EDNALDO JOS LEANDRO

UM PANORAMA DE ARGUMENTAO DE ALUNOS DA EDUCAO BSICA: O CASO DO FATORIAL.

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMTICA

PUC/SP So Paulo 2006

EDNALDO JOS LEANDRO

UM PANORAMA DE ARGUMENTAO DE ALUNOS DA EDUCAO BSICA: O CASO DO FATORIAL.

Dissertao apresentada Banca Examinadora da Pontifcia Universidade Catlica de So Paulo, como exigncia parcial para obteno do ttulo de Mestre Profissional em Ensino de Matemtica, sob a orientao da Profa. Dra. Siobhan Victoria (Lulu) Healy.

PUC/SP So Paulo 2006

Banca Examinadora

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Autorizo, exclusivamente para fins acadmicos e cientficos, a reproduo total ou parcial desta Dissertao por processos de fotocopiadoras ou eletrnicos.

Assinatura: _______________________________________ Local e Data: ______________

DEDICATRIAAos meus pais, Edgar(em memria) e Edite minha esposa, Mrcia Elisa Aos meus filhos, Marco, Eduarda e Eduardo

AGRADECIMENTOS

A Secretaria de Educao do Estado de So Paulo pela bolsa de estudo. minha orientadora Lulu Healy por sua orientao e apoio em todo este trabalho. s professoras Snia Pitta e Celi Lopes, pelas sugestes dadas na qualificao. Aos colegas de Mestrado pela amizade e companheirismo. minha esposa Mrcia pela pacincia e apoio durante esta trajetria. minha amiga Rose Marinelli, por sua colaborao e amizade. A toda a minha famlia. Meu muito obrigado!

RESUMOEste trabalho trata do objeto matemtico fatorial. Ele visa contribuir com o projeto Argumentao e Prova na Matemtica Escolar (AProvaME), que tem como uma das metas elaborar um levantamento das concepes sobre argumentao e provas de estudantes brasileiros. Para este levantamento, foram elaborados dois questionrios, um de lgebra e outro de Geometria, aplicados a uma amostra composta por 2012 alunos na faixa etria entre 14 e 16 anos, matriculados na 8 srie do Ensino Fundamental ou 1 srie do Ensino Mdio em escolas no Estado de So Paulo. As questes que analisamos esto inseridas no questionrio de lgebra. Depois de uma anlise descritiva dos dados coletados, que indicou considerveis dificuldades dos alunos em construir argumentos vlidos, uma anlise multidimensional foi efetuada, utilizando o software CHIC. Com os resultados dessa anlise foi possvel identificar principalmente trs grupos distintos de alunos os que no conseguiram resolver as questes com a noo do fatorial; os alunos que privilegiaram o uso de clculos numricos nas suas respostas e os alunos que enfocaram propriedades do fatorial na construo de suas justificativas. Tambm foi possvel identificar aqueles alunos cujos perfis de respostas mais contriburam para a formao de tais grupos. Numa segunda fase, alguns desses alunos foram entrevistados para a obteno de mais informao em relao s motivaes de suas respostas. Nessa fase, o questionrio tambm foi aplicado aos professores de escolas participantes da amostra. Em geral, nossas anlises, tanto quantitativas quanto qualitativas, sugerem que a questo de argumentao e provas, pelo menos em relao multiplicao e diviso, no esto sendo contempladas com esses alunos. Os que conseguiram responder s questes privilegiaram o clculo como a principal ferramenta e poucos foram os que justificaram suas respostas com o uso de propriedades, por exemplo, citando a inversa relao entre multiplicar e dividir.

Palavras Chaves: Prova e Argumentao, Divisibilidade, Fatorial, Analise Multidimensional, Educao Matemtica.

ABSTRACTThis work focuses on the mathematical object factorial. It is part of the project Argumentation and Proof in School Mathematics (AprovaME), which involves a survey of the conceptions of Brazilian students. For this survey, two

questionnaires were developed, one related to the domain of algebra and the other geometry and administered to a sample composed of 2012 students aged between 14 and 16 years, studying in the 8th grade or the 1st year of High School of schools located in the state of So Paulo. The questions analyzed for this study were included in the algebra questionnaire. Following a descriptive analysis of the data collected, which indicated that the students had considerable difficulties in constructing valid mathematical arguments, the data set was subjected to a multidimensional analysis using the software CHIC. The results obtained from this analysis evidenced three distinct groups of students within the sample: those who were unable to respond to questions involving the notion of factorial; students who privileged the use of numeric calculations in their responses; and students who focused on the properties of the factorial in constructing their justifications. It was also possible to identify those students whose response profiles most contributed to the formation of these groups. In a second phase of analysis, some of these students were interviews in order to obtain additional data related to factors motivating their responses. In this phase the questionnaire was also administered to mathematics teachers in schools that made up the sample. In general, the results, both quantitative and qualitative, suggest that the question of argumentation and proof, at least in relation to multiplication and division, is not being contemplated with these students. Calculations were the principle tools used by those who managed to respond to the questions and few students were able to justify their responses using mathematical properties, such as, for example, referring to the inverse relationship between multiplication and division. Keywords: Proof and Argumentation, Divisibility, Factorial, Multidimensional Analysis, Mathematics Education.

SUMRIO

Apresentao......................................................................................................................01 Captulo I Estudos preliminares.......................................................................................02 1.1 Histrico....................................................................................................................03 1.1.1 Certeza e Incerteza ............................................................................................05 1.2 Provas no contexto da Educao Matemtica .........................................................16 Captulo II Procedimentos Metodologicos ......................................................................22 2.1 O Projeto AProvaME Argumentao e Prova na Matematica Escolar ..................22 2.2 Descrio do Questionrio .......................................................................................24 2.2.1 Primeiro bloco Avaliao de vrios argumentos..............................................25 2.2.2 Segundo bloco Construo de provas e argumentos.........................................29 2.3 A Questo A5 - Fatorial ............................................................................................30 2.4 Coleta dos dados......................................................................................................33 2.4.1 Descrio da amostra.........................................................................................33 2.4.2 Aplicao do questionrio...................................................................................33 2.4.3 Codificaes utilizadas na Questo A5 ..............................................................34 2.5 Anlises qualitativa e quantitativa.............................................................................35 2.6 Divisibilidade.............................................................................................................36 2.6.1 Fatorial................................................................................................................36 2.6.2 Divisibilidade em livros didticos ........................................................................38 Captulo III Anlise de Dados ..........................................................................................41 3.1 Anlise descritiva......................................................................................................41 3.1.1 Anlise descritiva geral.......................................................................................41 3.1.2 Anlise por rede de ensino .................................................................................48 3.1.3 Anlise por sries que fequentam ......................................................................51 3.2 Anlise Multidimensional .......................................................................................53 3.2.1 rvore coesitiva ..................................................................................................54 3.3 As entrevistas ...........................................................................................................67 3.4 Dados adicionais Os professores ..........................................................................82 Concluso...........................................................................................................................87 Bibliografia ..........................................................................................................................90 ANEXOS.............................................................................................................................94 Anexo 1 Questionrio de lgebra...................................................................................95 Anexo 2 Questionrio de Geometria ............................................................................100

Anexo 3 Piloto...............................................................................................................105 Anexo 4 Alguns exemplos das codificaes utilizadas.................................................112 Anexo 5 Apndice, em portugus, da ajuda do software CHIC, verso 3.5.................114 Anexo 6 Indicaes do GRUPO TIMA ....................................................................124

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 Circunferncia ...............................................................................................07 Figura 2 Comparao de segmentos mltiplos ..........................................................07 Figura 3 Comparao de segmentos no-mltiplos ....................................................08 Figura 4 Segmentos EF...............................................................................................08 Figura 5 Nosso Modelo................................................................................................11 Figura 6 Crculos mximos .........................................................................................12 Figura 7 Questo A1 do questionrio de lgebra(1 Parte) ........................................27 Figura 8 Questo A1 do questionrio de lgebra(2 Parte) ........................................28 Figura 9 Questo A2 do questionrio de lgebra........................................................29 Figura 10 Questes A3 e A4 do questionrio de lgebra ...........................................30 Figura 11 Questo A5 do questionrio de lgebra......................................................32 Figura 12 Nmero de acertos e erros nas questes ...................................................43 Figura 13 Percentual de acertos e erros nas questes ...............................................43 Figura 14 Acertos questo A5(a) por rede de ensino...............................................49 Figura 15 Acertos questo A5(b) por rede de ensino ..............................................49 Figura 16 Acertos questo A5(c) por rede de ensino ..............................................50 Figura 17 Acertos questo A5(d) por rede de ensino ..............................................50 Figura 18 Acertos questo A5(e) por rede de ensino ..............................................50 Figura 19 Acerto questo A5(a) por sries que frequentam.....................................52 Figura 20 Acerto questo A5(b) por sries que frequentam.....................................52 Figura 21 Acerto questo A5(c) por sries que frequentam .....................................52 Figura 22 Acerto questo A5(d) por sries que frequentam.....................................52 Figura 23 Acerto questo A5(e) por sries que frequentam.....................................52 Figura 24 rvore coesitiva acertos e erros ..............................................................56 Figura 25 rvore coesitiva geral ..................................................................................59 Figura 26 rvore coesitiva do Grupo 3 .......................................................................60 Figura 27 rvore coesitiva do Grupo 4 .......................................................................62 Figura 28 rvore coesitiva do Grupo 5 ........................................................................65 Figura 29 Respostas dadas s questes A5(a) e A5(b) pela aluna 3 .........................71 Figura 30 Respostas dadas s questes A5(c), A5(d) e A5(e) pela aluna 3...............72 Figura 31 Respostas dadas s questes A5(a) e A5(b) pelo aluno 4 .........................73 Figura 32 Resposta dada questo A5(c) pelo aluno 4 .............................................73 Figura 33 Resposta dada questo A5(d) pelo aluno 4 .............................................74 Figura 34 Resposta dada questo A5(e) pelo aluno 4 .............................................74 Figura 35 Respostas dadas s questes A5(a), A5(b), A5(c) e A5(d) pelo aluno 5 ....75

Figura 36 Respostas dadas s questes A5(d) e A5(e) pelo aluno 5 .........................76 Figura 37 Resposta dada questo A5(b) pelo aluno 6 .............................................77 Figura 38 Respostas dadas s questes A5(a) e A5(c) pelo aluno 6..........................77 Figura 39 Resposta dada questo A5(d) pelo aluno 6 .............................................78 Figura 40 Resposta dada questo A5(e) pelo aluno 6 .............................................78 Figura 41 Resposta dada questo A5(a) pelo aluno 7 .............................................80 Figura 42 Resposta dada questo A5(b) pelo aluno 7 .............................................80 Figura 43 Respostas dadas s questes A5(c) e A5(d) pelo aluno 7 .........................81 Figura 44 Resposta dada questo A5(d) pelo aluno 7 .............................................81 Figura 45 Resposta dada questo A5(e) pelo aluno 7 .............................................82 Figura 46 Resposta dada questo A5(a) por professor............................................83 Figura 47 Resposta dada questo A5(c) por professor ...........................................84 Figura 48 Respostas dadas questo A5(d) por professores ....................................84 Figura 49 Resposta dada questo A5(e) por professor............................................85

