Apostila de Matemática 06 – Trigonometria
1.0 Triângulo Retângulo
1.1 Introdução
Quanto mais o ângulo ou o índice, mais
íngreme o triângulo retângulo é.
AlturaÍNDICE
Afastamento
Área do Triângulo Retângulo:
.
2
b hA
1.2 O Triângulo Retângulo
ABC = Ângulo A + B+ C = 180º
 = 90º B + C = A B + C = 90º
a, b, c = Lados ² ² ²a b c
a = Hipotenusa.
b = Cateto Oposto
c = Cateto Adjacente
1.3 Seno, Cosseno e Tangente
. .
s n .
Altura b C OSeno e OU OU
Percurso a H
. .
.
Afastamento c C ACosseno cos OU OU
Percurso a H
. .
. .
Altura b C OTangente tg OU OU
Afastamento c C A
. .
s n .
c C Ae OU
a H
. .
.
b C Ocos OU
a H
. .
. .
c C Atg OU
b C O
s n
s n
e cos
cos e
1.3.1 Relação Fundamental Entre Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo
² ² 1sen cons cos
sentg
1.4 Tabela dos Ângulos Notáveis
45° 30° 60°
2
2
2
2
1
2
1
2
3
2
3
2
3
3 31
sen
tg
cos
2.0 Quaisquer Ângulos
2.1 Introdução
A, B, C = Ângulos
a, b, c = Lados
O = Centro da Circunferência
R = Raio
Área de um triângulo qualquer:
1
2área S b c sen A
2.2 Seno e Cosseno de Ângulos Agudos
Serve para calcular senos e cossenos maiores que 90°:
(180 )sen sen cos cos(180 )
2.3 Lei dos Senos e Cossenos
Lei do Seno: Normalmente usado quando a questão dá 2 ou 3 ângulos.
2a b c
RsenA senB senC
Lei do Cosseno: Normalmente usado quando a questão dá 1 ângulo e 2 ou 3
lados.
² ² ² 2. . .cos
² ² ² 2. . .cos
² ² ² 2. . .cos
a b c b c A
b a c a c B
c a b a b C
3.0 Conceitos Básicos
3.1 Introdução
Arco: Parte de uma circunferência formada
por dois pontos.
Ângulo: Todo arco tem um ângulo central.
Raio: Uma reta que vai do centro do círculo
até o final deste.
3.2 Comprimentos e Medidas
Comprimento da Circunferência: C 2 r
Comprimento do Arco: .l r
π rad = 180°
π rad = 10800’ (minutos)
1° = 60’
0,1° = 0,6’
Transformando de Grau para Rad: 180
rad
Transformando de Grau e minutos para Rad: minutos
10800rad (transforma o grau
em minutos e soma com os minutos já existentes)
Transformando de Rad para Grau: 180
3.3 Circunferência Trigonométrica
O raio é igual a 1 e o sentido é anti-horário.
Quadrantes
3.4 Arcos Côngruos (Congruentes)
Em graus: .360 , .k com k Z
Sendo k = número de voltas.
Em rad: .2 , .x k com k Z
3.5 Definindo o Menor Arco
Pede-se para definir o menor arco quando ângulo dado passa de 1 volta.
Em graus:
.360k y
Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, faz: 360° – α.
Em Rad:
.2y
x ks
Divide-se por 2π (360°), sendo ele na mesma base que o y. Depois, corta-se o π
e o denominador (s) e divide. No final, coloca-se na resposta o π e a base.
Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, converte para graus, faz:
360° – α, e converte novamente para rad.
.2y
x ks
Converte tudo em graus.
Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, faz: 360° – α.
