divisÃ£o+de+terras

Topografia Aplicada Engenharia Civil 2009 / 11 Edio Iran Carlos Stalliviere Corra Departamento de Geodsia IG/UFRGS Porto Alegre/RS

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CAPITULO IV

1. DIVISO DE TERRAS (PROPRIEDADES)

1.1 Introduo

A diviso de uma propriedade ocorre em situaes diversas como por venda de parte do terreno, por esplio e diviso entre os herdeiros ou por loteamento da rea. No possvel efetuar uma diviso de terras confivel, sem proceder a um levantamento exato do que vai ser o objeto de diviso. Quando a diviso feita atravs de uma linha j existente, a tarefa da topografia a de medir esta linha divisria e determinar a rea de cada uma das partes. Supondo-se que uma propriedade a ser dividida seja atravessada por um crrego e que ele seja escolhido como linha divisria, a topografia efetuar um levantamento planimtrico geral e calcular as reas de cada parcela. Aqui trataremos apenas de alguns casos de diviso de terras, pois o problema abrange estudos sobre legislao de terras, pois sempre que houver menores na partilha a ao deve ser judicial. Plantas existentes, muitas das quais incompletas ou medidas toscamente, devem ser abandonadas, dando lugar a novas medidas. H ocasies, no entanto, nas quais necessrio separar determinadas reas. Para esta hiptese que apresentaremos algumas solues geomtricas.

1.2 Diviso de reas triangulares

a) Seja dividir uma rea triangular ABC em duas partes que estejam entre si em uma dada relao (m,n), por meio de uma reta paralela a um dos lados do tringulo.

A

B

C

M

Nm

n

D

E

J

Fig.12 - rea triangular a ser dividida em duas partes proporcionais.

Seja o tringulo ABC o qual se quer dividir em duas partes que estejam entre si na proporo "m" e "n", por meio de uma reta paralela, por exemplo, ao lado AC, conforme mostra a figura 12.


40

Da relao de tringulos temos:

m

nm

NBM

CBA )(

(1)

tambm podemos dizer:

2

2

BM

BA

NBM

CBA

(2)

igualando-se as equaes (1) e (2) temos:

m

nm

BM

BA )(2

2

logo:

)( nm

mBABM

Utilizando-se o mesmo raciocnio podemos deduzir a frmula para o lado BN

Donde:

)( nm

mBCBN

Com as coordenadas obtidas a partir do levantamento geral do polgono podemos determinar as coordenadas dos vrtices da linha divisria, bem como seu comprimento e sua orientao.

b) Seja dividir uma rea triangular em duas ou mais partes equivalentes atravs de retas que passem por um ponto situado sobre um de seus lados.

A

B

C

P M

Q

Fig.13 - rea triangular dividida a partir de um ponto preestabelecido.


41

Seja o tringulo ABC ( Figura 13) o qual se quer dividir em partes iguais ou equivalentes e que o ponto "P", situado sobre o lado AB, o vrtice de partida da linha divisria. Primeiramente, determina-se o ponto mdio "Q" ,do lado BC. Do vrtice A traa-se uma paralela ao alinhamento PQ. A reta obtida entre o ponto "P" e o ponto "M" ser a linha divisria. A comprovao poder ser feita atravs da seguinte relao: Os tringulos AQM e APM so equivalentes pois ambos tm a mesma base e a mesma altura. O tringulo AQC equivalente metade do tringulo ABC. Tirando-se o tringulo AQM do tringulo ACQ e substituindo-se este pelo tringulo APM chegamos a concluso que o quadriltero APMC equivalente metade do tringulo ABC. Conhecendo-se as coordenadas dos vrtices do tringulo ABC e o comprimento de seus respectivos lados podemos determinar o comprimento de BM para a locao do vrtice "M". Sabendo-se que:

BCBQ2

1

do tringulo BAM e do tringulo BPQ podemos deduzir:

BQ

BM

BP

BA ou

BP

BCBABM

2

u

Se em vez de dividir o tringulo em duas partes iguais, necessitarmos dividi-lo em trs, quatro ou mais partes, divide-se o lado BC em tantas quantas forem as partes desejadas e procede-se o clculo da mesmo modo.

