dissertação - leonardo alcântara portes - 2013

7/25/2019 Dissertao - Leonardo Alcntara Portes - 2013

1/62

Universidade Federal de GoisInstituto de Matemtica e Estatstica

Programa de Mestrado Profissional em

Matemtica em Rede Nacional

Semigrupos Numricos e suas Caractersticas

Leonardo Alcntara Portes

Goinia

2013


2/62

Esta pgina a do Termo de Cincia e de Autorizao para publicao eletrnica

do TCC pela Biblioteca da UFG, a qual deve ser encadernada no VERSO da pgina

anterior . O Formulrio desse Termo de Cincia est em anexo.


3/62

Leonardo Alcntara Portes

Semigrupos Numricos e suas Caractersticas

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao Instituto de Matemtica e Estatstica

da Universidade Federal de Gois, como parte dos requisitos para obteno do grau de

Mestre em Matemtica.

rea de Concentrao: Matemtica do Ensino Bsico

Orientador: Prof. Dr. Ronaldo Alves Garcia

Goinia

2013


4/62

Esta a Pgina da Ficha de Catalogao com os dados internacionais de Catalo-

gao, fornecidos pela Biblioteca da UFG. OBS. ESTA PGINA DEVE SER ENCA-

DERNADA NO VERSO DA PGINA ANTERIOR.

OBS: O aluno deve pegar esta Ficha no site da Biblioteca, http://www.bc.ufg.br,

preenche-la, e enviar para a Biblioteca (Tel. (62) 3521-1229), juntamente com Sumrio,

Resumo, e Folha de rosto do TCC. Posteriormente a Biblioteca envia de volta a Ficha

com todos os dados.


5/62

OBS: Pgina de aprovao do Trabalho, com as assinaturas dos Membros da

Banca


6/62

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total ou parcial deste trabalho

sem a autorizao da universidade, do autor e do orientador.

Leonardo Alcntara Portesgraduou-se em Matemtica pela Universidade Estadual

de Gois em 2005. Atualmente professor da Secretaria Municipal de Educao em

Goinia, Colgio Unus , Colgio Metropolitano e outros.


7/62

Dedico esse trabalho minha me que com honestidade ,

empenho e muito trabalho fez com que eu fosse o homemque sou hoje, alm de sempre me apoiar nos estudos e

cuidar para que eu pudesse chegar at aqui.


8/62

Agradecimentos

A Deus em primeiro lugar por estar sempre ao meu lado , me conduzindo pelos

caminhos certos e mesmo quando tortuosos me fez chegar ao fim.

minha me por ser a verdadeira representao de um anjo do Senhor ao meu

lado, sempre me amando em todos os momentos de minha vida.

minha esposa que foi quem me apoiou e me incentivou a comear essa batalha e

no permitiu que eu a abandonasse nos momentos mais difceis dessa luta.

minha querida , amada e falecida irm que, com certeza, onde quer que esteja est

olhando por mim e sabida de ser minha eterna inspirao para continuar caminhando.

Ao amigo Dilermano Honrio de Arruda por se fazer no s um amigo mas um

verdadeiro pai me apoiando nos estudos e contribuindo para meu crescimento.

minha querida amiga Eliane Cristina que foi quem me indicou a esse mestrado,

me deu apoio e fora para termina-lo e sempre acreditou em mim. Sem ela isso no

seria possivel.

Aos demais colegas de PROFMAT pelas constantes ajudas e pacincia que tiveram

comigo, especialmente minha colega e amiga Viviane Kfouri.

Aos meus coordenadores e patres pela disposio em me ajudar sempre que neces-

srio.

Ao meu orientador, professor Dr. Ronaldo Alves Garcia, pelo seu conhecimento e

pacincia comigo, demonstrando sempre boa vontade em me ensinar e ajudar.


9/62

CAPES pelo incentivo financeiro e UFG por permitir que esse sonho se reali-

zasse.

9


10/62

Resumo

O objetivo deste trabalho mostrar a estrutura de semigrupos numricos e suas ca-

ractersticas, mostrando a finalizao destes em uma P.A.(progresses aritmticas).Em

seguida mostrar a curiosidades de alguns semigrupos e realizar muitos exemplos para

facilitar o entendimento desta estrutura. Por fim mostramos a estrutura para genera-

lizar o nmero de Frobenius em alguns semigrupos e para a quantidade de elementos

presente nos semigrupos at a chegada deste nmero.

Palavras-chave Semigrupos, Nmero de Frobenius, Geradores e sequncia.

10


11/62

Abstract

The objective of this work is to show the structure of numerical semigroups and their

characteristics, showing the completion of these in a P.A.(arithmetic progressions).

Then we show the curiosities of some semigroups and many examples to facilitate

understanding of this structure is presented.

KeywordsSemigroups, Frobenius number, sequence and generators.

11


12/62

Lista de Figuras

1 Equao Diofantina Linear 7x + 3y= k . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 S S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403 S S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 Representao geomtrica do conjunto dos elementos (, ) do semi-

grupoS(21, 31, 45) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5 Semigrupos do tipo (a,b,c)com mdc(a,b,c) = 1 . . . . . . . . . . . . . 56

6 Teorema de Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7 Teorema de Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

12


13/62

Sumrio

1 Introduo 14

2 Sees de desenvolvimento do trabalho 14

2.1 Congruncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Teorema de Fermat e a Funo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Equaes mdulo m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Teorema Chins dos Restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Equaes Diofantinas 24

3.1 Equaes Diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 O Pequeno Teorema de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4 Os semigrupos numricos 28

4.1 Semigrupos Numricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.2 Alguns Teoremas Importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 Demonstrao do Teorema 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.4 Demonstrao do Teorema 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Recproca do Teorema de Silvester 37

5.1 Semigrupos do tipo 2n.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Estrutura de semigrupos gerados por 2 elementos . . . . . . . . . . . . 43

5.3 Semigrupos gerados por 2 elementos com mdc = 2 . . . . . . . . . . . . 47

6 Estrutura de semigrupos gerados por 3 elementos 49

7 Consideraes finais 58

8 Apndices 59

9 Referncias Bibliogrficas 61


14/62

1 Introduo

Acostumados com os contedos de teoria de nmeros e com as estruturas algbricas

de grupo este trabalho visa dar ao leitor uma introduo bsica sobre semigrupos

numricos.

Este trabalho visa mostrar a estrutura simples de um semigrupo e sua criao a

partir de uma sequncia definida ou a partir de geradores, usando apenas a operao

de soma.

Os semigrupos tem grandes aplicaes na matemtica apesar de sua estrutura sim-

ples, porm nosso enfoque nesse texto mostrar a estrutura e exemplos de semigrupos

gerados por 2ou 3geradores. Alm disso, queremos mostrar que a estrutura de semi-

grupos se desemboca em uma P.A., o que torna esse contedo facilmente aplicado nos

contedos de ensino mdio.

