Distância e Geometria

Função Distância

Dado um espaço X, podemos definir uma função real d -

conhecida como distância - tal que, para os pontos a, b, c X,

valem as seguintes propriedades:

𝑑 𝑎, 𝑏 ≥ 0 𝑒 𝑑 𝑎, 𝑏 = 0 ↔ 𝑎 = 𝑏

𝑑 𝑎, 𝑏 = 𝑑 𝑏, 𝑎

𝑑 𝑎, 𝑏 ≤ 𝑑 𝑎, 𝑐 + 𝑑(𝑐, 𝑏)

O Impacto Distância

O conceito de distância tem efeitos de longo alcance em uma

geometria. Tudo desde ângulos até cónicas, área e volume são

de alguma forma dependentes do significado de distância. Tendo

alterado a fórmula de distância para a geometria euclidiana e

visto alguns dos efeitos básicos, deve-se esperar que o efeito

cascata para continuar profundamente em outros conceitos. O

restante desta palestra olha para os diferentes aspectos de uma

geometria com outra distância, para entender sua natureza e

muitas vezes contrastá-los com a geometria euclidiana.

Exemplos de função distância:

Distância Euclidiana

𝑋 = 𝑅2

𝐴 = 𝑥𝐴, 𝑦𝐴 e 𝐵 = 𝑥𝐵, 𝑦𝐵

𝑑(𝐴, 𝐵) = (𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2+(𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2

Círculo com esta distância: Um círculo de centro C e raio r é o lugar geométrico dos pontos

P cuja distância a C é igual a r

Equação do Círculo de centro C e raio r

𝑑 𝑃, 𝐶 = 𝑟 se e somente se (𝑥 − 𝑎)2+(𝑦 − 𝑏)2= 𝑟2

Exemplo 2: Distância do taxista

A Geometria do taxista ou do pedestre, considerada por

Hermann Minkowski no século XIX, é uma forma de

geometria em que a distância entre dois pontos é a soma das

diferenças absolutas de suas coordenadas. A distância do

taxista é também conhecida como distância L1, ou

distância de Manhattan, com variações correspondentes no

nome da geometria. O último nome faz alusão ao formato

quadriculado da maior parte das ruas na ilha de Manhattan. Tal

configuração faz com que a menor distância a ser percorrida

por um carro que vai de um ponto a outro na cidade tenha

como valor aquele número fornecido pela métrica L1.

Um pouco de história

A métrica (fórmula de distância) que ficou conhecido como

geometria do táxi foi proposto pela primeira vez como um meio de

criar uma geometria não-euclidiana por Herman Minkowski (1864-

1909) no início do século 20. (Minkowski era um professor no início

de Albert Einstein.) A métrica era de uma família inteira de métricas

Minkowski Proposta para criar facilmente geometrias não-

euclidianas.

Em 1952, Karl Menger criou uma exposição geometria no Museu de Ciência e Indústria de Chicago. Para os visitantes da exposição, Menger criou um livreto “You Will Like Geometry”. Foi neste livreto que o termo "geometria do táxi" foi usado pela primeira vez. Ela permaneceu associado a esta geometria desde então.

Até 1975, o trabalho de desenvolver uma geometria completa baseada na métrica táxi ainda não tinha sido feito. Neste momento Eugene Krause, comentou: "Parece que chegou o momento de fazê-lo." Livro Krause, publicado em 1975, geometria do táxi: Uma Aventura na geometria não euclidiana, ainda é a introdução padrão a esta geometria.

A pesquisa moderna na geometria do táxi começou a aparecer

esporadicamente no início de 1980. Até cerca de 1997 que a

pesquisa contínua, sério começaria em geometria do táxi. Esta

pesquisa começou com o trabalho, independente e simultâneo em

ângulos de táxi e trigonometria por Kevin Thompson na Oregon

State University e também Kaya Rüstem na Turquia. Pesquisa de

Thompson foi realizado na escola de pós-graduação em 1996 com

Tevian Dray e publicado em 2000 com a pesquisa de Kaya a ser

publicado em 1997. De 1997 a 2010, Rüstem Kaya foi o

pesquisador mais produtivo nesta geometria.

