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Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira
Programa de Pós-Graduação de Ensino em Educação Básica
Glória Maria Paes Brito Miranda
DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL MALBA TAHAN
Rio de Janeiro
2017
Glória Maria Paes Brito Miranda
DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL MALBA TAHAN
Produto final apresentado, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-
Graduação de Ensino em Educação Básica, da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Orientadora: Prof.a Dra. Mônica Regina Ferreira Lins
Rio de Janeiro
2017
Glória Maria Paes Brito Miranda
DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL MALBA TAHAN
Produto Final apresentado, como requisito parcial para
obtenção do título de Mestre, ao Programa de Pós-Graduação de Ensino em Educação Básica, da
Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Aprovada em 28 de agosto de 2017.
Banca Examinadora:
_____________________________________________
Prof. Dra. Mônica Regina Ferreira Lins
Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira — UERJ
_____________________________________________
Prof. Dr. Ilydio Pereira de Sá
Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues da Silveira — UERJ
_____________________________________________
Prof. Dra. Márcia Marin Vianna
Colégio Pedro II - Engenho Novo I
Rio de Janeiro
2017
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO .................................................................................................
1.
OBJETIVO DO DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL MALBA
TAHAN....................................................................................................
7
2. CARACTERÍSTICAS DO DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL................... 8
3. CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................................... 14
4. TEXTOS ................................................................................................. 15
Malba Tahan: o homem que calculava .................................................... 16
D'Ambrósio entrevista Paulo Freire............................................................... 18
Aprender a ler problemas em Matemática............................................... 22
Gérard Vergnaud: "Todos perdem quando a pesquisa não é colocada em
prática........................................................................................................................
25
Campo aditivo........................................................................................... 30
Campo multiplicativo .............................................................................. 31
Sabor e saber: matemática é vida.............................................................. 32
Faz-de-conta: uma banca de revista na sala de aula .................................... 36
Qual é o problema: o problema só é problema quando é desafiador ............ 40
Puxa vida! Textos desafiadores................................................................... 43
Jogando também se aprende: o jogo também pode ser desafiante................. 48
Multiplicando com as mãos........................................................................ 60
A tabuada dos nove e os dedos das mãos...................................................... 61
Soluções criativas contra o tédio dos currículos......................................... 62
5. JOGOS ..................................................................................................... 63
Tabuleiro de multiplicação................................................................................. 64
Jogo do Pare.............................................................................................. 65
Cinco em Linha.......................................................................................... 66
Multiplicação em linha.............................................................................. 68
Contando pontos ...................................................................................... 69
Bingo da multiplicação ............................................................................. 71
Jogo dos dados .......................................................................................... 73
Jogos com soma 10 .................................................................................... 74
Jogo dos números grandes ........................................................................ 75
Dados da multiplicação .............................................................................. 76
6. DESAFIOS ............................................................................................... 77
Quadrados mágicos .................................................................................... 78
Sempre 10 e sempre 12 ............................................................................... 79
Labirintos de números ............................................................................... 80
7. Bibliografia ................................................................................................ 84
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INTRODUÇÃO
(...)talvez o primeiro saber que deve virar uma sabedoria e que exatamente a gente incorpora é o seguinte: a prática educativa se funda não apenas na inconclusão
ontológica do ser humano, mas na consciência da inconclusão. É em cima desses
dois pés, de um lado a minha inconclusão, do outro a minha consciência da
inconclusão, é aí que se funda a educação. A educabilidade humana não tem outra explicação senão nesta assunção de minha inconclusão consciente. Como também é
ai que se fundamenta a minha esperança. Você imagine que incongruência seria que
ser inconclusos como somos e conscientes da inconclusão, não nos lançássemos num permanente movimento de procura, de busca. O ser que não procura é aquele
que sendo inconcluso não se sabe inconcluso. (Paulo Freire, numa entrevista com Ubiratan D'Ambrósio1, disponível em:
ubiratandambrosio.blogspot.com.br; http://ubiratan.mat.br/videos/v3.html)
O Produto Final, exigido para a finalização do Mestrado Profissional do Programa de Pós-
Graduação de Ensino em Educação Básica - PPGEB, do Instituto de Aplicação Fernando Rodrigues
da Silveira - CAp/UERJ, é dividido em duas partes. A primeira é a própria dissertação, material que
traz discussões sobre o processo ensino-aprendizagem no campo dos conhecimentos matemáticos,
através do resgate das memórias de sujeitos integrantes do grupo de profissionais que já passaram ou
ainda permanecem no atual Departamento de Ensino Fundamental do CAp/UERJ. Além de ser
suporte para futuras discussões, narra um pouco da história desse departamento no contexto
histórico do CAp/UERJ.
