Apostila de Matemática 06 – Trigonometria

1.0 Triângulo Retângulo

1.1 Introdução

Quanto mais o ângulo ou o índice, mais

íngreme o triângulo retângulo é.

AlturaÍNDICE

Afastamento

Área do Triângulo Retângulo:

.

2

b hA

1.2 O Triângulo Retângulo

ABC = Ângulo A + B+ C = 180º

 = 90º B + C = A B + C = 90º

a, b, c = Lados ² ² ²a b c

a = Hipotenusa.

b = Cateto Oposto

c = Cateto Adjacente

1.3 Seno, Cosseno e Tangente

. .

s n            .

Altura b C OSeno e OU OU

Percurso a H

. .           

.

Afastamento c C ACosseno cos OU OU

Percurso a H

. .           

. .

Altura b C OTangente tg OU OU

Afastamento c C A

. .

s n      .

c C Ae OU

a H

. .       

.

b C Ocos OU

a H

. .       

. .

c C Atg OU

b C O

s n

s n

e cos

cos e

1.3.1 Relação Fundamental Entre Seno, Cosseno e Tangente de um Ângulo Agudo

² ² 1sen cons cos

sentg

1.4 Tabela dos Ângulos Notáveis

45° 30° 60°

2

2

2

2

1

2

1

2

3

2

3

2

3

3 31

sen

tg

cos

2.0 Quaisquer Ângulos

2.1 Introdução

A, B, C = Ângulos

a, b, c = Lados

O = Centro da Circunferência

R = Raio

Área de um triângulo qualquer:

1

2área S b c sen A

2.2 Seno e Cosseno de Ângulos Agudos

Serve para calcular senos e cossenos maiores que 90°:

(180 )sen sen cos cos(180 )

2.3 Lei dos Senos e Cossenos

Lei do Seno: Normalmente usado quando a questão dá 2 ou 3 ângulos.

2a b c

RsenA senB senC

Lei do Cosseno: Normalmente usado quando a questão dá 1 ângulo e 2 ou 3

lados.

² ² ² 2. . .cos

² ² ² 2. . .cos

² ² ² 2. . .cos

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

3.0 Conceitos Básicos

3.1 Introdução

Arco: Parte de uma circunferência formada

por dois pontos.

Ângulo: Todo arco tem um ângulo central.

Raio: Uma reta que vai do centro do círculo

até o final deste.

3.2 Comprimentos e Medidas

Comprimento da Circunferência: C 2 r

Comprimento do Arco: .l r

π rad = 180°

π rad = 10800’ (minutos)

1° = 60’

0,1° = 0,6’

Transformando de Grau para Rad: 180

rad

Transformando de Grau e minutos para Rad: minutos

10800rad (transforma o grau

em minutos e soma com os minutos já existentes)

Transformando de Rad para Grau: 180

3.3 Circunferência Trigonométrica

O raio é igual a 1 e o sentido é anti-horário.

Quadrantes

3.4 Arcos Côngruos (Congruentes)

Em graus: .360 ,        .k com k Z

Sendo k = número de voltas.

Em rad: .2 ,        .x k com k Z

3.5 Definindo o Menor Arco

Pede-se para definir o menor arco quando ângulo dado passa de 1 volta.

Em graus:

.360k y

Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, faz: 360° – α.

Em Rad:

.2y

x ks

Divide-se por 2π (360°), sendo ele na mesma base que o y. Depois, corta-se o π

e o denominador (s) e divide. No final, coloca-se na resposta o π e a base.

Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, converte para graus, faz:

360° – α, e converte novamente para rad.

.2y

x ks

Converte tudo em graus.

Se o ângulo for negativo: Depois de achar o ângulo, faz: 360° – α.

