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Módulo 2
327
Aplicações da Integral
Nesta seção vamos abordar uma das aplicações
matemático – a determinação da área de uma região R do plano, que
estudamos na Unidade 7.
f (x) e g(x) sejam funções con-
a, b e que f (x) g(x) para todo x em
a, b . Então, a área da região limitada acima por y f (x) , abaixo por
y g(x) , à esquerda pela reta x a e à direita pela retax b , confor-
A f (x) g(x) dxa
b
.
A partir deste momento passaremos a examinar
as aplicações do conteúdo estudado na Unidade anterior.
Curso de Graduação em Administração a Distância
328
x0 a b
y
f(x)
g(x)
[ ]
A
Figura 8.1
-
de integração. Segue abaixo um procedimento sistemático que podemos
seguir para estabelecer a fórmula, utilizando os seguintes passos.
Passo 1.
acima e qual limita abaixo.
Passo 2. a e b serão
as abscissas x dos dois pontos de interseção das curvas y f (x)
e y g(x) . Para tanto iguala-se f (x) e g(x) , ou seja, faz
f (x) g(x) e resolve-se a equação resultante em relação a x.
Passo 3.
curvas.
Observação
f (x) , pelas retasx a e x b e o eixo x, onde f (x) é uma
função contínua sendo f (x) 0 , para todo x em a, b , conforme
Módulo 2
329
x0
a by
f(x)
A
Figura 8.2
O cálculo da área A é dado por:
A f (x) dxa
b
,
Apresentaremos alguns exemplos de cálculo de área entre duas curvas:
Exemplo 8.1 Determinar a área da região limitada entre as curvas:
y f (x) x 6 e y g(x) x2 .
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região
y
x0−1 1 2 3−2
2
4
6
8
10
Figura 8.3
Curso de Graduação em Administração a Distância
330
Passo 2. Para encontrar os limites de integração ,fazemos
f (x) g(x) , isto é, x 6 x2 ou x2 x 6, que fornece
x2 x 6 0
da equação acima, x 2 e x 3 , que serão os limites de inte-
gração. Observe, pelo x 6 x2 , para todo
x em 2, 3 .
Passo 3. Calculando a área da região limitada por:
y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 temos :
A f (x) g(x) dxa
b
= x 6 x2
2
3
dx x 6 x2 dx2
3
=x2
26x
x3
32
3
=32
26 3
33
3
( 2)2
26 ( 2)
( 2)3
3
=9
2+ 18 32 4
212
8
3
=9
2+ 18 9 2 12 +
8
3
9
29 10
8
3
9 18
2
30 8
3
=27
2
22
3
27
2
22
3 =
81 + 44
6
125
6 u.a.
Portanto, a área limitada por
y f (x) x 6 e y g(x) x2 em 2, 3 é 125
6
unidades de área.
Exemplo 8.2 Determinar a área da região limitada por
y f (x) 4 e y g(x) x2 .
Módulo 2
331
Resolução: Utilizando o procedimento sistemático apresentado
acima, temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
x0−1 1 2−2
1
2
3
4
5
Figura 8.4
Passo 2. Para encontrar os limites de integração fazendo
f (x) g(x) ,temos,4 x2 ou x2 = 4. Logo,x 4 = 2 , ou seja,
x1
2 e x2
2. Assim,a 2 e b 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 ,
em 2, 2 será:
A f (x) g(x) dxa
b
= 4 x2 dx 4xx3
32
2
2
2
= 4 223
34 ( 2)
( 2)3
3
= 88
38
8
38
8
38 +
8
3
= 88
3+ 8
8
3= 16 2
8
3= 16
16
3
=48 16
3
32
3 u.a.
Portanto, a área limitada por y f (x) 4 e y g(x) x2 em
2, 2 é 32
3unidades de área.
Curso de Graduação em Administração a Distância
332
Exemplo 8.3 Determinar a área da região limitada por
y f (x) 8 x2 e g(x) x2 .
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região:
y
x0−1 1 2−2
1
2
3
4
5
6
7
8
Figura 8.5
Passo 2. Para encontrar os limites de integração, fazemos
f (x) g(x) , isto é, 8 x2 x2
, que fornece 8 2 x2 e
x1
2 e x2
2 . Assim,a 2 e b 2 .
Passo 3. A área da região limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2
será:
A f (x) g(x) dxa
b
8 x2 x2 dx2
2
= 8 2 x2 dx2
2
8 x 2x3
32
2
= 8 2 223
38 ( 2) 2
( 2)3
3
= 16 28
316 2
8
3
Módulo 2
333
= 1616
3+ 16
16
3= 32 2
16
3
= 3232
3=
96 32
3
64
3 u.a.
Portanto, a área limitada por y f (x) 8 x2 e g(x) x2 em
2, 2 é 64
3unidades de área.
Exemplo 8.4 Determinar a área limitada pela curva y f (x) x2 5x ,
o eixo x e as retasx 1 e x 3.