A distância do taxista entre dois pontos em um espaço euclidiano

com sistema de coordenadas cartesianas fixado é a soma dos

comprimentos das projeções do segmento de reta que liga os

pontos sobre os eixos coordenados. Por exemplo, no plano, a taxi-

distancia entre o ponto P1 com coordenadas (x1, y1) e o ponto P2

em (x2, y2) é

L1 ((x1, y1), (x2, y2))= |x1 - x2| + |y1 - y2|.

A distância do taxista depende da rotação do sistema de

coordenadas, mas não depende de sua reflexão em torno de um

eixo ou suas translações.

Equação do círculo de centro (0,0) e raio

r é dado por:

𝑥 + 𝑦 = 𝑟

1º. Quadrante: 𝑥 + 𝑦 = 𝑟

2º. Quadrante: −𝑥 + 𝑦 = 𝑟

3º. Quadrante: −𝑥 − 𝑦 = 𝑟

4º. Quadrante: 𝑥 − 𝑦 = 𝑟

Axiomas de Euclides

Geometria euclidiana é um sistema axiomático, ou seja,

todos os recursos da geometria podem ser derivadas de um

pequeno conjunto de pressupostos. Ao explorar geometrias

não-euclidianas, é útil para determinar qual dos axiomas

euclidianos, ou propriedades derivadas desses axiomas, não

é mais verdade. Desde a época de Euclides, outros sistemas

aximoatic têm sido propostas que são equivalentes a de

Euclides, mas são mais explícitos e fazer menos suposições

não declaradas. Os axiomas de David Hilbert (1862-1943)

são um exemplo.

Geometria do taxista apenas falha um dos axiomas ou

postulados da geometria euclidiana, mas o faz em grande estilo.

Na geometria euclidiana, se dois lados eo ângulo subentendido

por estes lados de dois triângulos são congruentes, então os

triângulos são congruentes. Esta é a chamada propriedade 𝑙𝑎𝑙

(lado-ângulo-lado) para triângulos. (Propriedades de

congruência Outros são 𝑎𝑙𝑎 e 𝑙𝑙𝑙). Este axioma não se verifica

na geometria do taxista, e um exemplo pode provar este fato.

A geometria do taxista não só não a propriedade 𝑙𝑎𝑙, mas

mesmo uma propriedade 𝑎𝑙𝑎𝑙𝑎 não garante a congruência de

triângulos.

Axiomas de Incidência

Axioma 𝐼1: Para todo ponto 𝑃 e para todo ponto 𝑄 distinto de 𝑃, existe uma única reta l que passa por 𝑃 e 𝑄.

Axioma 𝐼2: Toda reta possui pelo menos dois pontos distinto.

Axioma 𝐼3: Existe pelo menos 3 pontos não colineares.

Axiomas de Ordem

Axioma 𝑂1: Se 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, então 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são pontos

distintos sobre uma mesma reta e 𝐶 ∗ 𝐵 ∗ 𝐴.

Axioma 𝑂2 : Dados quaisquer dois pontos 𝐵 e 𝐷 ,

existem pontos 𝐴, 𝐶, 𝐸 ∈ 𝐵𝐷 tais que

𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐷, 𝐵 ∗ 𝐶 ∗ 𝐷 e 𝐵 ∗ 𝐷 ∗ 𝐸

Axioma 𝑂3: Se 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são pontos distintos sobre uma

reta, então um e apenas um está entre os outros dois.

Axioma 𝑂4: (separação do plano) Para toda reta 𝑙 e para toda

trinca de pontos 𝐴, 𝐵 e 𝐶 não pertencentes a 𝑙,

1. Se 𝐴, 𝐵 estão do mesmo lado de 𝑙 e 𝐵, 𝐶 estão do mesmo lado de

𝑙, então 𝐴, 𝐶 estão do mesmo lado de 𝑙

2. Se 𝐴, 𝐵 estão de lados opostos de 𝑙 e 𝐵, 𝐶 estão de lados oposto

de 𝑙, então 𝐴, 𝐶 estão do mesmo lado de 𝑙.

