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1 1 PROF. CESAR A. TACLA UTFPR/CURITIBA

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR

REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS PARTE 3: LÓGICA DE 1A. ORDEM

Prof. Cesar Augusto Tacla UTFPR/Campus Curitiba

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

PR


TÓPICOS

▪ Compromissos ontológicos e epistemológicos LPO

▪ Linguagem da LPO

▪ sintaxe

▪ semântica

▪ interpretação/denotação/substituição

▪ modelo lógico

▪ pragmática


COMPROMISSOS LPO

REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3


LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

▪ Compromisso ontológico é o que cada linguagem

pressupõe sobre a natureza da realidade (Russel e Norvig,

2004, pg. 235)

▪ Compromissos ontológicos da LPO ▪ O mundo é composto por

▪ objetos,

▪ de funções sobre eles e

▪ de relações entre eles;



▪ Compromissos Epistemológicos

▪ Uma lógica pode ser caracterizada pelos seus compromissos

epistemológicos.

Quais os estados possíveis para as

crenças de um agente?



Representação Compromissos

Ontológico

Compromissos

Epistemológico

Lógica proposicional Fatos V, F, ?

Lógica de primeira

ordem

Objetos, relações e

funções

V, F, ?


LINGUAGEM DA LPO

REPRESENTAÇÃO DE CONHECIMENTOS: PARTE 3



Elementos da linguagem

Sintaxe:

alfabeto: símbolos válidos

gramática: regras de formação de fórmulas-bem-formadas (FBF) Em inglês: WFF - well-formed formulas

Semântica: define o significado das fórmulas lógicas em termos de modelo, contexto e avaliação de fórmulas


LPO: EXPRESSIVIDADE

Limite de expressividade da LÓGICA PROPOSICIONAL: proposições são atômicas, embora seja possível representar sentenças como a que está abaixo, falta refinamento para definir os quantificadores: Todo estudante é mais novo que pelo menos um professor. A frase diz respeito à: ser estudante; ser professor; ser mais jovem do que alguém


LPO: EXPRESSIVIDADE

Predicados são utilizados para representar as categorias dos objetos (estudante, professor) e também a relação de ser mais jovem que. Exemplos de predicados E(paulo) Paulo é estudante P(josé) José é professor J(paulo, josé) Paulo é mais jovem que José


LPO: EXPRESSIVIDADE

Objetos e constantes: paulo e josé são objetos (indivíduos ou particulares) do domínio. Constantes representam objetos do domínio. E(paulo) // paulo designa o objeto Paulo P(josé) // josé também é um objeto J(paulo, josé) Importante – em LPO: toda constante nomeia um objeto nenhuma constante pode nomear mais de um objeto um objeto pode ter mais de um nome ou não ter nome


LPO: EXPRESSIVIDADE

Podemos falar dos objetos utilizando constantes, mas podemos tratá-los de forma geral com variáveis. Caso contrário, ficaríamos muito perto da LP. Variáveis: ocupam os lugares dos objetos para que possamos construir fórmulas genéricas. Exemplos de predicados com variáveis: E(X) X é estudante P(Y) Y é professor J (X, Y) X é mais jovem que Y Esta formulação genérica, pode ter diferentes instanciações: X=joão, Y=pedro, …


LPO: EXPRESSIVIDADE

Quantificadores: ainda não conseguimos representar com o grau de refinamento nosso exemplo inicial. Para tanto, gostaríamos de representar a quais particulares uma sentença diz respeito: se a todos os particulares ou se um ou mais. Os quantificadores permitem expressar, ainda que de maneira grosseira, algo sobre a quantidade dos particulares que satisfazem alguma condição.


LPO: EXPRESSIVIDADE

Universal: quando queremos expressar algo sobre todos os particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: todos, cada um, todas as coisas ou qualquer um(a).

Exemplo: Todos objetos são quadrados.

∀𝑥(𝑄𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑥 ) Exemplo: Todo aluno da UTFPR é inteligente.

