double beta decay using fqtda model decaimento duplo-beta ... · ou mesmo um churrasco na praia em...

Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC

Departamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas - DCET

Programa de Pos-graduacao em Fısica

Leandro de Oliveira

Double Beta Decay using FQTDA model

Decaimento Duplo-Beta usando o modelo de FQTDA

Ilheus, BA, Brasil

2015

Leandro de Oliveira


Decaimento Duplo-Beta usando o modelo de FQTDA ∗

Dissertacao apresentada ao Programa de Pos-

graduacao em Fısica, Universidade Estadual de

Santa Cruz, para obtencao do grau de Mestre

em Fısica.

Area de Concentracao : Fısica

Orientador: Prof. Dr. Arturo Rodolfo Samana

Ilheus, BA, Brasil

2015

∗Trabalho financiado pela FAPESB

O48 Oliveira, Leandro de.

Double beta decay using FQTDA model/ Decaimento Duplo-Beta

usando o modelo de FQTDA/ Leandro de Oliveira. - Ilheus, BA:

UESC, 2015.

158f.: il.

Orientador: Arturo Rodolfo Samana

Dissertac~ao (Mestrado) - Universidade Estadual

de Santa Cruz. Programa de Pos-Graudac~ao em

Fısica.

Inclui referencias e apendices.

1. Estrutura nuclear. 2. Teoria de camadas nu-

cleares. 3. Partıcula (Fısica nuclear). I. Tıtulo.

CDD 539.7

AGRADECIMENTOS

Agradeco a todos que, de uma forma ou de outra, colaboraram para a realizacao deste

trabalho.

– Ao meu orientador Dr. Arturo Samana, que dedicou uma parte do seu tempo para

auxiliar a execucao deste trabalho, sanando minhas duvidas dotado de extrema paciencia e

comprensao com minhas dificuldades, sempre me apresentando novos horizontes. Grato por

tudo Arturo! Nao teria conseguido sem sua ajuda e amizade.

– Agradeco tambem ao Prof. Dr. Cesar A. Barbero, pelas dicas e analises feitas que

permitiram melhorar essa dissertacao, e tambem por ser corpo de minha banca. Do mesmo

modo ao Prof. Dr. Alejandro Dimarco, pela amizade e participacao, sem esquecer das cervejas

nesses anos de convıvio.

– A minha familia: meus pais, Fernando e Marlene, que sempre me deram apoio e

condicoes para continuar essa tarefa, mesmo no meu dia mais intepestuoso. Tambem as

minhas irmas, Fernanda e Sonia, que sempre me encorajaram a prosseguir este caminho. Sem

esquecer dos pequenos “banbinos”, sobrinhos, Bruno, Beatriz e Arthur, que me alegravam e

reviravam meu local de estudo de pernas pro ar a cada visita de final de semana e/ou feriados

prolongados.

– A minha namorada, Sumaia Suzart A. Nunesmaia, pelas horas abdicas para rea-

lizacao desse projeto. E todo carinho e compreesao que sempre demonstrou. Mesmo quando

houvesse um feriado ou um recesso prolongado em que ja tivesse programado algo para dis-

trair, eu surgisse com um porem e algo importante que tivesse que digitar, ou que ler. Mesmo

em prol de furia, ela sempre me entendia, ou tentava entender. Me lembrando que ja estava

proximo do fim.

– Aos “Caras” grandes amigos, parceiros, companheiros, que fui capaz de conhecer

e tive a grande oportunidade de conviver com eles durante todo esse tempo, em especial:

Willian, Cleiton ’Carai’, Audilucio, Ualace, Vitor, Enesson e ao mexicano Eduardo, que eram

capazes de me dar apoio, convidando para momentos de fuga para uma cerveja no inferninho

ou mesmo um churrasco na praia em plena quarta-feira de uma semana atarefada.

– As meninas do programa de Pos-graduacao da PROFISICA, sempre presente e dis-

postas a auxiliar na parte burocratica.

– A Fapesb pelo apoio financeiro a este projeto.

– A Universidade Estadual de Santa Cruz, pelo espaco cedido e condicoes disponibili-

zadas.

Assim como uma grande bagagem, levo comigo

grandes amigos, que mais parecem irmaos!

Que gostavam de dizer num bar, em uma partida

de sinuca ou domino, horas antes de uma prova:

“A gente se fode, mas se diverte, nessa porra!”

ABSTRACT


Author: Leandro de Oliveira

Supervisor: Dr. Arturo Rodolfo Samana

Date and place of defense: Ilheus, February 20, 2015.

In this work we study the nuclear double beta decay (ββ-decay) within the Four

Quasiparticle Tamm-Damcoff approximation (FQTDA) by Ram Raj in Phys. Rev.155(1966).

The FQTDA model in the ph-limit was previously employed for the ββ-decay of 48Ca by F.

Krmpotic in Fizika B14 (2005) 139. This model does not present some inconveniences that

usually appear in the QRPA calculations, as such as the ambiguity in treating the intermediate

states, and the need for performing a second charge-conserving QRPA to describe the ββ-

decays to the excited final states. Another issue that the authors claim is that this model

does not present a extreme sensitivity of the 2νββ decay amplitudes M2ν on the residual

interaction in the particle-particle (pp) channel when QRPA calculations are performed. Here,

we extended the calculations performed for 48Ca in the ph-limit to a complete FQTDA, to

improve and to impose constraints in the parameters of the used residual interaction trying to

reproduce the available experimental data. In this way, calculations with another possible ββ

emitters nuclei, as such as 76Ge, were implemented to compare the FQTDA with usual QRPA

in an open shell nuclei. We have noted that the new model comprises all essential nuclear

structure ingredients needed to describe the ββ-decay processes. Nevertheless, the extreme

sensitivity of the 2νββ decay amplitudes M2ν on the residual interaction is still preserved

with the emergence of a so-called colapse of FQTDA. We noted that nature of this new effect

is different when it is compared with that coming from QRPA. The colapse of QRPA is related

with complex eigenvalues energies merged as solutions from QRPA equations for certain values

of pp strength of residual interaction. In our case, the collapse of FQTDA is due that the

denominator of energy in M2ν goes to zero when the ground state energy of the the virtual

1+ intermediary state overlaps with the half energy of the 0+ ground state, for certain values

of the pp strength. On the other hand, the region of values for this strength parameter in

FTQDA case is enhanced in comparison with QRPA case, when the same residual interaction

is used.

Key-words: Nuclear struture; TDA; QTDA; FQTDA

RESUMO

Decaimento Duplo-Beta usando o modelo de FQTDA

Autor(a): Leandro de Oliveira

Orientador: Dr. Arturo Rodolfo Samana

Data e Local da Defesa: Ilheus, 20 de Fevereiro de 2015.

Neste trabalho, estudamos o decaimento nuclear duplo beta (decaimento-ββ) na apro-

ximacao de quatro Quasepartıculas Tamm-Danmcoff - FQTDA - segundo Ram Raj na Phys.

Rev.155(1966). O modelo FQTDA no limite-ph foi previamente usado no decaimento-ββ para

48Ca por F. Krmpotic em Fizika B14 (2005) 139. Este modelo nao apresenta os mesmos incon-

venientes que usualmente aparecem nos calculos de QRPA, tais como um tratamento ambıguo

para os estados intermediarios e a necessidade de realizar a segunda conservacao de carga na

QRPA para descrever o decaimento-ββ para os estados finais excitados. Outro ponto que

os autores mencionam e que este modelo nao apresenta uma extrema sensibilidade no decai-

mento de 2νββ para as amplitudes M2ν da interacao residual no canal de partıcula-partıcula

(pp). Aqui, nos estendemos os calculos feitos no para 48Ca do limite-ph para uma completa

FQTDA, para melhorar e impor restricoes aos parametros usados na interacao residual ten-

tando reproduzir os dados experimentais disponıveis. Nesse caminho, calculos com outros

possıveis emissores ββ foram implementados, como por exemplo para o 76Ge, para comparar

a FQTDA com a usual aproximacao de quasepartıculas de fase aleatoria - QRPA - num nucleo

de camada aberta. Nos temos notado que o novo modelo compreende todos os ingredientes de

estrutura nuclear essenciais necessarios para descrever o processo de decaimento-ββ. Porem,

a extrema sensibilidade no decaimento de 2νββ para as amplitudes M2ν da interacao residual

no canal pp ainda e preservada com o surgimento do chamado colapso da FQTDA. Notamos

que a natureza deste efeito e diferente quando se compara com aquele da QRPA. O colapso

da QRPA esta associado ao surgimento de autovalores de energia complexos nas equacoes de

QRPA para alguns valores da amplitude do canal pp da interacao residual. Em nosso caso, o

colapso da FQTDA e devido a que o denominador de energia no M2ν vai para zero quando

a energia do estado fundamental do estado virtual 1+ se sobrepoe com a metade da energia

do estado fundamental 0+ final, para certos valores da amplitude do canal pp. Por outro

lado, a regiao de valores para este parametro de amplitude e estendido na FQTDA quando

se compara com aquela da QRPA, usando a mesma interacao residual.

Palavras-chave: Estrutura Nuclear; TDA; QTDA; FQTDA

LISTA DE FIGURAS

1.1 Esquema dos decaimentos β-simples e duplo-β. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.2 Esquema do decaimento-ββ para 76Ge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3 Esquema para: (a) decaimento-2νββ. (b) decaimento-0νββ. . . . . . . . . . . 28

3.1 M2ν na QTDA. O primeiro e segundo vertice correspondem, respectivamente, aos elementos

de matriz (3.11) e (3.12). O terceiro vertice representa a interacao residual no estado final. . 36

3.2 Diagrama do codigo FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Na parte superior, apresentamos as amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo

Sββ−

F Fermi (em vermelho) e do tipo Sββ−

GT Gamow-Teller (em azul) como funcao

das energia dos estados finais 0+ (em MeV). Na parte inferior, temos as ampli-

tudes de transicao duplo-β− como funcao dos 20 estados finais 0+ no espaco-ph

pelos codigos Q77 (lado esquerdo) e Q82 (lado direito). As s.p.e sao para 40Ca

corrigido para representar 48Ca (SET1). Os paramentros vs = 40 e vt = 60

(em MeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ

residual. Conforme a Tabela (6.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 As componentes da funcao de onda, Yp1p2n1n2J , para o estado final 0+ no espaco-

ph com maior contribuicao da amplitude Fermi no duplo-ββ. Seja a contri-

buicao no (Q77) dada no estado 9 (linha vermelha), enquanto no pelo (Q82)

temos duas fortes contribuicoes dadas pelos estados 15 (linha verde) e 16 (linha

azul). (Conforme a Tabela (6.2) do Apendice.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental

(20) de 0+ no espaco-ph, conforme os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3)

para SET1. A comparacao das funcoes de onda entre o Q77 (linha vermelha) e

Q82 (linha azul) foi realizada conforme aos valores apresentados na Tabela (6.3)

do Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Probabilidades de ocupacao v2j em funcao das energias de partıcula simples

(s.p.e.), dadas por ej (em MeV) da Tabela (4.1) para os SETS usados no

trabaho: (i) lado esquerdo SET1, (ii) centro SET2, (iii) lado direito SET3. Em

preto para neutrons e em vermelho para protons. . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9

4.5 Amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi (lado esquerdo) e do tipo

Sββ−GT Gamow-Teller (lado direito) como funcao dos denominadores de Ener-

gia(em MeV), para os 20 estados finais 0+ pelo codigo Q82 para espaco-ph

(linha preta) e espaco “reduzido”(RED) (linha vermelha). As s.p.e. utilizadas

correspondem ao SET1. Os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) sao usa-

dos ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. Os valores

usados constan na Tabela (6.4) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.6 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao

dos estados para o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de Fermi

no decaimento-ββ. Pelo lado esquerdo temos para o espaco-ph, o estado 17

(vermelho) e estado 18 (azul) com maior influencia na funcao de onda. Ja no

lado direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 12 (vermelho) e o estado

11 (azul) como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda.

Os valores usados constan na Tabela (6.5) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . 64

4.7 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao

dos estados para o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de GT no

decaimento-ββ. Pelo lado esquerdo temos para o espaco-ph, o estado 1 (ver-

melho) e estado 7 (azul) com maior influencia na funcao de onda. Ja no lado

direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 1 (vermelho) e o estado 4

(azul) como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda. Os

valores usados constan na Tabela (6.6) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.8 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+

no espaco-ph (linha vermelha) e para espaco “reduzido” (linha azul), com as

maiores contribuicoes da amplitude de ββ como funcao das configuracoes dos

estados da funcao de onda. Os valores usados constan na Tabela (6.7) do

Apendice. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.9 Sββ− como funcao das energias dos estados finais 0+, E (MeV), segundo os

varios s.p.e.:i) SET1 (vermelho), ii) SET2 (azul), iii) SET3 (preto). No painel

esquerdo temos Sββ−F , enquanto que no painel direito temos Sββ−

GT . Os valores

usados constam nas Tabelas (6.8) e (6.9) do Apendice. . . . . . . . . . . . . . 67

4.10 Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 1 de FQTDA reduzido

para espaco de 1n4p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


para espaco de 1n4p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

10


para espaco de 1n4p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.13 MGT2ν como funcao de t para os tres parametros-ph (vs, vt) diferentes com SET1.

O FQTDA no espaco “reduzido” e mostrado com linhas tracejadas, enquanto

que os valores experimentais sao mostradas por linhas cheias. . . . . . . . . . 69

4.14 MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp utilizando o s.p.e. do SET1. No

painel esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido” (1n4p) no limite-ph.

No painel direito, mostramos no espaco “reduzido” para FQTDA. Sendo os

parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha preta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60)

linha vermelha, iv) linha continua experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.15 MGT2ν como funcao do parametro-pp t para espaco “reduzido” no limite-PH.

No painel superior esquerdo, temos o grafico para o o SET1. No painel superior

direito, mostramos os resultados com os s.p.e. do SET2. No painel temos MGT2ν

para o s.p.e. SET3. Os parametros-ph (vs, vt) usados sao: i) (27,64) linha

tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada

vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental. . . . 71

4.16 MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para BCS

(FQTDA). No lado esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado

direito superior, mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior

temos para o s.p.e. SET3. Onde os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha

tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada

vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental [32]. . 72

4.17 MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para FQTDA

(linhas continuas) comparado com o limite-ph (linhas tracejadas). No lado

esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito superior,

mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para o s.p.e.

SET3. Onde os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) em preta, ii) (35,65) em

azul, iii) (40,60) em vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor

experimental [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

11

4.18 Comparacao das amplitude de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas em MeV−1) como

funcao da energia, E, do estados intermediarios 1+ (em MeV). Os respectivos

valores experimentais β− e β+ sao apresentados. Na parte superior temos os

valores com parametrizacao vs = vt = 0 nos canais-pp e ph, enquanto que a

BCS esta ligada. Na parte inferior, a comparacao e feita para os valores teoricos

no canal-ph (vphs =27,vpht =64) e, (s = 1, t = 0) no canal-pp. . . . . . . . . . . . 75

4.19 Comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas em MeV−1)

como funcao da energia, E, dos estados 1+ intermediarios, com sobreposicao

aos seus respectivos valores experimentais β−(β+). No painel superior, a pa-

rametrizacao adotada e vs=35 e vt=65, enquanto que no panel inferior a para-

metrizacao resulta vs=40 e vt=60. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.20 Amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas em MeV−1) como funcao da

energia, E, dos estados 1+ intermediarios (em MeV). Os valores experimentais

β− (β+) sao apresentados, e os tres tipos de parametrizacao no canal-ph (vs,

vt): (27, 64), (35, 65) e (40, 60) sao apresentadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.21 Amplitudes Sββ− como funcao da energia (MeV) dos estados finais 0+. Foi

utilizado o SET 1, com parametros: (i) vs=27, vt=64; (ii) vs=35, vt=65; (iii)

vs=40; vt=60 para o canal-ph. Os parametros do canal pp sao s = 1 e t = 0

(FQTDA completo). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.22 Amplitudes do duplo GT, SββGT para 48Ca como funcao da energia do nucleo

final. O caso nao-perturbado (linha vermelha) e comparado com o caso pertu-

bado com parametros-ph vs=35, vt=65: (a) SET 2 em azul linha traco-ponto,

(b) SET 3 em linha solida verde, e (c) SET 1 em linha solida preta. . . . . . . 79

4.23 Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em

MeV, para o SET 1. Painel esquerdo - Resultados para o caso nao-pertubado

no limite-ph (linha vermelha) com o FQTDA (linha preta), ainda comparado

com o caso pertubado FQTDA para os seguintes parametros-ph (vs, vt): (i)

(27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Painel

direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado. . 80

12

4.24 Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em

MeV, para o SET 1. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no limite-ph

(linha vermelha) com o FQTDA (linha preta), ainda comparados com os casos

pertubado da FQTDA para os seguintes parametros-ph (vs, vt): (i) (27,64)

linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Pelo lado direito

- Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado. . . . . . 81

4.25 Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E,

em MeV, para o SET 3. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no

limite-ph (linha vermelha) com o FQTDA (linha preta), ainda comparados

com os casos pertubado da FQTDA para os seguintes parametros-ph (vs, vt):

(i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Painel

direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado. . 81

4.26 Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν para varios parametros-ph (vs = 27, vt =

64), (vs = 35, vt = 65), e (vs = 40, vt = 6), em funcao do parametro variavel

t do canal pp e, com s = 1 fixo, para para SET1 no espaco completo. -

Painel direito- Comparacao das MGT2ν entre o limite-ph (linhas tracejadas) com

calculos de BCS onde incluimos - FQTDA - (linhas solidas) no espaco completo

para SET1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.27 MGT2ν para FQTDA no espaco completo para SET 3. Pode-se observar que o

comportamento e similar ao SET 1 da Fig. (4.31) (painel esquerdo). . . . . . 83

4.28 MGT2ν como funcao de vt para espaco completo SET1, para limite-PH (linhas

tracejadas) comparadas ao BCS (FQTDA) (linhas contınuas). . . . . . . . . . 84

4.29 MGT2ν como funcao do paramentro t no canal-pp, para o SET1. Lado esquerdo:

FQTDA “reduzida” e lado direito: FQTDA completo. . . . . . . . . . . . . . 85

4.30 MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. No painel esquerdo temos

FQTDA “reduzido” para SET1 e no painel lado direito, a FQTDA completo

para SET3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.31 Painel esquerdo- Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp.

Painel direito - Comparacao das amplitudes MGT2ν dentro o limite-ph com o

espaco completo (linhas tracejadas) com aquelas amplitudes da FQTDA como

funcao dos parametros (vs, vt). Aqui os valores deMGT2ν na FQTDA se reduzem

ao valores correspondentes quando os calculos sao afetados pelo limite-ph. Em

ambos calculos foi usado o espaco completo 2p1f (7p7n) para SET1. . . . . . 86

13

4.32 Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-

pp, utilizando o SET1 no espaco “reduzido” (1n4p), sendo as linhas tracejadas

para limite-ph e as linhas continuas para FQTDA para o SET1. Painel direito -

Comparacao dos MGT2ν para FQTDA no espaco completo pelo SET3, se mostra

similar ao da Fig. (4.31) do lado esquerdo dada para SET1. . . . . . . . . . . 87

4.33 MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp utilizando os s.p.e. do SET1 para

calculo de FQTDA. No lado esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido”.

Ja do lado direito, mostramos o comportamento no espaco completo. Sendo os

parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha preta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60)

linha vermelha, iv) linha continua experimental [32]. . . . . . . . . . . . . . . 88

4.34 MGT2ν como funcao do parametro-pp de t. No lado esquerdo, temos o grafico

para o espaco “reduzido” (1n4p) para FQTDA utilizando o SET1. Ja do lado

direito, mostramos no espaco completo para FQTDA utilizando o s.p.e. do

SET3. Os parametros-ph (vs, vt) adotados sao: i) (27,64) linha tracejada preta,

ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha, iv) linha

continua experimental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.35 MGT2ν como funcao dos parametro-ph (vs, vt) para espaco completo de FQTDA.

No lado esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito

superior, mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para

o s.p.e. SET3. Os parametros-ph (vs, vt) sao: i) (27,64) linha preta, ii) (35,65)

linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha tracejada experimental [32]. . 90

4.36 MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp para espaco completo para

FQTDA. Painel superior esquerdo - Resultados para o SET1. Painel superior

direito - mostramos os resultados utilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior

temos os resultados para o SET3. Os parametros-ph (vs, vt) usados sao: i)

(27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha

tracejada vermelha, iv) linha continua experimental[32]. . . . . . . . . . . . . 91

4.37 MGT2ν como funcao do vt na interacao residual para espaco completo na FQTDA

(linhas continuas) comparado com limite-ph (linhas tracejadas). Painel supe-

rior esquerdo - Grafico para o o SET1. Painel superior direito - Grafico para

os s.p.e. do SET2. Painel inferior - Grafico para os s.p.e. do SET3. Os

parametros adotados sao: i) vs=27 (contınua preta), ii) vs=35 (contınua azul),

iii) vs=40 (contınua vermelha), iv) linha traco-ponto para experimental [32]. . 93

14

4.38 Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU)

como funcao do parametro vt obtidas na FQTDA no espaco completo para

o SET1. Painel direito - Variacao do denominador de energia do elemento de

matriz nuclear para estados intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para

o SET1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.39 Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU)

para FQTDA como funcao do parametro vt no espaco completo para o SET2.

Painel direito - Ampliacao do M2NU para o SET2 como funcao de vt. No

painel abaixo, mostra-se a variacao do denominador de energia para estados

intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para o SET2. . . . . . . . . . . 95

4.40 Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear do estado intermediaaio (M2NU)

como funcao do parametro vt obtidos para FQTDA no espaco completo para

o SET3. Painel esquerdo - Comparacao da variacao do denominador de energia

ma funcao de elemento de matriz nuclear para estados intermediarios (DEN GS),

como funcao de vt, para o SET3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.41 Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do

parametro do canal-ph vt no espaco completo por FQTDA para o SET1. No

lado direito, mostra um zoom para o parametro do canal-ph vt variando de 0

ate 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.42 Painel esquerdo - Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do

parametro vt no espaco completo por FQTDA para o SET2. Painel esquerdo -

Zoom para o parametro vt variando de 0 ate 100. . . . . . . . . . . . . . . . . 97

4.43 Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do

parametro vt no espaco completo por FQTDA para o SET3. Painel esquerdo -

Zoom da figura com vt variando de 0 ate 100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.44 Componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS) no espaco com-

pleto por FQTDA para o SET1. No painel esquerdo temos (DEN GS) como

funcao do parametro do vt sendo vs dados por: (i) vs=27 (preto), (ii) vs=35

(azul), (iii) vs=40 (vermelho). As linhas inteiras representam o wλ no estado

intermediario 1+, enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estado final 0+.

No painel direito, o DEN GS como funcao do parametro-pp t, para SET1 com

vs=27, vt=64. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

15

4.45 Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia

(DEN GS) com funcao do parametro vt no espaco completo por FQTDA para

o SET2 sendo vs dados por: (i) vs=27 (preto), (ii) vs=35 (azul), (iii) vs=40

(vermelho). As linha inteiras representam o wλ no estado intermediario 1+,

enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estado final 0+. . . . . . . . . . . . 100

4.46 Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia

(DEN GS) com funcao do parametro do canal-ph vt no espaco completo por

FQTDA para o SET3 sendo vs dado como: i) vs=27 (preto), ii) vs=35 (azul), iii)

vs=40 (vermelho). As linhas inteiras representam o wλ no estado intermediario

1+, enquanto que as linhas tracejadas e o w0+fpara estado final 0+. . . . . . . 101

4.47 Amplitude de decaimento SGTβ− para 76Ge como funcao da energia (MeV), com

sobreposicao dos valores experimentais para β−, utilizando a parametrizacao

no canal-pp t: i) t=0 (barra azul), ii) t=1 (barra preta), iii) t=2 (barra roxa). 102

4.48 Amplitudes de decaimento-ββ (SGTββ ) para caso nao-pertubado para 76Ge 5n5p

como funcao da E(MeV). Lado esquerdo, decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-

ββ+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.49 Amplitudes de decaimento-ββ (SGTββ ) para

76Ge como funcao da E(MeV). Lado

esquerdo, decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-ββ+. Sendo (i) nao-

pertubado limite-PH (em azul), (ii) nao-pertubado FQTDA (em preto), (iii)

pertubado (em vermelho). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.50 Comportamento para os componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para 76Ge

com vphs =55, vpht =92 para as regioes de maior amplitude SGTββ− conforme Fig. (4.48)

comparando os resultados nao perturbado -ph, perturbado BCS e perturbado

FTQDA. Painel esquerdo - Yp1p2n1n2J , para o estado de maior amplitude GT,

como funcao das configuracoes (States) . Painel direito - Yp1p2n1n2J , para o

estado de fundamental, como funcao das configuracoes (States). . . . . . . . . 105

4.51 Elementos de matriz do estado intermediario (M2NU) como funcao do parametro

t do canal-pp, para 76Ge na FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.52 Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp,

para 76Ge na FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.53 Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para

76Ge.

Pelo lado esquerdo temos MGT2ν para FQTDA, nota-se o surgimento de regioes

colapsadas com vt variavel de 130 ate 220, acompanhado de linhas tracejadas

dos valores experimentais. Ja pelo lado direito um comparativo entre FQTDA

(linha cheia) e limite-ph (linha tracejada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.54 Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para

76Ge no

limite-ph. Pelo lado esquerdo temos MGT2ν com valores obtidos. Ja pelo lado

direito temos MGT2ν no limite-ph dado os valores em modulo. . . . . . . . . . 108

4.55 Painel esquerdo - Denominador de energia (DEN GS) como funcao do t no

canal-pp pelo calculo de FQTDA. Painel direito - DEN GS como funcao do vt

pelo calculo de FQTDA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

4.56 Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS)

com funcao do parametro t no canal-pp por FQTDA para 76Ge. Temos aqui

vphs =55 e vpht =92. Linha cheia representa o wλ no estado intermediario 1+,

enquanto a linha tracejada e o w0+fpara estado final 0+. . . . . . . . . . . . . 109

4.57 Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS)

como funcao do parametro vt na FQTDA de 76Ge. Linha cheia representa o

wλ no estado intermediario 1+, enquanto a linha tracejada e o w0+fpara estado

final 0+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

LISTA DE TABELAS

4.1 Energias de partıcula simples, (s.p.e), dada por ej (em Mev) para os SET 1,

SET 2 e SET 3 de s.p.e. utilizados para descrever 48Ca. A forca de empa-

relhamento vpairs (adimensional) para neutrons e protons dentro do BCS para

N = 28 e P = 20 tambem sao esbocados. Os s.p.e. sublinados fazem referencia

as energias usada no limite preliminar de partıcula-buraco para QTDA. . . . . 54

4.2 Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final fundamental 0+

no espaco-ph com maior contribuicao para GT amplitude-ββ. Mesmo parame-

trizacao pp e ph na Tabela (6.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 1. . . . . . . . 62



4.6 Componente da funcao de onda do estado intermediario 1+ para 76Ge. . . . . . 102

6.1 Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−

F Fermi e do tipo Sββ−

GT Gamow-Teller

e os denominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ no

espaco-ph pelos codigos Q77 e Q82. As s.p.e sao para 40Ca corrigido para

representar 48Ca. Os paramentros vs = 40 e vt = 60 (em MeV/fm3) usados

ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. . . . . . . . . . 126

6.2 As componentes da funcao de onda de Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no

espaco-ph com maior contribuicao da forca de F ββ. A proxima notacao e usada

para as configuracoes de partıcula simples: 134 ≡ 1f7/2, 133 ≡ 1f5/2, 212 ≡

2p3/2 e 211 ≡ 2p1/2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3 Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental

0+ no espaco-ph. Mesma parametrizacao pp e ph como na Tabela (6.2). . . . . 128

6.4 Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi e do tipo Sββ−

GT Gamow-Teller

e os denominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ pelo

codigo Q82 para espaco-ph e espaco “reduzido”(RED). As s.p.e. sao para 40Ca

corrigido para representar 48Ca. Os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3)

usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. . . . . . 129

6.5 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no espaco-

ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude de F ββ. . 130

6.6 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no espaco-

ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude de GT ββ. 131

6.7 As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+

no espaco-ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude

de ββ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6.8 Observa-se a quebra das energias para o 1 estado mais excitado duplo-β+

para paramentros de vs=40, vt=60 para Fermi. Lembrando que o estado de

decaimento duplo-β− permaneceu nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.9 Observa-se a quebra das energias para o 1 estado mais excitado duplo-β+ para

paramentros de vs=40, vt=60 para GT. Lembrando que o estado de decaimento

duplo-β− permaneceu nulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

SUMARIO

1 HISTORIA 21

2 INTRODUCAO 31

2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 METODOLOGIA 34

3.1 Vidas medias para decaimento duplo-β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Formalismo dos modelos de Estrutura Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.1 Modelo de BCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2.2 Modelo de Tamm-Dancoff (TDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.3 Modelo de quasepartıcula TDA (QTDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.3 O codigo FQTDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 RESULTADOS NUMERICOS 53

4.1 Resultado para 48Ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Comparacao dos resultados numericos com o antigo codigo . . . . . . . 53

4.1.2 Limite-ph de QTDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1.3 FQTDA no espaco reduzido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.4 FQTDA no espaco completo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.2 Resultados para 76Ge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS FUTURAS 111

5.1 Errata do 25/03/2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 APENDICE 114

6.1 Apendice A - Modelos Nucleares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.1 Modelo de Partıcula Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.1.2 Teoria de Hartree-Fock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1.3 Modelo de Camada Nuclear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.1.4 Aproximacao de fases ao azar de quasepartıculas (QRPA) . . . . . . . . 122

6.1.5 Duplo Beta por QTDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

6.2 Apendice B - Dados Numericos obtidos pelas simulacoes . . . . . . . . . . . . 126

6.3 Apendice C - Correcao da Programacao numerica no codigo FQTDA . . . . . 135

6.4 Apendice D - Resolucoes Auxiliares para o limite-ph no 48Ca . . . . . . . . . . 139

7 BIBLIOGRAFIA 154

1 HISTORIA

Muitas questoes fundamentais da fısica nuclear e da fısica de partıculas dependem

do nosso entendimento quantitativo dos fenomenos existentes entre as interacoes fracas e

nucleares. Dessa forma, tem-se que nos ultimos anos o estudo das interacoes fracas neutrino-

nucleo cresceu notavelmente atraves de esperimentos como NEMO[1], EXO[2], CUORE[3],

como teorico, para inferir propriedades ate agora desconhecidas do neutrino como por exemplo

sua massa absoluta, ou se e uma partıcula de Dirac ou Majorana, hierarquia nas massas,

processos de oscilacao, dentre outros. Conhece-se do ramo de teoria de poucos corpos (do

ingles, few-body theory) que se divide em diversos segmentos, tais como: a fısica atomica, a

fısica de estado solido, a fısica de partıculas fısicas elementares, porem cada uma destas partes

trabalham com semelhantes tecnicas.

Num nucleo que possui estados excitados nao estaveis, a situacao mais comum que

ocorre e o estado excitado decair para um estado de energia mais baixa (do mesmo nucleo) com

emissao de um raio-γ. A seguencia dessas transicoes leva normalmente ao estado fundamental

daquele nucleo. O proprio estado fundamental, pode no entanto nao ser estavel para muitos

nuclıdeos, sendo estes capazes de se transformar em outros nuclıdeos pela emissao espontanea

de uma ou mais partıculas ou fragmentos. Para o nosso caso, e de fundamental importancia

observar o decaimento β− e β+, onde seus nucleos leves estaveis tem seu numero de protons

Z semelhante ao numero de neutrons N . Nos nucleos pesados, um maior numero de neutrons

e necessario para compensar a forca coulombiana entre os protons. Em ambos os casos,

quando um nucleo tem um valor de N maior do que o necessario para o equilıbrio, ele pode

se desintegrar pela emissao de um eletron e um antineutrino pelo chamado decaimento β− na

forma:

AZXN →A

Z+1 YN−1 + e− + ν, (1.1)

se aproximando assim a uma situacao de maior equilıbrio. Se, por outro lado, N e menor do

que o necessario, pode ocorrer o decaimento β+:

AZXN →A

Z−1 YN+1 + e+ + ν, (1.2)

sendo agora as partıculas emitidas um positron e um neutrino.

Logo, a opcao basica de um estado excitado num nucleo e decair para outro estado de

menor energia, emitindo radiacao-γ ou, ejetando um eletron das camadas atomicas. Sendo

22

assim, os nuclıdeos com excesso de neutrons, instaveis decaem por β− e, os com excesso

de protons tende a decair por β+. Quanto mais instavel o nuclıdeo, menor e o tempo de

decair. Os nucleos com balancos muito desiguais entre o numero de protons e de neutrons,

sao denominados nucleos raros.

Segundo a literatura, na natureza toma-se da existencia algo em torno de 50 nucleos, co-

nhecidos como nucleos raros, onde o processo de decaimento-β simples e energeticamente proi-

bida. Logo a unica possibilidade de desintegracao (Z,N)→(N-2,Z+2) e por um decaimento-ββ,

tambem chamado aqui de decaimento duplo-β [4]. O decaimento duplo-β e um raro processo

observado em nucleos para os quais o decaimento beta simples e proibido. Ha casos especiais

de decaimento-β que ocorrem quando o isobaro vizinho nao e acessıvel ao decaimento mas,

o isobaro seguinte a esse nao apresenta impedimento para a transicao permitindo assim a

transicao. Entao o decaimento pode acontecer com a emissao de dois eletrons simultanea-

mente. Sabe-se que isso ocorre em muitas outras cadeias de isobaros. O fenomeno nao e

de facil deteccao pois as meias-vidas para a emisao de 2 eletrons simultaneamente sao muito

altas, proximas ou superiores aos 1019 anos. A forte motivacao para detectar este fenomeno e

devida, principalmente, a possibilidade de constatar a existencia de decaimento duplo-β sem

o acompanhamento de neutrinos[5]. Essa possibilidade esta ligada a massa do neutrino ser

nao nula. Se a massa do neutrino nao e nula, a helicidade nao e um bom numero quantico e,

o neutrino e antineutrino carregam uma pequena componente da helicidade oposta ou acei-

tada pelo modelo padrao de partıculas elementares. Dessa maneira, o neutrino e um pouco

antineutrino, e vice-versa, ja que a helicidade e a unica grandeza que distinguen as duas

partıculas. Se for o caso o neutrino resultante do decaimento

n→ p+ e− + ν, (1.3)

poderia induzir (ν ≡ ν)

ν + n→ p+ e−, (1.4)

cujo resultado global e o decaimento duplo-β

2n→ 2p+ 2e−, (1.5)

sem emissao de neutrinos.

