discutindo diferentes significados de equação num curso de
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UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ETIENNE LAUTENSCHLAGER
Discutindo diferentes significados de Equação num curso
de Formação Continuada de Professores
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UNIBAN
SÃO PAULO
2012
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
ETIENNE LAUTENSCHLAGER
Discutindo diferentes significados de Equação num curso
de Formação Continuada de Professores
Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Universidade Bandeirante de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de título de Magister Scientiae em Educação Matemática, sob orientação da Doutora Angélica da Fontoura Garcia Silva.
UNIBAN
SÃO PAULO
2012
Lautenschlager, E.
Discutindo diferentes significados de Equação num curso de
Formação Continuada de Professores / Etienne Lautenschlager. – [s.n.], 2012.
São Paulo. Xxxf.; 30cm.
Dissertação de Mestrado – Universidade Bandeirante de São Paulo,
Mestrado Acadêmico em Educação Matemática.
Orientadora: Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva.
1. Multisignificados de Equação 2. Equação 3. Educação
Algébrica 4. Educação Matemática 5. Formação de
Professores
I. Título
Banca Examinadora ________________________________________ Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva (Presidente – Orientador) ________________________________________ Prof. Dr. Alessandro Jacques Ribeiro (Titular Externo - UFABC). ________________________________________ Prof. Dra. Dra. Siobhan Victoria (Lulu) Healy (Titular interno – Uniban) ________________________________________ Prof. Dr. Salahoddin Shokranian (Titular Externo - UNB).
Autorizo a reprodução e divulgação total ou parcial deste
trabalho, por qualquer meio convencional ou eletrônico, para fins
de estudo e pesquisa, desde que citada a fonte.
_________________ ____________________ Assinatura Local e data
Dedico este trabalho à minha família e aos meus antepassados.
AGRADECIMENTOS
À Professora Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva, por acolher-me e
dedicar-se para que este trabalho fosse concluído. Professora, meus sinceros
agradecimentos.
Ao professor Adilson de Morais, pela ajuda inestimável e apoio desde a
graduação.
Ao professor Luiz Antonio de Morais, pelas conversas,
pela atenção, pelos conselhos ―infalíveis‖.
Aos professores do Curso de Pós-Graduação em Educação Matemática, em
especial aos professores Dr. Ruy César Pietropaolo e Dr. Luiz Gonzaga Xavier de
Barros, que me apontaram novos caminhos.
Ao Professor Dr. Alessandro Jacques Ribeiro pela orientação no início deste
trabalho, pelo apoio, amizade, e por estar sempre presente, mesmo de longe.
À Professora Dra. Siobhan Victoria Healy, pelas valiosas contribuições a este
trabalho.
Ao Professor Dr. Salahoddin Shokranian, por ouvir-me falar incessantemente
deste trabalho, pelas sugestões, esclarecimentos das minhas dúvidas e por todo
apoio prestado.
Aos professores colaboradores dessa pesquisa, pelas reflexões
proporcionadas durante a Formação.
Aos meus pais, Jorge e Odízia, à minha irmã Lucienne, pelas palavras de
apoio e pelo carinho. À minha irmã, pelo constante incentivo para que eu
ingressasse no Mestrado e pela colaboração em ler este texto.
Aos colegas de curso que, direta ou indiretamente, contribuíram para a
realização desta pesquisa, em especial: Isabela Galvão Barbosa Stempniak,
Edvonete Souza de Alencar, Ronaldo Sovenil, Fábio Amaro, Gileno Moura do
Nascimento, Wellerson Quintaneiro e Rosangela Ando.
Na maior parte das ciências, uma geração põe abaixo o que a outra construiu, e o que a outra
estabeleceu a outra desfaz. Somente na Matemática é que cada geração constrói um novo
andar sobre a antiga estrutura.
(Hermann Hankel)
RESUMO
O presente estudo preocupou-se em investigar o conhecimento profissional
docente de professores participantes de um curso de formação continuada sobre
noções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de equações. Para a
realização da pesquisa, desenvolveu-se um curso de formação continuada que
priorizou a realização de estudo, análise e discussão das diferentes concepções de
Álgebra, sobretudo no que se refere às diferentes formas de ver e de tratar a noção
de equação. A fundamentação foi construída a partir de teorias que discutem a
formação de professores, como em pesquisas que investigam questões didáticas
relacionadas à equação. Em relação à primeira abordagem, apoiou-se, sobretudo,
em estudos de Shulman e Ball et al., ampliados pelas discussões de Serrazina. Em
relação às questões didáticas associadas ao objeto matemático, utilizou-se a
classificação proposta por Ribeiro para os multisignificados das equações. A
metodologia foi qualitativa e se desenvolveu por meio da análise de um processo de
formação continuada. Para a coleta de dados da pesquisa de campo, utilizou-se
como instrumentos questionários, registros escritos de observações colhidos nas
três sessões de formação de quatro horas cada. Os dados obtidos no questionário
inicial sugeriam que, no geral, os professores dotados de maior compreensão sobre
as equações conseguiram aprofundar reflexões sobre questões relacionadas à
justificativa das estratégias utilizadas pelos estudantes. Observou-se ainda uma
relação intrínseca entre domínio do conhecimento do conteúdo com o conhecimento
pedagógico e curricular. A análise dos planos de aula elaborados pelos professores
antes e depois do processo formativo exibe que, depois da intervenção, houve uma
maior preocupação em relação à proposição de situações de aprendizagem que
contemplavam uma maior variedade de significados assumidos pelo conceito de
equação.
Palavras-chaves: Educação Matemática; Conhecimento Profissional Docente;
Formação de Professores; Multisignificados de Equação; Ensino de Equação.
ABSTRACT
This study was concerned with researching professional teaching knowledge
of teachers participating in continued formation classes on equations learning and
teaching processes notions. For research purposes, continued formation classes
were developed, giving priority to study, analysis and discussion on different
conceptions of Algebra, especially about different ways to see and work the notion of
equation. The background to this study was built from theories that discuss teachers
formation, as they were set in researches investigating didactic questions related to
equations. Concerning the first approach, this study was supported especially by
Shulman and Ball et al., extended by Serrazina‘s discussions . Concerning didactic
questions associated to the mathematical object, it was used the classification
proposed by Ribeiro to ―Multisignificados das equações‖ [Equations multimeanings].
It was used qualitative methodology developed by analyzing a continued formation
process. The data collection of field research was made with questionnaires,
observation written logs collected during the three formation sessions, four hours
each. Data obtained in the initial questionnaire suggested that teachers with more
comprehension of equations were in general more able of deepening reflections
about questions related to interpreting the strategies used by students. It was noted
also an intrinsic relation between content knowledge and pedagogical and curricular
knowledge. The analysis of class plans made by the teachers before and after the
formation process shows that, after intervention, a bigger concern related to learning
situations proposition was noted, including more variety of meanings present in the
concept of equation.
Keywords: Mathematical Education; Professional Teachers Knowledge; Teachers
Formation; Multisignificados de Equação; Equation Teaching.
SUMÁRIO
Apresentação ........................................................................................................... 13
Capítulo 1: Motivações... ........................................................................................ 15
1.1 Introdução ................................................................................................................. 15
1.2 Relevância do Tema ................................................................................................. 22
Capítulo 2: Um olhar sobre pesquisas anteriores ................................................ 25
2.1 Sobre Álgebra ........................................................................................................... 25
2.2 Sobre Educação Algébrica e Ensino da Álgebra ....................................................... 28
2.3 Sobre equação .......................................................................................................... 33
2.4 Formação de professores .......................................................................................... 39
Capítulo 3: Metodologia da Pesquisa .................................................................... 49
3.1 A Formação ............................................................................................................... 50
3.2 Os participantes da formação .................................................................................... 52
3.3 O cenário da investigação: Movimento de Mudança Curricular ................................. 54
3.4 O primeiro dia da Formação ...................................................................................... 59
3.5 O segundo dia da Formação ..................................................................................... 63
3.6 O terceiro dia da Formação ....................................................................................... 66
3.7 Análises dos Dados ................................................................................................... 67
Capítulo 4: Apresentação e Análise dos Dados ................................................... 68
4.1 Análise do questionário ............................................................................................. 68
4.2 Análise dos relatos dos planos de trabalho docente .................................................. 80
4.3 Análise do material de apoio: Caderno do Professor ................................................. 87
4.4 Análise do segundo relato ......................................................................................... 90
Capítulo 5: Considerações finais ........................................................................... 99
Bibliografia ............................................................................................................. 106
Anexos ................................................................................................................... 110
Anexo 1: Proposta de Formação Continuada em Matemática ....................................... 110
Anexo 2: Termo de consentimento livre e esclarecido ................................................... 114
Anexo 3: Atividade realizada no primeiro dia do encontro ............................................. 115
Anexo 4: Atividade realizada no segundo dia do encontro: ........................................... 118
Anexo 5: Atividade realizada no terceiro dia do encontro .............................................. 119
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Álgebra em quadrinhos .............................................................................. 25
Figura 2: Categorias de Ball e Shulman .................................................................... 44
Figura 3: Exemplo de situação de aprendizagem sugerida no Caderno do Professor e apresentada no Caderno do Aluno – 6ª série – vol. 4. ........................................... 56
Figura 4: Exemplo de situação de aprendizagem sugerida no Caderno do Professor e apresentada no Caderno do Aluno – 6ª série – vol.4. ............................................ 57
Figura 5: Caderno do Aluno – 6ª série, vol.4. ............................................................ 59
Figura 6: Resposta da Professora A para a questão 2. ............................................. 70
Figura 7: Resposta da Professora J para a questão 2. ............................................. 71
Figura 8: Relato da Professora A .............................................................................. 83
Figura 9: Relato da Professora J ............................................................................... 84
Figura 10: Relato da Professora B ............................................................................ 85
Figura 11: Caderno do Professor, 6ª série, vol. 4, p.17 (2008) ................................. 88
Figura 12: Caderno do Professor, 6ª série, vol. 4, p.23 (2008) ................................. 89
Figura 13: Orientações do Caderno do Professor – 6ª série, vol.4, p.29 (2008) ....... 90
Figura 14: Segundo relato da professora A ............................................................... 92
Figura 15: Continuação do segundo relato da professora A ..................................... 93
Figura 16: Segundo relato da Professora B .............................................................. 95
Figura 17: Trecho do segundo relato da Professora B .............................................. 96
Figura 18: Segundo relato da professora J ............................................................... 96
Figura 19: Trecho do segundo relato da professora J ............................................... 97
Figura 20: Trecho do segundo relato da professora A .............................................. 98
Figura 21: Protocolo do professor C ........................................................................ 101
Figura 22: Protocolo do professor I ......................................................................... 101
Figura 23: Protocolo do professor D ........................................................................ 102
Figura 24: Avaliação da professora B ..................................................................... 104
Figura 25: Avaliação do professor I ......................................................................... 104
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Álgebra no ensino fundamental ................................................................ 31
Quadro 2: Definições de Equação ............................................................................. 34
Quadro 3: Multisignificados de Equação ................................................................... 37
Quadro 4: O processo de formação .......................................................................... 51
Quadro 5: O grupo de professores ............................................................................ 53
Quadro 6: A álgebra nos cadernos ............................................................................ 55
Quadro 7:Questão 1 .................................................................................................. 69
Quadro 8: Questão 2 ................................................................................................. 70
Quadro 9: Questão 3 ................................................................................................. 72
Quadro 10: Questão 4 ............................................................................................... 74
Quadro 11: Questão 5 ............................................................................................... 77
Quadro 12: Questão 6 ............................................................................................... 79
Quadro 13: Significados de equação empregados no primeiro relato ....................... 82
Quadro 14: Significados de equação empregados no segundo relato ...................... 91
13
Apresentação
A pesquisa que aqui apresentamos, elaborada sob o título ―Discutindo os
diferentes significados de Equação num curso de Formação Continuada de
Professores‖, está vinculada à linha de pesquisa Formação de Professores que
Ensinam Matemática do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo (Uniban), e busca investigar e observar o
conhecimento profissional docente sobre equação empregado no processo de
formação continuada e também os significados de equação utilizados pelos
professores de Matemática quando estão envolvidos em um processo de formação
no qual lhes são propiciadas possibilidades de reflexão sobre a sua prática
pedagógica. Procuramos observar como a discussão dos Multisignificados de
Equação poderia proporcionar o aperfeiçoamento e a ampliação dos conhecimentos
sobre Equação em um curso de formação continuada de professores de
Matemática.
Para o desenvolvimento de tal pesquisa, teremos como aportes teóricos as
contribuições de diferentes pesquisadores, dentre as quais os trabalhos de Shulman
(1986), Ball et al. (2008), ampliadas pelos estudos de Serrazina (2012),para discutir
o conhecimento do professor; nos apoiamos também em Ribeiro (2007) para
analisar as concepções de equação observadas no curso de formação.
Para apresentar esse estudo, organizamos este texto em cinco capítulos, os
quais descreveremos a seguir.
No primeiro capítulo, apresentamos nossa problemática de pesquisa, alguns
dos motivos que nos levaram a investigar a Educação Algébrica e uma análise de
algumas pesquisas existentes sobre o tema, objetivando ampliar nossa justificativa e
discutir a teoria que utilizaremos neste estudo. Encerraremos o capítulo
apresentando e discutindo algumas pesquisas que justificam a relevância do tema.
No segundo capítulo, discutimos alguns trabalhos que versam sobre a álgebra
e seu ensino. Também apresentaremos as diferentes definições de equação,
identificadas por Pereira (2005) e, em especial, os diferentes significados de
equação (RIBEIRO, 2007), que entendemos permear as análises dos planos de
trabalho dos docentes envolvidos nesta pesquisa. Apontamos ainda neste capítulo,
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as pesquisas referentes à Formação de Professores e ao Conhecimento Profissional
Docente, como a que concerne ao objeto matemático equação.
No terceiro capítulo, discutimos a metodologia da pesquisa e faremos uma
análise preliminar do nosso instrumento de coleta de dados, na qual apresentamos
as possíveis respostas para cada atividade que compõem o referido instrumento.
No quarto capítulo, apresentamos os dados obtidos durante o processo de
formação e sua análise.
Finalmente, no último capítulo, relatamos brevemente o percurso do trabalho,
as análises feitas e as relacionamos com resultados de outras pesquisas.
Comentamos as ―limitações‖ da pesquisa, possibilidades e, finalmente, indicamos a
necessidade de novos trabalhos.
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Capítulo 1
Motivações...
1.1 Introdução
O colégio me aborrecia. Tomava muito tempo que eu teria preferido consagrar aos desenhos de batalhas ou a brincar com fogo. O ensino religioso era terrivelmente enfadonho e as aulas de Matemática me angustiavam. A Álgebra parecia tão óbvia para o professor, enquanto que para mim os próprios números nada significavam: não eram flores, nem animais, nem fósseis, nada que se pudesse representar, mas apenas quantidades que se produziam contando... Para minha surpresa, os outros alunos compreendiam tudo isso com facilidade. Ninguém podia me dizer o que os números significavam e eu mesmo não era capaz de formular a pergunta. Com grande espanto descobri que ninguém entendia a minha dificuldade... O fato de nunca ter conseguido encontrar um ponto de contato com as Matemáticas (embora não duvidasse que era possível calcular validamente) permaneceu um enigma por toda minha vida. O mais incompreensível era a minha divida moral quanto à Matemática... As aulas de Matemática tornaram-se o meu horror e o meu tormento, mas como tinha facilidade nas outras matérias, que me pareciam fáceis, e graças a uma boa memória visual, conseguia desembaraçar-me também no tocante à Matemática: meu boletim geralmente era bom, mas a angústia de poder fracassar e a insignificância da minha existência diante da grandeza do mundo provocavam em mim não apenas mal-estar, mas também uma espécie de desalento mudo que acabou por me indispor profundamente com a escola.(JUNG, apud MACHADO, 2004, p.2-3, grifos nossos)
Nem sempre as palavras conseguem traduzir sentimentos, mas ao me
deparar com o depoimento de Carl Gustav Jung percebi que nele estavam
expressos alguns dos meus sentimentos enquanto aluna.
As aulas de Matemática, durante minha Educação Básica, eram meu
tormento! Eu tinha dificuldades para compreendê-las. Lembro-me que na antiga
sexta série do Ensino Fundamental as minhas dificuldades aumentaram e comecei a
ter muitos problemas para compreender essa disciplina. Nessa época comecei a
acreditar que para compreender a Matemática era necessário ter uma espécie de
―dom divino‖ e, definitivamente, eu estava convencida de que não era portadora
desse dom.
Tudo piorou, lembro-me bem, quando as letras começaram a fazer parte das
contas. Que terror! Como posso fazer ―continhas‖ com letras? O que são essas
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letras? Não posso fazer as contas com os números em seus devidos lugares desde
o início da conta?
Eu tinha muitas perguntas, mas não eram as perguntas esperadas pelos
meus professores. Ninguém parecia entender minhas dificuldades, que por muitas
vezes foram confundidas com a falta de comprometimento com os estudos. Eu não
conseguia formular as tais perguntas esperadas e em contrapartida eles não
respondiam aos meus questionamentos.
Lembro-me de certa vez perguntar para minha antiga professora de
matemática: o que era raiz quadrada? Por que tem o nome de raiz? Que conta era
essa? Ela apenas respondeu que era assim e ponto final... Que revolta... Eu
continuava sem entender nada...
Assim o tempo passou até que desisti de entender a Matemática e resolvi
apenas cumprir as regras e procedimentos que me eram ensinados sem questioná-
los e esperar o tempo passar, até que eu pudesse ter a chance de escolher uma
graduação em que a Matemática passasse bem longe.
Dessa forma, como sempre demonstrei certa afinidade com Biologia e
Química, minha primeira opção foi cursar a Medicina, pois acreditei, como em um
ledo engano, que para ser médico bastava saber alguns poucos assuntos básicos
de Matemática.
Prestei alguns vestibulares, logo após me dedicar aos estudos em cursinhos
preparatórios, e meu desempenho nas avaliações de Matemática teimava em
continuar abaixo do esperado.
Como demonstrava certa facilidade em entender as demais matérias e o meu
problema de aprendizagem parecia estar concentrado numa disciplina específica, foi
então que aceitei o desafio e decidi entender a tão temida Matemática. Dessa forma,
no segundo semestre de 1998 comecei a estudar na Universidade Braz Cubas
(UBC) o curso de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Neste momento, o
meu objetivo era procurar todas as respostas para as perguntas que eu tinha e,
portanto, me dediquei muito aos estudos. Percebi que não era necessário ter um
―dom divino‖. As ―coisas‖ só começaram a fazer sentido na faculdade e eu me
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perguntava a todo instante: por que não me mostraram isso antes? Por que só
naquele momento, já cursando a faculdade, é que eu tive a oportunidade de
descobrir algumas das respostas para as minhas perguntas?
Nesse momento, então, percebi que meus professores talvez não soubessem
as respostas para minhas perguntas. Foi aí que observei a relação intrínseca entre a
atividade docente e um profundo conhecimento do conteúdo específico. Todavia,
minha concepção ainda acreditava que para ser um bom professor de Matemática,
era suficiente saber Matemática.
Ainda com relação à minha formação inicial, hoje observo que, se por um lado
algumas questões sobre o conhecimento específico do conteúdo foram bastante
discutidas durante minha formação inicial, outras questões como ―quais estratégias
podemos empregar para o ensino de determinado assunto?‖, ―por onde eu
começo?‖ ―como selecionar atividades?‖ ―como avaliar o aluno em Matemática?‖,
não foram privilegiadas.
Dessa maneira, observo que minha concepção sobre a formação de
professores também foi se modificando: saber Matemática é de fundamental
importância para o desenvolvimento da prática docente; todavia, somente esse
conhecimento não é suficiente para ser professor. Tal mudança tem relação com
minha vivência profissional.
Ainda durante a graduação, fui convidada a integrar o grupo de pesquisas do
Núcleo de Matemática e Matemática Aplicada da UBC, no qual tive a oportunidade
de trabalhar com a Formação de Professores e percebi que há muitas lacunas, pois
a grande maioria dos professores envolvidos no projeto apresentava uma formação
com grande defasagem dos conteúdos matemáticos elementares.
Tal projeto desenvolvido pelo Núcleo de Pesquisas em Matemática e
Matemática Aplicada (NUPEMAP) da UBC foi desenvolvido em parceria com as
Diretorias Regionais de Ensino de Mogi das Cruzes, Suzano e Itaquaquecetuba, e
tinha por objetivo contribuir para a formação de professores do Ensino Fundamental
no que se refere ao ensino de Matemática. Neste projeto, que contava com a
presença de 120 professores de Matemática, desenvolvíamos diferentes atividades.
Ao realizarmos a análise das respostas obtidas em uma dessas atividades, nos
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deparamos com alguns problemas do tipo: os professores, em sua maioria, faziam
confusões entre as figuras planas e figuras tridimensionais e consideravam a
moeda, por exemplo, como um círculo. Isso nos conduzia a retomar o conteúdo e
aprofundá-lo com os participantes.
Acredito, assim como Dantas (1969), que a profissão docente tem imensos
desafios. Para a autora ―a maioria dos nossos professores precisa, acima de tudo,
sobrepujar as deficiências de sua educação; isto é, aprender a raciocinar bem,
abstrair e generalizar e, portanto, poder receber novas informações‖. (DANTAS,
apud PINTO, 2007, p.251). Dessa forma, ainda em minha formação inicial tive o
primeiro contato com a temática da formação de professores.
