Ensino SuperiorMatemtica BsicaUnidade 9 Nmeros ComplexosAmintas Paiva Afonso

Nmeros ComplexosConceito, formas algbrica e trigonomtrica e operaes.Amintas Paiva Afonso

Conceito (parte I)Os nmeros complexos surgiram para sanar uma das maiores dvidas que atormentavam os matemticos: Qual o resultado da operao X + 1 = 0 ?

X = -1 X = -1Amintas Paiva Afonso

Conceito (parte II)Por isso, foi criado um nmero especial, que denominamos algebricamente como i, que elevado ao quadrado resulte em -1, matematicamente:

I = -1 i = -1

Esse novo conceito possibilitou a resoluo da equao mostrada anteriormenteAmintas Paiva Afonso

Conceito (parte III)Desse modo:

X + 1 = 0X = -1(como i = -1)X = iAmintas Paiva Afonso

Concluso do conceitoAssim, foi criado um novo conjunto numrico denominado conjunto dos nmeros complexos ou conjunto dos nmeros imaginrios, que representamos pela letra C.

Conjunto dos nmeros complexos = CAmintas Paiva Afonso

Relao fundamentalO conjunto dos nmeros complexos possui, desse modo, a relao fundamental onde:

I = -1

Ou i = -1Amintas Paiva Afonso

Exemplos-2 = 2(-1)

Aplicando a relao fundamental:

-2 = i2-4 = 4(-1)

Aplicando a relao fundamental:

-4 = 2iAmintas Paiva Afonso

Forma algbrica (parte I)O nmero complexo possui uma parte real e outra imaginria. Como a parte imaginria conta com a presena do i, sua forma algbrica Parte reala + biParte imaginriaAmintas Paiva Afonso

Forma algbrica (parte II)Um nmero complexo que no possui parte real (a = 0) denominado nmero complexo puro. Um nmero complexo que no possua a parte imaginria (b = 0) denominado nmero real e os nmeros imaginrios que possui ambas as partes so simplesmente chamados de nmeros complexos.Amintas Paiva Afonso

Exemplos2 + 4i nmero complexo8 - i2 nmero complexo6i nmero complexo puro4 nmero real-i nmero complexo puro

i nmero realAmintas Paiva Afonso

Conjugado de um nmero complexoUm nmero complexo z = a + bi possui um conjugado que representado por z, onde:

z = a bi(l-se conjugado de z)Amintas Paiva Afonso

ExemplosDados os nmeros complexos, encontrar seus respectivos conjugados:z = 2 4i z = 2 + 4iz = i z = -iz = 1 + 2i z = 1 - 2iz = 2 z = 2z = -3 8i z = -3 + 8i

Amintas Paiva Afonso

Operaes com nmeros complexos na forma algbricaComo os nmeros reais possuem forma real e imaginria separadas, as operaes de adio, subtrao, multiplicao, diviso e potenciao diferem um pouco das habituais com nmeros reais.Amintas Paiva Afonso

Adio e subtrao com nmeros complexos na forma algbricaPara somar e subtrair nmeros complexos deve-se efetuar as operaes na parte real e imaginria separadamente.(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Amintas Paiva Afonso

Exemplos(2 + 4i) + (3 + i) = (2 + 3) + (4 + 1)i = 5 + 5i

(1 + 4i) (2 - 7i) = (1 - 2) + (4 - 7)i = -2 -7i

(3 + i) (4 + i) = (3 - 4) + (i - i) = -1

i + (2 + 4i) = 2 + (1 + 4)i = 2 + 5iAmintas Paiva Afonso

Multiplicao com nmeros complexos na forma algbricaPara efetuar a multiplicao aplica-se simplesmente a distributiva:

(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci bd (a + bi)(c + di) = a(c + di) + b(-d + ci)Amintas Paiva Afonso

Exemplos(2 + 3i)(1 + i) = 2 + 3i + 3i + 3i = 2 + 6i 3 = -1 + 6i

2 (1 + i) = 2 + 2i

(2 - i)(-3 + 2i) = -6 +4i +3i 2i = -4 + 7iAmintas Paiva Afonso

Diviso com nmeros complexos na forma algbricaPara se dividir nmeros complexos, deve-se multiplicar ambos os nmeros pelo conjugado do complexo do denominador.

Amintas Paiva Afonso

ExemploAmintas Paiva Afonso

Potncias de i (parte I)Nas potncias de i notam-se regularidades de quatro em quatro no expoente:Amintas Paiva Afonso

Potncias de i (parte II)Desse modo, para encontrar o resultado de qualquer potncia, dividimos o expoente por 4 e resolvemos a potncia utilizando como expoente o resto da diviso.Amintas Paiva Afonso

Exemploi1047 = i3 = -iAmintas Paiva Afonso

Nmero complexo no plano de Argand-GaussOs nmeros complexos podem ser representados num plano, onde a reta das abscissas a reta dos nmeros reais e a das ordenadas a reta dos nmeros complexos. Esse plano denominado plano de Argand-Gauss.Amintas Paiva Afonso

ExemploColocar no plano de Argand-Gauss o nmero complexo z = 3 + 2iAmintas Paiva Afonso

Mdulo e argumento de um nmero complexo (parte I)No grfico, o mdulo de um nmero complexo z = a + bi o segmento de reta que vai do ponto origem O(0,0) at o ponto do P(a, b) do nmero complexo z. O argumento de z o ngulo que esta forma com o eixo das abscissas em sentido anti-horrio.Amintas Paiva Afonso

Mdulo e argumento de um nmero complexo (parte II)Amintas Paiva Afonso

Forma trigonomtricaUtilizando as relaes dadas no slide anterior e aplicando-as forma algbrica, obtemos a forma trigonomtrica de um nmero complexo.Amintas Paiva Afonso

ExemploPassar para a forma trigonomtrica o nmero complexo z = 1 + i3Amintas Paiva Afonso

Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica - MultiplicaoPara multiplicar nmeros complexos na forma trigonomtrica utilizamos a frmula:Amintas Paiva Afonso

Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica - DivisoA frmula para efetuar a diviso entre dois nmeros complexos na forma trigonomtrica a seguinte:Amintas Paiva Afonso

Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica - PotenciaoPara efetuar a potenciao entre nmeros complexos na forma trigonomtrica utilizamos esta frmula:Amintas Paiva Afonso

Operaes com nmeros complexos na forma trigonomtrica RadiciaoDe forma anloga potenciao, para efetuar a radiciao com nmeros complexos na forma trigonomtrica utilizamos a formula:Amintas Paiva Afonso