LISTA DE TABELAS Tabela 1 Respostas Apresentadas pela Amostra .......................................................42 Tabela 2 Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(a) ......44 Tabela 3 Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(c).......46 Tabela 4 Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(d) ......47 Tabela 5 Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(e) ......48 Tabela 6 Nmero de alunos da amostra pertencentes a cada uma das redes de ensino .....49 Tabela 7 Nmero de alunos matriculados na 8 Srie do EF e 1 Srie do EM..........51 Tabela 8 ndice de coeso das classes dos Grupos 1 e 2 ..........................................56 Tabela 9 Clculo das contribuies das variveis suplementares Grupo 1 ................58 Tabela 10 Clculo das contribuies das variveis suplementares Grupo 2 ..............58 Tabela 11 ndice de coeso do Grupo 3......................................................................61 Tabela 12 Clculo das contribuies das variveis suplementares Grupo 3 ..............62 Tabela 13 ndice de coeso do Grupo 4......................................................................63 Tabela 14 Clculo das contribuies das variveis suplementares Grupo 4 ..............64 Tabela 15 ndice de coeso do Grupo 5......................................................................65 Tabela 16 Clculo das contribuies das variveis suplementares Grupo 4 ..............66

LISTA DE QUADROS Quadro 1 Demonstrao clssica da irracionalidade da 2 ........................................09 Quadro 2 Codificaes usadas nas questes A5(a) e A5(c)......................................34 Quadro 3 Codificaes usadas na questo A5(b) .....................................................35 Quadro 4 Codificaes usadas nas questes A5(d) e A5(e)......................................35

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APRESENTAO

Foi proposto pela coordenadora do projeto AProvaME (Argumentao e Provas na Matemtica Escolar), orientadora deste trabalho, que um grupo de cinco mestrandos participantes do projeto fizessem uma anlise estatstica descritiva dos questionrios aplicados na primeira fase do projeto. O objetivo desta fase realizar um mapa das concepes sobre argumentao e prova de estudantes brasileiros. Com este fim, foram elaborados dois questionrios, um de lgebra e outro de geometria, aplicados a uma amostra de alunos da 8 srie do ensino fundamental e 1 srie do ensino mdio no total de 2012 estudantes, cuja faixa etria est entre 14 e 16 anos. Esta dissertao faz parte e visa contribuir com o projeto AProvaME. Elaboramos uma anlise quantitativa e outra qualitativa dos dados obtidos em questes que abordam o fatorial, inserido no questionrio de lgebra do referido projeto. No Captulo 1, elaboramos uma breve viso histrica da prova, focalizando as contribuies e os problemas causados pela intuio humana na rea da matemtica. Citamos ainda pesquisas sobre provas matemticas na rea da Educao Matemtica. Finalizamos o captulo abordando tpicos de divisibilidade, por estarem diretamente envolvidas nas questes que analisamos. No Captulo 2, apresentamos o projeto AProvaME, e a elaborao, descrio, aplicao e codificao dos questionrios. No Captulo 3, com os dados obtidos, elaboramos uma anlise quantitativa, primeiramente usando a estatstica descritiva e em seguida fazendo uma anlise multidimensional com o uso do software C.H.I.C.(Classificao Hierrquica, Implicativa e Coesiva), usando o mtodo de anlise chamado rvore coesitiva, que evidenciou grupos de comportamentos dos alunos na resoluo e justificativas das questes que envolvem o fatorial. Tambm apontou os alunos que mais colaboraram para a formao destes grupos e escolhemos alguns deles para entrevistar.

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CAPTULO IESTUDOS PRELIMINARES

"Uma disciplina [a matemtica] na qual no sabemos do que falamos, nem se o que dizemos verdade". Bertrand Russell (1872-1970)

Todo homem, por natureza, quer saber. Aristteles(384-322a.C.)

Nas frases acima, o ingls Russell e o grego Aristteles citam opinies que podem servir de resumo para o desenvolvimento das provas matemticas. A exigente mente humana sempre causou dvidas e incertezas, estimulando a busca de novos argumentos e mtodos para voltar harmonia. Desenvolvendose assim devido incansvel natureza humana de querer saber, de sempre estar disposto a enfrentar os desafios e super-los. Os matemticos sempre esto em busca da certeza, sendo incansvel e vasta a produo matemtica, mas como em uma linha de produo, nunca descuidam dos padres de qualidade, detectando falhas, reparando-as e buscando aperfeio-las. Neste captulo, abordamos trs tpicos para situar o leitor no universo desta dissertao. Daremos uma idia das provas e seus avanos, sempre atrelada aos problemas causados pela nossa intuio, que tambm se mostrou essencial para novas descobertas na matemtica. Abordamos tambm pesquisas, na rea da Educao Matemtica, cujo foco sejam as provas matemticas e para finalizar abordamos ainda a divisibilidade, j que o tema est diretamente envolvido nas questes que analisamos neste trabalho.

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1.1

HISTRICO

A Matemtica tem suas bases na intuio, idias, argumentos, explorao de hipteses, conjecturas, generalizaes e demonstraes. Sem elas a Matemtica jamais seria a cincia que conhecemos. Neste trabalho mesmo reconhecendo diferenas, como as definidas por Balacheff(1987) e Duval(1993), utilizamos as palavras provas e demonstraes como sinnimos e ambas esto ligadas s validaes das idias matemticas, mesmo sabendo que essas noes evoluram muito com o tempo e hoje encontramos vrios significados para elas. Os Matemticos sempre procuraram dar Matemtica um fundamento slido, no qual a influncia da intuio ficasse de fora - Mesmo causando problemas, polmicas e mal-estar comunidade matemtica ao longo dos sculos - A intuio se mostrou importante como desafio mente humana na busca de solues para os problemas apresentados, sendo assim responsvel direta por grandes avanos, desenvolvendo, ampliando e criando novas reas em toda a matemtica e nas cincias em geral. Boyer(1974, p.35) e Eves(1995, p.25), apontam como o primeiro matemtico preocupado com as demonstraes, Tales de Mileto (c. 600 a.C.). Para ele: A questo primordial no o que sabemos, mas como sabemos. Boyer(1974, p.33). A preocupao de como podemos ter certeza se um raciocnio correto ou no, levou muitos outros matemticos a trabalhar no tema na antiguidade, como: Parmnides(c. 450 a. C.), cuja teoria gerou muitas polmicas, seu discpulo Zeno de Elia(c. 450-a. C.) e Plato(427-347 a.C.). Para este ltimo as coisas que observamos com nossos sentidos no so verdadeiras, o que vemos so apenas imagens distorcidas da verdade pelas imperfeies dos nossos sentidos e as nicas verdades so aquelas concebidas pela razo. Plato discutiu tambm, os fundamentos da Matemtica, esclarecendo algumas definies Matemtica. Aristteles construiu uma sofisticada teoria dos argumentos, cujo ncleo a caracterizao e anlise do chamado silogismo. Ele foi autor de vrios livros e reorganizando a.C.), hipteses. das Seu discpulo mais famoso na foi Aristteles(384-322 uma grandes personalidades Lgica

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(Categorias, Analticos I, Analticos II, o Peri Hermeneias (interpretao), Tpicos e Refutao de argumentos sofistas), que seriam editados por Andrnico de Rodes no sculo I d.C. e que receberam posteriormente o nome de Organon. Um exemplo clssico de raciocnio baseado em premissas e concluses da Lgica Aristotlica conhecido como silogismos, :

Premissa 1: Todo homem mortal Premissa 2: Scrates homem Concluso: Logo Scrates mortal.

atribuda a Aristteles a criao da Lgica Matemtica, sendo dado por ele um grande passo para orientar o pensamento. No entanto, o considervel avano para sistematizar e estruturar os conhecimentos matemticos luz de noes abstratas, deixando de fora o apoio intuitivo, foi dado por Euclides (c. 300 a.C.), com sua obra Os Elementos. Euclides foi um educador e talvez tenha criado sua obra como um livro texto, o que mostra sua preocupao com a educao. O seu inovador mtodo axiomtico ou dedutivo, consistia em admitir como verdadeiras certas proposies (mais ou menos evidentes - axiomas ou postulados) e a partir delas, por meio de um encadeamento lgico, chegar s proposies mais gerais (chamadas teoremas). Euclides pedia para que o leitor aceitasse os cinco postulados a seguir, e cada teorema que surgia em seu sistema lgico era conseqncia direta dos postulados ou dos teoremas j deduzidos a partir destes.

1. Uma linha reta pode ser traada de um ponto para outro qualquer; 2. Qualquer segmento finito de reta pode ser prolongado indefinidamente para constituir uma reta; 3. Dados um ponto qualquer e uma distncia qualquer pode-se traar um crculo de centro naquele ponto e raio igual dada distncia; 4. Todos os ngulos retos so iguais entre si;

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5. Por um ponto no contido em uma reta dada, pode ser traada uma e apenas uma reta paralela reta dada.

Este ltimo postulado conhecido como o postulado das paralelas, que abordaremos mais adiante. Em sua obra, Euclides no apenas contemplou trabalhos de sistematizao da geometria, como tambm muitos trabalhos de outras partes da matemtica. Sua obra possui ao todo 13 livros que abordam:

Livros I-IV, geometria plana elementar; Livro V, teoria das propores de Eudoxo (408 a. C. - 355 a. C.); Livro VI, semelhana de figuras planas; Livros VII-IX, teoria dos nmeros (j encontramos aqui a prova da irracionalidade do nmero 2 ); Livro X, classificao geomtrica de irracionais quadrticos e as suas razes quadrticas; Livros XI-XIII, geometria slida.