Continuando minha trajetória acadêmico-profissional, paralelamente à
atividade de professora da rede pública passei a trabalhar em cursos e grupos de
pesquisa em formação inicial e continuada de professores que ensinam Matemática.
O início dessa nova atividade moveu-me a buscar mais trabalhos que
abordam o tema ―Formação de Professores‖. Cito, por exemplo, Imbernón (2006,
p. 57-65). O autor me apresentou uma visão mais ampla do que a discussão que
vivenciei durante minha licenciatura sobre a temática de formação de professores. O
autor considera formação de professores como um processo contínuo de construção
de conhecimentos e habilidades para a docência. Nesse estudo, Imbernón chama a
atenção para o fato de que a formação de professores já tem início na escolarização
básica. Dessa forma, para o autor, quando um professor ingressa no curso de
Licenciatura já está impregnado de concepções, conhecimentos, imagens e ideias
que provavelmente serão reproduzidos no início de sua prática profissional. Tais
observações me fizeram refletir sobre as ideias que eu tinha sobre a relação entre a
aprendizagem dos alunos e a prática docente. Observei o quanto minha relação com
a matemática e meus professores foi fortalecida no processo de minha formação
inicial.
Imbernón (2006) discute ainda que o processo de construção do
conhecimento do professor iniciado no curso de licenciatura será aprofundado pela
vivência profissional, ou seja, por meio da interação entre os próprios pares na
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prática e pode ser aprofundado pela busca de novas soluções, pela análise dos
resultados encontrados por outros professores ou mesmo por diferentes estudos.
Dessa forma, mesmo ampliando minhas primeiras ideias sobre o tema,
observava que minhas reflexões eram acompanhadas de dúvidas e incertezas.
Assim, tal leitura me fez sentir ainda mais a necessidade de aprofundar e ampliar
meus estudos de forma mais sistemática, no que diz respeito à Formação de
Professores.
Destarte, decidi por ingressar no mestrado em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo (UNIBAN), onde procurei a linha de
pesquisa de Formação de Professores que ensinam Matemática, dado que
pretendia trazer algumas contribuições para a formação continuada de professores
de Matemática. Influenciada pelas ideias de Chazan & Yerushalmy (2003), escolhi
inicialmente concentrar meus estudos no campo da Educação Algébrica, visto que
para os autores um caminho para compreender a relação entre conhecimento dos
professores e desempenho dos alunos é a concentração em uma determinada área
curricular. Os autores acreditam ainda que a diversidade de pensamento sobre o
que constitui a álgebra e como ela pode ser ensinada é um desafio importante na
análise do conhecimento do professor no contexto da álgebra escolar.
Ao entrar na UNIBAN fui convidada a participar de um projeto de pesquisa,
que já estava em andamento, que pretendia trazer contribuições para a formação
inicial e continuada de professores de Matemática no campo da Educação Algébrica,
mais especificamente ao ensino e à aprendizagem de equações. Como tal projeto
parecia atender aos meus primeiros anseios, resolvi também focar minha pesquisa
no ensino e na aprendizagem de equações.
Durante minha participação nesse grupo, foi-me apresentado um panorama
das diferentes visões de Álgebra e da Educação Algébrica. Também tomei
conhecimento da pesquisa realizada por Ribeiro (2007) sobre as diferentes formas
de conceber a noção de equação e de algumas pesquisas realizadas anteriormente
abordando os Multisignificados de Equação e Professores de Matemática. É o caso
de Barbosa (2009), que realizou uma pesquisa objetivando identificar como os
diferentes significados de equação, categorizados por Ribeiro, se manifestavam nas
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concepções de professores de Matemática; e de Stempniak (2010), que procurou
investigar como futuros professores de matemática veem, interpretam e tratam
situações matemáticas que contemplem os diferentes significados de equação
(Ribeiro, 2007).
Assim sendo, dei início aos meus estudos para realizar minha pesquisa.
Nesse sentido, a temática de minha dissertação se fundamenta em teorias que
versam sobre as questões didáticas acerca do objeto matemático: equação como
nos estudos que investigam sobre a formação de professores. Quanto ao primeiro
enfoque, nos apoiamos em estudos de Fiorentini, Miorin e Miguel (1993) e Usiskin
(1995) sobre Álgebra e Ensino da Álgebra; nas ideias de Ribeiro (2007) sobre os
Multisignificados de Equação. No que concerne às questões relacionadas à
formação de professores, nos baseamos nos estudos de Shulman (1986) referentes
à compreensão de processos de aprendizagem profissional da docência; nas de Ball
et al. (2008) sobre os três componentes no conhecimento matemático: o
conhecimento da disciplina, o conhecimento sobre a disciplina e a relação do
professor com a disciplina.
Tais pesquisas citadas serão retomadas de forma mais ampliada na revisão
de literatura e na fundamentação teórica da presente pesquisa.
Destarte, anunciamos o objetivo desta pesquisa de maneira sucinta, o qual
será retomado e discutido ao longo do desenvolvimento deste estudo. Nosso
objetivo é investigar o conhecimento profissional docente de professores
participantes de um curso de formação continuada sobre noções relativas aos
processos de ensino e aprendizagem de equações.
Uma vez que nossa pesquisa tem como cenário um curso de Formação
Continuada, para o desenvolvimento desta dissertação elaboramos e executamos
um curso de formação continuada que priorizou a realização de estudo, análise e
discussão das diferentes concepções de Álgebra, sobretudo no que se refere mais
especificamente às diferentes formas de ver e de tratar a noção de equação. Este
curso, intitulado ―Álgebra: ideias e questões‖ foi destinado aos professores em
exercício efetivo da docência em Matemática na rede pública estadual jurisdicionada
à Diretoria de Ensino do Município de Suzano.
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Antes de prosseguir com a construção desse trabalho, acredito ser importante
para a compreensão da pesquisa esclarecer e fundamentar em que sentido estou
empregando o termo formação continuada de professores.
Em anos bem recentes, alguns autores como Nóvoa (2008), Imbernón (2009)
e Marcelo (2009) vêm centrando suas discussões no conceito de desenvolvimento
profissional docente (em substituição ao de formação inicial e continuada).
As pesquisas como a de Pietropaolo et al. (2009) vêm discutindo questões
relacionadas ao desenvolvimento de processos de formação continuada que
possam contribuir para mudanças da prática docente que favoreçam a melhoria da
qualidade do ensino de Matemática. Os autores chamam a atenção para a
importância de que sejam criadas situações que favoreçam oportunidades aos
participantes de refletir sobre a própria formação continuada de professores:
(...) não se justifica apenas para complementar ou superar prováveis deficiências oriundas da formação inicial, mas também para atender às demandas evidenciadas pelas recentes propostas curriculares para a Educação Básica. Tais propostas incorporam resultados de pesquisas, sobretudo em relação às competências necessárias à prática profissional, às concepções de ensino e aprendizagem e que requerem do professor uma profunda reflexão sobre o seu fazer pedagógico (PIETROPAOLO et al., 2009, p.37)
Dessa forma, considero também que a formação continuada deve ser
observada de forma mais ampla, assim como indicaram os autores. Aliado a isso,
acredito também, assim como Imbernón (2006), que a formação continuada com
vistas ao desenvolvimento profissional deve contemplar os aspectos da prática
docente, observando ainda contextos de sala de aula a fim de permitir ao
profissional possibilidades de revisitar sua prática, favorecera reflexão e permitir sua
reconstrução.
Assim, continuando a construção dessa pesquisa, apresento a seguir a
discussão de alguns trabalhos desenvolvidos sobre Álgebra, Educação Algébrica e
Formação Profissional Docente que serviram para reforçar minhas conjecturas sobre
a relevância desta pesquisa.
22
1.2 Relevância do Tema
Para justificar a relevância da realização de estudos sobre esse tema,
apresentaremos algumas pesquisas discutidas no âmbito da área de Educação
Matemática.
Em relação às questões didáticas associadas ao objeto matemático, estudos
como os de Santos (2005), apoiados em Yamada (1997), discutem a importância
que o ensino e aprendizagem da Álgebra ocupam na Educação Básica.
Todavia, vale ressaltar que há muitos problemas relacionados à
aprendizagem da Álgebra, e em especial à aprendizagem de equações. Nesse
sentido, há diversos estudos que buscam analisar erros cometidos por estudantes
quando resolvem equações. Kieran (1992), por exemplo, observou que muitos
alunos manipulavam equações de forma mecânica; tal estudo foi confirmado por
pesquisas brasileiras. Recentemente Freitas (2000) e Nogueira (2006), por exemplo,
observaram que nossos alunos cometiam os mesmos erros indicados por Kieran
(1992), tanto ao manipular equações de primeiro grau como as de segundo grau.
Nesse sentido Lima (2007), por exemplo, observou que nas equações de primeiro
grau a falta de conexão entre as técnicas de resolução e a justificativa matemática
acabou por obrigar o aluno a:
(...) memorizar dois procedimentos diferentes- ―passar para o outro lado trocando o sinal‖ e ―passar para o outro lado dividindo‖, que são ambos procedimentos a serem aplicados a cada linha da resolução, o que impede o aluno de ter a compreensão da resolução como um todo. (LIMA, 2007, p.293)
Quanto à resolução das equações quadráticas, a mesma autora afirma que os
estudantes também:
(...) não atribuem significado formal para os métodos que usam. A fórmula de Bhaskara é vista como um procedimento de cálculo, com o qual se obtém o valor de x, e que não tem significado simbólico nem formal. Outros meios de resolução de equações quadráticas, que exigem compreensão de características formais, não são usados e nem mesmo considerados como válidos. (LIMA, 2007, p.292)
Dessa forma, segundo esse mesmo estudo o ensino acaba por ser realizado
por meio ―da repetição, e não pelo significado matemático envolvido‖ (LIMA, 2007).
23
No que se refere ao ensino das equações, Cury et al. chamam atenção para o
fato que:
As dificuldades apresentadas pelos docentes, em especial em conceitos como o de equação, que são ensinados na Educação Básica, constituem-se em entraves para os cursos de Licenciatura em Matemática, pois tais dificuldades podem acarretar consequentes problemas na compreensão de Matemática por parte de seus alunos. (CURY et al., 2011, p.144)
No que concerne ao foco no Conhecimento Profissional Docente, pesquisas
como as de Doerr (2004); Chazan & Yerushalmy (2003); Araújo (1999), por exemplo,
apontam para a necessidade de investigações sobre o conhecimento do professor e
a prática de ensino de álgebra.
Doerr (2004) observa como um dos principais obstáculos para mudança na
forma de como a Álgebra é ensinada nas escolas é a falta de um corpo substancial
de pesquisas sobre os conhecimentos dos professores e prática no ensino de
Álgebra.
A autora acima citada alerta ainda para o fato da escassez de investigação de
como os professores aprendem a ensinar Álgebra, como entendem as suas próprias
práticas e como elas se formam e são formadas pela própria prática dentro dos
próprios contextos culturais específicos. A autora argumenta sobre a necessidade de
se haver um foco de investigação sobre aprendizagem de professores. Para a
autora, o foco dessas pesquisas não deve contemplar só a natureza desse
conhecimento, visto que considera mais importante como esse conhecimento é
adquirido e desenvolvido.
O trabalho de Chazan & Yerushalmy (2003) traz uma importante reflexão para
o desenvolvimento desse trabalho, uma vez que os autores apresentam os
seguintes pressupostos: professores possuem algo chamado de conhecimento; esse
conhecimento é adquirido, tanto no ensino como também nas experiências fora da
sala de aula; este conhecimento influencia o modo como os professores atuam com
os alunos e como os envolve no estudo da matemática; quando os professores
possuem certo tipo de conhecimento, as intervenções realizadas em sala de aula
levam a uma maior realização dos estudantes; enquanto os professores não
possuam esse tipo de conhecimento não serão capazes de ensinar de uma maneira
eficaz.
24
Retomarei tais pressupostos ao analisar o conhecimento profissional docente
dos professores envolvidos nessa pesquisa, no capítulo em que analiso os dados
obtidos na realização da formação continuada.
Araújo (1999) desenvolveu uma pesquisa com 378 sujeitos, buscando
verificar o desempenho algébrico e as dificuldades manifestadas por alunos do
primeiro ano de diferentes áreas do conhecimento do Ensino Superior e alunos
concluintes do Ensino Médio. A autora acima citada, após analisar os dados obtidos,
observa que a maioria dos estudantes apresentou baixo desempenho no teste de
Álgebra. A partir daí, desenvolve algumas reflexões objetivando conscientizar os
professores e os cursos de formação de professores sobre a importância de buscar
novos métodos de ensino que propiciem aos alunos uma aprendizagem mais
significativa da Álgebra.
Araújo (1999) apresenta conclusões muito importantes e contributivas ao
constatar, em sua pesquisa, que nos cursos de formação dos professores,
geralmente, ―não existe preocupação de refletir sobre a formação do pensamento
algébrico, para que os futuros professores possam ter uma prática mais significativa,
que garanta uma aprendizagem real da Álgebra.‖ (ARAÚJO, 1999)
Complementando essas considerações, Yamada (1997, apud SANTOS,
2005) ressalta que o ensino de Álgebra tem e terá uma destacada posição devido à
crescente matematização da sociedade, sendo necessário tornar o ensino da
Álgebra mais significativo e menos monótono. A autora também conclui que há uma
urgente necessidade de revisão na formação do professor, atendendo às novas
mudanças de valores da sociedade, e destaca a importância da formação
continuada do professor em serviço.
A importância desse tema é justificada pela importância que o ensino e
aprendizagem da Álgebra ocupam na Educação Matemática Básica evidenciada nos
trabalhos acima citados. Também percebemos, após a leitura desses trabalhos, que
é necessária a realização de estudos sobre o conhecimento dos professores e
prática no ensino de Álgebra. Imaginamos que nossos resultados contribuirão na
busca pela melhoria da qualidade dos cursos que proporcionam a Formação
Continuada dos professores de Matemática.
25
Capítulo 2
Um olhar sobre pesquisas anteriores
Figura 1: Álgebra em quadrinhos
Inicialmente, procuramos uma definição para Álgebra e, em seguida,
discutiremos alguns trabalhos sobre Concepções de Álgebra e Educação Algébrica.
Finalizaremos o capítulo discutindo sobreo Conhecimento Profissional Docente.
Para isso vamos, neste capítulo, apresentar as classificações da Álgebra e as
diferentes Concepções de Educação Algébrica elaboradas por Fiorentini, Miorin e
Miguel (1993) e Usiskin (1995). Apresentaremos também os significados de equação
categorizados por Ribeiro (2007) e as definições de equação identificadas por
Pereira (2005).
Também apresentamos, neste capítulo, algumas pesquisas sobre o ensino e
a aprendizagem da Álgebra e as concepções de equações, algumas das quais
serviram de suporte para a elaboração do nosso instrumento de coleta de dados.
2.1 Sobre Álgebra
Numa tentativa de buscar uma definição para a palavra Álgebra, recorremos
ao dicionário da Língua Portuguesa, no qual encontramos o seguinte significado: é a
―ciência do cálculo das grandezas abstratas, representadas por letras‖ (Dicionário
Aurélio). Consultando um dicionário específico de Matemática, nos deparamos com
a seguinte definição para Álgebra: ―parte da Matemática que estuda equações e
cálculos com variáveis e incógnitas, ambas representadas por letras‖ (IMENES &
LELLIS, 1998). Notamos aqui uma aproximação entre as duas definições.
26
Não satisfeitos com tal definição encontrada, prosseguimos pesquisando em
livros de História da Matemática. Dentre as leituras feitas, encontramos o livro de
Baumgart (1992) que considera estranha e intrigante a origem da palavra ―álgebra‖.
De acordo com o autor, ela é uma variante latina da palavra árabe ―al-jabr‖ (às vezes
transliterada ―al-jebr‖) usada no título de um livro, ―Hisabal-jabrw'al-muqabalah‖, que
foi escrito por volta do ano 825 pelo matemático Mohammed ibn-Musa Khowarizmi e
que frequentemente é citado, abreviadamente, como ―Al-jabr‖.
O autor acima citado menciona que a tradução literal do título completo do
livro é a "ciência da restauração (ou reunião) e redução‖, mas considera que talvez a
melhor tradução fosse simplesmente "a ciência das equações".
Ainda sobre o tema o autor observa que a palavra "álgebra", hoje em dia, tem
um significado muito mais amplo, e por isso há a necessidade de identificar duas
fases: Álgebra antiga (elementar) que contempla o estudo das equações e métodos
de resolvê-las e Álgebra moderna (abstrata) que contempla o estudo das estruturas
matemáticas, tais como grupos, anéis e corpos.
Para o autor, é conveniente traçar o desenvolvimento da álgebra em termos
dessas duas fases, uma vez que a divisão é tanto cronológica como conceitual. Em
Kieran (1995), encontramos que a álgebra muitas vezes é chamada de ―aritmética
generalizada‖.
Definir álgebra não é uma tarefa fácil.
Nesse sentido, Usiskin (1995) nos faz refletir um pouco mais sobre o assunto,
ao afirmar que:
A Álgebra continua sendo um veículo para a resolução de certos problemas, mas também é mais do que isso. Ela fornece meios para se desenvolverem e se analisarem relações. É a chave para caracterização e a compreensão das estruturas matemáticas. (USISKIN, 1995)
O registro mais antigo que remete à álgebra foi o papiro de Rhind escrito por
volta de 1650 a.C. por um escriba chamado Ahmes. Acredita-se que o surgimento
da álgebra aconteceu junto com o surgimento da própria escrita, que também é
considerada uma forma simbólica de representar ideias e acontecimentos.
27
Fiorentini e seus colaboradores apresentam cinco ―leituras do
desenvolvimento da álgebra‖. A primeira parte do debate é sobre a natureza da
álgebra gerando as concepções de tendência tradicional (considera a álgebra como
uma aritmética generalizada) e a tendência moderna (que considera a álgebra como
um sistema simbólico postulacional). A segunda leitura fundamenta-se na
―contribuição das diversas culturas à constituição desse campo de conhecimento‖
(p.79), ou seja, procura evidências do pensamento algébrico nas diferentes culturas
álgebra egípcia, babilônica, pré-diofantina, diofantina, chinesa, hindu, arábica, ou
álgebra da cultura europeia renascentista, dentre outras.
A terceira leitura ―distingue três momentos‖ no desenvolvimento da álgebra
em função das fases evolutivas da linguagem algébrica: a retórica ou verbal, a
sincopada e a simbólica. A fase verbal ou retórica vai dos babilônios até o grego
Diofante. Nesta fase não se fazia uso de símbolos ou abreviações para expressar
pensamentos algébricos. A fase sincopada começa com Diofante ao utilizar
símbolos matemáticos para facilitar a escrita e os cálculos. Estes símbolos eram
geralmente abreviações que expressavam quantidades e operações. Vale ressaltar
que ele é considerado o pioneiro na solução de equações e também é considerado o
pai da álgebra. A fase sincopada se estende por vários anos até François Viète. A
terceira fase é a simbólica, que começa com Viète e se consolida com René
Descartes. Nesta fase as ideias algébricas são expressas somente por meio de
símbolos sem recorrer ao uso de palavras. As notações utilizadas atualmente nas
equações algébricas, como os coeficientes a, b e c para os números conhecidos e x,
y e z para as incógnitas, se deve a René Descartes.
A quarta leitura, fundamentando-se em Jacob Klein, baseia-se ―não mais nos
aspectos exteriores da linguagem algébrica, isto é, no seu maior ou menor grau de
concisão, mas na significação que é atribuída aos símbolos desta linguagem‖ (p.80).
Fiorentini afirma que, segundo Klein, ―pode-se dizer que é somente a partir da
percepção do novo caráter simbólico assumido pela letra que se pode falar em um
verdadeiro nascimento da álgebra, ou seja, esta leitura reconhece em Viète o
autentico fundador da álgebra‖ (p.81). A quinta e última leitura foi a realizada por
Piaget e Garcia (1987); nessa leitura os autores consideram ―aquela que toma como
critério os métodos de abordagem (...) da resolução de equações.‖ (p.81). Piaget e
Garcia (1987), na obra ―Psicogênese e história das ciências‖, distinguiram 3 grandes
28
períodos de desenvolvimento da álgebra: intraoperacional, interoperacional e
transoperacional.
Dessa forma, a partir da análise dessas leituras é que os autores
apresentaram as concepções de Álgebra e assim as nomeiam:
Processológica: nesta concepção a álgebra é vista como um conjunto de
procedimentos específicos (técnicas algorítmicas) para abordar certos tipos de
problemas.
Linguístico-estilística: aqui a álgebra é vista como uma linguagem
artificialmente construída com o objetivo de expressar concisamente procedimentos
específicos.
Linguístico-sintático-semântico: nesta concepção a álgebra é uma linguagem
especifica e concisa, cujo poder criativo e instrumental não reside propriamente em
seu domínio estilístico, mas em sua dimensão sintático-semântica.
Linguístico-postulacional: imprime aos signos linguísticos um grau de
abstração e generalidade sem precedentes, estendendo o domínio da álgebra a
todos os campos da Matemática.
Fiorentini et al. também apresentam, em seu artigo, as concepções de
Educação Algébrica que apresentaremos a seguir. Também apresentaremos, na
próxima seção, outros autores que estabelecem categorias de concepções de
Educação Algébrica e de Álgebra para o ensino em suas pesquisas e que nos
servirão para subsidiar a análise dos dados.