∀𝑥(𝐴𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑥 → 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 )


LPO: EXPRESSIVIDADE

Existencial: quando queremos expressar algo sobre alguns dos particulares/objetos. Em linguagem natural utilizamos: existe, pelo menos um, ao menos um, algum.

Exemplo: Ao menos um estudante da UTFPR é inteligente.

∃𝒙(𝐴𝑙𝑢𝑛𝑜 𝑥 ∧ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑙𝑖𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑥 )


LPO: EXPRESSIVIDADE

Universal e existencial Exemplo: Todo estudante é mais jovem de que algum professor.

∀𝑥(𝐸𝑠𝑡 𝑥 → ∃𝒚(𝑃𝑟𝑜𝑓 𝑦 ∧ 𝑀𝑎𝑖𝑠𝐽𝑜𝑣𝑒𝑚 𝑥, 𝑦 )


LPO: EXPRESSIVIDADE

Universal e existencial

Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Todos são vegetarianos. Ninguém é não-vegetariano. Não há nenhum não-vegetariano.

∀𝑥 𝑉𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑥 (S1)

∃𝒙(𝑉𝑒𝑔𝑒𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑥 ) (S2 S1)


LPO: EXPRESSIVIDADE

Universal e existencial

Exemplo2: frases em linguagem natural que expressam proposições equivalentes. Nem todas as aves podem voar. É falso que todas as aves podem voar. Há ao menos uma ave que não voa.

(∀𝑥 𝐴𝑣𝑒 𝑥 → 𝑽ô𝑎 𝑥 ) (S1)

∃𝒙(𝐴𝑣𝑒 𝑥 ∧ 𝑉ô𝑎 𝑥 ) (S2 S1)


SINTAXE



SINTAXE

A sintaxe de uma linguagem é definida por:

Gramática: regras para

geração de fórmulas bem-

formadas

Alfabeto: São os símbolos

lógicos e não lógicos


SINTAXE - ALFABETO

Alfabeto: composto pelos símbolos lógicos e não lógicos

Símbolos lógicos independem do domínio da aplicação

Símbolos não-lógicos dependem do domínio modelado e são escolhidos pelo

modelador.

alfabeto

Símbolos

lógicos

Símbolos

não-lógicos

pontuação

conectivos

variáveis

predicados

funções Constantes

(caso especial = aridade zero)

proposição

(caso especial = aridade zero)

( ) , . [ ]

=

x, y, z


SINTAXE: EXEMPLO

A

1

C

3

B

2

D

4

exemplo retirado do curso on-line AIMA – Norvig e Thun

Mundo composto por peças.

Quais são os objetos?


SINTAXE: EXEMPLO

OBJETOS DO DOMÍNIO

A

1

2

B

2

C

3

D

4

São objetos: as próprias peças, mas também podem ser objetos os números e as

letras. Desta forma, as peças são objetos complexos formados por objetos menores.


SINTAXE: ALFABETO

Símbolos de função (não-lógicos)

▪ Funções mapeiam objetos para objetos

▪ Constantes são funções de aridade-zero;

Duas constantes diferentes podem corresponder ao mesmo objeto

▪ Uma função representa UM OBJETO.


SINTAXE: ALFABETO

Símbolos de função (não-lógicos)

A

1

C

3

B

2

D

4

Constantes

a

b

a1

dois

função

numDaPeça(X)

a 1

a1 1

b 2

1


SINTAXE: ALFABETO

Símbolos de predicados (não lógicos)

Um predicado representa uma CATEGORIZAÇÃO

ou uma RELAÇÃO entre objetos.

Proposições

HáConsoante = {( )}

cjto com uma tupla com zero elementos – V

cjto sem tupla – F (não tem consoante)

Predicados unários (monádicos)

Vogal(X) = {A}

Predicados binários (diádicos)

Acima(X, Y) = {(a,b), (a,d), (c, b), (c, d)}

Aqui a, b, c e d representam os objetos em si

A

1

2

B

2

C

3

D

4

peça vogal

acima


GRAMÁTICA

São as regras para construção de sentenças válidas

utilizando-se o alfabeto da linguagem

Termos

Fórmulas atômicas bem-formadas (FABFs)

Fórmulas bem-formadas (FBFs)

Sentenças

Gramática


GRAMÁTICA: TERMOS

TERMOS

▪ Toda variável é um termo

▪ Toda constante é um termo

▪ Se t1, ..., tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n>0,

então f(t1, ..., tn) é um termo

▪ Nada mais é um termo.