Resolução: Temos os seguintes passos:
Passo 1. Esboço da região.
y
x0
1 1,5 2,52 3
−1
−6
−5
−4
−3
−2
Figura 8.6
Passo 2. Os limites de integração sãoa 1 e b 3 .
Passo 3. A área limitada pela curva y f (x) x2 5x o eixo x
e as retasx 1 e x 3, será:
Curso de Graduação em Administração a Distância
334
A x2 5x dx1
3 x3
35
x2
21
3
=33
35
32
2
13
35
12
2
=27
35
9
2
1
35
1
2
= 945
2
1
3
5
2
18 45
2
2 15
6
=27
2
13
6
27
2
13
6
=81 + 13
6
68
6
34
3
34
3u.a.
Portanto, a área limitada pela curva y f (x) x2 5x , o eixo x
e as retas x 1 e x 3 é 34
3unidades de área.
Exemplo 8.5 Encontrar a área da região limitada pela curva
y f (x) sen x e pelo eixo x de 0 a 2 .
Resolução:
Passo 1. Esboço da região:
0
1
1
y
x2 2
Figura 8.7
Módulo 2
335
Passo 2. Para determinar os limites de integração, temos, pelo
0 , , f (x) sen x 0 e no interva-
lo , 2 , f (x) sen x 0 .
Passo 3. A área da região limitada pela curva f (x) sen x , e pelo
eixo x de 0 até 2 será:
A sen x dx sen x dx2
cosx0
cosx2
0
= cos ( cos 0) + cos 2 ( cos
= ( 1) ( 1) + 1 ( 1)
= 1 + 1 + 1 1 = 2 + 2 = 2 + 2 = 4 u.a.
Portanto, a área da região limitada pela curva f (x) sen x e pelo eixo
x de 0 até 2 é 4 unidades de área.
Exercícios propostos – 1
a) y
x0 1 2 3 4
1
2
3
4
5
Figura 8.8
dúvidas, busque orientação junto ao
Curso de Graduação em Administração a Distância
336
Onde y f (x) x 1 .
b) y
x0 1 2 3 4
1
2
3
4
Figura 8.9
Onde y f (x) x .
2) Determinar a área da região limitada por:
y f (x) x e y g(x) x2 x .
3) Determinar a área da região limitada por y f (x) x 1, o eixo
x e as retasx 2 e x 0 .
4) D e t e r m i n a r a á r e a d a r e g i ã o l i m i t a d a p o r
y f (x) x2 e y g(x) x2 4x .
5) Calcular a área da região limitada por y f (x)1
x , o eixo x e
as retasx 1 e x 4 .
Volume de sólido de revolução
-
centro de
massa e de momento de inércia. Como é difícil determinar o volume de
um sólido de forma irregular, começaremos com objetos que apresentam
formas simples. Incluídos nesta categoria estão os sólidos de revolução.
Módulo 2
337
Um sólido de revolução é gerado pela rotação de uma região do pla-
eixo de revolução, contida no plano.
Seja S o sólido gerado pela rotação da região do plano limitada
por y f (x) , o eixox , x a e x b em torno do eixox . Então o
volume V deste sólido é dado por:
V f (x)2
a
bdx.
-
tes aos usados para calcular a área de uma região plana e limitada, mas
x0a b
y
y = f(x)
Figura 8.10
Curso de Graduação em Administração a Distância
338
x
y
Figura 8.11
Analogamente, quando o eixo de revolução é o eixo y e a frontei-
ra da região plana é dada pela curva x g(y) e o eixo y entre y c e
y d , então o volume V do sólido de revolução é dado por
V g y2
dy.c
d
x0
c
d
y
x = g(y)
Figura 8.12
Módulo 2
339
Sejam f x e g x funções contínuas no intervalo a,b e su -
mos que f x g x 0 para todo x a,b . Então o volume do sólido
de revolução gerado pela rotação em torno do eixox , da região limitada
pelas curvas y f x e y g x e as retas x a e x b é dado por:
V f x2
g x2
a
bdx.
x0a b
y
y = f(x)
y = g(x)
Figura 8.13
x
y
Figura 8.14
Curso de Graduação em Administração a Distância
340
Exemplo 8.6 A região limitada pela curva y x2 , o eixo x e as retas
x 1 e x 2 , sofrem uma rotação em torno do eixox . Encontre o
volume do sólido de revolução gerado.
Resolução:
x0 1 2
1
4
y
y = f(x)
Figura 8.15
Temos:
V f x2
dxa
bx2
2
1
2
dx
x5
51
2
532 1
31
5, unidades de volume (u.v.).
Exemplo 8.7 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por y x3 , y 0 e x 1 em torno do eixo y .
Módulo 2
341
Resolução:
x0 0,5−0,5−1 1 1,5 2
0,5
−0,5
−1
1,5
2
1
y
y = x3
Figura 8.16
De y x3 temosx y1/3 . Logo, o volume do sólido obtido pela
revolução em torno do eixo y é dado por
V g yc
d 2
dy y2/3dy0
1
3
5y5/3
0
1 3
5u.v.