2.2 Sobre Educação Algébrica e Ensino da Álgebra
Iniciamos essa discussão sobre o Ensino da Álgebra. Nesse sentido, faremos
a seguir uma exposição dos estudos feitos por Usiskin (1995) e Fiorentini et
al.(1993) sobre as diferentes concepções de Educação Álgebra identificadas em
suas pesquisas.
No Brasil, Fiorentini et al. (1993) discutem a presença de três concepções de
Educação Algébrica que, historicamente, exercem maior influencia no ensino da
29
matemática da Educação Básica. Os autores apresentam três concepções de
Educação Algébrica, a saber:
Linguístico-pragmática: predominante durante o século XIX estendendo-se
até metade do século XX vincula o papel da álgebra como instrumento de
resolução de problemas à concepção linguístico-semântico-sintática dessa
disciplina.
Fundamentalista-estrutural: predominante nas décadas de 70 e 80 do século
XX (Movimento da Matemática Moderna), cujo foco era as propriedades
estruturais. Esta concepção está baseada na concepção linguístico-
postulacional e nela o papel da álgebra é alicerçar os vários campos da
matemática escolar.
Fundamentalista-analógica: está relacionada à concepção linguístico-
semântico-sintática. Carrega características das duas concepções anteriores,
uma vez que busca recuperar o valor instrumental, demonstrando também
uma preocupação com as propriedades estruturais.
Os autores chamam atenção para o fato de que o ponto comum existente
entre essas três concepções é a redução do pensamento algébrico à linguagem
algébrica, o que nos parece preocupante uma vez que, segundo os autores, todas
elas parecem priorizar o ensino da linguagem algébrica por meio do
desenvolvimento de habilidades manipulativas das experiências algébricas, ou seja,
não demonstram preocupação com o pensamento algébrico. Para os autores, ―em
todos os casos o ensino e aprendizagem da álgebra reduz-se ao transformismo
algébrico‖ (FIORENTINI et al., 1993, p.85).
Usiskin (1995), em sua pesquisa, discute as diferentes concepções da
álgebra em função dos diferentes usos das variáveis no ensino da álgebra na escola
média. Para o autor, a álgebra da escola média tem a ver com a compreensão do
significado das ―letras‖ e das operações com elas.
Nesse sentido, a concepção de Usiskin (1995) propõe a seguinte
categorização:
30
Álgebra como aritmética generalizada. De acordo com esta concepção, as
variáveis são vistas como generalizadoras de modelos e as instruções-chave
para o aluno são traduzir e generalizar.
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de
problemas. Nesta concepção, as instruções-chave são simplificar e resolver e
as variáveis são ou incógnitas ou constantes.
A Álgebra como estudo de relações entre grandezas. Dentro dessa
concepção, a variável é um argumento ou um parâmetro. Cabe ressaltar que
somente dentro desta concepção existem as noções de variável independente
e variável dependente. As instruções-chave são relacionar e fazer gráficos.
A Álgebra como estudo das estruturas. As instruções chave são: manipular e
justificar. A variável é considerada pouco mais do que um símbolo arbitrário.
Nesta concepção, a variável é vista como um objeto arbitrário de uma
estrutura estabelecida por certas propriedades. A Álgebra é vista como o
estudo das estruturas como grupos, anéis, domínios de integridade, corpos e
espaços vetoriais.
Analisando tais concepções, procuramos verificar o que documentos oficiais
brasileiros como os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) e as pesquisas
versam a respeito. De acordo com os PCNs, ―o estudo da álgebra constitui um
espaço bastante significativo para que o aluno desenvolva e exercite sua
capacidade de abstração e generalização‖ (BRASIL, 1998, p.115).
Observamos que nesse mesmo documento há influencias dos estudos aqui
indicados. Analisando as orientações contidas nos PCN notamos, por exemplo, a
presença de todas as concepções propostas por Usiskin. O documento considera
que
pela exploração de situações-problema, o aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra (generalizar padrões aritméticos, estabelecer relação entre duas grandezas, modelizar, resolver problemas aritmeticamente difíceis), representará problemas por meio de equações e inequações (diferenciando, parâmetros, variáveis, e incógnitas, tomando contato com fórmulas), compreenderá a ―sintaxe‖ (regras para resolução) de uma equação. Esse encaminhamento dado a álgebra, a partir da generalização de padrões, bem como o estudo da variação de grandezas possibilita a exploração da noção de função nos terceiro e quarto ciclos. Entretanto, a
31
abordagem formal desse conceito deverá ser objeto de estudo do ensino médio. (PCN, 1998, p. 50)
Nota-se tal influência quando observamos que os autores do documento
ainda destacam que, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico, o
aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as
diferentes concepções da Álgebra. Para indicar tais concepções, apresenta ao leitor
um quadro que, segundo seus elaboradores, ―sintetiza de forma bastante
simplificada as diferentes interpretações da álgebra escolar e as diferentes funções
das letras‖ (BRASIL, 1998, p.116):
Quadro 1: Álgebra no ensino fundamental
Dimensões da
álgebra —
Aritmética
Generalizada Funcional Equações Estrutural
Uso das letras —
Letras como
generalizações do
modelo aritmético
Letras como
variáveis para
expressar relações
e funções
Letras
como
incógnitas
Letras como
símbolo
abstrato
Conteúdos
(conceitos e
procedimentos)
—
Propriedades das
operações
generalizações de
padrões
aritméticos
Variação de
grandezas
Resolução
de
equações
Cálculo
algébrico
Obtenção de
expressões
equivalentes
Encontramos também neste mesmo documento indicações sobre a
preocupação dos elaboradores com a forma como o ensino da temática é
desenvolvido nas escolas. Segundo os PCNs:
É fato conhecido que os professores não desenvolvem todos esses aspectos da álgebra no ensino fundamental, pois privilegiam fundamentalmente o estudo do cálculo algébrico e das equações — muitas vezes descoladas dos problemas. Apesar de esses aspectos serem necessários, eles não são, absolutamente, suficientes para a aprendizagem desses conteúdos. (BRASIL, 1998, p.117)
O texto conclui considerando que, para que haja uma maior compreensão
sobre o tema, há necessidade de ―um trabalho articulado com essas quatro
dimensões ao longo dos terceiro e quarto ciclos‖(BRASIL, 1998, p.117). Dessa
32
forma, acreditamos que a concepção de álgebra presente nos PCNs se assemelha à
concepção proposta por Fiorentini et al. (1993).
Todavia, isso não parece uma tarefa fácil. Estudos como o de Araújo (1999)
afirmam que ―repensar o ensino da álgebra consiste em um grande desafio‖. Para a
autora, as mudanças só ocorrerão quando houver a conscientização dos
professores de que a atividade algébrica e o pensamento algébrico não se
constituem apenas como cálculos repetitivos com letras, mas ocorrem sempre que
houver envolvimento em contextos nos quais se necessita generalizar, discernir e
descrever estruturas ou modelos.
Ainda sobre o ensino da Álgebra, notamos a complexidade do assunto nas
palavras de Barbosa:
Encontrar um modo de ensinar Álgebra de forma que os alunos realmente se apropriem de seus significados é um dos principais objetivos de todo pesquisador em Educação Algébrica, e certamente um dos objetivos de todo professor que ensina Matemática. (BARBOSA, 2009, p.26)
Complementando essas ideias, Santos (2005) afirma que a construção de
estruturas necessárias à compreensão de conceitos matemáticos deve ser o
principal objetivo do ensino dos professores de Matemática.
Assim, acreditamos que o processo de ensino e aprendizagem da álgebra
não pode ser reduzido ao mero procedimento de reprodução dos passos ou das
técnicas ensinadas pelo mestre. As discussões propostas nos trabalhos acima
analisados parecem apontar para a necessidade da promoção de atividades para os
estudantes que contemplem as diferentes concepções de educação algébrica.
Partindo dessas primeiras leituras e reflexões sobre a álgebra e seu ensino, e
das observações e estudos realizados durante a participação no grupo de pesquisa
na UNIBAN, sentimos a necessidade de delimitar nosso estudo e assim nos
deteremos somente ao estudo das equações.
Dessa forma, prosseguiremos nosso estudo buscando compreender um
pouco mais sobre o assunto.
33
2.3 Sobre equação
Começamos a busca pela definição de equação e para isso recorremos
novamente ao Dicionário da Língua Portuguesa, que apresenta o seguinte
significado: ―afirmação da igualdade de duas expressões ligadas pelo sinal =, que só
se verifica para determinados valores das incógnitas nela contidas‖.
Ainda encontramos a seguinte definição no Dicionário de Matemática:
―expressão algébrica indicada por uma igualdade, onde há valores desconhecidos
expressos por letras (incógnitas)‖.
Prosseguindo com nossa pesquisa, encontramos a dissertação de Pereira
(2005) que, após realizar uma pesquisa em diferentes livros didáticos sobre as
Equações, apresenta um quadro síntese com a definição e o procedimento utilizado
pelo autor do livro analisado por ele na resolução de uma equação polinomial do
primeiro grau. A seguir, apresentaremos parte dessas informações:
34
Quadro 2: Definições de Equação
Livro Definição de Equação Procedimento para a resolução de uma equação polinomial do
primeiro grau
IEZZI, Gelson et al. Matemática e Realidade. 6ª série. São Paulo: Atual, 1984.
Sentença aberta expressa por uma igualdade.
Operações aplicadas simultaneamente nos dois membros
da Equação a fim de isolar a incógnita no primeiro membro da
igualdade.
SANGIORGI, Osvaldo. Matemática: um curso moderno. Volume 2. São Paulo: Companhia Editora Nacional, 1968.
Sentenças numéricas abertas que exprimem a igualdade
entre duas expressões numéricas.
Transposição de termos mediante o emprego das operações inversas.
BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 1999.
Igualdade onde em cada membro se tem uma
expressão em x, que se verifica para um ou alguns valores x do seu domínio.
---------
RICH, Barnett e SCHIMIDT, Philip A. Teoria e Problemas da Geometria. Porto Alegre: Bookman, 2003.
Não a faz. Apenas apresenta implicitamente a noção de Equação como sendo uma igualdade expressa por um
problema em que um determinado número é
desconhecido.
Aplicação de operações inversas de modo a desfazer as operações propostas numa dada Equação
(transposição de termos). Aplicação de operações
simultâneas aos dois membros da igualdade com o intuito de
encontrar Equações equivalentes.
Fonte: PEREIRA, M.D. Um estudo sobre equações: identificando conhecimentos de alunos de um curso de formação de professores de Matemática. Mestrado Profissional em Ensino de Matemática. PUC/SP, 2005. (174 p.)
Pelas informações acima, verificamos uma variedade quanto à definição de
Equação, que é ratificada por Ribeiro (2008), que também analisou as ideias
relacionadas à noção de equação em diversas obras ao afirmar que:
Assim, conforme ia estudando uma nova obra podia perceber que, à medida que se mudava o campo de atuação da obra analisada, o período histórico de sua publicação ou a área de formação do autor, mudava também a ideia apresentada sobre equação. Essas ideias divergiam tanto na linguagem utilizada, como na concepção dos autores a respeito da noção de equação. (2008, p.35)
A percepção da existência de diferentes significados para equação conduziu
Ribeiro (2007) a desenvolver uma pesquisa de caráter teórico, um estudo
epistemológico-histórico para compreender como a noção de equação foi concebida
ao longo do desenvolvimento da Matemática, na tentativa de entender o porquê de
uma ideia, nas palavras do autor, ―aparentemente tão simples‖, como a ideia de
equação, poder originar tantas dúvidas e dificuldades entre os estudantes e
professores.
35
Nesse sentido, o autor acima citado investiga como as ―ideias‖ relacionadas à
noção de equação são apresentadas em algumas obras didáticas e científicas, de
diferentes épocas. Para isso, realizou a análise em livros didáticos, livros de
fundamentos da Matemática, dicionários matemáticos e etimológicos, além de
relatórios de pesquisas em Educação Matemática.
Ribeiro (2007) apresenta, analisa e caracteriza as diferentes formas de ver,
de interpretar e de tratar a noção de equação ao longo da História, as quais foram
identificadas e categorizadas em sua tese de doutoramento. O autor alerta para o
fato de que ―as diferenças entre esses multisignificados são, às vezes, bastante sutis
e que é tênue a linha que separa um significado do outro‖. (RIBEIRO, 2007, p. 123).
Assim como Ribeiro (2010), empregamos neste trabalho o termo significado
baseando-se na ideia: ―no uso que fazemos […] apreendemos os seus significados‖.
(WITTGENSTEIN, 1999, apud RIBEIRO, 2010, p.2, grifo do autor).
Com a realização de sua investigação, o autor apresenta:
[...] ao menos três formas diferentes de se conceber equação: uma relacionada a um caráter pragmático, outra relacionada a um caráter geométrico e uma terceira relacionada a um caráter estrutural. (RIBEIRO, 2008, p. 83, grifo nosso)
Ribeiro (2007) teve como objetivo principal identificar possíveis significados
atribuídos à noção de equação ao longo do desenvolvimento dessa ideia dentro da
História da Matemática. Pareceu-nos que, de certa forma, seu trabalho se aproximou
com o que Fiorentini et al. (1993) realizou sobre a álgebra. Ribeiro iniciou sua
pesquisa apresentando a investigação da Matemática dos Babilônios e Egípcios,
depois dos Gregos, em seguida dos Árabes e Hindus, finalizando com as
contribuições matemáticas dos Europeus.
As discussões propiciadas pelo estudo epistemológico revelaram que
Babilônios e Egípcios concebiam a equação como algo que se originava de
situações práticas, buscando resolvê-las de maneira intuitiva, empregando métodos
que se apoiavam na aritmética. Já os Gregos relacionavam as equações às
situações que envolviam geometria e as soluções estavam relacionadas ao
raciocínio dedutivo.
36
Com relação aos árabes e hindus, Ribeiro aponta que:
[...] a noção de equação utilizada pelos árabes e hindus já apresenta uma concepção mais estrutural, no sentido de se observar as características e propriedades definidas em uma classe de equações e não mais em equações relacionadas a situações particulares. (2007, p.68, grifo do autor)
Ribeiro (2007, p.69) identifica que os europeus renascentistas reconhecem
uma equação a partir de sua generalização e a tratam de forma estrutural. O autor
nos chama a atenção para o fato de que:
A noção de equação nesse período, até a resolução das cúbicas e quartícas, é considerada um objeto de investigação, pois as operações são levadas a cabo sobre elas mesmas, debruçando-se na busca de soluções gerais para esses tipos de equações. Isso é uma característica que diferencia a maneira que a mesma era concebida pelos babilônios ou egípcios, por exemplo. (RIBEIRO, 2007, p. 79, grifo do autor)
O autor dá continuidade ao seu estudo e, partindo das observações
realizadas, desenvolve uma análise e levanta questões para reflexão sobre as
diferentes situações encontradas na literatura consultada. É importante ressaltar
que, segundo o autor, tais reflexões estão baseadas nos fundamentos teóricos que
dão suporte ao trabalho, bem como o estudo epistemológico-histórico realizado.
Vale ressaltar que neste trabalho, assim como em Ribeiro (2008),
empregaremos os termos ideia e noção como sinônimos de conceito. O termo
concepção empregado aqui também possui o mesmo sentido de Ribeiro.
Assim, ao realizar a análise das diferentes obras, o autor percebe que não há
um consenso na literatura consultada sobre as ideias e concepções de equação,
mas que é possível estabelecer uma relação de como os autores consultados
concebem a noção de equação.
Levando em consideração os resultados obtidos no estudo e as observações
e análises das obras bibliográficas, o autor concebe seis diferentes significados para
equação e os denomina ―Multisignificados de Equação‖.
Assim, apresentamos os multisignificados que são descritos em (RIBEIRO,
2008, p.112) da seguinte maneira:
37
Quadro 3: Multisignificados de Equação
Significado Características Exemplos
Intuitivo – Pragmático
Equação concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades. Utilização relacionada à resolução de problema de ordem prática originários de situações do dia a dia.
Babilônios e Egípcios;
Livros didáticos de: Bourdon e de Imenes & Lellis.
Dedutivo– Geométrico
Equação concebida como noção ligada às figuras geométricas, segmentos e curvas. Utilização relacionada às relações envolvendo cálculos e operações com segmentos, com medida de lados de figuras geométricas e intersecção de curvas.
Gregos;
Omar Khayyam – Geometria das Curvas
Estrutural – Generalista
Equação concebida como noção estrutural definida e com propriedades e características próprias, considerada por si própria e operando-se sobre ela. Utilização relacionada com a busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza.
al-Khowarizmi;
Descartes;
Abel e Galois.
Estrutural – Conjuntista
Equação concebida dentro de uma visão estrutural, porém diretamente ligada à noção de conjunto. É vista como uma ferramenta para resolver problemas que envolvam relações entre conjuntos.
Rogalski,
Warusfel;
Bourbak.
Processual – Tecnicista
Equação concebida como a sua própria resolução – os métodos e técnicas que são utilizadas para resolvê-la. Diferentemente dos estruturalistas, não enxergam a equação como um ente matemático.
Pesquisas em Educação Matemática;
Cotret (1997);
Dreyfus &Hoch (2004).
Axiomático–Postulacional
Equação como noção da Matemática que não precisa ser definida, uma ideia a partir da qual outras ideias, matemáticas e não matemáticas são construídas. Utilizada no sentido de Noção Primitiva, como ponto, reta e plano na Geometria Euclidiana.
Chevallard; Primeiro significado que poderia ser
discutido no ensino-aprendizagem de Álgebra.
Com isso, considerando as diferentes concepções de Álgebra e de Educação
Algébrica, a diversidade nas definições de equação identificadas por Pereira (2005)
e os diferentes significados que a noção de equação assume no ensino da
Matemática, tivemos condições de ampliar e aprofundar nosso conhecimento sobre
o assunto.
38
Também podemos constatar a importância da realização de discussões sobre
os diferentes significados de equações nos estudos de Barbosa, (2009) e Stempniak
(2010). Barbosa (2009), em sua dissertação de mestrado, teve como objetivo
identificar como os diferentes significados de equação, categorizados por Ribeiro
(2007), se manifestavam nas concepções de professores de Matemática. Já
Stempniak (2010) investigou quais são as contribuições que a abordagem dos
Multisignificados de Equação podem trazer para a formação e para a ampliação da
concepção de equação dos alunos de um curso de licenciatura em Matemática.
Nas pesquisas de Barbosa (2009) e Stempniak (2010) constatamos que os
significados de equação que apareceram com maior frequência entre os futuros
professores e professores pesquisados foram o processual-tecnicista, em que a
equação é concebida como a sua própria resolução, os métodos e técnicas que são
utilizadas para resolvê-la e o intuitivo-pragmático em que a noção de equação é
concebida como uma noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas
quantidades.
Percebemos em nossa pesquisa que a presença de diferentes significados de equação na imagem de conceito dos professores ainda é bastante limitada, estando muito vinculada à ideia do princípio de equivalência e principalmente a técnicas de resolução e à existência de incógnita. (BARBOSA, 2009, p. 177)
Stempniak (2010) também relata em sua dissertação de mestrado que o
conhecimento específico do conteúdo1, equação e os significados de equação, não
apareceu logo nas primeiras soluções dos alunos e que isso só ocorreu depois de
algumas reflexões realizadas. Também menciona que, em um primeiro momento,
apenas o significado processual-tecnicista apareceu com mais frequência, e
somente após a realização de muitas discussões sobre o assunto é que a
pesquisadora notou que os futuros professores conseguiram identificar as funções; a
partir daí foram observados os significados estrutural-conjuntista, estrutural-
generalista e o intuitivo-pragmático.
Concordamos com as ideias de Barbosa (2009) e Stempniak (2010), que
consideram relevante o desenvolvimento de situações de aprendizagem que
abordem a discussão dos significados que compõem os Multisignificados de 1 Abordaremos mais adiante os diferentes tipos e modalidades de conhecimento que os professores
dominam.
39
Equação em ambientes de aprendizagem de formação inicial e continuada de
professores, possibilitando a estes uma ampliação de suas concepções acerca do
conceito de equação.
Sendo assim, vale destacar que pretendemos investigar quais significados
identificados por Ribeiro (2007) fazem parte do repertório dos professores que
ensinam Matemática e como eles declaram trabalhar esses significados em suas
aulas, em um ambiente de Formação Continuada de Professores. O trabalho de
Ribeiro (2007) também será empregado, tanto para a concepção do instrumento de
coleta de dados, como para a análise dos resultados obtidos.
2.4 Formação de professores
Podemos perceber nas palavras de André (2010) que há alguns anos o tema
―Formação de Professores‖ vem ganhando destaque em pesquisas, congressos e
eventos que discutem sobre educação.
Com o crescente interesse dos pesquisadores pelas questões relacionadas à formação e ao trabalho docente, interesse esse que se expressa no aumento da produção científica sobre o tema, na visibilidade adquirida pela temática na mídia, pelo recente surgimento de eventos e publicações especificamente dedicadas às questões de formação docente, torna-se cada vez mais premente uma discussão sobre como vem se configurando esse campo de estudos. (ANDRÉ M., 2010, p. 174)
De acordo com Baldino (1999), na esperança de exorcizar o fracasso no
processo de ensino e aprendizagem as pesquisas apostam na mudança: mudança
da escola, da sala de aula, mudança do aluno, mudança do professor. O autor ainda
discute em seu artigo que há vários significados para a palavra mudança, que pode
ser vista como uma simples tentativa de melhora de ensino e aprendizagem, como
introdução de métodos de resolução de problemas ou ainda pode significar
mudanças de práticas ou das crenças de professores.