Termos designam objetos do domínio.

Termos não tem valor-verdade


SINTAXE: GRAMÁTICA

X é uma variável Ex. no domíno dos inteiros, X pode denotar qualquer número inteiro

a é uma constante Ex. no domíno das vogais, o símbolo ‘a’ pode denotar a vogal a

éPaiBioDe(X) é uma função é uma função de aridade 1 Ex. denota o pai de X que pode ser qualquer objeto no domínio família

éPaiBioDe(éMãeBiologicaDe(X)) “avô materno de x” termos aninhados éMãeDe(X) denota o objeto mãe de X, vamos chamar de o1 éPaiDe(o1) denota o objeto que é pai de o1

Exemplos de termos


GRAMÁTICA: FÓRMULAS ATÔMICAS

Fórmulas atômicas bem-formadas (FABF)

Se t1, t2, ..., tn são termos e P é um predicado de aridade n

então P(t1, t2, ..., tn) é uma fórmula atômica bem-formada.

Se t1 e t2 são termos, então (t1=t2) é uma fórmula atômica

bem formada.

Exemplos:

Acima(a1, X)

numDaPeça(a1)=numDaPeça(Y)

Contra-Exemplo: numDaPeca(a1) é um termo


GRAMÁTICA: FÓRMULAS BEM-FORMADAS

1. Toda FABF é uma FBF.

2. Se A e B são FBFs e v é uma variável então A (A B) (A B) v.A ∀v.A são FBFs

FÓRMULA BEM-FORMADA (FBF)

Subjconjunto proposicional: não há termos nem funções FABFs: somente predicados de aridade zero.


SINTAXE: GRAMÁTICA

EXEMPLOS DE FBFs

Inteligente(paiDe(x))

x.Inteligente(paiDe(x))

(Jovem(y) x.Inteligente(paiDe(x))


SINTAXE: NOTAÇÃO

Ocasionalmente parênteses podem ser omitidos É possível utilizar [ ], { } Abreviações (a b) for (a b)

Símbolos não-lógicos: Predicados: iniciam por maiúsculas Pessoa, Feliz, MaisVelhoQue Funções e constantes: iniciam por minúsculas paiDe, sucessor, joaoDaSilva


SINTAXE: SENTENÇA

ESCOPO DOS QUANTIFICADORES

Variáveis livres: estão fora do escopo dos quantificadores

Variáveis aparentes (bounded): estão no escopo dos quantificadores

(P(x) (y (x(P(y) Q(x)))))


GRAMÁTICA: SENTENÇA

IMPORTANTE: embora uma variável possa ser livre e presa ao mesmo tempo, suas

ocorrências ou são livres ou são presas (exclusivamente).

(x (P(x) Q(x)) (P(x) Q(y))

x

P Q

x x

y

P

x

Q

Em azul, ocorrências livres das variáveis x e y


GRAMÁTICA: SENTENÇA

SENTENÇA OU FÓRMULA FECHADA

É uma FBF sem variáveis QUE OCORREM livres.

Possui valor-verdade.

Variáveis livres representam qualquer objeto do domínio (de forma arbitrária). Deste modo, o valor-

verdade de uma fórmula com variável livre varia de acordo com o objeto que a variável livre designar.

Notação

a[v/t] significa que todas as ocorrências livres de v são substituídas pelo termo t

avt também é utilizada


SEMÂNTICA



SEMÂNTICA

Semântica

▪ Define o significado no mundo das fórmulas bem-formadas para, no final das contas, atribuirmos valores-verdade (F ou V).