No entanto sabe-se que as forcas de paridade nuclear causam essa “anomalia”: aonde

dentro de um mesmo triplete isobarico (N,Z), (N − 1, Z + 1), (N − 2, Z + 2), os nucleos

23

Figura 1.1: Esquema dos decaimentos β-simples e duplo-β.

impar-impar acabam tendo maior massa que os seus vizinhos par-par, permitindo desse jeito

a existencia do decaimento duolo-β. A situacao esta esquematizada na Figura 1.1. Resumindo,

existem duas transicoes mais usuais pelo qual o decaimento duplo-β pode ocorrer:

i) decaimento duplo-β com emissao de dois neutrinos (2νββ), sendo (N,Z)ββ−−−→(N −

2, Z+2), que pode ser pensado como dois sucessivos decaimentos-β simples passando atraves

de um estado intermediario virtual (N-1, Z+1), e

ii) decaimento duplo-β sem emissao de neutrinos (0νββ).

Os primeiros artigos estudando o decaimento duplo-β comecaram a surgir nos anos de

1948-1949, com E.Fireman[6, 7], conforme indica Tretyak[8]. A confiabilidade nesses estu-

dos so ocorreu com o decorrer de decadas, quando realmente se comprovou as ideias desses

pesquisadores.

No ano de 1952 temos um estudo do duplo-β para 100Mo , atraves de experimento de

foto-emulsao de J.H.Fremmlin e M.C. Walters (J. H. Fremlin et al. 1952, apud Treatyak[8])

realizado a 567 metros de profundidade, onde se estudou se o 2β ocorria para 60 diferentes

nucleos. Eles observaram que a foto-emulsao era sensıvel a partıculas α e β, de modo que

o excesso de atividade β (sobre o nıvel de 6-12 σ) foi observado para Sn, 124Sn, Ba, W e

Os. Esses nucleos tambem detectaram atividade α, dessa forma eles foram relatados como

amostras contaminadas com U/Th. No caso do Mo, a atividade do β era excessiva(13 σ) e nao

estava acompanhado por α’s, podendo ser considerada como a alta indicacao de decaimento

duplo-β para o 100Mo (δ = 9.8%) com vida media de T1/2 = 1.5× 1016[8] anos. Porem nao foi

possıvel retirar nenhuma forte conclusao, sendo desejavel mais analises sobre outros nucleos.

Hoje em dia, ja se sabe que a T1/2 para 100Mo para decaimento 2β e T 2ν1/2 = 7.1 × 1018[8]

anos, e T 0ν1/2 > 4.6× 1023[8] anos. Enquanto que a maioria dos efeitos de contaminacao do Mo

deve-se a 90Sr/90Y e nao ao U/Th.

24

Figura 1.2: Esquema do decaimento-ββ para 76Ge.

Os estudos para o 48Ca, comecaram em 1955 por J.A. McCarthy, segundo Tretyak [8],

utilizando um metodo similar nos exemplos com CaCO3: enriquecido em 48Ca ate 84.3% (δ =

0.187%) e enriquecido em 44Ca ate 97.9%(δ = 2.1%). Dessa forma pode-se observar bons picos

apos de 755 h na diferenca de 48Ca-44Ca do espectro de coincidencia no intervalo de energia

de 3.75-4.50 MeV (48Ca Q2β=4274KeV). Com essa vidas media o autor do trabalho faz uma

forte conclusao: “Acredita-se na evidencia do duplo-decaimento-β sem emissao de neutrino,

a menos que a contagem observada seja devida a um fenomeno nao-usual e desconhecido do

original”. Hoje sabe-se que os valores sao: T 2ν1/2 = 4.4 × 1019anos[8], T 0ν

1/2 > 5.8 × 1022[8],

desse modo mais uma vez obteve-se uma falsa descoberta de 0ν devido a uma contaminacao

radioativa.

Outros exemplos de falsas descobertas do 0νββ nos nucleos de 96Zr, 82Se, 76Ge, 130Te,

82Se, 150Nd, 64Zn, 112Sn sao descritos por V.I. Tretyak [8], assim como as perspectivas dos

novos experimentos GERDA e Majorana [9].

Segundo A.S. Barabash [10, 11], os estudos de 0νββ, tem sido alvo de trabalhos reno-

vados nos ultimos anos, devido principalmente as pesquisas de fısica de neutrinos em areas

como: atmosferica, solar, reacoes com neutrinos de aceleradores. Os resultados obtidos aca-

baram por mostrar que o neutrino possui uma massa nao-nula. No trabalho de Avignone et

al. [12] sao relatados como questoes em aberto: (i) a nao-conservacao do numero leptonico, (ii)

a natureza do neutrino: se o neutrino e uma partıcula de Dirac ou Majorana, (iii) a escala de

25

massa absoluta do neutrino, e (iv) que diz respeito ao tipo da hierarquia do neutrino massivo

(normal, invertido ou quase-degenerado).

Do mesmo modo, o decaimento duplo-β esta conectado com o aumento de massa es-

tudada nos isotopos de um nucleo. Durante os anos 1948− 1980 foi muito utilizado isotopos

entre 1− 25 gramas[11]. Como por exemplo, a primeira observacao do decaimento-2νββ que

ocorreu atraves de uma experiencia feita em 1987 no estudo de 14 gramas de 82Se enriquecido

realizado por Elliott S.R. et al.[13]. Somente na decada de 80 − 90, foi que comecaram a

incrementar para centenas e ate mesmo kilogramas as massas dos isotopos. Na decada de

90, houve o experimento Heidelberg −Moscow[14] e o IGEX[15], aonde continham 11 kg

e 6,5 kg respectivamente, para 76Ge. Em menos de um ano surgiu o NEMO − 3[16], que

em contraste com experimentos de 76Ge, era capaz de detectar nao somente a energia to-

tal de deposicao, mas parametros dos processos, incluindo energia individual dos eletrons,

angulos entre eles - este localizado no Frejus Underground Laboratory na Franca. O expe-

rimento CUORICINO[17], equivalente ao detector CUORE[18] que ocorre no Gran Sasso

Underground Laboratory, na Italia, tentou uma reducao dos nıveis de fundo (background);

que continham 10 kg de isotopos, sendo 7 kg de 100Mo, 1 kg de 82Se para NEMO−3 e para o

CUORICINO 40 kg de cristais na forma natural de oxido de Te e, ainda 10 kg de 130Te [8].

No ano de 2011 surgiu o EXO − 200 (Enriched Xenon Observatory) [19], operando

desde 2011 noWaste Isolation Pilot Plant (WIPP) - o experimento media energia atraves de io-

nizacao e cintilacao, sendo o primeiro a observar decaimento 2νββ do 136Xe. O KamLAND−

Zen [20] que recebeu este nome em 2011, apos uma modificacao no detector ja existente,

KamLAND, experimentos que iniciaram com centenas de kilogramas de 136Xe. SNO+ en-

trou em atividade usando aproximadamente 100 kg [21], sendo ele um upgrade do Sudbury

Neutrino Observatory (SNO), Canada, onde investigam aos isotopos de 150Nd.

Da mesma forma que a parte experimental, surgiram nesse perıodo inumeros avancos na

parte teorica, voltadas para analise do decaimento-ββ. Este ocorre principalmente em nucleos

de massa-media distantes das regioes de camada fechada, e consequentemente as mais recente

descobertas, confirmaram a necessidade de avaliar os elementos de matriz nuclear M2ν e M0ν

usando o modelo de QRPA neutron-proton, como nos trabalhos de Iwata et al.[22], Yao et

al.[23], Civitarese et al.[24], Barbero et al. [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]. O modelo de QRPA e

mais simples computacionalmente que o modelo de camada SM (Shell Model). Porem, os tipos

de correlacoes que esses dois modelos incluem nao sao os mesmos. No QRPA trabalha-se com

uma grande fracao de nucleons num grande espaco de partıcula-simples, mas possuindo um

modesto espaco de configuracao. Ja no SM, se usa uma pequena fracao de nucleons limitados

26

num espaco limitado de partıcula-simples, mas permitindo fazer correlacoes arbitrarias para

um grande espaco de configuracao [32]. Nos ultimos tempos em virtude do avanco tecnologico

e o uso de supercomputadores permitiram estudar o decaimento duplo-β no SM [33, 34]. Entre

os nucleos estudados encontra-se, por exemplo, 130Te [35], 76Ge [36], e 48Ca [37].

Partindo do prıncipio da evolucao dos modelos nucleares do tipo RPA, temos que os

modelos para nucleos de massa media e pesada podem ser razoavelmente descritos dentro do

modelo de BCS da teoria de supercondutividade[38]. Nesse modelo se estuda o problema de

interacao de emparelhamento (do ingles, pairing) nos nucleos, permitindo explicar a existencia

os nıveis mais baixos de energia em nucleos pesados. Segundo os autores, um sistema de

nucleons que possuam correlacoes de emparelhamento podem ser descritos como um conjunto

de quasepartıculas que estao conectadas aos nucleos originais atraves da transformacao de

Bogoliubov-Valatin1, utilizada para descrever as correlacoes de emparelhamento em nucleos

esfericos com a presenca da forca nuclear generalizada. Baranger[39] relata o tratamento das

interacoes entre quasepartıculas atraves de uma linearizacao das equacoes de movimento.

Porem a explanacao deste e de muitas outras observacoes tem de ser procuradas alem

das correlacoes do movimento de partıcula independente. Assim e conveniente no estudo

dessas correlacoes considera-las como uma pertubacao no campo medio. Desse modo podemos

escrever:

H = HK +HR, (1.6)

onde HK e a energia cinetica em um campo onde os auto-estados sao determinador pelo

determinante de Slater e, HR e a interacao residual. A abordagem mais simples utilizada e

a diagonalizacao da HR na base de auto-estados de HHF . Esse tipo de calculo so e possivel

com auxılio de computadores para tratamento das interacoes dentro do modelo de camadas (o

nome modelo de camadas foi usando anteriormente para o modelo de partıcula-independente).

Muito grosseiramente ainda podemos dividir o HR numa interacao de curto-alcance (short-

range) e outra de longo-alcance (long-range). Sendo a parte de longo-alcance responsavel

pelas equacoes de movimento coletivo [40] com a chamada aproximacao de partıculas de fase

aletoria RPA (Random Phase Approximation). Esse tipo de avanco permitiu descrever as

excitacoes de partıcula simples como excitacoes de estados coletivos.

Assim, a funcao de |BCS⟩ pode em prıncipio ser obtida para um nucleo par-par, e tra-

1A transformacao de Bogoliubov-Valatin tem como caracteristicas, a nao-comutacao com o operadornumero de partıculas, nucleons neste caso, e conseguentemente a funcao de onda que resulta deste processonao correponde a um sistema que possui um numero definido de nucleons. As energias e outras quantidadesque sao calculadas com esta funcao de onda sao interpretadas como medias das correspondentes quantidadessobre um conjunto de nucleos vizinhos.

27

balha sobre um caroco (core), cujas excitacoes podem descrever os nucleos vizinhos adjacentes

impar-impar envolvidos. Com isso, o modelo de emparelhamento de BCS e considerado a me-

lhor opcao na utilizacao como funcao de onda do estado fundamental para nucleos pesados ao

inves de leves. Atraves da aproximacao de BCS, introduziu de forma adequada o tratamento

para a interacao de emparelhamento residual, responsavel pelo acoplamento a zero do mo-

mento angular em nucleos par-par, sendo atrativa e de curto alcance para prover a correlacao

desejada. No entanto, em nucleos com A ≥ 40, a amplitude de Gamow-Teller apresenta uma

forte estrutura de ressonancia com uma energia de excitacao que cresce sistematicamente

com o numero da massa dos nucleos situando-se numa regiao proxima de ≈15 MeV para

nucleos pesados. Esta ressonancia se denomina ressonancia gigante de Gamow-Teller GTGR

(Gamow-Teller Giant Ressonance), e nao pode ser tratada pela interacao de emparelhamento

que leva em conta a interacao residual entre protons e neutrons. O tratamento correto da

interacao residual que introduz correlacoes de longo-alcance e realizado com o modelo RPA

(Random Phase Approximation) - a aproximacao de fase aleatoria. Este nome foi introdu-

zido por Bohm e Pines (1953)[41] em uma conexao com as oscilacoes de plasma. A RPA e

tambem conhecida como aproximacao quase-bosonica, consistente no fato que as excitacoes de

duas-partıculas-dois-buracos, podem misturar seus estados partindo do estado fundamental

(de menor energia) pela interacao residual[42, 43]. Assim na RPA, somente excitacoes com

pares partıcula-buraco acopladas sao consideradas. Estes sao tratados como bosons, ou seja,

cumprem as regras de comutacao bosonicas para estados de nucleons emparelhados ph. Essas

excitacoes sao chamadas de correlacoes. A RPA, trabalha bem na descricao das transicoes

GT para nucleos de camada fechada, contudo, falha em nucleos de camada semi-fechada ou

nao-magicos. Uma solucao simples e de facil implementacao seria acoplar as solucoes de BCS

para interacao de emparelhamento com as equacoes de RPA para interacao residual de longo-

alcance, colocando ad-hoc as probabilidades de ocupacao surgidas da equacao do gap dentro

dos elementos de matriz nuclear. Esta aproximacao de RPA+BCS foi usada por Zinner et al.

[44] para descrever sistematicamente a taxa de captura de muons para um grande conjunto

de nucleos. Outro estudo como este, RPA+BCS foi realizado por Auerbach et al.[45] para

calcular as secoes de espalhamento de neutrinos no 12C, entre outros observaveis fracos. No

entanto, este procedimento de BCS+RPA nao e um procedimento RPA em quasepartıculas

auto-consistente, ou seja, uma QRPA (Quasiparticle Random Phase Aproximation). Em uma

QRPA, as probabilidade de ocupacao sao obtidas usando as transformacoes de Bogoliubov-

Valantin no canal de emparelhamento da interacao residual que resolve as equacoes de BCS. A

mesma interacao deveria ser utilizada na parte da interacao residual entre protons e neutrons,

28

Figura 1.3: Esquema para: (a) decaimento-2νββ. (b) decaimento-0νββ.

com contribuicoes de excitacoes tipo partıcula-partıcula e partıcula-buraco.

A QRPA com troca de carga proton-neutron (pn-QRPA), foi desenvolvida em 1967 por

Hableib e Sorensen[46] para dar conta do mecanismo de supressao(do ingles, quenching) das

transicoes-β permitidas, aplicada a decaimentos-β de massa leve e medias e para a ressonancia

coletiva do GT. Intensas implementacoes da QRPA para decaimento-ββ comecaram somente

nos meados de 1986 com Vogel et al.[47]. Quase 20 anos depois, descobriram que as correlacoes

do estado fundamental GSC (Ground State Correlations) desempenham um papel essencial

suprimindo as taxas de 2νββ. Em seguida, Civitarese[24], Faessler[48] tambem chegaram a

mesma conclusao. Simultaneamente, Civitarese et al.[49] e Engel et al.[47] revelaram que as

GSC apresentam semelhancas que sao obtidas no 2νββ, embora menor escala para 0νββ.

Por essas circunstancias, a QRPA se tornou um dos metodos mais utilizados para estrutura

nuclear para os calculos das taxas de duplo decaimento-β.

No entanto, observou-se que a amplitude de interacao (do ingles, strength) do canal

partıcula-partıcula origina uma alteracao nos valores de vida media dos nucleos com duplo

beta e gera uma inconsistencia de todo o metodo, rotulado com o nome de “colapso”do

QRPA. Pode-se entao questionar, que o colapso da QRPA pode ser originado pela quebra de

simetria no numero de partıculas, causada pela aproximacao de BCS2. Inumeras alteracoes

no modelo QRPA foram propostas afim de sanar o problema e lhe garantir uma maior con-

fiabilidade. Para solucionar esse problema adotou-se trabalhar com o numero de partıculas

2A funcao de onda de BCS pode descrever aqueles nucleos com N par assim como tambem aqueles comtemcorrelacoes de N+2, N+4, ... Esse efeito tambem esta contido na diagonalizacao do hamiltoniano de empa-relhamento ao agregar o operador numero de partıculas associado ao operador de Lagrange denominado depotencial quımico com a condicao de conservar o valor medio do numero de partıculas. Assim nao se trabalhacom um valor fixo de N, senao com o valor medio de N.

29

projetadas (projected QRPA, ou QRPA projetada no numero de partıculas) obtidas atraves

do princıpio variacional dependente do tempo. No entanto depois dos calculos realizados para

decaimento-2νββ no 76Ge observou que para o modelo as amplitudes de M2ν comportam-se

aproximadamente do mesmo jeito que a QRPA. Dizemos entao que a projecao no numero de

partıculas nao e capaz de evitar o colapso da QRPA[32].

Por outro lado, diversos tipos de QRPA tem sido imprementados, por exemplo a QRPA

renormalizado (RQRPA). Neste modelo, o efeito das GSC e incluıdo na equacao de movimento

QRPA. Um importante resultado para o colapso do QRPA, e que este se desenvolve em regiao

de parametros do canal partıcula-partıcula. A incorporacao das GSC ao modelo QRPA,

dependem ligeiramente dos medidas de amplitude de transicao-2νββ sobre esse parametro.

Porem, o preco a se pagar para evitar o “colapso” seria a nao-conservacao da Regra de Soma

de Ikeda (ISR- Ikeda Sum Rule) [50]. Essa regra corresponde a diferenca das amplitudes de

decaimento β− e β+ simples, sendo N − Z para a transicao de Fermi e 3 (N − Z) para a

transicao de Gamow-Teller. A regra de soma e independente do modelo utilizado e deve ser

cumprida por todo e qualquer modelo que se diz bom [51], sendo baseada nos comutadores, e no

fato de que sao operadores de partıcula simples [52]. Esta regra de soma e restaurada quando

se trabalha no espaco completamente renormalizado QRPA (Full Renormalized QRPA, FR-

QRPA) [53, 54], mas ainda o comportamento da amplitude-2νββ e similar ao aquele obtido

dentro da QRPA.

Outra aproximacao utilizada foi a QRPA “auto-consistente” (Self-consistent QRPA,

SCQRPA) [55] que incorpora por completo as GSC, levando simultaneamente o acoplamento

de partıculas-simples na QRPA. Porem na Ref. [56], foi feito um estudo comparativo das

QRPA, RQRPA e SCQRPA para excitacoes do tipo Fermi e encontrou-se que: (i) antes do

colapso da QRPA, as tres aproximacoes descrevem bem os resultados, (ii) proximo ao ponto de

transicao somente a SCQRPA reproduzem corretamente os resultados e, (iii) passando desse

ponto, a SCQRPA e RQRPA os valores obtidos sao diferentes dos exatos. Porem segundo

Krmpotic [56], as estimativas de que estes resultados sejam mantidos para a transicoes de GT

ainda devem ser exploradas.

Chegamos a conclusao entao, que as alteracoes na QRPA, propondo uma melhora desse

modelo nuclear, que avalia a mudanca qualitativa do comportamento da amplitude M2ν nao

sao completamente consistentes e nem contornam o problema do colapso. A menos que se

tolere a violacao da ISR, o que e extremamente perigoso no sentido de controlar os efeitos

nos valores de M2ν . Dentro do cenario de QRPA, ao inves de introduzir novas melhorias e

variacoes nas equacoes de movimento de QRPA, talvez seria melhor utilizar diferentes me-

30

canismos de supresao (“quenching”) para os elementos de matriz nuclear. Esta afirmativa

esta fundamentada principalmente porque outros modelos nao utilizariam o mesmo tipo de

interacao e/ou o mesmo espaco de configuracoes de partıculas independente, alem de possuir

outros conjuntos de correlacoes como por exemplo o modelo de camada nuclear SM [32].

Uma das proposta que surgiram para melhorar o analise da estrutura nuclear no pro-

cesso, foi introduzir o uso do Teorema de Brillouin. Este teorema diz que o hamiltoniano

nuclear nao se conecta ao vacuo de partıcula-buraco devido as excitacoes de p−n que condu-

zem a interacao residual de 1-partıcula-1-buraco, permitindo assim a mistura das excitacoes

de partıcula-buraco, o que produziria estados com configuracoes agora misturadas. Este

modelo recebeu o nome de aproximacao de Tamm-Dancoff - TDA - (Tamm-Dancoff Aproxi-

mation) [57]. Dessa maneira, utilizando um espaco gerado segundo uma variacao do espaco

restrito, pode-se determinar o menor estado de energia com uso do determinante de Slater.

Na TDA, diagonaliza-se a matriz da parte “eficaz‘” do hamiltoniano nuclear numa base de

partıcula unica. Temos entao orbitais abaixo do nıvel de Fermi, conhecidos tambem como o

vacuo de Hartree-Fock |HF ⟩, logo temos para as primeiras excitacoes no vacuo, que decorrem

de excitacoes do tipo 2-partıculas-2-buracos, proposto inicialmente por Hendekovic [42]. Com

a finalidade de descrever os estados fundamentais das vibracoes esfericas dos nucleos identicos

(sejam protons ou neutrons) para estados de zero-, duas-, ou quatro quasepartıculas, Ram

Raj et al.(1967) na Ref.[57, 58] propuseram entao o modelo de TDA de quasepartıculas QTDA

(Quaseparticle Tamm-Dancoff Aproximation).

31

2 INTRODUCAO

Segundo A.Samana [4] temos que alguns processos fracos envolvendo isotopos de 12C,

nao podem ser descritos de forma consistente pelos modelos do tipo da aproximacao por fase

aleatoria - RPA (Random Phase Aproximation) nem pela aproximacao aleatoria de quase-

partıculas - QRPA (Quase-Randon Particle Aproximation). No entanto, o modelo de QRPA

projetada no numero de partıculas resolveu um problema de coletividade presente no RPA e

QRPA para a triade 12C [4]. Porem, em nucleos que podem decair por decaimento duplo-β,

como 48Ca e 76Ge notou-se que o uso do modelo de PQRPA utilizado por F. Krmpotic et

al. [59], nao resolvia um dos maiores “defeitos”que possuem os modelos do tipo RPA. Numa

recente publicacao de F. Krmpotic [32], menciona que o principal inconveniente que se encon-

trava nos calculos de QRPA era a extrema sensibilidade dos elementos de matrizes M2ν para

decaimento dos nucleos que decaem pelo 2νββ no canal de partıcula-partıcula da interacao

residual. Ainda, a ambiguidade que existe no tratamento dos estados intermediarios pelo

modelo de QRPA, necessita-se recorrer a uma segunda conservacao de cargas para descrever

o decaimento-ββ do estado final excitado. Ambos problemas podem ser tratadas de maneira

mais conveniente pela FQTDA. Pelo outro modo de decaimento duplo beta sem emissao de

neutrinos, 0νββ, requer a violacao do numero leptonico (do ingles, Lepton-number-violating).

O processo 0νββ de nucleos atomicos e um dos atuais e principais objetivos experimentais

em fısica nuclear e de partıculas. Postula-se que esse processo de violacao leptonica, ocorre

apenas quando o neutrino e uma partıcula de Majorana, ou seja, o neutrino e sua propria

anti-partıcula.

A continuacao, descreveremos o esquema geral no qual trabalham as aproximacoes do

tipo RPA e QRPA. O Hamiltoniano da interacao nuclear e dado por:

H = Hp +Hn +Hres, (2.1)

que pode ser escrito em segunda quantificacao utilizando os operadores de criacao e destruicao

de partıculas c†pcp e c†ncn. A interacao de curto-alcance, ou interacao de emparelhamento, pode

ser tratada mediante uma transformacao de Bogoliubov sobre os operadores de partıcula (c†c)

obtendo os operadores de criacao e destruicao de quasepartıculas, (a†, a), que dependem da

probabilidade de ocupacao do estado (u, v). Para a parte da interacao de longo-alcance,

ou excitacao de estados coletivos do estado fundamental, pode-se usar a aproximacao quase-

32

bosonica. Temos assim que o espaco de estado vazio e dado por:

|0⟩RPA ≡ |0⟩HF , quando se trabalha com partıcula-buraco;

ou

|0⟩QRPA ≡ |0⟩BCS, quando trabalha com quasepartıculas.

Os estados dos nucleos vizinhos (impar-impar) ao nucleo par-par (definido como o

vazio, |0⟩) sao obtidos por aplicacoes simultaneas dos operadores de criacao e destruicao do

tipo: c†pcn|0⟩ ou c†ncp|0⟩. Assim os estados de energia mais baixos podem ser pensados como

excitacoes de uma partıcula-um buraco (1p − 1h) de um operador que contenha ambos os

tipos de excitacoes. Esse operador pode ser escrito como:

Λ = Xc†p cn|0⟩+ Y c†n cp|0⟩, (2.2)

sendo as amplitudes X e Y , chamadas de forward e de backward, respectivamente. No trata-

mento da aproximacao de Tamm-Dancoff ou teoria simples de partıcula-buraco, usada para

nucleos par-par com dupla camada fechada, ou em nucleos deformados com bandas de rotacao

bem estabilizadas e tambem em nucleos supercondutores, se utiliza unicamente a amplitude

de forward. No caso da RPA ou teoria sofisticada de partıcula-buraco, que e uma teoria sim-

ples para estados excitados de nucleos que admitem a possibilidade de nao serem puramente

caracteristicas de partıcula independente, mas poderiam conter correlacoes do estado funda-

mental, ambas amplitudes forward e backward sao usadas representando assim as excitacoes

1p− 1h para os dois ramos dos nucleos impar-impar vizinhos ao par-par.

No modelo de HF [60], o modelo de campo medio auto-consistentes negligencia as

trocas e inclusoes de partıculas. Porem no modelo de BCS [51], ja e tratada a forca de

emparelhamento (do ingles, paring). Na interacao de emparelhamento a existencia de estados

de quasepartıculas esta ligada aos estados dos nucleons originais de partıcula-simples obtidos

atraves da transformacao de Bogoliubov-Valatin (BV), permitindo demostrar a tendencia da

interacao de curto alcance de acoplar um par partıculas a configuracoes estaveis com J = 0.

Esse esquema de acoplamento conduz a densidades esfericas de distribuicao. Nesse caso o

vacuo esta dado por:

|0⟩ ≡ |BCS⟩. (2.3)

Temos que trabalhar com a transformacao dos operadores c† para a†, que agora sao funcoes

dos parametros de ocupacao dos estados (u, v), obtidas a partir da resolucao das equacoes

33

de BCS. Devido a transformacao de BV, escrevemos nosso novo hamiltoniano agora para o

espaco vazio em funcao dos operadores de quasepartıcula H → H ′ que contem termos do

tipo:

a†p ap, a†n an, a

†p a

†n ap an, (2.4)

representando excitacoes de 2 e 4 quasepartıculas. Uma melhor abordagem sobre modelos

utilizados voltara a ser tratado nos capitulos sequentes.

2.1 Objetivos

Este trabalho tem por ideal calcular as taxas do duplo decaimento-β com dois neutrinos

dentro da chamada aproximacao permitida1 utilizando o modelo de FQTDA [57]. Levanta-

remos uma comparacao entre QRPA e FQTDA, quando for possıvel, com intencao de avaliar

as taxas de amplitude do decaimento duplo-β. Uma outra comparacao sera feita entre os

elementos de matriz nuclear M2ν , para testar o modelo com alteracao dos paramentros nos

canais partıcula-partıcula e partıcula-buraco. Alem disso, faremos uma analise com base nos

dados experimentais previstos na literatura com intuito de verificar a exatidao e aplicabilidade

do modelo.

1Somente contribuim os termos de Fermi e de Gamow-Teller na probabilidade de transicao.

34

3 METODOLOGIA

3.1 Vidas medias para decaimento duplo-β

Para o decaimento duplo-β usualmente temos os seguintes modos de desintegracao:

(i) decaimento com dois neutrinhos duplo-beta (2νββ), que ocorre por dois sucessivos

decaimentos-β passando atraves de um estado virtual (N-1, Z+1), e

(ii) decaimento sem neutrino (0νββ).

As meia-vidas desses decaimentos sao escritas na forma:

T−12ν = G2νM2

2ν e T−10ν = G0νM2

0ν⟨mν⟩2, (3.1)

respectivamente, onde G ′s e o fator de fase geometrico, M′s sao os elementos de matriz

nuclear (NME’s) que apresentam muitas caracterısticas semelhantes, e ⟨mν⟩ e a massa media

do neutrino. No entanto, desconhecemos dois fatores cruciais do neutrino: (a) sua massa

absoluta, e (b) se o neutrino e uma partıcula de Majorana ou de Dirac. Somente o decaimento

0νββ e capaz de fornecer essas informacoes, no entanto, so e possıvel entender o decaimento-

0νββ quando se entenda o decaimento 2νββ.

Independente do modelo nuclear que e utilizado, considerando apenas as transicoes

permitidas, temos a seguinte expresao para os elementos de matriz de 2νββ no estado final

|0+f ⟩ [61]:

M2ν(f) =∑λ=0,1

(−)λ∑α

[⟨0+f ||O

β−

λ ||λ+α ⟩⟨λ+α ||Oβ−

λ ||0+⟩Dλ+

α ,f

]≡MF

2ν(f) +MGT2ν (f), (3.2)

onde o somatorio esta sobre todos os estados virtuais intermediarios |λ+α ⟩, e o operador de

transicao resulta em

Oβ−

λ = (2λ+ 1)−1/2∑pn

⟨p||Oλ||n⟩(c†pcn

)λ, onde

O0 = 1 , para F

O1 = σ , para GT. (3.3)

Assumimos que o Fermi (F) e o Gamow-Teller (GT) como operadores para o decaimento-β−,

e c† (c) como operador criacao (aniquilacao) de partıcula. Os operadores decaimentos-β+

35

correspondentes sao Oβ+

λ =(Oβ−

λ

)†, e

Dλ+α ,f = Eλ+

α−E0 + E0+f

2= Eλ+

α− E0 −

E0+f− E0

2, (3.4)

onde Dλ+α ,f e o denominador da energia. E0 e E0+f

sao respectivamente, os estados de energia

inicial |0+⟩ e estado de energia final |0+f ⟩.

O decaimento-ββ ocorre em nucleos de massa media que estao muitas vezes distantes

das regioes de camada fechada, e como conseguencia a maior parte das tentativas recentes

para avaliar M2ν e M0ν sao:

(i) o QRPA, onde se faz uma grande fracao de nucleos para participar de um grande

espaco de uma partıcula unica, mas dentro de um determinado espaco dotado de uma modesta

configuracao, por isso e de longe mais simples computacionalmente,

(ii) o modelo de camada (do ingles, Shell Model, SM) onde se lida com uma pequena

fracao de nucleos em um espaco limitado de partıcula unica, mas lhe permite correlacionar-

se de uma forma arbitraria dentro de um espaco grande de configuracoes, o que demanda

uma ardua tarefa computacional em virtude de diagonalizacao de grandes matrizes e com a

necessidade de realizar cortes (do ingles, cut-off ) para convergencia das rotinas numericas.

Na referencia [61] mostrou-se que os tipos de correlacoes que estes metodos incluem

nao sao os mesmos. Alem disso, varios e diferentes calculos com alteracoes do QRPA fo-

ram resolvidas e alteraram qualitativamente o comportamento da amplitude M2ν (o modelo

colapsa na regiao fısica da constante de acoplamento no canal de partıcula-partıcula), mas

nenhuma das alteracoes do QRPA ate agora foi capaz de sustentar a autoconsistencia do

modelo nuclear, a menos que se concorde em assumir a violacao da regra de soma de Ikeda

o que pode ser perigoso, pois nao temos controle sobre a forma de evolucao do sistema, nem

como isso afetaria o valor do M2ν .

Funcoes de onda e NME

Um esboco para avaliar as taxas de decaimento-ββ com um modelo nuclear simples

e feito dentro da aproximacao de QTDA [57, 58]. Nesse modelo, a principal diferenca em

comparacao com o modelo da QRPA, mais comumente utilizado, vem de como e descrito o

nucleo final (N − 2, Z + 2).

Semelhante a QRPA, podemos expressar o Hamiltoniano total como:

H = Hp +Hn +Hpn +Hpp +Hnn ≡ H0 +Hres, (3.5)

36

onde Hp e Hn sao respectivamente os Hamiltonianos de quasepartıcula unica para protons e

neutrons (com autovalores ϵp e ϵn). Hpn, Hpp, e Hnn sao os correspondentes Hamiltonianos

para duas-quasepartıculas. Assumimos entao:

i) o estado inicial e dado pelo vacuo de BCS para nucleo (N,Z), e

ii) os estados intermediarios e finais nucleares envolvidos no decaimento-ββ sao, res-

pectivamente, excitacoes de dois e quatro quaseparticulas no vacuo. Isto e:

• estado inicial: |0+⟩ = |BCS⟩,

• estado intermediario:

|λ+α ⟩ =∑pn

Xpn;λ+α|pn;λ+⟩, (3.6)

com

|pn;λ+⟩ = [a†pa†n]λ+ |BCS⟩, (3.7)

• estado final:

|0+f ⟩ =∑

p1p2n1n2J

Yp1p2n1n2J ;0+f|p1p2, n1n2; J⟩, (3.8)

com

|p1p2, n1n2; J⟩ = N(p1p2)N(n1n2){[a†p1a†p2]J [a

†n1a†n2

]J}0|BCS⟩, (3.9)

e

N(ab) = (1 + δab)−1/2. (3.10)

Aqui a† (a) e a criacao (aniquilacao) do operador de quasepartıcula em relacao ao vacuo

de BCS.

V

−

β−

β

n

n

p

1p

2

1

2

Figura 3.1: M2ν na QTDA. O primeiro e segundo vertice correspondem, respectivamente, aos elementos dematriz (3.11) e (3.12). O terceiro vertice representa a interacao residual no estado final.

37

Pode-se ler que os elementos de matriz de Hpn entre os estados intermediario |pn;λ+⟩

e o estado final |p1p2, n1n2; J⟩, respectivamente, a partir de [58, (4.9) e (4.5)], e os de Hpp

e Hnn entre os mesmos estados finais a partir de [57, (2.11)]. Assim, so mostramos aqui os

resultados explıcitos para os elementos de matriz de um-corpo que aparecem na Eq. (3.2).

Eles sao:

⟨λ+α ||Oβ−

λ ||0+⟩ =∑pn

Λ0+(pn;λ)Xpn;λ+

α, (3.11)

e

⟨0+f ||Oβ−

λ ||λ+α ⟩ = −∑pn

Xpn;λ+α

∑p1p2n1n2J

Yp1p2n1n2J;0+fN(p1p2)N(n1n2)P (p1p2J)P (n1n2J)

×√2J + 1(−)n1+p2+J+λ

p1 n1 λ

p n J

Λ0+(p1n1;λ)δp2pδn2n, (3.12)

onde

P (p1p2J) = 1− (−)p1+p2+JP (p1 ↔ p2), (3.13)

e o operador permutacao. As energias do denominador (3.2) sao

Eλ+α

= E0 + ωλ+α+ λp − λn,

E0+f= E0 + ω0+f

+ 2λp − 2λn, (3.14)

onde ωλ+αe ω0+f

sao os autovalores do Hamiltoniano (3.5) para o estado intermediario |λ+α ⟩

e o estado final |0+f ⟩, respectivamente, e λp e λn sao os potenciais quımicos. Portanto o

denominador de energia resulta em

Dλ+α ,f = ωλ+

α−ω0+f

2. (3.15)

Dentro da QTDA, o limite partıcula-buraco resulta em fazer : vp → 0, vn → 1, e

portanto, pode-se aplicar diretamente este modelo a nucleos com dupla camada fechada como

o 48Ca.