Nosso desejo não é diferente. Também queremos produzir uma mudança!
Se o professor, enquanto profissional, expressa diferentes habilidades,
conhecimentos, crenças, visões, modos de agir, atitudes, preocupações e interesses
(POLETTINI, 1996), pretendemos entender como esses ―conhecimentos‖ são
adquiridos, produzidos e utilizados pelos professores para então promover
40
momentos de reflexão, pois ―os professores têm necessariamente que refletir sobre
a sua prática pedagógica, pois sem isso não há mudança possível em educação.‖
(VASCONCELOS, 2000, p.17).
Melo (2005) afirma que ―os professores, na realização de seu trabalho
docente, mobilizam, produzem e ampliam seus conhecimentos, competências,
habilidades, atitudes etc., constituindo assim seus saberes docentes‖ (MELO, 2005,
p.47),
Shulman (1986) é um dos pesquisadores que têm se debruçado sobre a
questão dos conhecimentos que os professores mobilizam quando ensinam e seu
trabalho versa sobre a natureza dos conhecimentos profissionais que servem de
base ao magistério. Em nosso entender, sua contribuição é importante por colocar
em evidência a questão do conhecimento que os professores têm dos conteúdos de
ensino e do modo como estes conteúdos se transformam no ensino.
Exemplos de investigações sobre formação de professores, desenvolvidas
diferentes pesquisadores como D‘Ambrósio (1996), Ponte (1992), Paiva (1997),
Pires (2000), Smole (2000), entre outros, apontam para a necessidade de a
formação do professor estar pautada na articulação entre teoria e prática, entre o
saber específico vinculado a um saber pedagógico.
Lee Shulman investigou na década de 80 as formas de comportamento do
professor que promovem de forma mais eficaz a aprendizagem dos alunos. Sua
investigação começa com a análise dos testes de competência utilizados no século
passado para selecionar professores de Massachussetts, Michigan, Nebraska,
Colorado e Califórnia. Após realizar tal análise, Shulman comprova que o foco dos
testes estava no que os professores precisavam saber para ensinar, isto é, envolvia
apenas o assunto a ser ensinado, o que leva o autor a concluir que a característica
principal do instrumento que selecionava os professores era o conhecimento do
conteúdo.
Ao analisar os modelos dos testes de professores publicados na década em
que ocorreu o estudo, verifica que há um contraste com os anteriores, pois é dada
uma ênfase maior à capacidade de ensinar em detrimento ao conteúdo. A partir daí
41
começa a procurar resposta para a seguinte pergunta: por que há uma distinção
nítida entre o conteúdo e o processo pedagógico?
Após realizar uma pesquisa, Shulman conclui então que essa distinção nítida
entre conhecimento e a pedagogia não representa uma tradição, mas um
desenvolvimento mais recente. Chamando essa ausência de foco no conteúdo de
ensino "missing paradigm", ele então passa a investigar o que sabem os professores
sobre os conteúdos de ensino, onde e quando adquiriram os conteúdos, como e por
que se transformam no período de formação e como são utilizados na sala de aula.
Para isso, fez de perto o acompanhamento de programa de formação de
professores, realizou entrevistas regulares, além de coletar dados. A partir daí
Shulman (2004, apud ALMEIDA & BIAJONE, 2007) afirma que a primeira fonte do
knowledge base é o conhecimento do conteúdo que será objeto de ensino. Para o
autor, o knowledge base vai, além do conhecimento da disciplina por si mesma, para
uma dimensão do conhecimento da disciplina para o ensino.
Os professores devem não apenas ser capazes de definir para os estudantes as verdades aceitas em um domínio. Eles devem também ser capazes de explicar por que uma proposição particular é considerada justificada, porque vale à pena conhecer, e como se relaciona com outras proposições, tanto no âmbito da disciplina ou fora dela, tanto na teoria quanto na prática. (SHULMAN, 1986, p.13)
Shulman (1986, p.09) também categoriza o conhecimento docente em subject
knowledge matter (conhecimento do conteúdo da matéria); pedagogical knowledge
matter (conhecimento pedagógico da matéria); curricular knowledge
matter(conhecimento curricular).
O conhecimento do conteúdo da matéria refere-se às compreensões do
professor acerca da estrutura da disciplina, de como ele organiza cognitivamente o
conhecimento da matéria que será objeto de ensino.
O conhecimento pedagógico da matéria consiste nos modos de formular e
apresentar o conteúdo de forma a torná-lo compreensível aos alunos, incluindo
analogias, ilustrações, exemplos, explanações e demonstrações. Este é o
conhecimento que se refere à compreensão docente do que facilita ou dificulta o
aprendizado discente de um conteúdo especifico.
42
Já o conhecimento curricular dispõe-se a conhecer a entidade currículo como
o conjunto de programas elaborados para o ensino de assuntos e tópicos
específicos em um dado nível, bem como a variedade de materiais instrucionais
disponíveis relacionados àqueles programas. Trata-se do ―conjunto de programas
elaborados para o ensino de assuntos específicos e tópicos em um nível dado, a
variedade de materiais instrucionais disponíveis relacionados a estes programas"
(Shulman, L., 1986, p. 9-10).
Shulman se refere ao conhecimento da experiência, por meio da classificação
que ele faz dos conhecimentos necessários para os professores, e que ele chama
de conhecimento dos professores – ―teacher knowledge‖, criado pela experiência
dos professores ou "das formas do saber dos professores", as formas pelas quais os
saberes dos conteúdos, os saberes curriculares e os saberes pedagógicos podem
ser ou estar organizados para serem ensinados aos professores (SHULMAN, 1986,
p. 10-11). São três as categorias de Shulman:
O conhecimento proposicional, que é aquele relativo à investigação didática,
que pode oferecer e que reúne três tipos de proposições: princípios, máximas e
normas. Os princípios são oriundos de pesquisas empíricas; as máximas são
oriundas da prática, não possuem confirmação científica (ex.: quebre um pedaço de
giz antes de escrever para evitar que ele provoque ruídos no quadro); as normas
referem-se aos valores, compromissos ideológicos e éticos de justiça, equidade etc.;
eles não são teóricos nem práticos, mas normativos. Ocupam a essência do que o
autor chama de saber dos professores. Eles guiam o trabalho do professor porque
são ética ou moralmente corretos.
O conhecimento de casos relativos ao conhecimento de eventos específicos,
exemplos que auxiliam a compreensão da teoria, que podem ser de três tipos:
protótipos – exemplificam os princípios teóricos; precedentes – expressam as
máximas; e parábolas– expressam normas e valores.
O conhecimento estratégico, que diz respeito a como agir em situações
dilemáticas, contraditórias, nas quais os princípios contradizem máximas e/ou
normas.
43
Cabe destacar, na proposta de Shulman, uma contribuição importante quanto
aos instrumentos oferecidos para a investigação da ação dos professores, ou seja, o
domínio dos conhecimentos na ação.
Direcionando nossa discussão para a Formação do Professor que leciona
Matemática, encontramos os trabalhos de Deborah Ball que discutem a ideia de
―conhecimento sobre matemática‖, em contraste com o ―conhecimento de
matemática‖ e também estudam a natureza do conhecimento matemático
necessário para ensinar.
Uma ampliação das categorias definidas por Shulman foi apresentada por Ball
et al.(2008), estudo no qual se discute ―o que mais os professores necessitam saber
sobre Matemática e como e onde poderiam os professores usar tal conhecimento,
na prática‖ (BALL, 2008, p.4).
Nesse sentido Deborah Ball e seus colaboradores propõem que o
conhecimento do conteúdo, apresentado por Shulman (1986), seja subdividido em:
conhecimento comum do conteúdo (CCK)2; conhecimento especializado do
conteúdo (SCK)3; por sua vez, o conhecimento pedagógico do conteúdo pode ser
dividido em conhecimento do conteúdo e dos estudantes (KCS)4 e conhecimento do
conteúdo e do ensino (KCT)5.
Assim, o foco da pesquisa de Ball está no que os professores precisam saber
especificamente de determinado conteúdo, para viabilizar o ato de ensinar. Seus
estudos procuraram investigar sobre ―o que os professores fazem ao ensinar
Matemática e como fazer, o que eles fazem demanda raciocínio matemático,
percepções, compreensão e habilidade?‖ (BALL, 2008, p.4)
Na figura a seguir, a autora representa a correspondência entre as suas
categorias e as indicadas por Shulman (1986) para o conhecimento do conteúdo
necessário ao ensino:
2 Common content knowledge
3 Specialized content knowledge.
4 Knowledge of content and students.
5 Knowledge of content and teaching.
44
Figura 2: Categorias de Ball e Shulman
Em primeiro lugar está o Conhecimento Comum do Conteúdo (CCK) – trata-
se do conhecimento matemático do currículo escolar. Os autores citam como
exemplos: saber o que é um número primo, ser capaz de multiplicar frações,
converter frações para decimais.
Um segundo domínio é oconhecimento especializado do conteúdo (SCK).
Trata-se do conhecimento matemático que os professores utilizam no ensino que vai
além da matemática do próprio currículo. Trata-se do conhecimento de
matemática necessário especificamente para o trabalho de ensinar.
O terceiro domínio, conhecimento do conteúdo e dos estudantes
(KSC), encontra-se na intersecção de conhecimentos sobre os alunos e os
conhecimentos sobre a matemática, e um quarto domínio, conhecimento do
conteúdo e do ensino (KCT), encontra-se na intersecção de conhecimentos sobre o
ensino e conhecimento sobre a matemática.
Ball (2003) também conclui que o conhecimento necessário para o ensino é
diferente do que é necessário para outras ocupações ou profissões em que a
matemática é utilizada (por exemplo, física, carpintaria, alfaiataria etc.).
Ainda sobre o conhecimento do professor que ensina Matemática, Serrazina
(2012) afirma que o conhecimento matemático para ensinar está interligado aos
outros conhecimentos (didático, curricular, dosrecursos, dos alunos e do contexto)
45
Neste sentido a autora afirma que:
Quando se fala em conhecimento do professor há acordo quanto ao ser indispensável saber os conteúdos matemáticos que tem de ensinar. No entanto, este conhecimento não é suficiente, para além de conhecer os conteúdos a ensinar, é também necessário ao professor saber como ensiná-los. (SERRAZINA, 2012, p.268)
Pela afirmação acima, percebemos que as ideias da autora corroboram as
pesquisas de Shulman (1986) e Ball et al. (2008),visto que todos os autores
parecem concordar que o conhecimento do professor não se limita apenas em saber
o conteúdo matemático; é preciso saber como e porque ensinar.
Tal conclusão reforça a ideia de Green (2010) ao afirmar que:
Matemáticos precisam entender o problema apenas para si mesmos; professores de matemática precisam conhecer matemática e saber como 30 mentes podem entendê-la ou (des)entendê-la, e levar cada uma dessas mentes do não saber ao domínio. (GREEN, E. 2010, p.12).
Outra pesquisa considerada por mim nessa revisão bibliográfica, e que vai ao
encontro das minhas expectativas, é a de Chazan & Yerushalmy (2003), que em
seus estudos pesquisaram sobre a relação entre o conhecimento do professor e o
conhecimento do aluno.
De acordo com os autores, um caminho para compreender a relação entre
conhecimento dos professores e desempenho dos alunos é a concentração em uma
determinada área curricular. Escolheram a álgebra por acreditarem que a
diversidade de pensamento sobre o que constitui a álgebra e como ela pode ser
ensinada é um desafio importante na análise do conhecimento do professor no
contexto da álgebra escolar.
Para Chazan & Yerushalmy (2003), ―conhecimento‖ é um termo muito simples
para representar a complexidade cognitiva de ensino e aprendizagem da Álgebra.
Para os autores, ter somente o conhecimento não basta, é preciso aliar o
conhecimento ao compromisso. Eles afirmam que os professores podem até ter o
conhecimento para implementar práticas sugeridas, porém a falta de compromisso
pode comprometer o sucesso de tais práticas.
46
Sobre o conhecimento do professor, Chazan & Yerushalmy (2003)
apresentam os seguintes pressupostos: professores possuem algo chamado de
conhecimento; esse conhecimento é adquirido, tanto no ensino como também nas
experiências fora da sala de aula; este conhecimento influencia o modo como os
professores atuam com os alunos e como os envolve no estudo da matemática;
quando os professores possuem certo tipo de conhecimento, as intervenções
realizadas em sala de aula levam a uma maior realização dos estudantes, enquanto
os professores não possuem esse tipo de conhecimento não seriam capazes de
ensinar de uma maneira eficaz.
Os autores consideram necessário examinar a relação entre o conhecimento
do professor e o desempenho dos alunos, dado que acreditam existir uma conexão
entre eles. No entanto, ressaltam que há poucos estudos que tratam desse assunto,
pois a maioria das pesquisas frequentemente só avalia os níveis de conhecimento
dos professores.
Tal conexão parece ser ratificada por Shulman (1987, apud ATTORPS, 2006)
ao afirmar que ―o ensino para compreensão depende de professores com
conhecimento matemático e habilidades pedagógicas‖.
Chazan & Yerushalmy (2003), analisando a relação entre o conhecimento do
professor e o desempenho do aluno, afirmam que um desafio na álgebra são as
abordagens múltiplas. Eles citam, por exemplo, que alguns livros populares de
matemática começam com incógnitas e passam de expressões para equações
lineares de uma variável, em seguida passam para equações lineares com duas
variáveis e vão para as equações não lineares com uma ou duas variáveis, que
serão consideradas funções. Em contraste, mostram que uma abordagem baseada
em funções pode começar com expressões e equações explícitas como
representações de funções, em seguida, passar para equações em uma variável
como perguntas sobre funções ou como comparações de duas funções de uma
variável e finalmente, mais tarde, abordar equações implícitas com duas variáveis.
Diante dessas diferenças de abordagem para álgebra, os autores defendem a
urgente necessidade de os professores compreenderem as diferentes formas pelas
quais os currículos conceituam simples equações como , que pode ser
47
considerada como um problema para se encontrar um número desconhecido para
que a afirmação seja verdadeira, ou pode ser um problema sobre uma função onde
se procura a entrada para que será igual a 12. Apesar desses pontos de vista
serem semelhantes, os autores defendem a ideia de que há diferenças
fundamentais entre eles e que podem passar despercebidas por aqueles cuja
compreensão não está madura, além de argumentar que os professores devem
descompactar seus entendimentos sobre equações, bem como descompactá-los
nos seus elementos constituintes para serem capazes de reconhecerem a
abordagem do currículo pretendido, para tomar decisões sobre como ensinar
visando sanar as possíveis dificuldades dos alunos apoiando-os em sua
aprendizagem.
As análises e reflexões acima discutidas – Barbosa (2009), Stempniak (2010)
e Chazan & Yerushalmy (2003) – permitiram-me refletir sobre a necessidade de se
pensar numa formação do professor de Matemática que levante e discuta as
diferentes formas de se conceber a Álgebra e a noção de equação no processo de
ensino da Matemática.
Após essa primeira apresentação e contextualização, apresentamos neste
momento o objetivo principal e as questões norteadoras deste trabalho: investigar,
durante um processo de formação continuada, no qual são discutidos os
multisignificados de equação (RIBEIRO, 2007), se há a (re)construção de saberes
dos professores de matemática a respeito do tema.
De acordo com o objetivo apresentado, delineamos as seguintes questões de
pesquisa:
De quais significados de equação os professores de Matemática se
utilizam quando estão envolvidos em um processo de formação no qual
lhes são propiciadas possibilidades de reflexão sobre a prática?
Quais os significados de equação os professores declaram utilizar ao
ensinar o tema?
48
Como a discussão dos Multisignificados de Equação pode proporcionar
o aperfeiçoamento e a ampliação do conhecimento sobre Equações
num curso de formação continuada de professores de Matemática?
Imaginamos que nossos resultados contribuirão na busca pela melhoria da
qualidade dos cursos que proporcionam a Formação Continuada dos professores de
Matemática.
49
Capítulo 3
Metodologia da Pesquisa
Para atingir tal objetivo e responder a nossa questão de pesquisa, utilizamos
uma abordagem qualitativa. Realizamos a revisão da literatura, com a leitura e o
fichamento de artigos, dissertações, teses e capítulos de livros sobre a educação
algébrica, álgebra, multisignificados de equação e sobre o conhecimento profissional
docente. Logo após, elaboramos a Formação Continuada e as atividades que seriam
desenvolvidas nos encontros com os professores. Coletamos os dados para este
estudo por meio dos seguintes instrumentos: questionários, registros escritos de
observações colhidas nas sessões de formação e gravação em vídeo e passamos
para a fase das análises dos dados e das discussões.
A Formação, reiteramos, foi gravada em áudio e vídeo com a autorização dos
participantes, com a intenção de melhor explorar as discussões e as reflexões que
surgiriam.
Achamos importante destacar as características que Bogdan e Biklen (1994,
p. 47-50) dão a uma investigação qualitativa:
1. ―Na investigação qualitativa a fonte direta de dados é o ambiente natural,
constituindo o investigador o instrumento principal‖;
2. ―A investigação qualitativa é descritiva. [...] A palavra escrita assume
particular importância na abordagem qualitativa, tanto para o registro dos
dados como para a disseminação dos resultados‖;
3. ―Os investigadores qualitativos interessam-se mais pelo processo do que
simplesmente pelos resultados ou produtos. [...] Este tipo de estudo foca-
se no modo como as definições (as definições que os professores têm dos
alunos, as definições que os alunos têm de si próprios e dos outros) se
formam‖;
4. ―Os investigadores qualitativos tendem a analisar os seus dados de forma
indutiva‖;
50
5. ―O significado é de importância vital na abordagem qualitativa. [...] Os
investigadores qualitativos estabelecem estratégias e procedimentos que
lhes permitam tomar em consideração as experiências do ponto de vista
do informador‖.
Pelas características de uma pesquisa qualitativa que citamos há pouco e
pelo objetivo da nossa pesquisa – investigar, durante um processo de formação
continuada no qual são discutidos os multisignificados de equação (RIBEIRO, 2007),
se há a (re)construção de conhecimentos dos professores de matemática a respeito
do tema, decidimos fazer em nossa pesquisa encontros com um grupo de 10
professores que lecionam matemática na rede estadual de Ensino de São Paulo.
Foram realizados três encontros, nos quais desenvolvemos diferentes atividades.
Durante esses encontros, houve muitas intervenções do pesquisador e surgiram
muitas discussões em virtude dos questionamentos propostos, caracterizando as
coletas de dados como uma pesquisa qualitativa. Discutiremos e apresentaremos os
procedimentos adotados e os instrumentos de coleta de dados utilizados para o
desenvolvimento deste trabalho.
3.1 A Formação
Para a realização da nossa pesquisa elaboramos e executamos um curso de
formação continuada que priorizou a realização de estudo, análise e discussão das
diferentes concepções de Álgebra, sobretudo no que se refere mais especificamente
às diferentes formas de ver e de tratar a noção de equação. Este curso, intitulado
―Álgebra: ideias e questões‖ foi destinado aos professores em exercício efetivo da
docência em Matemática, na rede pública estadual.
Conforme apresentado no quadro a seguir a formação foi realizada em
parceria com a Diretoria de Ensino de Suzano, nos dias 17 de junho, 20 de junho e
27 de junho de 2012 com duração de 4 horas cada encontro. Além dos encontros
presenciais, havia também 10 horas destinadas ao estudo à distância.
51
Quadro 4: O processo de formação
Data Atividade Desenvolvida
17/06 (4h)
Encontro Presencial
Realização de atividade, visando identificar quais são as concepções dos professores de Matemática sobre os processos de ensino e aprendizagem da Álgebra, mas especificamente no que se refere às equações.
20/06 (4h)
Encontro Presencial
Análise e discussão de algumas atividades do encontro anterior. Análise e discussão da concepção de Álgebra proposta por USISKIN (1995). Análise das atividades propostas nos Cadernos do Aluno e do Professor de Matemática (especificamente do conteúdo sobre Álgebra).
27/06 (4h)
Encontro Presencial
Reelaboração do plano de trabalho docente, visando confrontar e identificar as diferenças das respostas que foram obtidas na atividade diagnóstica. Análise da Avaliação Final.
Período de 17/06 a 20/06 (3h)
à distancia
Leitura e discussão em grupo do artigo ―Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra‖ (Booth, L.R.). O grupo fará uma reflexão sobre o trabalho com Álgebra a partir da leitura do artigo e elaboração de registro sobre as dificuldades detectadas e sugestões didáticas.
Leitura do artigo: Álgebra nos PCN
Fonte: www.cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/curso...
Período de 20/06 a 27/06(3h) à distancia
Leitura do artigo: Equação e seus multisignificados: potencialidades para a construção do conhecimento matemático (RIBEIRO, A.J.; MACHADO, S.D.A) – In: Zetetike, 2009.
Período após o término do curso (1h) à distância
Preenchimento da avaliação
Apresentamos como objetivo desta formação continuada privilegiar o diálogo
entre o conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico do conteúdo
(SHULMAN, 1986), bem como dar oportunidade aos docentes para um
aprofundamento nos conteúdos matemáticos pertinentes ao ensino da álgebra,
como também colocar os profissionais a par das discussões teóricas atuais sobre o
ensino e aprendizagem da Álgebra, com a intenção de oferecer ou ampliar subsídios
necessários ao processo de ensino da Matemática.
