 e c = 2
-
8
POTENCIAO
Conceito: Potncia um produto de fatores iguais.
Seja a um nmero real e n um nmero natural, logo fatoresnaaaaaa n ......
Obs: a = base e n = expoente
Da definio decorre que:
a) aaaa ..3 c) 11 a b) 10 a
Exemplos:
a) 130
b) 551
c) 2433.3.3.3.335
d) 4)2).(2()2( 2
e) 8)2).(2).(2()2( 3
Base Negativa:
Expoente par = resultado positivo
Expoente mpar = resultado negativo Propriedades:
1) nmnm aaa .
(0,15)2 . (0,15)3 = (0,15)2 + 3 = (0,15)5
2)nm
n
m
aa
a
(0,19)6 : (0,19)2 = (0,19) 6 2 = (0,19)4
3) nnn baba .. (2 . 5 ) 3 = 2 3 . 5 3
Respostas: 1-) a) 31 h) 47 b) - 7 i) 14 c) 30 j) - 2 d) 15 k) 8 e) - 2 l) - 5 f) 20 m) 50/27 g) - 24 n) 46 2-) a) 4ab f) - 15x
3 2y
b) y g) 17x9
c) 6xy h) - 2x5y
6
d) 9y 3 i) 8x3 2x
2 x - 1
e) 3a + 2ab j) - 3x5 x
3 + x
2
3-) a) A=0 b) A =-17 c) A=3 d) A = -13 4-)
a) -6 b) 5 c) 8 d) 81 e) -8 f) 2
-
9
4)n
nn
b
a
b
a
9
64
3
8
3
82
22
5) nmnm aa . [(0,32)3]2 = (0,32) 3 . 2 = (0,32) 6 Potncia de expoente negativo
6) n
n
aa
1
Sendo a um nmero real no-nulo e n um nmero inteiro.
Exemplos:
2 2 = 1_ = 1_ 22 4
( - 3) 4 = 1__ = 1_ (- 3)4 81 Exerccios: 1) Calcule o valor das potncias: a) 35= b) 04= c) -33=
d)
3
4
1
e)
4
5
2
f) (-3)4= g) 26=
h)
5
3
2
i) 13
j) 13 k) 25
l)
2
3
4
m)
2
2
1
n) 34 2) Reduza a uma nica potncia usando as propriedades:
a) 22 yx b) 343 yx c) 44245 . yxyx
-
10
d) 32332 . yxyx e) 32324 .. yxyx f) 265 2.2 g) 225 3.3
h)
6
24
4
4.4
i)
2
15
5
j)
65
43
3.3
3.3
k)
2236
2355
5.5
5.5
Respostas exerccios:
1) a) 243 b) 0 c) 27 d) 64
1 e)
625
16 f) 81 g) 64
h) 243
32 i)
3
1 j)
3
1 k)
25
1 l)
16
9 m)4 n)
64
1
Exerccio 2: a) x4.y2 b) x9.y12 c) x26.y12 d) x15.y9 e) x15.y12 f) 22 g) 3 h) 44 i) 54 j) 3-2 k) 517
FUNO DO 10 GRAU
Chamamos de funo do 1o grau ou afim a qualquer funo IR em IR definida por f(x) = ax + b, onde a e b so nmeros reais e a no nulo.
Definio: f: IR IR definida por f(x) = ax + b, a IR* e b IR OBS.:
a) O grfico da funo do 1o grau uma reta. b) O conjunto imagem da funo do 1o grau IR. c) A funo do 1o grau com b = 0, ou seja f(x) = ax chamada linear.
Exemplo Construa o grfico e d o conjunto imagem das seguintes funes de IR em IR. Considerar x = 0 e 1. a) f(x) = x +2
x f(x) = x +2
0 0 + 2 = 2
1 1 + 2 = 3
f(x)
3
2 Im = IR
1
0 1 x
-
11
b) f(x) = 5x
x f(x) = 5x
0 5 . 0 = 0
1 5 . 1 = 5
Observe que a funo f(x) = 5x, uma funo linear, e uma reta que passa pela origem (0, 0), pois para x = 0 temos f(x) = 0, para construirmos o grfico basta obter apenas mais um ponto. Raiz ou zero da funo do 1o grau Dada a funo do 1o grau f(x) = ax + b, chama-se raiz ou zero da funo, o valor de x para qual ax + b = 0, ou seja o valor de x que anula a funo. Ento, para determinarmos a raiz ou zero da funo, fazemos f(x) = 0 e resolvemos a equao. Exemplo Determine a raiz das seguintes equaes: a) f(x) = 3x - 6
Resoluo: 3x 6 = 0 3x = 6
x = 6/3 x = 2 Observe que em f(x) = 3x 6, f(x) = 0 e x = 2, calculado anteriormente, o ponto (2, 0) a interseco da reta com o eixo x .