38

3.2 Formalismo dos modelos de Estrutura Nuclear

Diversas modificacoes foram implementadas afim de aprimorar as previsoes teoricas

para decaimento-ββ. Recentemente Krmpotic et al. [62] menciona que a propria QRPA

tambem teve de ser alterada. Anteriormente mencionamos que as varias modificacoes de

QRPA: PQRPA, SCQRPA, RQRPA, FR-QRPA, entre outras nao conseguiam evitar o cha-

mado colapso da QRPA, e o preco a se pagar para evitar o colapso da QRPA dentro da

RQRPA e a nao-conservacao da regra de soma de Ikeda para o operador GT [32]. Pode-se

concluir que nenhuma das modificacoes propostas ate agora foi capaz de modificar qualita-

tivamente o comportamento da amplitude M2ν , a menos que se aceite pagar um alto preco

que e a violacao da regra de soma de Ikeda.

Abordaremos na proxima secoes diferentes modelos de estrutura nucler utilizados para

a descricao dos nucleos que compoem os elementos de matriz-ββ.

3.2.1 Modelo de BCS

O Hamiltoniano da interacao nuclear dado por (2.1) pode ser escrito como:

H = Hp +Hn +Hpn, (3.16)

ondeHp eHn descrevem os Hamiltonianos para partıculas independentes de protons e neutrons,

respectivamente, sendo que Hpn representa a interacao residual entre protons e neutrons. No

formalismo da segunda quantificacao , podemos expressa-los como

Ht =∑t

(et − λt)c†tct +

1

4

∑t′s

< t1t2|V |t3t4 >A c†t1c

†t2ct4ct3 , t = p, n, (3.17)

Hpn =∑pp′nn′

< pn|V |p′n′ >A: c†pc

†ncn′cp′ : , (3.18)

onde os subındices p (n) indicam todo o conjunto de numeros quanticos para um nıvel1, ou

seja p ≡ {np, lp, jp,mp} (n ≡ {nn, ln, jn,mn}), onde esses elementos tem um significao usual; et

e a energia de partıcula independente, λt e o potencial quımico, c†t e (ct) sao os operadores de

criacao (aniquilacao) de partıculas independente. O sımbolo : : indica o produto normal de

operadores fermionicos com respeito ao vazio de partıculas , e o ındice A indica que elementos

1Estes correspondem ao campo medio gerado pelos nucleons que usualmente simulam mediante umpotencial de oscilador harmonico ou um potencial de Wood-Saxon. Onde ut, vt sao coeficientes, sendo que u2trepresenta a probabilidade de ocupacao de um estado t de quasepartıcula.

39

da matriz que estao corretamente antisimetrizados, sendo

< t1t2|V |t3t4 >A=< t1t2|V |t3t4 > − < t1t2|V |t4t3 > . (3.19)

O Hamiltoniano (3.16) pode ser diagonalizado atraves de uma transformacao canonica

de quasepartıculas [60] chamado de transformacao de Bogoliubov:

a†t = utc†t − vtct, u2t + v2t = 1, at = (−1)t+mtat,−mt . (3.20)

Utilizando o teorema de Wick com respeito ao vazio de quasepartıculas definido por

|BCS⟩ ≡ |0+⟩ = |0p⟩|0n⟩, |0t⟩ =∏t

(ut + vta†ta

†t)|⟩, t = p, n, (3.21)

onde | ⟩ e o vazio de partıculas. O Hamiltoniano (3.16) toma a forma

Ht = H0t +H11

t +H20t , (3.22)

onde

H0t =

∑t

(et − λt)v2t −

1

2utvt∆t,

H11t =

∑t

[(et − λt)(u2t − v2t ) + 2utvt∆t]a

†tat, (3.23)

H20t =

∑t

[(et − λt)utvt −1

2(u2t − v2t )∆t](a

†ta

†t + atat),

com os gaps de emparelhamento definidos por

∆t = −1

2

∑t′

jt′ j−1t ut′vt′ < tt; 0|V pair|t′t′; 0 > . (3.24)

V pair e a parte da interacao residual que descreve o emparelhamento das partıculas que se

acoplam ao momento angular J = 0. Exigindo que ao termino H20t se anule 2 obtemos a

chamada equacao de gap

2(et − λt)utvt = (u2t − v2t )∆t, (3.25)

que resolvidas em foma consistente com as condicoes de normalizacao , u2t + v2t = 1, temos

2Outra maneira de obter as equacoes de gap, consiste em minimizar a energia do estado fundamental dosrespectivos parametros ut e vt.

40

como solucoes as ocupacoes

u2t =1

2

(1 +

et − λtEt

), v2t =

1

2

(1− et − λt

Et

), (3.26)

onde Et =√

(et − λt)2 +∆2t , e definida como energia de quasepartıcula. A menos de um

termo constante que representa a energia do vazio, do Hamiltoniano (2.1) toma a forma

diagonal

Ht =∑t

Eta†tat, (3.27)

de onde fica claro que Et se interprete como a energia de quasepartıcula.

Como as equacoes de BCS sao resolvidas em nucleos com (Z,N) pares, tambem se

cumpre a seguinte condicao para o valor medio do operador numero N :

⟨BCS|N |BCS⟩∑

t=n(p)

(2jt + 1)v2jt = N(Z), (3.28)

Finalmente e conveniente definir as energias de quasepartıculas relativas ao nıvel de

Fermi

E(±)jk

= ±Ejk + λk; (k = p, n), (3.29)

para associar essas energias E± com as energias de partıcula simples dos nucleos vizinhos

impar-impar.

3.2.2 Modelo de Tamm-Dancoff (TDA)

Uma descricao das configuracoes mesclada de excitacoes partıcula-buraco em nucleos

duplamente magicos, e tratada simplesmente considerando excitacoes de uma partıcula- um

buraco (1p-1h). Este esquema e conhecido como aproximacao de Tamm-Dancoff (TDA).

Suhonen [51] deriva as equacoes de TDA usando teorema de Brillouin, que permite a diago-

nalizacao da interacao residual dentro da base de 1p-1h. Assim dentro da TDA, a interacao

residual e permitida misturar excitacoes partıcula-buraco para produzir estados nucleares com

configuracoes mistas. Nesta secao usaremos a descricao da TDA que sera feita de acordo com

o tratamento feita por Rowe [60] usando as equacoes de movimento, mas outras referencias

mais atuais como Suhonen [51] pode ser consultada.

41

O Hamiltoniano (2.1) dentro da representacao de HF, segundo Rowe[60], e dado por

H = H0 + VRES, (3.30)

onde,

H0 =∑ν

ϵνc†νcν , (3.31)

e

VRES =1

4

∑µνµ′ν′

Vµνµ′ν′: c†µc

†νcν′cµ′:, (3.32)

agora a separacao de HF (3.30) foi feita de tal maneira que o estado fundamental | ⟩ de

H0 deve ser uma boa aproximacao para o estado fundamental de H. Mas nao ha nenhuma

razao para que estados excitados de H0 devam ser semelhantes aos auto-estados de H. Em

particular, o mais baixo estado excitado de H0, nomea-se excitacao de partıcula-buraco

|m(i)−1⟩ ≡ c†mci| ⟩ (3.33)

sao diretamente acoplados pela interacao residual. Sendo m, n estados de partıcula e i, j

estado de buraco, assim

⟨m(i)−1|VRES|n(j)−1⟩ =1

4

∑µνµ′ν′

Vµνµ′ν′⟨ |a†iam:a†µa†νaµ′aν′:a†naj| ⟩,

=1

4(Vmjin − Vjmin − Vmjni + Vjmni),

= Vmjin. (3.34)

Desde que V esta antisimetrizado, Vmjin contem ambos elementos de matriz dos termos diretos

e de troca. Os elementos de matriz do hamiltoniano completo, para estado de partıcula-buraco

resultam

⟨m(i)−1|H|n(j)−1⟩ = δmnδij(E0 + ϵmi) + Vmjin, (3.35)

onde E0 e a energia do estado fundamental e ϵmi = ϵm − ϵi e a energia excitacao do estado

nao-pertubado para partıcula-buraco.

Se assumimos que os auto-estados |w⟩ de H podem ser expandidos em termos finitos

de uma combinacao linear de estados de partıcula-simples

|w⟩ =∑nj

Ynj(w)|n(j)−1⟩, (3.36)

42

obtendo a seguinte equacao secular

∑nj

⟨m(i)−1|H|n(j)−1⟩Ynj(w) = EwYmi(w). (3.37)

Expandindo esta ultima equacao resulta em

∑nj

(δmnδijϵmi + Vmjin)Ynj(w) = ~wYmi(w), (3.38)

onde ~w e a energia de excitacao

~w = Ew − E0. (3.39)

A anterior representacao, chamada de representacao desacoplada partıcula-buraco, e

formalmente muito simples e por essa razao muito usada. Mas com excecao para nucleos

deformados, ela nao e muito conveniente para propositos computacionais. Se possuimos um

bom numero quantico, assim como o momento angular, deve-se usar para reduzir as dimensoes

da matriz a ser diagonalizada. Ao inves da combinacao linear de estados de partıculas-buracos

da equacao (3.36), podemos fazer a expansao como

|wJM⟩ =∑nj

Ynj(wJ)|n(j)−1; JM⟩, (3.40)

onde

|n(j)−1; JM⟩ =∑

mn(mj)

(jnjjmnmj|JM)c†ncj| ⟩, (3.41)

e cj e a notacao abreviada para cj ≡ (−1)jj+mjcjj−mj. A equacao secular torna-se entao

∑nj

(δmnδijϵmi + ⟨m(i)−1; J |VRES|n(j)−1; J⟩)Ynj(wJ) = ~wYmi(wJ). (3.42)

Se o spin isotopico e um bom numero quantico, podemos interpretar ao J , nessas

equacoes, como simbolizando tanto momento angular, J , e o isospin, T .

Com ajuda do algebra de acoplamentos angulares, os elementos de matriz do estado de

partıcula-buraco, podem ser expressos em termos dos elementos de matriz de duas-partıculas.

43

Obtemos, na representacao acoplada-JT ,

⟨m(i)−1; JT |VRES|n(j)−1; JT ⟩ = −∑J1T1

(2J1 + 1)(2T1 + 1)W (jmjijjjn; JJ1)

W

(1

2

1

2

1

2

1

2;TT1

)⟨(jm)J1T1|V |(in)J1T1⟩, (3.43)

onde os W ’s sao os coeficientes de Racah.

O elemento de matriz para um operador geral de um-corpo W e dado pela representacao

desacoplada por

⟨w|W | ⟩ =∑nj

Y ∗nj(w)⟨n(j)−1|W | ⟩ =

∑nk

Y ∗nj(w)Wnj (3.44)

onde

Wnj = ⟨n|W |j⟩ ≡∫ψ∗nWψi. (3.45)

Agora na representacao acoplada resulta

⟨wJM |WJM | ⟩ =∑nj

Y ∗nj(nJ)⟨n(j)−1; JM |WJM | ⟩, (3.46)

com

⟨n(j)−1; JM |WJM | ⟩ =∑

mn(mj)

⟨n|WJM |j⟩(jnjjmnmj|JM). (3.47)

Simplificando a expressao usando os elementos de matriz reduzidos definidos pelo te-

orema de Wigner-Eckart, obtemos

⟨n|WJM |j⟩ = (−1)jj+mj(jjJ −mjM |jnmn)

(2jn + 1)12

⟨n||Wj||j⟩

=(jnjjmnmj|JM)

(2J + 1)12

⟨n||WJ ||j⟩. (3.48)

Combinando com (3.47)

⟨n(j)−1; J ||WJ || ⟩ = ⟨n||WJ |j⟩, (3.49)

e com (3.46) obtem-se finalmente

⟨wJ ||WJ || ⟩ =∑nj

Y ∗nj(wJ)⟨n||WJ |j⟩. (3.50)

44

3.2.3 Modelo de quasepartıcula TDA (QTDA)

Esse metodo proposto inicialmente por Raj, Pal, e Gambhir (1967) [57], que depois

retornou em (1968) com a colaboracao de Rustgy [58], foi desenvolvido para descrever os

estados de baixa energia de nucleos esfericos vibracionais com nucleons identicos (sejam eles

protons ou neutrons). O metodo descreve os estados vibracionais como superposicao de zero-

, duas-, ou quatro-quasepartıculas. Infelizmente, temos que os estados bases para o caso

de quatro-quasepartıculas dentro do formalismo de segunda HRPA (Higher Random Phase

Approximation - metodo que e uma extensao do RPA sugerido por Sawicki (1964) [63]) nao

formam um conjunto ortonormal linearmente independente e, as amplitudes de transicao

podem conduzir a resultados sem sentido. A solucao para este problema de redundancia

e nao-ortonormalizacao dos estados bases de quatro-quasepartıculas esta desenvolvida no

trabalho de MTDA(Modified Tamm-Dancoff Approximation) (1967) [57], tambem conhecido

por FQTDA (Four Quasiparticle Tamm-Dancoff Approximation).

O metodo FQTDA foi aplicado por Ram Raj et al.(1967) [57] para o calculo de nıveis

pares dos isotopos de Ni e Sn. A validade do metodo foi justificada por comparacao dos

resultados com isotopos pares de Ni e os resultados exatos do modelo de camadas dados por

Cohen et al. [64] e, mais tarde no mesmo ano, por Gambhir et al. [58].

Na Ref. [57], o metodo FQTDA para nucleos pares e impares com ambas quase-

partıculas de neutrons e protons, participando ativamente na mistura de configuracoes. Se o

neutrons e protons pertencem a nıveis de camadas bem separadas, entao a interacao entre eles

pode ser tratada como uma pertubacao sobre a interacao de emparelhamento de protons ou

sobre a de neutros. Em tais casos dentro de uma boa aproximacao, se faz primeiro as trans-

formacoes de quasepartıculas separadamente para neutrons e protons, seguido do tratamento

da interacao entre eles, Pal et al. [65] e Kissinger et al. [66]. Nessa aproximacao, o efeito da

interacao neutron-proton mantem as equacoes de emparelhamento inalteradas, e somente as

energias de partıcula-simples (single-particle) sao usadas e alteradas atraves da contribuicao

dos outros nucleons.

Em um nucleo par, as excitacoes importantes consistem de pares de quasepartıculas

de neutrons e pares de quasepartıculas de protons, enquanto que em nucleos impares temos

que sao importantes as excitacoes de pares de quasepartıculas neutron-proton. No limite

total de quatro-quasepartıculas, os estados de bases que trabalham sobre o vacuo serao: 2-

neutrons-2-protons, 4-neutrons, 4-protons e mistura de 2-neutrons-2-protons, para a descricao

dos nucleos pares e a mistura de quasepartıculas de 1-neutron-1-proton, 1-neutron-3-protons e

45

3-neutrons-1-proton para nucleos impares. O acoplamento entre excitacoes de quasepartıcula

de neutrons-protons, surge pela interacao residual. Para descrever corretamente os estados,

deve-se fazer os calculos de mistura das configuracoes da interacao residual de quasepartıculas

de neutrons-proton trabalhando num espaco gerado sobre as bases mencionadas. No calculo

dos elementos de matriz conectando diferentes sub-espacos e transicoes de probabilidade, um

bom conjunto de estados de bases de quasepartıcula sem redundancia e ortonormalizado e

usado.

A presenca de estados espurios 0+ surge pela nao-conservacao do numero de partıculas

no metodo de quasepartıculas e sera removido para estados identicos de 2-, 3-, 4-quasepartıculas

pelo procedemento descrito na Ref. [57]. Expressoes para os elementos de matrizes entre os

diferentes estados bases, que sao necessarios para o calculo da energia, as funcao de onda e a

transicao de probabilidade foram tambem reportadas na Ref. [58]. A seguir apresentaremos

um breve resumo do hamiltoniano transformado para o esquema de quasepartıculas, dos es-

tado bases, e os elementos de matriz que surgem da interacao residual entre as quasepartıculas

de neutron-proton.

3.2.3.1 O Hamiltoniano total

O hamiltoniano dado pela equacao (2.1), assume a forma da equacao (3.16), onde a

parte da interacao residual entre protons e neutrons e descrita pela equacao (3.18).

Se tivermos neutrons e protons em camadas bem definidas, a interacao entre eles pode

ser tratada como uma pertubacao sobre a interacao de emparelhamento entre protons ou entre

neutrons. Utilizando a transformacao de Bogoliubov Eq. (3.20), obtemos o tratamento para

quasepartıculas.

A versao de quasepartıcula de Hpn de eq. (3.18) consiste de duas partes, a primeira

modifica simplesmente a energia de partıcula-simples(sp) proton (neutron), ϵ, dando:

ϵp = ϵp +∑nJ

{[J ]/[p]}12G(pnpnJ)v2n, (3.51)

onde [J ] = 2J + 1 e, G(p1n1p2n2J) e o elemento de matriz de dois corpos de V entre o

momento angular dos estados acoplados ⟨(p1n1J)| e |(p2n2J)⟩. A troca de n↔ p na anterior,

nos da a expressao para ϵn. A segunda parte da interacao residual

Hnp(int) =∑pp′nn′

⟨pn|V |p′n′⟩ : c†pc†ncn′cp′ : (3.52)

46

representa a interacao residual entre quasepartıculas de neutrons-protons. O simbolo :: denota

o produto normal do operador de fermions.

Nos introduzimos os pares de operadores normalizados (para neutrons e/ou protons)

A† e A definidas por:

A†(abJM) = N(ab)A†(abJM), (3.53)

e

A(abJM) = N(ab)A(abJM), (3.54)

com o fator de normalizacao

N(ab) = (1 + δab)12 . (3.55)

Logo o operador nao-normalizado A† e A nos da

A†(abJM) = −(−)a+b−JA†(baJM) =∑αβ

a b J

α β M

a†αa†β, (3.56)

com

A(abJM) = [A†(abJM)]†, (3.57)

sendo o operador numero N e definido como

N(abJM) =∑αβ

a b J

α −β M

Sβa†αaβ, (3.58)

onde o sımbolo [ ] denota o coeficiente de Clebsch-Gordan. Em termo dos operadores aqui

em cima definidos, o hamiltoniano Hnp(int) pode-se escrever

Hpn = H40 + H04 + H13 + H31 + H22, (3.59)

onde as expressoes matematicas para H40 = H†04, H31 = H†

31 e, H22, sao dados pela equacoes

(2.9), (2.10) e (2.11) respectivamente da Ram Raj et al. [58]. Estas expressoes para H’s

contem os elementos de matriz partıcula-buraco dados por F (pp′nn′J) e, os elementos de

matriz de partıcula-partıcula dados por G(pp′nn′J). Logo, a relacao entre eles resulta

F (pp′nn′J) = −∑J ′

√2J ′ + 1 W (pp′n′n; JJ ′) G(n′pp′nJ ′), (3.60)

onde W(abcd; ef) sao os coeficientes de 6J de Racah’s.

47

3.1.4.2 FQTDA. Estados da Base

O estado de zero-partıcula e o estado do vacuo de quasepartıcula |0⟩. O estado de

uma-quasepartıcula e simplesmente o operador de quasepartıcula a†α operando sobre o vacuo

|0⟩:

|α⟩ = a†α|0⟩. (3.61)

O estado antisimetrico normalizado de duas-quasepartıculas (para quasepartıculas de

pares de neutrons ou protons) sao as produzidas pelo operador A†(abJM) = N(ab)A†(abJM)

operando em |0⟩, ou seja:

A†(abJM)|0⟩ = |abJM⟩A = (1/√2[|a(1)b(2)JM⟩ − (−1)a+b−J |b(1)a(2)JM⟩], (3.62)

que e diferente do operador para os pares de quasepartıculas de neutron-proton:

A†(npJM)|0⟩ = |npJM⟩. (3.63)

A mistura de quasepartıculas de dois-neutrons e dois-protons e dada por:

|n1n2J12, p1p2J34; J⟩A = [A†(n1n2J12A†(p1p2J34]J |0⟩. (3.64)

A base de estados de quatro-quasepartıculas (sendo todas quasepartıculas de neutrons ou de

protons) sao classificadas de acordo com o conhecido esquema da senhoridade 3 para assegurar

a independencia, ortogonalidade e a nao-redundancia das bases. Eles podem ser dado pelos

tipos de configuracoes:

1) |a4Jν⟩, 2) |a31J1ν1, a2; J⟩, 3) |a21J1, a22J2; J⟩,

4) |a21J1, a2a3J23; J⟩, 5) |a1a2J12, a3a4J34; J⟩, (3.65)

onde J e o momento angular, ν e a senhoridade e o J com subscrito (ex. J23) denota o

acoplamento intermediario do momento angular de pares de quasepartıculas. O supraındice

em a denota o numero de quasepartıculas presentes nesse estado. Em segunda quantizacao os

estados de quatro-quasepartıculas segundo (3.65) do tipo 3) e 4) e |a1a2J12, a3a4J34; J⟩ podem

ser representados por

[a†(a1a2J12)a†(a3a4J34)]

J |0⟩, (3.66)

3Fator que diz respeito a quantidade de acoplamentos existentes. Por exemplo, se todos os pares acopladostemos senhoridade ν=0, e algum desacoplado ν=1.

48

e para o tipo 5) da (3.65) por

[a†(a1a2J12)a†α3]

J |0⟩. (3.67)

Para reescrever a segunda quantizacao dos estados 1) faremos uso dos coeficientes de

parentesco fracional e sao dados por:

|a3JνM⟩ = [(√3!⟨a2(J1); a, J ||a3Jν⟩]−1 × [A†(aaJ1)a

†a]

JM |0⟩, (3.68)

e

|a4JνM⟩ = [(√4!⟨a2(J1), a2(J2); J ||a4Jν⟩]−1 × [A†(aaJ1)A

†(aaJ2)]JM |0⟩. (3.69)

Assim de (3.68) e (3.69) podemos ver que para um dado J (com M podendo ter qualquer

porjecao), o lado direito obtido para os valores permitidos J1 (e J2) sao equivalentes aos

correspondentes ao estados simples do lado esquerdo. Portanto, um pode assumir qualquer

valor de J1 (e J2) permitido pela regras de acoplamento de momento angular sendo capaz de

descrever os estados do modelo de camadas. Sempre que usamos J1 (e J2) nos coeficientes

de parentesco fracional que ocorrem em qualquer expressao, eles sempre vao estar permitido

pela regra de acoplamento de momentos angulares.

Os estados bases para quasepartıcula de 1-neutron (-proton) acoplados as quase-

partıculas de tres-protron (-neutron) dos tipos 2), 3) de (3.61), como o procedimento de

elimacao dos estados espurios 0+ estao detalhados na Ref. [58] e nao serao usados no presente

trabalho.

3.1.4.3 FQTDA: Elementos de Matriz

Daremos aqui os elementos de matriz que surgem da interacao residual entre quase-

partıculas de neutron-proton para os estados bases de zero- dois- e quatro-estados de quas-

partıcula necessarios para descrever o estado final no duplo decaimento beta. Tambem para

nao abusar na escrita de equacoes, temos que os elementos de matriz entre estados de quase-

partıcula de dois-neutrons (ou -protons) e aqueles entre estados de quasepartıcula de quatro-

neutrons (ou -protons) encontram-se nas Eqs. (5.1)-(5.10) de Ref. [57]. De igual maneira

na mesma Ref. [57], encontram-se os elementos de matriz entre estados de quasepartıcula

de: zero- , quatro-neutrons (ou -protons) e viceversa , e para dois- ate quatro-neutrons (ou

-protons) e viceversa, nas Eqs. (5.11)-(5.14) e Eqs. (5.16)-(5.18), respectivalmente.

Para o segundo termo de H22 na parte de Hnp, os elementos de matriz para os estados

49

de quasepartıcula de dois-protons (-neutrons) ou de dois-neutrons (-protons) sao:

⟨0|a(n1n2J1)H22a†(p1p2J2)|0⟩ = −δJ1J2N(n1n2)N(p1p2)P (p1p2J2)P (n1n2J1)×

Up1Vp2Vn2Un1F (p1p2n1n2J1), (3.70)

onde o operador permutacao P e dado por:

P (p1p2J) = 1− (−1)p1+p2−JP (p1 ↔ p2) (3.71)

O segundo termo de H22 tambem contribui para os estados do tipo de quatro-quasepartıculas.

Vamos descrever abaixo somente os elementos de matriz entre estados de quasepartıculas para

quatro-neutrons, pois para os estados de quasepartıculas de quatro-protons pode-se escrever

de formar similar. Assim temos que avaliar os elementos de matriz de:

⟨ψ1|H22|ψ2⟩, (3.72)

onde ψ1 e ψ2 sao os estados de quatro-quasepartıculas.

Os elementos de matriz para os estados de quatro-quasepartıculas para o primeiro

termo de H22 resulta:

⟨0|[a†(n1n2J1)a†(p1p2J2)]

†JH22[a†(n′

1n′2J

′1)× a†(p′1p

′2J

′2)]

J ′|0⟩ =

−δJJ ′N(n′1n

′2)N(p′1p

′2)×N(n1n2)N(p1p2)P (n

′1n

′2J

′1)P (p

′1p

′2J

′2)P (n1n2J1)×

P (p1p2J2)∑Jx

(−1)J1+J ′1−Jx[Jx]{[J1J2J ′

1J′2]}

12 ×

W (p2p1J′2Jx; J2p

′1)W (J1n2Jxn

′1;n1J

′1)×

W (JxJ2J′1J ; J

′2J1)δp2p′2δn2n′

2H(p1p

′1n1n

′1Jx), (3.73)

onde o simbolo H(p1p′1n1n

′1Jx) e definido como:

H(p1p′1n1n

′1Jx) = (up1up′1un1un′

1+ vp1vp′1vn1vn′

1)× F (p1p

′1n

′1n1Jx)

+(−1)n1+n′1−Jx × (up1up′1vn1vn′

1+ vp1vp′1un1un′

1)F (p1p

′1n1n

′1Jx). (3.74)

A mistura entre diferentes sub-espacos de quasepartıculas que surgem atraves de H40(H04)

e H31(H13) para mistura entre estados de |0⟩, com H31(H13) conectados a estados de qua-

separtıculas de dois-neutrons ou dois-protons, nao serao usadas neste trabalho. Porem, as

expressoes para estes elementos de matriz encontram-se no trabalho de Ram Raj [58].

50

3.3 O codigo FQTDA

A FQTDA (Four Quasiparticle Tamm-Dancoff Approximation) foi implementada

num codigo numerico de mesmo nome, escrito em linguagem FORTRAN 77. Ele permite

resolver numericamente as equacoes de movimento para modelos de estrutura nuclear TDA,

FTDA, QTDA e FQTDA, permitindo descrever por esses modelos os estados nucleares finais

e intermediarios. Em seguida obtem os NME para o decaimento-β duplo com 2 neutrinos

dentro do formalismo de interacao neutrino-nucleo conforme explicado nas referencias [4, 61].

O codigo FQTDA utiliza a interacao-δ como interacao residual, permitindo ajustar convenien-

temente as amplitudes dos canais de: emparelhamento, partıcula-partıcula e partıcula-buraco

num so canal acoplado, ou partıcula-partıcula e partıcula-buraco em canais separados. Esta

interacao-δ tem sido usada extensivamente na literatura para descrever processos de decai-

mento β-simples e duplo-β [59, 67, 68], tambem utilizada no processo TDA [32, 57, 58], e

tambem em calculos de processos semi-leptonicos [4, 61, 69, 70].

O codigo FQTDA foi aprimorado a partir do codigo original usado nas Refs. [32, 71],

onde uma nova abordagem para o calculo dos NME no duplo decaimento-β foi desenvolvido.

Neste trabalho, o codigo foi usado para calculos sistematicos do duplo decaimento-β, no

nucleo de 48Ca. Na Figura (3.2) mostramos o diagrama de fluxo que segue o FQTDA. O

primeiro passo foi obter de forma adequada o espaco de configuracao das energias de partıculas

independentes para os nucleos em analise. Em seguida as equacoes de BCS sao resolvidas

ajustando os parametros das amplitudes de emparelhamento (pairing) para reproduzir os

valores dos ’gaps’ ∆p e ∆n experimentais como esta explicado na Ref. [70].

Dependendo da opcao adotada no arquivo de dados, o FQTDA resolvera: (i) as

equacoes de BCS (nucleo inicial) e depois as equacoes de QTDA (nucleo intermediario), e por

fim as de FQTDA (nucleo final), ou (ii) resolvera as equacoes de TDA (nucleo intermediario)

no espaco de Hartree-Fock e em seguida as equacoes de FTDA (nucleo final). Observa-se que

em ambas situacoes, (i) e (ii) faz-se o uso da forca-δ para tratamento da interacao residual.

Uma vez resolvida o problema de estrutura nuclear, procede-se a calcular: o decaimento-ββ

com emissao de 2ν dentro da aproximacao das transicoes permitidas. Num futuro trabalho

planeja-se estender este codigo para calcular o decaimento-ββ sem emissao de neutrinos.

Tanto para o calculo das equacoes de BCS como para as equacoes de TDA, usamos

a mesma interacao residual tipo-δ. Os paramentros-ph para a interacao residual podem ser

adotados de um estudo sistematico das ressonancias Gamow-Teller [72], ja usado na Ref. [32].

Porem, podemos fazer algumas alteracoes nesses parametros para analisar o comportamento

51

FQTDA: F Q T D Aour uasiparticle amm- ancoff proximation

Single Particle State

XZ N

Ca48

Ge76

Mo100{

FTDAFQTDA

QTDA TDA

Figura 3.2: Diagrama do codigo FQTDA.

52

da FQTDA nesse canal-ph. Assim, os calculos da taxa de decaimento duplo-β foram realizados

com os parametros de partıcula-buraco ajustados por tres pares: i) (vPHs = 27.0, vPH

t = 64.0),

ii) (vPHs = 35.0, vPH

t = 65.0), iii) (vPHs = 40.0, vPH

t = 60.0). Enquanto que para os canais

de partıcula-partıcula foram escolhidos s = vppsvpairs

= 1, onde vpps e a constante de acoplamento

nos canais singlete S=1 e T=0 da interacao residual, e deixando o parametro t =vpptvpairs

(canal

triplete S=0 e T=1) como uma variavel ajustavel, de modo que as taxas de decaimento se

adequassem no possıvel aos dados experimentais disponıveis. Este procedimento de escolha

de parametros e o procedimento “usual” usado em calculos anteriores para os NME dentro

do formalismo da QRPA [25, 26, 27, 67, 68, 73] entre outros. Neste trabalho tambem imple-

mentamos o uso de um simples conjunto de parametros (vs, vt) para ambos canais ph e pp,

como foi realizado na Ref. [32].

Encontramos assim o estado final |0+f ⟩ como uma excitacao de quatro-quasipartıculas

sobre os vacuos |0⟩BCS ou |0⟩HF , e finalmente nossos elementos de matriz nuclear-NME (M2ν)

para decaimentos do tipo 2νββ.

53

4 RESULTADOS NUMERICOS

4.1 Resultado para 48Ca

4.1.1 Comparacao dos resultados numericos com o antigo codigo

Escolha do s.p.e. para 48Ca

Nessa primeira parte, desenvolveremos uma abordagem comparativa entre o antigo

codigo QTDA7.f (utilizado nas Refs. [32, 71]) e as melhorias implementadas numa nova versao

do codigo, chamado agora QTDA82.f, ambos escrito em FORTRAN 77. Temos agora, que o

codigo e capaz de reproduzir corretamente o limite-ph, impondo as condicoes vp → 0, vn → 1

e up → 1, un → 0, uteis para 48Ca quando as energias de partıcula simples - s.p.e - (do ingles,

single-particle energies) de 40Ca sao usadas.

Este trabalho, utilizou tres conjuntos de s.p.e. rotuladas como: SET 1: conjunto de

s.p.e. de neutrons e protons (corrigidos pela interacao Coulombiana) do 40Ca aplicado para

descrever o 48Ca. SET 2: s.p.e. experimental de neutrons e protons de 48Ca (usados previ-

amente nos calculos de QRPA) [68, 74]). SET 3: s.p.e. modificado do oscilador harmonico

usual, utilizando o procedimento das equacoes de gap inverso para produzir a s.p.e. experi-

mental de 48Ca. Este processo equacoes de gap inverso ja havia sido utilizado anteriormente

para o caso do 12C (Ref. [23] do [4]). Uma demonstracao com maiores detalhes e feita abaixo.

Na Tabela (4.1), temos um conjunto de s.p.e sublinhado que diz respeito ao SET 1, que foram

empregados para fazer o limite-ph do QTDA realizado anteriormente pelas nossas Refs.[61, 75]

para 48Ca. A extensao do s.p.e sublinadas foi necessaria para completar o espaco disponıvel

onde as equacoes de BCS devem ser resolvidas de forma consistente (i.e. nao podemos resol-

ver as equacoes de BCS com so 1 nıvel). Da mesma forma que foi feito pela Ref. [61], estes

s.p.e. adicionais foram tomados a partir de energias experimentais para neutrons em 40Ca

e de protons, sendo ainda que estas s.p.e. foram corrigidas pela energia coulombiana. Os

resultados dessas energias compoem o SET 1.

Com os diferentes conjuntos podemos realizar os seguintes estudos e comparacoes:

(i) No limite-ph de QTDA para o s.p.e. sublinhado pelo Set 1, podemos compa-

rar atuais resultados com o resultado anterior da Ref. [61] para o espaco de configuracao de

1-neutron-buraco |n⟩ ≡ 1f7/2 e 3-protons-partıculas |p⟩ ≡ 1f7/2, 1f5/2, 2p1/2, 2p3/2, que chama-

remos de espaco-ph.

(ii) A reducao do s.p.e do SET 1 para QTDA, e obtida solucionando as equacoes de

54

Tabela 4.1: Energias de partıcula simples, (s.p.e), dada por ej (em Mev) para os SET 1, SET 2 e

SET 3 de s.p.e. utilizados para descrever 48Ca. A forca de emparelhamento vpairs (adimensional)para neutrons e protons dentro do BCS para N = 28 e P = 20 tambem sao esbocados. Os s.p.e.sublinados fazem referencia as energias usada no limite preliminar de partıcula-buraco para QTDA.

neutrons protonsShell SET1 SET2 SET3 SET1 SET2 SET31f5/2 6.50 −1.54 −2.05 12.89 −5.80 −6.272p1/2 4.10 −3.11 −3.79 10.49 −4.58 −4.862p3/2 2.10 −5.14 −8.18 8.49 −6.93 −7.391f7/2 0.00 −9.94 −8.44 6.39 −9.62 −10.871d5/2 −12.73 −12.52 −11.71 −6.34 −15.69 −14.102s1/2 −10.50 −12.55 −11.68 −4.11 −15.30 −12.481d3/2 −7.24 −14.60 −14.05 −0.85 −26.40 −18.58vpairs 31.00 32.00 23.87 41.90 34.43 24.40

BCS pelo SET 1 (completo) e depois se restringindo ao espaco do SET 1 para o espaco-

ph. Sendo nosso objetivo quantificar varios efeitos nos observaveis quando as probabilidade

vp → 0, vn → 1 e up → 1, un → 0 se movem para vp = 0, vn = 1 e up = 1, up = 0, estas

ultimas obtidas das equacoes de BCS.