Na primeira parte do trabalho fazemos uma introduo lgebra, passando por

contedos necessrios ao entendimento de semigrupos e a outras partes bastante inte-

ressantes da lgebra como o Teorema de Fermat e as congruncias lineares.

Na segunda parte mostraremos as estruturas de semigrupos e vrios exemplos, alm

de mostrar algumas caractersticas importantes de semigrupos, alguns Teoremas, etc.

2 Sees de desenvolvimento do trabalho

Neste captulo estudaremos as congruncias lineares mdulo m e algumas de suas apli-

caes. Estas equaes so fundamentais para defirnirmos alguns conceitos necessrios

para a explicao dos semigrupos numricos, que veremos adiante. Este captulo foi

baseado nas referncias [1],[2],[5], [6],[7].

2.1 Congruncias

Sejam a, b, nZ. Dizemos que a congruente a bmdulo n, e escrevemos

ab(modn)se ndivide a bdeixam o mesmo resto na diviso por n.

14


15/62

Por exemplo temos que 72(mod5)ou que 317(mod6).Com relao as congruncias temos que elas possuem algumas propriedades:

Reflexivas: x x(modw);

Simtricas: xy(modw), ento xy (modw);

Transitivas: xy(modw), e ya (modw), ento xa (modw);

Compatveis com a soma e a diferena :

xy(modw)

ab(modw)

=

x + a(x + b)(modw)

x a(y b)(modw)

Compatveis com o produto :

xy(modw)e

ab(modw)

Cancelamento : Se mdc(c, w) = 1ento

xcyc(modw)xy(modw).

Exemplo 1. Demonstrar que7|315 6.Soluo: Demonstrar que 7 | 315 6 o mesmo que provar que 315 6(mod7).Observemos que : 32 2(mod7).

Ento temos (32)7 27(mod7) e portanto (32)7 2(mod7). Isto o mesmo quedizer que314 2(mod7).

Multiplicando os dois membros por3 ( o que no altera pois o mdc(3, 7) = 1)temos:

315 6(mod7), como queramos demonstrar.

15


16/62

Exemplo 2. Vamos determinar o resto da diviso de5300 por122.

Soluo: Temos que5300

3(mod122)

Ento (53)10310(mod122) (53)10 59049(mod122).Como 59049 1(mod122), temos que (53)10 1(mod122), que o mesmo que

530 1(mod122).Elevando os dois membros a10 temos que(530)10 110(mod122) ou seja,5300 1(mod122).Ento 122 divide(5300 1), ou seja, o resto da diviso de5300 por122 1.

Exemplo 3. Mostre que se a equao x3 117 mltiplo de9, ento qualquer soluointeira deve satisfazer

x3 117y3 = 5(mod9)Soluo: Observamos quexs pode deixar resto de0 a8 na diviso por9. Analisando

estes casos temos:

x mod 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x3 mod 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Ou seja, x3 5(mod9) impossvel e a equao no possui razes inteiras.

Exemplo 4. Mostre que 13|512 1 o mesmo que provar que512 1(mod13).

Soluo:

Sabemos que 512 1(mod13).Portanto 512 1(mod13),como queramos demonstrar.O exemplo 4 um clssico do pequeno Teorema de Fermat que estudaremos adiante.

Nesta parte do captulo estudaremos as equaes do tipo:

f(x) = 0(modm)

na varivel x, onde f(x) um polinmio com coeficientes inteiros. Para isso enuncia-

remos antes o Teorema de Fermate a Funo de Euler.

16


17/62

2.2 Teorema de Fermat e a Funo de Euler

Para Estudar o Teorema de Fermat e a funo de Euler precisamos antes definir o que um sistema completo de restos (que chamaremos de scr) . Dizemos que um conjunto de

nnmeros inteirosa1, . . . , anforma um sistema de restos mdulo n (scr) se ele contm

todos os possveis restos da diviso por n, ou seja, scr = 0, 1, 2,...,n 1.Isto , se os ai representam todas as classes de congruncia mdulo n, temos, por

exemplo, na diviso de um nmero qualquer n por 9 , que o conjunto 0, 1, 2, . . . , 8

formam um scr mdulo 9. Equivalentemente, podemos dizer que a1, . . . , an formam

um scr mdulo nse, e somente se, aiaj(mod n)implicar i= j.

Ento dizemos que a funo de Euler(n) o nmero de inteiros positivos menoresou igual a nque so primos com ne denotaremos da seguinte maneira:

(n) ={xN/1xn, mdc(x, n) = 1}

Exemplo 5.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(n) 1 1 2 2 4 2 6 4 6 4

(1) = 1 por que o nico inteiro positivo menor ou igual a 1 o prprio 1 e

mdc (1,1) = 1.

Exemplo 6. Para exemplificar o Teorema acima vamos calcular(9). Veja o nmero

de elementos do conjunto.

{x

N /1

x

9 | mdc(x,9) = 1} = {1,2,4,5,7,8}

Como o nmero de elementos do conjunto 6, ento (9) = 6.

Montar o conjunto para um certo e contar seu nmero de elementos utilizando

esse mtodo fcil apenas se este for relativamente pequeno. Esta tarefa torna-se

complicada com relativamente grande, por exemplo = 12960.

Mas se for primo, simplesmente() = - 1, tendo em vista que todos os inteiros

positivos menores que primo so primos com o mesmo.

17


18/62

Vejam na tabela do exemplo 5

(2) = 1, (3) = 2, (5) = 4, (7) = 6,

e assim por diante .

Sendo um inteiro positivo qualquer, como calcular ()?

Para responder essa pergunta utilizaremos a propriedade de que a funo de Euler

uma funo aritmtica multiplicatica, ou seja, se ae bso inteiros positivos tais que

mdc(a, b) = 1, ento

(ab) =(a).(b)

Para demonstrar a afirmao acima utilizaremos o Lema abaixo.

Lema 1. Dados os inteiros positivosk, a eb, com mdc(a, b) = 1, ento os restos das

divises dosa inteiros

k, k+ b, k+ 2b,...,k+ (a 1)bpora , so todos diferentes.

Demonstrao. Observe a desigualdade 0 s, t < a. Suponhamos por absurdo, que+ sb e + tb deixem o mesmo resto na diviso por a. Assim, + sb = aq+r e

+ tb= aq + r.Ento veja que adivide o produto (s t)b:

( + sb) ( + tb) = (aq+ r) (aq + r)(s t)b= a(q q)(q q) =(s t)ba

.

Por hiptese, mdc(a, b) = 1, logo a divide (st), o que impossvel porque foiimposto que 0s,t < a.

Conclumos ento que os restos so todos diferentes.

Corolrio 1. Seano divide um nmero pqualquer, ento o resto r (0r < a) temexatamente uma quantidade a de inteiros positivos, tal que estes dispostos em ordem

so0, 1, 2,...a 1.

Teorema 1. A funo de Euler uma funo aritmtica multiplicativa.