FUNO QUADRTICA (FUNO DO 2O
GRAU)
As funes do segundo grau, utilizando-se os mesmos critrios de equivalncia das funes do primeiro
grau, reduzem-se seguinte expresso:
f(x) = ax2 + bx + c
Esta maneira de apresentar a equao de segundo grau recebe o nome de forma ou frmula geral.
Temos trs coeficientes: onde a, b e c so nmeros reais, com a 0, e x a incgnita. Os nmeros a, b e
c so os coeficientes da funo.
Exemplos:
a) f(x) = 5x2 + 3x 2 a = 5 b = 3 c = 2
b) f(x) = x2 + 4x a = 1 b = 4 c = 0
c) f(x) = x2 5 a = 1 b = 0 c = 5
Observe que o coeficiente de a, nunca ser zero, pois se isto ocorrer no teremos mais uma funo do 2o
grau e sim uma funo do 1o grau.
f(x)
5
Im = IR
1 x
b) f(x) = 8x Resoluo: 8x = 0 . (1) x = 0/8 x = 0
-
12
Clculo das razes da funo do 2o grau
A existncia e o nmero de solues da funo f(x)= ax2
+ bx + c = 0 dependem do nmero b2 - 4ac, a
que chamaremos discriminante e representaremos pela letra grega (delta maiscula). Sempre ter duas
razes, elas at podem ser iguais.
Portanto, = b2 4ac
No entanto, utilizaremos a frmula de Bskara:
Logo,
Exemplos:
Resolver as seguintes equaes:
a) x2 8x + 12 = 0
a = 1, b = 8 e c = 12
(primeiro vamos calcular o valor de delta)
(substitumos a por 1, b por 8 e c por 12)
(Delta positivo)
(frmula de Baskara)
x = (8) + 16 (substitumos b por 8, delta por 16 e a por 1)
2(1)
x = 8 + 4
2
x = 12 / 2 = 6
x = 4 / 2 = 2
S = {6 ; 2}
-
13
b) x2 12x + 36 = 0
a = 1, b = - 12 e c = 36
(Delta igual a zero)
S = {6}
c) 2x2 4x + 3 = 0
a = 2, b = - 4 e c = 3
(Delta negativo)
S = { }, no existe raiz de nmero real negativo
-
14
REPRESENTAO GRFICA DA FUNO DO 2O
GRAU
O grfico desta funo uma curva plana denominada parbola, o domnio :Dom(f)=R e a imagem:
Im(f)=R.
O sinal do coeficiente do termo dominante (concavidade da parbola) : COEFICIENTE a
O sinal do coeficiente do termo dominante desta funo indica a concavidade da parbola ("boca
aberta").
O coeficiente "a" desempenha no grfico a propriedade de concavidade da parbola. Significa que se o
"a" for positivo (a>0), a parbola ter concavidade para cima (boca sorridente), como no exemplo:
Se este for negativo (a < 0), a parbola teria concavidade para baixo (boca triste). Veja o exemplo:
Calma, isso quer dizer que devemos calcular quais os valores de x que a parbola "corta" o eixo dos
X. Veja no exemplo o que "raiz" graficamente:
-
15
COEFICIENTE "c" : A funo do coeficiente "c" nos indicar onde a parbola "corta" o eixo Y.
Se ele for positivo ela ir "cortar" o eixo Y acima da origem; se for negativo ir "cortar" abaixo da
origem e; se for ZERO, ir cortar o eixo Y na origem, ou seja, ponto (0,0). Veja o exemplo:
Veja voc que os coeficiente no dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com "b"
negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinao de sinais.
COEFICIENTE "b"
A anlise do coeficiente "b" nos diz a inclinao que a parbola toma aps passar o eixo Y.