(iii) A reducao do s.p.e. pelo SET 2 no espaco-ph, serve para comparar o efeito das

probabilidades de BCS em outro s.p.e.

(iv) Para o espaco completo do s.p.e. do SET 2 no QTDA leva em consideracao a

dimensao do espaco de quatro-quasepartıculas.

(v) Para o espaco completo do s.p.e. pelo SET 3 no QTDA, leva em consideracao a

dimensao de espaco de quatro-quasepartıculas quando sao utilizadas as s.p.e. experimentais.

4.1.2 Limite-ph de QTDA

Fazendo o uso do SET 1 no limite-ph de QTDA, podemos comparar exatamente as

mudancas ocorridas nos elementos de matriz nuclear (NME), nas funcoes de onda final e as

amplitudes do duplo decaimento beta para alguns estados finais 0+ como o elemento de matriz

do estado fundamental, do primeiro excitado e dos estados isobaricos analogos.

A seguinte parametrizacao foi utilizada vphs =40 e vpht =60 para os canais de interacao de

partıcula-buraco. Estes parametros usados sao responsaveis por reproduzirem razoavelmente

bem os nıveis de energia do 48Sc como foi mostrado pela Figura 6 na Ref. [32]. Como as mo-

dificacoes foram implementadas na interacao residual (e nao na parte da interacao leptonica-

nuclear), toda a descricao dos estados intermediarios foi a mesma utilizada na Ref. [32]. Isso

55

quer dizer, que nossa funcao de onda para o estado de ressonancia Gamow-Teller (GTR) e a

mesma, ou seja:

|GTR⟩ = 0.972|f7/2, f5/2; 1+⟩ − 0.237|f7/2, f7/2; 1+⟩. (4.1)

Conhece-se da literatura do decaimento beta que a interacao residual age de forma

diferente nas transicoes dupla-beta de F e GT. Uma discussao foi aprofundada no caso da

transicao do tipo Fermi e, em particular no decaimento duplo-beta, onde autores, como por

exemplo Civitarese [24, 49], afirmam que nao e permitida uma transicao do tipo Fermi devido

a conservacao do isospin. Por outro lado, alguns autores, assumem a existencia de transicao

tipo Fermi pela nao-conservacao do isospin e da quebra da simetria SU(4) 1 [73], permitindo

assim a possibilidade dessa transicao. Esta fora dos objetivos desta dissertacao, analisar este

problema e nos limitaremos a comparar nossos resultados com os aqueles obtidos da Ref. [32]

dentro da FTDA, deixando essa discussao para um futuro trabalho.

Na Figura (4.1) (gerados pela Tabela (6.1) do Apendice) temos uma comparacao para

o espaco-ph das amplitudes de transicao-ββ, Sββ−F,GT , para as transicoes de Fermi e Gamow-

Teller. Na parte superior estao as Sββ−F,GT em funcao das energias dos estados finais 0+, equanto

que na parte inferior estao as Sββ−F,GT em funcao dos 20 estados finais 0+ criados neste espaco-

ph. A comparacao e feita entre o antigo codigo, rotulado como Q77 (lado esquerdo), e o

novo codigo rotulado por Q82 (lado direito), permitindo observar as diferencas obtidas pelos

calculos numericos. Segundo a Ref. [32] que utilizou o Q77, a distribuicao de amplitude F

ββ, Sββ−F =124, estao concentradas nos menores estados degenerados |f 2

7/2, f27/2; J = 0, 2, 4, 6⟩

(Duplo Estado Isobarico Analogo, DIAS) com energia perto de 2∆c=12.78 MeV (estado 9),

medido a partir do estado fundamental de energia do 48Ca. Por outro lado, com o codigo

correto, Q82, a amplitude F ββ e quebrada em dois ramos, com quase a mesma intensidade,

92% seguido de 83%, concentrado uma media de 8,31 MeV, entre os estados 15 e 16. Da mesma

forma que o anterior, corresponde aos menores estados degenerados, ou seja aos |f 27/2, f

27/2; J =

0, 2, 4, 6⟩.

Na Figura (4.2) (gerado a partir da Tabela (6.2) do Apendice) mostra-se as amplitudes

Yp1p2n1n2J , componentes das funcoes finais de onda no estado 0+ com a maior contribuicao para

Sββ−

F Fermi (mostrado na anterior Fig. (4.1)), em funcao dos 20 estados finais 0+ criados no

1Simetria SU(4), acredita-se que alguns estados proibidos estejam ligados a problemas de simetria. Paracaso de transicoes dos elementos de matriz Gamow-Teller, a simetria quebrada e a SU(4), ou super-multipletede spin-isospin pertencentes a estados diferentes mesmo, no estado fundamental. Temos para estados desinglete a projecao do spin-isospin e y = 0, no estado de triplete temos [y − 1, y + 1, 0], ja para os estados de[y− 2, y− 1, 0, y+1, y+2] sao considerados como um multiplete, todos com respeito aos isobaricos analogos.

56

espaco-ph. Para os estados 15 e 16 de Q82, as componentes do DIAS sao ainda significativas,

como no estado 9 de Q77, mas tambem aparecem outras contibuicoes importante, tais como,

|f 27/2, p

23/2; J = 0⟩ e |f 2

7/2, f7/2p3/2; J = 2, 4⟩.

A Tabela (4.2) mostra as amplitudes Yp1p2n1n2J das funcoes de onda para 0+ finais

com maior contribuicao para Sββ−

GT Gamow-Teller apresentados na Fig. (4.1) (Veja-se tambem

Tabela (6.1) do Apendice). Estas contribuicoes sao analisadas para o ramo de estado 0+

fundamental e, aquele 0+ que venha do estado de dupla ressonancia GT. Para o QTDA77, as

contribuicoes parciais para amplitude Sββ−

GT provem do estado 1, estado 10, estado 11, estado

18.

Vamos comparar a contribuicao para Sββ−GT a partir dos diferentes estados de 4-qp

nas Yp1p2n1n2J dados na Tabela (4.2). Em ambos Q77 e Q82, notamos que a maior con-

tribuicao se formou no estado 1 (St.1 ), tendo-lhes as mesmas configuracoes (Conf.), com

amplitudes maximas muito similares. Para o Q77 outras contribuicoes foram dadas pela

conf. 8 ((1f ν7/2)

2, (1fπ5/2)

2; 2+) com (0.683), e conf. 17 ((1f ν7/2)

2, (1fπ5/2)

2; 4+) com (0.533),

enquanto que no Q82 as mesmas configuracoes apareceram em conf. 8 agora com (0.657) e

conf. 17 com (0.570). Em Q77 o segundo pico corresponde ao St. 10, onde a maior con-

tribuicao sao provenientes de conf. 20 com estados ((1f ν7/2)

2, 1fπ7/2, 1f

π5/2; 6

+) com (0.455),

e conf. 14 ((1f ν7/2)

2, 1fπ7/2, 1f

π5/2; 4

+) com (0.426). Em Q82, o segundo pico contem contri-

buicoes de conf. 20 com (-0.424), conf. 4 ((1f ν7/2)

2, (2pπ1/2)2; 4+) com (0.402), e tambem

conf. 14 com (0.013). Outra forte contribuicao para Sββ−GT em Q77 e proveniente de St. 11,

onde a maior intensidade corresponde a conf. 2 ((1f ν7/2)

2, (1fπ5/2)

2; 0+) com (0.626), seguido

da conf. 20 ((1f ν7/2)

2, (1fπ7/2, 1f

π5/2); 6

+) com (0.491). Por outro lado, para as contribuicoes

de Q82 vem do St. 9 com conf. 11 ((1f ν7/2)

2, (2pπ3/2, 2pπ1/2); 2

+) com (-0.483), e conf. 12

((1f ν7/2)

2, (2pπ3/2, 2pπ1/2); 2

+) com (0.368).

57

0 5 10 15 20

E(MeV)

0

20

40

60

80

100

Sββ−

F [77]

GT [77]

0 5 10 15 20

E(MeV)

0

20

40

60

80

Sββ−

F [82]

GT [82]

0 5 10 15 20

State

0

20

40

60

80

100

Sββ−

F [77]

GT [77]

0 5 10 15 20

State

0

20

40

60

80

Sββ−

F [82]

GT [82]

Figura 4.1: Na parte superior, apresentamos as amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−

F

Fermi (em vermelho) e do tipo Sββ−

GT Gamow-Teller (em azul) como funcao das energia dos estadosfinais 0+ (em MeV). Na parte inferior, temos as amplitudes de transicao duplo-β− como funcaodos 20 estados finais 0+ no espaco-ph pelos codigos Q77 (lado esquerdo) e Q82 (lado direito). Ass.p.e sao para 40Ca corrigido para representar 48Ca (SET1). Os paramentros vs = 40 e vt = 60 (emMeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. Conforme a Tabela(6.1).

58

0 5 10 15 20

State

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Yp1p

2n

1n2

J

9 [Q77]

15 [Q82]

16 [Q82]

Figura 4.2: As componentes da funcao de onda, Yp1p2n1n2J , para o estado final 0+ no espaco-ph commaior contribuicao da amplitude Fermi no duplo-ββ. Seja a contribuicao no (Q77) dada no estado9 (linha vermelha), enquanto no pelo (Q82) temos duas fortes contribuicoes dadas pelos estados 15(linha verde) e 16 (linha azul). (Conforme a Tabela (6.2) do Apendice.)

59

Tab

ela4.2:Com

pon

entesdafuncaodeon

daYp1p2n1n2Jpara

estadofinalfundamental0+

noespaco-phcom

maior

contribuicao

paraGT

amplitude-ββ.

MesmoparametrizacaoppephnaTab

ela(6.2).

Con

fYp1p2n1n2J

St

n1

n2

p 1p 2

J+

1(Q

77)

1(Q

82)

10(Q

77)

8(Q

82)

11(Q

77)

9(Q

82)

18(Q

77)

18(Q

82)

1134

134

134

134

0−0.033

−0.016

−0.056

0.097

−0.180

−0.082

−0.140

−0.107

2134

134

133

133

00.371

0.328

−0.419

−0.055

0.626

0.071

−0.098

−0.074

3134

134

212

212

0−0.039

−0.036

0.142

−0.205

−0.235

−0.288

0.001

0.021

4134

134

211

211

0−0.055

−0.044

−0.015

0.402

−0.013

0.174

−0.009

0.000

5134

134

134

134

2−0.026

0.000

−0.203

0.179

−0.066

−0.059

−0.618

−0.502

6134

134

134

133

2−0.118

−0.123

0.211

−0.219

0.008

0.128

0.136

0.132

7134

134

134

212

2−0.028

−0.024

−0.031

0.037

−0.124

−0.132

−0.228

−0.270

8134

134

133

133

20.683

0.657

0.321

−0.257

−0.088

0.017

−0.056

−0.057

9134

134

133

212

2−0.016

−0.023

0.183

−0.267

0.034

0.175

−0.044

−0.038

10134

134

133

211

2−0.012

−0.020

0.139

−0.288

−0.046

−0.066

−0.042

−0.036

11134

134

212

212

2−0.029

−0.025

−0.209

0.033

0.148

−0.483

−0.025

−0.019

12134

134

212

211

20.060

0.055

0.162

0.278

−0.136

0.368

0.021

0.017

13134

134

134

134

4−0.023

0.001

−0.174

0.076

0.060

−0.066

−0.223

−0.263

14134

134

134

133

4−0.188

−0.220

0.426

−0.313

0.322

0.306

−0.180

−0.196

15134

134

134

212

4−0.016

−0.013

−0.031

−0.026

−0.059

−0.138

0.043

0.029

16134

134

134

211

40.021

0.017

0.054

0.051

0.146

0.203

0.032

0.059

17134

134

133

133

40.533

0.570

0.222

−0.040

−0.006

0.181

−0.018

−0.022

18134

134

133

212

4−0.009

−0.026

0.121

0.332

0.012

0.349

0.005

0.012

19134

134

134

134

6−0.044

−0.032

−0.046

−0.072

0.276

0.040

0.597

0.681

20134

134

134

133

6−0.217

−0.248

0.455

−0.424

0.491

0.346

−0.261

−0.239

60

Em Q82, para St. 9, a configuracao 2 e fortemente suprimida (0.071), enquanto a

configuracao 20 tem intensidade ainda significativa (0.346). O ultimo pico identificado no Sββ−GT

esta chegando no mesmo St. 18 tanto para Q77 e Q82. Para Q77, este St. 18 tem intensidades

maiores em conf. 5 ((1f ν7/2)

2, (1fπ7/2)

2; 2+) com (-0.618), e de conf. 19 ((1f ν7/2)

2, (1fπ7/2); 6

+)

com (0.597). Em Q82, o St. 18 tem intensidade semelhantes para as mesmas configuracoes:

conf. 5 (-0.502) e conf. 9 com (0.681).

Em resumo, o antigo codigo Q77 (onde alguns erros numericos em elementos de ma-

triz de H22 foram programados para 4-quasepartıculas) foi modificado para Q82. Nao ha

qualquer alteracao na descricao numerica e fısica dos estados intermediarios. Isso significa

que o espaco configuracional, as energias, e as amplitudes de β-simples de Fermi e Gamow-

Teller sao as mesmas, mantendo os resultados e discussoes da Ref. [61]. As modificacoes na

parte de 4-quasepartıculas do movimento hamiltoniano e suavizado segundo as energias de 4-

quasepartıculas D4 como demonstrado na Tabela (6.1) do Apendice. Uma reorganizacao das

distribuicoes nas amplitudes de Sββ−F e Sββ−

GT e observado. Nao ha variacao da amplitude total,

pois o espaco configuracional de 4-quasepartıculas e o mesmo. Lembremos que mantemos os

mesmos parametros no canal emparelhamento, de ph e pp nos canais de interacao residual,

assim com os s.p.e. da base. A nova e velha amplitude Sββ−F,GT tambem sao apresentadas na

Tabela (6.1) do Apendice. Notou-se que a principal contribuicao do Sββ−F em Q77 era em-

purrando para baixo (3 MeV) o Q82 para energias menores de D4. A partir da analise das

componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ nos picos de Sββ−F , observou-

se que as mesmas configuracoes de 4-quasepartıculas ((1f ν7/2)

2, (1fπ7/2)

2; J = 0+, 2+, 4+, 6+)

estao sendo levadas por amplitudes significativas nas funcoes de onda para ambos os calculos

Q77 e Q82.

As principais contribuicoes para Sββ−GT em Q77 e Q82 permanecem nas altas ener-

gias de D4, o segundo pico (mais coletivo) para Q82 esta lentamente empurrando para

cima em ∼1 MeV, e o terceiro pico e no mesmo estado e, com mesmo intervalo de ener-

gia. Contribuicoes similares de configuracoes ((1f ν7/2)

2; 1fπ7/2, 1f

π5/2; J = 4+, 6+), bem como

((1f ν7/2)

2; 2pπ3/2, 2pπ1/2; 2

+) e ((1f ν7/2)

2; (1fπ7/2)

2; J = 2+, 6+) aparecem em ambos os calculos.

No entanto, as amplitudes Y sao diferentes, temos que a conservacao das configuracoes e

mantida pela geometria na estrutura do modelo FQTDA.

Uma comparacao final esta relacionada com as funcoes de onda do estado fundamental.

A Figura (4.3) (obtida com a Tabela (6.3) do Apendice) mostra a comparacao das componen-

tes Yp1p2n1n2J da funcao de onda para estados 0+ finais do fundamental 0+ para ambos Q77 e

Q82. A maior contribuicao no Q77 e proveniente de conf. 1 ((1f ν7/2)

2; (1fπ7/2)

2; 0+) com (0.922).

61

0 5 10 15 20

State

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Yp

1p

2n1n

2J

20 [Q77]

20 [Q82]

Figura 4.3: Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental (20) de 0+

no espaco-ph, conforme os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) para SET1. A comparacao dasfuncoes de onda entre o Q77 (linha vermelha) e Q82 (linha azul) foi realizada conforme aos valoresapresentados na Tabela (6.3) do Apendice.

Apos este temos conf. 5 ((1f ν7/2)

2; (1fπ7/2)

2; 2+) com (-0.226), e conf. 2 ((1f ν7/2)

2; (1fπ5/2)

2; 0+)

com (0.211). A mesma conf. esta aparecendo como relevante na Q82: 1 com (0.917), 5 com (-

0.236), e 2 com (0.205). Emmenor importancia estao aparecendo conf. 13 ((1f ν7/2)

2; (1fπ5/2)

2; 4+)

com (-0.093) e (-0.122) em Q77 e Q82 respectivamente. Este resultado confirma a estrutura-

ph do estado fundamental de 4-quasepartıculas bem estabelecida na FQTDA, conservando as

configuracoes ((1f ν7/2)

2; (1fπ7/2)

2; J = 0+, 2+) e ((1f ν7/2)

2; (1fπ5/2)

2; 0+) como dominantes.

4.1.3 FQTDA no espaco reduzido

Efeito de probabilidade de ocupacao

Neste ponto, nos ganhamos a confianca nos calculos de estrutura nuclear de FQTDA

no limite-ph para 48Ca. O proximo passo foi seguir com a introducao da probabilidade de

ocupacao para as equacoes de BCS. O procedimento sera implementar a solucao da equacao

de BCS no espaco completo SET 1, e apos isso, restringimos o espaco SET 1 para o espaco-

ph. Nosso objetivo e quantificar varios efeitos quando as probabilidades vp → 0, vn → 1 e

up → 1, un → 0 sao movidas para vp = 0, vn = 1 e up = 1, un = 0, obtidas das equacoes de

BCS. Na Tabela (6.2) mostra o v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca.

Devido que 48Ca e um nucleo com dupla camada fechada, resolver as equacoes de

BCS e um procedimento fısico realmente difıcil, onde em algum momento somos forcados

ao esgotamento da superfıcie de Fermi. Esta particularidade de 48Ca tambem e de difıcil

62

-20 -10 0 10 20

et

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

νt2

V2 N

V2 P

-20 -16 -12 -8 -4 0

et

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

νt2

V2 N

V2 P

-20 -16 -12 -8 -4 0

et

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

νt2

V2 N

V2 P

Figura 4.4: Probabilidades de ocupacao v2j em funcao das energias de partıcula simples (s.p.e.),dadas por ej (em MeV) da Tabela (4.1) para os SETS usados no trabaho: (i) lado esquerdo SET1,(ii) centro SET2, (iii) lado direito SET3. Em preto para neutrons e em vermelho para protons.

SET 1 Neutrons ProtonsState Config. u v u v134 1f7/2 0.4159 −0.9094 0.9687 -0.2483133 1f5/2 0.9696 −0.2449 0.9935 -0.1141212 2p3/2 0.8697 −0.4935 0.9907 -0.1361211 2p1/2 0.9546 −0.2980 0.9940 -0.1095122 1d3/2 0.1262 0.9920 0.3329 0.9430201 2s1/2 0.1040 0.9946 0.1936 0.9811123 1d5/2 0.0843 0.9964 0.1593 0.9872

Tabela 4.3: Relacao de v’s e u’s para neutrons e protons em 48Ca para SET 1.

tratamento deste nucleo nos calculos de decaimento beta duplos com o QRPA. A Figura (4.4)

mostra o comportamento da superfıcie de Fermi para os tres conjuntos de s.p.e. usados para

descrever o 48Ca, notando que deflexao da mesma acontece de forma suave, justificando o

tratamento de BCS neste nucleo.

Amplitudes de decaimento-ββ no espaco reduzido

Na secao anterior, analisamos a inclusao da BCS no 48Ca para a FQTDA no espaco

reduzido-ph. Dentro do espaco “reduzido” FQTDA, as equacoes da BCS sao resolvidas no



63



-10 0 10 20 30 40E(MeV)

0

20

40

60

80

100

Sββ−

Q82 [PH] F

Q82 FQTDA [RED] F

-10 0 10 20 30 40E(MeV)

0

20

40

60

80

100

Sββ−

Q82 [PH] GT

Q82 FQTDA [RED] GT

Figura 4.5: Amplitudes de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi (lado esquerdo) e do tipo Sββ−GT

Gamow-Teller (lado direito) como funcao dos denominadores de Energia(emMeV), para os 20 estadosfinais 0+ pelo codigo Q82 para espaco-ph (linha preta) e espaco “reduzido”(RED) (linha vermelha).As s.p.e. utilizadas correspondem ao SET1. Os parametros vs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) saousados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual. Os valores usados constan naTabela (6.4) do Apendice.

espaco “completo” do SET 1, e depois uma reducao para o espaco-ph e empregado (sao

eliminados os estados adicionais na configuracao de 1n-4p usada para o espaco-ph).Em seguida

observamos o efeito dos numeros de probabilidade de ocupacao v2 tem sobre o Sββ−F,GT , a funcao

de onda e os NME do ββ−. Comparamos nesta secao o efeito do conjuntos diferente de

s.p.e.: SET 1, SET 2 e SET 3, no nıvel de aproximacao das FQTDA. Foram conservados os

parametros de ph e pp da interacao δ-residual para garantir a comparacao.

Na Figura (4.9) observa-se a quebra das amplitudes de Sββ− como funcao das energias

dos estados finais 0+, E, (em MeV), em razao da escolha do s.p.e. No lado esquerdo temos o

espaco “reduzido” para a Sββ−F do tipo Fermi, em relacao com o conjunto de s.p.e. utilizado: i)

SET1 (vermelho), ii) SET2 (azul), iii) SET3 (preto). As amplitudes Sββ−F estao concentradas

64

0 5 10 15 20

Config. State

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8Y

p1

p2

n1

n2

J17 (Q82) [PH]

18 (Q82) [PH]

0 5 10 15 20

Config. State

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Yp

1p

2n

1n

2J

12 (Q82) [FQTDA][RED]


Figura 4.6: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao dos estadospara o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de Fermi no decaimento-ββ. Pelo lado esquerdotemos para o espaco-ph, o estado 17 (vermelho) e estado 18 (azul) com maior influencia na funcaode onda. Ja no lado direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 12 (vermelho) e o estado 11(azul) como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda. Os valores usados constanna Tabela (6.5) do Apendice.

na regiao de 20-25 MeV. No lado direito, do mesmo modo para o espaco “reduzido”, temos

as Sββ−GT do tipo para Gamow Teller. Aqui as amplitudes Sββ−

GT apresentam os maximos nos

estados finais com energias de 28, 32 e 38 Mev aproximadamente para os SET 3, SET 2 e

SET 1, respectivamente. Assim as amplitudes Sββ−GT sao mais sensiveis a mudanca dos s.p.e.

Os valores usados constam nas Tabelas (6.8) e (6.9) do Apendice.

A Figura (4.10) mostra da comparacao para o espaco reduzido 1n4p de FQTDA para o

SET1, das amplitudes SGTββ como funcao das energias dos estados finais 0+,E , em MeV. Para

o caso nao-pertubado ph (linhas vermelhas) se mostram com maiores valores de amplitudes e

deslocada para esquerda, quando comparadado ao nao-pertubado FQTDA (linhas pretas). Da

mesma forma observa-se os valores das amplitudes para os casos pertubados FQTDA e redu-

zidos segundo os parametros-ph: i) (27,64) linha azul, ii) (35,65) linha verde, iii) (40,60) linha

laranja. Estes se mostram deslocados para a direita quando comparados ao nao-pertubado

FQTDA e com maiores valores paras as amplitudes, devido a que se rearranjam as aplitudes

com uma maior coletivida na regiao de energias superiores a 35 MeV.

Do mesmo modo ao estudo anterior feito para o SET1, a Figura (4.11) mostra uma

comparacao para o espaco reduzido 1n4p de FQTDA para o SET2, das amplitudes SGTββ

como funcao das energias dos estado finais 0+, E (em MeV). Para o caso nao-pertubado ph

(linhas vermelhas) se mostram com maiores valores de amplitudes e deslocadas para esquerda,

65

0 5 10 15 20

Config. State

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Yp

1p

2n

1n

2J

1 (Q82)[PH]

7 (Q82)[PH]

0 5 10 15 20

Config. State

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Yp

1p

2n

1n

2J



Figura 4.7: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J como funcao da configuracao dos estadospara o estado final 0+ pelo SET1 segundo amplitudes de GT no decaimento-ββ. Pelo lado esquerdotemos para o espaco-ph, o estado 1 (vermelho) e estado 7 (azul) com maior influencia na funcao deonda. Ja no lado direito temos para o espaco “reduzido”, o estado 1 (vermelho) e o estado 4 (azul)como sendo aqueles com maior contribuicao para a funcao de onda. Os valores usados constan naTabela (6.6) do Apendice.

quando comparado ao nao-pertubado FQTDA (linhas pretas). Da mesma forma observa-se os

valores de amplitudes para os casos pertubados FQTDA e reduzidos segundo os parametros-

ph: i) (27,64) linha azul, ii) (35,65) linha verde, iii) (40,60) linha laranja, estes se mostram

deslocados para a direita quando comparados ao nao-pertubado FQTDA e commaiores valores

das amplitudes. Esse resultado coincide para as amplitudes analisadas com o SET1.

Novamente do mesmo modo que tratado anteriormente, temos que a Figura (4.12)

mostra uma comparacao para o espaco reduzido 1n4p de FQTDA para o SET3, das amplitudes

SGTββ . Para o caso nao-pertubado ph (linhas vermelhas) se mostram com maiores valores de

strenght e deslocada para esquerda, quando comparadado ao nao-pertubado FQTDA (linhas

pretas). Os resultados obtidos para este SET3 coincide com aqueles obtidos para SET1 e

SET2.

NME-ββ no espaco reduzido

Um dos aprimoramentos feitos a FQTDA neste trabalho, foi a separacao dos canais-pp

e -ph na interacao residual. Anteriormente na versao da FQTDA apresentada na Ref. [32]

trabalhou-se com um mesmo par de parametros (vs, vt) nos canais-pp e -ph na interacao

residual. A separacao foi implementada para introduzir a comparacao segundo a variacao do

NME obtidos na FQTDA, com o parametro t do canal-pp e analisar o colapso presente nos

calculos de QRPA.

66

0 5 10 15 20

Config. States

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Yp1

p2n

1n2

J

20 (Q82) [PH]

20 (Q82) FQTDA [RED]

Figura 4.8: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+ no espaco-ph (linha vermelha) e para espaco “reduzido” (linha azul), com as maiores contribuicoes da amplitudede ββ como funcao das configuracoes dos estados da funcao de onda. Os valores usados constan naTabela (6.7) do Apendice.

Assim, mostramos na Figura (4.13), a amplitude MGT2ν em funcao de t, parametro

canal-pp, com tres valores diferentes do parametro-ph (vs, vt). Para o SET 1, os resultados

do limite-ph de FQTDA (linhas tracejadas), sao comparadas com os obtidos no “reduzido”

FQTDA (linhas solidas). O “reduzido” FQTDA significa que as equacoes de BCS sao resol-

vidas no espaco completo do SET 1 e depois sofrem uma reducao para o espaco-ph de 1n-4p.

Aqui observamos o efeito dos numeros de probabilidade de ocupacao v2 tem sobre o NME.

Notamos em ambos os casos que o comportamento do MGT2ν como funcao de t e contınua

ate valores muito elevados do parametro t (valores que nao possuem significado fısico) e nao

ha um colapso da FQTDA. Uma breve discussao sobre esta questao e dada abaixo, quando

analisamos o comportamento do NME. O efeito da inclusao de emparelhamento e notavel

quando se move para valores constantes de MGT2ν em cada parametrizacao ph para suavizar

a curva decrescente em funcao de t. Este efeito aparece no espaco “reduzido” e no -ph e

tambem pode aparecer quando o espaco completo e usado.

Na Figura (4.14) mostra-se uma comparacao entre os elementos de matriz nuclearMGT2ν

como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando o conjunto de s.p.e dado pelo SET1. No

painel esquerdo temos o espaco reduzido 1n4p, onde as linhas tracejadas representam os

calculos no limite-ph segundo os parametros no canal-ph (vs, vt) dados por: i) (27,64) em

preto, ii) (35,65) em azul, iii) (40,60) em vermelho, iv) linha continua em cinza representa os

67

0 10 20 30 40

E(MeV)

0

10

20

30

40

Sββ−

[F] [BCS][RED] SET 1

[F] [BCS][RED] SET 2

[F] [BCS] [RED] SET 3

0 10 20 30 40

E(MeV)

0

20

40

60

80

Sββ−

[GT] [BCS][RED] SET 1



Figura 4.9: Sββ− como funcao das energias dos estados finais 0+, E (MeV), segundo os varios s.p.e.:i)

SET1 (vermelho), ii) SET2 (azul), iii) SET3 (preto). No painel esquerdo temos Sββ−F , enquanto que

no painel direito temos Sββ−GT . Os valores usados constam nas Tabelas (6.8) e (6.9) do Apendice.

valores experimentais. Pode-se ver que nao ha modificacao quanto aos MGT2ν como funcao de t

no limite-ph. No painel direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao parametro

do canal-pp t no espaco reduzido para BCS, com configuracoes dos parametros do canal-ph

(vs, vt) dados segundo: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii)

(40,60) linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais (linha continua cinza) como funcao

de t. Nota-se aqui um crescimento suave dos MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp.

Na Figura (4.15), mostra-se uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν

para o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp utilizando os conjuntos de

s.p.e. para espaco reduzido no limite-ph, fixando diferentes valores para os parametros vs

do canal-ph: i) vs=27 (linha tracejada preta), ii) vs=35 (linha tracejada azul), iii) vs=40

(linha tracejada vermelha). Observa-se ate entao uma certa semelhanca no comportamento

dos MGT2ν como funcao de t, devido a nao alteracao dos valores do s.p.e. utilizados. No

painel esquerdo superior para o SET1, percebe-se os valores teoricos acima das regioes dos

dados experimentais. Ja para o painel superior direito dado para o SET2, observa-se que os

valores teoricos dos MGT2ν ja estao proximos da regiao experimental. Na parte inferior, temos

os resultados para o SET3. Tambem e possıvel ver que os dados do MGT2ν se fazem proximos

da regiao dos dados experimentais [32].

Na Figura (4.16), temos uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν para

o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando os conjuntos de s.p.e.

para a FQTDA no espaco reduzido. Assim a diferenca principal entre esta Fig.(4.16) e a

68

10 20 30 40

E(MeV)

0

20

40

60

Sββ-G

T

unpertubed FQTDA

unpertubed PH

pertubed FQTDA vs=27, vt=64



Figura 4.10: Amplitudes de SGTββ como funcao de E(MeV) para o SET 1 de FQTDA reduzido para

espaco de 1n4p.

0 10 20 30 40

0

20

40

60

80

Sββ-G

T

unpertubed FQTDA

unpertubed PH





espaco de 1n4p.

69

-10 0 10 20 30

E(MeV)

0

10

20

30

40

Sββ-G

T

unpertubed FQTDA

unpertubed PH





espaco de 1n4p.

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.13: MGT2ν como funcao de t para os tres parametros-ph (vs, vt) diferentes com SET1. O

FQTDA no espaco “reduzido” e mostrado com linhas tracejadas, enquanto que os valores experi-mentais sao mostradas por linhas cheias.

70

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1M

2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=64

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.14: MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp utilizando o s.p.e. do SET1. No

painel esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido” (1n4p) no limite-ph. No painel direito,mostramos no espaco “reduzido” para FQTDA. Sendo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linhapreta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha continua experimental.

anterior Fig. (4.15) e que as equacoes de BCS foram resolvidas no espaco completo e logo se

faz o corte para o espaco reduzido, enquanto que na anterior Fig. (4.15) usa-se o esquema

de ph no mesmo espaco. Novamente se foram fixando diferentes valores para os parametros

(vs, vt) do canal-ph: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60)

linha tracejada vermelha. Observa-se ate entao uma certa semelhanca no comportamento dos

MGT2ν como funcao de t. No painel superior esquerdo para o SET1, percebe-se os valores

acima das regioes de dados experimentais. Ja para o lado direito superior dado para o SET2,

observa-se que os valores dos MGT2ν estao abaixo da regiao experimental. Na parte inferior

para SET3, tambem e possıvel ver que os dados do MGT2ν se fazem proximos da regiao do

zero, compreendida entre as duas regioes com valores experimentais. Essencialmente para o

caso do SET1, a introducao da BCS aproxima os valores teoricos dos valores experimentais.

Tambem para todos os conjuntos nota-se uma diminuicao dos MGT2ν quando as proba-

bilidades de ocupacao surgidas das equacoes de BCS sao usadas. Essa comparacao explıcita e

mostrada na Figura (4.17), onde mostra-se uma comparacao dos elementos de matriz nuclear

MGT2ν o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando os conjuntos de

s.p.e. Por uma analise preliminar, nota-se a existencia de uma regiao pertubada entre t=1,4

ate t=2,0 onde percebe-se um pico para o MGT2ν .

71

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=64

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.08

-0.04

0

0.04

0.08

M2νG

T

PH vs=27, vt=64

PH vs=35, vt=65

PH vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

M2νG

T

PH vs=27, vt=64

PH vs=35, vt=65

PH vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.15: MGT2ν como funcao do parametro-pp t para espaco “reduzido” no limite-PH. No

painel superior esquerdo, temos o grafico para o o SET1. No painel superior direito, mostramos osresultados com os s.p.e. do SET2. No painel temos MGT

2ν para o s.p.e. SET3. Os parametros-ph(vs, vt) usados sao: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linhatracejada vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental.

72

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.16: MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para BCS (FQTDA).

No lado esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito superior, mostramosutilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para o s.p.e. SET3. Onde os parametros-ph(vs, vt): i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejadavermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental [32].

73

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

0

0.04

0.08

0.12

0.16

M2νG

T

PH vs=27, vt=64

PH vs=35, vt=65

PH vs=40, vt=60

BCS vs=27, vt=64

BCS vs=35, vt=65

BCS vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

0

0.04

0.08

0.12

0.16

M2νG

T

PH vs=27, vt=64

PH vs=35, vt=65

PH vs=40, vt=60

BCS vs=27, vt=64

BCS vs=35, vt=64

BCS vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

M2νG

T

PH vs=27, vt=64

PH vs=35, vt=65

PH vs=40, vt=60

BCS vs=27, vt=64

BCS vs=35, vt=65

BCS vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.17: MGT2ν como funcao do parametro-pp de t para espaco “reduzido” para FQTDA (linhas

continuas) comparado com o limite-ph (linhas tracejadas). No lado esquerdo superior, temos ografico para o o SET1. No lado direito superior, mostramos utilizando o s.p.e. do SET2. Na parteinferior temos para o s.p.e. SET3. Onde os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) em preta, ii) (35,65)em azul, iii) (40,60) em vermelha, iv) com a linha continua representamos o valor experimental [32].