1.3 Diviso de reas trapezoidais

Seja dividir uma rea trapezoidal em duas partes proporcionais a "m" e "n" e que a linha divisria seja paralela s bases do trapzio.

A B

CD

l1

l2

l3

l4

E FzG

H

l1-l3

D E

JG

m

n

A1

A2x y

Fig.14 - rea trapezoidal


42

Levando-se em considerao que as coordenadas dos vrtices ABCD do trapzio so conhecidas, bem com sua rea total, podemos calcular as reas A1 e A2 respectivamente em relao s proporcionalidades "m" e "n".

ABCDreaTotalnm

mA u )(1 ABCDreaTotalnm

nA u )(2

Pela semelhana dos tringulos ADH e EDG (Figura 14), podemos calcular o comprimento da linha divisria EF (z) pela seguinte frmula:

)(

)()( 2123

nm

mlnlzEF

uu Conhecendo-se o comprimento da linha divisria (z) podemos calcular as distncias DE (x) e CF (y) as quais possibilitaro a locao dos vrtices da linha divisria.

)(

)(

31

34

ll

lzlxDE

e )(

)(

31

32

ll

lzlyCF

Conhecidas as coordenadas dos vrtices C e D pode-se determinar as coordenadas dos vrtices E e F da linha divisria.

1.4 Diviso de reas poligonais

Seja dividir um quadriltero ABCD de modo que a linha divisria seja paralela a um de seus lados.

A

B

C

D

M Nl1

l2

l3

l4

A1

A2

x

n

myD

E

J

G

Fig.15 - rea de um quadriltero

Considerando-se o quadriltero da Figura 15, de vrtices ABCD com coordenadas e rea total (AT) conhecidas, deseja-se dividi-lo, por meio de uma reta paralela ao lado AD, em duas partes proporcionais a "m" e "n". Com a mesma relao do exemplo anterior calcula-se os valores das reas A1 e A2, em relao proporcionalidade estabelecida "m" e "n".

A determinao do comprimento de "x" e "y" resulta:


43

24 2)( Ayxl (1)

)()( 4 GD ctgctgyxl (2) multiplicando-se as equaes (1) e (2) teremos:

)(2 224 GD ctgctgAlx

da equao (1) obtemos y:

)(

2

4

2

xl

Ay

para o clculo dos comprimentos AM e DN, para a locao dos vrtices da linha divisria, temos:

Dseny

AM e Gseny

DN

1.5 Diviso de Terras pelo Mtodo Analtico

Seja dividir analiticamente uma poligonal ABCDEF (Fig.16) em trs partes proporcionais a m, n e p. Pelo processo analtico, calcula-se a rea total (ST ) do polgono. As reas parciais, A1, A2 e A3 a separar so facilmente calculadas por:

A

B

C

D

F

E

PQ

A1

A2

A3q1

q2h

(m)

(n)

(p)

Y

X

Fig.16 - Polgono ABCDEF a ser dividido analiticamente em partes proporcionais

)(1 pnm

mSA T

u )(2 pmn

nSA T

u )(3 mnp

pSA T

u

321 AAAST


44

Admitindo-se que as linhas divisrias partam dos vrtices B e C e considerando-se que as mesmas iro passar pelos pontos P e Q localizados sobre o alinhamento EF, pode-se determinar os valores exatos dos mesmos. Atravs das coordenadas dos vrtices da poligonal, obtidas a partir dos dados de campo, podemos calcular a rea dos tringulos ABF e CDE, que comparadas com as reas A1e A3 a separar, nos dar as reas dos tringulos suplementares BFP (q1) e CEQ (q2). Pela Geometria Analtica sabemos que a distncia de um ponto (x',y') a uma reta ( )baxy dada por:

1

''2

a

ybaxh

que a equao de uma reta que passa por dois pontos dados (x',y') e (x",y") :

)'('"

'"' xx

xx

yyyy

e que o ngulo formado por duas retas y=ax+b e y=a'x+b' obtido pela seguinte equao:

'1

'

aa

aatgV

Podemos com isso determinar, em primeiro lugar, a altura (h) do tringulo BFP que igual a distncia do ponto B a reta EF, dada pela seguinte equao:

1211

a

YbXah BB

As coordenadas do ponto B so XB e YB e a equao da reta EF :

)( EEF

EFE XxXX

YYYy

ou

EEEF

EF

EF

EF YXXX

YYx

XX

YYy

temos ainda que:

11 bxay fazendo-se:

EF

EF

XX

YYa

1 e EEEF

EF YXXX

YYb

1

Para o clculo do comprimento do alinhamento FP, base do tringulo FBP utilizamos a frmula:

21bh

q onde b igual ao alinhamento FP e da temos:

h

qFP 1

2 u analogamente, podemos efetuar o mesmo raciocnio para o tringulos suplementar QCE.


45

A determinao das coordenadas do ponto P sobre a reta EF pode ser obtida atravs da determinao das projees x e y do alinhamento FP, atravs das equaes:

FPFPFP AzDhx senu e FPFPFP AzDhy cosu logo:

FPFP xXX e FPFP yYY 1.6 Exerccio Elucidativo

Seja a poligonal ABCDE (Fig.17) a ser dividida pelo mtodo analtico em trs partes proporcionais a "m", "n", e "p" , cujas coordenadas de seus vrtices so conhecidas e considerando-se o ponto C como ponto comum de partida das linhas divisrias.

A

B

C

D

E

P

Q

A1

A2

A3

H1H2

q1

q2

d1

d2

N

E

m

n

p

Fig.17 - Polgono ABCDE a ser dividido em partes proporcionais

1) Dados de campo e Coordenadas VRTICES NGULOS AZIMUTES RUMOS COMPRIMENTO (m)

A 13707' 21000' S 3000' W 306,10 B 06424' 08536' N 8536' E 626,55 C 14206' 05630' N 5630' E 337,20 D 08002' 31632' N 4328' W 382,60 E 11621' 25253' S 7253' W 512,45 54000' 2.164,90

VRTICES ABSCISSAS ORDENADAS

A 0,00 0,00B - 153,04 - 265,06C + 471,69 - 313,07D + 752,90 - 126,93E + 489,72 + 150,78


46

2) Clculo da rea total da poligonal

Pelo mtodo analtico calcula-se a rea total do polgono ABCDE. rea total ABCDE = 262.229,7985 m

2

3) Clculo da rea de cada um do polgonos formados pela unio do vrtice C com os vrtices A e E

rea ABC = S1 = 86.469,1921 m2rea ACE = S2 = 112.219,0293 m2rea CDE = S3 = 63.541,5771 m2rea TOTAL = S1 + S2 + S3 , rea TOTAL = 262.229,7985 m2

4) Clculo das reas a separar de cada quinho. Sejam as razes: m = 3 n = 5 p = 2

233

222

211

9597,445.52210

8992,114.131510

9396,668.78310

mAA

A

mAA

A

mAA

A

Total

Total

Total

u

u

u

321 AAAATotal , 27985,229.262 mATotal

5) Clculo da rea dos tringulos de compensao APC e CEQ

111 ASq 9396,668.781921,469.861 q2

1 2525,800.7 mq

332 ASq 9597,445.525771,541.632 q2

2 6174,095.11 mq

6) Clculo do comprimento das diagonais AC (d1) e CE (d2)22

1 )()( ACAC YYXXd 22

1 )007,313()069,471( dmd 13,5661

222 )() CECE YYXXd

222 )07,31378,150()69,47172,489 d

md 20,4642

7) Clculo d o comprimento das perpendiculares H1 e H2

Para isso devemos estabelecer a equao das retas AB e DE.

Equao da reta AB:


47

x,y

x,

,y

,x

y

XX

YY

Xx

Yy

AB

AB

A

A

7319655104153

06265004153

006,265

0

0

Equao da reta DE:

DE

DE

D

D

XX

YY

Xx

Yy

90,75272,489

)93,126(78,150

90,752

)93,126(

x

y

xy 05520936,15371289,667 Conhecidas as equaes das retas aplica-se a frmula abaixo apresentada para o

clculo da altura dos tringulos PAC e EQC em relao s equaes das retas.