Primeiro olhe a figura abaixo:
-
16
Neste exemplo, o "b" negativo (b
-
17
Exemplo: Faa o esboo do grfico da seguinte funo
:
Resoluo:
Vamos primeiro calcular as razes usando BSKARA. Os coeficientes so: A=1, B= 1 e C= 2. Colocando na frmula, temos:
As duas razes so 2 e 1, ento j sabemos os pontos por onde a parbola corta o eixo X. No grfico, fica:
Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Ele vale 2, ento o grfico da parbola com certeza corta o eixo Y no ponto 2. Vamos marc-lo:
Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b sabemos que logo aps o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traando o esboo, temos o seguinte:
-
18
Estudo do Vrtice
O que vrtice de uma parbola?
- o ponto em que a parbola atinge seu valor mximo ou mnimo.
Veja os exemplos abaixo:
O vrtice de todas as parbolas tem uma caracterstica prpria, ele sempre se encontra "eqidistante"
de ambas as razes, ou seja, a coordenada "x" do vrtice fica exatamente no meio das coordenadas
das duas razes. A coordenada "x" do vrtice a mdia aritmtica das coordenadas "x" das razes,
isto , a soma das duas dividido por dois. Esta a frmula para encontrarmos o Xv.
-
19
Agora que j sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vrtice). Portanto a frmula para o
clculo de Yv :
Observando os grficos que representam a funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c:
Exemplo
Determinar os vrtices (Xv e Yv) da funo y = x2 - 2x + 3, escreva se a funo admite um
mximo ou um mnimo e determine esse mximo ou esse mnimo.
Resoluo: Vrtices
Xv = - (-2)/2 . 1 = b2 - 4ac Yv = -(-8)/4 . 1
Xv = 2/2 = (-2)2 - 4 . 1 . 3 Yv = 8/4
Xv = 1 = 4 - 12 = -8 Yv = 2
S = (1, 2)
a > 0 , a funo assume um valor mnimo
Yv = - a4
= - (-8) = 2
(4 . 1)
Resumidamente temos:
FUNO QUADRTICA
Chamamos de funo quadrtica, qualquer funo de IR em IR definida por f(x) = ax2 + bx + c, onde a
IR*, b IR e c IR. Observe que o coeficiente de a, nunca ser zero, pois se isto ocorrer no teremos mais uma funo do 2 grau, e sim uma funo do 1 grau. CONCAVIDADE DA PARBOLA
a > 0 concavidade da parbola voltada para cima
a < 0 concavidade da parbola voltada para baixo
Se a > 0, a funo assume um valor de mnimo:
Yv = - a4
Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:
Im = {y IR | y > - a4
}
Se a < 0, a funo assume um valor de mximo:
Yv = - a4
Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:
Im = {y IR | y < - a4
}
-
20
RAZES OU ZEROS DA FUNO QUADRTICA
Razes ou zeros da funo quadrtica f(x) = ax2 + bx + c so os valores de x para os quais a funo se anula (y = 0) Determinamos as razes da funo quadrtica resolvendo a equao: ax2 + bx + c = 0 o que pode ser feito aplicando a frmula resolutiva:
a
bx
2
onde: acb 42
INTERPRETAO GEOMTRICA DAS RAZES
Se 0 a funo tem dois zeros reais desiguais ( x e x ). Se 0 a funo tem um zero real duplo ( x= x ). Se 0 a funo no tem zero real.
0
0
0
2x 1x
x
y
2x 1x
x
y
21xx x
y
21xx x
y
x
y
x
y
-
21
VRTICE DA PARBOLA As coordenadas do vrtice so adquiridas atravs das frmulas:
a
bx
v2
e a
yv
4
IMAGEM DA FUNO QUADRTICA Observando os grficos que representam a funo quadrtica f(x) = ax2 + bx +c :
Exerccios: 1. Determine os coeficientes de a, b e c nas funes do 2 grau: a) y = x2 25 b) y = x2 + 2x 1 c) y = 5x2 + 13x d) y = 3x2 6x + 9 e) y = x2 18 f) y = x2 10x + 25 2. Dada a funo do 2 grau: y = 2x2 6 determine: a) f(5) b) f(- 2) c) f(0) 3. Construa o grfico da funo definida por cada uma das funes:
a) y = x2 4x + 3 b) y = 2x2 4x + 6 c) y = x2 + 6x d) y = x2 + 2 e) y = 2x2 + 2x 1 f) y = x2 4
vx
x
y 0a
vy
vx
Se a > 0, a funo assume um valor de
mnimo: a
yv
4
.
Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:
Im = { y IR |a
y4
}
x
y
vy
0a Se a < 0, a funo assume um valor de
mximo: a
yv
4
.
Assim o conjunto imagem da funo quadrtica ser:
Im = { y IR |a
y4
}
-
22
Respostas dos exerccios. 1. a) a = 1, b = 0 e c = - 25 b) a = 1, b = 2 e c = 1 c) a = 5, b = 13 e c = 0 d) a = 3, b = 6 e c = 9 e) a = 1, b = 0 e c = 18 f) a = 1, b = 10 e c = 25 2. a) 44 b) 2 c) 6 APLICAES ECONMICAS DAS FUNES DO 1 e 2 GRAU
Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funes, podemos relacionar as variveis x e y como:
a) Custo de produo de um dado produto e a matria-prima utilizada; b) Quantidade do produto vendido e o preo de venda desse produto; c) Custo total de produo e a quantidade produzida. OFERTA A B Indstria Comrcio Prest. De servios Mercado Diverses DEMANDA
O administrador dever ter como objetivo estabelecer as funes econmicas e procurar maximizar lucros e minimizar custos. LEI DA DEMANDA OU DA PROCURA
A quantidade de um produto demandado depende de vrias variveis, dentre elas, podemos citar: renda do consumidor, preo unitrio do produto, gosto do consumidor, etc. A lei da procura determina em quanto menor o preo de um determinado produto, mais ser a quantidade demandada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condies. Configuremos os conjuntos A e B e chamaremos o conjunto A de p( preo) e o conjunto B de qd(
quantidade de demanda). Na teoria das funes podemos associar (qd) com a varivel y e (p), com a varivel x, ou seja:
qd = ap + b (linear afim) ou qd = ap2 + bp + c (quadrtica)
-
23
Verificamos que, normalmente o grfico de qd em funo de p uma reta decrescente, pois as duas grandezas so inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o preo, menor ser a quantidade de demanda, e vice-versa. qd
p
INTERCEPTOS
Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) so chamados de interceptos da funo. Os pontos de forma(p, 0), so os interceptos de p, pois se um valor qd zero, a reta intercepta(corta) o eixo de p (eixo das abscissas, por analogia) e quando temos o ponto (0, qd) a reta intercepta o eixo de qd ( eixo das ordenadas). EXEMPLOS 1) Determine os interceptos, dada funo demanda: a) qd = -p + 1 Resoluo: p=0 qd = 0 qd q = ? p=?
qd = - p + 1 qd = - p + 1 qd = 0 + 1 0 = -p + 1 qd = 1 -1 = -p . (-1) 1 (p, qd) (p, qd) (0, 1) (1, 0)
Se p = 0, temos que qd = 1 Se qd = o, temos que p =1 p Interceptos: A = { 0, 1} 0 1 B = {1, 0}
2) A quantidade de demanda de televisores da marca KW-20 dada pela lei qd = 100 - 20p, onde qd representa a quantidade de demanda e o p o preo em reais. Represente graficamente a funo qd em funo do preo p. Resoluo: Encontrando os interceptos:
Se p = 0 qd = 100 20 . 0 qd = 100
Se qd = 0 0 = 100 20p -100 = -20p . (-1) 100 = 20p
p = 100 p = 5 20 Interceptos:
p = 0 qd = 100
qd = 0 p = 5
qd
100
p
0 5
-
24
Obs.: 1) A funo demanda( procura) qd decrescente, isto , aumentando o preo a demanda diminui.