A pesquisa realizada traz em seu bojo as transformações das práticas de ensino da
Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental do CAp/UERJ e as concepções que nortearam e
ainda norteiam os saberes-fazeres de um grupo de docentes. As buscas, os investimentos, os estudos,
enfim, as mudanças realizadas confirmam a inconclusão de nossa prática educativa e de sua própria
consciência, como nos diz Freire. Então, partindo dessa premissa, o Diário de Bordo Virtual Malba
Tahan, vem para complementar a ideia da dissertação, sendo a segunda parte do Produto Final desse
mestrado, confirmando a necessidade de continuarmos nesse movimento de busca e procura, pois no
cotidiano de uma sala de aula isso não acaba nunca. É um constante pensar e repensar da nossa
1 A cópia da entrevista fará parte do acervo de textos desse produto.
7
prática pedagógica aliada ao pano de fundo constituído pelos aportes teóricos e, dessa forma, retomo
aqui à proposta que tenho em mente às professoras e ao professor do Departamento do Ensino
Fundamental.
(...) tenho a intenção de trazer como proposta ao grupo de docentes do DEF,
essa pesquisa, como instrumento inicial de discussão sobre o processo
ensino-aprendizagem no interior do campo dos conhecimentos matemáticos.
Esse material será usado como parte do produto final desse programa de pós-
graduação. Além de ser um instrumento que poderá gerar reflexões acerca da
prática e das concepções, essa dissertação poderá ser uma aliada para as
novas gerações de profissionais do DEF a fim de que conheçam um pouco da
história desse departamento através do garimpo das memórias. (MIRANDA,
p.24)
Assim, a dissertação acabou tornando-se parte inicial do Produto Final desse Programa de
Pós-Graduação e a ferramenta de apoio das discussões coletivas, nos moldes das Tecnologias de
Informação e Comunicação (TICs), intitulada como Diário de Bordo Virtual Malba Tahan, é a
segunda parte, complementando esse produto. O suporte técnico será um AVA - Ambiente Virtual
de Aprendizagem - pois já contamos com essa tecnologia no ambiente virtual do CAp/UERJ e já foi
realizada a inscrição de um "Grupo de Estudos" para a formalização do Diário, onde todos os
docentes e também, mais adiante, os bolsistas do projeto Grupo de Estudo para Jogos e Desafios
Matemáticos serão convidados a participar dessa empreitada.
Dessa forma, poderá favorecer também aos futuros docentes que vão chegando e ampliando
esse grupo, para que cada novo membro conheça um pouco mais acerca das práticas que vêm sendo
realizadas pelo departamento e tenham a possibilidade de ampliar esse material. Seria como um
grande Diário de Bordo Coletivo do DEF, aos moldes do "diário de bordo", presente em cada uma
das salas de aula, como já mencionado na dissertação.