𝐵 𝐴 𝐶

𝑙

𝑙

𝐶 𝐴

𝐵

Axioma de Congruência

Axioma 𝐶1: Se 𝐴 e 𝐵 são pontos distintos dados e seja 𝐴´ um

outro ponto qualquer. Então para todo raio de origem em 𝐴´, existe um único ponto 𝐵´ neste raio tal que 𝐴𝐵 ≅ 𝐴´𝐵´.

Axioma 𝐶2: Se 𝐴𝐵 ≅ 𝐶𝐷 e 𝐴𝐵 ≅ 𝐸𝐹, então 𝐶𝐷 ≅ 𝐸𝐹. Além disto, todo segmento é congruente a si mesmo.

Axioma 𝐶3: Se 𝐴 ∗ 𝐵 ∗ 𝐶, 𝐴´ ∗ 𝐵´ ∗ 𝐶´, 𝐴𝐵 ≅ 𝐴´𝐵´, 𝐵𝐶 ≅𝐵´𝐶´, então 𝐴𝐶 ≅ 𝐴´𝐶´.

Axioma 𝐶4: Dado um ângulo 𝐵𝐴𝐶 𝑛ã𝑜 𝑟𝑎𝑠𝑜 e dado um

raio 𝐴´𝐵´ de origem 𝐴´, existe um único raio 𝐴´𝐶´ em cada

lado de 𝐴´𝐵´, tal que 𝐵´𝐴´𝐶´ ≅ 𝐵𝐴𝐶.

Axioma 𝐶5: Se 𝐴 ≅ 𝐵 e 𝐴 ≅ 𝐶 então 𝐶 ≅ 𝐵 . Além

disto, todo ângulo é congruente a si mesmo.

Axioma 𝐶6: (𝑙𝑎𝑙) Se dois lados e o ângulo submetido por eles em

um triângulo são correspondentemente congruentes a dois lados e

o ângulo submetido por eles em um segundo triângulo, então os

triângulos são congruentes.

Axioma das paralelas

Axioma 𝑃1: Dados uma reta e um ponto fora dela, existe

uma única paralela a reta dada passando pelo ponto dado.

Modelo da Geometria do Taxista

Plano: plano cartesiano 𝑅2

Retas: subconjuntos dados pela equação 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, com 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅2 e 𝑎2 + 𝑏2 ≠ 0.

O caso 𝑙𝑎𝑙 não é verdadeiro nesta

geometria

Distância de Ponto a reta

Na geometria euclidiana, a distância entre um ponto A e uma

reta l é dada por:

1) a construção da linha perpendicular à linha original que

passa pelo ponto,

2) identificar o B ponto de intersecção das duas retas,

3) medição a distância entre o ponto inicial a e o ponto B do

ponto de intersecção das duas retas.

Uma outra abordagem mais visual é “inflar” um círculo euclidiano

com centro no ponto dado até que o círculo apenas toque (é

tangente a) a reta (Figura 2). Neste caso, a distância à reta é o raio

do círculo tangencial. É esta abordagem que vamos usarpara

explorar conceitualmente a distância entre um ponto e uma reta

na geometria do taxista.

Um círculo na geometria do taxista é inflado sobre o ponto até

que o círculo apenas toca a reta. Note-se que a distância entre o

ponto e a reta é a distância vertical direta a partir do ponto até a

reta.

Mas, talvez, isto é devido ao fato que a reta é tal que sua inclinação

tem um valor absoluto menor do que 1.

E se a linha foi relativamente íngreme? Esta situação é

mostrada na figura abaixo, onde a inclinação da linha tem um

valor absoluto maior que 1. A distância a partir do ponto a

que a linha está agora a distância horizontal directa a partir

do ponto da linha. Assim, a posição da linha tem um impacto

sobre a forma como a distância a um ponto é computada.