2) O preo positivo (p 0) e a quantidade tambm positiva (qd 0), pois no h sentido em algum deles ser negativo. 3) Se p R$ 5,00 (valor mximo) a procura nula. 3) Quando o preo de venda de um videocassete de marca KW de R$ 120,00, nenhum vdeo vendido, porm quando o preo liberado gratuitamente, 100 vdeos so vendidos. Sabendo-se que a representao uma reta, determinar: a) A funo demanda. b) Esboar o grfico. c) Dar a demanda se o preo for R$ 60,00. d) Qual o preo de vdeo se a demanda de 75 unidades. Resoluo: (a) Vamos resolver por sistema de duas equaes:
Se p = 0 qd = 100
Se qd = 0 p = 120 A funo demanda qd = ap + b
I 100 = a . 0 + b Substituindo
II 0 = a . 120 + b multiplica-se a 2a por ( -1), temos: 100 = a . 0 + b (+) 0 = a . 120 - b 100 = -120
a
a = - 100 a = - 5 120 6
Se a = -5 100 = a . 0 + b 6 100 = -5 . 0 + b 6 b = 100 Ento: qd = - 5 p+ 100 funo demanda 6
-
25
(b)Grfico Interceptos: A( 0, 100)
B( 120, 0)
(c) Se p = 60, ento :
qd = -5 p+ 100 pela lei 6 qd = -5 . 60 + 100
6 qd = -5 . 60 + 100 6 qd = -5 (10) + 100 qd = -50 + 100
qd = 50 50 vdeos sero vendidos se o preo for R$ 60,00 (d) Se qd = 75, ento: qd = -5 p+ 100 pela lei 6 75 = -5 p + 100 6 75 - 100 = -5 p 6 -25 = -5 p . (-1)
6 25 = 5 p 6
25 . 6 = 5p 150 = 5p p = 150/5 p = 30,00 se foram vendidos 75 vdeos, o preo foi R$ 30,00 4) Se uma concessionria compra sempre 10 carros para qualquer preo do mercado, esboar o
grfico. Resoluo:
qd
100
0 120 p
-
26
A demanda ser sempre constante, ou seja, para qualquer preo p 0, sempre q = 10. neste caso temos uma funo constante. qd 10
0 p
5) A quantidade demandada de bolas de futebol da marca Penalty dada pela lei qd = 1600 p2: a) Esboar o grfico; b) Qual a demanda se o preo for R$ 30,00 a unidade. Resoluo: (a) A funo de demanda uma equao do 20 grau (quadrtica), portanto devemos encontrar as razes da equao. Atravs dos interceptos podemos calcular como:
Se p = 0 Se qd = 0 qd = 1600 p 0 = 1600 p2 (equao incompleta) qd = 1600 0 p2 = 1600 a > 0
qd = 1600 p = 1600
p = 40 Interceptos: qd A (0, 1600) B (40, 0) 1600 C (-40, 0) - 40 0 40 p
(b) Se p = 30, ento:
qd = 1600 p2 qd = 1600 (30)2 qd = 1600 900 qd = 700 sero vendidas 700 bolas, se o preo unitrio for de R$ 30,00.
-
27
Exerccios
1. Num estacionamento para automveis, o preo por dia de permanncia R$ 20,00. A esse
preo estacionam 50 automveis por dia. Se o preo cobrado for R$ 15,00, estacionaro 75 automveis. Admitindo linear a curva de demanda, obtenha sua equao e esboce o grfico. 2. Em um supermercado, a quantidade de demanda de CDs de Chitozinho e Xoror dada pela lei qd=225 p2, para o preo de R$ 10,00 a unidade, qual a quantidade de demanda? 3. Uma empresa vende 200 unidades de um produto por ms. Se o preo unitrio de R$ 5,00.
A empresa acredita que, reduzindo o preo em 20%, o nmero de unidades vendidas ser 50% maior.
a) Obter a equao de demanda admitindo-se ser uma equao de 10 grau; b) Esboce o grfico atravs dos interceptos.
LEI DA OFERTA
Analogamente lei da demanda, a quantidade de ofertada pelo produtor depende de vrios fatores, como: o preo da matria-prima, o preo do bem, tecnologia, etc. A lei da oferta determina que quanto maior o preo de um determinado produto, maior ser a quantidade maior ser a quantidade procurada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes as demais condies. Configuremos os conjuntos A e B e chamemos o conjunto A de p(preo) e o conjunto B de qo( quantidade ofertada). Na teoria das funes podemos associar (qo) com a varivel y e (p), com a varivel x, ou seja:
qo = ap + b (linear afim) ou qo = ap2 + bp + c (quadrtica)
No grfico verificamos que qo em funo de p uma reta crescente,( ao contrrio da quantidade de demanda), pois as grandezas so diretamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o preo(p), maior ser a quantidade ofertada(qo) e vice-versa.
qo
P EXEMPLOS 1) Quando o preo unitrio de um produto R$10,00, 5000 unidades de um produto so
colocados no mercado por ms; se o preo for R$12,00, 5500 unidades estaro disponveis. Admitindo que a funo ofertada seja do 10 grau e linear afim, obtenha suas equaes e esboce o grfico. Resoluo: Se uma funo do 10 grau, linear afim, teremos: f(x) = ax + b (funo linear afim) qo = ap + b (funo quantidade oferta) Pelo problema temos:
Se p = 10 qo = 5000u (I)
Se p = 12 qo = 5500u (II)
-
28
Devemos montar o sistema de equaes lineares, para encontrar os termos a e b.