4.0 Funções
4.1 Relação Fundamental Entre Seno, Cosseno e Tangente
² ² 1sen cons cos
sentg
4.2 Valores Notáveis do Seno, Cosseno e Tangente
x senx x cosx x tgx
0 0 0 0 0 0
π/6 (30°)
π/6 (30°)
π/6 (30°)
π/4 (45°)
π/4 (45°)
π/4 (45°) 1
π/3 (60°)
π/3 (60°)
π/3 (60°)
π/2 (90°) 1 π/2 (90°) 0 π/2 (90°) não é definida
π (180°) 0 π (180°) -1 π (180°) 0
3π/2 (270°) -1 3π/2 (270°) 0 3π/2 (270°) não é definida
2π (360°) 0 2π (360°) 1 2π (360°) 0
4.3 Outros Valores do Seno, Cosseno e Tangente
Quando o grau está no 2º quadrante:
Seno: (180 )sen sen
Cosseno: cos(180 ) cos
Tangente: (180 )tg tg
Quando o grau está no 3º quadrante:
Seno: (180 )sen sen
Cosseno: cos(180 ) cos
Tangente: (180 )tg tg
Quando o grau está no 4º quadrante:
Seno: (360 )sen sen
Cosseno: cos(360 ) cos
Tangente: (360 )tg tg
2
2
1
2
3
2
1
2
2
2
3
2
3
3
3
4.4 Função do Seno
:f R R
( )x f x senx
( )D f R
Im( ) ( 1,1)f
Condição de existência: 1 1senx
Função Ímpar: senx = -sen(-x)
Quando o x está no 1ª e 2ª Quadrante, o seno é positivo.
Quando o x está no 3ª e 4ª Quadrante, o seno é negativo.
A curva do gráfico é chamada de senóide.
4.4 Função do Cosseno
:f R R
( ) cosx f x x
( )D f R
Im( ) ( 1,1)f
Condição de existência: 1 cos 1x
Função Par: cosx = cos(-x)
Quando o x está no 1ª e 4ª Quadrante, o seno é positivo.
Quando o x está no 2ª e 3ª Quadrante, o seno é negativo.
A curva do gráfico é chamada de cossenóide.
4.5 Função da Tangente
,2
x k k Z
( )x f x tgx
( ) { | , }2
D f R x R x k k Z
Im( )f R
Função Ímpar: tgx = -tg(-x)
Quando o x está no 1ª e 3ª Quadrante, a tangente é positiva.
Quando o x está no 2ª e 4ª Quadrante, a tangente é negativa.
A curva do gráfico é chamada de tangentóide.
Quando o x tende aos valores de 2
e 3
2, ele tende ao infinito e nunca toca
neles, pois a tangente não se define nesses valores.
As retas verticais tracejadas que representam os valores de x 2
e 3
2 são
chamadas de assíntotas.
4.6 Cossecante, Secante e Cotangente
Cossecante:
1cossecx , ,x k k Z
senx
Secante:
1secx , ,
cos 2x k k Z
x
Cotangente:
1cotgx , ,x k k Z
tgx OU
coscotgx , ,
xx k k Z
senx
OBS:
1Tangente tg
cotg
5.0 Trigonometria – Relações
5.1 Relações Fundamentais
sen²x+cos²x=1 tgxcos
senx
x
cos xcotgx
senx
1secx
cos x
1cossecx
senx
1cotgx
tgx
cotg²x+1=cossec²x tg²x+1=sec²x
6.0 Trigonometria – Transformações
6.1 Fórmulas de Adição
Fórmulas do Seno
sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa
sen(a-b)=sena.cosb-senb.cosa
Fórmulas do Cosseno
cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb
cos(a-b)=cosa.cosb+sena.senb
Fórmulas da Tangente
tg(a+b)=1 .
tga tgb
tga tgb
tg(a-b)=1 .
tga tgb
tga tgb
6.2 Fórmulas de Arco Duplo
Fórmula do Seno
sen2a=2.sena.cosa
Fórmulas do Cosseno
cos2a=cos²a-sen²a
cos2a=1-2sen²a
cos2a=2cos²a-1
Fórmula da Tangente
2.tg2a=
1 ²
tga
tg a