Considerando o objetivo de nossa pesquisa, que busca investigar quais os
significados de equação de que os professores de Matemática se utilizam quando
estão envolvidos num processo de formação e quais são os significados de equação
que os professores declaram utilizar ao ensinar sobre o tema, nos pareceu bastante
apropriado a utilização de diferentes atividades, dentre as quais solicitar aos
52
professores que nos relatassem, por escrito, os ―caminhos‖ adotados em suas aulas
no ensino das equações para que pudéssemos analisar os procedimentos e as
concepções por eles adotadas.
3.2 Os participantes da formação
A Diretoria Regional de Ensino do município de Suzano realizou a inscrição
dos professores interessados em participar do curso.
Participaram da nossa pesquisa 10 professores da rede pública estadual do
ensino de São Paulo, sendo 5 homens e 5 mulheres. Todos são licenciados em
Matemática e concluíram sua graduação no período entre 1999 a 2002, em
instituições privadas. Uma professora declarou possuir curso de especialização em
Matemática Aplicada e um professor declarou ter especialização em Ensino de
Astronomia. Estes professores atuam no Ensino Fundamental e Médio. Com o
intuito de fornecer um panorama geral sobre os sujeitos da pesquisa, apresentamos
a seguir um quadro-resumo do perfil dos professores participantes do curso.
53
Quadro 5: O grupo de professores
Professor Sexo
M (masculino) F (feminino)
Formação Tempo de
experiência docente
Leciona em escola P (pública)
ou R (privada)
Pós-Graduação
A F Licenciatura
em Matemática
14 anos P Sim
B F Licenciatura
em Matemática
14 anos P Não
C F
Licenciatura em
Químicae Matemática
7 anos P Não
D M Licenciatura
em Matemática
15 anos P e R Sim
E M Licenciatura
em Matemática
1 ano P Não
F M Licenciatura
em Matemática
12 anos P Não
G F Licenciatura
em Matemática
4 meses P Não
H M Licenciatura
em Matemática
11 anos P Não
I M Licenciatura
em Matemática
8 anos P Não
J F Licenciatura
em Matemática
20 anos P Não
Vale ressaltar que este grupo apresentava uma característica marcante em
comum: todos demonstravam estar preocupados com sua formação profissional e
acreditavam que o compartilhamento de saberes, ideias e práticas são de extrema
importância para o exercício da profissão, o que é considerado por Tardif e
Raymond como fonte de aprendizagem: ―outra fonte de aprendizagem do trabalho é
a experiência dos outros, dos pares, dos colegas que dão conselhos.‖ (TARDIF &
RAYMOND, 2000, p. 230).
Antes de prosseguir com a descrição dos encontros destinados à Formação,
acredito ser de suma importância para o andamento e compreensão do meu
trabalho realizar uma breve apresentação do cenário que vivenciam nossos sujeitos,
ou seja, o movimento de mudança curricular implementado pela Secretaria de
54
Educação do Estado de São Paulo, em 2008, para todas as escolas da rede pública
estadual.
3.3 O cenário da investigação: Movimento de Mudança Curricular
A justificativa da necessidade de se colocar em prática uma nova Proposta
Curricular para todo o Estado de São Paulo pode ser percebida nas palavras de
Gonçalves (2009):
Embora a existência teórica, a secretária encontrou escolas que eram tocadas sem um sistema de ensino comum – cada um ensinava o que queria ou seguia o livro didático –, sem planos de aula, sem planos de ensino, sem projetos pedagógicos – tanto nas unidades quanto das diretorias –, sem regimento interno, sem regimento disciplinar, enfim, sem a mínima padronização e parâmetro na gestão das unidades, de forma a garantir maior eficácia e racionalidade. [...] Duas oitavas séries de uma mesma escola, sob professores diferentes, poderiam estar estudando Revolução Francesa numa e Brasil Regência na outra. (GONÇALVES, 2009)
Segundo estes documentos oficiais, essa Proposta procura sistematizar os
conteúdos de ensino mais relevantes a serem garantidos ao longo dos anos de
escolarização e estabelece com mais clareza e intencionalidade o que deverá ser
ensinado aos alunos da rede estadual de ensino em cada ano.
Faz parte da nova Proposta a oferta de uma variedade de materiais e
documentos que são ofertados aos alunos, professores e gestores.
Destacamos, dentro dessa variedade, os Cadernos do Professor que estão
organizados por bimestre e por disciplina. Neles estão previstos os conteúdos,
habilidades e competências organizados por série e acompanhados de orientações
para a gestão da sala de aula, para a avaliação e a recuperação, sugestões de
métodos e estratégias de trabalho nas aulas, experimentações, projetos coletivos,
atividades extraclasse e estudos interdisciplinares.
O caderno do aluno pode ser considerado um complemento ao Caderno do
Professor. Está dividido pelas séries e disciplinas indo do ensino fundamental até o
ensino médio. Foi concebido em 2009 para os cerca de 3,3 milhões de estudantes
de 5ª a 8ª do Fundamental e de Ensino Médio e nele encontramos diversos
exercícios, tabelas, indicadores bibliográficos e dicas de estudo, cuja finalidade é
complementar o que foi discutido em sala de aula.
55
Esta Proposta apresenta a Matemática como ―um sistema simbólico que se
articula diretamente com a língua materna, nas formas oral e escrita, bem como com
outras linguagens e recursos de representação da realidade.‖ (SEE/SP, 2008)
Considerando a especificidade de nossa investigação, a seguir
apresentaremos como estão distribuídos os conteúdos de Matemática no ensino
fundamental nesta nova Proposta, referentes à Álgebra:
Quadro 6: A álgebra nos cadernos
Série Bimestre
6ª série 4º
Uso de letras para representar um valor desconhecido. Conceito de equação. Resolução de equações. Equações e problemas.
7ª série 2º Expressões algébricas. Equivalências e transformações. Produtos notáveis. Fatoração algébrica.
7ª série 3º
Equações Resolução de equações de 1º grau. Sistemas de equações e resolução de problemas. Inequações do 1º grau
8ª série 2º
Álgebra Equações do 2º grau: resolução e problemas. Funções Noções básicas sobre função. A ideia de variação. Construção de tabelas e gráficos para representar funções de 1º e 2º graus
Para uma melhor compreensão, acreditamos ser de suma importância
apresentar uma breve análise das situações de aprendizagem sugeridas no Caderno
do Professor referentes ao 4º Bimestre da 6ª série, considerando que, de acordo
com as orientações contidas do documento ―Proposta Curricular‖, é neste momento
que se inicia o estudo da álgebra de acordo com a Proposta.
Observamos que o assunto é iniciado por meio de situações de aprendizagem
nas quais o educando deverá ―realizar generalizações, utilizando a linguagem escrita
e expressões matemáticas que envolvem o uso das letras.‖ (SEE/SP,2008)
56
Figura 3: Exemplo de situação de aprendizagem sugerida no Caderno do
Professor e apresentada no Caderno do Aluno – 6ª série – vol. 4.
As orientações ao professor apontam como uma possível estratégia promover
atividades de investigação de sequências de figuras com a finalidade de identificar
padrões e a representação por meio da linguagem escrita e a investigação das
sequências numéricas como forma de aprimoramento da percepção indutiva de
regularidades e para iniciar o trabalho com letras para representar o padrão
identificado.
As situações de aprendizagem acima descritas estão em concordância com a
concepção Aritmética Generalizada (USISKIN, 1995) quando apontam como
57
estratégia a promoção de atividades que possibilitem ao educando traduzir e
generalizar padrões.
Outra situação de aprendizagem que encontramos no caderno da 6ª série tem
como conteúdo e tema: letras para representar números ou grandezas; valor
numérico de uma fórmula/expressão algébrica. Esta situação de aprendizagem visa
desenvolver a leitura e interpretação de enunciados; transpor a linguagem escrita
para algébrica e vice-versa e a resolução de equações.
Figura 4: Exemplo de situação de aprendizagem sugerida no Caderno do
Professor e apresentada no Caderno do Aluno – 6ª série – vol.4.
58
A resolução de problemas usando fórmulas relacionadas a diferentes
contextos é apontada como estratégia para se atingir o objetivo.
Com o objetivo de facilitar a compreensão do aluno sobre o uso de letras na
Matemática, são propostas situações para cálculo de perímetro, cálculo da média
aritmética, cálculo do imposto de renda, cálculo do Índice de Massa Corpórea (IMC)
entre outras. (Anexo 1)
De acordo com as orientações prestadas aos professores, ―essa capacidade
de generalização de uma propriedade ou relação é o que caracteriza uma fórmula.
Ela permite que enxerguemos a estrutura dessa relação entre diferentes grandezas.‖
(SEE/SP, 2008)
Ainda segundo as orientações, ao manipular as fórmulas os alunos podem se
deparar com situações que exijam resolução de equações. Sobre essa situação,
ressaltam que é importante deixar o aluno resolvê-las por meio de tentativas ou pelo
raciocínio heurístico, isto é, um processo não formal de resolução de problemas.
Esta situação de aprendizagem evidencia a concepção da álgebra como
estudo de relações entre grandezas (USISKIN, 1995), cujo estudo pode começar por
fórmulas e as variáveis variam.
No Caderno do Professor a equação é conceituada como uma pergunta feita
em linguagem matemática, usando números, letras e o sinal de igualdade. A ideia
defendida aqui é que ―mesmo dentro do contexto exclusivamente matemático, uma
equação como 2x + 3 = 13 pode ser entendida como uma pergunta do tipo: qual é o
número cujo dobro somado com 3 resulta 13?‖( SEE/SP, 2008 )
As orientações alertam a respeito de o uso da imagem da balança de pratos
como analogia de uma equação, frequentemente empregada por professores e
livros didáticos, requerer alguns cuidados, devendo o professor averiguar
antecipadamente se os alunos entendem o funcionamento de uma balança de
pratos. Apresentam a seguinte proposta:
59
Figura 5: Caderno do Aluno – 6ª série, vol.4.
Sobre o assunto, ainda afirmam existir uma similaridade entre a igualdade
entre os lados de uma equação e o equilíbrio de pesos entre os pratos de uma
balança e que essa imagem é um recurso que facilita a compreensão das
transformações que podem ser feitas em uma equação, sem alterar a relação de
igualdade entre os dois lados.
3.4 O primeiro dia da Formação
Apresentaremos o instrumento para coleta de dados que foi aplicado no
primeiro dia do Curso de Formação, em um encontro que teve duração de 3 horas.
O encontro foi realizado numa das dependências de uma escola estadual na cidade
de Suzano e estavam presentes 10 professores e uma professora, coordenadora de
Oficina Pedagógica, que acompanhou todos os nossos encontros.
Tal instrumento de coleta de dados foi concebido especificamente com o
intuito de investigar quais das concepções de álgebra (USISKIN, 1995) os
professores declaram utilizar em suas aulas, bem como identificar os significados de
equação empregados pelos professores ao abordar o assunto.
O primeiro instrumento é composto por duas partes. A primeira é composta
por 2 questões adaptadas de uma dissertação de mestrado mais 2 questões sobre o
conhecimento especializado do conteúdo (BALL, 2008).
60
A segunda parte é composta por uma pergunta sobre a importância do ensino
de equações, mais um relato detalhado do procedimento empregado no ensino das
mesmas.
No inicio do primeiro encontro da Formação, cada uma das questões foi
apresentada separadamente para os professores numa tela, para que os
professores respondessem de forma descontraída. A intenção foi evitar que a
questão 2 pudesse influenciar a resposta da primeira questão. Enquanto os
professores iam falando, as respostas obtidas eram registradas na lousa. Dando
prosseguimento, entregamos a folha com as questões para que os professores
pudessem registrar as respostas das duas primeiras questões e respondessem as
demais.
Na primeira questão pretendíamos verificar qual conteúdo, em álgebra, o
professor julgava ser o mais importante. Assim poderíamos perceber se realmente
discutir sobre equação seria interessantes para os participantes. Na segunda
questão, solicitamos para que os professores explicitassem a sua própria concepção
de equação, promovendo um momento para que os professores pudessem refletir
sobre o seu próprio entendimento sobre equações.
Vale ressaltar que tanto as duas questões como a terceira que compõem este
questionário foram adaptadas da dissertação de mestrado de Pereira (2005).
Ainda com relação à segunda questão, em sua pesquisa Pereira (2005), ao
questionar os futuros professores sobre ―o que é uma equação?‖, pretendia fazer um
mapeamento relacionado ao entendimento que os alunos trazem do Ensino Básico
sobre o assunto Equação, além de verificar se os futuros professores mencionariam
algum tipo de relação existente entre uma Equação e a ideia de igualdade entre os
dois membros ou, ainda, com a noção de incógnita.
Parte 1
Questão 1: Indique qual conteúdo, em álgebra, que você julga ser o mais importante.
Questão 2: O que é para você uma equação?
61
Compartilhamos o mesmo objetivo apresentado por Pereira (2005) e vamos
além, visto que também pretendíamos verificar qual é a ideia de equação que os
professores possuem, bem como verificar se haveria uma variedade ou uma
predominância quanto à definição de Equação.
A terceira questão está baseada nos estudo de Pereira (2005) que em sua
pesquisa, utiliza essa questão para diagnosticar se os futuros professores
reconheciam ou identificavam as Equações dentre algumas expressões algébricas e
funções polinomiais.
Adotamos o mesmo objetivo proposto por Pereira (2005), porém com uma
modificação: diagnosticar se os professores em exercício reconheciam ou
identificavam as Equações dentre algumas expressões algébricas e funções
polinomiais.
As questões 4 e 5 da primeira parte do nosso instrumento de coleta de dados
estão relacionadas ao conhecimento especializado do conteúdo, pois tratam do
conhecimento de matemática necessário especificamente para o trabalho de
ensinar, já que pretendíamos averiguar quais eram os argumentos e possíveis
intervenções dos professores com relação aos procedimentos adotados por alunos
fictícios para a resolução das equações propostas. Também estão relacionadas com
o conhecimento do conteúdo comum, pois também queríamos saber se os
professores compreendem os conceitos matemáticos subjacentes a um determinado
procedimento usado para resolver certo tipo de equação. A respeito do
conhecimento do conteúdo específico de Shulman (1986), os conteúdos
matemáticos que estão presentes nas atividades 4 e 5 são: conteúdos de equação e
fatoração de expressões algébricas.
Parte 1
Questão 3: Dos itens abaixo, assinale aquele(s) que se refere(m) a uma equação:
a)
b) ( ) c)
d) √ e)
f) ( ) (
)
62
Após a aplicação da primeira parte do questionário, entregamos a segunda
parte, composta por uma questão que pretendia verificar qual é a importância que o
professor dá para as equações dentro do processo de ensino e aprendizagem de
matemática e por um relato detalhado sobre qual procedimento eles julgavam ser
mais adequado para que o seguinte objetivo fosse atingido: ―ensinar equações para
um grupo de alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental‖.
Neste relato, os professores deveriam informar: números de aulas
necessárias; estratégias empregadas; recursos utilizados; questionamentos;
exemplos de atividades propostas aos alunos; uma explicação que o professor
considera indispensável ser dada.
Nosso objetivo ao propor este tipo de atividade foi identificar ―as diferentes
formas de ver, de interpretar e de tratar a noção de equação‖ (RIBEIRO, 2010)
declarada pelos professores ao ensinar o tema.
( )
Parte 1
Questão 4: Para resolver a equação ( ) , um aluno deu a seguinte resolução:
Discuta a resolução dada pelo aluno. Justifique sua resposta. O que você diria ao aluno que apresentou essa resolução?
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Parte 1
Questão 5: Um professor de matemática propôs ao seu aluno que resolvesse a seguinte equação do 2º grau:
Discuta a resolução dada pelo aluno. Justifique sua resposta. O que você diria ao aluno que apresentou essa resolução?
63
Vale dizer que a aplicação do instrumento de pesquisa detalhado acima foi
feita logo no primeiro dia do curso de Formação Continuada, portanto sem influência
da participação das discussões ocorridas no âmbito da formação.
Estas atividades foram selecionadas pois acreditamos que tais questões
poderiam trazer dados que mostrariam quais dos significados de equação os
professores declaram utilizar ao ensinar o tema, como também ratificar nossa
hipótese de que o ensino de equações ocupa um lugar de destaque dentro do
ensino da Álgebra.
3.5 O segundo dia da Formação
No segundo encontro, após a retomada dos assuntos abordados no primeiro
dia, iniciamos o estudo dos três artigos científicos que serviram de fundamentação
teórica para esta Formação Continuada. São eles: Usiskin (1995); Ribeiro &
Machado (2009) e Fiorentini et al. (1993).
Começamos o segundo encontro apresentando a seguinte proposição
presente no artigo de Usiskin (1995):
Parte 2
Considere a seguinte situação:
Seu objetivo é ensinar sobre equações para um grupo de alunos do sétimo ano do EF. Relate de maneira detalhada qual procedimento você considera mais adequado adotar para que seu objetivo seja atingido? Procure informar:
Ano a que se destina e número de aulas necessárias; Estratégias que serão empregadas; Recursos que serão utilizados; Quais questionamentos serão feitos? (ou pretende
fazer?) Cite exemplos de atividades que serão propostas para
a turma; Há alguma explicação que você considera
indispensável ser dada? Qual?
Parte 2
Questão 6: Você considera importante o ensino de equações? Justifique.
64
―O produto de dois números é igual a um terceiro.‖
Depois solicitamos aos participantes que representasse tal afirmação por
meio de uma linguagem algébrica. Um dos participantes registrou na lousa as
soluções apresentadas pelos professores, listadas a seguir:
a)
b)
c)
A professora A argumentou:
Então nesse momento perguntamos ao grupo se esta afirmação: ―O produto
de dois números é igual a um terceiro‖ poderia ser considerada uma equação?
Notamos certo desequilíbrio entre os participantes do grupo, gerando muito
desencontro de ideias.
Perguntamos ao grupo se seria importante definir ou conceituar o que é uma
equação quando estamos ensinando sobre o tema e o grupo foi unânime ao afirmar
que sim.
Prosseguimos com a leitura e apresentação do artigo, intitulado Equação e
seus multisignificados: potencialidades para a construção do conhecimento
matemático, de autoria de Alessandro Jacques Ribeiro e Silvia Dias Alcântara
Machado.
Também realizamos a leitura do capítulo 5, do livro de Ribeiro (2008),
intitulado Apresentando os Multisignificados da Noção de Equação e dos demais
artigos citados anteriormente.
Realizamos uma ampla discussão sobre as conclusões que os autores
apresentaram em seus respectivos artigos, o que conduziu o grupo a concluir que há
Professora A: Isso está muito aberto. Pode ser qualquer coisa... Achamos milhares de
respostas para esta questão...
65
uma necessidade de promover atividades que contemplem, ao longo do ano, alguns
dos diferentes significados de equação identificados por Ribeiro em sua tese de
doutoramento e as diferentes concepções de álgebra.
Após o estudo destes artigos passamos a analisar as situações de
aprendizagem sugeridas no Caderno do Professor referente ao 4º Bimestre da 6ª
série, considerando que é neste momento que se inicia o estudo da álgebra de
acordo com a Proposta.
Lembramos que optamos por essa análise por diferentes motivos. Em
primeiro lugar pelo fato de que estávamos executando essa Formação em parceria
com a Diretoria de Ensino de Suzano. Por isso, fez-se necessária a realização de
estudo, análise e discussão das diferentes concepções de Álgebra presentes ou não
nos materiais de apoio ao Currículo Oficial do Estado de São Paulo, sobretudo no
que se refere mais especificamente às diferentes formas de ver e de tratar a noção
de equação.
Em segundo lugar, não poderíamos deixar de levar em conta o fato de que
desde o ano de 2008 a Secretaria do Estado da Educação (SEE) propõe mudanças
curriculares para as escolas tanto do Ensino Fundamental como Médio. Dessa forma
consideramos, assim como Pietropaolo (2002), que poderíamos nos valer de tais
orientações para promover as discussões e reflexões no grupo de formação. Para o
autor, tais orientações podem
[...] nortear a formação inicial e continuada de professores, pois à medida que os fundamentos do currículo se tornem claros fica implícito o tipo de formação que se pretende para o professor, como também orientar a produção de livros e de outros materiais didáticos, contribuindo dessa forma para configuração de uma política voltada à melhoria do ensino fundamental. (PIETROPAOLO, 2002, p. 37, grifo nosso)
Dessa forma, acreditamos que essa seria uma possibilidade de compreender
a relação existente – se é que há – entre as categorias distintas de conhecimentos
para o ensino estabelecidas por Shulman (1986): conhecimento do conteúdo
específico, conhecimento pedagógico do conteúdo e conhecimento curricular do
conteúdo, além de permitir a análise do grupo sobre a presença ou não dos
pressupostos teóricos estudados na sessão de formação.
66
Nesse sentido, procuramos favorecer a discussão entre nossos sujeitos de
pesquisa sobre o tema estudado e estabelecer relações com as orientações oficiais
propostas, não só para investigações acerca do Conhecimento Profissional Docente,
mas também como uma forma de refletir sobre o tema a partir de um material mais
próximo ao cotidiano dos professores, uma vez que tal documento é utilizado por
muitos dos profissionais da rede.
3.6 O terceiro dia da Formação
Iniciamos o terceiro encontro solicitando aos professores que novamente
escrevessem um novo relato detalhado sobre os procedimentos e atividades que
eles julgavam ser mais adequado para que o seguinte objetivo fosse atingido:
―ensinar equações para um grupo de alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental‖.