O que faremos provar que (ab)= (a).(b), desde que mdc(a, b) = 1.

Demonstrao. Se a= 1ou b= 1, o teorema vlido, pois

18


19/62

(1.b) =(b) = 1.(b) =(a).(b)

(a.1) =(a) =(a).1 =(a).(b)

Sejam, ento a > 1 e b > 1. Vamos agora dispor todos os inteiros 1, 2,...,abem a

linhas e b colunas, para da tirar algumas concluses.

0b+1 0b+2 ..... 0b+k .... 1b

1b+1 1b+2 ..... 1b+k ..... 2b

2b+1 2b+2 ..... 2b+k ..... 3b

..... ..... ..... ..... ..... .....(a-1)b+1 (a-1)b+2 ..... (a-1)b+k ..... ab

Os inteiros da -sima coluna sero primos com bapenas se for primo com b.

De fato, pois, de modo inverso, bdivide qb + , apenas se for mltiplo de b.

Suponhamos que a -sima coluna seja uma destas (b)colunas. Pelo Lema 1, os

restos das divises dos ainteiros desta coluna por aso 1, 2, ...a 1. Como sabemos,(a) = 1, 2,...,a 1 . Logo o nmero de inteiros da -sima coluna que so primoscom a (a).

Portanto, em cada coluna (em um total de (b)de inteiros onde todos so primoscom b, vamos ter (a)inteiros que so primos com a.

Logo, o nmero de inteiros da matriz a bque so primos coma e b (a)(b).claro que todo nmero que no tem fatores primos com ae b tambm no tero com

o produto ab. Assim, (a).(b)tambm a quantidade de inteiros positivos menores

que, e primos, comab.

Concluso : (ab) = (a)(b).

Corolrio 2. Se os inteiros positivosa1, a2, . . . , an =a,b, c, ..., z respectivamente , e

a,b,...,zso dois a dois primos entre si, ento

(a1, a2, a3, . . . , an) =(a1)(a2)(a3) . . . (an)

ou

(a , b , c , . . . , z ) =(a)(b)(c) . . . (z)

19


20/62

Esta generalizao do teorema uma propriedade comum todas as funes arit-

mticas multiplicativas.

Agora j sabemos que se n = p primo, ento (p) = p 1. Ento dado a N,com a1, vamos estabelecer a frmula para o clculo de (pa).

Teorema 2. (p) =p p1

Demonstrao. Os inteiros menores que pa e que so primos com p

t.p= p t = p1

Ento como tindica a quantidade de inteiros menores que p

que no so primoscomp, a quantidade de inteiros que so menores quepe primos comp so exatamente

p p1. Assim, (p) =p p1.

Associando a propriedade multiplicativa da funo de Euler e o Teorema 2, conse-

guimos calcular (n)para qualque inteiro positivo n.

Exemplo 7. Calcular(5625000).

Primeiro passo: Fatorarn= 5625000, ou seja, n= 23.32.57

Segundo passo: Calcular(pa) =pa pa1.

(23) = 23 22 = 8 4 = 4(32) = 32 31 = 9 3 = 6

(57) = 57 56 = 78125 15625 = 62500Por ltimo, aplicamos a propriedade multiplicativa de(n).

(5625000) =(23.32.57) = 4.6.62500 = 1500000

Oltimo teorema de Fermat, afirma que no existe nenhum conjunto de inteiros

positivosx, y ,ze ncom nmaior que 2que satisfaa

xn + yn = zn.

20


21/62

2.3 Equaes mdulo m

Se mdc(a, m) = 1, como a invertvel mdulo m, a equao

axb(modm),

tem soluo nica mdulo m, dada por

xa(m)1b(modm).

Utilizando o Teorema de Fermat temos que todas as solues da equao acima so da

forma

xa(m)1b + km(modm),onde kZ

Temos que na congruncia linear do tipo

axb(modm),um inteiro xser uma soluo se existir yZ tal que ax b= my.

Logo, se d = mdc(a, m) , ento para que exista soluo devemos ter que d|b poisb= ax myPor outro lado, sabemos que existem inteiros x0 e y0 tais que

ax0+ my0=d

x0 e y0 podem ser encontrados atravs do algortmo de Euclides, com o qual se

calcula d.

Ento, se d|b, temos que

ax0b

d+ my0

b

d=b

e vemos que a equao modular tem a soluo x = x0b

d(ou a classe de congruncia

deste nmero).

Para analisar a existncia de outras solues, supomos que ze wsatisfazem igual-

mente az mw= b ; entoaz mw= ax mya(a x) =m(w y) a

d(z x) = m

d(w y)

mas, como a

d

e m

d

so primos entre si, isso implica que

21


22/62

m

d|(z

x)

ou seja

z=x + k.m

d, kd

Duas solues desta forma sero congruentes mdulo m se d|k. Temos, portanto, dsolues distintas, correspondentes aos valores 0k < d.

Logo, da, temos a seguinte proposio

Proposio 1. ParamN, a

Z ed= mdc(a, m) a equao

axb(modm)temd solues distintas sed|b e no tem solues se (db)( que o mesmo que

dizer qued no divideb ).

Sex0ey0so inteiros satisfazendoax0+ my0=d, as solues do primeiro caso so

x0b

d+ k

m

d, 1

k < d

Neste caso o nmero de solues distintas mdulo m da equao exatamente o

mdc(a, m).

Exemplo 8. Agora vamos resolver a equao 12x28(mod8)Observe que o mdc(12, 8) = 4 e como 4|28 , logo pelo Teorema acima sabe-se que

esta equao tem4 solues.

Testando, encontramos como solues3, 5, 7 e9. Qualquer outra soluo congru-ente a uma dessas, mdulo 8.

Exemplo 9. Encontrando a soluo da equao 10x11(mod9)Observe que o mdc(10, 9) = 1, e como 1|9 a equao tem uma nica soluo.Podemos ver que a soluo 2; qualquer outra soluo congruente a essa, mdulo

9.

Para resolvermos um sistema de congruncias lineares, podemos usar o Teorema

chins do resto, que garante a existncia de soluo para este tipo de sistemas.

22


23/62

2.4 Teorema Chins dos Restos

Considere o sistema de equaes

Kc1(mod n1)

Kc2(mod n2)

Kc3(mod n3)

. . .

Kck(mod nk)

(1)

Teorema 3. O sistema (1), onde mdc(ni, nj) = 1, para todo ni, nj comi=j , possuiuma nica soluo mdulo N, comN=n1n2 . . . nk. Tal soluo pode ainda ser obtida

da seguinte maneira :

X=N1Y1C1+ N2Y2C2+ ... + NrYrCr

ondeNi =N/ni eyj soluo deNiY1(modni) , i= 1, 2, ...r.

