D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l C u r s o : E s p e c i a l i z a ç ã o e m M é t o d o s Q u a n t i t a t i v o s :

E s t a t í s t i c a e M a t e m á t i c a A p l i c a d a s L i s t a u m d e e x e r c í c i o s s o b r e T e o r i a d a s F i l a s

1

01. Um único servidor em um centro de serviço está ocupado quatro de cada cinco minutos, em média. Foi

observado, ainda que o tempo médio de serviço é igual a meio minuto. Determine:

(i) O tempo médio de espera na fila.

(ii) O tempo total gasto no centro de serviço.

(iii) O tamanho médio da fila.

(iv) O número médio de clientes no centro.

02. Uma casa de doces finos é operada somente pelo proprietário. A chegada de clientes aos sábados segue

aproximadamente uma distribuição de Poisson, com uma taxa média de chegada de 10 pessoas por hora.

Os clientes são atendidos em base FIFO e em virtude do sucesso da loja eles têm que esperar para

serem atendidos após chegarem. O tempo gasto para atender um cliente é estimado como sendo

exponencial com média de 4 minutos. Determine:

(i) A probabilidade de se formar uma fila?

(ii) O tamanho médio da fila?

(iii) O tempo médio que um cliente espera na fila?

(iv) A probabilidade de que um cliente gaste menos de 12 minutos na loja?

03. Um lava-rápido automático funciona com somente uma baia. Os carros chegam conforme uma

distribuição de Poisson com uma média de 4 carros por hora e podem esperar no estacionamento

oferecido se a baia estiver ocupada. O tempo para lavar um carro segue uma distribuição exponencial,

com média de 10 minutos. Carros que não conseguem vaga no estacionamento podem esperar na rua onde

está situado o lava rápido. Isso significa que, de fato, na prática, não há limite para o tamanho do sistema.

(i) Determine o percentual de utilização da baia de lavagem.

(ii) Determine a probabilidade de um carro que chega ter que esperar no estacionamento antes de entrar

na baia de lavagem.

(iii) Se houver cinco vagas no estacionamento, determine a probabilidade de que um carro que chega

achar uma vaga.

(iv) Quantas vagas devem ser oferecidas, no estacionamento, para que um carro que chega tenha menos

de 1% de probabilidade de não encontrar uma vaga.

04. Suponha que proprietários de carros abasteçam quando o tanque está exatamente na metade. Uma média

de 7,5 clientes por hora chegam a um posto com uma única bomba. O frentista leva em média 4 minutos

para atender cada carro. Assuma que os tempos envolvidos são exponenciais.

D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l C u r s o : E s p e c i a l i z a ç ã o e m M é t o d o s Q u a n t i t a t i v o s :

E s t a t í s t i c a e M a t e m á t i c a A p l i c a d a s L i s t a u m d e e x e r c í c i o s s o b r e T e o r i a d a s F i l a s

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(i) Determine L e W para a situação.

(ii) Suponha que esteja faltando gasolina em alguns postos e os consumidores mais precavidos estão

abastecendo quando o tanque está agora ¾ cheio ainda. Cada carro está pondo menos combustível em

cada visita ao posto e então assumimos que o tempo gasto por cada carro no posto é agora de 3

13

minutos. Como a falta de gasolina afetou os valores de L e W.

05. Suponhamos que as chegadas de pessoas a uma cabine telefônica sigam uma Poisson, com ritmo de 15

chegadas por hora. A duração média de um telefonema é de 3 minutos e segue uma distribuição

exponencial negativa. Determine:

(i) Qual a probabilidade de uma pessoa chegar à cabine e não ter que esperar?

(ii) Qual o número médio de pessoas na fila?

(iii) Qual o número médio de pessoas no sistema?

(iv) Qual o número médio de clientes usando o telefone?

(v) Qual o tempo médio de fila?

(vi) Para que taxa de chegada o tempo médio de espera será de 3 aproximadamente 3 min?

(vii) Qual a fração do dia durante a qual o telefone está em uso?

06. Carros chegam ao posto de pedágio automatizado de acordo com uma distribuição de Poisson, com uma

média de 90 carros por hora. O tempo para passar pelo posto de pedágio se distribui de acordo com uma

exponencial de média 36 segundos. Os motoristas têm reclamado do tempo de espera e a concessionária

da via está disposta a reduzir o tempo de médio de passagem pelo posto para 30 segundos instalando um

novo dispositivo mais eficiente, mas bem mais caro. Para que os custos sejam amortizados em um tempo

razoável ela estabeleceu duas condições para efetuar a troca: (a) o número médio de carros na fila do

sistema atual deve ser superior a 5. (b) a percentagem de tempo ocioso com o novo dispositivo não pode

passar de 10%.

(i) Verifique se a troca de dispositivo é justificável.

(ii) Se a troca for feita, qual será o novo tempo ocioso do sistema e o novo número médio de carros na

fila?

07 Estudantes chegam a um laboratório de computação de acordo com Poisson a uma taxa média de 15 por

hora. Cada estudante gasta em média 15 minutos no computador e assume-se que este tempo seja

exponencialmente distribuído. O laboratório tem atualmente 4 computadores e alguns alunos têm

reclamado que os tempos de espera são muito longos.

D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l C u r s o : E s p e c i a l i z a ç ã o e m M é t o d o s Q u a n t i t a t i v o s :

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(i) Determine o tamanho médio da fila e o tempo médio de espera. Calcule a probabilidade de um aluno

chegar e encontrar um computador disponível.

(ii) Se o coordenador do laboratório colocar mais um computador, como ficam os valores do item (a)?