1.1.1 CERTEZA E INCERTEZA Os axiomas utilizados por Euclides foram considerados durante sculos como fruto de uma intuio clara e distinta. Hoje sabe-se que os seus postulados eram insuficientes e suas definies imprecisas, porm toda obra de Euclides serviu de inspirao e avanos em toda a Matemtica. Mas, por que sistematizar e estruturar os conhecimentos matemticos luz de noes abstratas, deixando de fora o apoio intuitivo? Os Matemticos sempre criaram argumentos e contra-argumentos, especulando as falhas do uso da intuio, mostrando assim como nossa intuio poderia nos levar a enganos. Bons exemplos foram especulados por Zeno. Com

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seu mtodo dialtico desafiou os conceitos de movimento e de tempo atravs de quatro paradoxos, que criaram uma certa agitao tanto na concepo atomista, preconizadora da existncia dos indivisveis, como na concepo continuista que apresentava o espao, tempo e a matria como divisveis infinitamente. Encontramos em Boyer (1974), esses famosos paradoxos, sendo o que envolve dois corpos, descrito a seguir:

Aquiles aposta corrida com uma tartaruga que sai com vantagem e argumentado que Aquiles por mais depressa que corra, no pode alcanar a tartaruga, por mais devagar que ela caminhe. Pois, quando Aquiles chegar posio inicial da tartaruga, ela j ter avanado um pouco; e quando Aquiles cobrir essa distncia, a tartaruga ter avanado um pouco mais. E o processo continua indefinidamente, com o resultado que Aquiles nunca pode alcanar a lenta tartaruga.Boyer(1974; p.55)

No entanto, sabemos que em um determinado instante o corredor Aquiles alcana e aps ultrapassa a tartaruga. O apelo ao infinitamente pequeno, subdiviso infinita do espao ou tempo, sempre foi polmico e por esse motivo os matemticos preferiam no recorrer a essas noes, evitando embaraos como os apresentados por Zeno. No entanto, nossa intuio no v problemas no uso do infinito, no parecendo algo que devemos recusar. No problema apresentado na Figura 1, verificamos que o uso do infinitamente pequeno no vai chegar a nenhuma incoerncia. Podemos obter a rea da circunferncia de raio r, subdividindo a circunferncia, Figura 1, em vrios tringulos. Sabemos que a rea do tringulo a metade do produto da base pela altura. Imaginemos o segmento AB (base do tringulo) cada vez menor, chegaremos rea da circunferncia somando os infinitos tringulos que surgiram, todos com bases infinitamente pequenas e altura r.

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A r B

Figura 1 Circunferncia

Contudo, como o problema da comparao de dois segmentos utilizados pelos Gregos ilustra, nossa intuio pode nos enganar. Nos tempos do Grego Pitgoras de Samos (c.585-c. 500 a.C.), pensava-se que os nmeros racionais fossem suficientes para comparar segmentos de reta. Isto se mostrou incorreto, abalando muito a filosofia pitagrica. Os Gregos utilizaram o seguinte mtodo: Queremos comparar os segmentos AB e CD . No caso, Figura 2, percebemos que isto possvel e nos basta usar o segmento CD como a unidade, pois o segmento AB um mltiplo do segmento CD , ou que o segmento AB pode ser subdividido em 3 segmentos CD .

A C D

B

Figura 2: Comparao de segmentos mltiplos

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Quando a subdiviso dos segmentos no possvel em um primeiro momento, ou seja, um no mltiplo do outro, obtemos um segmento menor(submltiplo) que sirva de unidade para ambos. Vejamos os segmentos AB e CD , Figura 3.

A C D

B

Figura 3 Comparao de segmentos no-mltiplos

Como o segmento CD no pode ser a unidade, pois AB no mltiplo de CD, obtemos um outro segmento menor EF como unidade, Figura 4.

E

F

Figura 4 Segmento EF

O segmento EF ser a nova unidade, e caber cinco vezes em CD e 8 em

AB .Fazendo uma reflexo podemos chegar, precipitadamente, concluso que sempre possvel obter uma unidade menor (infinitamente menor) que possa ser uma unidade comum a dois segmentos quaisquer. Desta forma, os dois segmentos seriam sempre comensurveis. Entretanto nem sempre isto possvel e os prprios Pitagricos, seguidores da filosofia de Pitgoras, descobriram que no caso de dois segmentos (lado de um quadrado e sua diagonal) no possvel achar um tal segmento que sirva de unidade para ambos os segmentos, por menor que se imagine este terceiro mesmo que nossa intuio diga que possvel e por menor que possamos imagin-lo: pequeno, muito pequeno, pequenssimo, no . Dizemos ento serem segmentos incomensurveis, surgindo assim o conceito de irracional.

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Vamos, como exemplo, construir a demonstrao clssica do nmero

2,

medida da diagonal de um quadrado de lado 1, no um nmero racional, a qual se pode acompanhar sem muitos problemas, j que, sua abordagem bem conhecida e at mesmo sugerida no ensino fundamental. A seguir

demonstraremos que

2 no um nmero racional, atravs da demonstrao por

absurdo dada por Aristteles. Segundo Bongiovanni (2005, p.92), a idia do raciocnio por absurdo foi provavelmente concebida no meio da escola pitagrica. Quadro 1: Demonstrao clssica da irracionalidade da 2 A2 no pode ser representada por um nmero racional, ou seja, nop com p e q Z, inteiros, com q0. No q

pode ser um nmero escrito na forma

entanto, vamos supor: x= 2 , e que por absurdo, existem dois nmeros inteiros p e q Z, primos entre si, tais que x =p q

(isto , suponhamos a frao2

p q

p escrita na forma irredutvel), ento x =2. Logo, = 2 , e p um nmero par q (pois p = 2q) e, conseqentemente, p tambm par (porque se fosse mpar seria do2

tipo

p=2k+1,

para

algum

nmero

inteiro

k

e

ento

p 2 = (2k + 1) = 4k 2 + 4k + 1 = 4 k 2 + k + 1 seria mpar). Se p um nmero par,existe um inteiro k tal que p=2k e assim 4k ' 2 = 2q 2 q 2 = 2k ' 2 . Ento q seria par (porque q par, pelo mesmo raciocnio anterior para p ), o que absurdo visto que p e q so primos entre si. Em outras palavras: Como supomos que2 era um nmero racional irredutvel e chegamos concluso

(

)

que tanto p como q so pares, logo so divisveis, no mnimo por 2, conclumos que tal nmero no existe, ento2 no um nmero racional.

Mesmo na obra de Euclides, que foi aceita por sculos e por mais de dois milnios foi utilizada na aprendizagem da matemtica, encontramos contradies. A mais famosa a do quinto postulado(o postulado das paralelas), alvo de muitas controvrsias e vrias tentativas de provas, por muito tempo. O prprio Euclides e

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muitos dos seus sucessores tentaram demonstrar esta proposio a partir de outros postulados da geometria, pois acreditavam que este postulado fosse independente dos outros quatro e ningum obteve sucesso. A seguir relembramos o enunciado do famoso quinto postulado de Euclides:

" Por um ponto no contido em uma reta dada, pode ser traada uma e apenas uma reta paralela reta dada..

As tentativas de prov-lo somente terminaram no sculo XIX, quando o Matemtico alemo Karl Friedrich Gauss (1777-1855) convenceu-se da no demonstrabilidade desse postulado e a possibilidade da construo de sistemas geomtricos no euclidianos. Assim nascem as Geometrias No-Euclidianas, com esforos simultneos de Gauss, Janos Bolyai (1802-1860), Nikolai Ivanovitch Lobatchewski (1792-1856) e Bernhard Riemann (1826-1866), que com trabalhos independentes constroem uma nova geometria (A Geometria No-Euclidiana), na qual o postulado das paralelas no vale mais. Confirmando-se assim que o Postulado das Paralelas era realmente independente dos demais. Modelos de Geometrias No Euclidianas: Geometria de Lobatchevsky ou Geometria Hiperblica Este modelo creditado independentemente a Nicolai Lobachevski e Jnos Blyai. possvel criar o plano hiperblico que interpretado no espao tridimensional euclidiano por uma superfcie denominada parabolide hiperblico estabelecendo que:

Por um ponto exterior a uma reta podemos traar uma infinidade de paralelas a esta reta.

Geometria Riemanniana ou Geometria Elptica ou Esfrica Creditada a Bernhard Riemann. O plano elptico interpretado no espao quadridimencional por uma superfcie semelhante esfera estabelecendo que:

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" Por um ponto exterior a uma reta no podemos traar nenhuma paralela a esta reta.. A seguir elaboramos um modelo baseado na geometria Riemanniana para termos uma melhor compreenso dessa nova geometria, em que o quinto postulado de Euclides no vlido. Imaginemos que nosso plano a superfcie de uma esfera (Figura 5), percebemos que nesse plano nossas retas so circunferncias, representado pelas circunferncias r, s e t, na mesma figura. Um segmento de reta no nosso plano representado por um arco, observe que o menor caminho entre dois pontos continua sendo um segmento de reta. Na figura podemos verificar esse fato no arco PQ. Podemos ainda verificar que no nosso modelo o quinto postulado de Euclides, no vlido, perceba que pelo ponto P podemos traar s, t e infinitas outras retas-circunferncias paralelas (no tendo pontos em comum) a retacircunferncia r.

Figura 5: Nosso Modelo

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Podemos ainda especulando o modelo, Figura 6, considerarmos como retas apenas os crculos mximos. Percebemos assim, que no ser possvel traar por nenhum ponto fora da reta r, uma reta paralela a esta. Percebemos ainda que a soma dos ngulos internos de um tringulo ser maior que 180(a prova de que a soma dos ngulos de um tringulo igual a 180 conseqncia direta da unicidade das paralelas), observe o nosso tringulo APB e outros.

Figura 6. Crculos mximos

Uma das preocupaes constantes dos Matemticos foi o de banir da matemtica toda existncia de contradio nela presente, uma vez que no poderia ser construda sobre alicerces que gerassem contradies, pois, poderse-ia ruir todo o edifcio matemtico construdo sobre eles. Este perodo de incerteza muito bem retratado na frase de Russell, no incio deste captulo. Vrios trabalhos surgiram objetivando tornar a matemtica consistente, ou seja, nos quais as verdades evidentes e qualquer intuio ficassem do lado de fora, como os liderados por Dedekind e Weierstrass, passaram da geometria aritmtica como fundamento para a matemtica.