74

4.1.4 FQTDA no espaco completo

Nessa secao vamos analizar o FQTDA no espaco completo. Na continuacao, des-

creveremos o comportamento das amplitudes de decaimento-β simples, SGTβ∓ , comparando

com resultados experimentais disponıveis. Posteriormente, descreveremos as amplitudes de

decaimento-β duplo e o comportamento dos NME variando os parametros da interacao resi-

dual.

Amplitudes de decaimento-β simples

Na Figura (4.18) temos uma comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+

(ambas em MeV−1) com sobreposicao aos seus respectivos valores experimentais β−(β+).

Na parte superior encontram-se as SGTβ∓ como funcao da energia do estados intermediarios

1+ com parametrizacao vs = vt=0, onde somente temos ligado o canal de emparelhamento,

ou seja a BCS esta sendo resolvida. Na parte inferior temos a comparacao alterando a

parametrizacao para vphs =27 e vpht =64. Os parametros do canal pp sao s = 1 e t = 0.

A escolha destes parametros da interacao residual sera descrita na proxima secao quando

analisarmos as amplitudes para o duplo beta.

Na Figura (4.19) temos a comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+ com

os valores experimentais β−(β+) para outro conjunto de parametros no canal-ph. Na parte

superior desta figura, a parametrizacao adotada foi vphs = 35 e vpht = 65, com os parametros

do canal pp sao s = 1 e t == 0. Na parte inferior, os parametros do canal-ph adotados foram

vphs = 40 e vpht = 60, com os parametros do canal pp sao s = 1 e t == 0.

Na Figura (4.20) temos a comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas

em MeV−1) como funcao das E(MeV), com sobreposicao aos seus respectivos valores experi-

mentais β− (β+), utilizando os tres tipos de parametrizacao no canal-ph (vs, vt): (27, 64),

(35, 65) e (40, 60). Como resultado desta comparacao notamos que as SGTβ− e SGT

β+ teoricas

estao deslocadas para a direita para energias mais altas relativas aos valores experimentais.

Ambas tres parametrizacoes teoricas esta muito proximas entre elas. Esse resultado e razoavel

pois elas foram adotadas da Ref. [71], onde onde o espectro de baixas energias para 48Sc era

reproduzido razoavelmente para estas parametrizacoes com o SET1.

Amplitudes de decaimento-ββ no espaco completo

Aqui analisamos as amplitudes Sββ− obtidas dentro da FQTDA no espaco completo

2p1f .

Na Figura (4.21) se apresentam as amplitudes Sββ− como funcao da energia (MeV)

dos estados finais 0+ medido a partir do estado fundamental de 48Ca. Foi utilizado o SET 1,

75

0 10 20 30

E(MeV)

0

1

2

3

4

Sβ−G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA BCS (vs=vt=0)

FQTDA Modified BCS

0 10 20 30

E(MeV)

0

0.1

0.2

0.3

Sβ+G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA BCS (vs=vt=0)

FQTDA Modified BCS

0 10 20 30

E(MeV)

0

1

2

3

4

5

Sβ−G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA

FQTDA Modified

0 10 20 30

E(MeV)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Sβ+G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA

FQTDA Modified

Figura 4.18: Comparacao das amplitude de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas em MeV−1) como funcao

da energia, E, do estados intermediarios 1+ (em MeV). Os respectivos valores experimentais β−e β+ sao apresentados. Na parte superior temos os valores com parametrizacao vs = vt = 0 noscanais-pp e ph, enquanto que a BCS esta ligada. Na parte inferior, a comparacao e feita para osvalores teoricos no canal-ph (vphs =27,vpht =64) e, (s = 1, t = 0) no canal-pp.

76

0 10 20 30

E(MeV)

0

1

2

3

4

5

Sβ−G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA

FQTDA Modified

0 10 20 30

E(MeV)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Sβ+G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA

FQTDA Modified

0 10 20 30

E(MeV)

0

1

2

3

4

5

Sβ−G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA

FQTDA Modified

0 10 20 30

E(Mev)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Sβ+G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA

FQTDA Modified

Figura 4.19: Comparacao das amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas em MeV−1) como

funcao da energia, E, dos estados 1+ intermediarios, com sobreposicao aos seus respectivos valoresexperimentais β−(β+). No painel superior, a parametrizacao adotada e vs=35 e vt=65, enquantoque no panel inferior a parametrizacao resulta vs=40 e vt=60.

77

0 10 20 30

E(MeV)

0

1

2

3

4

5

Sβ−G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA vs=27, vt=64

FQTDA vs=35, vt=65

FQTDA vs=40, vt=60

0 10 20 30

E(MeV)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Sβ+G

T(M

eV

-1)

Experimental

FQTDA vs=27, vt=64

FQTDA vs=35, vt=65

FATQD vs=40, vt=60

Figura 4.20: Amplitudes de decaimento SGTβ− e SGT

β+ (ambas em MeV−1) como funcao da energia, E,

dos estados 1+ intermediarios (em MeV). Os valores experimentais β− (β+) sao apresentados, e ostres tipos de parametrizacao no canal-ph (vs, vt): (27, 64), (35, 65) e (40, 60) sao apresentadas.

com os seguintes parametros para o canal-ph: (i) vs=27, vt=64; (ii) vs=35, vt=65; (iii) vs=40;

vt=60. Os parametros do canal pp sao s = vppsvpairs

= 1 e t =vpptvpairs

= 0, onde vpairs = (vpairs (p) +

vpairs (n))/2 [73]. A parametrizacao (ii) ja foi utilizada em anteriores calculos de duplo beta com

e sem neutrinos dentro da QRPA. Foi obtida a partir de um estudo sistematico da ressonancias

de GT [72]. As outras duas parametrizacoes foram adotadas da Ref.[71] onde o espectro de

baixas energias para 48Sc era reproduzido razoavelmente para estas parametrizacoes com

o SET1. A Figura (4.22) mostra a dependencia energetica das amplitudes de duplo beta

GT SββGT , quando sao implementados com uma funcao lorentziana com largura de 0,5 MeV

obtendo assim uma distribucao contınua em funcao da energia. A amplitude nao-pertubada

(a interacao residual e completamente apagada) e comparada com os proximos resultados

pertubados (com a interacao residual ligada). Os resultados pertubados sao obtidos com os

parametros-ph vs = 35, vt = 65 e parametros-pp s = 1 e t = 0. De acordo com a escolha

do conjunto de s.p.e. Tabela (4.1), estes resultado sao separados em: (a) ajustado SET 2,

(b) SET 3 e, (c) SET 1. Em (a), (b) e (c) as equacoes de BCS foram resolvidas de forma

consistente em um espaco completo com o vpairs conforme mostrado na Tabela (4.1). Podemos

observar que o calculo nao pertubado para as amplitudes, SββGT , tem-se centrado em tres

regioes de energia. Por outro lado, os casos pertubados (a) SET2 e (b) ajustado SET 3,

levam a uma mudanca das amplitudes para a esquerda, em vez disso o caso (c) SET 1 mostra

a transferencia para o outro lado. Este e um efeito da escolha eficaz das energias de partıculas

adequadas. Nos vemos abaixo como a escolha adequada do s.p.e. eficaz afeta do mesmo modo

78

0 20 40 60 80

E(MeV)

0

1

2

3

4

Sββ−

vs=27, vt=64

0 20 40 60 80

E(MeV)

0

1

2

3

4

Sββ−

vs=35, vt=65

0 20 40 60 80

E(MeV)

0

1

2

3

4

Sββ−

vs=40, vt=60

Figura 4.21: Amplitudes Sββ− como funcao da energia (MeV) dos estados finais 0+. Foi utilizadoo SET 1, com parametros: (i) vs=27, vt=64; (ii) vs=35, vt=65; (iii) vs=40; vt=60 para o canal-ph.Os parametros do canal pp sao s = 1 e t = 0 (FQTDA completo).

79

0 10 20 30 40 50

E(MeV)

0

10

20

30

40

50

Sβ

β−

GT

(E)(

Me

V-1)

unpertubed

(a) pertubed

(b) pertubed

(c) pertubed

Figura 4.22: Amplitudes do duplo GT, SββGT para 48Ca como funcao da energia do nucleo final. Ocaso nao-perturbado (linha vermelha) e comparado com o caso pertubado com parametros-ph vs=35,vt=65: (a) SET 2 em azul linha traco-ponto, (b) SET 3 em linha solida verde, e (c) SET 1 em linhasolida preta.

o comportamento do NME, pois o SββGT sao numerados na equacao (3.44).

Os resultados mostrados nas Figuras (4.22) e anterior Fig. (4.13) foram obtidos com

diferentes parametros para canais de -pp e -ph da interacao residual a diferenca dos resultados

da Refs. [32, 71], onde apenas um par de parametros foi adotada na interacao residual: vphs =

vpps = vs e vpht = vppt = vt. Nessa ocasiao, esse requerimento foi adotado por simplicidade, e

implementado por duas razoes principais: (i) para evitar um ajuste fino da interacao residual

e, (ii) para mostrar como o mecanismo de extincao ou apagado (“quenching”) na QTDA

funciona. Entao podemos aprender, usando esta receita, que o efeito de quenching resulta

similar quando o BCS e implementado, sem se preocupar com a parametrizacao na interacao

residual.

Na Figura (4.23) mostra-se uma comparacao das amplitudes SGTββ como funcao da ener-

gias dos estados finais 0+, E, (em MeV) utilizando nosso conjunto de s.p.e. SET1. No painel

esquerdo, mostramos uma comparacao entre as amplitudes do caso nao-pertubado no limite-

ph (linha vermelha) com o caso nao-pertubado de FQTDA (linha preta). Podemos observar

que as amplitudes do nao-pertubado ph estao deslocadas a esquerda e possuem maiores valo-

res das amplitudes SGTββ quando comparadas com o nao-pertubado FQTDA e tambem com os

outros casos de pertubados com variacoes no canais-ph, onde a acao dos fatores de reducao

80

-20 0 20 40 60 80

E(MeV)

0

40

80

120

Sββ−G

T

unpertubed FQTDA

unpertubed PH




0 20 40 60 80

E(MeV)

0

5

10

15

20

25

Sββ−G

T

unpertubed FQTDA




Figura 4.23: Amplitudes SGTββ (em MeV−1) em funcao da energia os estados finais 0+, E, em MeV,

para o SET 1. Painel esquerdo - Resultados para o caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha)com o FQTDA (linha preta), ainda comparado com o caso pertubado FQTDA para os seguintesparametros-ph (vs, vt): (i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja.Painel direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado.

vindas da BCS (u′s e v′s) ou da interacao residual reduzem as amplitudes nao-perturbadas.

No painel direito, a comparacao e levantada para FQTDA no caso nao-pertubado (linha

preta) com os casos pertubados segundo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha azul, ii)

(35,65) linha verde, iii) (40,60) linha laranja. Aqui tambem nota-se o deslocamento do caso

nao-pertubado para esquerda (menores energia) com maiores valores de amplitudes.

Na Figura- (4.24) temos uma comparacao das amplitudes de SGTββ como no caso an-

terior, mas utilizando agora o conjunto de s.p.e. do SET2. Pelo lado esquerdo, realizamos

uma comparacao entre as amplitudes do caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha)

com o caso nao-pertubado de FQTDA (linha preta). Podemos observar que as amplitudes do

nao-pertubado-ph estao deslocadas a esquerda em energia e possuem maiores valores na ampli-

tude SGTββ quando comparadas com o nao-pertubado FQTDA. Da mesma forma comparamos

os outros casos pertubados com variacoes no canais-ph. No lado direito, um comparativo das

strenght FQTDA para caso nao-pertubado (linha preta) com os casos pertubados segundo

os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha azul, ii) (35,65) linha verde, iii) (40,60) linha la-

ranja. Tambem nota-se o deslocamento do caso nao-pertubado para esquerda em energia com

maiores valores de amplitudes.

Da mesma forma que abordada anteriormente, temos agora na Figura (4.25) uma

comparacao das amplitudes SGTββ como funcao de E(MeV) utilizando o conjunto de s.p.e.

do SET3. Pelo lado esquerdo, realizamos uma comparacao entre as amplitudes do caso

81

-40 -20 0 20 40 60

E(MeV)

0

40

80

120

Sββ−G

T

unpertubed FQTDA

unpertubed PH



pertubed FQDTA vs=40, vt=60

0 20 40 60

E(MeV)

0

5

10

15

20

25

Sββ−

GT

unpertubed FQTDA



pertubed FQDTA vs=40, vt=60


para o SET 1. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha) como FQTDA (linha preta), ainda comparados com os casos pertubado da FQTDA para os seguintesparametros-ph (vs, vt): (i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja. Pelolado direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado.

-40 -20 0 20 40 60

E(MeV)

0

40

80

120

Sββ-G

T

unpertubed FQTDA

unpertubed PH


pertubed FQTDA vs=35 vt=65


-10 0 10 20 30 40 50

E(MeV)

0

4

8

12

16

Sββ-G

T

unpertubed FQTDA


pertubed FQTDA vs=35 vt=65



para o SET 3. No lado esquerdo, temos o caso nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha) como FQTDA (linha preta), ainda comparados com os casos pertubado da FQTDA para os seguintesparametros-ph (vs, vt): (i) (27,64) linha azul, (ii) (35,65) linha verde, (iii) (40,60) linha laranja.Painel direito - Idem ao anterior no qual a o limite-ph nao pertubado foi eliminado.

82

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

Tvs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M2νG

T

BCS vs=27

BCS vs=35

FQTDA vs=40

PH vs=27

PH vs=35

PH vs=40

Experimental

Figura 4.26: Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν para varios parametros-ph (vs = 27, vt = 64),

(vs = 35, vt = 65), e (vs = 40, vt = 6), em funcao do parametro variavel t do canal pp e, coms = 1 fixo, para para SET1 no espaco completo. - Painel direito- Comparacao das MGT

2ν entre olimite-ph (linhas tracejadas) com calculos de BCS onde incluimos - FQTDA - (linhas solidas) noespaco completo para SET1.

nao-pertubado no limite-ph (linha vermelha) com o caso nao-pertubado de FQTDA (linha

preta). Podemos observar que as amplitudes do nao-pertubado-ph estao deslocadas a esquerda

em energia e possuem maiores valores das amplitudes SGTββ , quando comparadas com o nao-

pertubado FQTDA e da mesma forma quando comparada com os outros casos de pertubados.

No lado direito, um comparativo das amplitudes FQTDA para caso nao-pertubado (linha

preta) com os casos pertubados segundo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linha azul, ii)

(35,65) linha verde, iii) (40,60) linha laranja. Tambem nota-se, ao igual que nos casos dos

SET1 e SET2, o deslocamento do caso nao-pertubado para esquerda em energia e com maiores

valores de amplitudes.

NME-ββ no espaco completo

Nesta secao apresentaremos os resultados dos NME-ββ no espaco completo 2p1f

(7n7p). Os resultados para os NME sao apresentados com as parametrizacoes anteriormente

usadas na interacao residual. Podera ser assim: (i) com os canais -ph e -pp por separado

(vphs , vpht ) = (27, 64), (35, 65) ou (40, 60), e s = 1 com t variavel; ou (ii) com os canais juntos,

ou seja os mesmos (vs, vt) em ambos dois canais como na Ref. [32]. Tambem sao realizadas

comparacoes dos efeitos dos diferentes conjuntos de s.p.e, e o comportamento do NME com

os anteriores resultados nao-pertubado e reduzido.

No painel esquerdo da Figura (4.31), apresenta-se uma comparacao de MGT2ν como

funcao de t, para diversos parametros de ph (vs, vt) em calculos FQTDA. Em ambas figuras

83

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.27: MGT2ν para FQTDA no espaco completo para SET 3. Pode-se observar que o compor-

tamento e similar ao SET 1 da Fig. (4.31) (painel esquerdo).

estao representados os resultados para o SET 1 no espaco completo. Nos obtemos anterior-

mente que o comportamento do MGT2ν como funcao de t em um espaco “reduzido” rendeu

altos valores de t, e esse efeito poderia ser levado quando um espaco completo e implemen-

tado. No entanto, quando o conjunto completo SET 1 e usado, as MGT2ν ainda sao fracamente

dependente de t. No lado direito, se mostra o MGT2ν por completo no SET 2. Eles sao mais

sensıveis para parametros-ph (vs = 27, vt = 64) fazendo que o FQTDA resulte em t ≈ 0.4

assumindo uma descontinuidade e, bem como com os outros parametros (vs = 35, vt = 65) e

(vs = 40, vt = 60) onde o FQTDA colapsa em t ≈ 0.54 e t ≈ 0.6 respectivamente. A principal

diferenca entre os MGT2ν esta na escolha dos s.p.e.

A Figura (4.27), mostra uma comparacao dos MGT2ν no espaco completo pelo SET3,

similar aquele do lado esquerdo da Figura (4.31) dada para SET1.

A Figura (4.28) mostra uma comparacao da MGT2ν em funcao de vt para diferentes

valores de vs com o SET 1. Neste caso trabalhamos com um so conjunto de parametros

na interacao residual, similar ao procedimento usado na Ref. [32]. Tambem foi observado

o limite-ph no espaco completo do SET 1 com linhas tracejadas. Quando os calculos de

BCS sao incluıdos em um completo FQTDA (linhas solidas) o MGT2ν aumenta seus valores,

como um efeito de extincao no NME. E necessario observar que o limite-ph e obtido quando

vp → 0, vn → 1, enquanto que com BCS-on significa que o v2p(n), composto a partir das

84

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M2νG

T

BCS vs=27

BCS vs=35

FQTDA vs=40

PH vs=27

PH vs=35

PH vs=40

Experimental

Figura 4.28: MGT2ν como funcao de vt para espaco completo SET1, para limite-PH (linhas tracejadas)

comparadas ao BCS (FQTDA) (linhas contınuas).

equacoes de BCS, fornecem as probabilidadse de ocupacao para os nıveis de quasepartıculas

p(n).

Pela simplicidade introduzida quando se escolhe os mesmos parametros nos canais -pp

e -ph da interacaor residual, isso poderia levar a valores nao-fısicos quando ambos os canais

trabalham separadamente. Ja mencionamos que uma melhoria haveria separando esses canais

e em seguida, os parametros de interacao-δ devem ser selecionados. Adotamos tres conjunto

diferentes de parametros (vPHs , vPH

s ) = {(27, 64), (35, 65), (40, 60)} (em unidades de MeV.fm3)

que reproduziam razoavelmente bem os dados experimentais de nıveis de energia do 48Sc (da

Figura 5, [75]). Os parametros do canal-pp sao fixados na base de SU(4) e simetria iso-spin,

como vpps = vpairs , e vppt>∼ vpps [74]. Em seguida, fixamos s = 1 mantendo o t variavel. Este

ultimo parametro e considerado em muitas referencias como sendo responsavel pelo colapso

da QRPA.

Na (4.30), estao as MGT2ν como funcao do paramentro t no canal-pp, para o SET1. A

comparacao e feita para FQTDA “reduzida” (painel esquerdo) e FQTDA completo (painel

direito). Notamos uma maior sensibilidade com valor de t para t > 1, 6 e o aparecimento de

pontos singulares em todas as parametrizacoes ph associados ao efeito de colapso de QRPA.

Nos comparamos MGT2ν obtido com outro conjunto de s.p.e. Na Figura (4.30) e mos-

trada essa comparacao. Podemos observar que o comportamento do MGT2ν no SET 3 e similar

85

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.29: MGT2ν como funcao do paramentro t no canal-pp, para o SET1. Lado esquerdo: FQTDA

“reduzida” e lado direito: FQTDA completo.

ao SET 1, os valores estao diminuindo quando t aumenta, de forma suave. A propagacao em

relacao aos diferentes valores de forca-ph e observado em t=0. Uma propagacao semelhante

apareceu com outro conjunto, SET 2, mas no SET 1 este fenomeno nao aparece. Pelo SET

3, os valores do MGT2ν estao de acordo com o paramentro-ph (vs = 27, vt = 64) e sao mais

sensıveis no parametro t ate para valores t ≈ 1 , onde aparece uma descontinuidade. Com

os valores (vs = 35, vt = 65) e (vs = 40, vt = 60) os valores de t sao estendidos para ate

t ≈ 2. As irregularides apresentadas nos NME para SET 2 e SET 3 sao similares a um tipo de

colapso como em calculos QRPA. Elas tem valores nao complexos nas equacoes QTDA e as

descontinuidades no NME, de acordo para os diferentes conjunto de s.p.e., obedecem a relacao

entre o numerador (produto de simples decaimento-beta NME) e as energias do denominador.

Nestas descontinuidades, a energias do denominadores sao proximas de zero podendo afirmar

que sao polos de MGT2ν .

No Figura (4.31) mostra uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear MGT2ν

utilizando o conjunto de s.p.e dado pelo SET1 no espaco completo 2p1f (7n7p). No painel

esquerdo, temos o comportamento dos MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, com

respeito a escolha dos parametros do canal-ph (vs, vt): i) (27,64) linha tracejada preta, ii)

(35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais

(linha continua cinza). Observa-se um colapso na regiao de t=1,8 inicialmente mais sensivel

para vs=27, vt=64. No painel direito, temos as MGT2ν como funcao dos parametro do canal-ph

(vs, vt). Pode-se observar dois conjuntos de dados, aqueles que foram resolvidas as equacoes

de BCS (FQTDA) linha continuas, e aqueles em que os calculos foram realizados no limite-ph

86

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.30: MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. No painel esquerdo temos FQTDA

“reduzido” para SET1 e no painel lado direito, a FQTDA completo para SET3.

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M2νG

T

BCS vs=27

BCS vs=35

FQTDA vs=40

PH vs=27

PH vs=35

PH vs=40

Experimental

Figura 4.31: Painel esquerdo- Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. Painel

direito - Comparacao das amplitudes MGT2ν dentro o limite-ph com o espaco completo (linhas tra-

cejadas) com aquelas amplitudes da FQTDA como funcao dos parametros (vs, vt). Aqui os valoresde MGT

2ν na FQTDA se reduzem ao valores correspondentes quando os calculos sao afetados pelolimite-ph. Em ambos calculos foi usado o espaco completo 2p1f (7p7n) para SET1.

87

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

0

0.04

0.08

0.12

0.16

M2νG

TPH vs=27, vt=64

PH vs=35, vt=65

PH vs=40, vt=60

BCS vs=27, vt=64

BCS vs=35, vt=65

BCS vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.32: Painel esquerdo - Amplitudes MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando

o SET1 no espaco “reduzido” (1n4p), sendo as linhas tracejadas para limite-ph e as linhas continuaspara FQTDA para o SET1. Painel direito - Comparacao dos MGT

2ν para FQTDA no espaco completopelo SET3, se mostra similar ao da Fig. (4.31) do lado esquerdo dada para SET1.

(sem BCS) linhas tracejadas, dados segundo os parametros do canal-ph vs: i) vs=27 em preto,

ii) vs=35 em azul, iii) vs=40 em vermelho, iv) dados experimentais em cinza. Visivelmente

nota-se uma regiao de colapso no canal-ph para FQTDA em vt ≈50 para vs=27, enquanto para

vs=35 esta presente vt ≈60, e para vs=40 na regiao de vt ≈70. Olhando limite-ph, observa-

se um comportamento suave ao respeito dos parametros do canal-ph quando comparado ao

FQTDA.

A Figura (4.32) mostra uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear MGT2ν

como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando o conjunto SET1 e SET3 de s.p.e. Pelo

lado esquerdo temos, dado pelo SET1 no espaco reduzido 1n4p, onde as linhas tracejadas

representam os calculos no limite-ph enquanto as linhas continuas sao para os calculos de BCS

(FQTDA) usando o s.p.e. SET1, sendo segundo os parametros no canal-ph (vs, vt) dados por:

i) (27,64) em preto, ii) (35,65) em azul, iii) (40,60) em vermelho, iv) linha continua em cinza

representa os valores experimetais. Observa-se que para limite-ph se mantem fixo em funcao

do parametro t do canal-pp. Ja para BCS pode-se ver um crescimento suave do MGT2ν como

funcao do t. Pelo lado direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao parametro

t do canal-pp utilizando o s.p.e. SET3, com configuracoes dos parametros do canal-ph(vs, vt)

dados segundo: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60)

linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais (linha continua cinza). E possivel ver que

os MGT2ν crescem de forma suave a medida que o parametro t aumenta, assim se mostrando

88

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.33: MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp utilizando os s.p.e. do SET1 para

calculo de FQTDA. No lado esquerdo, temos o grafico para o espaco “reduzido”. Ja do lado direito,mostramos o comportamento no espaco completo. Sendo os parametros-ph (vs, vt): i) (27,64) linhapreta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha continua experimental [32].

similar aquele da Figura (4.31) do lado esquerdo, que e dado para o SET1.

Na Figura (4.33) mostramos uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear

MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando o conjunto de s.p.e dado pelo SET1

para FQTDA. Pelo lado esquerdo temos o espaco reduzido 1n4p, onde as linhas tracejadas

estao representando segundo os parametros do canal-ph (vs, vt) dados por: i) (27,64) em

preto, ii) (35,65) em azul, iii) (40,60) em vermelho, iv) linha continua em cinza representa os

valores experimetais. Percebe-se um crescimento gradativo dos MGT2ν como funcao de t. Pelo

lado direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao t no espaco completo para

FQTDA, com configuracoes dos parametros do canal-ph (vs, vt) dados segundo: i) (27,64)

linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha,

iv) valores experimentais (linha continua cinza) como funcao de t. Agora e possıvel notar um

crescimento mais suave que o do espaco reduzido, porem nota-se uma regiao de pertubacao

mais sensıvel para vs=27 a partir de t ≈ 1, 8.

Na Figura (4.34) mostra-se uma comparacao entre os elementos de matriz nuclear

MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp. Pelo lado esquerdo temos o espaco reduzido

1n4p para o SET1, onde as linhas tracejadas representam os calculos para BCS (FQTDA)

segundo os parametros no canal-ph (vs, vt) dados por: i) (27,64) em tracejado preto, ii) (35,65)

em tracejado azul, iii) (40,60) em tracejado vermelho, iv) linha continua em cinza representa

os valores experimentais, onde percebe-se um crescimento gradativo dos MGT2ν como funcao

89

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.34: MGT2ν como funcao do parametro-pp de t. No lado esquerdo, temos o grafico para o

espaco “reduzido” (1n4p) para FQTDA utilizando o SET1. Ja do lado direito, mostramos no espacocompleto para FQTDA utilizando o s.p.e. do SET3. Os parametros-ph (vs, vt) adotados sao: i)(27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha,iv) linha continua experimental.

de t. Pelo lado direito, temos o comportamento dos MGT2ν com respeito ao parametro t no

espaco completo de FQTDA utilizando o SET3, com configuracoes dos parametros do canal-

ph (vs, vt) dados segundo: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii)

(40,60) linha tracejada vermelha, iv) valores experimentais (linha continua cinza). Nota-se

aqui um crescimento suave para os valores dos MGT2ν em funcao de t.

Na Figura (4.35), temos uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν do

decaimento-ββ como funcao dos parametros do canal-ph (vs, vt), utilizando os conjuntos de

s.p.e. para diferentes valores para os parametros vs do canal-ph: i) vs=27 (linha preta),

ii) vs=35 (linha azul), iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma certa semelhanca no

comportamento dos MGT2ν para uma regiao de vt=50 ate vt=100, quando se altera o valor do

parametro vs no canal-ph. Sendo ainda em uma primeira analise, notamos que existe uma

regiao pertubada entre vt=50 ate vt=80, onde e possıvel observar diferentes picos de MGT2ν

segundo os valores adotados pelos parametrizacao no canal-ph pelos SET1, SET2 e SET3. No

painel superior esquerdo da Fig. (4.35) dado para o SET1, apresenta uma regiao de colapso

dos MGT2ν para FQTDA entre vt=50 e vt=80. Ja no painel lado direito superior, onde e usado

o SET2, a regiao de colapso dos MGT2ν da FQTDA tambem e no intervalo entre vt=50 e vt=80.

Na painel inferior, resultados obtidos para o SET3, a regiao de colapso se desloca para entre

vt=60 e vt=100.

Na Figura (4.36), temos uma comparacao dos elementos de matriz nuclear MGT2ν para

90

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.8

-0.4

0

0.4

M2νG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.8

-0.4

0

0.4

M2νG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.8

-0.4

0

0.4

M2βG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

Figura 4.35: MGT2ν como funcao dos parametro-ph (vs, vt) para espaco completo de FQTDA. No lado

esquerdo superior, temos o grafico para o o SET1. No lado direito superior, mostramos utilizando os.p.e. do SET2. Na parte inferior temos para o s.p.e. SET3. Os parametros-ph (vs, vt) sao: i) (27,64)linha preta, ii) (35,65) linha azul, iii) (40,60) linha vermelha, iv) linha tracejada experimental [32].

91

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

M2νG

T

vs=27, vt=64

vs=35, vt=65

vs=40, vt=60

Experimental

Figura 4.36: MGT2ν como funcao do parametro t no canal-pp para espaco completo para FQTDA.

Painel superior esquerdo - Resultados para o SET1. Painel superior direito - mostramos os resultadosutilizando o s.p.e. do SET2. Na parte inferior temos os resultados para o SET3. Os parametros-ph(vs, vt) usados sao: i) (27,64) linha tracejada preta, ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linhatracejada vermelha, iv) linha continua experimental[32].

92

o decaimento-ββ como funcao do parametro t do canal-pp, utilizando os conjuntos de s.p.e.

Os valores para os parametros (vs, vt) do canal-ph foram: i) (27,64) linha tracejada preta,

ii) (35,65) linha tracejada azul, iii) (40,60) linha tracejada vermelha. Observa-se entao uma

certa semelhanca no comportamento dos MGT2ν , quando se altera o valor do parametro do

canal-ph. Temos ainda em uma primeira analise, para painel superior esquerdo dado pelo

SET1, a existencia de uma regiao pertubada entre t=1,8 ate t=2,0 onde e possıvel observar

diferentes picos de MGT2ν segundo os valores adotados pelo parametro vs no canal-ph. Ja do

painel superior direito dado para o SET2, tambem e notavel o inıcio de uma regiao pertubada

a partir de t = 1, 8. No painel inferior temos os resultados para o SET3, mostrando que a

variacao do MGT2ν acontece de forma mais suave como funcao do t para este conjunto de s.p.e.

Na Figura (4.37), temos uma comparacao dos comportamentos dos elementos de matriz

nuclearMGT2ν para o decaimento-ββ como funcao dos parametros (vt, vt), na interacao residual,

utilizando diferentes conjuntos de s.p.e. Os valores adotados para os parametro vs foram: i)

vs=27 (linha preta), ii) vs=35 (linha azul), iii) vs=40 (linha vermelha), enquanto permitimos

uma variacao de vt. Percebe-se agora uma semelhanca no comportamento do MGT2ν para uma

regiao de vt=50 ate vt=100, quando se altera o valor do parametro vs do canal-ph. Existe

tambem uma regiao pertubada segundo os valores adotados pelos parametros (vs, vt). Pode-

se ver ainda, que para o calculo de FQTDA existem regioes pertubadas um pouco acima do

limite dos dados experimentais, enquanto que no limite-ph mostra um comportamento suave

em funcao de vt e proximo a regioes de dados experimentais. No painel esquerdo superior,

temos a variacao do MGT2ν como funcao vt, dado para o SET1, no painel direito superior,

temos a variacao para o SET2 e, na parte inferior da figura, para o SET3.

Efeito “colapso” da QRPA na FQTDA

Temos notado dos comportamento dos NME como funcao do parametro t no canal-pp,

ou do parametro vt da parte triplete na interacao residual, que existem pontos singulares nos

NME ao variar estes parametros, da mesma forma que acontece no fenomeno conhecido como

“colapso” da QRPA. Assim analisaremos a origem de tais pontos nos NME, e se eles correspon-

dem a valores com significado fısico no espaco dos parametros usados. Para isso analisaremos

no MGT2ν o termo, numerador e denominador de energia, que apresenta singularidade.

No Figura (4.38), do lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz nuclear

(M2NU) para os estados intermediarios do decaimento-ββ para o termo de GT como funcao

do parametro do vt (canais -ph e -pp juntos) utilizando o conjunto de s.p.e. dado pelo SET1.

Foram fixados diferentes valores para os parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35

(linha azul), (iii) vs=40 (linha vermelha). Temos entao uma pertubacao no comportamento

93

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M2νG

T

BCS vs=27

BCS vs=35

FQTDA vs=40

PH vs=27

PH vs=35

PH vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M2νG

T

BCS vs=27

BCS vs=35

BCS vs=40

PH vs=27

PH vs=35

PH vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

M2νG

T

BCS vs=27

BCS vs=35

BCS vs=40

PH vs=27

PH vs=35

PH vs=40

Experimental

Figura 4.37: MGT2ν como funcao do vt na interacao residual para espaco completo na FQTDA (linhas

continuas) comparado com limite-ph (linhas tracejadas). Painel superior esquerdo - Grafico para oo SET1. Painel superior direito - Grafico para os s.p.e. do SET2. Painel inferior - Grafico para oss.p.e. do SET3. Os parametros adotados sao: i) vs=27 (contınua preta), ii) vs=35 (contınua azul),iii) vs=40 (contınua vermelha), iv) linha traco-ponto para experimental [32].

94

0 40 80 120 160 200

Vt

-1

0

1

2

M2N

UFQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

0 40 80 120 160 200

Vt

-20

-15

-10

-5

0

5

10

DE

N_G

S

vs=27

vs=35

vs=40

Figura 4.38: Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU) comofuncao do parametro vt obtidas na FQTDA no espaco completo para o SET1. Painel direito -Variacao do denominador de energia do elemento de matriz nuclear para estados intermediarios(DEN GS), como funcao de vt, para o SET1.

do M2NU para uma regiao de vt=40 ate vt=100, quando se altera o valor do parametro do

canal-ph vs, notando um deslocamento para a direita dos picos de M2NU segundo os valores

adotados por vs. No painel direito, temos a variacao o denominador da energia da funcao de

elementos de matriz para o estado intermediario que leva a singularidade, como uma funcao

de vt para o SET1.