▪ O significados de uma fórmula deriva da INTERPRETAÇÃO dos símbolos não-lógicos presentes na mesma (os símbolos lógicos tem significado fixo)


SEMÂNTICA

Ex. vamos supor que

▪ Feliz(joao) é uma fórmula bem formada;

▪ O símbolo joao denota um indivíduo;

▪ O símbolo feliz é um predicado.

▪ Joao tem a propriedade de estar feliz.

▪ O problema é que a interpretação dada aos símbolos não lógicos (joao

e Feliz) pode variar de uma pessoa a outra


SEMÂNTICA

▪ O exemplo anterior provavelmente não suscita diferenças

de interpretação ainda que a noção de feliz seja diferente

de pessoa para pessoa

▪ Há outros símbolos não-lógicos bem mais problemáticos

pela dificuldade de precisar seus significados ou pela

simples dificuldade de entender o ponto de vista do

modelador

▪ PaísDemocrático

▪ MelhorComidaDoMundo

▪ éBoaPessoa

▪ txN27


SEMÂNTICA

▪ Na lógica de 1ª. Ordem não é preciso dar definições

precisas (como a de um dicionário) para os símbolos não-

lógicos, por exemplo, que um país democrático é um pais

que possui eleições, liberdade de expressão, etc.

▪ É preciso somente declarar quais objetos são países

democráticos e quais não são.

▪ Se há divergências na definição de quais são democráticos,

fala-se em diferentes interpretações


SEMÂNTICA

A LPO assume que

Tudo que necessitamos saber são as extensões dos

predicados P e os mapeamentos das funções F para atribuir

valores-verdade às fórmulas

Em outras palavras, necessitamos

» definir quais são os objetos do domínio

» quais deles satisfazem P

» que mapeamentos definem f

Assim, é possível determinar quais sentenças em LPO são

verdadeiras e quais são falsas.


INTERPRETAÇÃO

SEMÂNTICA


INTERPRETAÇÃO

Em lógica de primeira-ordem, a interpretação é definida

por: ▪ Há objetos no mundo

▪ Para qqer predicado de aridade 1, alguns objetos satisfazem P outros não

▪ Predicados de aridade superior são tratados similarmente (ex. aridade 3, define

triplas de objetos que satisfazem o predicado)

▪ Funções de aridade 3 são interpretadas como mapeamentos de triplas de

objetos para objetos.

▪ Nenhum outro aspecto do mundo interessa!

Ex. mundo populado por

indivíduos onde alguns

são felizes e outros não

Feliz(x) é verdadeiro para

os indivíduos pintados.


INTERPRETAÇÃO

Interpretação é um par (D, I) ▪ D = Domínio da interpretação: conjunto não vazio de objetos

▪ I = função que mapeia símbolos não lógicos para funções em D ou para

relações em D.

I[função(t1, …, tn)] [Dn → D]

I[constante] D

I[Predicado(t1, ..., tn)] Dn Dn é D1 x … x Dn

Para símbolos proposicionais

I[p] = {} ou I[p] = {<>}

Convém assumir que = I {proposições {true, false}}


INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO

▪ Interpretação é um par (D, I)

▪ Exemplo: D = {1, 2, 3, …}

▪ Interpretação de constantes ▪ I[1] = 1

▪ I[2] = 2

▪ …

▪ Interpretação de predicados ▪ I[Par] = {2, 4, 6, …}

▪ Interpretação de funções ▪ I[suc] = {(1 2), (2 3), …}

▪ ⊯ Par(3)

▪ ⊫ Par(suc(3))


INTERPRETAÇÃO: EXEMPLO

Interpretação é um par (D, I)

Exemplo: considere o domínio de pessoas e

cachorros

PREDICADOS

▪ Pessoa(x) é um predicado unário

▪ Cao(x) é um predicado unário

▪ Dono(x, y) é um predicado binário que

relaciona um objeto x a um objeto y

indicando que x é dono de y

FUNÇÃO

▪ melhorAmigo(x) é uma função que mapeia

uma pessoa para seu melhor amigo

totó

catita scooby

joão

maria

Domínio

MelhorAmigo

Dono

Dono I[Pessoa] D

I[Cao] D

I[melhorAmigo] [D → D]

I[Dono] D x D

é um conjunto de pares de objetos,

onde o primeiro é uma pessoa dona

do segundo que é um cão.