I 5000 = 10a + b multiplicando a 1a equao por (-1), temos,:
II 5500 = 12a + b -5000 = -10a - b (+) 5500 = 12a + b 500 = 2a
a = 500 a = 250 2
Substituindo em I ou II, temos: 5000 = 10 . 250 + b 5000 = 2500 + b 5000 2500 = b b = 2500
Portanto a equao da leida oferta ser: qo = 250p+ 2500 Interceptos: Se p = 0 qo = 2500 Se qo = 0 p = - 10 A(0, 2500) B(-10, 0)
2) A funo dada por qo = -5 + 1/2p, com 10 < p < 20, onde p o preo por unidade e qo a
correspondente oferta de mercado. Construa o grfico. Resoluo:
p = 0 qo = - 5
p = 10 qo = 0
p = 20 qo = 5
qo
2500
-10 0 p
qo
5
0 10 20 p
-5 (oferta) 10 < p < 20, (qo > 0)
-
29
Exerccios lei da oferta 1. Seja a oferta de mercado de um produto dada por: qo = p2 11p + 28, com p < 60 (reais). Qual o valor da oferta para p = R$ 50,00? 2. Seja a oferta de mercado de uma utilidade dada por: qo = -20 + 2p, com p < 270 (reais).
a) Qual o valor da oferta para p = R$ 270,00? b) A que preo a oferta ser de 180 unidades? 3. A empresa WP, analisou a venda do produto lanterna pilha, e verificou-se que ao se fazer
investimentos em propaganda desse produto, suas vendas seriam 20% maiores a cada aumento de R$ 2,00 no preo unitrio da lanterna. Quando o preo de R$ 12,00 a empresa vende 500 unidades. Sabendo-se que a representao uma reta qual a lei da oferta?
EQUILBRIO DE MERCADO
Ponto de equilbrio de mercado o ponto de interseco do grfico entre a qd e a qo, ou seja o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas coordenadas so preo de equilbrio (pe) e a quantidade de equilbrio (qe). Podem ocorrer grficos como:
1) q
qo
PE qd
p
2) q qo
PE qe
qd
pe p
3) q
qo
qd
pe
p
qe PE
O grfico tem PE(pe, qe), localizado no 1o quadrante. Isso quer dizer que podemos consider-lo como ponto de equilbrio significativo.
Neste grfico temos um preo negativo, dizemos que um PE no significativo.
Neste grfico temos uma quantidade negativa, dizemos
que um PE no significativo.
-
30
Exemplos: 1) Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas obedecem respectivamente as funes lineares de preo abaixo: qd = 24 p qo = -20 + 10p Pede-se:
a) o preo e a quantidade de equilbrio b) esboar o grfico da situao
Resoluo:
a) Se PE a igualdade entre qo e qd, ento:
PE qo = qd ou qd = qo, teremos o PE: 24 p = 10p + p 24 + 20 = 10p + p
44 = 11p 44/11= p p = 4 Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 24 p qo = -20 + 10(4) qd = 24 4 qo = -20 + 40 qd = 20 qo = 20 Logo, pe = 4 e qe = 20
b) Grfico p q
interceptos de qd p = 0 qd = 24 A(0, 24)
qd = 0 p = 24 B(24, 0)
interceptos de qo p = 0 qo = -20 C(0, -20)
qo = 0 p = 2 D(2, 0)
qo, qd 24 qo
20 PE(4, 20) qd
2 4 24 p -20
-
31
2) Dadas: qd = 16 p
2 e qo = -3,5 + 3,5p, determinar o preo de equilbrio e a quantidade de
equilbrio (qe).