08. Um pequeno banco tem dois caixas que são igualmente eficientes e que são capazes de atender a

demanda média de 80 clientes por hora, com tempos de serviço exponencialmente distribuídos. Um caixa

demora em média 1,2 minutos para atender um cliente. Considere que esse tempo é exponencial.

Determine:

(i) O número esperado de clientes no banco.

(ii) O tempo médio que um cliente gasta no banco.

(iii) A fração de tempo que um caixa está livre.

(iv) A probabilidade de que um consumidor gaste mais do que três minutos no banco.

(v) Determine o valor da fórmula C de Erlang para esse sistema.

09. Uma pequena cidade é atendida por duas empresas de tele-táxi, sendo que cada uma tem dois táxis e

dividem o mercado igualmente. Os telefonemas chegam a central de cada empresa, de acordo com uma

Poisson de média oito por hora. O tempo médio de cada corrida é de 12 minutos e segue um modelo

exponencial. Um investidor comprou as duas empresas e tem interesse em consolidá-las em uma única

central de atendimento.

(i) Analise se a junção das duas empresas em uma só é vantajosa para o novo proprietário. Utilize como

critério o tempo médio que um cliente espera por um táxi nas duas situações.

(ii) Se o tempo médio por viagem fosse de 14,5 minutos (ao invés de 12 minutos), a união das duas empresas

seria recomendável?

10. Um trailer de Xis tem dois atendentes. Os clientes chegam de acordo com uma distribuição de Poisson

a cada 3 minutos e 12 segundos em média e são atendidos pelo primeiro servidor que estiver livre. O

tempo que um atendente leva para fazer um Xis “ no capricho” é, em média, de 5 minutos e 48 segundos.

O trailer tem atualmente seis vagas para esperar sentado. Como o lanche é bom e o preço também os

clientes estão dispostos a fazer fila e esperar em pé caso necessário.

(a) Determine o número lugares que o trailer deve ter, de modo que a probabilidade de que um cliente

tenha que esperar em pé, seja de no máximo 0,05.

(b) Qual a probabilidade de que um cliente tenha que esperar mais do 10 minutos na fila para ser atendido.

D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l C u r s o : E s p e c i a l i z a ç ã o e m M é t o d o s Q u a n t i t a t i v o s :

E s t a t í s t i c a e M a t e m á t i c a A p l i c a d a s L i s t a u m d e e x e r c í c i o s s o b r e T e o r i a d a s F i l a s

4

A notação utilizada na teoria das filas é variada, mas em geral, as seguintes são comuns:

λ = número médio de clientes que entram no sistema por unidade de tempo;

µ = número médio de clientes atendidos (que saem do sistema) por unidade de tempo;

L = número médio de clientes no sistema;

Lq = número médio de clientes na fila; Ls = número médio de clientes sendo atendidos;

W = tempo médio que o cliente fica no sistema; Wq = tempo médio que o cliente fica na fila;

Ws = tempo médio que um cliente leva para ser atendido;

Wq(t) = FDA do tempo de espera na fila; wq(t) = fdp do tempo de espera na fila;

W(t) = FDA do tempo de permanência no sistema;

T = tempo gasto no sistema; Tq = tempo gasto na fila;

P(T > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t no sistema;

P(Tq > t) = a probabilidade de que um cliente fique mais do que um tempo t na fila.

Assim se um sistema de filas está em estado estacionário, tem-se: (Leis de Little)

L = λW Lq =λWq Ls = λWs

1p0k

k =∑∞

=

, onde pk = probabilidade de que existam k clientes no sistema.

Obs. O valor ρρρρ é denominado de taxa de ocupação do sistema.

Sistema M/M/1/GD/∞/∞

µλ

=ρ µ

λ−= 1p0 )1(P k

k ρ−ρ=

λ−µλ

=ρ−

ρ==

1NL

)(

2

1

2qL

λ−µµ

λ=

ρ−

ρ= ρ=sL

λ−µ= 1W

)(

LqW

q

λ−µµλ=

λ=

µ=

1Ws

σN = ρ−

ρ

1 ρ=≥ k)kN(P

P(T > t) = e-µ(1- ρ)t

P(Tq > t) = ρe-(µ – λ)t

D i s c i p l i n a : P e s q u i s a O p e r a c i o n a l C u r s o : E s p e c i a l i z a ç ã o e m M é t o d o s Q u a n t i t a t i v o s :

E s t a t í s t i c a e M a t e m á t i c a A p l i c a d a s L i s t a u m d e e x e r c í c i o s s o b r e T e o r i a d a s F i l a s

5

O sistema M/M/s/GD/∞/∞

µλ

=ρs

1

1s

0i

si

0 )1(!s

)s(

!i

)s(P

−−

=

∑

ρ−

ρ+

ρ= s..., 2, 1, j

!j

p)s(p 0

j

j =ρ

=

µ

λ+= qLL

ρ−

ρ≥=

1

)sj(PLq

µ

λ=Ls ... 2,s 1,s s, j

s!s

P)s(p

sj0

j

j ++=ρ

=−

µ+

λ−µ

≥=

λ=

1

s

)sj(PLW

λ−µ

≥=

λ=

s

)sj(PLW

qq

µ=

1Ws

pS

...pS

Sp

S

Sp S 1210

121

−+−

+−

+ )1(!s

P)s()sj(P 0

s

ρ−

ρ=≥

(*) Se s - 1 = sρ, então

)]1(tsexp[)sj(P)t(Wq ρ−µ−≥=

(*))s1s(

)]s1s(t(Exp1[)sj(P1)t(Exp)t(W

ρ−−

ρ−−µ−−≥+µ−=

]t)sj(P1[e)t(W t µ≥+= µ−