Exemplo 8.8 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por x2 y 2 , 2y x 2 0 , x 0 e x 1em torno
do eixox .
Curso de Graduação em Administração a Distância
342
Resolução:
y
x
5
3
1
−1
4
2
0−2 2 4
x² = y−2
2y−x−2 = 0
Figura 8.17
(a) Volume do sólido em torno do eixox . Neste caso, temos
V f x2
g x2
a
bdx
x2 22 1
2x 1
2
0
1
dx
x4 15
4x2 x 3
0
1
dx
x5
5
5x3
4
x2
23x
0
1
1
5
5
4
1
23
79
20u.v.
Módulo 2
343
Exercícios propostos – 2
1) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em
torno do eixox , de região limitada por:
a) y 2x 1, x 0, x 3 e y 0.
b) y x2 1, x 1, x 3 e y 0.
2) Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação
em torno do eixo y , de região limitada por: y lnx, y 1, y 3
e x 0.
3) Calcule o volume do sólido obtido girando cada região limitada
pelas curvas e retas dadas em torno do eixo indicado:
a) y 2x2 , y 0, x 0, x 5 ; em torno do eixo dosx .
b) y x2 5x 6, y 0 ; em torno do eixo dosx .
c) y2 2x , x 0 , y 0 e y 3; em torno do eixo dos y .
d) y 2x 1, x 0 , x 3 e y 0 ; em torno do eixo dosx .
Curso de Graduação em Administração a Distância
344
Comprimento de arco
A seguir, apresentaremos o comprimento de arco de uma curva
plana em coordenadas cartesianas. Seja f uma função contínua no in-
[a,b] y f (x) .
y
xa b
y = ƒ(x)
B = (b,ƒ(b))
A = (a,ƒ(a))
Figura 8.18
Sejam A a, f (a) e B(b, f (b)) dois pontos na curva y f (x) .
Seja s o comprimento da curva ABª y f (x) .
Então, s é dado por
s 1 f '(x)2
a
bdx.
A seguir, apresentaremos alguns exemplos.
Exemplo 8.9 Determinar o comprimento de arco da curva yx2
1 ,
0 x 3 .
Resolução: Temos,
yx2
1 y '1
2.
Módulo 2
345
Logo,
s 1 f '(x)2
dxa
b
11
40
3
dx
5
40
3
dx5
4x
0
3 3
25.
Portanto, o comprimento de f (x)x2
1 , para 0 x 3 é dada
por s3
25 u.c.
Exemplo 8.10 Calcule o comprimento do arco da curva 24xy x4 48
de x 2 a x 4
Resolução: Temos,
24xy x4 48
y1
24x3 2
x
y '3x2
24
2
x2
x4 16
8x2.
Agora,
s 1 y '2
dxa
b1
x4 16
8x2
2
2
4
dx
11
64x4x8 256 32x4
2
4
dx
x8 32x4 256
64x4dx
2
4
(x4 16)2
(32x2 )2dx
2
4 (x4 16)2
(32x2 )2dx
2
4
x4 16
8x22
4
dx
1
8x2 16x 2
2
4
dx1
8
x3
3
16
x2
4
1
8
64
34
8
38
1
8
56
34
17
6u.v.
Curso de Graduação em Administração a Distância
346
Exercícios propostos – 3
Determine o comprimento das curvas dadas por:
1) yx2
2
1
4lnx, 2 x 4 .
2) y ln 1 x2 de x1
4 ax
3
4.
3) y1
4x4 1
8x2de x 1 ax 2 .
4) y 1 ln sen x de x6
ax4
.
5) y1
2ex e x de x 0 ax 1.
Saiba Mais...
Para aprofundar os conteúdos abordados neste capítulo consulte:
FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Fun-
ções, Limite, Derivação, Integração, 5ª ed. São Paulo: Makron
Books, 1992.
LEITHOLD, Louis. O cálculo com geometria analítica. 2. ed.
São Paulo: Harbra, 1994. Vol. 1.
compreendeu estas importantes
e para isto tente resolver os exercícios propostos a seguir. Se
las antes de seguir adiante.
Módulo 2
347
RESUMO
do sólido de revolução, e no comprimento de arco de uma curva
utilizando o sistema de coordenadas cartesianas.
Curso de Graduação em Administração a Distância
348
RESPOSTAS
Exercícios propostos – 1
1) a) 12 unidades de área. b) 16
3unidades de área.
2) 4
3unidades de área.
3) 4 unidades de área.
4)8
3unidades de área.
5) 2 unidades de área.
Exercícios propostos – 2
1) a) 57 u.v.; b)1016
15u.v.
2) 2
e6 1
e2u.v.;
3) a) 2500 u.v. b)30
u.v.
c)243
20u.v. d) 21 u.v.
Exercícios propostos – 3
1) 6+1
4ln2 6,173u.c.
2) ln21
5
1
2u.c. 3)
123
32u.c.
4) 1
2ln2 ln 2 2 ln 2 3 u.c.
5) 1
2ee2 1 u.c.
•
•
•