Para completar a nossa análise, considere uma reta de

inclinação 1 (ou -1) como na figura. Neste caso, há um

número infinito de caminhos que podem ser seguidos para

calcular a distância a partir do ponto a reta, pois o círculo

inflado realmente se sobrepõe à reta e não apenas a toca em

um ponto.

Da mesma maneira que a posição de um segmento de reta euclidiana afeta

o seu comprimento na geometria do taxista, a posição de uma reta afeta o

modo pelo qual a distância é medida a partir de um ponto . A posição de

objetos que afetam suas propriedades é um tema comum na geometria do

táxi.

Para resumir os casos para calcular a distância entre um ponto e uma reta,

Se a reta é rasa (declive com valor absoluto menor do que um), medir a

distância do ponto à reta é feita ao longo de uma reta vertical.

Se a linha é íngreme (declive com valor absoluto maior que 1), medir a

distância do ponto à reta é medida ao longo de uma linha horizontal.

Se a linha é diagonal (inclinação tem com valor absoluto igual a 1),

medir a distância do ponto à reta ao longo de cada reta horizontal ou

vertical.

Conjunto dos pontos equidistantes de dois pontos

Na geometria euclidiana, o conjunto de pontos equidistantes de

dois pontos é a mediatriz do segmento de reta que liga os pontos.

Vamos usar a mesma estratégia de expansão círculo empregado na

discussão sobre a distância de um ponto a uma linha para ver isto:

Quando esta abordagem é empregada na geometria do taxista,

quatro casos distintos aparecem com base em como os círculos

desta geometria, ao se expandir, se cruzam.

O primeiro caso mostrado na figura a seguir pode facilmente

fazer você pensar que a vida não mudou muito a partir da

geometria euclidiana. Quando a reta que liga os pontos é

horizontal ou vertical, expandindo círculos da geometria do

taxista com centro nos pontos dados, vemos que eles inicialmente

se encontram em um único ponto - o ponto médio do segmento

de reta que liga os pontos. Como os círculos continuam a se

expandir, os círculos se encontram em exatamente dois pontos.

Isto produz a mesma mediatriz do segmento, como no caso da

Geometria Euclideana.

Se a linha que liga os pontos não é horizontal ou vertical, as coisas

começam a mudar. Os círculos em expansão sobre os pontos

inicialmente se encontram num segmento de reta que passa pelo

ponto médio do segmento de reta que liga os pontos. Como os

círculos continuam a se expandir, eles se encontram em exatamente

dois pontos. Os círculos em expansão criam dois raios com origem

nos pontos no segmento mediatriz do segmento ligando os pontos.

Note-se que neste caso, na verdade, se divide em dois casos. Os

raios formados pelas interseções dos círculos irão ter uma

orientação diferente, dependendo da inclinação do segmento de reta

que liga os pontos originais. A figura abaixo mostra um segmento de

reta, com uma inclinação de magnitude maior do que 1, enquanto a

figura anterior ilustra um segmento de reta com uma inclinação

menor do que 1.

Reata apenas o caso em que a inclinação da reta que liga os pontos

é um. Neste caso, os circulos também inicialmente se encontram

em um segmento de reta. Mas, como a expansão continua, os

círculos se encontram em segmentos de reta em vez de pontos.

Isto cria um conjunto equidistante consistindo de duas regiões de

pontos ligados por uma linha diagonal.

Elipse na Geometria do Taxista

Hipérbole na Geometria do Taxista

Parábola na Geometria do Taxista

Por exemplo, dado o triângulo cujos vértices são A, B, e C

(em que A, B, e C não se encontram sobre uma reta)

* As mediatrizes dos lados do triângulo são concorrentes

* As bissetrizes de perímetro para o triângulo com os

vértices do triângulo são concorrentes

* As bissetrizes de vértices do triângulo são concorrentes

* As altitudes do triângulo são concorrentes.

Será que estes teoremas permanecem válidos na Geometria

do Taxista?

Referencia Básica