Nosso objetivo é comparar o relato feito no primeiro dia, que foi realizado
antes de qualquer intervenção de nossa parte com o relato realizado após o estudo
dos artigos citados anteriormente. Tal comparação poderá nos mostrar se houve ou
não uma maior variedade de atividades que contemplem as diferentes concepções
de álgebra para o ensino, bem como se há o emprego dos significados de equação
que não foram contemplados no primeiro relato.
Também neste dia, os professores responderam a um questionário cujo
objetivo era avaliar nossa Formação:
Avaliação da Formação
1. Ao longo desta formação, quais aspectos você considera importantes para a abordagem do conceito equação na Educação Básica? E quais aspectos você considera desnecessários?
2. Do que foi discutido durante esta formação, o que você considera possível aplicar em suas aulas? Em que sentido as discussões realizadas durante este curso poderiam mudar sua prática em sala de aula, para ajudar os alunos na construção desse conhecimento?
3. A participação no curso propiciou algum avanço, em relação aos seus conhecimentos anteriores, no que se refere ao trabalho com as equações?
4. Faça outras considerações que você julgue necessárias a respeito do trabalho desenvolvido pelo grupo, ao longo da formação.
67
3.7 Análises dos Dados
Para analisar os dados coletados, faremos o levantamento dos tipos de
respostas obtidas em cada questionário.
Após fazer o levantamento dos tipos de respostas, faremos uma classificação
destas e, a partir disso, faremos uma comparação dos dados baseando-nos no
trabalho de Pereira (2005), nos trabalhos de Ribeiro (2008), Usiskin (1995) , em que
observaremos os diferentes significados de equação e as diferentes concepções de
álgebra utilizadas no ensino.
Com relação ao relato solicitado aos professores, observaremos os diferentes
tipos de atividades e métodos empregados pelos professores no ensino das
equações, bem como as formas empregadas na resolução das mesmas.
68
Capítulo 4
Apresentação e Análise dos Dados
Apresentamos neste capítulo a análise das respostas dos professores para
cada um dos instrumentos de coleta de dados, feita à luz dos Multisignificados de
Equação e das conclusões de Shulman (1986) e Ball (2008).
Vamos apresentar e analisar o questionário que aplicamos no primeiro dia da
formação e os relatos que os professores escreveram das suas aulas, antes e
depois de nossa intervenção. Após a apresentação dos instrumentos utilizados para
a coleta de dados, apresentaremos as análises de cada atividade, contemplando os
diferentes significados de equação e o conhecimento profissional docente presente
nos relatos.
Para facilitar nossa análise, nomeamos os professores de acordo com as
letras do alfabeto de A a J.
Com a aplicação do primeiro questionário, buscamos levantar informações
sobre as concepções dos professores a respeito do conceito de equação e seu
ensino.
Inicialmente, fizemos um levantamento das respostas obtidas para cada uma
das questões e em seguida realizamos a análise observando suas características.
Neste sentido, apresentaremos as análises descritivas das atividades e, em
seguida, faremos a análise dos resultados.
4.1 Análise do questionário
Reiteramos que inicialmente questionamos os professores sobre qual seria o
conteúdo de álgebra mais importante. As respostas estão identificadas no quadro a
seguir:
69
Quadro 7:Questão 1
Questão 1
Indique qual conteúdo, em álgebra, que você julga ser o mais importante:
Professor Resposta obtida
A Equações do 1º e 2º grau; monômios e polinômios.
B As operações.
C Equação.
D Monômios e polinômios.
E Polinômios.
F Equações do 1º e 2º grau.
G Equação.
H Equação do 2º grau.
I Equação do 1º grau.
J Produtos notáveis e fatoração.
Podemos observar que dentre os 10 professores entrevistados, 6 julgam
explicitamente a equação como sendo o assunto mais importante em álgebra. Tais
resultados parecem ratificar a importância que as equações têm na Educação
Matemática Básica (RIBEIRO, 2008).
Em seguida, propusemos uma segunda questão que nos permitisse fazer um
levantamento das ideias que os professores tinham da equação.
Ao realizar tal questionamento, pretendíamos apenas fazer um mapeamento
relacionado ao entendimento que os professores possuem, além de verificar se
haveria também uma variedade ou uma predominância quanto à definição de
Equação.
Apresentamos as respostas obtidas:
70
Quadro 8: Questão 2
Questão 2. O que é para você uma equação?
Professor Resposta obtida
A Uma sentença matemática representada por uma variável.
B Uma igualdade, onde descobrimos a incógnita que são representadas por letras.
C É uma equivalência, uma maneira de encontrar um valor desconhecido.
D Fazer uma relação entre itens, produtos, corpos ou algo do gênero a fim de estabelecer e criar uma relação de igualdade velada.
E Qualquer coisa que funciona como uma balança.
F Procurar o valor de uma igualdade do tipo: x+5=10 ou x-5=10 etc. (1º grau) ou x2-25 = 0 ou x2 = 9 (2º grau)
G É encontrar soluções, equacionar respostas.
H Uma equivalência.
I Uma maneira prática para encontrar valores desconhecidos.
J Uma igualdade.
Os dados revelam que a noção de igualdade está presente na maioria das
respostas, já que neste trabalho admitimos a igualdade de valor como significado de
equivalência. Observamos que a palavra igualdade aparece em 60% das respostas
obtidas, o que parece corroborar Attorps (2003) em sua pesquisa, na qual afirma
que os professores dizem que o conceito de equação significa "igualdade".6
Dentre essas respostas, estão, por exemplo, as apresentadas na Figura 6 e
na Figura 7.
Figura 6: Resposta da Professora A para a questão 2.
6 ―Teachers say that the concept ‗equation‘ means ‗equality‘‖. (ATTORPS, 2003, p. 6)
71
Figura 7: Resposta da Professora J para a questão 2.
Também notamos que os professores não fazem menção às estruturas
matemáticas da equação.
Nesse sentido, Lima (2007) acredita que:
O entendimento da estrutura interna de uma equação é importante, pois, ao ser relacionado à álgebra de manipulação, esse entendimento pode colaborar para que o aluno compreenda o significado de cada um dos símbolos usados para representar uma equação, bem como a sua manipulação. (LIMA, 2007, p.27)
Ainda sobre a definição de equação, também não encontramos no Caderno
do Professor menção a tais estruturas. As orientações contidas no caderno apenas
indicam que:
Uma equação nada mais é do que uma pergunta feita em linguagem matemática, usando números, letras e o sinal de igualdade. (SÃO PAULO, 2008, p. 29)
Um fato que nos chamou atenção foi que, embora todos os sujeitos
envolvidos na pesquisa tenham declarado utilizar as orientações presentes no
Caderno do Professor no preparo de suas aulas, observamos que nenhuma das
respostas obtidas faz menção ao conceito de equação presente em tal material.
Na questão 3 pretendeu-se diagnosticar se os professores em exercício
reconheciam ou identificavam as Equações dentre algumas expressões algébricas e
função polinomial. Antes da análise, apresentaremos a questão e as respostas
obtidas:
72
Quadro 9: Questão 3
Questão 3. – Dos itens abaixo, assinale aquele(s) que se refere(m) a uma equação:
(a)
(b) ( )
(c)
(d) √
(e)
(f) ( ) (
)
Professor Itens assinalados
A B, C, D, F
B B, C, D, F
C B, C, D
D B, E
E B, C, D, F
F B, C, D
G B, C, D
H B, C, D
I B, C, D
J B, C, D
Nessa questão os professores assinalaram as afirmativas que apresentavam
o sinal de =, reforçando assim a ideia de igualdade de uma equação. Porém, o que
nos chamou a atenção foi o fato da não concepção por parte de 7 entre os 10
investigados da expressão algébrica P(x) = (
) ser uma equação.
Para analisar a compreensão dos professores acerca das estratégias e dos
erros apresentados pelos alunos, propomos aos professores as questões 4 e 5.
Inicialmente, apresentaremos as respostas obtidas para a questão 4; em
seguida, analisaremos tais respostas a luz dos estudos realizados por Ball e Bass
(2003) apoiadas nos estudos de Shulman (1986) e algumas pesquisas relacionadas
aos processos de ensino e aprendizagem da equação.
No que se refere ao conhecimento do conteúdo, consideramos, assim como
Shulman (1986), que se relaciona ao conhecimento substantivo e sintático do
conteúdo que o professor lecionará. Para o autor, o conhecimento substantivo é
73
composto pelos conhecimentos mais gerais da Matemática, ou seja, ideias, termos,
conceitos específicos, definições, procedimentos que permitem explorar situações-
problemas. Complementando esse conhecimento, o sintático refere-se às regras e
processos relativos à manipulação e aplicação do conteúdo, no nosso caso as
equações.
O conhecimento matemático necessário para ensinar engloba todas as
estratégias, intervenções e decisões de que o professor se utiliza para ensinar
determinado conteúdo matemático.
Embora o ―conhecimento de matemática‖ e o ―conhecimento matemático
necessário para ensinar‖ possam ser considerados muitas vezes como dois campos
separados, Bass (2005) nos lembra que o campo da educação matemática é, em
essência, um campo de matemática aplicada.
Apresentaremos a seguir a questão 4, na qual pretendíamos discutir não só o
―conhecimento de matemática‖ como também o ―conhecimento matemático
necessário para ensinar‖.
74
Quadro 10: Questão 4
Questão 4: Para resolver a equação x(x+2) = 5, um aluno deu a seguinte resolução:
( )
Discuta a resolução dada pelo aluno. Justifique sua resposta. O que você diria ao aluno que apresentou essa resolução?
Professor Resposta obtida na questão 4
A Ele conhece a fatoração e como encontrar os valores das raízes da equação, a distributiva em relação à adição.
B Que sua resolução está errada, o primeiro termo da equação indicava uma multiplicação entre o x e o x+2, que sempre que estiver uma letra (ou número) na frente de parênteses e não tiver sinal indica uma multiplicação.
C O aluno foi por dedução, ele achou que o valor de x era 5 porque o cinco está depois do igual, e depois para achar o outro valor de x verificou qual número adicionado a 2 dá valor 5. Errado porque ele esqueceu de igualar a 0 e substituindo o x por esses valores não chega a equivalência.
D A equação sugere a aplicação da propriedade distributiva com isso teríamos uma das raízes reais negativa.
E Não é a resposta que procuro. O aluno ignorou os princípios de fatoração. Então eu retomaria a explicação à parte para ele e entregaria em suas mãos com uma etapa resolvida.
F Ele errou a resposta, pois ele deveria encontrar a fórmula para desenvolver, encontrando uma equação do 2º grau não exata.
G Ele utilizou o conhecimento em resolução para equações incompletas. Mas na verdade não trata-se de uma equação incompleta e sim de uma equação completa que foi apresentada em sua forma fatorada.
H Diria para ele fazer a verificação dos valores das raízes para ver se satisfaz, ou se é verdadeira, depois igualar a zero a equação.
I Ele imaginou a solução da equação do 2º grau com igualdade zero e não observou que a resposta é cinco. O aluno lembrou que o produto de dois fatores é zero quando um dos termos é zero e resolveu esta equação pensando assim. Diria que ele deveria fazer a distributiva e resolver por outro método, por exemplo, Bhaskara.
J A resolução foi calculada da forma incompleta.
75
Acreditamos ser interessante enunciar o conjunto de aspectos que se espera
que o professor que ensina Matemática tenha para que possamos analisar as
respostas obtidas na questão 4 do primeiro questionário.
Esperávamos que surgissem análises por parte dos professores apoiadas
tanto no conhecimento matemático como nos didáticos e experienciais.
Quanto à primeira vertente, na questão 4, por exemplo, acreditávamos que
poderiam surgir respostas a partir da análise da sentença matemática, ou seja, o
professor poderia chamar a atenção para o fato de que o produto 5 ser número
primo, este permite como fatores somente os números 1 ou 5, o que permitiria um
número reduzido de combinações de respostas. Os professores poderiam também
chamar a atenção para o fato de que a equação do tipo x(x+a)≠0, com x e a tem
sua forma muito próxima a equações do tipo x(x+a)=0, o que poderia ter gerado tal
equívoco por parte do aluno, uma vez que tais equações são comuns em livros
didáticos e até mesmo no material de apoio da SEE. Podemos observar isso, por
exemplo, quando os Professores I e G afirmam:
Ele utilizou o conhecimento em resolução para equações incompletas. Mas na verdade não trata-se de uma equação incompleta e sim de uma equação completa que foi apresentada em sua forma fatorada. (PROFESSOR G)
Ele imaginou a solução da equação do 2º grau com igualdade zero e não observou que a resposta é cinco. O aluno lembrou que o produto de dois fatores é zero quando um dos termos é zero e resolveu esta equação pensando assim. (PROFESSOR I)
Quanto à intervenção, esperávamos que o professor sugerisse uma
discussão sobre esse tipo de equação e as justificativas para a validação de um
procedimento para resolução. Neste caso, a análise dos dados nos permitiu
observar que a maioria dos professores se restringiu apenas em analisar se o
procedimento realizado pelo aluno estava ou não correto. Com exceção dos
professores E, H e I, que apresentaram sua intervenção diante do que foi
apresentado:
Então eu retomaria a explicação à parte para ele e entregaria em suas mãos com uma etapa resolvida. (PROFESSOR E)
Diria para ele fazer a verificação dos valores das raízes para ver se satisfaz, ou se é verdadeira, depois igualar a zero a equação. (PROFESSOR H)
76
Diria que ele deveria fazer a distributiva e resolver por outro método, por exemplo, Bhaskara. (PROFESSOR I)
Analisando os três encaminhamentos, observamos que os três professores
demonstraram preocupar-se com retomada do conteúdo. Especialmente, o
Professor H demonstrou uma preocupação em problematizar o erro do aluno.
Consideramos que para esse educador tal situação poderia favorecer uma
importante reflexão por parte do aluno, de forma a proporcionar a construção de
conceito. Observamos aqui uma aproximação do que é proposto em documentos
oficiais, como os PCN. Nesse documento chama-se a atenção para o fato de que a
resolução de problemas favorece a capacidade de investigação por meio do
desenvolvimento da capacidade de investigação e da perseverança na busca de resultados, valorizando o uso de estratégias de verificação e controle de resultados e predisposição para alterar a estratégia prevista para resolver uma situação-problema quando o resultado não for satisfatório. (PCN, 1998, p. 75).
Essa mesma preocupação é observada nas orientações oficiais do currículo
de matemática da SEE e em diferentes pesquisas, como as de House (1997) e
Ribeiro (2010), na qual o autor afirma que a resolução de problemas ―constitui-se em
um aspecto importante a ser valorizado na aulas de matemática‖. (RIBEIRO, 2010,
p.7)
Assim como a questão anterior, na 5 pretendíamos discutir também o
Conhecimento Profissional Docente. De acordo com Ball e Bass (2003, p. 6-7), o
saber matemático para o ensino exige que os professores sejam capazes de realizar
com precisão explicações matemáticas, apresentar as definições apropriadas, fazer
conexões entre as diferentes representações, responder de forma produtiva as
questões matemáticas dos alunos satisfazendo suas curiosidades, fazer julgamentos
matemáticos sobre os materiais instrucionais, além de interpretar e fazer
julgamentos matemáticos sobre as perguntas, soluções e ideias apresentadas pelos
estudantes. Nesse sentido, elaboramos um caso envolvendo a resolução de uma
equação completa do segundo grau utilizando a fatoração do trinômio do quadrado
perfeito.
77
Quadro 11: Questão 5
Questão 5: Um professor de matemática propôs ao seu aluno que resolvesse a seguinte equação do 2º grau:
( )
Discuta a resolução dada pelo aluno. Justifique sua resposta. O que você diria ao aluno que apresentou essa resolução?
Professor Respostas obtidas na questão 5
A Transformou a equação do 2º grau em um trinômio quadrado (2x-5)2, ao isolar o valor -26 e somar a 25.
B A resolução não está correta: acho que seria bem perceptível por este aluno saber que não existe nenhum número que elevado ao quadrado tenha como resultado um número negativo. Ele tentou resolver aplicando o trinômio quadrado perfeito mas errou na resolução.
C Ele está correto. Ele foi tentando deixar a equação em quadrado perfeito. Trabalhando a equivalência.
D Penso o raciocínio estar correto, porém o equacionamento pode ser com o acréscimo de uma unidade. Essa é uma equação do 2º grau, a proposta de resolução apresentada pode até fazer sentido, porém, não faz sentido nesse momento a resposta apresentada.
E Parabéns por ter conseguido enxergar um quadrado perfeito, mas cadê o conjunto solução?
F Nos itens 1, 2, 3, 4 foi mantido a igualdade mas não houve resolução
do problema caso ele procurasse a resolução iria encontrar o =-16, onde a resposta é (nenhum número real)2=-16
G O aluno apenas simplificou a equação em sua forma fatorada. Mas ele não resolveu a equação, apenas descreveu de uma forma diferente da qual foi apresentada pelo professor.
H Sim, primeiramente está correto, basta fazer a verificação e dizer ao aluno a importância da equivalência.
I Nos itens 1, 2, 3 ele manteve a igualdade. No item 4 ele resolveu o primeiro termo porém ele não deu resultado final (numérico). Diria a ele que utilizasse Bhaskara; ele encontraria o valor do discriminante e
com isso observaria que seria negativo e diria que não existe uma resposta no U |R
J O aluno apenas fatorou mas não terminou a equação do 2º grau.
78
Na questão 5, era esperado que o professor observasse o fato de que o aluno
não validou a resposta encontrada. O encaminhamento esperado era que o
professor discutisse a conclusão do resultado. Dos professores analisados,
observamos que 9 mencionaram o trinômio quadrado perfeito; 3 indicaram a falta da
validação do resultado e 3 apontaram encaminhamentos. Dentre os
encaminhamentos, observamos haver por parte dos docentes encaminhamentos
distintos:
(...) Parabéns por ter conseguido enxergar um quadrado perfeito, mas cadê o conjunto solução? (PROFESSOR E)
(...) basta fazer a verificação e dizer ao aluno a importância da equivalência. (PROFESSOR H)
(...) Diria a ele que utilizasse Bhaskara; ele encontraria o valor do
discriminante e com isso observaria que seria negativo e diria que não existe uma resposta no U |R (PROFESSOR I)
Analisando os depoimentos, observamos por parte dos professores E e H a
concordância quanto à preocupação com a falta de validação do resultado, todavia
somente a apresentam; o Professor E reitera a necessidade da problematização. Já
o professor I mostrou-se preocupado em apresentar um outro procedimento de
Cálculo ao aluno.
Observamos que as respostas ao questionário indicaram lacunas nos
conhecimentos dos professores investigados, em relação à análise do erro do aluno
na resolução da equação, como por exemplo quando o professor F não reconhece a
resolução pela estratégia apresentada. Nosso sujeito de pesquisa declara:
Nos itens 1, 2, 3, 4 foi mantido a igualdade mas não houve resolução do
problema caso ele procurasse a resolução iria encontrar o =-16, onde a resposta é (nenhum número real)
2=-16
Para o docente, a resolução passaria necessariamente pelo cálculo do .
Nesse sentido, assim como o professor F, a maioria dos professores não menciona
o que diria ao aluno. Os professores se restringem somente a analisar o aspecto
processual. As questões apresentadas aos professores não pretendiam apenas
verificar se as respostas estavam corretas ou não, mas favorecer a reflexão e
discussão a respeito do modo pelo qual o aluno compreende ou não determinado
assunto e quais as possibilidades de encaminhamentos.
79
Retornando ao questionário, no item seguinte procuramos complementar a
primeira questão verificando a importância dada pelo professor ao ensino das
equações.
Quadro 12: Questão 6
Questão 6. Você considera importante o ensino de equações?
Professor Respostas obtidas na questão 6
A Sim, pois é possível por meio dela levar os alunos a interagir, mediado por um problema desafiador que possa explorar a curiosidade dos alunos.
B Sim, principalmente na resolução de situações problema.
C Sim, pois estimula o raciocínio lógico. Podemos também resolver vários problemas do dia a dia.
D Sim, pois intuitivamente as utilizamos como ferramenta diária e muitas vezes não se tem a noção exata desse fato.
E Sim, para que ele exercite todas as propriedades que vem aprendendo.
F A equação nos dá a segurança de termos uma igualdade onde podemos encontrar os valores de suas variáveis mostrando realmente as igualdades.
G Sim, o estudo das equações ajuda principalmente a trabalhar com resolução de problemas envolvendo situações do cotidiano.
H Sim, estimula o raciocínio lógico e prepara o aluno para o entendimento sobre funções.
I Sim por meio da equação nós conseguimos resolver problemas do dia a dia.
J Sim, principalmente na resolução de situações problema.
Percebemos por meio da análise das respostas obtidas que todos os
professores participantes desta pesquisa consideram importante o ensino das
equações, o que reafirma a ideia de que ―as equações, sejam de que tipo for, são
um conteúdo atraente de estudo e podem ser um assunto central e de grande
importância dentro da matemática e das suas aplicações.‖ (BEZERRA, 2006, p.3)
É possível notar ainda que a maioria (6 de 10 professores) considera que a
importância do estudo das equações está intimamente ligada à resolução de
problemas. Isso nos remete novamente a uma possível influência das orientações
contidas em documentos oficias como PCN e o Currículo Oficial do Estado de São
Paulo.
80
No PCN observamos que, do ponto de vista metodológico, os autores deste
documento consideram que os conceitos matemáticos devem ser ―abordados
mediante a exploração de problemas, ou seja, situações em que os alunos precisem
desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las‖ (BRASIL, 1998, p.40).
Segundo esse documento, a situação problema ―é o ponto de partida da atividade
matemática e não a definição‖ (Id., Ibid., p.40).