12

a

ybaxH

No nosso caso: Para H1:

121

a

YbaXH CC

As equaes das retas nos fornecem os valores de "a" e "b" e com as coordenadas do ponto C temos:

1)7319655,1(

)07,313(069,4717319655,121

u H

mH 0312,5651 Para H2:

122

a

YbaXH CC

1)05520936,1(

)07,313(5371289,66769,47105520936,122

u HmH 1524,3322

8) Clculo da determinao dos vrtices P e Q da linha divisria.

Calcula-se inicialmente as distncias AP e EQ dos tringulos de compensao.


48

11 2 qHAP u u 1

12

H

qAP

u 0312,565

2525,800.72 u APmAP 6099,27

22 2 qHEQ u u

2

22

H

qEQ

u 1524,332

6174,095.112u EQmEQ 8104,66

9) Clculo das coordenadas dos pontos P e Q da linha divisria.

Coordenadas de P:

Como o ponto P est localizado sobre o alinhamento AB, temos que o Azimute de AB igual ao Azimute de AP, logo:

'00210 APAz 6099,27 APDhas projees so:

APAPAP AzDhx senu '00210sen6099,27 u APx8049,13 APx

APAPAP AzDhy cosu '00210cos6099,27 u APy9109,23 APy

a coordenada de P ser:

APAP xXX )8049,13(0 PX8049,13 PX

APAP yYY )9109,23(0 PY9109,23 PY

Coordenada de Q '32136 EDAz '32136 EQAz 8104,66 EQDh

as projees so:

EQEQEQ AzDhx senu '32136sen8104,66 u EQx 9610,45 EQx

EQEQEQ AzDhy cosu '32136cos8104,66 u EQy 4893,48 EQy

a coordenada de Q ser:

EQEQ xXX 9610,4572,489 QX681,535 QX

EQEQ yYY )4893,48(78,150 QY


49

2907,102 QY

10) Clculo do comprimento das linhas divisrias "CP" e "CQ" calculadas pelas coordenadas. 22 )()( PCPC YYXXCP

22 )9109,2303,313()8049,1369,471( CP 0621,565 CP

22 )()( QCQC YYXXCQ 22 )2907,10203,313()681,53569,471( CQ

2215,420 CQ11) Clculo dos azimutes dos alinhamentos PC e QC

Azimute de PC

PC

PCPC YY

XXartgAz

)9109,23(07,313

)8049,13(69,471

artgAzPC

678988833,1 artgAzPC "62,19'1359 PCAz

como o alinhamento encontra-se no segundo quadrante, o Azimute : "38,40'46120 PCAz

Azimute de QC

QC

QCQC YY

XXartgAz

2907,10207,313

681,53569,471

artgAzQC

1540612773,0 artgAzQC "53,29'458 QCAz

como o alinhamento encontra-se no terceiro quadrante, o Azimute : "53,29'45188 QCAz

A diviso de grandes extenses de terra devem ser efetuadas pelo processo analtico, por ser este mais exato.


50

1.7 Exerccios Aplicativos:

1) Seja dividir uma rea triangular de vrtices ABC, conforme figura 12, cujos lados medem: AB=420,00m; BC=340,00m e CA=520,00m, em duas partes com proporcionalidade de me n iguais a 65% e 35% respectivamente.

2) Deseja-se dividir uma rea trapezoidal, conforme figura 14, em duas partes proporcionais a n e m, na razo 70% e 30%. Sabe-se que os lados do trapzio medem: AB=416,00m; BC=150,00m; CD=260,00m e DA=180,00m. Os ngulos e medem respectivamente 5235' e 7230'.

3) Quer se dividir um polgono de 5 lados em duas partes iguais, sendo que a linha divisria seja paralela ao lado 4-5 da poligonal. So conhecidas as coordenadas dos vrtices da poligonal. Pede-se para calcular todos os dados necessrios a locao e caracterizao da linha divisria.

Vrtices X Y 1 45,129 45,126 2 100,130 57,132 3 163,190 18,410 4 169,314 122,1545 52,131 143,129

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