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No final do prprio sculo XIX os estudos da Lgica Matemtica deram passos gigantescos no sentido da formalizao dos conceitos e processos demonstrativos. Entre os matemticos e filsofos que mais contriburam para os avanos destacaram-se: Gottlob Frege (1848-1925), cujas obras principais datam de 1879 e 1893, o primeiro a apresentar o clculo proposicional na sua forma moderna; Giuseppe Peano (1858-1932) um dos pioneiros na lgica matemtica e na axiomatizao da matemtica; Bertrand Russel e Alfred Whitehead (18611970) na obra Principia Mathematica procuraram desenvolver o projeto do logicismo, isto , a reduo das matemticas lgica; David Hilbert (1862 1943) com seu enfoque formalista, entre outros, como: Sophus Lie(1842-1899); Felix Klein(1849-1925); Henry Poincar(1854-1912); Dery Lebesgue (1875-1941); L.E.J. Brouwer (1881-1961) e Geoge F Cantor(1845-1918) e sua obra, Teoria dos Conjuntos, que parecia simples e poderia assim servir de alicerce para a construo de toda a matemtica partindo-se de princpios lgicos aplicados a eles. No entanto apresentou tambm paradoxos, como o de Russell. Para entend-lo vamos citar a seguir o paradoxo do Barbeiro que semelhante na formulao ao de Russell:

...como o barbeiro da cidade que barbeia todos aqueles, esomente aqueles, que no barbeiam a si mesmo. O barbeiro est ou no includo no conjunto daqueles que barbeiam a si mesmo? Boyer,(p. 449)

Se o barbeiro no se barbeia, ele est no conjunto das pessoas que no barbeiam a si mesmo, logo ele poderia fazer a barba. No entanto, no momento em que comea a fazer a barba, estar quebrando a regra, pois estar fazendo a barba de algum que se barbeia. Em meio dessas controvrsias do sistema lgico, Hanna (1995) descreve que trs escolas famosas surgiram nessa poca, com suas particularidades, e mantiveram vises diferentes sobre o papel da demonstrao em matemtica e ainda sobre os critrios de validade de uma demonstrao matemtica (p. 42). Estas escolas so:

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LOGICISTA Os logiscistas como Frege, Russel & Whitehead defendiam que a lgica era um ramo da Matemtica. Pretendiam reduzir todos os conceitos matemticos a conceitos lgicos e demonstrar todas as verdades matemticas a partir dos axiomas utilizando as regras de inferncia lgica, afastando-se de concepes empricas e intuitivas. Para isso teriam de mostrar que todas as proposies matemticas podem ser expressas na terminologia da lgica. INTUCIONISTA Nascida por volta de 1908, o toplogo holands L.E.J. Brouwer defendia que a Matemtica teria de ser desenvolvida apenas por mtodos construtivos finitos sobre a seqncia dos nmeros naturais, dada intuitivamente, ou seja, que existe uma intuio primitiva dos nmeros naturais. FORMALISTA Pretendia organizar toda a matemtica numa estrutura lgica, em um sistema de axiomas, seu defensor mais radical foi David Hilbert (18621943) que em 1900 provou a consistncia interna da geometria elementar. Hilbert props construir um formalismo matemtico do qual seria extinto qualquer tipo de significado, e na demonstrao teramos sua consistncia de forma absoluta e para toda e qualquer proposio da matemtica haveria uma maneira formal de se declar-la falsa ou verdadeira.

O objetivo de minha teoria estabelecer de uma vez por todas a certeza dos mtodos matemticos... O estado atual das coisas, em que nos chocamos com os paradoxos, intolervel. Imaginem as definies e os mtodos dedutivos que todos aprendem, ensinam e usam em matemtica, os paradigmas de verdade e de certeza, conduzindo a absurdos! Se o pensamento matemtico defeituoso, onde acharemos verdade e certeza? (David Hilbert, apud DAVIS & HERSH, 1996, p. 315-316)

O grupo Nicolas Bourbaki, pseudnimo adotado por um grupo de matemticos franceses a partir de meados da dcada de 1930, um bom exemplo da influncia do formalismo. Este grupo teve grande influncia no ensino da matemtica nos nveis mais elementares no advento do movimento da matemtica moderna.

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Estas novas filosofias, no entanto, no ficam imunes s controvrsias e argumentos paradoxais. Por exemplo, o paradoxo de Russell atacou a definio de nmero de Frege, causando abalos no programa logicista. J no programa formalista o artigo Sobre proposies formalmente indecidveis dos Principia Mathematica e outros sistemas semelhantes, de Kurt Gdel (1906-1978) em 1931, ficou demonstrado a incompletude de todo sistema axiomtico expressivo o suficiente para conter a teoria dos nmeros. Provou-se que no h e nem poderia haver um sistema formal no qual se possa expressar toda a aritmtica, como sonhava Hilbert e que satisfaa todas as exigncias de consistncia do programa formalista. Por ltimo gostaramos de abordar a grande dificuldade na compreenso das demonstraes matemticas para um homem que no seja um exmio matemtico profissional. A respeito, quando perguntado a Hilbert: se os 23 problemas, por ele anunciados, no 2 Congresso Internacional de Matemticos realizado em Paris em 1900 estavam todos solucionados, ele respondeu:

Uma teoria matemtica no pode ser considerada completa enquanto no for possvel torn-la to clara a ponto de poder ser explicada ao primeiro homem que se encontre na rua. (Yandell, 2002)

Como exemplo da complexidade de um trabalho demonstrativo aceito nos dias de hoje pela comunidade matemtica, citamos a demonstrao do famoso ltimo Teorema de Fermat, nela provou-se que no existe nenhum conjunto den n n inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaa x + y = z ,

realizada em 1986 pelo Ingls Andrew Wiles Fermats Last Theorem, Wiles(1995). Se

Modular eliptic curves and procurarmos pelo mundo,

encontraremos pouqussimas pessoas que a entendam completamente. Mesmo com os problemas, certezas e incertezas em tudo que foi exposto sucintamente at agora a Matemtica evoluiu muito. No conhecemos nenhum Matemtico da atualidade que no concorde que de Tales aos dias atuais, as demonstraes matemticas evoluram extraordinariamente. Podemos dizer que

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atualmente o rigor matemtico estruturado, possuindo uma linguagem universal e confivel, embora ainda existindo vrias polmicas, como as entre formalistas, logicistas e intucionistas, ou da utilizao de computadores em uma demonstrao, como na conjectura das quatro cores, que foi verificada para todos os casos com computador, por W. Haken e K. Appel, em 1976. A matemtica est em uma constante evoluo e todas as pedras surgidas no caminho colaboraram para o fortalecimento de suas estruturas e para dar-lhe uma preciso que no encontramos em nenhuma outra rea do conhecimento humano. Entretanto, a complexidade associada demonstrao e ao processo de prova parece consenso. Dado esta complexidade vrios pesquisadores tem explorado o ensino e aprendizagem da prova matemtica.

1.2 PROVAS NO CONTEXTO DA EDUCAO MATEMTICA

Ao longo do desenvolvimento da Educao Matemtica diversas pesquisas associadas demonstrao matemtica tm sido realizadas. Essas pesquisas tm explorado os mais diversos aspectos da demonstrao, inclusive as realizadas na sala de aula da escola bsica, mesmo essas demonstraes estando longe das demonstraes formais. Hoje, vemos as produes dos alunos em sala de aula no apenas como erros e deficincias em relao s demonstraes, mas como etapas de um processo na apropriao e domnio das demonstraes matemticas. Muitas pesquisas esto sendo realizadas para termos uma melhor viso desse delicado processo de transio e evoluo das conexes informais para as formais, pois possvel colaborarmos para que os alunos avancem nos raciocnios utilizados. Dentre as vrias pesquisas em Educao Matemtica, nos possibilitando compreender melhor o assunto, podemos citar os trabalhos de: Hiele (1976), que estabelece nveis hierrquicos de raciocnio ao longo da aprendizagem do pensamento geomtrico; Arsac (1987), que estudou a gnese histrica da demonstrao; Barbin (1988), que focou o estudo nas significaes epistemolgicas e as questes didticas da demonstrao matemtica; Bkouche

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(1989), que estudou a demonstrao em Geometria e ressalta a necessidade de se fazer o estudo epistemolgico antes de introduzi-la no ensino da Matemtica; Garnica (1995), que concentrou na formao de professores; e Hanna (2001), que discute o papel da prova do ponto de vista histrico-epistemolgico. Destacamos o grande nmero de autores nos trabalhos pesquisados que reconhecem a geometria como campo privilegiado para a abordagem das demonstraes. Outros autores propem classificar os tipos de provas elaboradas pelos alunos. Por exemplo, Coe & Ruthven (1994), apresentam trs nveis de provas: demonstrao-emprica, demonstrao-dedutiva fraca e demonstrao-dedutiva forte e Balacheff(1987) distingue entre provas pragmticas e provas intelectuais. Os trabalhos de Balacheff(1988) so particularmente importantes pois encontramos uma relevante investigao sobre os processos de provas com alunos de 12 a 15 anos, que privilegiamos na elaborao dos questionrios do projeto AProvaME e utilizamos nesta dissertao. Nesse trabalho (Balacheff (1988)) encontramos definies de alguns termos importantes como explicao, provas e demonstrao. Para ele o termo explicao uma idia primitiva da qual deriva os termos prova e demonstrao. A seguir descrevemos os termos definidos e hierarquizados por Balacheff, denominado, tipos de sofisticaes de provas 1. Acrescentamos o termo argumentao. A argumentao, definida como qualquer discurso destinado a obter o convencimento do interlocutor sobre uma determinada afirmao; A explicao, em que busca-se o convencimento a partir da explicitao do carter verdadeiro da afirmao; A prova, so explicaes aceitas por certa comunidade em um certo momento, e finalmente; A demonstrao, so provas que seguem regras determinadas e so aceitas pela comunidade matemtica. Na sua pesquisa com alunos adolescente Balacheff estuda os argumentos utilizados por eles para seu prprio convencimento e categoriza estes como:

1

Apesar das diferenas entre prova e demonstrao delineadas nas definies de Ballacheff, usamos os termos como sinnimos, utilizando uma definio no qual o termo prova e demonstrao so tratadas como explicao que so vlidas matematicamente, mesmo no apresentada necessariamente na forma axiomtica.