Também no material de apoio ao currículo oficial de São Paulo – Caderno do
Professor – observa-se a utilização de problematizações para desenvolver a
temática e a apresentação, em suas orientações, de afirmações como ―uma
equação pode ser vista como uma pergunta. A forma de se perguntar em
Matemática é por meio de uma equação.‖ (SÃO PAULO, 2009, p.29)
Da mesma forma, analisando tais respostas à luz do trabalho de Ribeiro
(2007) percebemos que a resposta do professor D nos remete ao significado de
equação Intuitivo-Pragmático, uma vez que ele faz referência ao uso da equação de
forma intuitiva em situações do cotidiano.
Outro fato que nos chama a atenção é que a maioria dos professores
reconhece ou relaciona uma equação com situações do cotidiano. Isso nos remete a
lembrarmos dos povos Babilônios e Egípcios que concebiam a equação como
igualdade entre valores; as equações estavam sempre muito ligadas às ideias
intuitivas e vinculadas a problemas de ordem prática.
Prosseguindo nossa análise, apresentaremos a seguir os relatos dos planos
de trabalho docente.
4.2 Análise dos relatos dos planos de trabalho docente
Antes de iniciarmos as análises dos relatos das propostas de trabalho
apresentados pelos nossos sujeitos, gostaríamos de relembrar um dos nossos
objetivos: Quais os significados de equação que os professores declaram utilizar ao
ensinar o tema?
Acreditamos que esta retomada do objetivo se faça necessária, pois
passaremos agora a analisar o primeiro relato dos professores sobre as estratégias
e atividades empregadas no ensino das equações.
81
Ao solicitar o relato, nosso objetivo era levantar informações sobre os
diferentes significados de equação empregados pelos professores em suas aulas.
Além disso, pretendemos observar o que Ball (2008) chama de Conhecimento
Especializado de Conteúdo , que os professores utilizam no ensino e que vai além
da matemática do próprio currículo.
Inicialmente realizamos a leitura detalhada, identificando os significados de
equação que apareciam no decorrer dos relatos apresentados, gerando uma
classificação, apresentada na tabela abaixo.
Dessa forma, analisando os relatos dos professores sobre as estratégias e
atividades empregadas no ensino das equações, observamos a predominância de
quatro significados:
Considere a seguinte situação:
Seu objetivo é ensinar sobre equações para um grupo de alunos do sétimo ano do EF. Relate de maneira detalhada qual procedimento você considera mais adequado adotar para que seu objetivo seja atingido? Procure informar:
Ano a que se destina e número de aulas necessárias; Estratégias que serão empregadas; Recursos que serão utilizados; Quais questionamentos serão feitos? (ou pretende
fazer?) Cite exemplos de atividades que serão propostas para
a turma; Há alguma explicação que você considera
indispensável ser dada? Qual?
82
Quadro 13: Significados de equação empregados no primeiro relato
Professor Significados de Equação utilizados no relato
A Dedutivo-Geométrico
B Intuitivo-Pragmático
C Intuitivo-Pragmático
D Intuitivo-Pragmático
E Processual-Tecnicista
F Intuitivo-Pragmático; Estrutural-Conjuntista.
G Processual-Tecnicista
H Dedutivo-Geométrico
I Intuitivo-Pragmático
J Processual-Tecnicista; Estrutural-Generalista
Quanto à apresentação, optamos por indicar a análise detalhada dos três
relatos tendo em vista que os que apresentam o significado ―intuitivo-pragmático‖
possuem características em comum. Outro fato importante é que pretendemos
analisar e comparar o primeiro com o segundo relato.
83
Figura 8: Relato da Professora A
Encontramos neste relato indícios de que a equação é concebida como noção
ligada às figuras geométricas; por isso concluímos que o significado aqui empregado
pelo professor é o Dedutivo-Geométrico.
84
Figura 9: Relato da Professora J
Neste relato percebemos que a Professora J indica os termos de uma
equação, o que nos leva a crer que a equação é concebida como noção estrutural
definida e com propriedades e características próprias. Também notamos que a
professora descreve um procedimento para ―achar o valor de x‖, ou seja, indica que
os alunos devem colocar a incógnita no primeiro membro para aí resolvê-la, o que
ela chama de ―encontrar o valor‖. Nesse sentido, percebemos que os significados de
equação utilizados por esta professora são o Estrutural-Generalista e o Processual
Tecnicista.
85
Figura 10: Relato da Professora B
Na figura 10 nos chama atenção o fato de que as professoras J e B utilizam o
modelo baseado em uma balança de dois pratos, em que cada prato representa um
dos membros da equação e o equilíbrio entre os pratos representa a igualdade
(FILLOY & ROJANO, 1989 apud LIMA, 2007, p.42).
Com relação a este modelo, encontramos em Lima (2007) a seguinte
observação:
O modelo da balança pode ser uma metáfora útil para todos os alunos darem significado ao sinal de igual como uma igualdade entre os dois membros da equação, bem como compreenderem o método de efetuar a mesma operação em ambos os membros. Entretanto, o modelo falha em ser significativo para muitos alunos, em situações mais gerais, envolvendo subtrações e números negativos. (VLASSIS, 2002 apud LIMA, 2007, p.46)
No relato da Professora B percebemos que ela utiliza situações do cotidiano
(pesagem de coisas). Não notamos nenhum registro sobre métodos ou técnicas
para resolver a equação, nem sobre sua estrutura ou características, e a resolução
da equação é obtida por meio da manipulação dos pesos nos pratos de forma
intuitiva.
86
Nesse sentido, a equação é concebida como noção intuitiva, ligada à ideia de
igualdade entre duas quantidades (dois pesos da balança) e o significado
empregado é o Intuitivo-Pragmático.
Com relação ao conhecimento matemático para o ensino, percebemos que
em todos os relatos os professores selecionam estratégias e procedimentos para
ensinar sobre o assunto.
Nesse sentido, Serrazina (2012), apoiada nos estudos de Ball e Bass (2003),
afirma que:
O professor tem de avaliar, arranjar exemplos e contraexemplos, de modo a chegar a uma definição que seja adequada e compreensível. Na sua construção deve ter em atenção que as definições têm de ser baseadas em ideias já definidas e compreendidas pelos seus alunos. (SERRAZINA, p. 269).
Nessa perspectiva, não basta ao professor saber quais são as características,
propriedades, métodos e técnicas de resolução de uma equação; é preciso ser
capaz de perceber como levar um aluno a compreender tais coisas, isto é, não basta
saber as definições matematicamente corretas, precisa saber também adequar as
definições matemáticas para que sejam compreensíveis aos alunos para os quais se
está ensinando.
―É sabido que o conhecimento que o professor possui não pode ser passado
diretamente para os seus alunos‖ (SERRAZINA, 2012); portanto, os professores
criam situações de aprendizagem e para isso precisam mobilizar certos
conhecimentos específicos da profissão (didático, curricular, dos recursos, dos
alunos e do contexto).
[...] o professor tem de ter oportunidades de viver experiências matemáticas do tipo das que se espera que proporcione aos seus alunos, pois só assim poderá cumprir uma das suas funções como professor de Matemática, a de fazer com que os seus alunos aprendam e apreciem a Matemática. (SERRAZINA, 2012, p.267,grifo nosso)
Nas palavras da autora acima citada, percebemos que o trabalho do professor
de matemática não se resume apenas em ensinar a Matemática: é muito mais que
isso.
87
Os relatos revelam que os professores utilizam a resolução de problemas
como a principal estratégia para o ensino das equações, o que corrobora as
respostas obtidas no quadro 12, na qual percebemos que a maioria dos professores
considera que a principal importância do ensino da equação reside no fato de ser
uma ferramenta para resolver problemas.
No segundo encontro, após realizarmos o estudo dos artigos que deram a
fundamentação teórica para a Formação, passamos a analisar as situações de
aprendizagem do Caderno do Aluno7, volume 4, 6ª série à luz da pesquisa realizada
por Ribeiro (2007). Esta atividade foi realizada em grupo e a apresentaremos em
seguida.
4.3 Análise do material de apoio: Caderno do Professor
Apresentaremos a seguir a análise que realizamos juntamente com os
professores envolvidos nesta pesquisa de duas situações problema do Caderno do
Professor que também estão presentes no caderno do aluno, volume 4, 6ª série:
7 Nova Proposta Curricular do Estado de SP.
88
Figura 11: Caderno do Professor, 6ª série, vol. 4, p.17 (2008)
Nesta atividade, a álgebra é vista como aritmética generalizada, já que este
problema envolve a descoberta de um padrão de regularidade e sua posterior
representação na forma algébrica. O foco da atividade está no reconhecimento de
um padrão em figuras. Os conhecimentos matemáticos que apareceram foram:
equação, função, relação e operações. A noção de equação, neste problema, é
concebida como uma noção estrutural definida e com propriedades e características
próprias. A equação é considerada por si própria, operando sobre ela mesma, na
busca de soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza
(Ribeiro, 2007). Neste sentido, o significado de equação empregado é o Estrutural-
Generalista, já que neste caso deve-se apresentar uma lei de formação que
relacione a posição com o número de bolinhas.
89
Figura 12: Caderno do Professor, 6ª série, vol. 4, p.23 (2008)
Nesta atividade, a álgebra é vista como estudo de relações entre grandezas
de medidas, já que há o emprego de fórmulas do tipo perímetro. Lembramos que, de
acordo com Usiskin (1995), ao se trabalhar com essas grandezas não se tem a
sensação de estar trabalhando com incógnitas: a concepção desta variável é um
argumento ou um parâmetro, e é nessa concepção que surge a noção de variável
dependente e independente, da qual deriva a ideia das funções. O foco da atividade
está na interpretação da sentença matemática presente na fórmula, no significado
das letras que a compõem e a obtenção de resultados a partir de valores numéricos.
Os conhecimentos matemáticos que aparecem são: equação, função, relação e
operações. Com relação aos significados de equação empregados notamos os
seguintes: Dedutivo-Geométrico, pois a noção de equação é concebida como ligada
às figuras geométricas (neste caso, ao retângulo); Estrutural-Generalista, já que há a
procura pelas soluções gerais para uma classe de equações de mesma natureza
(para o cálculo do perímetro, item c). No item d, notamos o significado Intuitivo-
90
Pragmático. O trecho a seguir evidencia tal significado ao utilizar ―tentativas‖ na
resolução.
Figura 13: Orientações do Caderno do Professor – 6ª série, vol.4, p.29 (2008)
Antes de iniciarmos as análises dos relatos realizados após os professores
terem estudado os artigos já citados anteriormente, gostaríamos de relembrar mais
uma vez um dos nossos objetivos: Como a discussão dos Multisignificados de
Equação pode proporcionar o aperfeiçoamento e a ampliação do conhecimento
sobre Equações em um curso de formação continuada de professores de
Matemática?
4.4 Análise do segundo relato
Acreditamos que esta retomada do objetivo se faça necessária, pois
passaremos agora a analisar o segundo relato dos professores sobre as estratégias
e atividades empregadas no ensino das equações. Procuramos detectar se houve
ou não alguma mudança após a leitura dos artigos e das discussões e reflexões
propiciadas durante os encontros.
Da mesma forma que fizemos anteriormente, analisamos os relatos e os
classificamos como mostra a tabela a seguir:
91
Quadro 14: Significados de equação empregados no segundo relato
Professor Significados de Equação utilizados no relato
A Intuitivo-pragmático; dedutivo-geométrico; estrutural-generalista; processual-tecnicista e estrutural-conjuntista.
B Intuitivo-pragmático; estrutural-generalista; processual-tecnicista.
C Dedutivo-geométrico;
D Só participou da 1ª sessão da Formação.
E Só participou da 1ª sessão da Formação.
F Intuitivo-pragmático; processual-tecnicista.
G Intuitivo-pragmático; processual-tecnicista.
H Intuitivo-pragmático; dedutivo-geométrico; estrutural-conjuntista.
I Intuitivo-pragmático; processual-tecnicista.
J Estrutural-generalista; processual-tecnicista; estrutural-generalista.
Apresentaremos a análise detalhada dos mesmos professores selecionados
anteriormente para que seja possível realizarmos também uma comparação dos
dados obtidos no primeiro e no segundo relatos.
92
Figura 14: Segundo relato da professora A
93
Figura 15: Continuação do segundo relato da professora A
Notamos na atividade 1 que a equação foi concebida como uma noção
intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades e sua utilização está
relacionada à resolução de problema originário do cotidiano. Isso evidencia que o
significado empregado nesta atividade é o Intuitivo-Pragmático.
Nas atividades 2 e 5 percebemos a utilização de figuras planas e conceitos
como área e perímetro nos problemas. Tal fato evidencia o uso do significado
94
Dedutivo-Geométrico. Analisando mais cuidadosamente a atividade 2, percebemos
que tal atividade explora uma função da álgebra: a generalização. Na maioria das
vezes resolver o problema significa encontrar valores numéricos para ―as letras‖;
nesta atividade, isso não acontece.
Encontramos um trecho da reportagem da Revista Nova Escola que corrobora
o fato acima citado:
Quando trabalha com questões matemáticas que envolvem letras, a garotada tende a buscar desenfreadamente por números para substituí-las. Fazer esses caracteres intrusos desaparecer é o objetivo principal da turma porque finalizar um problema com ―n‖ no resultado é sinal de que alguma coisa está inacabada ou errada. (REVISTA NOVA ESCOLA, out/2010, p.62)
Por isso podemos perceber que, na atividade 2, a noção de equação também
foi relacionada com a busca de soluções gerais e por isso o significado Estrutural-
Generalista também foi empregado.
Já na questão 5 notamos que um procedimento foi indicado na resolução do
problema e, assim sendo, percebemos além do significado Dedutivo-Geométrico o
significado Processual-Tecnicista.
A atividade 3 apresenta uma ―fórmula‖ para o cálculo do IMC (índice de
massa corpórea), em que a utilização da equação está relacionada com a busca de
soluções gerais e neste caso notamos que o significado empregado foi o Estrutural-
Generalista. O mesmo significado foi empregado na atividade 4.
Após analisarmos todas as atividades propostas pela Professora A, não
encontramos a preocupação em definir a noção de equação, mas percebemos a
preocupação em trabalhar a ideia central da noção de equação, ou seja, a ideia de
igualdade. Sendo assim, podemos afirmar que o significado Axiomático-
Postulacional também foi empregado.
95
Figura 16: Segundo relato da Professora B
No relato da professora B, percebemos que a professora utiliza a metáfora da
balança para trabalhar a ideia de igualdade da equação, por meio da ideia de
equilíbrio e desequilíbrio da balança. Aqui percebemos que a equação foi concebida
como noção intuitiva, ligada à ideia de igualdade entre duas quantidades, isto é, a
professora está trabalhando com o significado Intuitivo-Pragmático neste caso. Mais
adiante, a professora chama a atenção para os elementos que caracterizam uma
equação – ―o uso de letras e o sinal de igualdade‖ – e também faz menção à
estrutura da equação. Nesta parte do relato, o significado empregado é o Estrutural-
Generalista, visto que a equação é apresentada como noção estrutural definida e
com propriedades e características próprias. Em seguida, a professora apresenta
uma técnica para a resolução da equação:
96
Figura 17: Trecho do segundo relato da Professora B
Aqui percebemos que o significado empregado é o Processual-Tecnicista.
Passaremos agora a analisar o 2º relato realizado pela professora J:
Figura 18: Segundo relato da professora J
97
No relato da professora J, percebemos que a professora emprega o
significado Estrutural-Generalista, pois a equação é apresentada como noção
estrutural definida e com propriedades e características próprias. Em seguida, a
professora apresenta uma técnica para a resolução da equação:
Figura 19: Trecho do segundo relato da professora J
Tal trecho evidencia o significado Processual-Tecnicista, dado que concebe a
equação como a sua própria resolução – como os métodos e técnicas que são
utilizadas para resolvê-la (RIBEIRO, 2007).
De acordo com Serrazina (2012), o professor, ao trabalhar na sua preparação
do ensino da Matemática, deve ter presente o currículo de Matemática que precisa
ensinar; identificar a matemática essencial e pertinente para trabalhar com os seus
alunos naquele momento; exigir rigor matemático, no quê e no como; selecionar e
adaptar tarefas com critério; ter uma visão crítica sobre os recursos, além de pensar
em estratégias da aula.
Nos relatos apresentados, podemos perceber os itens apontados por
Serrazina (2012). Os professores têm presente o currículo de Matemática que
precisam ensinar e identificam a matemática essencial e pertinente para trabalhar
com os seus alunos ao definir os objetivos da aula e a série à qual se destina.
98
Figura 20: Trecho do segundo relato da professora A
O trecho do relato acima constitui uma evidência de que a professora
elaborou estratégias para atingir os objetivos determinados, além de selecionar os
recursos.
Percebemos que as situações-problema são utilizadas com frequência nos
relatos dos professores como recurso para a aprendizagem do tema.
99
Capítulo 5
Considerações finais
Nestas considerações finais, apresento uma síntese das reflexões sobre os
dados apresentados. Apresento, ainda, meu ponto de vista sobre os princípios que
deveriam ser levados em conta para se desenvolver um projeto de formação
continuada de professores que ensinam Matemática, especialmente quando o objeto
de discussão é a equação.
Todavia, considero conveniente retomar sucintamente aspectos dessa
pesquisa.
Esta pesquisa preocupou-se em investigar o conhecimento profissional
docente de professores participantes de um curso de formação continuada sobre
noções relativas aos processos de ensino e aprendizagem de equações.
Para isso, procedemos a uma pesquisa de caráter qualitativo, com
professores em exercício efetivo da docência em Matemática, na rede pública
estadual de São Paulo, com os quais fizemos três sessões de formação de 4 horas
cada. Este curso de formação continuada priorizou a realização de estudo, análise e
discussão das diferentes concepções de Álgebra, sobretudo no que se refere mais
especificamente às diferentes formas de ver e de tratar a noção de equação.
Essa pesquisa teve como ponto de partida uma pesquisa bibliográfica análise
de estudos como os de Ribeiro (2007), Shulman (1986), Ball et al. (2008) e
Serrazina (2012). Fundamentadas nessas investigações organizamos uma
intervenção em um curso de formação para professores que ensinam matemática.
Inicialmente, fizemos um levantamento para investigar as concepções e
conhecimentos dos sujeitos envolvidos no curso sobre os processos de ensino e
aprendizagem da equação. Coletamos os dados para este estudo por meio dos
seguintes instrumentos: questionários, registros escritos de observações colhidas
100
nas sessões de formação e gravação em vídeo, passando para a fase das análises
dos dados e das discussões.
Dando continuidade à apresentação do panorama de nossa pesquisa,
retomaremos as questões que nortearam tal estudo:
1) De quais significados de equação os professores de Matemática se
utilizam quando estão envolvidos em um processo de formação no qual
lhes é propiciado possibilidades de reflexão sobre a prática?
2) Quais os significados de equação os professores declaram utilizar ao
ensinar o tema?
3) Como a discussão dos Multisignificados de Equação pode proporcionar o
aperfeiçoamento e a ampliação do conhecimento sobre Equações em um
curso de formação continuada de professores de Matemática?
A seguir, apresentaremos nossas considerações procurando responder tais
questionamentos.
Podemos perceber que 6 entre os 10 professores investigados julgaram a
equação como sendo o conteúdo mais importante em álgebra. Todos foram
unânimes em considerar ser importante o ensino da equação, sendo que 7 deles
apontam a equação como uma ferramenta para a resolução de situações-problema.
Observamos também que os Cadernos do Professor contemplam, em sua
maioria, atividades nas quais a equação é utilizada como estratégia na resolução de
problemas, o que no meu entender remete à predominância das respostas em que
os sujeitos da pesquisa apontam a equação como uma ferramenta para a resolução
de situações-problema do cotidiano.
Outro elemento que parece bastante contundente nas respostas dos
professores é a ideia de equação vinculada à ideia de igualdade, já que a palavra
igualdade é empregada por 60% dos professores para conceituar equação. Um fato
interessante é que para os professores B, C, F, G, e I a ideia de equação está
relacionada a uma sequência ordenada e bem definida de passos que conduzem à
101
solução do problema, quer seja, ―determinar o valor desconhecido‖. Para ilustrar o
fato, apontaremos o protocolo do Professor C e do Professor I:
Figura 21: Protocolo do professor C
Figura 22: Protocolo do professor I
Já em relação ao primeiro relato do plano de trabalho docente feito pelos
professores, percebemos que a presença de diferentes significados de equação é
bastante limitada. Analisando tais relatos percebemos a predominância do
significado intuitivo pragmático, o que parece indicar a grande valorização dada à
questão do emprego das equações na resolução de situações problemas do
cotidiano. Neste sentido, acreditamos que tal fato se deve a uma tendência em que
grande número de pesquisas, dentre as quais citamos, como exemplo, Dante
(1988), Silva & Filho (2004), que apontam a utilização da resolução de problemas
como metodologia de ensino que pode auxiliar significativamente a construção de
conhecimentos matemáticos.