Resoluo:
pe qd = qo 16 p
2 = -3,5 + 3,5p
16 + 3,5 = p2 + 3,5p
19,5 = p2 + 3,5p
p2 + 3,5p 19,5 =0
= b2 4ac
= 3,52 4(1)(-19,5)
= 12,25 + 78
= 90,25
qe = ? Substituindo em qd ou qo, temos: qd = 16 (3)
2 qo
= -3,5 + 3,5p
qd = 16 9 qo = -3,5 + 3,5(3)
qd = 7 qo = -3,5 + 10,5
qo
= 7
Logo, pe = 3 e qe = 7
Exerccios Equilbrio de Mercado
1. Determinar o preo de equilbrio em cada um dos seguintes casos:
a) qd = 20 - 5p e qo= 2p 8 b) qd = 10 0,2p e qo = 1/2p - 11
2. Determinar o preo de equilbrio, a quantidade de equilbrio. qd = 34 5p qo = -8 + 2p
3. Em uma certa localidade, a funo oferta anual de um produto agrcola 0,01qo = p + 3, onde p o preo por Kg e qo expresso em toneladas:
a) que preo induz uma produo de 500 toneladas? b) Se o preo por kg for R$ 3,00, qual a produo anual? c) Qual o ponto de equilbrio de mercado, se a funo demanda anual for 0,01qd = -p + 10?
RECEITA TOTAL Poderemos definir receita total como sendo o valor em moeda que o produtor recebe pela venda de x unidades se um determinado produto. Assim sendo, se chamarmos de p, (o preo constante) do produto a ser vendido e q, a quantidade produzida, teremos uma funo linear do tipo:
f(x) = a . x RT = p . q
OBS.: o domnio da funo na receita total q (quantidade) e RT a imagem.
p = - b 2a
p = - 3,5 90,25 2.1
p = - 3,5 9,5 2
p = -3,5 + 9,5 p = 6 = 3 2 2
p = -3,5 - 9,5 p = -13 = -6,5 2 2
-
32
Exemplos: 1) Se o preo de um fogo da marca KW de R$ 280,00, determine a receita total para venda de 22 foges. Resoluo: p = 280 q = 22 RT = ? RT = p . q RT = 280 . 22 RT = 6160 (receita total para o fabricante) Representao grfica A semi-reta linear do grfico de RT ter origem no ponto de interseco das retas, portanto na origem dos eixos coordenados, pois q = 0.
Se p = 0 RT = 0 A (0, 0)
q = 0 RT = 0 B(0, 0) OBS.: Se o preo for varivel, a quantidade de demanda ir variar com o preo e a receita, sendo o produto do preo pela quantidade, tambm ir variar, o que significa que o grfico no necessariamente uma reta. 2) Se a demanda de um determinado produto dada por qd = -p/4 + 20, teremos que p = - 4q + 80. Resoluo: RT= p .q RT = (-4q + 80) . q RT = - 4q
2 + 80q
- 4q2 + 80q = 0 (equao incompleta)
- 4q2 + 80q (dividir por (-4))
q2 - 20q = 0
Por Bhskara: q=20
a.2
bq
=
)1.(2
400)20( =
2
2020 = q=0
Grfico:
RT 400 V
0 10 20 q
Coordenadas do vrtice: qv = -b = -(-20) = 20 = 10 2a
2(1) 2
clculo de
= b2 4ac
= (-20)2 4(1) . 0
= 400
V(10, 400)
-
33
Exerccios
1) O preo de uma bicicleta de marca x de R$ 190,00, determine a receita total para a venda de: a) q = 12 bicicletas
b) q = 8 bicicletas
c) q = 27 bicicletas
CUSTO TOTAL
Se um fabricante abre uma empresa e se propem a fabricar um determinado produto, no s ter receitas, como tambm ter gastado, que so denominados como custos empresariais. Podemos classific-las como: A) Custo Varivel: o custo que depender da quantidade produzida e em conseqncia do
material utilizado, como: embalagens, matria-prima, mo-de-obra, mquinas, etc. O grfico uma semi-reta que parte da origem e a funo linear representada por: CV = a . q
B) Custo Fixo: o custo que no depende da quantidade produzida. So os custos como:
aluguel, gua, luz, telefone, salrios, etc. O grfico uma semi-reta que ser paralela ao eixo 0q, pelo ponto b(custo no perodo) e a funo constante representada por: CF = b
CF b CF 0 q C) Custo Total: o custo dado pela somatrio do custo varivel, com o custo fixo. calculado pela frmula abaixo: CT = CV+ CF
-
34
Onde: CF = b CV = p . q Logo, a funo linear f(x) = ax + b
CT = CV + CF CT E o grfico : CT CV b CF 0 q
Exemplo: Esboar o grfico para o CT por CT = 2q + 4 Resoluo:
CV = 2q CF = 4
Logo se q = 0 CV = 0 A(0, 0)
q =1 CV = 2 B(1, 2) CT = 2q + 4
Se q = 1 CT = 2. 1 + 4 CT = 6 C(1, 6)
q = 0 CT = 2 . 0 + 4
CT = 4 D(0, 4) CT CT 6 C CV
D 4 CF
2 B
A
0 1 q
-
35
Exerccios 1. Suponha que a funo C(q) = 20q + 40 represente o custo total de produo de um determinado objeto, onde C o custo em reais e q o nmero de unidades produzidas. Determine:
a) o custo de fabricao de 6 unidades desse produto b) quantas unidades devem ser produzidas para que o custo seja de R$ 12.000,00?