4.0 Funções

4.1 Relação Fundamental Entre Seno, Cosseno e Tangente

² ² 1sen cons cos

sentg

4.2 Valores Notáveis do Seno, Cosseno e Tangente

x senx x cosx x tgx

0 0 0 0 0 0

π/6 (30°)

π/6 (30°)

π/6 (30°)

π/4 (45°)

π/4 (45°)

π/4 (45°) 1

π/3 (60°)

π/3 (60°)

π/3 (60°)

π/2 (90°) 1 π/2 (90°) 0 π/2 (90°) não é definida

π (180°) 0 π (180°) -1 π (180°) 0

3π/2 (270°) -1 3π/2 (270°) 0 3π/2 (270°) não é definida

2π (360°) 0 2π (360°) 1 2π (360°) 0

4.3 Outros Valores do Seno, Cosseno e Tangente

Quando o grau está no 2º quadrante:

Seno: (180 )sen sen

Cosseno: cos(180 ) cos

Tangente: (180 )tg tg

Quando o grau está no 3º quadrante:

Seno: (180 )sen sen

Cosseno: cos(180 ) cos

Tangente: (180 )tg tg

Quando o grau está no 4º quadrante:

Seno: (360 )sen sen

Cosseno: cos(360 ) cos

Tangente: (360 )tg tg

2

2

1

2

3

2

1

2

2

2

3

2

3

3

3

4.4 Função do Seno

:f R R

( )x f x senx

( )D f R

Im( ) ( 1,1)f

Condição de existência: 1 1senx

Função Ímpar: senx = -sen(-x)

Quando o x está no 1ª e 2ª Quadrante, o seno é positivo.

Quando o x está no 3ª e 4ª Quadrante, o seno é negativo.

A curva do gráfico é chamada de senóide.

4.4 Função do Cosseno

:f R R

( ) cosx f x x

( )D f R

Im( ) ( 1,1)f

Condição de existência: 1 cos 1x

Função Par: cosx = cos(-x)

Quando o x está no 1ª e 4ª Quadrante, o seno é positivo.

Quando o x está no 2ª e 3ª Quadrante, o seno é negativo.

A curva do gráfico é chamada de cossenóide.

4.5 Função da Tangente

,2

x k k Z

( )x f x tgx

( ) { | , }2

D f R x R x k k Z

Im( )f R

Função Ímpar: tgx = -tg(-x)

Quando o x está no 1ª e 3ª Quadrante, a tangente é positiva.

Quando o x está no 2ª e 4ª Quadrante, a tangente é negativa.

A curva do gráfico é chamada de tangentóide.

Quando o x tende aos valores de 2

e 3

2, ele tende ao infinito e nunca toca

neles, pois a tangente não se define nesses valores.

As retas verticais tracejadas que representam os valores de x 2

e 3

2 são

chamadas de assíntotas.

4.6 Cossecante, Secante e Cotangente

Cossecante:

1cossecx , ,x k k Z

senx

Secante:

1secx , ,

cos 2x k k Z

x

Cotangente:

1cotgx , ,x k k Z

tgx OU

coscotgx , ,

xx k k Z

senx

OBS:

1Tangente tg

cotg

5.0 Trigonometria – Relações

5.1 Relações Fundamentais

sen²x+cos²x=1 tgxcos

senx

x

cos xcotgx

senx

1secx

cos x

1cossecx

senx

1cotgx

tgx

cotg²x+1=cossec²x tg²x+1=sec²x

6.0 Trigonometria – Transformações

6.1 Fórmulas de Adição

Fórmulas do Seno

sen(a+b)=sena.cosb+senb.cosa

sen(a-b)=sena.cosb-senb.cosa

Fórmulas do Cosseno

cos(a+b)=cosa.cosb-sena.senb

cos(a-b)=cosa.cosb+sena.senb

Fórmulas da Tangente

tg(a+b)=1 .

tga tgb

tga tgb

tg(a-b)=1 .

tga tgb

tga tgb

6.2 Fórmulas de Arco Duplo

Fórmula do Seno

sen2a=2.sena.cosa

Fórmulas do Cosseno

cos2a=cos²a-sen²a

cos2a=1-2sen²a

cos2a=2cos²a-1

Fórmula da Tangente

2.tg2a=

1 ²

tga

tg a