Esta tendência em educação matemática também pode ser percebida na
seguinte afirmação:
Estudar matemática é resolver problemas. Portanto a incumbência dos professores de matemática, em todos os níveis, é ensinar a arte de resolver problemas. (Thomas Butts apud DANTE, 2000, p. 43)
Nessa perspectiva, Zorzan afirma que :
[...] depois do currículo e do ensino da matemática que exigiam a repetição
e a memorização de conteúdos e exercícios, surgiu uma nova orientação
para a aprendizagem dessa disciplina, segundo o enfoque dessa
aprendizagem que requeria do aluno a compreensão e o entendimento do
102
saber fazer, começou a emergir no campo investigativo da matemática o
aprender a partir da resolução de problemas. (ZORZAN, 2004, p. 79)
Ainda com relação ao primeiro relato, percebemos que o conhecimento
específico do conteúdo ―equação‖ não apareceu em nenhum relato. Não
percebemos a preocupação por parte dos professores em conceituar ―equação‖ ou
mencionar as características ou estruturas da mesma. Por outro lado, percebemos o
conhecimento pedagógico do conteúdo quando os professores selecionam: as
explicações corretas do ponto de vista da matemática, mas que sejam
compreendidas pelos seus alunos, os materiais que devem usar ou não e os
modelos ou os exemplos que consideram mais adequados à situação que será
apresentada em sala de aula.
Para ilustrar tal situação, apresentaremos o protocolo do Professor D:
Figura 23: Protocolo do professor D
Dando continuidade ao ―processo‖ de formação continuada, considerando as
ideias de Serrazina (2012) que afirma que ―a formação deve envolver um processo
de reflexão questionando as crenças e concepções dos professores envolvidos, de
modo a aprofundar o seu conhecimento matemático, didático e curricular‖, procurei
103
promover um ambiente que proporcionasse aos professores maior interação com os
conteúdos matemáticos, bem como a troca de experiências entre eles por meio das
discussões e intervenções do pesquisador.
Assim sendo, após realizar a apresentação e estudo dos trabalhos de Ribeiro
(2007) e Usiskin (1995) os professores redigiram um novo relato do plano de
trabalho docente. Vale ressaltar que tendo em vista os resultados obtidos no
primeiro relato, ao apresentar os Multisignificados de Equação aos docentes,
procurei focar os significados de equação que foram pouco ou não foram utilizados
pelos professores a fim de se ampliar as diferentes maneiras pela qual a noção de
equação pode ser ―concebida‖ ou ―tratada‖.
A partir da intervenção do pesquisador, o segundo relato revelou uma
presença bem variada de significados de equação. Percebemos que os professores
procuraram contemplar as diferentes concepções da álgebra (USISKIN, 1995)
empregando uma maior variedade de atividades e, em decorrência desse fato,
observamos também o emprego de mais de um significado de equação.
Este estudo conclui pela importância de promover espaços que favoreçam a
discussão e o estudo sobre o tema, tendo em vista como foi importante a realização
dessa Formação, na qual proporcionamos o estudo de algumas pesquisas, além da
troca de experiências e discussões fundamentadas nos estudos realizados pelo
grupo. Vale ressaltar que por vezes tais pesquisas não chegam até o professor por
vários fatores. Dentre estes, citamos, por exemplo, a falta de tempo para que o
docente possa pesquisar ou a falta de fundamentação teórica nos materiais
fornecidos pela Secretaria da Educação do Estado de São Paulo.
Concordamos com as ideias de Serrazina quando a autora afirma que o
professor :
tem de ter oportunidades de viver experiências matemáticas do tipo das que se espera que proporcione aos seus alunos, pois só assim poderá cumprir uma das suas funções como professor de Matemática, a de fazer com que os seus alunos aprendam e apreciem a Matemática. (SERRAZINA, 2012, p. 267)
Consideramos que as professoras (re)construíram e ampliaram o conceito de
equação após a participação na Formação e tal fato pode ser observado nas
respostas obtidas na avaliação que os professores realizaram ao final da Formação.
Apresentaremos algumas das respostas obtidas a seguir:
104
Figura 24: Avaliação da professora B
Figura 25: Avaliação do professor I
Ressaltamos ainda que elaborar e executar uma Formação Continuada de
Professores não é uma tarefa fácil: trata-se de um desafio. No decorrer da
elaboração e execução, nos deparamos com diferentes problemas, dentre os quais
citamos: a falta de interesse dos docentes em participar dos encontros sem haver
uma recompensa do tipo ―dispensa do ponto‖; a definição de data e horário que
105
fossem bons para atender os interessados; despertar o interesse em professores
que muitas vezes se encontram sem perspectivas e pessimistas com relação ao
futuro da Educação Matemática; fazer o professor ler, ler e ler para fundamentar
suas ideias.
Consideramos que as professoras (re) construíram e ampliaram o conceito de
equação após a participação das sessões de Formação e tal fato pode ser
observado nas respostas obtidas na avaliação8 do processo formativo (anexo 7) que
os professores realizaram ao final da Formação. Protocolo 24 – Avaliação da
Professora B.
Acreditamos que os resultados de nossa pesquisa mostraram que a
Formação Continuada pode ser considerada um espaço para a promoção de
momentos para a discussão, seja sobre os Multisignificados de Equação ou sobre
qualquer outro tema;os esforços valem a pena, pois podem proporcionar o
aperfeiçoamento e a ampliação do conhecimento do professor sobre o assunto
escolhido.
Devido a diferentes limitações que qualquer trabalho de pesquisa sempre
apresenta, gostaríamos de contribuir para novas pesquisas, apontando alguns
questionamentos que apareceram no decorrer do desenvolvimento deste trabalho:
- Quais aspectos deverão ser considerados na elaboração de uma
Formação Continuada?
- Qual design a Formação Continuada deverá apresentar para ser eficaz?
8As demais avaliações encontram-se nos anexos.
106
Bibliografia
BALL, Deborah. L. What Mathematical Knowledge is Needed for Teaching
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24/09/2011. Disponível em: <http://www.periodicos.udesc.br/
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ZORZAN, Adriana Loss. Séries iniciais: metodologia para o ensino da matemática.
Erechim, RS:Edifapes, 2004.
110
Anexos
Anexo 1: Proposta de Formação Continuada em Matemática
Proposta de Formação Continuada em Matemática
Denominação do Curso: Álgebra: Ideias e Questões
Instituição proponente e executora: Diretoria de Ensino – Região de Suzano
Apresentação Este documento tem por finalidade apresentar os pressupostos e as características do Curso de Formação Continuada em Matemática e sua Fundamentação Pedagógica e Curricular para Professores que lecionam Matemática na Rede Estadual de Ensino de São Paulo, do município de Suzano, a ser oferecido pela Universidade Bandeirante de São Paulo. As informações de caráter pedagógico e operacional constantes deste projeto visam oferecer à Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas (CENP) as condições necessárias para que o curso possa ser avaliado quanto ao seu conteúdo e operacionalidade.
Diagnóstico e Justificativa com indicação das necessidades e prioridades:
Percebemos, nos últimos anos, um aumento significativo de estudos sobre o ensino e aprendizagem de Álgebra. Algumas dessas pesquisas evidenciam importantes discussões relacionadas à Álgebra, como a de Scarlassari & Moura (2005), que identificam e relacionam algumas dificuldades que os alunos apresentam em álgebra, tais como: a não compreensão das operações elementares; a dificuldade de relacionar ou associar o que está representado; a dificuldade em contextualizar as expressões escritas na linguagem simbólica com relação aos enunciados das questões ao modo como o professor trabalha. Isso ocorre porque, em sala de aula, segundo Sousa (apud Scarlassari & Moura, 2005), os professores ―ensinam os conteúdos matemáticos a partir das concepções que elaboraram enquanto se constituíam professores, na licenciatura‖, se restringindo assim ao caráter pragmático da álgebra.
Ao realizarmos uma breve pesquisa dos resultados das avaliações em Matemática do SAEB (Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica), ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio) e SARESP (Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de São Paulo), notamos um quadro preocupante, com índices que indicam um resultado insatisfatório, reforçando a consideração (talvez equivocada) de que a Matemática é realmente muito difícil de compreender.
Por vezes, observamos que isso ocorre em razão da postura que o professor de Matemática assume, transformando as aulas de Matemática em um processo árduo de aprendizagem (e consequentemente de ensino); desprovido de significados tanto para o aluno como também para o próprio professor; sendo assim, todo o processo de ensino e aprendizagem de Matemática fica reduzido ao mero procedimento de reproduzir os passos ou as técnicas ensinadas pelo mestre. Não podemos nos esquecer de que a forma que o professor trabalha estes conceitos e procedimentos algébricos pode estar dificultando ainda mais a sua aprendizagem, fazendo com que o aluno tenha verdadeiro horror à Matemática. (GIL, 2007).
Araujo (1999) realizou uma investigação com 378 indivíduos objetivando verificar as dificuldades apresentadas pelos alunos do primeiro ano de diferentes áreas do conhecimento do Ensino Superior e alunos concluintes do Ensino Médio. Tal pesquisa revelou que os estudantes possuem dificuldades tanto em nível conceitual quanto no uso incorreto de propriedades, de operações, de definição das incógnitas, até dificuldades advindas da aritmética, como erros em
111
operações, em propriedades ou na prioridade das operações. A autora também identifica que entre as dificuldades apresentadas pelos referidos alunos apareceram: a necessidade de seguir um procedimento padronizado para resolver equações algébricas simples; não dar significado para as equações; o uso indevido de incógnitas. Quanto aos erros de processamento das equações, observou-se o uso incorreto do princípio de equivalência e o uso indevido de regras como ―muda lado – muda sinal‖.
Ribeiro (2001), após realizar a análise dos resultados do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo, edição de 1997, concluiu que a Álgebra representa um problema no ensino e aprendizagem de Matemática, pois os alunos analisados apresentaram dificuldades em resolver questões básicas com equações de 1º grau. O autor também detecta a grande diferença que faz o tipo de ensino e a postura empregada pelo professor em sala de aula no resultado do desempenho dos alunos e acredita serem importantes os cursos de capacitação em ensino da Álgebra para os professores, nos quais pudessem ser oferecidas oportunidades para estudo e discussão de diferentes abordagens que pudessem ser utilizadas em sala de aula, no ensino da Álgebra.
Ao tomar como exemplo e ao realizar a análise dos trabalhos de Araújo (1999), Ribeiro (2001) e Scariassari & Moura (2005), podemos constatar que o cenário atual do ensino e, por consequência, da aprendizagem da álgebra, no Brasil, é preocupante por apresentar resultados insatisfatórios.
Percebemos que a postura do professor e a prática pedagógica por ele desenvolvida em sala de aula são de fundamental importância para se reverter um ensino pautado em manipulações mecânicas de técnicas operatórias e desprovido de significado, tanto para o professor quanto para o aluno, em um ensino eficiente. Por isso se faz necessário promover momentos de reflexão e estudo buscando alternativas que possibilitem sanar os problemas detectados no processo de ensino de conteúdos algébricos, tendo em vista que a Álgebra é um conteúdo chave que permeia quase toda a matemática do ensino fundamental ao ensino médio.
Diante da recente reestruturação da Proposta Curricular do Estado de São Paulo (2008), percebemos a necessidade de se promover momentos privilegiados para a análise das características e visões que esse documento propaga no que concerne a sua incorporação e aplicação nas aulas de Matemática, mas especificamente no que se refere ao ensino da Álgebra.
Destarte, julgamos ser oportuna a promoção de um curso de Formação Continuada que priorizará a realização de estudo, análise e discussão das diferentes concepções de Álgebra, presentes ou não na Proposta Curricular do Estado de São Paulo, sobretudo no que se refere mais especificamente das diferentes formas de ver e de tratar a noção de Equação. Esperamos que esta oportunidade de estudo e discussão possa proporcionar ao docente a administração da sua própria formação continuada ao longo do exercício docente permitindo a construção de novos conhecimentos em trabalhos individuais e coletivos, contribuindo para o desenvolvimento profissional de professores que ensinam Matemática.
Objetivos: O curso de formação continuada aqui proposto privilegia o diálogo entre o conhecimento do conteúdo e o conhecimento pedagógico do conteúdo (SHULMAN, 1986), pois procura dar oportunidade aos docentes de um aprofundamento nos conteúdos matemáticos pertinentes ao ensino da álgebra, como também pretende colocar os profissionais a par das discussões teóricas atuais sobre o ensino e aprendizagem da Álgebra, com a intenção oferecer ou ampliar subsídios necessários ao processo de ensino da Matemática.
Público Alvo: Este curso se destina a professores em exercício efetivo da docência em Matemática, na rede pública estadual.
Conteúdos Gerais: Campos Algébricos
Específicos
112
Álgebra; Produção histórico-cultural; equações; conceitos; relações; funções.
Período de Inscrição: a definir. A seleção dos professores será feita pela Diretoria de Ensino –
Região Suzano em conjunto com as Secretaria de Educação do Estado de São Paulo.
Formas de Acompanhamento e de Avaliação dos participantes do Curso A avaliação, no contexto do presente curso, é entendida como um processo permanente, integral e sistemático da aprendizagem do educador, na perspectiva de orientação, controle e motivação. Compreende momentos de autoavaliação, de avaliação à distância e de avaliação presencial.
Critérios de Certificação Para ser certificado, o professor deve ter, no mínimo, 80% de participação/frequência/realização no total de atividades.
Cronograma ( os encontros deverão ocorrer no período de 17 a 27 de junho de 2012)
Data Atividade Prevista 17/06 (4h) Encontro Presencial
Realização de atividade, visando identificar quais são as concepções dos professores de Matemática sobre os processos de ensino e aprendizagem da Álgebra, mas especificamente no que se refere às equações.
20/06 (4h) Encontro Presencial
Análise e discussão de algumas atividades do encontro anterior. Análise e discussão da concepção de Álgebra proposta por USISKIN (1995). Análise das atividades propostas nos Cadernos do Aluno e do Professor de Matemática (especificamente do conteúdo sobre Álgebra).
27/06 (4h) Encontro Presencial
Reelaboração do plano de trabalho docente, visando confrontar e identificar as diferenças das respostas que foram obtidas na atividade diagnóstica. Análise da Avaliação Final.
Estudo à distância
Atividade Prevista
Período de 17/06 a 20/06 (3h)
Leitura e discussão em grupo do artigo ―Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra‖ (Booth, L.R.). O grupo fará uma reflexão sobre o trabalho com Álgebra a partir da leitura do artigo e elaboração de registro sobre as dificuldades detectadas e sugestões didáticas. Leitura do artigo: Álgebra nos PCN Fonte: www.cempem.fae.unicamp.br/lapemmec/curso...
Período de 20/06 a 27/06 (3h)
Leitura do artigo: Equação e seus multisignificados: potencialidades para a construção do conhecimento matemático (RIBEIRO, A.J.; MACHADO, S.D.A) – In: Zetetike, 2009.
Leitura do artigo de Ball et al. (1990) Período após o término do curso a (1h)
Preenchimento da avaliação
Quantidade de Vagas Oferecidas: Mínimo: 5 participantes Máximo: 15 participantes
Local de Realização do Curso: a definir O local deverá dispor de recurso áudio visual (data show).
Avaliação Os participantes serão solicitados a efetuar autoavaliação e avaliação do curso em seus diferentes aspectos, por questionários específicos.
113
Certificação Os certificados serão emitidos e distribuídos pela Diretoria Regional de Ensino após a homologação do curso.
Bibliografia ARAUJO, Elizabeth Adorno de. Influências das habilidades e das atitudes em relação a matemática e
a escolha profissional. Tese de doutorado. FE – UNICAMP: Campinas/SP, 1999.
ATTORPS, I. Teachers‘ Images of the ―Equation‖ Concept. Disponível em: http://ethesis.helsinki.fi/julkaisut/kay/sovel/vk/attorps/. Acesso em 06/09/10 às 19h58.
BALL, D.L. e WILSON, S. (1990). Knowing the subject and learning to teach it: examining assumptions about becoming a mathematics teacher. ResearchReport N.C.R.T.E.
BARBOSA, Y.O. Multisignificados de Equação: uma investigação sobre as concepções de professores de Matemática. São Paulo, 2009. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Universidade Bandeirante de São Paulo.
BRASIL Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: matemática. Brasília, 1999.
GIL, K.H. & PORTANOVA, R. Reflexões sobre as dificuldades dos alunos na aprendizagem de Álgebra. In Anais do IX Encontro Nacional de Educação Matemática, Belo Horizonte/MG, 2007, CD-ROM.
MIGUEL, FIORENTINI e MIORIM. Álgebra ou Geometria: para onde Pende o Pêndulo?, Pró-posições, vol. 3, n° 1, Campinas, SP, 1992.
NETO, M.O.T. Uma proposta para a aprendizagem de conceitos algébricos a partir do material dourado. Universidade do Estado do Pará. Disponível em: http://www.fafibe.br/revistaonline/arquivos/060-mario_uepa-uma_proposta_aprend_conc_alg.pdf Acesso em: 09/05/2010
RIBEIRO, A.J. Analisando o desempenho de alunos do Ensino Fundamental em Álgebra, com base em dados do SARESP. São Paulo, 2001. 116p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de SP.
__________ Equação e seus multisignificados no ensino de Matemática: contribuições de um estudo epistemológico. São Paulo, 2007. 141p. (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
__________ Multisignificados de Equação e o Ensino de Matemática: desafios e possibilidades. Blucher Acadêmico, São Paulo 2008.
SEE/SP. Secretaria de Estado da Educação de São Paulo. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática. São Paulo: SEE.2008.
SCARLASSARI, N.T. & MOURA, A.R.L. Dificuldades dos alunos no ensino fundamental, em álgebra, e suas possíveis origens. In Anais do XV Congresso de Leitura do Brasil, 2005. Disponível em: http://www.alb.com.br/.../nathaliascarlassari.htm. Acesso em 03/06/2010 às 12h32
SHULMAN, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. EducationalResearcher, 15(2), 4-14.
TARDIF, Maurice. Saberes docentes e formação profissional. Petropólis, RJ: Vozes, 2002.
114
Anexo 2: Termo de consentimento livre e esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
São Paulo, ____ de junho de 2012.
Prezado professor_______________________________________________,
Vimos por meio desta solicitar vossa concordância para participação, na pesquisa de
mestrado da professora Etienne Lautenschlager sob o título ―Discutindo diferentes
significados de Equação num curso de Formação Continuada de Professores”
vinculada ao Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo, a ser desenvolvida no curso Formação
Continuada em Matemática da Diretoria de Ensino de Suzano.
Gostaríamos de esclarecer que:
1) Você irá participar das seções de intervenção, onde você irá trabalhar em grupo
para resolver algumas atividades envolvendo ―Conhecimentos Matemáticos e/ou
Conhecimentos Pedagógicos.
2) Sua identidade será mantida em absoluto sigilo;
3) Você pode solicitar informações adicionais, bem como tomar ciência do
andamento e dos resultados (parciais e finais) da pesquisa a qualquer momento;
4) É facultado a você deixar de participar da pesquisa a qualquer momento;
5) Não há qualquer vinculo financeiro entre o pesquisador, a instituição de ensino, e
a sua pessoa.
Esclarecemos ainda que os resultados desta pesquisa vão compor a dissertação de
mestrado de Etienne Lautenschlager, assim como poderão ser publicados em
revistas cientificas e/ou congressos na área da educação, sempre mantendo o
anonimato dos professores entrevistados.
Colocamos a disposição para quaisquer esclarecimentos e necessidades, pelo
telefone (11) 2972-9045, com Profa. Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva.
Atenciosamente,
______________________________
Dra. Angélica da Fontoura Garcia Silva
Autorizado: ___________________
115
Anexo 3: Atividade realizada no primeiro dia do encontro
Identificação
Graduação em:
Ano de término da Graduação:
Possui Pós Graduação? sim não Indique:
Há quanto tempo você leciona?
Você leciona para: EF EM
Você leciona em escolas da rede pública e/ou particular?
I. Indique qual conteúdo, em álgebra, que você julga ser o mais importante:
_______________________________________________________________
II. O que é para você uma equação?
_______________________________________________________________
III. Dos itens abaixo, assinale aquele(s) que se refere(m) a uma equação:
(a) (d) √
(b)( ) (e)
(c) (f) ( ) (
)
IV. Para resolver a equação x (x+2) = 5, um aluno deu a seguinte resolução:
x(x+2) = 5
x = 5 ou x+2 = 5
x = 5 ou x = 3
Discuta a resolução dada pelo aluno. Justifique sua resposta. O que você
diria ao aluno que apresentou essa resolução?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
116
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________
V. Um professor de matemática propôs ao seu aluno que resolvesse a seguinte
equação do 2º grau:
( )
Discuta a resolução dada pelo aluno. Justifique sua resposta. O que você diria ao
aluno que apresentou essa resolução?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
_______________________________________
VI. Você considera importante o ensino de equações?
Justifique:___________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________
117
Considere a seguinte situação:
Seu objetivo é ensinar sobre equações para um grupo de alunos do E.F.
Relate de maneira detalhada qual procedimento você considera mais adequado
adotar para que o objetivo seja atingido? Procure informar:
Ano a que se destina e número de aulas necessárias; Estratégias que serão empregadas; Recursos que serão utilizados; Quais questionamentos serão feitos? (ou pretende fazer) Cite exemplos de atividades que serão propostas para a turma; Há alguma explicação que você considera indispensável ser dada? Qual? Como será a avaliação?
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Anexo 4: Atividade realizada no segundo dia do encontro:
Identificação do Caderno utilizado.........................................................................
Descrição detalhada da atividade selecionada:
___________________________________________________________________
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______________________________________________________________
Análise das atividades e devidas justificativas:
___________________________________________________________________
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119
Anexo 5: Atividade realizada no terceiro dia do encontro
Formação de Professores de Matemática
Reelaboração de um plano de trabalho docente
Expectativa de ensino e aprendizagem: explorar e resolver equações
Atividades desenvolvidas:
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___________________________________________________________________
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