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Provas Pragmticas e Provas Intelectuais. Para ele, os alunos usam provas pragmticas quando utilizam a ao (baseados em manipulaes ou exemplos concretos) e as Provas Intelectuais quando utilizam aes interiorizadas (baseadas em formulaes abstratas de propriedades matemticas e de relaes entre elas). Esses tipos de provas, categorizadas por Balacheff, ainda so subdivididas em quatro outras, a saber: 1. empirismo ingnuo; 2. experincia crucial; 3. exemplo genrico e 4. experincia mental. Nesta ordem e hierarquia. Em seu trabalho encontramos uma descrio de cada um desses tipos de provas, obtidas aps anlise das repostas apontadas pelos alunos a um problema que envolve o nmero de diagonais de um polgono. A seguir, acompanharemos a traduo desses tipos que obtemos em Gravina (2001, p.66):...No empirismo ingnuo, os alunos determinam experimentalmente que o nmero de diagonais de um certo pentgono 5; modificam a forma do pentgono e conferem novamente a constatao inicial; da concluem peremptoriamente que um hexgono tem 6 diagonais. Na experincia crucial os alunos fazem experincia com um polgono de muitos vrtices (uma imensa figura), buscando depreender generalizao emprica, buscando a validao em outros casos particulares. No exemplo genrico os alunos utilizam o caso particular do hexgono para explicao, mas desprendem-se de particularidades, o que d indcios de pensamento dedutivo: num polgono com 6 vrtices, em cada vrtices temos 3 diagonais. Assim so 18 diagonais: mas como uma diagonal une dois pontos, o nmero de diagonais 9. O mesmo acontece com 7 vrtices 8,9..... E finalmente, na experincia mental os alunos se desprendem do caso particular o que transparece na argumentao: em cada vrtice o nmero de diagonais o nmero de vrtices menos os dois vrtices vizinhos; preciso multiplicar isto que encontramos pelo nmero de vrtices, porque em cada vrtice parte o mesmo nmero de diagonais . Mas estamos contando cada diagonal duas vezes; o nmero de diagonais que procuramos se encontra dividido por 2 e obtemos uma vez cada diagonal

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Para Balacheff, o empirismo ingnuo e a experincia crucial, esto categorizados como provas pragmticas, j a experincia mental est categorizada como prova intelectual (Gravina, 2001). O exemplo genrico ele classifica, conforme o caso, ora em provas pragmticas, ora como provas intelectuais. Esses tipos de raciocnios descritos por Balacheff so importantes, pois podemos identificar os nveis de conhecimentos dos alunos e assim contribuir com atividades para que avancem entre os tipos apresentados. Aqui reside uma noo fundamental: possvel ensinarmos a demonstrao matemtica? As dificuldades dos alunos em construir provas so tambm assuntos que ocupam a ateno dos pesquisadores, por exemplo, Marrades & Gutierrez (2000). Vrios trabalhos apontam que os alunos no tm o hbito de apresentar justificativas nem demonstraes formais, Fonseca (2000); Rocha (2002); Healy e Hoyles (1998), entre outros. Healy e Hoyles realizaram um estudo das concepes de provas matemticas com alunos ingleses com idades entre 14 e 15 anos. Constataram que o argumento emprico muito forte e que os alunos possuem muitas dificuldades na elaborao de provas mais formais, concluiu-se que tais dificuldades no se devem somente a competncias dos alunos como tambm a fatores curriculares. Os questionrios elaborados por Healy e Hoyles j foram adaptados e utilizados em diversos pases, entre estes, destacamos a pesquisa realizada em Taiwan(Lin et al., 2003). Os apontamentos dessas pesquisas esto de acordo com estudos internacionais. Tais como TIMSS ( Terceiro Estudo Internacional de Matemtica e Cincias) e o PISA (Programa Internacional de Avaliao de Estudantes), realizados em diversos pases para uma avaliao curricular, procurando avaliar as competncias dos alunos. Estas pesquisas apontam muitas dificuldades associadas ao ensino e aprendizagem das provas matemticas. So muitas as diferenas encontradas nos diversos pases estudados, os alunos de pases da sia como: Coria, Singapura e Taiwan apresentam desempenhos muito altos nas avaliaes, enquanto pases como: Alemanha (Europa) e Estados Unidos (Amrica) ficam na mdia dos estudos, mesmo tendo estes um poder financeiro maior e um nmero menor de alunos por sala, comparados com Coria e Taiwan.

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Nas salas de aulas de Taiwan, o ensino dirigido pelo professor de forma tradicional, tendo o aluno pouca participao, a ele cabe apenas praticar e memorizar os conceitos e procedimentos matemticos ensinados. Enquanto os alunos alemes tm participao ativa em todo o processo, cabendo ao professor o papel de facilitador na apropriao dos conceitos e procedimentos matemticos por parte dos alunos, respeitando sempre os nveis cognitivos. Cabe ressaltar que o Brasil no participou do TIMSS. Na verdade poucos pases latinos participaram. No entanto, mesmo estes poucos quando participaram, tiveram um desempenho muito ruim. O Brasil participa do PISA desde 2000, ficando sempre nas ltimas posies em Matemtica. Temos ainda pesquisas que acompanham a trajetria da evoluo do raciocnio matemtico. Destacamos o projeto The Longitudinal Proof Project, desenvolvido pelas pesquisadoras Celia Hoyles e Dietmar Kchemann realizado entre 1999 e 2003 com alunos ingleses. Entre os resultados verificamos que com o tempo o raciocnio dedutivo dos alunos no avanou, o que melhorou foi o clculo. Nos itens que necessitavam de clculos e que se solicitava apresentao de justificativa ou razo, os alunos no entendiam o significado de dar justificativa ou razo. Alguns alunos interpretavam apenas como detalhar o que estavam pensando ou explicar o que haviam feito. Como a associao, desempenho dos alunos e currculos fundamental, destacamos a tese brasileira (Pietropaolo, 2005), no qual um dos objetivos foi tambm procurar compreenses sobre a necessidade e a acessibilidade da implementao de provas e demonstraes nos currculos de Matemtica da Educao Bsica brasileira. De maneira geral, os Parmetros curriculares Nacionais (PCN) de matemtica matemticas. da educao bsica brasileira indicam as demonstraes

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Embora nestes Parmetros a Lgica no se constitua como um assunto a ser tratado explicitamente, alguns de seus princpios podem e devem ser integrados aos contedos, desde os ciclos iniciais, uma vez que ela inerente Matemtica. No contexto da construo do conhecimento matemtico ela que permite a compreenso dos processos; ela que possibilita o desenvolvimento da capacidade de argumentar e de fazer conjecturas e generalizaes, bem como o da capacidade de justificar por meio de uma demonstrao formal. (PCN, 1998, p. 49)

O ensino de Geometria no ensino fundamental est estruturado para propiciar uma primeira reflexo dos alunos atravs da experimentao e de dedues informais sobre as propriedades relativas a lados, ngulos e diagonais de polgonos, bem como o estudo de congruncia e semelhana de figuras planas. Para alcanar um maior desenvolvimento do raciocnio lgico, necessrio que no ensino mdio haja um aprofundamento dessas idias no sentido de que o aluno possa conhecer um sistema dedutivo, analisando o significado de postulados e teoremas e o valor de uma demonstrao para fatos que lhe so familiares. No se trata da memorizao de um conjunto de postulados e de demonstraes, mas da oportunidade de perceber como a cincia Matemtica valida e apresenta seus conhecimentos, bem como propiciar o desenvolvimento do pensamento lgico dedutivo e dos aspectos mais estruturados da linguagem matemtica. Afirmar que algo verdade em Matemtica significa, geralmente, ser resultado de uma deduo lgica, ou seja, para se provar uma afirmao (teorema) deve-se mostrar que ela uma conseqncia lgica de outras proposies provadas previamente... (PCN+, 2002, p.124-125).

Neste Captulo, elaboramos uma viso histrica das provas matemticas, e vrias pesquisas na Educao Matemtica, que abordando as provas matemticas em vrias perspectivas.

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CAPTULO IIPROCEDIMENTOS METODOLOGICOSNeste captulo apresentaremos o projeto AProvaME, do qual este trabalho faz parte. As questes que analisamos se encontram inseridas no questionrio de lgebra, utilizado juntamente com outro que aborda Geometria. Estes questionrios, adaptados daqueles elaborados por Healy e Hoyles (1998), visam obter um levantamento das concepes de argumentao e provas elaboradas pelos alunos de escola do Estado de So Paulo. Abordamos ainda as diversas etapas envolvidas em todo o processo desta contribuio ao projeto.

2.1 O PROJETO APROVAME Argumentao e Prova na Matemtica EscolarNo Brasil o nmero de pesquisas sobre provas matemticas ainda modesto, mas tem aumentado o interesse dos pesquisadores brasileiros sobre o tema, por exemplo: Vianna (1988); Cury.(1988), Gouvea (1988); Gravina (2001); Vaz(2004), entre outros. O que pouco, no entanto, mostra-se um comeo para uma bibliografia brasileira sobre o assunto. Uma pesquisa brasileira sobre provas atualmente em andamento a realizada pelo Programa de Estudos Ps-Graduados em Educao Matemtica da PUC-SP, com Coordenao da professora Doutora Siobhan Victoria Healy , com o ttulo: Argumentao e Prova na Matemtica Escolar(AProvaME), denominado de agora em diante por projeto. O projeto ter a durao de dois anos e conta com uma equipe formada por seis pesquisadores e vinte e sete professores-colaboradores( Mestrandos do curso de Mestrado Profissional no Ensino de Matemtica da PUC/SP). Esta equipe participar das duas fases previstas no projeto.

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Quinzenalmente, durante toda a primeira fase do projeto, foram realizados encontros dos pesquisadores e professores-colaboradores. Alm desses encontros foi disponibilizado um espao virtual TELEDUC (ambiente para realizao de cursos distncia atravs da Internet) para facilitar a comunicao entre os membros da equipe no compartilhamento das decises e aes no mbito do projeto. O projeto leva em considerao diversos fatores, como: - A importncia da prova na formao dos alunos; - A falta de levantamentos mostrando as concepes de provas de alunos brasileiros; - Pesquisas em outros pases apontarem que os alunos no tm o hbito de apresentarem justificativas nem demonstraes formais; - Apontamentos para as dificuldades e confuses no estudo das provas matemticas, (Healy e Hoyles, 2000). O projeto est realizando em uma primeira fase, um levantamento das concepes e dificuldades de alunos brasileiros. Para isso, foram elaborados pela equipe, dois questionrios, um abordando questes de lgebra e outro de Geometria. Esse levantamento subsidiar a segunda fase que focar: 1. Aprendizagem, das reas de dificuldades levantadas pelos

questionrios. 2. O Ensino, tendo o professor como a figura central.

OBJETIVOS DO PROJETO 1. Levantar um mapa das concepes sobre argumentao e prova de

alunos adolescentes em escolas do estado de So Paulo. (grifo nosso); 2. Formar grupos colaborativos compostos por pesquisadores e

professores para a elaborao de situaes de aprendizagem, visando envolver

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alunos em processos de construo de conjecturas e provas em contextos integrando ambientes informatizados; 3. Criar um espao virtual de compartilhamento entre os membros da

equipe do projeto e analisar seu papel no desenvolvimento das situaes de aprendizagem, assim como na evoluo de conhecimentos pedaggicos sobre prova em Matemtica; 4. Avaliar situaes de aprendizagem em termos da compreenso dos

alunos sobre a natureza e funes de prova em Matemtica; 5. Investigar a implementao de determinadas atividades por

diferentes professores e assim identificar em que medida sua participao nos grupos colaborativos fornece uma apropriao desta abordagem para o ensino e aprendizagem de prova; 6. Formular recomendaes relacionadas ao papel da argumentao e

da prova no currculo de Matemtica escolar; 7. Contribuir para o debate internacional sobre o ensino e

aprendizagem de prova em Matemtica. O objetivo de efetuar um levantamento das concepes sobre

argumentaes e provas de alunos adolescentes em escolas do Estado de So Paulo tem para ns uma importncia central, tendo em vista, nesta dissertao, efetuarmos exatamente uma parte desse levantamento, com a anlise descritiva dos dados obtidos nas questes que abordam o fatorial inserido no questionrio de lgebra, elaborado pela equipe. A seguir, detalharemos a elaborao do questionrio de lgebra, no qual analisaremos os dados de uma das questes.