Demonstrao. Vamos inicialmente provar que x uma soluo simultnea do sistema(1). De fato, como ni|Ni, se i=j , e Niyj1 (modni)segue-se que

X=N1y1c1+ N2y2c2+ + NryrcrNiyici(modnj).Por outro lado, se x outra soluo do sistema (1), ento

Xx(modni), i, i= 1, 2, ...., r.Como mdc(ni, nj) = 1(ou podemos dizer apenas (ni,nj) = 1),i=j , segue-se que o

mmc de n1, . . . , nr, que podemos representar por [n1, . . . , nr], igual a n1, . . . , nr =Ne , consequentemente, temos que

Xx(modN).

Exemplo 10. Vamos agora resolver o famoso problema de Sun-Tsu, matemtico chins

que viveu no sculo 3 d.C. , que prope encontrar o nmero que deixa restos2 , 3 e2

quando dividido por3, 5 e7, respectivamente.

23


24/62

Soluo : Resolver o problema de Sun-Tsu o mesmo que resolver o sistema de

congruncias

K2(mod3)

K3(mod5)

K2(mod7)

(2)

Temos queN3= 3.5.7 = 105; N1 = 35, N2= 21 eN3= 15.

Temos tambm que resolvendo as equaes35Y1(mod3), 21Y1(mod5) e15Y1(mod7) encontramos as soluesy1= 2, y2= 1 ey3 = 1, respectivamente.

Portanto, uma soluo mdulo N= 105 dada por

X=N1y1c1+ N2y2c2+ N3y3c3 = 233.

Como 233 23(mod 105), ento a soluo nica, mdulo 105, do problema deSun-Tsu e qualquer outra soluo da forma23 + 105, comN.

3 Equaes Diofantinas

Neste captulo estudaremos as equaes diofantinas e o Pequeno Teorema de Fermat.

Esses dois tpicos so usados nos semigrupos gerados por n elementos, que estudaremos

logo a seguir. Estes conceitos nos daro condies para provar alguns tpicos em relao

aos semigrupos, e foi escrito baseado em [5], [6], [7], [8] e [11]

3.1 Equaes Diofantinas

Diofanto, nascido em221d.C., viveu em Alexandria j sobre o domnio romano e fale-

ceu aos 84 anos. Foi um dos nicos matemticos de renome de sua poca que dedicou

seu trabalho teoria dos nmeros.

As equaes polinomiais com coeficientes inteiros e solues inteiras ou racionais so

chamadas hoje de Equaes Diofantinas.

As equaes diofantinas que iremos estudar so do tipo ax + by= n, coma,be nZ.

24


25/62

As equaes desse tipo s admitem soluo se, e se somente se, o mdc(a, b)|n.Observe que se x

0e y

0 uma soluo particular da equao ax+by =n ento temos

que xe ysero solues desta mesma equao se, e somente se,

x= x0+ t.a

(a, b)

e

y= y0+ t.a

(a, b)

para algum tZ, em que (a, b) =mdc(a, b).

Exemplo 11. Resolver a equao 12x -7y = 9

Como mdc(12, 7)|9 a equao tem soluo. Vamos encontrar a soluo (x0, y0) destaequao.

Pelo algoritmo euclidiano, temos:

12 = 7.1 + 5

7 = 5.1 + 2

5 = 2.2 + 1

Isolando as equaes temos

1 = 5 - 2.2 (a)

2 = 7 - 5.1 (b)

5 = 12 - 7.1(c)

Substituindo (c) em (b) obtemos :

2= 7 - 12 + 7 = 7.2 - 12 (d)

Substituindo (c) e (d) em (a) obtemos :

25


26/62

1 = 12 - 7.1 - 2 (7.2 - 12) = 12 - 7.1 - 7.3 + 12.2

Ento temos

1 = 12.3 - 7.5

E, portanto,

9 = 12.27 - 7.45

Logo, x1= 27 ey1= 45 uma soluo particular da equao.

Vamos agora determinar a soluo da equao :

x= 27 + t.7 e y= 45 t.12.Encontrando o maior valor detN, de modo quex, yN.Neste caso, isso ocorre quando t= 3, logo a soluo x0= 6 ey0 = 9.

As solues da equao so

x= 6 + 7t e y= 9 + 12t.

Depois dos trabalhos de Diofanto a Aritmtica ficou muitos anos sem um grande

salto. Apesar de algumas descobertas ela s voltou a ter grandes avanos atravs de

Pierre de Fermat, um jurista francs que viveu no sc. X V I I e contribuiu com vrios

teoremas , dentre eles um bastante usado na lgebra, o Pequeno Teorema de Fermat.

3.2 O Pequeno Teorema de Fermat

Teorema 4. Sejaa um inteiro positivo ep um primo, ento

ap a(modp).

Demonstrao. Vamos provar por induo sobre a.

Para a = 1 claro o resultado, pois pdivide 0 ( p|0).Suponha o resultado vlido para a. Iremos provar que ele tambm vale para a + 1.

Pela frmula do Binmio de Newton,

26


27/62

(a + 1)p (a + 1) =ap a + p1

ap1 + ... pp 1

a . (3)

Como os nmeros

p

1

so todos divisveis por p, sendo p um nmero primo,

ento por isso e pela hiptese temos que

ap

a +

p

1

ap1 + ...

p

p 1

a (4)

divisvel por p.

Ento podemos enunciar o pequeno Teorema de Fermat da seguinte forma:

ap a(modp)ou

ap 11(modp)Exemplo 12. Vamos agora encontrar o resto da diviso de2100 por11.

soluo : Pelo teorema acima temos que210 1(mod11).Elevando ambos os lados da equao por 10 temos que 2100 1(mod 11) ou seja, oresto da diviso de2100 por11 1.

Exemplo 13. Calculando agora o resto da diviso de7213 por17 :

soluo : Observe que7213

= 716.13+5

Temos que72 2 (mod17) e75 11(mod17)Como 72 2 (mod17)Elevando os dois lados quarta potncia temos :

(72)4 16 (mod17)Que tambm pode ser escrito

78 1(mod17)Elevando os dois lados ao quadrado temos :

716

1(mod17)

27


28/62

Elevando os dois lados a treze e multiplicando por75 temos :

(716)13 .(75)

(113). 75 (mod17)

Ou seja, 7213 75(mod17)E como 75 11(mod17), logo7213 11(mod17)Logo o resto dessa diviso 11.

Observamos que as equaes diofantinas no lineares so muito complexas e dariam,

por si s, um trabalho sobre elas.

4 Os semigrupos numricos

Neste captulo estudaremos os semigrupos gerados por2e3elementos , alm de mostrar

algumas de suas caractersticas e aplicaes.

Estudaremos regularidades de alguns semigrupos, alm de mostrar alguns teoremas

importantes acerca do estudo destas estruturas. Esse captulo foi escrito baseado nas

referncias [8], [10], [12] e [17].

4.1 Semigrupos Numricos

Subconjuntos S de N {0} so chamados de semigrupos quando 0 pertence a S equando x, ypertencem a S=x + yS.