INTERPRETAÇÃO

▪ As funções em LPO são totais

▪

▪ Então a função MelhorAmigo, que retorna o melhor

amigo de uma pessoa, deve fazer algo razoável com

objetos que não são pessoas!

▪ I[melhorAmigo] [D D]

▪ Interpretação envolve denotação


DENOTAÇÃO

SEMÂNTICA


DENOTAÇÃO DE UMA VAR LIVRE

totó

catita scooby

joão

maria

Domínio

MelhorAmigo

Dono

Dono

ana

interpretação

Denotação: atribuição de valores às variáveis de uma fórmula para

podermos atribuir-lhe um valor-verdade.

Cao(x) y.Dono(y, z) x, = [x] = totó z, = [z] = totó I[Cao] = {totó, catita, scooby} I[Dono] = {(maria, catita), (maria, scooby)} A fórmula é FALSA para a e [x] = totó A fórmula é TRUE para a e [x] = catita


DENOTAÇÃO

Na denotação de termos que apresentam variáveis, é preciso atribuir valores do domínio D às variáveis

▪ Se x é uma variável então a atribuição [x] é um elemento qualquer do domínio

Formalmente, a denotação de um termo t, na interpretação com a atribuição de valores representada por t, é definida por

1. Se x é uma variável então x, = [x]

2. Se t1, …, tn são termos e f é um símbolo de função de aridade n então f(t1, …, tn), = F(d1, …, dn) onde F=I(f) e di = ti,

▪ Observar que:

I(f) é a interpretação de f definida por [D x … x D D]

As regras são recursivas (um termo pode ser uma função)

t, é sempre UM ÚNICO elemento de D


SATISFAÇÃO

SEMÂNTICA


SATISFAÇÃO

Dada uma interpretação = (D, I) e a denotação .,,

pode-se determinar quais FBFs são verdadeiras e quais

são falsas na interpretação com a denotação .

Uma FBF verdadeira na interpretação é dita satisfeita.


SATISFAÇÃO

Não satisfazível (insatisfazível): se não é satisfazível para

nenhum par (, )

Falseável: se existe algum par (, ) que não satisfaz

Válida (i.e., uma tautologia): se toda (, ) satisfaz


SATISFAÇÃO

Uma FBF é satisfazível em com a atribuição . Escreve-se:

, ╞ se é uma FBF com variáveis livres ╞ quando se trata de sentenças (pode-se omitir a denotação)

Para um conjunto de sentenças S, escreve-se

╞ S


SATISFABILIDADE

x.Cão(melhorAmigo(x))

A função MelhorAmigo é total.

Neste caso considera-se que na

ausência de um melhorArmigo o

próprio objeto é melhor amigo dele

mesmo (não foi representada na

figura)

Encontre um par (,) que satisfaça à fórmula.

O par (,) abaixo satisfaz a fórmula: I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={ana→maria, joão→totó, maria→joão, totó→totó catita→catita, scooby→scooby] [x]=totó


MODELO LÓGICO

▪ Uma interpretação é um modelo lógico de um conjunto

de sentenças S se todas as sentenças de S são verdadeiras

na interpretação com a atribuição

▪ Notação: ╞ S


MODELO LÓGICO

Conjunto de sentenças S

x.Cão(melhorAmigo(x))

y.(Pessoa(y) → Pessoa(melhorAmigo(y))

Há um par (, ) que saisfaz o conjunto S?