2.2 DESCRIO DO QUESTIONRIOPara obter um levantamento das concepes sobre argumentao e prova dos alunos, foram elaborados dois questionrios, sendo que o primeiro abordava questes de lgebra (anexo 1), e o segundo questes de Geometria (anexo 2).

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Foram elaborados com base naquele concebido por Healy e Hoyles (1998) na Inglaterra e j utilizado em outros pases como Frana, Taiwan, Israel e Austrlia. Mesmo tendo como ponto de partida os questionrios concebidos por Healy e Hoyles, a equipe se reuniu diversas vezes para discutir e elaborar os questionrios que seriam aplicados. Nessa etapa, a participao dos professorescolaboradores foi primordial, pois formava-se um privilegiado grupo de professores atuantes nas reas de ensino, tanto da educao bsica como superior, em todas as redes de ensino - estadual, municipal e particular com a maior parte concentrada na educao bsica. Antes de chegarmos aos questionrios finais, aplicamos um questionrio piloto (anexo 3), para obtermos mais informaes quanto: o tipo de questo a utilizar, o nmero, o tempo de aplicao, o formato das questes, entre outros. Os questionrios compreenderam questes que visaram avaliar em que medida os estudantes aceitam evidncias empricas como prova, distinguem evidncias empricas de argumentos matematicamente vlidos, compreendem o domnio de validade de uma prova e, se so capazes de construir argumentos vlidos, sendo estruturados e organizados, em dois blocos, a saber: - Avaliao de vrios argumentos apresentados como provas de uma dada afirmao, e - Construo de provas e argumentos. Prosseguiremos descrevendo estas estruturas e organizaes no

questionrio de lgebra, tendo em vista nossa dissertao analisar questes inseridas neste segundo bloco. Apesar de no descrever o questionrio de geometria, ele segue o mesmo padro.

2.2.1 - PRIMEIRO BLOCO - AVALIAO DE VRIOS ARGUMENTOS APRESENTADOS COMO PROVAS DE UMA DADA AFIRMAO. No questionrio de lgebra, encontramos cinco questes indicadas por A1, A2, A3 , A4 e A5. As questes A1 e A2 encontram-se caracterizadas neste primeiro bloco.

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Questo A1 Na questo A1, buscamos obter a viso que os alunos possuem sobre prova, sua funo e generalizao. Foi apresentada na questo, demonstraes elaboradas por supostos alunos (Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna), e eles deveriam fazer duas escolhas: na primeira, escolher entre as provas apresentadas a que seria mais parecida com a resposta que daria se tivesse que resolver a questo e na segunda aquela que a seu ver o professor atribuiria a melhor nota, Figura 7. Nas provas apresentadas pelos supostos alunos dessa questo foram privilegiados os tipos de prova definidos por Balacheff. A seguir descreveremos sucintamente cada uma das provas apresentadas na questo: - Na resposta de Artur, temos um estilo formal, apresentando um argumento lgico feito entre premissas e concluses. Tipo de prova intelectual (experincia mental) caracterizado pela apresentao de dedues lgicas baseadas em propriedades. - Na resposta de Beth, temos o tipo de prova classificado como empirismo ingnuo, caracterizado pela constatao de apenas alguns casos. - Na resposta de Duda, temos argumentos classificados como experincia crucial, caracterizada pela verificao exaustiva da proposio num caso particular tido como tpico. - Na resposta de Franklin e Hanna temos o tipo caso genrico, caracterizado pela apresentao de comum. propriedades aplicadas sobre um caso

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A1: Artur, Beth, Duda, Franklin e Hanna estavam tentando provar que a seguinte afirmao verdadeira: Quando voc soma dois nmeros pares quaisquer, o resultado sempre par. Resposta de Artur a um nmero inteiro qualquer b um nmero inteiro qualquer 2a e 2b so nmeros pares quaisquer 2a +2b = 2 (a + b) Ento Artur diz que a afirmao verdadeira. Resposta de Duda Nmeros pares terminam em 0, 2, 4, 6 ou 8. Quando voc soma dois destes, a resposta vai ainda terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. Ento Duda diz que a afirmao verdadeira. Ento Franklin diz que a afirmao verdadeira Resposta de Hanna 8 + 6 = 14 8=2x4 6=2x3 14 = 2 x (4 + 3) 8+6= 2x7 Ento Hanna diz que a afirmao verdadeira Das respostas acima, escolha uma que a mais parecida com a resposta que voc daria se tivesse que resolver esta questo. Resposta de Beth 2+2=4 2+4=6 2+6=8 4+2=6 4+4=8 4 + 6 = 10

Ento Beth diz que a afirmao verdadeira.

Resposta de Franklin

Das respostas acima, escolha aquela para a qual voc acha que seu professor daria a melhor nota.

Figura 7. Questo A1 do questionrio de lgebra(1 Parte)

Em seguida, para obtermos mais informaes sobre a viso dos alunos, em suas escolhas na questo anterior, pedimos para que avaliassem cada uma das supostas demonstraes elaboradas por eles, quanto a sua generalizao e respondessem se cada uma delas era: sempre verdadeira ou se apenas era

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vlida em alguns casos, e que para cada tipo apresentado teriam que assinalar uma das opes: sim, no ou no sei. Figura 8.

A afirmao : Quando voc soma dois nmeros pares quaisquer, o resultado sempre par. Para cada resposta abaixo, circule SIM, NO ou NO SEI.

Mostra que a afirmao Mostra que a afirmao verdadeira apenas para sempre verdadeira. alguns nmeros pares. Resposta de Artur Resposta de Beth: Resposta de Duda: Resposta de Franklin: Resposta de Hanna:Sim No No sei Sim No No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Sim

No

No sei

Figura 8. Questo A1 do questionrio de lgebra(2 Parte)

Questo A2 Na questo A2 (Figura 9) buscamos obter dos alunos sua compreenso de um resultado j provado e a percepo da generalidade de uma prova ou se para eles a prova no abrangente.

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A2. Suponha que j foi provado que: Quando voc soma dois nmeros pares quaisquer, o resultado sempre par. Z pergunta o que precisa ser feito para provar que: Quando voc soma dois nmeros pares maiores que 100, o resultado sempre par.Escolha A ou B: Z no precisa fazer nada, pois a afirmao j foi provada.

Z precisa construir uma nova prova.

Figura 9. Questo A2 do questionrio de lgebra

2.2.2

-

SEGUNDO

BLOCO

-

CONSTRUO

DE

PROVAS

E

ARGUMENTOS. Este segundo bloco conta no questionrio de lgebra, com trs questes A3, A4 e A5. Nessas trs questes, esperamos conhecimentos como a manipulao e uso de expresses algbricas, vises de propriedades e generalizaes.

Questes A3 e A4 Nas questes A3 e A4 (Figura 10), pedimos para que os alunos respondessem cada questo e justificassem suas respostas para que pudssemos avaliar o tipo de conhecimento que adotavam na elaborao de suas respostas, se eram argumentos empricos, propriedades, ou provas completas, etc.

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A3. A afirmao abaixo verdadeira ou falsa? Quando voc soma dois nmeros mpares quaisquer, o resultado sempre par.

Justifique sua resposta.

A4. A afirmao abaixo verdadeira ou falsa? Quando voc soma um mltiplo de trs qualquer com um mltiplo de seis qualquer, o resultado sempre um mltiplo de trs.

Justifique sua resposta. Figura 10. Questes A3 e A4 do questionrio de lgebra

Nesta dissertao trabalhamos com os dados especficos obtidos na ltima questo do segundo bloco. Descrevemos esta, questo A5, em detalhes na seco seguinte.

2.3 A QUESTO A5 - FATORIALA questo A5 aborda problemas envolvendo o fatorial e nela encontramos cinco subitens, que denominaremos como questes: A5(a), A5(b), A5(c), A5(d) e A5(e) em todo o restante deste trabalho. Como j indicamos anteriormente, nosso objeto de pesquisa est inserido em um projeto maior, denominado AProvaME, que visa em sua primeira fase elaborar um levantamento das concepes sobre argumentaes e provas de alunos adolescentes em escolas do Estado de So Paulo, com as quais este trabalho busca colaborar com seus resultados. Nossas anlises esto divididas em duas fases: A primeira fase envolve anlises quantitativas: que incluiu uma anlise estatstica descritiva das repostas obtidas nas questes que aborda o fatorial e a elaborao de uma anlise multidimensional preparada com o software CHIC (Classificao Hierrquica Implicativa e Coesitiva), que nos apontou grupos de comportamentos da amostra.

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Na segunda fase escolhemos alunos dos grupos que surgiram na anlise multidimensional para entrevistar. Na questo A5, primeiramente introduzimos a noo de fatorial, e aps solicitamos respostas para as cinco questes: A5(a), A5(b), A5(c), A5(d) e A5(e), das quais, em quatro: A5(a), A5(c), A5(d) e A5(e), pedimos aos alunos que justificassem as respostas apresentadas. Aps encontrar a descrio de fatorial, n! como o produto dos naturais de 1 a n, espervamos que os alunos usassem as noes de divisibilidade, que so temas abordados no ensino fundamental e verificassem, por exemplo, que se um fator faz parte da decomposio de um nmero, ele divide este nmero. Para mais detalhes, abordamos no captulo a seguir alguns temas de divisibilidade envolvidos nessas questes. Abaixo citamos o que foi solicitado em cada questo e algumas das respostas que os alunos poderiam apresentar, com base nas repostas verificadas anteriormente no questionrio piloto. Na Questo A5(a) perguntamos: 5! par? O que significa 5! foi dado logo acima da questo (Figura 11). Espervamos que os alunos observassem o fator 2 e conclussem que o produto seria um nmero par ou que fizessem os clculos e chegassem ao produto 120. Na Questo A5(b) perguntamos do significado de 8!. Espervamos que os alunos respondessem algo do tipo: 8x7x6x5x4x3x2x1 ou o produto 40.320. Caso os alunos no tivessem ainda compreendido o significado de fatorial, espervamos que nessa questo refletissem um pouco mais, revendo o significado que apresentamos para 4! e 5! na parte superior da folha. Na Questo A5(c) perguntamos se 8! era mltiplo de 21. Espervamos que os alunos observassem que os fatores trs e sete pertencem ao produto, logo 21 tambm um fator do produto ou que dividissem 40.320 por 21. Na Questo A5(d) perguntamos se 62! era um mltiplo de 37. Espervamos que os alunos notassem que o fator 37 pertence ao desenvolvimento de 62!. Escolhemos o nmero 62! Por acreditar que o uso de clculos seria invivel na questo.