Um semigrupoS dito de razor se existea0Stal queS{a0, a0 +r, a0+ 2r,...} igual a {a0, a0+r, a0+2r,...} ,ou seja, o semigrupo uma progresso aritmtica(P.A.)de razo r >0 a partir de a0.

Quando esta P.A. for de razo 1este semigrupo ser chamado de semigrupo arit-mticoou numrico.

Dizemos que o menor elemento de Sque satisfazer essa condio chamado de

regularizador aritmticodeste semigrupo e ser denotado por r(S).

Os nmeros inteiros l no pertencentes ao semigrupo Sso chamados de lacunase o

nmero de lacunas g chamado de gnero.

28


29/62

Exemplo 14. SejaS1={0, 5, 6, 7, 8, 9, . . .}.Como S

1 um semigrupo, o regularizador deS

15, ou seja, r(S

1) =

{5}

Se temos um semigrupo numrico ento N\S um conjunto finito er(S) =F(S)+1,em que F(S) chamado de nmero de Frobenius deste semigrupo.

Ou seja, o conjunto das lacunas de S denotado por LS=N\S.Se em algum caso LS ={l1 < l2 < ls} for finito, dizemos que ls a maior lacuna

de S.

Exemplo 15. S1 ={0, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, } um semigrupo. TemosLS1 ={1, 2, 3, 4}.Como o conjunto das lacunas deS1 finito e seu maior elemento o 4, ento ls= 4

Exemplo 16. O conjunto das lacunas do semigrupo formado pelos nmeros pares

S ={0, 2, 4, 6, . . . , 2k , . . .} LS ={1, 3, 5, 7, 9, . . . , 2k+ 1, . . .} e como este conjunto infinito ele no possui nmero de Frobenius e seu regularizador aritmtico r(S) o

zero.

Usualmente representamos um semigrupo Sna seguinte forma:

S={0, s1, s2, . . . , sn, . . .}.

Poderia restar dvidas se os sucessores de sn, no semigrupo, so todos os naturais

maiores que sn. Para evitar essas dvidas, passaremos tambmm a expressar um se-

migrupo por meio de seus geradores.

Definio 1. SejamSum semigrupo com regularizadorr(S) e um elemento qualquer

p= 0 deS. O nmero de Frobenius uma unidade a menos que o regularizador , ouseja , F(S) =r(S) 1.

Estudaremos agora alguns resultados envolvendo o gnero g e a maior lacuna lg do

semigrupo S.

Sejama1, a2, . . . , anN. O semigrupo gerado pelo conjunto{a1, a2, . . . , an} dadopor: S:=< a1, a2, . . . , an>=

{a1x1+ a2x2+

+ anxn : x1, x2, . . . , xn

N

0}

.

29


30/62

S um semigrupo numrico se, e somente se, mdc(a1, a2,...,an) = 1.

Existe um conjunto natural que gera um semigrupo.

Tome:

si=min{hH :hi(modn1)},ou seja, S gerado por{n1, s1, . . . , S n1 1} e no se tem necessariamente que o

nmero de geradores de S o menor possvel.

Vamos agora discutir a possibilidade de se obter uma frmula explcita para o g-

nero g e para a maior lacuna lg em funo dos geradores do semigrupo S.

Para S=< a1, a2 > pode se escrever que g=

(a2

1)

2 e lg = (a1 1) 1.Como mdc(a1, a2) = 1ento existem ze tZ tais que a1z+ a2t= 1.Suponha que za2. Pelo algoritmo da diviso de Euclides tem-se que z=a2q+ r

comq1 e 0r < a2. Deste modo a1z+ a2t= a1(a2q+ r) + a2t= a1r + a2(a1q+ t).Chamando x= r e y= a1q+ ttem-se que a1z+ a2t= a1x + a2y.

Logo podemos considerar a seguinte igualdade a1x+a2y = 1para todo xe yZcom 0x < a2.

Esta nova representao se torna nica. Ento para qualquer n

N tem-se que

n= n.1 =n(a1x + a2y) =a1nx + a2ny.

Desta maneiranSse, e somente se,a1nx, a2ny0. Tomem = max{n: n /H}.Entom dado porx= a21ey =1. Assimlg =a1(a21)a2 = (a11)(a21)1.Como ng =lg+ 1tem-se que lg+ 1 = (a1 1)(a2 1).

Para determinar g deve-se contar at quando a1(a2 1) (a2 1) - na2 S, ouseja,

a1(a2 1) na2 > 0,com0ba1 1.

Ento temos que g=(a1 1)(a2 1)

2

No conhecemos a resposta deste problema para n > 2 . No caso em que n = 3 ,

e supondo que os geradores so co-primos( primos entre si) , exibiremos uma frmula

que j foi provada por dois matemticos ( Rosales e Sanches-Garcia).

30


31/62

Considere Sum semigrupo minimamente gerado por {a1, a2, a3} tais que mdc(ai, aj) =1para todo i

=j com 1

i, j

3.Sejam i, j e knmeros inteiros entre 1e 3, defi-

nimos :

ci:=min{nN : nai< aj, ak >}.Tem-se que :

c1a1=r12a2+ r13a3

c2a2=r21a1+ r23a3

c3a3=r31a1+ r32a2

Osrij acima definidos so inteiros positivos.

Os geradoresa1, a2e a3 podem ser reescritos como :

a1=r12r13+ r21r23+ r13r32

a2=r13r21+ r21r23+ r23r31

a3=r12r31+ r21r32+ r31r32

4.2 Alguns Teoremas ImportantesTeorema 5. [Teorema de Sylvester] Sejama eb nmeros naturais tais que mdc(a, b) =

1 e considere o semigrupo S(a, b) gerado por a e b. A maior lacuna de S(a, b) de

N \ S(a, b) o nmero (mpar) de FrobeniusF(a, b),

F(a, b) =ab (a + b) = (a 1)(b 1) 1 =r(S) 1.O semigrupo S(a, b) aritmtico.

Demonstrao. Sejam a e b nmeros inteiros positivos tais que o mximo divisor comummdc(a, b)seja igual a1, isto ,aebso primos entre si. Equivalentemente, mdc(a, b) =

1se, e somente se, as progresses aritmticas

P(a) ={0, a, 2a , . . . , m a , . . .}= aN eP(b) ={0, b, 2b, 3b , . . . , n b , . . .}= bN possuemelementos que diferem de uma unidade inteira.

Portanto existem inteiros positivos m, n N tais que|manb| = 1. Assim aequao linear ax+ by = 1 possui infinitas solues inteiras. Se (x0, y0) for uma

soluo particular , ento todas as demais soules inteiras so parametrizadas por

x(n) = x0+ bn e y(n) = y0

an, n

Z. Quando uma soluo (x0, y0) da equao

31


32/62

ax+by= 1pertence ao primeiro quadrante do planoxy, isto x0e y0, dizemosque a soluao no negativa . Se x

0>0 e y

0> 0 a soluao positiva.