Na Figura (4.39), temos no lado esquerdo superior, uma comparacao dos elementos de

matriz nuclear(M2NU) para os estados intermediarios do decaimentoββ para GT como funcao

do parametro vt no canal triplete, utilizando o conjunto de s.p.e. dado pelo SET2. Foram

fixados diferentes valores para os parametros vs no canal singlete: (i) vs=27 (linha preta),

(ii) vs=35 (linha azul) e, (iii) vs=40 (linha vermelha). E visıvel nesse ponto uma semelhanca

no comportamento do M2NU para uma regiao de vt=40 ate vt=100, quando se altera o valor

do parametro vs. Notamos que existe uma regiao pertubada entre vt=40 ate vt=80 onde e

possıvel observar diferentes picos de M2NU segundo os valores adotados pelos parametro vs.

No lado direito superior, atraves de uma reducao de limites no eixo, conseguimos uma melhor

visualizacao da situacao abordada. No figura inferior, temos a variacao do denominador da

energia da funcao de elementos de matriz nuclear para o estado intermediario (DEN GS),

como uma funcao de vt para o SET2, no espaco completo 2p1f (7n7p) de FQTDA.

Na Figura (4.40), temos pelo lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz

nuclear(M2NU) para os estados intermediarios do decaimento-ββ como funcao do parametro

95

0 40 80 120 160 200

Vt

-40

-30

-20

-10

0

10

M2N

U

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

0 40 80 120 160 200

Vt

-2

-1

0

1

2

3

M2N

U

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

0 40 80 120 160 200

Vt

-20

-10

0

10

DE

N_G

S

vs=27

vs=35

vs=40

Figura 4.39: Painel esquerdo - Elemento de matriz nuclear do estado intermediario (M2NU) paraFQTDA como funcao do parametro vt no espaco completo para o SET2. Painel direito - Ampliacaodo M2NU para o SET2 como funcao de vt. No painel abaixo, mostra-se a variacao do denominadorde energia para estados intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para o SET2.

96

0 40 80 120 160 200

Vt

-1

0

1

2

M2N

UFQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

0 40 80 120 160 200

Vt

-20

-15

-10

-5

0

5

10

DE

N_G

S

vs=27

vs=35

vs=40

Figura 4.40: Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear do estado intermediaaio (M2NU) comofuncao do parametro vt obtidos para FQTDA no espaco completo para o SET3. Painel esquerdo -Comparacao da variacao do denominador de energia ma funcao de elemento de matriz nuclear paraestados intermediarios (DEN GS), como funcao de vt, para o SET3.

vt, utilizando o conjunto de s.p.e. dado pelo SET3. Novamente, usamos os valores para os

parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul), (iii) vs=40 (linha vermelha).

Observa-se uma correpondencia no comportamento do M2NU para uma regiao de vt=40

ate vt=120, quando se altera o valor do parametro do vs. Nota-se tambem que os picos se

deslocam para direita a medida que se aumentam os valores de vs. Pelo lado direito, temos a

variacao do denominador da energia da funcao de elementos de matriz nuclear para estados

intermediarios (DEN GS), como uma funcao de vt para o SET3, num espaco completo 2p1f

(7n7p) de FQTDA.

Na Figura (4.41), temos no lado esquerdo uma comparacao dos elementos de matriz

nuclear MGT2ν para os estados do decaimento 2νββ como funcao do parametro vt variando-lho

de 0 ate 200, utilizando o espaco completo 2p1f (7n7p) do conjunto de s.p.e. dado pelo SET1.

Foram fixados diferentes valores para os parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35

(linha azul), (iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma semelhanca no comportamento

do M2NU para uma regiao de vt=40 ate vt=120, quando se altera o valor do parametro vs,

onde surge uma regiao de colapso da FQTDA que se faz quando o denominador se vai a zero

como na Fig. (4.38), ou seja surge um polo na regiao dependente do valor de vt adotado.

Nota-se tambem que os picos se deslocam para direita a medida que se aumenta os valores

do parametro vs. Pelo lado direito, reduzimos a regiao de variacao de vt para 0 ate 100.


97

0 40 80 120 160 200

Vt

-2

-1

0

1

2

3

M2νG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-2

-1

0

1

2

3

M2νG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

Figura 4.41: Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do parametro

do canal-ph vt no espaco completo por FQTDA para o SET1. No lado direito, mostra um zoompara o parametro do canal-ph vt variando de 0 ate 100.

0 40 80 120 160 200

Vt

-40

-30

-20

-10

0

10

M2νG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-2

-1

0

1

2

3

M2νG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

Figura 4.42: Painel esquerdo - Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do parametro

vt no espaco completo por FQTDA para o SET2. Painel esquerdo - Zoom para o parametro vtvariando de 0 ate 100.

98

0 40 80 120 160 200

Vt

-1

0

1

2

M2βG

TFQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

0 20 40 60 80 100

Vt

-2

-1

0

1

2

3

M2βG

T

FQTDA vs=27

FQTDA vs=35

FQTDA vs=40

Experimental

Figura 4.43: Painel esquerdo -Elementos de matriz nuclear GT (MGT2ν ) como funcao do parametro

vt no espaco completo por FQTDA para o SET3. Painel esquerdo - Zoom da figura com vt variandode 0 ate 100.

nuclear MGT2ν para os estados do decaimento 2νββ como funcao do parametro vt variando

de 0 ate 200, utilizando o espaco completo (7n7p) do conjunto de s.p.e. dado pelo SET2.

Fixamos os valores para os parametros vs: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul),

(iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma semelhanca no comportamento do M2NU para

uma regiao de vt=40 ate vt=80, quando se altera o valor do vs, onde surge uma regiao de

colapso da FQTDA que se faz quando o denominador se vai a zero como na Fig. (4.39). Ou

seja surge um polo na regiao dependente do valor de vt adotado. Nota-se tambem que os

picos se deslocam para direita a medida que se aumenta os valores do vs. Pelo lado direito,

reduzimos a regiao de variacao de vt para 0 ate 100.


nuclear MGT2ν para os estados do decaimento-2νββ como funcao do parametro vt variando de

0 ate 200, utilizando o espaco completo (7n7p) do conjunto de s.p.e. dado pelo SET3. Os

diferentes valores para os parametros vs sao: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul),

(iii) vs=40 (linha vermelha). Observa-se uma semelhanca no comportamento do M2NU para

uma regiao de vt=40 ate vt=120, quando se altera o valor do parametro vs, onde surge

uma regiao de colapso da FQTDA que se faz quando o denominador se vai a zero como na

Fig. (4.40), ou seja surge um polo na regiao dependente do valor de vt adotado. Nota-se

tambem que os picos se deslocam para direita a medida que se aumenta os valores do vs. Pelo

lado direito, reduzimos a regiao de variacao de vt para 0 ate 100.

Na Figura (4.44), temos uma comparacao do comportamento dos componentes da

99

0 40 80 120 160 200

Vt

-12

-8

-4

0

4

8

12

W

Wλ vs=27

Wλ vs=35

Wλ vs=40

W0+vs=27

W0+vs=35

W0+vs=40

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

4

5

6

7

8

9

10

W

Wλ

WF / 2

Figura 4.44: Componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS) no espaco completopor FQTDA para o SET1. No painel esquerdo temos (DEN GS) como funcao do parametro do vtsendo vs dados por: (i) vs=27 (preto), (ii) vs=35 (azul), (iii) vs=40 (vermelho). As linhas inteirasrepresentam o wλ no estado intermediario 1+, enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estadofinal 0+. No painel direito, o DEN GS como funcao do parametro-pp t, para SET1 com vs=27,vt=64.

funcao do denominador de energia (DEN GS) para o espaco completo utilizando o s.p.e.

SET1. O lado esquerdo, mostra a comparacao entre o comportamento da componente do

estado intermediario 1+, wλ (linhas cheias), com o comportamento do estado final 0+, w0+f

(linhas tracejadas), ambos como funcao do vt sendo: (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha

azul), (iii) vs=40 (linha vermelha). Nota-se que, para as componentes da DEN GS se anulam

na regiao entre vt=60 ate vt=80, dessa forma enquanto o wλ descreve um movimento suave

decrescente, o w0+fdescreve um movimento crescente tambem de forma suave. Ja pelo lado

direito, temos o comportamento para as componentes de DEN GS como funcao do canal-pp

t, no espaco completo pelo SET1 com parametrizacao vs=27, vt=64. Pode-se perceber que o

valor do w0+ (wf/2) nao se altera segundo as modificacoes do canal-pp. No entanto, o wλ no

canal-pp descreve uma curva suave descrecente de forma semelhante a descrita no canal-ph.

Do mesmo modo e possıvel observar as componentes do DEN GS se anulam numa regiao de

t entre 1.8 ate 2.



SET2. Observa-se a comparacao entre o comportamento da componente do estado inter-

mediario 1+, wλ (linhas cheias), com o comportamento do estado final 0+, w0+f(linhas tra-

cejadas), ambos como funcao do vt sendo (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul),

100

0 40 80 120 160 200

Vt

-15

-10

-5

0

5

10

W

Wλ vs=27

Wλ vs=35

Wλ vs=40

W0+ vs=27

W0+ vs=35

W0+ vs=40

Figura 4.45: Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS)com funcao do parametro vt no espaco completo por FQTDA para o SET2 sendo vs dados por: (i)vs=27 (preto), (ii) vs=35 (azul), (iii) vs=40 (vermelho). As linha inteiras representam o wλ noestado intermediario 1+, enquanto as linhas tracejadas e o w0+ para estado final 0+.

(iii) vs=40 (linha vermelha). Percebe-se que para as componentes da DEN GS se anulam


decrescente, o w0+ descreve um movimento crescente tambem de forma suave.



SET3. E notavel a comparacao entre o comportamento da componente do estado inter-

mediario 1+, wλ (linhas cheias), com o comportamento do estado final 0+, w0+f(linhas trace-

jadas), ambos como funcao do vt sendo (i) vs=27 (linha preta), (ii) vs=35 (linha azul), (iii)

vs=40 (linha vermelha). Observa-se para as componentes da DEN GS acabam se anulando


decrescente, o w0+ descreve um movimento crescente tambem de forma suave.

4.2 Resultados para 76Ge

Analisaremos agora o uso da FQTDA para o 76Ge. Como 76Ge nao e um nucleo

de camada fechada, a descricao de um esquema -ph utilizada no 48Ca nao conduz a bons

resultados e o esquema de FQTDA e mais indicado. Assim trabalharemos com um espaco

101

0 40 80 120 160 200

Vt

-12

-8

-4

0

4

8

W

Wλ vs=27

Wλ vs=35

Wλ vs=40

W0+vs=27

W0+vs=35

W0+vs=40

Figura 4.46: Comportamento para os componentes da funcao do denominador da energia (DEN GS)com funcao do parametro do canal-ph vt no espaco completo por FQTDA para o SET3 sendo vsdado como: i) vs=27 (preto), ii) vs=35 (azul), iii) vs=40 (vermelho). As linhas inteiras representamo wλ no estado intermediario 1+, enquanto que as linhas tracejadas e o w0+f

para estado final 0+.

restrito a 5 nıveis de protons e 5 nıveis de neutrons usados anteriormente em calculos de

QRPA [74, 76]. Seria melhor e mais conveniente usar as camadas 2p1f2d1g3s1h (espaco

mostrada na Tabela 1 de Ref.[76]) com 11 nıveis para comparar em forma explıcita com os

calculos de QRPA, nosso atual estudo sera exploratorio a fim de descrever os aspectos gerais

da FQTDA num nucleo de massa media. Num espaco reduzido poderemos ter mais controle

sobre os calculos de estrutura, quando comparado ao uso de um espaco maior, onde se tornaria

bem mais complicado analisar a estrutura nuclear, as amplitudes-β simples e dupla, os NME

do 2νββ, e aprender como atua o colapso da QRPA na FQTDA.

Amplitudes de decaimento-β simples no 76Ge

Na Figura (4.47) mostra-se o comportamento das amplitude de decaimento beta sim-

ples SGTβ− para 76Ge, como funcao da energia dos estados intermediarios 1+ em MeV, sobreposto

com o espectro experimental mostrado na Ref. [76]. Para descrever as transicoes β, utiliza-

mos a parametrizacao para t no canal-pp : (i) t=0 (barra azul), (ii) t=1 (barra preta),e (iii)

(t=2 (barra roxa). A parametrizacao no canal-ph corresponde aquilo obtido de um estudo

sistematico relativo as amplitudes GT realizado pela Ref. [72], sendo assim vphs = 55, vpht = 92,

em unidades de MeV.fm3 .

A Tabela (4.6) mostra os autovalores, X , da funcao de onda para o estado intermediario

102

0

1

2

3

4

5

Experimental

t=0

t=1

t=2

0

1

2

3

4

5

0 4 8 12 16 20

E(MeV)

0

1

2

3

4

5

Sβ−

GT

(Me

V-1)

Figura 4.47: Amplitude de decaimento SGTβ− para 76Ge como funcao da energia (MeV), com sobre-

posicao dos valores experimentais para β−, utilizando a parametrizacao no canal-pp t: i) t=0 (barraazul), ii) t=1 (barra preta), iii) t=2 (barra roxa).

Tabela 4.6: Componente da funcao de onda do estado intermediario 1+ para 76Ge.

X tST n p 0 1 21 223 223 -0.307 -0.085 0.1842 145 145 0.251 0.212 0.1023 211 211 0.175 0.153 0.0724 212 211 0.693 0.831 0.9295 133 133 0.263 0.237 0.1436 212 133 -0.114 -0.101 -0.0487 211 212 -0.242 -0.194 -0.1208 133 212 0.056 0.038 0.0129 212 212 -0.434 -0.359 -0.224

103

0 5 10 15 20 25 30

E(MeV)

0

2

4

6

8

Sββ−G

T

-5 0 5 10 15 20 25

E(MeV)

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02

Sββ+G

TFigura 4.48: Amplitudes de decaimento-ββ (SGT

ββ ) para caso nao-pertubado para 76Ge 5n5p comofuncao da E(MeV). Lado esquerdo, decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-ββ+.

1+2 para 76Ge como funcao do t no canal-pp. Foram obtidos 9 estados 1+ quando utilizamos

o espaco de s.p.e com 5p5n. A funcao de onda do estado 1+2 e aquele com o maior valor das

amplitudes Sβ− . Asssim realizamos uma analise segundo variacao de t no canal-pp sendo: i)

t=0, ii) t=1, iii) t=2. Assim a contribuicao na Sβ− veio do mesmo estado, nesse conjunto de

parametros t analisados, levando a configuracao (2pν3/2, 2pπ1/2), a maior componente na funcao

de onda.

Amplitudes de decaimento-β duplo no 76Ge

A Figura (4.48) apresenta uma comparacao entre amplitudes SGTββ como funcao da

energia dos estados 0+ finais com respeito ao zero de energia do nucleo inicial (MeV), para o

caso nao-pertubado utilizando o s.p.e. do 76Ge no espaco de 5n5p. Logo nota-se facilmente,

que a condicao mais provavel, de maiores valores de strenght, e pelo decaimento-ββ−.

Na Figura(4.49) temos uma comparacao entre amplitudes SGTββ como funcao da energia

(MeV), para casos: (i) nao-pertubado (unpertubed) limite-ph (barra azul), (ii) nao-pertubado

FQTDA (barra preta), (iii) pertubado (pertubed) FQTDA com parametros do canal-ph

vs=55, vt=92. Pelo lado esquerdo, temos as amplitudes SGTββ−. Podemos observar que as SGT

ββ−

do caso nao-pertubado no limite-ph, possui maiores valores para menores energias (MeV)

quando comparado com as SGTββ− do caso nao-pertubado para FQTDA. Ja no caso pertubado,

as SGTββ− possuem menores valores quando comparado aos casos nao-pertubados. Pelo lado di-

reito, temos as SGTββ+. Pode-se notar que para os valores das SGT

ββ− para o caso nao-pertubado o

limite-ph nao sofre mudancas nos valor de energia. Ja para o caso de FQTDA nao-pertubado

nota-se que as SGTββ− possui maiores valores quando comparado ao caso pertubado FQTDA

104

-20 0 20 40

E(MeV)

0

5

10

15

20

25

Sββ−G

Tunpertubed PH

unpertubed FQTDA


-80 -40 0 40

E(MeV)

0

0.004

0.008

0.012

0.016

0.02

Sββ+G

T

unpertubed PH

unpertubed FQTDA


Figura 4.49: Amplitudes de decaimento-ββ (SGTββ ) para 76Ge como funcao da E(MeV). Lado esquerdo,

decaimento-ββ-. Lado direito, decaimento-ββ+. Sendo (i) nao-pertubado limite-PH (em azul), (ii)nao-pertubado FQTDA (em preto), (iii) pertubado (em vermelho).

com parametros vs=55, vt=92.

A Figura(4.50) mostra o comportamento dos componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J

para 76Ge com vphs =55, vpht =92 para as regioes de maior amplitude SGTββ− conforme Fig. (4.48)

e para o estado fundamental. Pelo lado esquerdo, observa-se as componentes da funcao de

onda Yp1p2n1n2J como funcao das configuracoes dos estados (States). Sao apresentadas as

aproximacoes segundo: (i) FQTDA nao-pertubado (unpertubed), onde os parametros dos

canais-pp e -ph sao dados por vphs = vpht =0 e s = t=0, de onde obtemos a maior amplitude

SGTββ− para estado 175 (em azul), (ii) ph nao-pertubado onde os parametro dos canais-pp e

-ph sao dados por vphs = vpht =0 e s = t=0, onde obtemos a maior amplitude SGTββ− para o

estado 53 e (iii) FQTDA pertubado (pertubed) com vphs = 55 e vtph = 92 de maior amplitude

SGTββ− dado no estado 73. No lado direito, temos as componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J

como funcao das configuracoes dos estados (States) para o estado fundamental 225. Segundo:

(i) FQTDA nao-pertubado (unpertubed), (ii) -ph nao-pertubado, (iii) FQTDA . E notavel

que a FQTDA no estado final 0+f possui maiores valores para as componentes da Yp1p2n1n2J

e do mesmo modo, maiores valores de energia. Ja o FQTDA unpertubed apresenta maiores

valores dos componentes da Yp1p2n1n2J com respeito a energia quando comparado ao caso -ph

unpertubed.

NME na FQTDA para 76Ge

A Figura (4.51) apresenta o comportamento dos elementos de matriz nuclear dos esta-

dos intermediario (M2NU) como funcao de t para o 76Ge. Sendo a parametrizacao do canal-ph

105

0 50 100 150 200

State

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

Yp

1p2

n1

n2

J

[175] FQTDA unpertubed

[53] PH unpertubed

[73] FQTDA pertubed

0 50 100 150 200

State

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

Yp

1p

2n

1n

2J

FQTDA unpertubed

PH unpertubed

FQTDA

Figura 4.50: Comportamento para os componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para 76Ge com

vphs =55, vpht =92 para as regioes de maior amplitude SGTββ− conforme Fig. (4.48) comparando os

resultados nao perturbado -ph, perturbado BCS e perturbado FTQDA. Painel esquerdo - Yp1p2n1n2J ,para o estado de maior amplitude GT, como funcao das configuracoes (States) . Painel direito -Yp1p2n1n2J , para o estado de fundamental, como funcao das configuracoes (States).

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

M2

NU

vs=55, vt=92

Figura 4.51: Elementos de matriz do estado intermediario (M2NU) como funcao do parametro t docanal-pp, para 76Ge na FQTDA.

106

0 2 4 6 8 10

t

-20

-15

-10

-5

0

5

M2νG

T

vs=55, vt=92

Experimental

0 1 2 3 4 5

t

-0.3

-0.2

-0.1

0

M2νG

T

vs=55, vt=92

Experimental

Figura 4.52: Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro t do canal-pp, para 76Ge

na FQTDA.

utilizada dada por vs=55 e vt=92. Observa-se um descrescimo acentuado no intervalo de t=0

ate t=0,2, em seguida uma suavizacao na curva ate t=2,0, mostrando uma comportamento

razoavel e tendo resolvidos a QTDA e FQTDA sem a presenca de autovalores complexos como

solucao das equacoes de movimento.

Pela Figura (4.52) mostra-se o comportamento dos elementos de matriz nuclear MGT2ν

como funcao de t para o 76Ge. A parametrizacao do canal-ph utilizada dada por vs=55

e vt=92, ja usada na QRPA. Para o lado esquerdo, observa-se uma regiao de pertubacao

(colapso) da FQTDA em t ≈6. Para o lado direito, mostra o comportamento do MGT2ν em

funcao de t de forma suave ate t=5. Observa-se pela linha tracejada a regiao dos valores de

|M2ν exp| dada para os valores experimentais ∼ 0, 21± 0, 01 conforme Barabash [5, 77] para

o 76Ge. Temos assim, que a presenca do colapso acontece para valores muitos grandes de t

sem significado fısico.

Na Figura (4.53) temos o comportamento dos elementos de matriz nuclear MGT2ν como

funcao de vt, parametro de acoplamento triplete em ambos canais -pp e -pp para o 76Ge. Para

o Grafico do lado esquerdo, segundo a parametrizacao: (i) vs=30 (linha preta), (ii) vs=40

(linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv) vs=55 (linha vermelha), (vi) vs=60 (linha roxa).

Observa-se que a medida que aumenta o valor do parametro vs a curva paraMGT2ν como funcao

de vt se torna mais suave e ainda esta entre o limite das regioes para valores experimentais

(linha tracejada). Ja pelo lado direito, temos um comparativo dos MGT2ν de FQTDA (linha

cheia), com limite-ph (linha tracejada), conforme a parametrizacao: (i) vs=30 (linha preta),

(ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv) vs=55 (linha vermelha), vi) vs=60 (linha

107

80 120 160 200

Vt

-1

0

1

2

3

M2νG

T

vs=30

vs=35

vs=40

vs=50

vs=55

vs=60

Experimental

80 90 100 110 120

Vt

0

0.04

0.08

0.12

0.16

M2νG

T

BCS vs=30

BCS vs=40

BCS vs=50

BCS vs=55

BCS vs=60

PH vs=30

PH vs=40

PH vs=50

PH vs=55

PH vs=60

Figura 4.53: Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para

76Ge. Pelo ladoesquerdo temos MGT

2ν para FQTDA, nota-se o surgimento de regioes colapsadas com vt variavel de130 ate 220, acompanhado de linhas tracejadas dos valores experimentais. Ja pelo lado direito umcomparativo entre FQTDA (linha cheia) e limite-ph (linha tracejada).

roxa). E possıvel observar que no calculo limite-ph foi capaz de reduzir os valores dos MGT2ν

obtidos pelo FQTDA.

Pela Figura (4.54) observa-se o comportamento dos elementos de matriz nuclear MGT2ν

como funcao de vt para o 76Ge para limite-ph. Segundo a parametrizacao: (i) vs=30 (linha

preta), (ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv) vs=55 (linha vermelha), (vi)

vs=60 (linha roxa). Pelo lado esquerdo temos os MGT2ν como obtidos. Ja pelo lado direito

os valores de MGT2ν sao dados em modulo e e possivel observar que a regiao de valores fica

abaixo do limite dos valores experimentais (linha preta tracejada). Observa-se que a medida

que aumenta o valor do parametro vs a curva para MGT2ν como funcao de vt se torna mais

suave. Porem os bons resultados no limite-ph apresentados nas Fig. (4.53) e Fig. (4.54) sao

questionaveis pois como 76Ge e um nucleo de camada aberta, o limite-ph nao representa uma

situacao fısica razoavel para esse nucleo.

Efeito do “colapso” na FQTDA no 76Ge

Pela analise do comportamento dos NME como funcao do parametro t no canal-pp, ou

em funcao do parametro vt notamos que existe um efeito similar ao conhecido “colapso da

QRPA” na FQTDA. O efeito de “colapso da QRPA” na FQTDA ja apareceu no estudo feito

para o 48Ca.

Na Figura (4.55) mostra-se o comportamento do denominador de energia (DEN GS)

para 76Ge pelo calculo de FQTDA. No lado esquerdo temos o DEN GS como funcao do

108

80 90 100 110 120

Vt

-0.06

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

M2νG

T

vs=30

vs=40

vs=50

vs=55

vs=60

80 90 100 110 120

Vt

0

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

M2νG

T

vs=30

vs=40

vs=50

vs=55

vs=60

Experimental

Figura 4.54: Elementos de matriz nuclear MGT2ν como funcao do parametro vt, para

76Ge no limite-ph. Pelo lado esquerdo temos MGT

2ν com valores obtidos. Ja pelo lado direito temos MGT2ν no

limite-ph dado os valores em modulo.

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

3.8

4

4.2

4.4

4.6

DE

N_G

S

vs=55, vt=92

80 90 100 110 120

Vt

1

2

3

4

5

6

7

DE

N_G

S

vs=30

vs=40

vs=50

vs=55

vs=60

Figura 4.55: Painel esquerdo - Denominador de energia (DEN GS) como funcao do t no canal-pppelo calculo de FQTDA. Painel direito - DEN GS como funcao do vt pelo calculo de FQTDA.

109

0 0.4 0.8 1.2 1.6 2

t

1

2

3

4

5

6

W

Wλ

WF / 2

Figura 4.56: Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS) com

funcao do parametro t no canal-pp por FQTDA para 76Ge. Temos aqui vphs =55 e vpht =92. Linhacheia representa o wλ no estado intermediario 1+, enquanto a linha tracejada e o w0+f

para estado

final 0+.

parametro do t no canal-pp, com uma forma suave segundo o crescimento de t. Ja no lado

direito, temos o DEN GS como funcao do parametro vt variavel. No canal singlete usa-se a

parametrizacao: (i) vs=30 (linha preta), (ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv)

vs=55 (linha vermelha), (vi) vs=60 (linha roxa). Nota-se tambem um comportamento suave

a medida que se cresce os valores do vt.

Pela Figura (4.56) apresenta-se o comportamento dos componentes do denominador

de energia (DEN GS) para 76Ge pelo calculo de FQTDA como funcao do t no canal-pp.

Observa-se que o wλ que representa a energia do estado intermediario 1+ (linha cheia) tem

um comportamento suave a medida que se aumenta o valor para t. Ja para w0+fque representa

a energia do estado final 0+ (linha tracejada) nao se modifica com variacao de t no canal-pp.

110

80 90 100 110 120

Vt

-2

0

2

4

6

W

Wλ vs=30

Wλ vs=40

Wλ vs=50

Wλ vs=55

Wλ vs=60

W0+

vs=30

W0+

vs=40

W0+

vs=50

W0+

vs=55

W0+

vs=60

Figura 4.57: Comportamento para os componentes do denominador da energia (DEN GS) comofuncao do parametro vt na FQTDA de 76Ge. Linha cheia representa o wλ no estado intermediario1+, enquanto a linha tracejada e o w0+f

para estado final 0+.

Na Figura (4.57) mostra-se o comportamento dos componentes do denominador de

energia (DEN GS) para 76Ge pelo calculo de FQTDA como funcao do vt. Os valores adotados

para vs sao: (i) vs=30 (linha preta), (ii) vs=40 (linha azul), (iii) vs=50 (linha verde), (iv)

vs=55 (linha vermelha), (v) vs=60 (linha roxa). Observa-se que, tanto o wλ que representa

a energia do estado intermediario 1+ (linha cheia), como o w0+fque representa a energia do

estado final 0+ (linha tracejada), tem um comportamento suave a medida que se aumenta o

valor para canal vt, no mesmo sentido que obtemos para o parametro t (canal-pp) quando os

canais -pp e -ph trabalham por separado na interacao residual.

5 CONCLUSOES E PERSPECTIVAS FUTURAS

Segundo Krmpotic Ref.[32], o uso do modelo de FQTDA seria capaz de contornar o

problema de colapso encontrado no modelo de QRPA, no qual os elementos de matriz nuclear

M2ν vao a zero para determinados valores de interacao no canal de partıcula-partıcula. Como

na Ref Ref.[32] foi analisada a FQTDA no limite-ph para 48Ca, nos fizemos uma extensao da

FQTDA para verificar essa suposicao. De modo ampliar o estudo de decaimento-ββ com a

FQTDA realizado no 48Ca, analisamos o 2νββ para 76Ge afim de verificar a confiabilidade do

modelo de FQTDA.

O colapso da QRPA esta relacionado com o aparecimento dos autovalores complexos

nas equacoes de QRPA para certos valores do canal-pp. Isso leva a obter uma funcao de onda

nao fısica do estado fundamental com valores de energia iguais a zero (ou complexas). Outra

caracterıstica do colapso de QRPA era a obtencao de um zero e por fim um polo na expressao

dos elementos de matriz nuclear para 2ν, MGT∈ν , [73]. Alem disso, o colapso da equacao

indica que a equacao de RPA com componentes 1+ e ambıgua e, portanto, limita tambem a

confianca do resultados sobre o decaimento 0νββ.

O procedimento FQTDA restaura a simetria SU(4) de Wigner, conforme foi tratada

por Krmpotic na Ref.[32]. Em nosso trabalho, foi possıvel resgatar alguns resultados dos

elementos de matriz nuclear (NME) para o decaimento duplo-β em 48Ca, onde empregou-se

o limite-ph ao modelo FQTDA. Tres conjuntos de s.p.e. foram utilizados e, de forma similar

tiveram os mesmos resultados, mostrando semelhanca na descricao do NME experimental.

Pelas Figuras (4.52) e (4.56) para 76Ge, e Figuras (4.36) e (4.38) para 48Ca, por

exemplo, e possivel observar a extrema sensibilidade do M2ν no canal de interacao-pp, aqui

representados pelo parametro t, quando a interacao residual foi tratada com os canais -pp e -ph

separados, ou pelo valor vt do canal triplete quando a interacao residual e tratada com os os

canais -pp e -ph juntos como foi feito na Ref. [32]. Observa-se uma evolucao semelhante para

os conjuntos com os parametros do canal-ph (vs, vt). Surge uma diferenca no comportamento

dos MGT2ν onde e mais notavel para os parametros do canal-ph (27,64) que se mostra mais

sensıvel as variacoes do t no canal-pp e, aumenta ainda mais explicitamente para (40, 60).

E possıvel notar indicacoes do chamado “colapso da QRPA” que aparecem no modelo

de FQTDA, quando se observa a descontinuidado para os M2ν como funcao do t no canal-pp

com respeito aos parametros fixos do canal-ph (vphs , vpht ), ou seja com separacao dos canais

de interacao residual. Do mesmo modo, tambem se observa pela Figura (4.31) como funcao

112

do canal-ph vt, a existencia de regioes pertubadas que desencadeam em um polo seguido de

uma regiao de “colapso” dada pela FQTDA, quando nao usamos a separacao dos canais de

interacao. Assim, todos aqueles valores de MGT2ν mostradas nas figuras anteriores para 48Ca

ou 48Ca, obtidos depois do “colapso de FQTDA” nao possuim significado fısico e devem ser

eliminados das respectivas figuras, quando se prepare um artigo pra submissao a revista in-

dexada. Na dissertacao conservamos estes valores para uma simples ilustracao do problema.

No ponto do colapso o valor de MGT2ν aumenta significamente neste ponto (polo), mas ne-

nhuma energia da funcao de onda do estado fundamental final 0+ apresentou alguma tipo de

irregularidade. O mesmo aconteceu com as energias dos estados intermediarios 1+.

Da mesma forma, e notavel que a escolha efetiva da energia de partıcula unica (s.p.e.)

contribui para melhorar as observacoes para osM2ν , mas nao soluciona o problema do colapso

da FQTDA, como ja e conhecido da literatura. No entanto, uma boa aproximacao com os

dados experimentais foi obtidas ajustando os parametros de interacao residual sendo capaz

de descrever os NME no estado fundamental. Reforcamos entao que a ideia de uma escolha

adequada da s.p.e. e um fator que auxilia substanciamente e passa a ser uma questao delicada

no modelo de FQTDA.

Portanto, percebeu-se que o “colapso da QRPA” ocorre de forma similar no modelo de

FQTDA. Decorre de forma natural, devido ao que a energia do estado intermediario funda-

mental 1+ (w1+), se superpoe com a metade da energia do estado fundamental 0+ (w+

0f

2). Ou

seja, no denominador de energia (Dλ+α ,f ) da equacao (3.4), onde deve ser satisfeita a relacao

wλ−w+

0f

2= 0 nao se cumpre. No entanto, como podemos observar pelos graficos (4.44), (4.45),

(4.46), independente do s.p.e. utilizado vai existir uma regiao aonde teremos wλ =w+

0f

2, ou seja

a formacao de um polo, e posterior colapso da FQTDA. Em forma mais especıfica, consegui-

mos notar, que assim como para o s.p.e. do 48Ca (nucleo de camadas duplamente fechadas),

existe uma regiao em que os MGT2ν vai colapsar conforme graficos (4.52), (4.53) para o s.p.e.

do 76Ge (nucleo de camadas abertas). Na mesma medida, quando observarmos o denomina-

dor de energia (Dλ+α ,f ) podemos perceber que a relacao wλ −

w+0f

2= 0 chega em um momento

que nao e mais satisfeita conforme graficos (4.56), (4.57), sendo assim obtemos uma regiao de

colapso da FQTDA para 76Ge.

Resumindo, o modelo de FQTDA nao e capaz de solucionar por completo o problema

de “colapso” existente na QRPA. Ele consegue restaurar a simetria SU(4) de Wigner, e

resgastar alguns NME’s que foram comprometidos pelo modelo de QRPA. No entanto, do

mesmo modo que na QRPA, o modelo de FQTDA vai enfrentar um problema causado pelo

metodo matematico aonde os elementos do denominador de energia (Dλ+α ,f ) nao cumprem a

113

devida relacao e se fazem iguais, ou muito proximos, sem significado fısico, o que nos leva ao

denominador de valor igual a zero (polo no NME), e com isso surge o “colapso da FQTDA”.

Nossa proposta futura e estender o estudo do modelo, e testa-lo para 100Mo para

continuar testando a confiabilidade do modelo de FQTDA. Este nucleo e de especial interesse

devido que seus NME experimentais existem para o estado fundamental e o primeiro estado

excitado de 100Ru.

5.1 Errata do 25/03/2015

Depois de ter terminado o trabalho de dissertacao, e em virtude de reanalisar e testar

mais uma vez nossos resultados dentro do modelo de SMM (Single mode Model) [67], encon-

tramos um misprint numa fase do elemento de matriz de H22. Como o misprint pertence ao

termo de 4qp, nenhuma modificacao deve ser feita nos estados intermediarios e os resultados

para essa parte do hamiltoniano permanecen inalteraveis. Analisando os efeitos desta fase

nos resultados provenientes de H22, notamos que os efeitos nao sao notaveis e as conclusoes

finais para a dissertacao sao as mesmas. Porem, para uma maior clareza, confiabilidade e

apresentacao correta dos resultados algumas figuras devem ser alteradas. Estas modificacoes

estao em andamento para que os resultados e importantes conclusoes da dissertacao sejam

apresentados em breve numa revista cientıfica de alto impacto.

L.O., A.R.S & C.A.B.