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Na questo A5(e) perguntamos qual seria o ltimo algarismo do resultado de 23!. Espervamos que os alunos, por exemplo, observassem o fator 10 no desenvolvimento de 23!.

A5: Sabendo que: 4! significa 4 x 3 x 2 x 1 5! significa 5 x 4 x 3 x 2 x 1 Responda: A5(a) - 5! um nmero par?

Justifique

A5(b) - O que significa 8! ?

A5(c) - 8! um mltiplo de 21 ?

Justifique

A5(d) - 62! um mltiplo de 37 ?

Justifique

A5(e) - Pedro calculou 23! Sem calcular, determine o ltimo algarismo do resultado encontrado por Pedro.

Justifique

Figura 11. Questo A5 do questionrio de lgebra

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2.4 COLETA DOS DADOS

2.4.1 DESCRIO DA AMOSTRA No comeo da primeira fase do projeto, os professores-colaboradores participantes indicaram de 6 a 10 turmas de alunos adolescentes, de escolas do Estado de So Paulo na faixa etria de 14 a 16 anos, cursando a 8 srie do Ensino Fundamental ou a 1 srie Ensino Mdio. Deste grupo foi retirada uma amostra de seleo aleatria para aplicarmos os questionrios de lgebra e Geometria. O tamanho da nossa amostra de 2012 alunos de 31 escolas distribudos em 81 turmas, sendo que 34 turmas de 8 sries do ensino fundamental e 47 turmas de 1 sries do ensino mdio. Das escolas da amostra, 22 so escolas pblicas da rede estadual, 3 so escolas pblicas da rede municipal e 6 da rede particular de ensino, situadas na Grande So Paulo, Interior e Litoral.

2.4.2 APLICAO DO QUESTIONRIO Toda a amostra respondeu aos dois questionrios que foram aplicados com o acompanhamento dos professores-colaboradores, ficando a ordem de aplicao dos questionrios (primeiro lgebra ou Geometria) a critrio do professor-colaborador. Algumas turmas responderam aos questionrios no mesmo dia e sem intervalos e outras em dias diferentes. As turmas tiveram um tempo de 50 minutos para responder a cada um dos questionrios, sendo solicitado que todas as anotaes realizadas fossem elaboradas nas folhas dos questionrios e no foram permitidas consultas de qualquer material nem o uso de materiais eletrnicos.

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2.4.3 CODIFICAES UTILIZADAS NA QUESTO A5. Aps a aplicao dos questionrios todas as repostas e justificativas foram codificadas. Nesta fase cabe salientar as reunies que foram realizadas com toda a equipe do projeto, j que as codificaes das turmas foram elaboradas pelos professores-colaboradores que as indicaram. Desta forma, determinamos um padro de codificao que seria seguido por todos. Aqui abordaremos apenas as codificaes utilizadas nas questes objetos da nossa dissertao, ou seja, as que abordam o fatorial, no entanto, todas as questes dos questionrios usados para o levantamento da concepo dos alunos, seguem um padro semelhante de codificao. Abaixo exporemos as codificaes e parmetros utilizados nas questes que abordam o fatorial, alm de alguns exemplos de respostas com a respectiva codificao utilizada. Observe-se que alm do aluno ter acertado a questo (cdigo 1) ou errado (cdigo 0), foram tambm codificadas as justificativas apresentadas por eles. O cdigo -2 foi utilizado para indicar as respostas ou justificativas em branco e -1 respostas ou justificativas do tipo: no sei responder, no entendi.

Quadro 2. Codificaes usadas nas questes A5(a) e A5(c)Descrio - Respostas erradas. - Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado, caracterizando um ciclo vicioso. - Respostas corretas. - Justificativas com alguma informao pertinente, mas sem dedues ou inferncias por exemplo, justificativas que so completamente empricas. Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem contudo, trazer todos os passos necessrios para uma prova: - Justificativa: Falta muito para chegar prova (mais prximo de 1) - Justificativa: Falta pouco para chegar prova (mais prximo de 3) - Justificadas totalmente por meio de clculos. - Justificadas totalmente com referncia a propriedades pertinentes. Cdigo 0

1

2a 2b 3C 3P

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Quadro 3. Codificaes usadas na questo A5(b).Descrio - Respostas totalmente erradas, respostas que no apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado, caracterizando um ciclo vicioso. - Para resposta do tipo: 8x7x6x5x4x3x2x1 ou clculo 40.320. Cdigo 0 1

Quadro 4. Codificaes usadas nas questes A5(d) e A5(e).Descrio - Respostas erradas. - Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado, caracterizando um ciclo vicioso. - Respostas corretas. - Justificativas com alguma informao pertinente, mas sem dedues ou inferncias por exemplo, justificativas que so completamente empricas. Justificativas com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem contudo, trazer todos os passos necessrios para uma prova. - Justificativas: Falta muito para chegar prova (mais prximo de 1) - Justificativas: Falta pouco para chegar prova (mais prximo de 3) - Totalmente justificadas. Cdigo 0

1

2a 2b 3

Para acompanhar alguns exemplos de repostas e justificativas elaboradas pelos alunos e suas respectiva codificaes, consultar o Anexo 4.

2.5 ANLISES QUALITATIVA E QUANTITATIVAAs anlises quantitativas dos dados obtidos com a questo que aborda o fatorial foram obtidas com o uso do software CHIC e so apresentadas no Captulo 3, juntamente com uma anlise qualitativa: entrevistas com sete alunos da amostra indicados pelo CHIC para entendermos melhor a diferena surgida entre grupos na anlise multidimensional. Finalizando o Captulo 3 descrevemos respostas dadas s questes que abordam o fatorial, realizadas pelos professores das escolas, nas quais elaboramos as entrevistas. Obtendo assim, mais uma fonte de dados para interpretar as respostas dos alunos.

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2.6 DIVISIBILIDADEReconhecimento dos significados dos nmeros naturais em diferentes contextos e estabelecimento de relaes entre nmeros naturais, tais como ser mltiplo de , ser divisor de .(PCN, 1998, p.71)

Como o objetivo desta dissertao analisar quantitativamente e qualitativamente as questes que abordam o fatorial inseridas no questionrio de lgebra, resolvemos complementar as informaes dos conhecimentos de divisibilidade que os alunos poderiam utilizar para resolver e justificar as referidas questes, que foram abordados por meio do fatorial. Com isto em mente achamos interessante verificar o tema divisibilidade nos livros didticos, para tanto utilizamos a dissertao de Rama (2005) e outros materiais oficiais.

2.6.1 FATORIAL Entendemos por fatorial o produto de todos os nmeros naturais de 1 a n, representado por n!, envolvendo, assim, a multiplicao de nmeros naturais. O assunto fatorial indicado pelo PCN+ Ensino Mdio (2002) e apresentado pelos livros didticos apenas na segunda srie do Ensino Mdio. Os problemas relacionados ao fatorial envolvem questes de divisibilidade e poderiam ser resolvidos com as noes de divisibilidade abordados no ensino fundamental. Noes estas como: critrios de divisibilidade, fator, divisor, mltiplos, nmeros primos e compostos, decomposio em fatores primos, mmc (mnimo mltiplo comum) e mdc (mximo divisor comum). As questes envolvendo o fatorial poderiam ser resolvidas e justificadas pelos alunos que j tivessem se apropriado do princpio bsico de que: se um nmero qualquer for multiplicado por um nmero k, kN*, este produto divisvel por k, j que este produto seria um mltiplo desse nmero. Logo as definies principais que os alunos deveriam articular so: mltiplos, divisores e fatores. Vamos a uma breve definio desses trs conceitos dentro do conjunto

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numrico dos naturais, visto nossas questes abordarem apenas este conjunto numrico, seguido de exemplos: Definio 1: - Dados a , b N , dizemos que a fator de b se existe k N , tal queka = b .

De maneira geral abordamos como fator de um nmero b, ao par de nmeros k e a que tem como produto o nmero b. Por exemplo, os fatores do nmero 20:

k.a= 1.20 2.10 4.5

20 20 20 20

Dizemos neste caso que os nmeros 1, 2 ,4 ,5, 10 e 20 so fatores do nmero 20. Definio 2. - Dados a , b N , dizemos que a divide b se existe k N , tal que b = ka . Neste caso, a divisor de b e b um mltiplo de a ou ainda, a divide b . De maneira geral dizemos que os mltiplos de um nmero b, so todos os produtos do nmero b por qualquer nmero natural e os divisores do nmero b so seus prprios fatores. Exemplos: a. Os divisores de 20 so 1, 2 ,4, 5, 10 e 20. b.Alguns mltiplos de 20.k.20 1.20 2.20 5.20 10.20 100.20 Mltiplos de 20 20 40 100 200 2000

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Podemos estabelecer relaes entre estas trs definies:

Se (a) um fator do nmero (b), ento: (a) um divisor do nmero (b) ou tambm dizemos que (a) divide (b) e temos ainda que (b) um mltiplo do nmero (a). Exemplificando com nmeros:

Se (4) um fator do nmero (20), ento: (4) um divisor do nmero (20) ou tambm dizemos que (4) divide (20) e temos ainda que (20) um mltiplo do nmero (4).

As pesquisas, tais como Zazkis (2000) mostraram que as dificuldades em construir as relaes acima so muitas. Zazkis (2000), descreve um estudo no qual se buscou as concepes, significados e conexes que futuros professores constroem sobre os temas: mltiplos, divisores e fatores, e as relaes destes com os outros conceitos da teoria elementar dos nmeros. Verifica-se uma grande confuso nos usos desses termos e o que parece simples e claro algo muito complexo para os estudantes. Rama (2005) analisou o tratamento de nmeros inteiros em livros didticos do Ensino Fundamental e Mdio, e encontrou em apenas um dos livros didticos pesquisados, o reforo do uso de vrias formas equivalentes de enunciar uma mesma propriedade: A mltiplo de B; B divide A; a diviso de A por B exata; a diviso de A por B tem resto zero; exibir o produto A = B.Q.