Para continuar a demonstrao usaremos os teoremas e lemas a seguir.

Teorema 6. Sejama eb nmeros naturais tais que mdc(a, b) = 2.

Ento dizemos queS(a, b) um semigrupo de razo 2e o seu regularizador aritm-

tico o nmero par ,

r(S(a, b)) =1

2.(a 2)(b 2).

Devido aos Teoremas 5 e 6 natural esperar uma generalizao para semigrupos

S(a, b)com mdc(a, b) =k, k3.Teorema 7. Sejama eb nmeros naturais tais que mdc(a, b) =k, k3.

Ento S(a, b), o semigrupo gerado por a e b um semigrupo de razo k e o seu

regularizador aritmtico dado

r(S(a, b)) =1

k.(a k)(b k).

Lema 2. Seja mdc(a, b) = 1. Ento, a equao diofantina ax+ by = ab+ r possuisolues inteiras positivas para todo r N e somente as solues no negativas(0, a)e(b, 0) parar= 0.

Demonstrao. Primeiro mostramos que o Lema verdadeiro para r = 0.

Temos que a equao ax + by= ab possui solues particulares(b, 0)e (0, a).

As demais solues so dadas por x(n) = bn, y(n) = aan, n Z e nenhumadelas pertence ao primeiro quadrante.

Em seguida, para demonstrar o Lema para r

1 tomamos uma soluo inteira da

equao diofantina ax0+ by0= 1comx00.Consideramos a reta que liga os pontos (0, 0)e (x0, y0).

A interseo desta reta com a retaax +by= ab +r uma soluo inteira da equao

ax + by= ab + r.

De fato este ponto de interseo exatamente o ponto

x1=x0(ab + r), y1 = y0(ab + r).

32


33/62

Assim as solues inteiras da equao ax + by= ab + rso dados por

xn=x1+ b(n 1) =x0(ab + r) + bn

yn=y1 an= y0(ab + r) a(n 1), nZ.Como a velocidade da reta acima

a2 + b2, segue que a sequncia de pontos

(xn, yn) dever visitar o segmento de reta definido pelos pontos extremais (0,ab + r

b )

e (ab + r

a ,0) que tem comprimento maior que

a2 + b2, portanto a equao diofantina

ax + by= ab + rsempre possui soluo inteira positiva para todo r1, veja figura 1.

Lema 3. Seja mdc(a, b) = 1. Ento a equao diofantinaax+ by =k possui solues

inteiras no negativas para todo kab (a + b) + 1 = (a 1)(b 1) eab a b nopertence ao semigrupo S(a, b).

Demonstrao. Pelo Lema 2 a equao ax + by= ab possui solues inteiras positivas

(b, 0) e (0, a) e a equao ax+by = ab+ 1possui solues inteiras positivas (b, 0) e

(0, a)e a equaoax + by=ab + 1possui solues inteiras(x1, y1)com x1 > 0e y1 > 0.

Portanto a(x1

1) + (y1

1)= ab

(a + b) + 1 = (a

1)(b

1)

S(a, b).

Da mesma maneira se (xr, yr), com xr > 0e yr >0, soluo inteira positiva de

ax + by= ab + r,r >1, temos que(xr 1, yr 1) inteira soluo positiva da equaoax+ by = ab (a+ b) +r, r > 1, temos que (xr 1, yr 1) uma soluo inteira,positiva, da equaoax+by =ab (a+b) +r. A equao ax+by =ab a bnopossui solues inteiras no negativas.

Ento, seja (x,y) uma soluo comx >0ey >0, tal queax+by= abab. Logo(x + 1, y + 1) uma soluo positiva da equao ax + by=ab poisa(x +1)+ b(y + 1) =

ax + by+ a + b= ab a b + a + b= ab.Isto uma contradio com o fato de que as nicas solues inteiras no negativas

de ax + by=ab serem(b, 0)e (0, a). Portanto o Lema est demonstrado.

Lema 4. Seja mdc(a, b) = 1. Dado k N tal queab > k (a 1)(b 1) a equaodiofantinaax + by=k possui uma nica soluo inteira no negativa.

Demonstrao. Pelo Lema 3 sempre temos solues nas condies do enunciado.Portanto,

devemos primeiro estabelecer a unicidade. Demonstraremos ento que a equao dio-

fantinaax+by = ab 1possui uma nica soluo inteira positiva. Lembramos que a

33


34/62

equao ax+by =ab possui somente as solues inteiras (b, 0)e (0, a)no negativas.

Considere o segmento com vrticesA1= (

ab

1

a , 0)e A2 = (0,

ab

1

b ).O seu comprimento (1 1

ab)

a2 + b2 0.

Demonstrao. Observamos que o nmero total de pares(n, n)no conjunto {0, 1, 2, . . . ,F(a,b,c)} igual a F(a,b,c) + 1.Portanto,

F(a,b,c) + 1 = #{(+, )} + #{(, +)} + #{(, )}.

49


50/62

#{

(+)}

= #{

(+,

)}

= #{

(

, +)}

e

#{()}= #{(+, )}= #{(, )}Consequentemente,

#{(+)} + #{()}= F(a,b,c) + 1 = #{()} #{(+)}= #{(, )}Logo temos,

{(+)}= F(a,b,c) + 1 #(, )2

{()}= F(a,b,c) + 1 + #(, )2

.

Exemplo 17. S(4, 9, 19) = 0, 4, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 19,...

Observe que depois do 16 todos os naturais pertencem ao semigrupo S.

O conjunto dos elementos do tipo (, ) :{(, }={(1, 14), (4, 11), (5, 10)}.A cardinalidade do conjunto{(, )} 6.

Exemplo 18.Seja o semigrupoS(21, 31, 45)relatado abaixo, temos queF(21, 31, 45) =

227 e24 so elementos do tipo (, ).

Mostrando o semigrupo :S(21, 31, 45) ={0, 21, 31, 42, 45, 52, 62, 63, 66, 73, 76, 83, 84, 87, 90, 94, 97, 104, 105,

107, 108, 111, 114, 115, 118, 121, 124, 125, 126, 128, 129, 132, 135, 136, 138, 139, 142, 145,

146, 147, 149, 150, 152, 153, 155, 156, 157, 159, 160, 163, 166, 167, 168, 169, 170, 171, 173,

174, 176, 177, 178, 180, 181, 183, 184, 186, 187, 188, 189, 190, 191, 192, 194, 195, 197, 198,

199, 200, 201, 202, 204, 205, 207, 208, 209, 210, 211, 212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219,

220, 221, 222, 223, 225, 226, 228, . . . , }.Observamos que depois do228 , todos os naturais pertencem ao semigrupo S. Para

comprovar isto basta listar o semigrupo at o elemento 228 + 21 = 249.