114

6 APENDICE

6.1 Apendice A - Modelos Nucleares

6.1.1 Modelo de Partıcula Simples

Desde o inıcio das pesquisas na area, por volta dos meados dos anos 1937-38, surgiu a

necessidade de elaborar ummodelo que fosse capaz de resolver problemas de interacao nucleon-

nucleon, embora predominantemente atrativo, em nucleos macivos(caroco) repulsivos. Este

modelo mais tarde ficou conhecido como Modelo de Partıcula Simples(do ingles, single-particle

- SPE).

Na tentativa de determinacao da confiabilidade do modelo, na realizacao dos calculos

para o efeito macivo, concluiu-se que o Modelo de Partıcula Simples tende a ser destrutivo.

Evidencias da estrutura de camada, apos a inclusao da interacao spin-orbita realizada por

Haxel et al. e Mayer(1949), o tornaram inegavel.

Mais tarde se fez apreciavel, atraves das melhorias pelo Princıpio de Exclusao de

Pauli, a notoriedade da capacidade de conter nucleos no espalhamento de longo alcance e

amplamente do modelo de camadas de orbitais. Nos dias atuais, com a existencia de partıculas

independentes introduzida no modelo de camadas, na qual os nucleons movem-se de forma

independe no interior do nucleo atraves de um potencial medio gerado por todos os outros

nucleons.

Uma questao bastante discutida e a relacao considerada para os possıveis caminhos

que uma partıcula pode se acoplar resultando em uma forma equilibrada. Essencialmente

existem duas formas de esquemas de acoplamentos, cujas referem-se aos dois tipos mais uti-

lizados em correlacoes entre nucleos(Mottelson,1960). O primeiro, favorece a tendencia de

cada nucleon se alinhar ao orbital com campo medio produzido pelos outros nucleons, isto

estabelece uma forma de equilibrio deformada. O segundo e mais usual, para interacoes de

pequeno alcance entre nucleons cujo tende a um esquema de acoplamento de partıculas em

pares com configuracao J=0. Este por sua vez tem forma esferica equilibrada.

Em nucleos de camada fechada, todos orbitais de j-camadas de partıcula simples, ou

estao totalmente ocupadas ou totalmente vazias. Fazendo uma consideracao de adicao de

partıculas para a j-camada subseguente vazias, teremos entao no primeiro momento; que foi

colocado (j,m=j) no orbital, e sua densidade de distribuicao concentra-se no plano equatorial.

Este, capaz de gerar um campo nao esferico com atracao de partıculas para alinhar-se a orbita

115

plana com o equatorial, permitida pelo princıpio de Pauli.

Observa-se tambem, quando o campo torna-se deformado, o momento angular do or-

bital de partıcula cessa, quando temos bons numeros quanticos, logo a funcao de onda da

partıcula propaga-se sobre o numero de j-orbitais.

O esquema de alinhamento dos acoplamentos nao se faz assegurar o numero total do

momento angular de um sistema de bons numeros quanticos. Em geral, funcoes de onda

alinhas nao geram bons momento angulares, com excessao clara das camadas fechadas.

Dessa forma, acredita-se que o campo gerado por acoplamento em pares de partıcula

produz forcas importantes no alinhamento do esquema de acoplamento, exceto aqueles de

dupla camada fechada que podem-se deformar. Por esse motivo entende-se que a forma

esferica e muito mais estavel.

Temos pelas forcas de campo de longo alcance na interacao de dois corpos tende a

alinhar os orbitais nucleares e criar deformacao no nucleo, enquanto que as forcas de empare-

lhamento de curto alcance tende a espalhar nucleons isotropicamente e estabilizar-se na forma

esferica. Logo a forma de esquilibrio do nucleon, depende portanto do equilibrio desses dois

tipos.

Outra observacao posta em analise, denota que a forca de interacao de curto alcance

das forcas de emparelhamento afeta profundamente os parametros de vibracao do momento de

rotacao de inercia, transicoes eletromagneticas e outras formas de observaveis. Infelizmente

isso tende a destruir a estrutura de partıcula independente, caracteristica dos campos fortes

e causa das difusao da superfıcie de Fermi. Assim temos o estado de partıcula simples, ν,

do modelo de partıcula simples sendo estado ocupado(estado de buraco) colocado abaixo do

nıvel de Fermi e desocupado(estado de partıcula), µ, acima do nıvel de Fermi, tendo ainda as

probabilidades de amplitude Vν para estado ocupado e estado desocupado Uµ.

Na teoria de forca de emparelhamento, a simplicidade do modelo de partıcula simples

recupera-se por introducao da quasepartıcula independente. Essas sao ditas partıculas hibridas

que se movem em um campo adicional - o campo de emparelhamento-generalizado para forcas

de curto alcance. Eles sao de fato fermion, generalizando temos que sao parte partıcula

(amplitude Uν) e parte buraco (amplitude Vµ).

No modelo de partıcula simples, o estado excitado |i⟩ e criado por um estado funda-

mental ”| ⟩” por promover o nucleon para o estado de buraco ν, ou seja abaixo da superfıcie

de Fermi, e para estado de partıcula µ, para acima da superfıcie de Fermi. Nas palavras

de Bohr e Mottelson[78], este formalismo se baseia na criacao e aniquilacao de operadores

apropriados para expressar a simetria entre partıcula-buracos. Temos entao para o estado de

116

partıcula-buraco |i⟩:

|i⟩ = |(ν)−1⟩ (6.1)

os elementos de matrix ⟨i|w| ⟩ para um operador arbitrario de corpo-simples W, torna-se a

integral sobre afuncao de onda sobre a partıcula-simples:

⟨i|W | ⟩ = ⟨µ|W |ν⟩ =∫ψ∗µWψν (6.2)

A energia e diferente para a energia de partıcula-simples:

Wi −Wo = ϵµ − ϵν (6.3)

Podemos definir como:

ϵµ =Wµ(A+ 1)−Wo(A) estado de partıcula

−ϵν =Wν(A− 1)−Wo(A) estado de buraco

onde Wµ(a + 1) e a energia do nucleo A+1 com nucleon extra no estado µ, e Wν(A− 1) e a

energia do nucleo A-1 com nucleon removido para o estado ν.

6.1.2 Teoria de Hartree-Fock

Para obter o potencial de uma unica partıcula em meio a uma interacao de duas

partıculas se aplica o principio variacional (metodo cientıfico utilizado no calculo das va-

riacoes, com intuito de maximinizar ou minimizar o valor de quantidades que dependem

de funcoes, ou seja, qualquer lei fısica que pode ser expressa um expressao auto-adjunta ou

Hermitianas, capaz de descrever uma invariante sob uma tranformacao Hermitiana) no hamil-

toniano nuclear e em seguida, realiza uma antissimetrizacao das funcoes de todos os nucleons

envolvidos atraves do determinante de Slater. Este metodo e conhecido como aproximacao

de Hatree-Fock , ou metodo para determinar a funcao de onda e\ou energia para um sistemas

de muitas partıculas em estado estacionario, ou ainda, segundo a literatura antiga conhecido

como metodo de campo auto-consistente, pois deve possuir uma distribuicao de carga que

tem de ser auto-consistente com o campo inicial assumido para se obter a aproximacao da

equacao de Schrodinger, tambem dita equacao de Hartree.

Pela teoria da estrutura atomica, os calculos podem ter um espectro com muitos nıveis

de energia, e conseguentemente, o metodo Hartree-Fock desses atomos, assume a funcao de

117

onda como sendo uma unica funcao de estado de configuracao com numeros quanticos bem

definidos e que o nıvel de energia nao e necessariamente o estado fundamental (do ingles,

ground state).

Considerando um nucleo, com numero de massa A, significando que neste nucleo existe

A nucleons interagindo fortemente. Logo para resolver o problema de A nucleons interagentes

utiliza-se a equacao de Schrodinger, para cada nucleon, porem ela nao possui uma solucao

exata quando A > 10 [51]. Um meio de resolver este problema e atraves de metodos apro-

ximativos, no qual em vez de considerar um sistema de partıculas interagindo fortemente

considera-se um conjuntode A nucleons interagindo fracamente e estes nucleons passam a se-

rem consideradas quasepartıculas. Este novo sistema de quasepartıculas pode ser aproximado

para um conjunto de quasepartıculas nao interagentes, de modo que a interacao residual seja

tratada como uma perturbacao.

Temos entao para o Hamiltoniano nuclear de muitos nucleons e dado pela soma da

energia cinetica (T) de todos os nucleons com a soma de todas as interacoes de pares de

partıculas dado pelo potencial, conforme a

H = T + V =A∑i=1

t(ri) +A∑

i,j=1i<j

v(ri, rj) =A∑i=1

−~2

2mN

∇2i +

A∑i,j=1i<j

v(ri, rj) (6.4)

Como o interesse e separar o hamiltoniano acima em duas partes, uma para o modelo

de partıcula unica e outra com a interacao residual, na qual, e o responsavel pela interacao

entre os nucleons, deve-se soma e subtrair na equacao (7.8), a soma de todos os potenciais sem

considerar o efeito de interacao par de partıculas, mas sim levando em consideracao o efeito de

um potencial medio de todo o sistema, gerando um hamiltoniano de partıcula independente

(hamiltoniano de campo medio HMF )

H = [T +A∑i

v(ri)] + [V −A∑i

v(ri)] ≡ HMF + VRES (6.5)

onde a interacao residual nao leva em conta os efeitos do potencial central.

VRES = V −A∑i

v(ri) =A∑

i,j=1i<j

v(ri, rj)−A∑i

v(ri) (6.6)

A aproximacao de campo medio considera que os nucleons estao sob efeito de um

campo externo criado por (A - 1) nucleons, de modo que o potencial externo e dado pela

media temporal em um curto intervalo de tempo ∆T , da interacao de um nucleon com todos

118

os outros, este potencial e descrito como

VMF =A∑i=1

1

∆T

∫ T+∆T

T

dtA∑

i,j=1i=j

v(r(t)i, r(t)j). (6.7)

Assim a aproximacao de campo medio para um sistema de muitos fermions interagindo for-

temente passa a ser um sistema de A nucleons nao interagentes onde agora se considera estes

nucleons como quase partıculas, numa regiao onde se apresenta um potencial externo v(ri),

que possibilita encontrar estados estacionarios de uma partıcula. Para isto deve-se resolver

a equacao de Schrodinger com o hamiltoniano da equacao (7.9), onde se resolve o hamilto-

niano de campo medio e a interacao residual e considerada como uma perturbacao. Para o

hamiltoniano do campo medio temos:

HMFψ0(r1, r2, ..., rA) = Eψ0(r1, r2, ..., rA) (6.8)

sendo que ψ0(r1, r2, ..., rA) e a funcao de onda de A nucleons. Por se tratar de um sistema de

fermions nao interagente podemos fazer a seguinte separacao de variaveis

ψ0(r1, r2, ..., rA) = ϕα1(r1)ϕα2(r2)...ϕαA(rA) (6.9)

levando a equacao (7.13) em (7.12), teremos “A” equacoes de Schrodinger para um sistema

de partıculas identicas, reduzindo a equacao (2.5) em

[−~2

2mN

∇2 + v(r)]ϕα(r) = εαϕα(r) (6.10)

para cada nucleon, de modo que a constante εα satisfaz a seguinte condicao

E =A∑i=1

εαi, (6.11)

com isso a equacao de Schrodinger torna-se possıvel de resolver, pois inves de ter uma equacao

para A nucleons, tem-se uma equacao de Schrodinger para cada nucleon, para o qual a solucao

geral do sistema e o produto de todas as funcoes de onda para a partıcula independente:

ψ0(r1, r2, ..., rA) =A∏i=1

ϕαi(ri) (6.12)

Deste modo a aproximacao de campo medio transforma um problema complicado de

119

muitos corpos em um problema simples de um unico corpo. Este metodo e conhecido como

Teoria de Hartree. Pode-se aperfeicoar o campo medio atraves da minimizacao da interacao

residual utilizando o principio variacional que minimizara a energia do estado fundamental,

E0, do nucleo

E0 = ⟨ψ0|H|ψ0⟩, onde H = T + VMF + VRES (6.13)

Como os nucleons sao partıculas fermionicas, ou seja, possuem spin semi-inteiro, o

conjunto das funcoes de onda devem estar antisimetrizada. A consideracao das funcoes de

onda antissimetrica e conhecida como teoria de Hatree-Fock, onde se aplica o operador de

antissimetrizacao A, que possui a finalidade de fazer permutacoes entre os nucleons. Logo a

funcao de onda antissimetrica e dada por:

ψ0(r1, r2, ..., rA) = A[A∏i=1

ϕαi(ri)] (6.14)

que pode ser representada em termos do determinante de Slater

Ψ =1√A!

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ψ1(r1) ψ1(r2) . . . ψ1(rA)

ψ2(r1) ψ2(r2) . . . ψ2(rA)...

.... . .

...

ψA(r1) ψA(r2) . . . ψA(rA)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣(6.15)

sendo que A representa o numero total de nucleons.

A equacao de Hatree-Fock e similar a equacao de Schrodinger, no entanto o que dife-

rencia e o potencial que ao inves de ser um potencial simples este potencial passa a ser um

funcional, a funcao de uma funcao, fazendo com que a equacao seja nao linear, tornando-se

mais complicado de resolver. A equacao de Hatree-Fock e dada por

−~2

2mN

∇2ϕα(r) + VH(F )(ϕi(r))ϕα(r) = εαϕα(r), i = 1,2, ...,A e α = 1,2, ...,∞. (6.16)

sendo o potencial um funcional de funcoes de onda descohecidas

V (r) → VH(F )(ϕi(r)). (6.17)

Desta forma esta equacao so possui solucao numerica, que e encontrada atraves do

metodo de recorrencia seguindo os seguintes passos. Primeiramente com o conjunto de funcoes

de onda de partıcula unica cria-se um potencial inicial V 0HF que e o potencial de campo medio,

120

em seguida utiliza-se este potencial para resolver a equacao de Schrodinger obtendo um novo

conjunto de funcoes de ondas ϕ1α(r)

∞α=1 e energias ε

(1)α , que a partir deste novo conjunto de

funcoes gera-se um novo potencial de Hatree-Fock V 1HFque sera utilizado novamente para

resolver a equacao de Hatree-Fock. Este processo e repetido ate haja a convergencia da

energia gerando um campo medio alto consistente v0HF (r) associado aos autoestados ϕα(r) e

as autoenergias εα todos simultaneamente.

6.1.3 Modelo de Camada Nuclear

Admitimos que os nucleons se movem de forma mais ou menos independentes uns dos

outros dentro do nucleo, no mesmo espırito do modelo do gas de Fermi. A diferenca e que

agora os nucleons nao sao tratados como partıculas livres mas sujeitos a um potencial central

nuclear que atua sobre os eletrons no atomo. Como nao se pode no caso atomico, identificar

o agente criador de um tal potencial, essa dificuldade e contornada supondo que cada nucleon

se move em um potencial medio criado pelos demais nucleons, potencial esse que deve ser

determinado de modo a melhor reproduzir resultados experimentais.

Partindo da Hamiltoniana exata para um problema de A corpos pode ser escrita como

H =A∑i

Ti(ri) + V (r1, ..., rA) (6.18)

onde T e o operador de energia cinetica e V a funcao potencial.

Se nos restringirmos a interacoes a dois corpos (nucleon-nucleon), assume a forma de

H =A∑i

Ti(ri) +∑i

∑j<i

Vij(ri, rj). (6.19)

Para o modelo, o nucleon i nao sente o potencial∑

Vij mas sim um potencial central

U(ri), que so depende das coordenadas do nucleon i. Esse potencial pode ser introduzido no

resultado como

H =A∑i

Ti(ri) +∑

U(ri) +Hres (6.20)

onde

Hres =∑i

∑i<j

Vij(rirj)−∑i

U(ri) (6.21)

Hres se refere as chamadas interacoes residuais, isto e, a parte do potencial V nao abrangido

121

pelo potencial central U. A ideia do modelo de camadas e que a contribuicao de Hres seja

pequena ou, de outra forma, que a Hamiltoniana do modelo de camadas,

H0 =A∑i=1

[Ti(ri) + U(ri)] (6.22)

represente com boa aproximacao a expressao exata H.

Partindo da equacao de Schroendinger para potenciais esfericos simetricos temos:

ϕ(r) = Rl(r)Ylm(θ, ϑ) ∴ Rl(r) (6.23)

e a solucao da equacao

1

r2d

dr(r2

d

dr) +

2µ

~2[E − V (r)− l(l + 1)~2

2µr2]Rl = 0 (6.24)

Onde µ e a massa reduzida dada por µ=A−1A

m∼=m, sendo m a massa nuclear. E e a

energia.

Pelas funcoes de Bessel e Neumann:

Besseu : jl(Kr) = (− rk)l(

d

rdr)l(sen(kr)

kr) (6.25)

Neumann : nl(kr) = (− rk)l(

1

r)l(−cos(kr)

Kr

) ∴ k =

√2µE

~(6.26)

Para o caso de jl(kr), aos seus zeros sao dispostos na seguinte ordem: 1s, 1p, 1d, 2s,

2p, 2d, 3s, 3p, 3d...

A notacao e nl, onde l e o numero quantico do momento angular e n a ordem em que

o zero aparece ao longo do eixo. Logo teremos para cada nıvel l, que havera 2l+1 valores

diferentes da componente magnetica.

Sendo assim, pela distribuicao dos nıveis de energia, o fato de que alguns nıveis sao

muito proximos uns dos outros, encaramos como constituindo uma camada no espaco das

energias (de momento) e cada camada e caracterizada pelo numero total de protons (ou

neutrons) que seus nıveis de energia sao capazes de aceitar. Logo as camadas sao caracteri-

zadas por esses numeros, e acrescidas dos numeros das demais camadas de energia abaixo.

Observando os efeitos de camada fechada, notamos que sao analogas aos numeros magicos

dos eletron atomico e por isso, “numeros magicos nucleares”.

Sendo afim de tornar mais realisticas os resultados, obtemos uma aproximacao que

fornece basicamente os mesmos resultados apenas com os nıveis levemente deslocado para

122

baixo, quando consideramos outros novos efeitos e comparando com o anterior.

Quando Green, resolveu testar com um novo numero quantico, o j, o termo spin-orbita,

obteve uma grande melhoria nos dados, sendo que os subnıveis de menor valor de j, desloca-

se para cima, e os de maior valor para baixo, notou-se tambem entrelacamento de alguns

subnıveis o que permitiu a reproducao correta dos numeros magicos.

6.1.4 Aproximacao de fases ao azar de quasepartıculas (QRPA)

Com a aproximacao de BCS estamos incluindo o campo medio Hp e Hn e uma parte

de curto alcance da interacao residual, a interacao de emparelhamento. A interacao residual

entre protons e neutrons sera incluida dentro do marco da aproximacao de fases ao azar de

quasepartıculas (pn-QRPA).

Aplicando a transformacao de Bogoliubov (3.20) para a interacao residual proton-

neutron

Hpn = H22pn +H04

pn +H40pn, (6.27)

com

H22pn =

∑pp′nn′

[< pn|V |p′n′ >A (upunup′un′ + vpvnvp′vn′)

− < pn′|V |p′n >A (upvnup′vn′ + vpunvp′un′)]α†pα

†nαn′αp′ ,

H04pn = H40

pn =∑pp′nn′

< pn|V |p′n′ >A upunvp′vn′α†pα

†nα

†n′α

†p′ . (6.28)

onde H22 representa a interacao de 2-protons-2-neutrons e H04 representa a interacao de zero-

proton-quatro-neutrons, ambos trabalhando no estado de quatro-quasepartıculas.

Dentro da QRPA os estados nucleares dos nucleos vizinhos impar-impar |JπαM⟩ se ob-

tem pela acao dos operadores com troca de carga Γ†(JπαM) sobre o estado fundamental cor-

relacionado exato |0⟩, |JπαM⟩ = Γ†(Jπ

αM)|0⟩. Nesta aproximacao o operador de excitacao na

representacao de bosons com bom momento angular esta dado por

Γ†(JπαM) =

∑pn

[XJπ

α(pn)A†

JM(pn)− YJπα(pn)AJM(pn)

], (6.29)

na base de operadores

A†JM(pn) = (α†

pα†n)JM , AJM(pn) = (−1)J+MAJ−M(pn). (6.30)

123

Neste operador de excitacao se introduz as correlacoes do estado fundamental medi-

ante as amplitudes YJπαvistas anteriormente que contemplam este estado fundamental po-

dendo existir quasepartıculas e que um estado excitado pode obter-se por aniquilacao de

quasepartıculas. A amplitude XJπαvista adiante corresponde a criacao quasepartıculas sobre

a componente BCS do estado fundamental. O vazio |0⟩ deve ser gerado na forma autoconsis-

tente aplicando a condicao Γ†(JπαM)|0⟩ = 0, para todo estado α com momento angular total

J e projecao M . Para chegar as equacoes de pn-QRPA partimos da equacao de movimento

[60]

⟨0|[δΓ(Jπ

α), [H,Γ†(Jπ

α)]]|0⟩ = ωJπ

α⟨0|

[δΓ(Jπ

α),Γ†(Jπ

α)]|0⟩, (6.31)

onde ωJπαe a energia de excitacao e δΓ(Jπ

α) representa uma variacao arbitraria do operador.

Para calcular as matrizes que entram na equacao de movimento (6.29) se assume: |0⟩ ≃ |BCS⟩;

conhecida como aproximacao quasebosonica Os operadores AJ±M(pn) se comportam dentro

desta aproximacao como bosons nos valores esperados dos comutadores, ou seja, eles cumprem

⟨0| [AJ±M(pn), AJ±M(p′n′)] |0⟩ ≃ 0,

⟨0|[A†

J±M(pn), A†J±M(p′n′)

]|0⟩ ≃ 0, (6.32)

⟨0|[AJM(pn), A†

JM(p′n′)]|0⟩ ≃ δpp′δnn′ .

Desta maneira, a equacao de movimento (6.29) nos conduz aos coeficientes XJπα(pn) e

YJπα(pn) e aos autovalores ωJπ

αcomo uma solucao do problema de autovalores

A B

B A

X

Y

= ω

X

−Y

, (6.33)

com

A(pnp′n′; J) = ⟨BCS|[AJ(pn), [H,A

†J(p

′n′)]]|BCS⟩

= (Ep + En)δpp′δnn′ + (upvnup′vn′ + vpunvp′un′)F (pnp′n′; J)

+ (upunup′un′ + vpvnvp′vn′)G(pnp′n′; J),

B(pnp′n′; J) = −⟨BCS| [AJ(pn), [H,AJ(p′n′)]] |BCS⟩

= (vpunup′vn′ + upvnvp′un′)F (pnp′n′; J)

+ (upunvp′vn′ + vpvnup′un′)G(pnp′n′; J), (6.34)

onde F e G sao , respectivamente, os elementos de matriz dos graus de liberdade da partıcula-

124

buraco e partıcula-partıcula para a interacao residual definidos como

G(pnp′n′; J) =< pn; J |V |p′n′; J >, F (pnp′n′; J) =< pn−1; J |V |p′n′−1; J > . (6.35)

Observemos que na aproximacao quasebosonica nos necessitamos conhecer a estrutura

do estado fundamental exato. Ainda com a pn-QRPA conseguimos o mesmo espectro de ener-

gia para os nucleos com numeros de protons e neutrons dados por (Z±1, N∓1). O problema

de autovalores nas equacoes de pn-QRPA tem a importante propriedade de obter a simetria de

um conjunto de autovalores ±ω, onde as energias ω positivas com autofuncoes (X,Y ) repre-

sentam o nucleo (Z + 1, N − 1) nestas que as energias ω negativas com autofuncoes (Y ∗, X∗)

representam o nucleo (Z − 1, N + 1), onde ambas autofuncoes tem o mesmo valor absoluto

da norma pela diferenca inscrita[60]. Sendo assim basta resolver uma unica equacao de au-

tovalores e extender as solucoes vistas a outros ramos com as consideracoes mencionadas.

Finalmente, as energias perturbadas na pn-QRPA estao definidas por

Eµ = ω + µ(λp − λn), (6.36)

onde µ = ±1 para o nucleo ha (Z ± 1, N ∓ 1).

6.1.5 Duplo Beta por QTDA

As amplitudes de decaimento por transicoes-β para estados excitados por interacoes

do tipo pn-QTDA para o estado fundamental de BCS pode ser tomada como

(BCS||β∓F/GT ||w) =

∑pn

XwpnM∓

F/GT (pnJ → BCS) (6.37)

Onde os elementos de matrizes apropriadas de Fermi(M∓F ) e Gamow-Telle(M∓

GT ) para

β− e β+ sao dados por

M(−)F (pnJ → BCS) = δJ0δpnjnvpun, (6.38)

M(−)GT (pnJ → BCS) = δJ1

√3vpunMGT (pn) (6.39)

M(+)F (pnJ → BCS) = δJ0δnpjpvnup, (6.40)

M(+)GT (pnJ → BCS) = −δJ1

√3vnupMGT (pn) (6.41)

125

para estado incial do nucleo par-par no estado fundamental, temos de modo similar;

(w||β∓F/GT ||BCS) =

∑pn

Xw∗pn M∓

F/GT (BCS → pnJ) (6.42)

utilizando das transicao de densidade nos elementos de matriz

(ab; J ||[c†ccd]λ||BCS) = δλJNab(J)J × [δcaδdbuavb − (−1)ja+jb+Jδcbδdaubva] (6.43)

resulta nas suas apropriadas transicoes dos elementos de matriz dadas por

M(−)F (BCS → pnJ) = δJ0δpnjnupvn, (6.44)

M(−)GT (BCS → pnJ) = δJ1

√3upvnMGT (pn), (6.45)

M(+)F (BCS → pnJ) = δJ0δnpjpunvp, (6.46)

M(+)GT (BCS → pnJ) = −δJ1

√3unvpMGT (pn). (6.47)

Dessa forma chegamos as formulas de correspondencia as k-transicoes unicas proibidas

obtidas fazendo as seguintes substiuicoes

M(∓)F/GT (pnJ → BCS) → M(∓)

Ku(pnJ → BCS), (6.48)

M(∓)F/GT (BCS → pnJ) → M(∓)

Ku(BCS → pnJ), (6.49)

onde os elementos de matriz sao trocados segundo

M(−)ku (pnJ → BCS) = δJ,K+1JvpunM(ku)(pn), (6.50)

M(+)ku (pnJ → BCS) = −δJ,K+1Jvnupθ

kM(ku)(pn), (6.51)

onde θ(k) e o fator de fase; θ(k) = (−1)K convensao de fase de Condon-Shortley; se θ(k) = 1

convensao de fase de Biedenharn-Rose. De novo fazendo a troca de u↔ v. As duas direcoes

de decaimento sao relatadas como

M(+)ku (BCS → pnJ) = −θkM(∓)

ku (pnJ → BCS). (6.52)

126

Tabela 6.1: Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−

F Fermi e do tipo Sββ−

GT Gamow-Teller e osdenominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ no espaco-ph pelos codigosQ77 e Q82. As s.p.e sao para 40Ca corrigido para representar 48Ca. Os paramentros vs = 40 evt = 60 (em MeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual.

Q77 Q82

St D4 Sββ−

F Sββ−

GT D4 Sββ−

F Sββ−

GT

1 21.256 0.408 72.606 22.180 0.067 79.8332 19.066 0.137 0.292 19.139 0.047 0.1543 17.425 0.221 0.010 17.484 0.103 0.1884 16.856 0.681 0.508 16.895 0.058 0.5755 15.938 0.027 0.243 16.081 0.007 0.2026 15.126 0.142 0.098 15.567 0.010 0.2187 14.230 0.164 0.856 14.370 0.363 9.5198 13.412 3.796 0.325 13.883 0.863 17.3199 12.779 97.118 1.521 13.710 0.279 12.18410 12.162 5.752 24.499 11.719 2.927 1.10111 11.187 2.854 19.688 11.588 0.010 1.00512 10.795 0.039 1.190 10.307 0.035 0.00013 10.304 0.010 0.434 9.633 0.002 0.02114 9.508 0.068 0.032 9.493 1.655 0.22115 9.049 0.344 0.209 8.501 54.412 0.07816 8.047 0.146 0.000 7.618 49.144 0.25717 6.939 0.076 0.224 6.911 0.904 0.30918 4.472 0.007 2.905 4.801 0.757 2.44419 3.247 0.001 0.038 3.433 0.114 0.00120 −3.849 0.008 0.036 −3.983 0.243 0.084

6.2 Apendice B - Dados Numericos obtidos pelas simulacoes

Aqui de maneira mais simplificada, exibimos nossos dados numericos obtidos durante

o processo de simulacao utilizando o codigo FQTDA (Q82), que se fizeram necessarios para

desenvolvimentos deste trabalho.

127

Tabela 6.2: As componentes da funcao de onda de Yp1p2n1n2J para o estado final 0+ no espaco-phcom maior contribuicao da forca de F ββ. A proxima notacao e usada para as configuracoes departıcula simples: 134 ≡ 1f7/2, 133 ≡ 1f5/2, 212 ≡ 2p3/2 e 211 ≡ 2p1/2.

Config Yp1p2n1n2J

St n1 n2 p1 p2 J+ 9 (Q77) 15 (Q80) 16 (Q80)1 134 134 134 134 0 −0.209 0.256 0.0042 134 134 133 133 0 0.200 0.004 0.2393 134 134 212 212 0 −0.095 −0.490 0.5154 134 134 211 211 0 0.071 −0.133 0.1845 134 134 134 134 2 −0.371 0.217 0.3276 134 134 134 133 2 −0.046 −0.047 0.0397 134 134 134 212 2 −0.020 0.175 0.0048 134 134 133 133 2 −0.174 0.054 −0.0279 134 134 133 212 2 −0.097 0.029 −0.01110 134 134 133 211 2 −0.110 0.051 −0.01711 134 134 212 212 2 −0.025 0.103 −0.06012 134 134 212 211 2 0.092 −0.111 0.07213 134 134 134 134 4 −0.522 0.382 0.40514 134 134 134 133 4 −0.052 −0.097 0.14515 134 134 134 212 4 −0.035 0.317 −0.37416 134 134 134 211 4 0.067 −0.005 0.08417 134 134 133 133 4 −0.072 0.021 −0.01518 134 134 133 212 4 0.002 0.071 −0.07619 134 134 134 134 6 −0.644 0.499 0.43120 134 134 134 133 6 0.003 0.239 −0.042

128

Tabela 6.3: Componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para estado final do fundamental 0+ noespaco-ph. Mesma parametrizacao pp e ph como na Tabela (6.2).

Conf Yp1p2n1n2J

St n1 n2 p1 p2 J+ 20 (Q77) 20(Q82)1 134 134 134 134 0 0.922 0.9172 134 134 133 133 0 0.211 0.2053 134 134 212 212 0 0.138 0.1344 134 134 211 211 0 0.076 0.0745 134 134 134 134 2 −0.226 −0.2366 134 134 134 133 2 0.055 0.0477 134 134 134 212 2 −0.087 −0.0868 134 134 133 133 2 −0.026 −0.0269 134 134 133 212 2 −0.010 −0.01110 134 134 133 211 2 −0.017 −0.01811 134 134 212 212 2 −0.013 −0.01312 134 134 212 211 2 0.016 0.01513 134 134 134 134 4 −0.093 −0.12214 134 134 134 133 4 0.052 0.04415 134 134 134 212 4 −0.028 −0.03116 134 134 134 211 4 0.034 0.03317 134 134 133 133 4 −0.009 −0.00918 134 134 133 212 4 −0.009 −0.01019 134 134 134 134 6 −0.025 −0.07520 134 134 134 133 6 0.064 0.058

129

Tabela 6.4: Forcas de transicao duplo-β−, do tipo Sββ−F Fermi e do tipo Sββ−GT Gamow-Teller e osdenominadores de energia, D4 (em MeV), para os 20 estados finais 0+ pelo codigo Q82 para espaco-phe espaco “reduzido”(RED). As s.p.e. sao para 40Ca corrigido para representar 48Ca. Os parametrosvs=40 e vt=60 (em MeV/fm3) usados ambos nos canais de interacao pp e ph na interacao-δ residual.

Q82[PH] Q82[RED]

St D4 Sββ−

F Sββ−

GT D4 Sββ−

F Sββ−

GT

1 20.510 0.021 82.389 38.531 0.029 53.8782 17.028 0.030 0.099 33.732 0.003 0.0103 15.369 0.052 0.274 31.334 0.029 2.2454 14.689 0.020 0.630 30.656 1.027 19.0365 13.977 0.003 0.153 29.517 1.080 2.9896 13.614 0.003 0.289 28.323 0.428 0.2747 12.399 0.815 22.007 28.122 0.324 0.3308 11.973 0.593 11.815 26.805 0.867 0.0219 11.658 0.106 3.360 26.592 0.182 0.00910 9.828 1.296 1.254 26.399 0.164 0.07811 9.625 0.211 0.315 25.003 50.930 0.12012 7.934 0.006 0.016 24.848 5.914 0.02413 7.533 0.124 0.019 24.471 1.632 0.00714 7.344 0.526 0.152 23.765 2.927 0.02515 6.250 4.932 0.022 22.490 0.074 0.63516 4.588 0.044 0.220 21.630 1.074 0.56617 4.121 88.300 1.067 20.936 0.020 0.20918 2.716 12.667 1.562 19.628 0.001 0.02019 1.398 1.089 0.001 18.913 0.526 0.00020 −5.574 1.163 0.069 13.535 0.217 0.026

130

Tab

ela6.5:

AscomponentesdafuncaodeondaY

p1p2n1n2Jpara

oestadofinal0+

noespaco-pheparaespaco

“reduzido”,com

maior

contribuicao

da

amplitudedeFββ.

[F]

Con

fYp1p2n1n2J

Yp1p2n1n2J

St

n1

n2

p 1p 2

J+

17(Q

82)[PH]

18(Q

82)[PH]

12(Q

82)[RED]

11(Q

82)[RED]

1134

134

134

134

00.234

−0.034

−0.225

0.073

2134

134

133

133

00.183

−0.027

−0.126

0.094

3134

134

212

212

00.161

0.057

0.166

0.288

4134

134

211

211

00.070

0.016

0.048

-0.312

5134

134

134

134

20.586

−0.338

−0.465

-0.087

6134

134

134

133

2−0.001

0.128

−0.032

0.091

7134

134

134

212

20.068

−0.277

0.103

0.390

8134

134

133

133

20.027

−0.051

−0.021

0.009

9134

134

133

212

20.012

−0.034

−0.119

-0.145

10134

134

133

211

20.013

−0.028

−0.027

0.031

11134

134

212

212

20.001

−0.014

0.324

0.343

12134

134

212

211

2−0.002

0.012

0.016

-0.149

13134

134

134

134

40.542

−0.138

−0.473

0.141

14134

134

134

133

40.128

−0.184

−0.094

-0.225

15134

134

134

212

4−0.127

0.014

0.113

0.223

16134

134

134

211

40.028

0.076

−0.032

-0.457

17134

134

133

133

40.010

−0.021

−0.025

-0.021

18134

134

133

212

4−0.018

0.011

−0.073

-0.060

19134

134

134

134

60.424

0.828

−0.531

0.351

20134

134

134

133

60.157

−0.193

−0.144

0.143

131

Tab

ela6.6:

AscomponentesdafuncaodeondaY

p1p2n1n2Jpara

oestadofinal0+

noespaco-pheparaespaco

“reduzido”,com

maior

contribuicao

da

amplitudedeGT

ββ.