O par (,) abaixo satisfaz a fórmula: D={joão, ana, totó, catita, scooby, maria} I[Pessoa]={ana, joão, maria} I[Cão]={totó, catita, scooby} I[melhorAmigo]={(ana→maria), (joão→maria), (maria→joão), (totó→totó) (catita→catita), (scooby→scooby)} [x]={totó} [y]={maria, joão, ana, totó, catita, scooby}

totó

catita scooby

joão

maria

Domínio

MelhorAmigo

Dono

Dono

ana

A função MelhorAmigo é total.

Neste caso considera-se que na

ausência de um melhorArmigo o

próprio objeto é melhor amigo dele

mesmo (ver cães)

Ver itens 6 e 7 do slide seguinte


SATISFAÇÃO

Copyright Brachman e Levesque, pg. 22

Atribui d a v


PRAGMÁTICA



CONSEQUÊNCIA LÓGICA: CONCEITO

▪ Embora as regras semânticas da interpretação dependam da

interpretação dos símbolos não-lógicos, há conexões entre sentenças

em LPO que não dependem da interpretação dos símbolos não lógicos

Caso contrário, como poderíamos obter todas as interpretações?)

▪ Por exemplo, sendo γ definido por ( ), uma interpretação onde

é verdadeiro, pode-se concluir que γ é verdadeira independente de

como entendemos os símbolos e

▪ Sempre que for verdadeiro, γ também será!!!

▪ Logo, γ é uma consequência lógica de ou a verdade de γ está

implícita na verdade de


CONSEQUÊNCIA LÓGICA

Formalmente: é uma consequência lógica de S se e somente se é

verdadeira em todos os modelos de S

S╞ sse para toda interpretação , se ╞ S então ╞ S╞ sse para toda interpretação , se ╞ S então ╞



De outra forma,

não há interpretação onde ╞ S { }

(i.e. S { } é insatisfazível)

Quando uma sentença é válida (em qualquer interpretação), escreve-se: ╞ Quando o conjunto S é finito, consequência lógica se reduz à validade da implicação lógica: S={1, ..., n}, então S╞ se e somente se (1 ... n) for válida



Um KBS pode tirar conclusões interessantes?

Se Cachorro(fido) então pode concluir Mamífero(fido)???

Depende... Há interpretações onde I[Cachorro] I[Mamífero]

Não temos acesso a todas as interpretações possíveis para os símbolos lógicos...

Conjuntos infinitos de objetos!!!

Pode-se utilizar consequência lógica , se S é true na interpretação pretendida,

então também será! Se o usuário/agente enxerga um mundo que satisfaz S,

então este mundo também satisfaz

Temos que incluir relações EXPLICITAMENTE em S:

x[Cachorro(x) Mamífero(x)]

S U {Cachorro(fido)} |= Mamífero(fido)



KB é um conjunto de sentenças:

Declaração explícita de sententeças que são acreditadas (incluindo

conexões/relações entre símbolos não-lógicos)

KB |= ,

é uma consequência adicional ao que já é acreditado, então tem-se que:

KB = conhecimento explícito

= conhecimento implícito


CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA

C

B

A

c não é verde

= Dados os blocos a, b e c, há um cubo verde sobre um não verde?

cor desconhecida

verde

B

B

Dois casos possíveis

B é verde

B não é

verde

b está sobre c,

portanto há um cubo

verde sobre um não verde

a está sobre b,

portanto há um cubo

verde sobre um não verde

Ou seja, qualquer que seja a interpretação, a sentença proposta será satisfeita!

Portanto, a sentença é uma crença implícita.


c

b

CRENÇA EXPLÍCITA E IMPLÍCITA

Suponha que uma dada interpretação ╞ S

i.e. O conjunto de sentenças S é válido na interpretação

Caso 1

1. ╞ G(b).

2. ╞ G(b) O(b,c) G(c) daí segue que é V

Caso 2

1. ╞ G(b)

2. ╞ G(a) O(a,b) G(b) daí segue que é V

Portanto, para qualquer interpretação , se ╞ S e ╞ então a verdade

de alfa está implícita na verdade de S: S╞

a

c

b

a

S = {O(a,b), O(b,c), G(a), G (c)}

= xy[G(x) G (y) O(x,y)]

S |= ??

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