50


51/62

O conjunto dos elementos do tipo (, ) :

{(

,}

={

(3, 224), (24, 203), (34, 193), (48, 179), (55, 172), (65, 162), (69, 158), (79, 148),

(86, 141), (96, 131), (100, 127), (110, 117)}.A cardinalidade do conjunto{(, )} 24.A representao geomtrica do conjunto dos elementos(, ) :

Figura 4: Representao geomtrica do conjunto dos elementos (, ) do semigrupoS(21, 31, 45)

No slido acima (figura 4) cada direo das setas revela umaP.A.e a razo de cada

uma delas um dos geradores do semigrupo (

a P.A de razo 31;

aP.A. de

razo21 ; a P.A. de razo 45).

Exemplo 19. Seja o semigrupo :

(29, 37, 51) ={0, 29, 37, 51, 58, 66, 74, 80, 87, 88, 95, 102, 103, 109, 111, 116, 117, 124,125, 131, 132, 138, 139, 140, 145, 146, 148, 153, 154, 160, 161, 162, 167, 168, 169, 174, 175,

176, 177, 182, 183, 185, 189, 190, 191, 196, 197, 198, 199, 203, 204, 205, 206, 211, 212, 213,

214, 218, 219, 220, 222, 225, 226, 227, 228, 232, 233, 234, 235, 236, 240, 241, 242, 243, 248,

249, 250, 251, 254, 255, 256, 257, 259, 261, 262, 263, 264, 265, 268, 269, 270, 271, 272, 273,276, 277, 278, 279, 280, 283, 284, 285, 286, 287, 288, 290, 291, 292, 293, 294, 296, 298, 299,

300, 301, 302, 305, 306, 307, 308, 309, 310, 312, 313, 314, 315, 316, 317, 319, 320, 321, 322,

323, 324, 325, 327, 328, 329, 330, 331, 333, 334, 335, 336, 337, 338, 339, 341, 342, 343, 344,

345, 346, 347, 348, 349, 350, 353, 352, 353, 354, 355, 356, 357, 358, 359, 360, 361, 362, 364,

365, 366, 367, 368, 370...}.

A partir do 370 temos todos os nmeros

51


52/62

O nmero de Frobenius 369.

Temos ento 175 nmeros que so do tipo (+) e195 numeros que so do tipo(

)

Temos ento os nmeros do tipo (, ) :(43, 326), (65, 304), (72, 297), (94, 275), (122, 247), (123, 246), (130, 239), (152, 217),

(159, 210), (181, 188)

10 pares, ou seja , 20 nmeros do tipo (, )

Confirmando as frmulas temos:

{(+)}=(369 + 1

20)

2 = 175

e

{()}= (369 + 1 + 20)2

= 195

Exemplo 20. Seja o semigrupo abaixo:

(7, 11, 15) ={0, 7, 11, 14, 15, 18, 21, 22, 25, 26, 28, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 37, 39,...}

A partir do 39 temos todos os nmeros naturais.

O nmero de Frobenius 38.

Temos ento 18 nmeros que so do tipo (+) e21 numeros que so do tipo ()Temos ento os nmeros do tipo (, ) :(4, 34),(19, 19),2 pares, ou seja ,3 nmeros do tipo(, )que so4, 19e34, formandoumaP.A. de razo 15.

Confirmando as frmulas temos:

{(+)}= (38 + 1 3)2

= 18

{()}= (38 + 1 + 3)2

= 21

Exemplo 21. (5, 8, 14, 22) ={0, 5, 8, 10, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22,...}

F(5, 8, 14, 22) = 17;{(+)}= 8,{() = 10e{(, )}= (6, 11) ou seja2 nmeros.

52


53/62

Pela conjectura 1{(+)} = 17+122

= 8 e{()} = 17+1+22

= 10

Exemplo 22. (8, 13, 31, 44) ={0, 8, 13, 16, 21, 24, 26, 29, 31, 32, 34, 37, 39, 40, 42, 44,45, 47, 48, 50, 52, 53, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 71, 72,

73, 74, 75,...}

F(8, 13, 31, 44) = 67 ;{(+)} = 32,{()} = 36 e{(, )} = (5, 62); (18, 49) ouseja, 4 nmeros.

Pela conjectura 1 {(+)}= 67+142

= 32 e{()}= 67+1+42

= 36

Teorema 8. Sejax {0, 1, . . . , F (a,b,c)}e suponha quep < x < r ondep er so dotipo (, ). Ser x {(+)} ex p {(+)} ento x do tipo (, ).

Demonstrao. Sendor = x + (r x), sex for do tipo(+), como por hiptese r x{(+)}, ento r tambm seria do tipo (+), o que no verdade pois estamos supondor {()}. Por outro lado, como x+ x = F(a,b,c) e p+ p = F(a,b,c) temos quex + x= p +pe assim obtemos quep = x + (x p). Como(x p) {(+)}e p {()},temos obrigatoriamente que x do tipo ().

Assim,x + xso ambos do tipo (), ou seja, x do tipo (, ).

Conjectura 1. (Arnold) Considere um semigrupo S(a,b,c), mdc(a,b,c) = 1.

SejaM=max{(, )} em= mim{(, )}. Ento M m {(+)} S(a,b,c).

O seguinte semigrupo com 4 geradores, veja [9], mostra que a conjectura acima

especfica para 3geradores.

Considere o semigrupo Sgerado por (4, 6, 13, 15).

Temos que

S(4, 6, 13, 15) ={0, 4, 6, 8, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18,...}O conjunto das lacunas {()} ={1, 2, 3, 5, 7, 9, 11}.O seu nmero de Frobenius

11e{(, )}={2, 9}.Aqui o maior elemento de (, ) M= 9e o menor elemento de (, ) m= 2.

No entanto M m = 9 2 = 7 no pertence a S(4, 6, 13, 15), ou seja, no do tipo{(+)}.

53


54/62

Exemplo 23. Considere o semigrupo gerado por(15, 21, 25).

Temos que:

(15, 21, 25) ={0, 15, 21, 25, 30, 36, 40, 42, 45, 46, 50, 51, 55, 57, 60, 61, 63, , 65, 66,67, 70, 71, 72, 75, 76, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 95, 96, 97, 99,

100, 101, 102, 103, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117,

118, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 133, 134,

135,...}

F(15, 21, 25) = 119;{(+)}= 60;{()}= 60 e(, ) = 0

Pela conjectura 1 {(+)}= 119 + 1 02

= 60 e{()}= 119 + 1 + 02

= 60.

Conforme mostrado nos exemplos, os semigrupos com3 geradores nem sempre tem

a propriedade: nN , ento nSou (F(a,b,c) n)S.Os semigrupos que possuem a propriedade acima so chamados semigrupos sim-

tricos.

A tabela a seguir mostra alguns exemplos de semigrupos gerados por 3 nmeros.