[GT]

Con

fYp1p2n1n2J

Yp1p2n1n2J

St

n1

n2

p 1p 2

J+

1(Q

82)[PH]

7(Q

82)[PH]

1(Q

82)[RED]

4(Q

82)[RED]

1134

134

134

134

0−0.010

−0.100

−0.014

0.138

2134

134

133

133

00.325

−0.125

0.343

-0.015

3134

134

212

212

0−0.033

0.120

−0.022

0.022

4134

134

211

211

0−0.039

0.239

−0.019

-0.133

5134

134

134

134

20.010

−0.178

0.004

0.214

6134

134

134

133

2−0.122

0.189

−0.127

-0.174

7134

134

134

212

2−0.020

0.054

−0.015

0.043

8134

134

133

133

20.650

0.286

0.654

-0.328

9134

134

133

212

2−0.021

−0.180

−0.013

0.252

10134

134

133

211

2−0.015

−0.081

−0.002

-0.320

11134

134

212

212

2−0.022

0.430

−0.013

0.054

12134

134

212

211

20.047

0.065

0.021

0.089

13134

134

134

134

40.008

−0.108

0.004

0.137

14134

134

134

133

4−0.230

0.474

−0.229

-0.543

15134

134

134

212

4−0.011

0.055

−0.008

0.019

16134

134

134

211

40.014

−0.015

0.007

0.076

17134

134

133

133

40.573

0.220

0.561

-0.112

18134

134

133

212

4−0.023

0.182

−0.008

-0.002

19134

134

134

134

6−0.030

0.103

−0.032

-0.104

20134

134

134

133

6−0.261

0.438

−0.261

-0.507

132

Tabela 6.7: As componentes da funcao de onda Yp1p2n1n2J para o estado fundamental 20+ no espaco-ph e para espaco “reduzido”, com maior contribuicao da amplitude de ββ.

Conf Yp1p2n1n2J

St n1 n2 p1 p2 J+ 20 (Q82)[PH] 20 (Q82)[RED]1 134 134 134 134 0 0.907 0.8622 134 134 133 133 0 0.172 0.2113 134 134 212 212 0 0.073 0.2804 134 134 211 211 0 0.035 0.0905 134 134 134 134 2 −0.298 −0.2546 134 134 134 133 2 0.057 0.0617 134 134 134 212 2 −0.088 −0.1678 134 134 133 133 2 −0.024 −0.0359 134 134 133 212 2 −0.009 −0.02210 134 134 133 211 2 −0.013 −0.02711 134 134 212 212 2 −0.007 −0.04812 134 134 212 211 2 0.007 0.04013 134 134 134 134 4 −0.151 −0.10614 134 134 134 133 4 0.051 0.05115 134 134 134 212 4 −0.031 −0.04316 134 134 134 211 4 0.030 0.03617 134 134 133 133 4 −0.007 −0.01118 134 134 133 212 4 −0.007 −0.01919 134 134 134 134 6 −0.097 −0.04920 134 134 134 133 6 0.065 0.060

133

Tab

ela6.8:Observa-seaquebra

dasenergiaspara

o1estadomais

excitadoduplo-β+

para

paramentros

dev s=40,v t=60

paraFermi.

Lem

brandoqueo

estadodedecaim

ento

duplo-β−

permaneceu

nulo.

SPIN

FinalState

D4

Doubleβ

−[82]

BCS

red

[SET1]

D4

Doubleβ

−[82]

BCS

red

[SET2]

D4

Doubleβ

−[82]

BCS

red

[SET3]

01

38.220

0.050

32.081

0.021

27.757

0.008

02

33.716

0.003

27.817

0.100

23.856

0.029

03

31.233

0.102

26.653

2.802

22.558

0.424

04

30.429

0.995

26.566

9.637

22.211

8.434

05

29.437

1.515

25.384

12.490

21.200

10.885

06

28.180

0.877

24.492

36.853

20.534

8.784

07

27.942

0.930

24.405

0.126

20.172

0.899

08

26.778

3.098

24.009

1.262

19.543

0.114

09

26.645

1.183

23.426

3.624

19.088

0.395

010

26.332

1.675

22.920

0.504

18.768

0.111

011

25.922

5.161

22.488

0.006

18.344

0.002

012

24.771

0.350

22.369

0.112

17.958

0.145

013

24.317

0.115

21.542

0.740

17.230

0.119

014

23.751

0.682

21.389

0.232

17.130

0.002

015

22.350

0.066

20.561

0.156

16.012

0.001

016

21.688

0.313

19.831

0.192

15.324

0.077

017

20.909

0.018

19.220

0.005

14.669

0.002

018

19.547

0.000

18.072

0.001

13.585

0.002

019

18.683

0.238

17.117

0.244

12.517

0.058

020

13.160

0.075

12.565

0.122

8.587

0.044

134

Tab

ela6.9:

Observa-se

aquebra

dasenergiaspara

o1estadomais

excitadoduplo-β+

para

paramentros

dev s=40,v t=60

paraGT.Lem

brandoqueo

estadodedecaim

ento

duplo-β−

permaneceu

nulo.

SPIN

FinalState

D4

Doubleβ

−[82]

BCS

red

[SET1]

D4

Doubleβ

−[82]

BCS

red

[SET2]

D4

Doubleβ

−[82]

BCS

red

[SET3]

11

38.220

53.173

32.081

70.771

27.757

39.155

12

33.716

0.027

27.817

0.037

23.856

0.032

13

31.233

1.674

26.653

1.209

22.558

0.092

14

30.429

18.942

26.566

13.914

22.211

6.739

15

29.437

4.036

25.384

0.169

21.200

0.012

16

28.180

0.367

24.492

0.758

20.534

1.065

17

27.942

0.477

24.405

0.074

20.172

0.058

18

26.778

0.008

24.009

0.033

19.543

0.003

19

26.645

0.014

23.426

0.002

19.088

0.028

110

26.332

0.081

22.920

0.085

18.768

0.055

111

25.922

0.041

22.488

0.051

18.344

0.004

112

24.771

0.042

22.369

0.193

17.958

0.202

113

24.317

0.012

21.542

0.143

17.230

0.049

114

23.751

0.024

21.389

0.071

17.130

0.003

115

22.350

0.607

20.561

0.203

16.012

0.146

116

21.688

0.581

19.831

0.069

15.324

0.012

117

20.909

0.342

19.220

0.087

14.669

0.035

118

19.547

0.023

18.072

0.009

13.585

0.001

119

18.683

0.001

17.117

0.007

12.517

0.005

120

13.160

0.029

12.565

0.002

8.587

0.000

135

6.3 Apendice C - Correcao da Programacao numerica no codigo FQTDA

Dados os objetivos da pesquisa, nosso levantamento biblioGrafico apontou dois autores

de especial interesse. Os trabalhos realizados por Francisco Krmpotic [4, 32, 59, 61] et al.

[69, 70, 80], e os de Ram Raj et al. [57, 58]. Segundo ambos trabalhos, o elemento de matriz

nuclear H22 entre estados de 4-quasepartıculaS, resulta:

⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)

]†0H22

[A†(n′

1n′2J

′)A†(p′1p′2J

′)]0 |0⟩

= −N(n1n2)N(n′1n

′2)N(p1p2)N(p′1p

′2)P (n1n2J)P (n

′1n

′2J

′)P (p1p2J)P (p′1p

′2J

′)δp2p′2δn2n′2

×∑Jx

J2x J J

′(−)p2+p1+n2+n′1+Jx

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

H(p1p′1n1n

′1Jx) (6.53)

com

N(p1p2) =1√

1 + δp1p2, P (p1p2J) = 1− (−)p1+p2+JP (p1 ↔ p2) (6.54)

e

H(pp′nn′Jx) = F (pp′n′nJx)(upunup′un′ + vpvnvp′vn′)

+ (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx)(upvnup′vn′ + vpunvp′un′). (6.55)

Em Outubro de 2013, encontramos uma incompatibilidade na programacao das for-

mulas (6.53) no codigo chamado QTDA77.f, onde observamos que esse codigo nao era capaz

de reproduzir o limite-ph para o 48Ca.

A incompatibilidade estava na expressao numerica codificada para H(pp′nn′Jx), que

nao reproduzia o limite ph-QTDA para 48Ca. Foi necessaria a alteracao da expressao usado

dada como HPNPN(P1,P3,N1,N3,J3) por HPNPN(N1,P1,N3,P3,J3). Dessa forma, modifi-

camos a ordem para (npn’p’) na funcao HPNPN(IN,IP,INP,IPP,ISPIN). Afim de aumentar

a confiabilidade nos calculos, verificamos todas as sub-rotinas relativas ao H(pp′nn′Jx), e se

seus elementos de matriz estao de acordo com a interacao residual H22 entre dois estados de

136

4-quasepartıculas. Temos para os elementos de matriz dados por:

⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)

]†0H22

[A†(n′

1n′2J

′)A†(p′1p′2J

′)]0 |0⟩

= −N(n1n2)N(n′1n

′2)N(p1p2)N(p′1p

′2)P (n1n2J)P (n

′1n

′2J

′)P (p1p2J)P (p′1p

′2J


×∑Jx

J2x J J

′(−)p2+p1+n2+n′1+Jx

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

H(p1p′1n1n

′1Jx) (6.56)

No codigo TDA3.f, que usa FUNCTION F4AUX(P1,P2,N1,N2,J1,P3,P4,N3,N4,J2)

com elementos de matriz FPNPN(N1,P1,N3,P3,J3) ao inves do FPNPN(P1,N1,P3,N3,J3),

e pelo QTDA7.f, os elementos de matriz sao avaliados com ajuda de uma funcao auxiliar

F4AUX, que contem outra definicao anterior a esta. A expressao e dada pelo TDA3.f como

⟨0|[A†(n1n2J1)A†(p1p2J1)]†0H22[A†(n′

1n′2J

′1)A†(p′1p

′2J

′1)]

0|0⟩

= N(n1n2)N(p1p2)N(n′1n

′2)N(p′1p

′2)J1J

′1P (p1p2J1)P (p

′1p

′2J

′1)P (n1n2J1)P (n

′1n

′2J

′1)δn2n′

2δp2p′2

×(−)n2+p1+J1+n′2+p′1+J ′

1

∑J3

J23

n1 n2 J1

p2 p1 J3

n′

1 n′2 J ′

1

p′2 p′1 J3

F (n1p1n′1p

′1; J3), (6.57)

trabalhando em paralelo e substituindo (J1, J′1, J3) por (J, J

′, Jx), respectivamente temos:

⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)

]†0H22

[A†(n′

1n′2J

′)A†(p′1p′2J

′)]0 |0⟩

= −N(n1n2)N(n′1n

′2)N(p1p2)N(p′1p

′2)P (n1n2J)P (n

′1n

′2J

′)P (p1p2J)P (p′1p

′2J


×∑Jx

J2x J J

′(−)p2+p1+n2+n′1+Jx

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

H(p1p′1n1n

′1Jx) (4.4)

e

⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)]†0H22[A†(n′

1n′2J

′)A†(p′1p′2J

′)]0|0⟩

= N(n1n2)N(p1p2)N(n′1n

′2)N(p′1p

′2)P (p1p2J)P (p

′1p

′2J

′)P (n1n2J)P (n′1n

′2J

′)δn2n′2δp2p′2

×(−)n2+p1+J+n′2+p′1+J ′ ∑

Jx

J2x J J

′

n1 n2 J

p2 p1 Jx

n′

1 n′2 J ′

p′2 p′1 Jx

F (n1p1n′1p

′1; Jx), (4.5)

Onde o H(pp′nn′J) e dado por:

H(pp′nn′Jx) = F (pp′n′nJx)(upunup′un′ + vpvnvp′vn′)

+ (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx)(upvnup′vn′ + vpunvp′un′). (6.58)

137

e dentro da limite-ph: vp → 0, vn → 1 e up → 1, un → 0, o H vai para:

H(pp′nn′Jx)ph−limit → (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx)(upvnup′vn′),

= (−)n+n′−JxF (pp′nn′Jx) (6.59)

Em seguida, a introducao do limite e possivel notar que (−)p2+p1+n2+n′1+n1+n′

1−Jx =

(−1)(−)p2+p1+n2+n1 pois (−)2n′1 = (−1) devido que n′

1 e semi-inteiro. Este(-1) cancela o outro

(-1) da frente da equacao.

⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)

]†0H22

[A†(n′

1n′2J

′)A†(p′1p′2J

′)]0 |0⟩ →limite ph

N(n1n2)N(n′1n

′2)N(p1p2)N(p′1p

′2)P (n1n2J)P (n

′1n

′2J

′)P (p1p2J)P (p′1p

′2J


×(−)p2+p1+n2+n1

∑Jx

J2x J J

′

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

F (p1p′1n1n

′1Jx) (4.4′)

Comparando a equacao acima Eq.(4.4’) com a demonstrada abaixo Eq.(4.5)

⟨0|[A†(n1n2J)A†(p1p2J)]†0H22[A†(n′

1n′2J

′)A†(p′1p′2J

′)]0|0⟩ =

N(n1n2)N(p1p2)N(n′1n

′2)N(p′1p

′2)P (p1p2J)P (p

′1p

′2J

′)P (n1n2J)P (n′1n

′2J

′)δn2n′2δp2p′2

× (−)n2+p1+J+n′2+p′1+J ′ ∑

Jx

J2x J J

′

n1 n2 J

p2 p1 Jx

n′

1 n′2 J ′

p′2 p′1 Jx

F (n1p1n′1p

′1; Jx), (4.5)

obtemos os seguintes pontos de analise

1. Os elementos de matriz F de partıcula-buraco sao diferentes F (p1p′1n1n

′1Jx) = F (n1p1n

′1p

′1; Jx).

Estas expressoes tambem sao diferentes no ’delta.tex ’ e eles foram codificados de uma

forma diferente, tal que FPPNN(IP, IPP, IN, INP, ISPIN )= FPNPN(IN, IP, INP,

IPP, ISPIN).

2. A ordem do acoplamento 6j nao e a mesma:

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

=

n1 n2 J

p2 p1 Jx

n′

1 n′2 J ′

p′2 p′1 Jx

(6.60)

3. Os sinais das fases nas equacoes acima tambem se mostram diferentes. Temos abaixo

uma tabela em que podemos descrever essa comparacao das fases das equacoes:

138

Fase (1′) Fase (F.29)

(−)p2+p1+n2+n1 (−)n2+p1+J+n′2+p′1+J ′

(−)(p′1−J+p1+n2)+n1 (−)(p

′1+J+p1+n2)+n′

2+J ′

onde a relacao triangular para p2 (p′1, p2, J′) e aplicada ao 6j. No entanto, nenhuma

das relacoes triangulares disponıveis para n1: (J, n2, n1) e (n′1, Jx, n1) no simbolo de 6j,

poderia ser utilizado para reduzir a expressao e obter a fator de fase na equacao (F29).

4. Temos pelas Eq. (1) e Eq. (4.5)[58], que foi expandida o resultado em uma adicao de 16

termos. Mostrado no Apendice B. Nos adotamos Eq.(F29) em TDA3.f e estes termos

de adicao estao sendo utilizados em F4AUXQTDA7 definida como sendo a funcao

F4AUXQTDA7 = (−)n2+p1+J1+n′2+p′1+J ′

1∑

J3J23

n1 n2 J1

p2 p1 J3

n′

1 n′2 J ′

1

p′2 p′1 J3

F (n1p1n

′1p

′1; J3). (6.61)

Esta funcao e diferente da funcao F4AUX(6.61), sendo agora definida a partir de (6.56)

(Eq. (4.5) [58]):

F4AUX = −∑Jx

J2x(−)p2+p1+n2+n′

1+Jx

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

H(p1p′1n1n

′1; Jx)

= (−)p2+p1+n2+n1+1∑Jx

J2x

J p2 p1

p′1 Jx J ′

J n2 n1

n′1 Jx J ′

H(p1p′1n1n

′1; Jx), (6.62)

onde a relacao triangular(n′1, Jx, n1) tem sido usada no fator de fase como n′

1+Jx = n1..

5. O fator F4I(15) esta errado na formula para a soma da funcao sobre o FUNCTION

F4(I,J).

Desse modo, optou-se por (6.56) para codificar a Eq.(6.56) utilizando a funcao cor-

reta de F(pp′nn′Jx); para (2,3,4) como podemos nao reorganizar os simbolos-6j de forma a

satisfazer a igualdade, e nao obter o mesmo fator de fase, temos depois uma nova funcao

codificada para F4AUX. Em resumo, demosntrou que a Eq.(4.4’) e (4.5) nao sao consistentes,

dessa forma, nos modificamos o codigo de acordo com a Eq.(4.4), a mesma encontrada nos

trabalhos de Raj et al.[58].

139

6.4 Apendice D - Resolucoes Auxiliares para o limite-ph no 48Ca

Observamos pelas analises dos dados de nossa Referencia [32], queremos reproduzir os

dados encontrados, nos deparamos com algumas peculialidades:

1) Calculando F4AUX para o primeiro termo da matriz E4 de energia, temos:

E4(I, J) → E4(1, 1)

I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0 (6.63)

J = 1 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 0

Onde J3 = J1 + J2 e J =√2J + 1 logo temos os seguintes estado possiveis:

J =7

2+

7

2= 7

J =7

2− 7

2= 0 (6.64)

daı segue: J=0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+ com π = (−1)l = (−1)3.(−1)3 = +1 temos que o

QTDA80 nos indica que F4AUX e calculado como:

F4AUX = Jx2

J P2 P1

P ′1 Jx J ′

.

J N2 N1

N ′1 Jx J ′

.F (PP ′N ′N, Jx).(−1)n2+p1+n′2+p′1+Jx

(6.65)

Sendo ainda F(PP’N’N,Jx)1 dado como:

F (PP ′N ′N, Jx) =R

4(−1)lp+l′p [(vs + vt)H(pp′Jx)H(nn′Jx)

+(−vs(−1)lp+l′p+Jx + vt(2 + (−1)lp+l′p+Jx)]G(pp′Jx)G(nn′Jx) (6.66)

sendo ainda H(abJ) dado como:

h(abJ) = (−1)jp+lp JaJb

Ja Jb J

m1 m2 m

(6.67)

h(abJ) = (−1)jp+lp JaJb

Ja Jb J

12

12

−1

(6.68)

1Estes resultados foram obtidos com a antiga funcao F(PP’N’N,Jx) que na realidade se corresponde comF (pnp′nn′, Jx). Deveriam se refazer estes numeros para a correta F (pp′nn′, Jx). Como a intencao de fazereste apendice foi revisar os elementos de matriz do antigo codigo QTDA7.f, o procedimento e aceitavel.

140

para G(abJ) temos:

g(abJ) = (−1)ja−12+la JaJb

Ja Jb J

m1 m2 m

(6.69)

g(abJ) = (−1)ja−12+la JaJb

Ja Jb J

12

−12

0

(6.70)

sendo assim, temos para os calculos de E4(1,1):

Jx = J1 + J2 = 0 + 0 = 0 (6.71)

Jx2= JxJx (6.72)

Jx2= (

√2(0) + 1)2 = (

√1)2 = 1 (6.73)

temos para nosso 6J: j1 j2 j3

0 j3 j2

= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.74)

0 72

72

72

0 0

=

72

72

0

0 0 72

=−1

2√2

(6.75)

logo para nosso F4AUX temos:

F4AUX = (1)

72

72

0

0 0 72

7

272

0

0 0 72

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0).(−1)

72+ 7

2+ 7

2+ 7

2+0 (6.76)

F4AUX = (−1

2√2)(

−1

2√2)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 0).(−1)14 (6.77)

F4AUX = (1

8)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 0) (6.78)

Agora calculando nosso F(7272, 7272, 0)

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0)

=R

4(−1)3+3[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 0)H(

7

2

7

2, 0)+(−vs(−1)3+3+0+vt(2+(−1)3+3+0)]G(

7

2

7

2, 0)G(

7

2

7

2, 0)

141

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0) =

R

4(−1)6[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 0)H(

7

2

7

2, 0)+(−vs(−1)6+vt(2+(−1)6)]G(

7

2

7

2, 0)G(

7

2

7

2, 0)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 0)H(

7

2

7

2, 0) + (−vs + vt(3))]G(

7

2

7

2, 0)G(

7

2

7

2, 0)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 0)H(

7

2

7

2, 0) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 0)G(

7

2

7

2, 0) (6.79)

Logo para H(7272,0) temos:

h(7

2

7

2, 0) = (−1)

72+3

√2(7

2) + 1

√2(7

2) + 1

72

72

0

12

12

−1

(6.80)

onde por 3J temos que: 72

72

0

12

12

−1

= 0 (6.81)

uma vez que nao se cumple a relacao de triangulacao.

Da mesma forma para G(7272, 0) temos pelo 3J:

g(7

2

7

2, 0) = (−1)

72− 1

2+3

√27

2+ 1

√7

2+ 1

72

72

0

12

−12

0

7

272

0

12

12

−1

= (−1)72− 1

2 (27

2+ 1)

−12 = (−1)3(8)

−12 =

−1

2√2

(6.82)

logo G(7272,0) assume:

g(7

2

7

2, 0) = (−1)3+3

√8√8(

−1

2√2)

g(7

2

7

2, 0) = (−1)6(8)(

−1

2√2)

g(7

2

7

2, 0) = (

−8

2√2) (6.83)

142

Retornando ao calculo de F(PP’N’N,Jx), temos:

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0) =

R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 0)H(

7

2

7

2, 0) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 0)G(

7

2

7

2, 0)

=R

4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 0)G(

7

2

7

2, 0)

=R

4[(3vt − vs)](

−8

2√2)(

−8

2√2)

=R

4[(3vt − vs)](

64

8)

=8R

4[(3vt − vs)]

= 2R[(3vt − vs)] (6.84)

sendo pelas nossas configuracoes, onde adotamos vs = 35 e vt = 65 e R=0.022056090, obtemos:

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0) = 2R[(3vt − vs)] =

= 2(0.022056090)[(3(65)− 35)] = 0.04411218(195− 35) = 0.04411218(160)

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0) = 7.0579488 (6.85)

Temos entao para nosso F4AUX:

F4AUX = (1

8)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 0) (6.86)

logo;

F4AUX = (1

8)(7.0579488) =

F4AUX = 0.8822436 (6.87)

Da mesma forma, temos para vs = 40 e vt = 60:

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0) =

0.022056090

4{(3(60)− 40)× 7.99984} =

= 5.5140225.10−3 (140× 7.99984) =

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 0) = 6.175581686

F4AUX =F (7

272, 7272, 0)

8= 0.77194771 (6.88)

por fim temos que nosso F4 e dado como:

143

F4=√1√1× F4AUX = 1 ×0.77194771 = 0.77194771 , onde F4 ×16= 12.35136

2) Realizando os mesmos calculos, agora para E4(1,5):

E4(I, J) → E4(1, 5)

I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0 (6.89)

J = 5 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 2 (6.90)


J =7

2+

7

2= 7

J =7

2− 7

2= 0 (6.91)

daı segue: J=0+, 1+, 2+, 3+, 4+, 5+, 6+, 7+ com π = (−1)l = (−1)3.(−1)3 = +1 sendo assim,

temos para os calculos de E4(1,1):

Jx = J1 + J2 = 0 + 2 = 2

Jx2= JxJx

Jx2= (

√2(2) + 1)2 = (

√5)2 = 5 (6.92)


0 j3 j2

= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.93)

Fazendo Jx=0:

0 72

72

72

0 2

= 0 pois nao satisfaz a relacao triangular.

Fazendo Jx=1:

0 72

72

72

1 2

= 0 tambem nao satisfaz a relacao triangular.

Fazendo Jx=2, temos: 0 72

72

72

2 2

=

72

2 72

0 72

2

= (−1)72+ 7

2+2[(2×2+1)(2× 7

2+1)]−

12 = (−1)9[5×8]−

12 =

−1

2√10

(6.94)

144


F4AUX = (5)

0 72

72

72

2 2

0 7

272

72

2 2

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2).(−1)

72+ 7

2+ 7

2+ 7

2+2 (6.95)

F4AUX = (−1

2√10

)(−1

2√10

)F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2).(−1)16 (6.96)

F4AUX = (1

40)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 2) (6.97)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 02)

=R

4(−1)3+3[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 2)H(

7

2

7

2, 2)+(−vs(−1)3+3+2+vt(2+(−1)3+3+2)]G(

7

2

7

2, 2)G(

7

2

7

2, 2)

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2) =

R

4(−1)6[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 2)H(

7

2

7

2, 2)+(−vs(−1)8+vt(2+(−1)8)]G(

7

2

7

2, 2)G(

7

2

7

2, 2)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 2)H(

7

2

7

2, 2) + (−vs + vt(3))]G(

7

2

7

2, 2)G(

7

2

7

2, 2)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 2)H(

7

2

7

2, 2) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 2)G(

7

2

7

2, 2) (6.98)


h(7

2

7

2, 2) = (−1)

72+3

√2(7

2) + 1

√2(7

2) + 1

72

72

2

12

12

−1

(6.99)


72

2

12

12

−1

= 0 (6.100)



g(7

2

7

2, 2) = (−1)

72− 1

2+3

√27

2+ 1

√7

2+ 1

72

72

2

12

−12

0

7

272

2

12

12

−1

=1

2

√5

42(6.101)

145


g(7

2

7

2, 2) = (−1)3+3

√8√8(1

2

√5

42)

g(7

2

7

2, 2) = (−1)6(8)(

1

2

√5

42)

g(7

2

7

2, 2) = (

8

2

√5

42) (6.102)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2) =

R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 2)H(

7

2

7

2, 2) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 2)G(

7

2

7

2, 2)

=R

4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 2)G(

7

2

7

2, 2)

=R

4[(3vt − vs)](

8

2

√5

42)(8

2

√5

42)

=R

4[(3vt − vs)](4

√5

42)(4

√5

42)

=R

4[(3vt − vs)](16

5

42)

= R[(3vt − vs)](45

42)

= R[(3vt − vs)](20

42) (6.103)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2) = R[(3vt − vs)](

20

42) =

= (0.022056090)[(3(60)− 40)(20

42)]

= 0.022056090[(180− 40)20

42]

= 0.022056090(140× 2−42

)

= 0.022056090[2800

42]

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2) = 0.022056090(66.66666) =

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 2) = 1.470406 (6.104)

146


F4AUX = (5

40)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 2) (6.105)

logo;

F4AUX = (5

40)(1.470406) =

F4AUX = 0.18380075 (6.106)

por fim, temos para nosso F4:

F4 =√1√5× F4AUX =

√5× 0.1838 = 0.4109892994, onde : F4× 16 = 6.5740039

(6.107)


E4(I, J) → E4(1, 13)

I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0

J = 13 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 4 (6.108)


J =7

2+

7

2= 7

J =7

2− 7

2= 0 (6.109)



Jx = J1 + J2 = 0 + 4 = 4

Jx2= JxJx

Jx2= (

√2(4) + 1)2 = (

√9)2 = 9 (6.110)

147


0 j3 j2

= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.111)

Fazendo Jx=0: 0 72

72

72

0 4


Fazendo Jx=1: 0 72

72

72

1 4


Fazendo Jx=2: 0 72

72

72

2 4


Fazendo Jx=3: 0 72

72

72

3 4



72

72

4 4

=

72

4 72

0 72

4

= (−1)72+ 7

2+4[(2×4+1)(2× 7

2+1)]−

12 = (−1)11[9×8]−

12 = −1

6√2


F4AUX = (√2× 4 + 1)2

0 72

72

72

4 4

0 7

272

72

4 4

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4).(−1)

72+ 7

2+ 7

2+ 7

2+4

F4AUX = 9 (−1

6√2)(

−1

6√2)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 4).(−1)18

F4AUX = 9 (1

36× 2)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 4) (6.112)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4)

=R

4(−1)3+3[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 4)H(

7

2

7

2, 4)+(−vs(−1)3+3+4+vt(2+(−1)3+3+4)]G(

7

2

7

2, 4)G(

7

2

7

2, 4)

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4) =

R

4(−1)6[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 4)H(

7

2

7

2, 4)+(−vs(−1)10+vt(2+(−1)10)]G(

7

2

7

2, 4)G(

7

2

7

2, 4)

148

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 4)H(

7

2

7

2, 4) + (−vs + vt(3))]G(

7

2

7

2, 4)G(

7

2

7

2, 4)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 4)H(

7

2

7

2, 4) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 4)G(

7

2

7

2, 4) (6.113)


h(7

2

7

2, 4) = (−1)

72+3

√2(7

2) + 1

√2(7

2) + 1

72

72

4

12

12

−1

(6.114)


72

4

12

12

−1

= 0 (6.115)



g(7

2

7

2, 4) = (−1)

72− 1

2+3

√27

2+ 1

√7

2+ 1

72

72

4

12

−12

0

7

272

4

12

12

0

= −3

2

√1

154(6.116)


g(7

2

7

2, 4) = (−1)3+3

√8√8(−3

2

√1

154)

g(7

2

7

2, 4) = (−1)6(8)(−3

2

√1

154)

g(7

2

7

2, 4) = −24

2

√1

154

g(7

2

7

2, 4) = −12

√1

154(6.117)

149


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4) =

R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 2)H(

7

2

7

2, 4) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 4)G(

7

2

7

2, 4)

=R

4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 4)G(

7

2

7

2, 4)

=R

4[(3vt − vs)](−12

√1

154)(−12

√1

154)

=R

4[(3vt − vs)](144

1

154)

= R[(3vt − vs)](361

154) (6.118)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4) = R[(3vt − vs)](36

1

154) =

= (0.022056090)[(3(60)− 40)(36

154)] = 0.022056090[(180− 40)

36

154]

= 0.022056090(140× 36

154) = 0.022056090[

5040

154]

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4) = 0.022056090(32.72727273) =

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 4) = 0.721835672 (6.119)


F4AUX = (9

36× 2)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 4) (6.120)

logo;

F4AUX = (9

72)(0.721835672) =

F4AUX = (0.125)(0.721835672) =

F4AUX = 0.090229459 (6.121)


F4=√1√(2× 4) + 1× F4AUX =

√1√9× 0.09022 = 0.270688377 , onde: F4×16= 4.3310

150


E4(I, J) → E4(1, 19)

I = 1 → P1 = 1 P2 = 1 N1 = 1 N2 = 1 J1 = 0

J = 19 → P3 = 1 P4 = 1 N3 = 1 N4 = 1 J2 = 6 (6.122)


J =7

2+

7

2= 7

J =7

2− 7

2= 0 (6.123)



Jx = J1 + J2 = 0 + 6 = 6

Jx2= JxJx

Jx2= (

√2(6) + 1)2 = (

√13)2 = 13 (6.124)


0 j3 j2

= (−1)j1+j2+j3 [(2j2 + 1)(2j3 + 1)]−12 (6.125)

Fazendo Jx=0: 0 72

72

72

0 6


Fazendo Jx=1: 0 72

72

72

1 6


Fazendo Jx=2: 0 72

72

72

2 6


Fazendo Jx=3:

151 0 72

72

72

3 6


Fazendo Jx=4: 0 72

72

72

4 6


Fazendo Jx=5: 0 72

72

72

5 6



72

72

6 6

=

72

6 72

0 72

6

= (−1)72+ 7

2+6[(2× 6 + 1)(2× 7

2+ 1)]−

12 = (−1)13[13× 8]−

12 =

−1√104

= −12√26


F4AUX = (√2× 6 + 1)2

0 72

72

72

6 6

0 7

272

72

6 6

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6).(−1)

72+ 7

2+ 7

2+ 7

2+6

(6.126)

F4AUX = 13 (−1

2√26

)(−1

2√26

)F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6).(−1)20

F4AUX = 13 (1

4× 26)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 6)

(6.127)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6)

=R

4(−1)3+3[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 6)H(

7

2

7

2, 6)+(−vs(−1)3+3+6+vt(2+(−1)3+3+6)]G(

7

2

7

2, 6)G(

7

2

7

2, 6)

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6) =

R

4(−1)6[(vs+vt)H(

7

2

7

2, 6)H(

7

2

7

2, 6)+(−vs(−1)12+vt(2+(−1)12)]G(

7

2

7

2, 6)G(

7

2

7

2, 6)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 6)H(

7

2

7

2, 6) + (−vs + vt(3))]G(

7

2

7

2, 6)G(

7

2

7

2, 6)

=R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 6)H(

7

2

7

2, 6) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 6)G(

7

2

7

2, 6) (6.128)

152


h(7

2

7

2, 6) = (−1)

72+3

√2(7

2) + 1

√2(7

2) + 1

72

72

6

12

12

−1

(6.129)


72

6

12

12

−1

= 0 (6.130)



g(7

2

7

2, 6) = (−1)

72− 1

2+3

√27

2+ 1

√7

2+ 1

72

72

6

12

−12

0

7

272

6

12

12

0

=5

2

√1

858(6.131)


g(7

2

7

2, 6) = (−1)3+3

√8√8(5

2

√1

858)

g(7

2

7

2, 6) = (−1)6(8)(

5

2

√1

858)

g(7

2

7

2, 6) =

40

2

√1

858

g(7

2

7

2, 6) = 20

√1

858(6.132)


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6) =

R

4[(vs + vt)H(

7

2

7

2, 6)H(

7

2

7

2, 6) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 6)G(

7

2

7

2, 6)

=R

4[(vs + vt)(0).(0) + (3vt − vs)]G(

7

2

7

2, 6)G(

7

2

7

2, 6)

=R

4[(3vt − vs)](20

√1

858)(20

√1

858)

=R

4[(3vt − vs)](400

1

858) (6.133)

153


F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6) =

R

4[(3vt − vs)](400

1

858) =

= (0.022056090

4)[(3(60)− 40)(400

1

858)] = (

0.022056090

4)[(180− 40)(

400

858)]

= (0.022056090

4)[(140)(0.466200466)]

F (PP ′N ′N, Jx) = F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6) = (5.5140225× 10−3)[65.26806527]

F (7

2

7

2,7

2

7

2, 6) = 0.35988958 (6.134)


F4AUX = (1

8)F (

7

2

7

2,7

2

7

2, 6) (6.135)

logo;

F4AUX = (1

8)(0.35988958) =

F4AUX = 0.044986197 (6.136)


F4 =√1√

(2× 6) + 1× F4AUX =√1√13× 0.044986197 = 0.162200041, onde :

F4× 16 = 2.545200668

(6.137)

154

7 BIBLIOGRAFIA

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double beta decay using fqtda model decaimento duplo-beta ... · ou mesmo um churrasco na praia em...

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