2. Uma usina de acar tem um custo total mensal dado pela lei CT(q) = 1/10q2 + 5q + 800, onde q representa a quantidade de toneladas produzidas mensalmente e o custo em reais.
Determinar: a) o custo mensal fixo b) o custo para a produo de 10 toneladas
PONTO CRTICO (BREAK-EVEN POINT)
o ponto de interseco entre o grfico da receita total e do custo total. Nesse ponto ocorre a indicao da quantidade produzida tal que o lucro total zero. a partir desse ponto que se analisa atravs da quantidade mnima produzida para que se tenha lucro positivo. Esse ponto onde o lucro nulo e a receita igual ao custo total (RT = CT). Tambm denominado de ponto de nivelamento. Exemplos
1) Numa empresa, o custo total dado pela funo CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela funo RT = 15.000q. Qual o ponto crtico dessa empresa ? Resoluo: RT = 15.000q CT = 500.000 + 10.000q O ponto crtico ser o valor de q que anula as funes, portanto: RT = CT 15.000q = 500.000 + 10.000q 15.000q 10.000q = 500.000 5.000q = 500.000 q = 500.000 5.000 q = 100 (o ponto crtico dessa empresa ser de 100 quantidades)
2) Se RT e CT so dadas, respectivamente, por RT = 14q e CT = 10q +8. Determine o ponto crtico. Resoluo:
RT = 14q CT = 10q + 8 RT = CT 14q = 10q + 8 14q 10q = 8 4q = 8 q = 8 q = 2 (o ponto crtico dessa empresa ser de 2 quantidades)
4
-
36
LUCRO TOTAL (Lucro positivo)
Chama-se de funo Lucro Total, a diferena entre a Receita Total e o Custo Total: LT = RT CT. Logo, para uma anlise econmica, se RT > CT, teremos lucro positivo.
Exemplo: Numa empresa, o custo total dado pela funo CT = 500.000 + 10.000q e a receita total pela funo RT = 15.000q. Qual a funo que representa o lucro total e o valor do lucro total para q
=100 e q = 120? Resoluo: RT = 15.000q CT = 500.000 + 10.000q LT = RT - CT LT = 15.000q - (500.000 + 10.000q) LT = 15.000q 500.000 10.000q LT = 5.000q 50.000 Funo Lucro Total PREJUZO (Lucro negativo) Chama-se de funo prejuzo, a diferena entre Custo Total e Receita Total: PR = CT RT. Para uma anlise econmica, se RT < CT, haver prejuzo. No exemplo anterior, se q < 100,
teremos: Resoluo:
CT = 500.000 + 10.000q RT = 15.000q PR = CT - RT PR = 500.000 + 10.000q 15.000q PR = 500.000 - 5.000q (funo prejuzo) Exerccios 1. Determine o Ponto Crtico (Break-even-point), nos casos abaixo:
a) CT = 3q + 5 e RT = 4q b) CT = 2q + 10 e RT = 4q
2. Uma editora vende certo livro por R$ 60,00 a unidade. Seu custo fixo R$ 10.000,00 por ms e o custo varivel R$ 40,00. Qual o ponto de nivelamento? 3. Determine a funo que representa o lucro total:
a) CT = 3q + 5 e RT = 4q c) CT = 2q + 10 e RT = 4q
4. Conhecendo-se a funo Custo Total CT = 16.000 + 10q e a Receita Total RT = 14q. Determine:
custo fixo; custo varivel; o preo unitrio do produto; o ponto crtico; o lucro total (expresso).
Se tivermos q = 100 LT = zero Se tivermos q = 120 LT = 5000 . 120 500.000 LT = 600.000 500.000 LT = 100.000 (lucro positivo)
Se q = 90 PR = 500.000 - 5.000q PR= 500.000 5000 . 90 PR= 500.000 450.000 PR= 50.000 Prejuzo (lucro negativo)