Estes semigrupos so mais difceis de definir porm alguns exemplos a seguir so facil-

mente visveis e o ponto de ? nos semigrupos do tipo(a,b, ?) representa um elemento

qualquer maior que b(pois a e bj geram o semigrupo).

54


55/62

r= F(a,b,c) + 1 (a,b,c) :mdc(a,b,c) = 1

2

3 (3,4,5)

4 (2,5,?)

5 (3,5,7)

6 (2,7,?) ; (3,7,8)

7

8 (2,9,?) ; ( 3,5,?)

9 (3,10,11)

10 (2,11,?)

11 (3,8,13)

12 (2,13,?) ; (3,7,?);(3,13,14)

13 (5,8,9)

14 (2,15,?) ; (3,8,?)

15 (3,6,17)

16 (2,17,?)

17 (3,17,19)

18 (2,19,?);(3,19,20)

19 (4,11,13)

20 (2,21,?)

21 (3,22,23)

Quando o regularizador r(S) for mltiplo de 3 , ento um semigrupo gerado para

este nmero ser(3, a , b)em quea e b so os primeiros dois nmeros maiores quer(S).

55


56/62

Na figura abaixo encontramos mais semigrupos que obedecem as mesmas caracte-

rsticas dos semigrupos da tabela.

Figura 5: Semigrupos do tipo (a,b,c)com mdc(a,b,c) = 1

56


57/62

Notas

Podemos observar alguns estudos muito interessantes com a utilizao dos semi-

grupos como por exemplo aplicao e utilizao de semigrupos na confeco de redes

sociais,geometria dinmica, topologia, equaes diferenciais entre outras.

Em vrios sites podemos ler alguns artigos referentes a estes estudos e sobre algumas

aplicaes dos semigrupos numricos.

Alguns destes sites esto relacionados abaixo e podem ser uma grande inspirao

para o comeo do estudo acerca destas estruturas to importantes e interessantes.

http://pendientedemigracion.ucm.es/info/pecar/Articulos/Boyd.pdf

http://posugf.com.br/biblioteca/?word=Semigrupos

http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/45/45132/tde-31082010-093717/pt-br.php

http://mtm.ufsc.br/pos/ementaMTM510002.html

http://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/demat/PASTA-PROF/raposo/volume-

32.pdf

57


58/62

7 Consideraes finais

O estudo de semigrupos com uma quantidade finita de elementos , apesar da

simplicidade, rico em detalhes, havendo inmeras propriedades que relacionam seus

elementos. Os semigrupos possuem caractersticas prprias podendo at gerar um

estudo s para eles, como no caso dos semigrupos do tipo 2n.3. Algumas caractersticas,

como o mdc entre seus geradores, o nmero de geradores, entre outras, podem ser

estendidas para todos os semigrupos.

Analisando a quantidade de elementos dos semigruposSe sua relao com o nmero

de Frobenius, temos um vasto campo de estudo no ensino mdio no qual podemos

trabalhar o raciocnio lgico matemtico alm de contedos como funes e progresses

aritmticas.

Num campo mais avanado ,os semigrupos tambm tem vrias aplicaes em geo-

metria algbrica, em particular na geometria e topologia de curvas planas singulares.

Devemos tambm ressaltar a importncia do Teorema de Sylvester nos estudos des-

tes semigrupos, no s por fazer parte determinante nas demonstraes, mas tambm

por exercer um importante papel na determinao de muitos destes semigrupos.

J existem vrios trabalhos envolvendo semigrupos gerados por 3 ou mais elementos

envolvendo sistemas dinmicos e criao de redes sociais, o que nos leva a entender mais

ainda a importncia do estudo deste assunto nos dias de hoje.

Porm, a inteno deste trabalho era mostrar um pouco de semigrupos, um assunto

bastante interessante, para despertar o interesse dos estudantes e dos colegas em relao

esse assunto.

58


59/62

8 Apndices

Teorema 9. [ Teorema de Pick] Dado um polgono simplesP, sejamB o nmero de

pontos da fronteira eIo nmero de pontos interiores, ento a reaA(P)desse polgono

dada por

A(P) =1

2B+ I 1

Exemplos do Teorema de Pick:

Figura 6: Teorema de Pick

Exemplo 24. Na figura 6, B = 20 e I = 8, portanto a rea 1

2 x20 + 8 1 = 17

unidades quadradas.

59


60/62

Figura 7: Teorema de Pick

Exemplo 25. Na figura 7, B = 21 eI= 5, portanto a rea 12

x 21 + 5 - 1 = 14,5

unidades quadradas.

60


61/62

9 Referncias Bibliogrficas

Referncias

[1] Monteiro, Antonio e Matos, Isabel. lgebra, um primeiro curso. Escolar 1995.

[2] Abramo, Hefez. Irreducible Plane Curve Singularities. In Real and Complex Sin-

gularities. D. Mond and M. J. Saia, Editors, Lecture Notes in Pure and Applied

Math. Vol. 232, Marcel Dekker, 1-120, 2003.

[3] Abramo, Hefez. Elementos da Aritmtica, SBM,2011.

[4] Lima, Elon Lages. Anlise Real Vol 1 , 2a edio , Coleo Matemtica Universi-

tria , IMPA 2003.

[5] Lima, Elon Lages. Anlise Real Vol 2, 5a edio , Coleo Matemtica Universi-

tria , IMPA 2010.

[6] Domingues, Hygino H e Iezzi, Gelson. lgebra Moderna , 4a edio , Editora Atual

( Grupo Saraiva) , 2006.

[7] Durbin, John R. Modern Algebra - an introduction, John Wiley e Sons, 1995.

[8] Garcia, Ronaldo Alves, Dinmica e Geometria, 2o Colquio de Matemtica da

Regio Nordeste, UFPI, 2012.

[9] Garcia, Ronaldo Alves, Semigrupos Numricos e o Teorema de Sylvester, Revista

da Olimpada de Matemtica do Estado de Gois, vol.8: paginas 47-66, UFG,

2013.

[10] Wasserman, S.Y.K.F. Social Network Analysis. Methods and applications. Cam-bridge University Press, Cambridge, 1994.

[11] Singh, Simon. O ltimo Teorema de Fermat,Record ,1998.

[12] Arnold, V., Arithmetical turbulence of selfsimilar fluctuations statistics os large

Frobenius numbers of additive semigroups of integers. Moscow Math. Journal

7:173-193, (2007).

61


62/62

[13] Arnold, V., On additive semigroups starting parts. Funct. Anal. Other Math.,

2:81-86, (2008).

[14] Disponvel em: Acesso em : 10 de ju-

nho de 2013.

[16] Disponvel em: < http://link.springer.com/article/10.1007/s11853-011-0048-9 >

Acesso em 15 de julho de 2013.

[17] Disponvel em: < Disponvel em: < http://www.mat.ufmg.br/ ana-

cris/Rafael2.pdf> Acesso em : 15 de julho de 2013.

dissertação - leonardo alcântara portes - 2013

Documents