2.6.2 DIVISIBILIDADE EM LIVROS DIDTICOS Em uma breve anlise na relao dos livros didticos constantes no Guia Nacional de Livros Didticos de 5 a 8 srie (Matemtica) que editado pelo Programa Nacional do Livro Didtico (PNLD-2005), verificamos que o tema divisibilidade abordado em oito, das vinte e trs colees aprovadas, sendo que

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em sete colees o assunto abordado nos livros de 5 srie e em apenas uma, no livro de 6 srie. Seguindo a maioria dos autores que abordam o tema, a srie escolhida como mais adequada para introduzir as noes de divisibilidade seria a 5 srie. No entanto, encontramos no Guia do livro didtico 2007(sries iniciais matemtica), abordagem de alguns conceitos envolvendo as noes de divisibilidade em trs colees, nos livros da 4 srie. Rama (2005) em sua dissertao analisa trs colees de livros didticos do Ensino Fundamental e onze colees do Ensino Mdio, cujo foco foi o conceito de divisibilidade e a verificao da abordagem feita pelos autores, quanto s estratgias adotadas para demonstraes referentes ao assunto, e o uso de situaes-problema desafiadoras. Constatou que no Ensino Fundamental o assunto divisibilidade enfocado, mesmo que quase exclusivamente na 5 e na 6 srie, no mbito dos nmeros naturais, e que no Ensino Mdio o tema retomado de forma superficial. Nas colees analisadas, Rama acha adequada e interessante as abordagens dadas aos mltiplos e divisores nos livros do Ensino Fundamental, mas quanto aos critrios de divisibilidade ele comenta que em das colees: Faz explanaes simples(p. 49), a outra, limita-se a enunciar o critrio(p. 50), na ltima, so descritos os critrios de divisibilidade...no entanto nenhuma justificativa apresentada.(p.50 ) Em suas palavras quanto as abordagem dos critrios de divisibilidade, comenta:

Julgamos discutvel a apresentao de uma quantidade elevada de critrios de divisibilidade. Para decidir se um nmero divisvel por 8, por exemplo, o processo sugerido, em muitos casos, tem pouca serventia. Exigese to somente a memorizao de um mtodo, sem dar ateno a sua justificativa. Pensamos que um critrio deve ser apresentado se for de simples aplicao, e principalmente, se for passvel de uma demonstrao

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compreensvel para o aluno. A relevncia do assunto est menos relacionada com sua aplicao do que com a possibilidade de exercitar a prtica da argumentao matemtica.(Rama, 2005, p. 50 -51).

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CAPTULO III

ANLISE DOS DADOSNeste captulo procedemos a anlise de dados das questes que abordam o fatorial. Em uma primeira fase elaboramos uma anlise quantitativa com uma anlise descritiva geral das respostas e justificativas. Apresentamos tambm uma anlise dos dados por srie que os alunos freqentam e outra pela rede de ensino a que pertencem. Posteriormente, elaboramos uma anlise multidimensional com a utilizao do software CHIC, o que nos indicou cinco grupos significativos de comportamentos dos alunos na resoluo das questes. Em seguida buscamos maiores detalhes elaborando uma entrevista com alunos representante de alguns grupos. Finalizamos comentando sobre dados obtidos com as respostas dadas s questes que abordam o fatorial por professores das escolas onde efetuamos as entrevistas.

3.1 ANLISE DESCRITIVA

Nesta seco, apresentamos uma anlise descritiva dos dados coletados. Esboamos tabelas e grficos das respostas e justificativas apresentadas nas questes. Analisamos o desempenho da amostra de forma geral no primeiro momento e aps o desempenho por fatores como: rede de ensino a que os alunos pertencem (estadual, municipal ou particular) e srie freqentada (8 ou 1).

3.1.1 ANLISE DESCRITIVA GERAL Na Tabela 1 temos as respostas apresentadas por toda a amostra (2012 alunos). Observando-na podemos constatar que apenas 28,75% das questes

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foram respondidas corretamente, 46,94% apresentaram respostas erradas, 13,09% responderam no sei ou no entendi (codificao -1) e 11,22% das questes foram deixadas em branco (codificao -2). Se considerarmos as repostas em branco e as que os alunos responderam no sei ou no entendi, como erradas, teremos um percentual de erro de 71,25%, o que um ndice muito alto.

Respostas Apresentadas pela Amostra

RespostasQuestes A5(a) A5(b) A5(c) A5(d) A5(e) Total

Corretas(1)Quant.

Erradas(0)Quant.

No Sei(-1)Quant.

Branco(-2)Quant.

% 53,13% 48,06% 16,40% 10,74% 15,41% 28,75%

% 38,87% 38,37% 62,33% 56,26% 38,87% 46,94%

% 3,68% 6,91% 12,52% 18,74% 23,61% 13,09%

% 4,32% 6,66% 8,75% 14,26% 22,12% 11,22%

Total 2012 2012 2012 2012 2012 10060

1069 967 330 216 310 2892

782 772 1254 1132 782 4722

74 139 252 377 475 1317

87 134 176 287 445 1129

Tabela 1

Na Figura 12, apresentamos um grfico com a viso geral dos acertos e erros das cinco questes que envolvem o fatorial. Consideraremos as repostas em branco e as que apresentaram respostas do tipo no sei ou no entendi como repostas erradas, nesse grfico bem como em todas as nossas anlises e tabelas a partir deste ponto do trabalho.

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2000 1800 1600 1400 Quantidade 1200 1000 800 600 400 200 0

Respostas Apresentadas nas Questes1796 1682 1702

1069 943 967 1045

Corretas Erradas

330 216

310

A5(a) A5(b) A5(c) A5(d) A5(e) Questes

Figura 12: Nmero de acertos e erros nas questes que abordam o fatorial

Na Figura 13 apresentamos o percentual de acertos de cada uma das questes.

Percentual das Respostas Corretas das Questes60,00% 50,00% Porcentagem 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% A5(a) A5(b) A5(c) Questes A5(d) A5(e) 16,40% 15,41% Corretas 53,13% 48,06%

10,74%

Figura 13. Percentual de acertos e erros nas questes que abordam o fatorial

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QUESTO A5(a) Verificamos, nas Figuras 12 e 13, o maior nmero de acertos na questo A5(a) 1069 alunos acertaram-na, o equivalente a 53,13% da amostra. O nico percentual maior que 50% de acertos obtidos nas respostas das cinco questes. Com a ajuda da Tabela 2, que apresenta as justificativas dadas questo pelos alunos que a acertaram. Verificamos que o bom desempenho na questo foi possvel devido possibilidade de ser respondida pela via do clculo, j que 70,72% dos alunos que acertaram utilizaram-no para justificar sua resposta. Observe que so poucas as justificativas destacando propriedades.

Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(a)Justificativas da Questo A5(a) 0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso). 1 - (Justificativas com alguma informao pertinente, mas sem dedues ou inferncias por exemplo, justificativas que so completamente empricas). 2a - (Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem, contudo trazer todos os passos necessrios para uma prova - Falta muito para chegar prova). 2b - (Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem, contudo trazer todos os passos necessrios para uma prova - Falta pouco para chegar prova). 3C - ( Justificada por meio de clculos). 3P- (Justificada com referncia a propriedades pertinentes). Total Quantidade 154 101 % 14,41% 9,45%

19

1,78%

9

0,84%

756 30 1069

70,72% 2,81% 100,00%

Tabela 2

QUESTO A5(b) Em A5(b), 967 alunos (48,06%) acertaram, Figura 12. Nesta questo percebemos mais nitidamente se o significado dado ao fatorial foi compreendido. Se considerarmos que da nossa amostra apenas 48,06% entendeu com clareza a definio que apresentamos para o fatorial, teramos que ter um outro olhar para

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o percentual dos acertos das demais questes, j que podemos imaginar que alguns dos 1045-(51,94%) alunos no acertaram as demais questes exatamente pela falta desse entendimento, ou 46,87%, visto os 53,13% terem acertado a primeira questo. Em uma anlise preliminar dos questionrios verificamos que apenas dois alunos que no acertaram a questo A5(b), acertaram as trs questes que se seguiram no questionrio, enquanto dos que acertaram a questo, apenas dezenove conseguiram acertar as trs questes que se seguiram, e foram os nicos de toda a amostra a darem respostas corretas para todas as cinco questes apresentadas na amostra de 2012 alunos. Dentre os alunos que no acertaram a questo A5(b), interessante citar que 358, mais de um tero (34,26%), destes, responderam corretamente a questo A5(a), sendo que 210 deles justificaram suas respostas por meio de clculos. Parece que esses alunos no conseguiram generalizar o clculo efetuado na questo A(a) para a questo A5(b). Como na questo A5(b) no se pediu justificativa, passemos a anlise da questo A5(c).

QUESTO A5(c) Apenas 330 alunos (16,40%) acertaram a questo. Tivemos aqui uma grande diminuio no nmero de acertos, no entanto notamos que a via do clculo ainda foi possvel nesta questo e essa foi a principal justificativa utilizada por 38,48% dos alunos que a acertaram, conforme podemos constatar na Tabela 3. O ndice de justificativas com o uso de propriedades foi um pouco maior que na questo A5(a). A tabela tambm mostra que 46,97% dos alunos que acertaram no justificaram sua resposta, talvez seja uma indicao da falta de familiaridade com argumentao matemtica.

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Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(c)Justificativas da Questo A5(c) 0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso). 1 - (Justificativas com alguma informao pertinente, mas sem dedues ou inferncias por exemplo, justificativas que so completamente empricas). 2a - (Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem contudo trazer todos os passos necessrios para uma prova - Falta muito para chegar prova). 2b - (Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem contudo trazer todos os passos necessrios para uma prova - Falta pouco para chegar prova). 3C - (Justificada por meio de clculos). 3P- (Justificada com referncia pertinentes). Total a propriedades Quantidade 155 28 % 46,97% 8,48%

3

0,91%

1

0,30%

127 16 330

38,48% 4,85% 100,00%

Tabela 3

QUESTO A5(d) Apenas 216 alunos (10,74%) acertaram a questo. O mais baixo ndice de acerto nas questes. Nesta questo a abordagem ao problema pela via do clculo foi invivel e pelo baixo ndice de acertos percebemos a dificuldade que os alunos encontraram nela. Observando a Tabela 4, percebemos que mesmo os poucos que acertaram a questo, no apresentaram ou no souberam justificar suas respostas (72,22%). O ndice de justificativas utilizando propriedades aumenta um pouco em relao questo A5(c), o que era esperado, visto a impossibilidade do clculo na questo. Levando em conta o percentual dos alunos que apresentaram acertos nas questes anteriores e que acertaram a questo seguinte, em ordem crescente de questes, a questo A5(d) foi a que apresentou o menor percentual de acerto 27,36%, dado obtido pela filtragem na planilha de dados.

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Justificativas Apresentadas pelos estudantes que acertaram a questo A5(d)Justificativas da Questo A5(d) 0 - (Justificativas totalmente erradas, ou que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um ciclo vicioso). 1 - (Justificativas com alguma informao pertinente, mas sem dedues ou inferncias por exemplo, justificativas que so completamente empricas). 2a - (Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem contudo trazer todos os passos necessrios para uma prova - Falta muito para chegar prova). 2b - (Justificativa com alguma deduo/inferncia, explicitao de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemtica, sem contudo trazer todos os passos necessrios para uma p