Cabe informar que o Diário de Bordo não é o Diário de Classe, mas sim, o caderno de
registros de cada turma, organizado pelas professoras do Núcleo Comum - disciplina
ministrada nos anos iniciais pelo Departamento do Ensino Fundamental. Fica documentado,
além das atividades desenvolvidas, diariamente, as observações do que foi vivido pelas
crianças e pelas professoras, as dúvidas, as inseguranças, as quase certezas, os confrontos de
ideias, os pontos comuns, os desejos, enfim, a memória das vivências desses profissionais
em seus afazeres no cotidiano com a turma (MIRANDA, 2017, p.19)
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1. OBJETIVO DO DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL MALBA TAHAN
O objetivo desse produto é fomentar uma proposta de discussão e reflexão acerca de nossa
prática atual em relação ao ensino de Matemática. Há a necessidade de organizarmos encontros
pedagógicos, para que todos os docentes conheçam como as diferentes equipes desenvolvem seus
saberes-fazeres e a possibilidade de trocar ideias novas e também as que perpetuaram.
O Diário de Bordo Virtual Malba Tahan poderá ser um elemento favorável na manutenção
do diálogo no grupo em relação às práticas e saberes desenvolvidos no cotidiano da sala de aula,
envolvendo os profissionais pela busca de caminhos possíveis, podendo até ampliarmos os estudos e
as discussões para as outras áreas de conhecimento. Este produto tem a proposta de ser usado para a
organização inicial das discussões e depois o grupo poderá discutir mais amplamente em reuniões
pedagógicas, nas diferentes equipes e, posteriormente, com todos os docentes do departamento.
Novas ideias serão bem vindas, novas organizações poderão surgir, mas o importante é que todos
participem dessa empreitada, com a possibilidade de ampliarmos os nossos olhares em relação à
Educação Matemática pensando num conjunto de procedimentos didáticos para potencializar o
aprendizado das crianças, pensando na diversidade com vistas a uma maior individualização nesse
processo e até uma possível configuração diferente na atual trama curricular.
Iniciar pelo campo dos conhecimentos matemáticos é a proposta, mas poderemos ampliar
os estudos para as demais áreas que compõem o currículo voltado para os anos iniciais do ensino
fundamental. Para essa empreitada, a pesquisa precisará se expandir, tendo como ponto de
referência a dissertação com a qual não tinha essa intenção inicial, mas ao longo dessa caminhada
senti a necessidade de compartilhar com o meu departamento o que estava sendo desvelado,
podendo colaborar com uma nova perspectiva de mudança.
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2. CARACTERÍSTICAS DO DIÁRIO DE BORDO VIRTUAL
Esse instrumento foi pensado para uso exclusivo do Departamento de Ensino Fundamental
do CAp/UERJ, onde as discussões precisam acontecer internamente, mas as produções organizadas
pelo grupo poderão ser disponibilizadas num blogspot, com provável lançamento em março de
20182, às professoras e aos professores de outras instituições, mas neste material há os textos, jogos,
desafios e uma bibliografia inicial que já faz parte do Diário de Bordo Virtual Malba Tahan.
Cabe informar que esse nome foi escolhido devido a importância desse professor para a
Educação Matemática e gostaria de confirmar esse valor trazendo o registro da opinião de uma
professora que foi para mim uma grande mestra. Ela foi minha professora de Didática da
Matemática, na licenciatura em Matemática, realizada na Universidade Santa Úrsula (USU), a
professora Stella Kaufman Faiguelernt que, por sua vez, teve como seu grande mestre Julio César de
Mello e Souza, o próprio Malba Tahan. Ela nos revela, com carinho, um pouco do que ele
representou na sua carreira.
Além de prender nossa atenção, as histórias que contava, desafiava-nos em relação a• veracidade ou falsidade das afirmações matemáticas, ali, presentes. Personalidade atraente,
conversador, simples, professor dedicado e envolvente, encantou gerações com seu talento
de escritor e mestre, conseguindo tornar o ensino da Matemática divertido e agradável.
Malba Tahan sempre procurou ensinar e instruir, ao mesmo tempo que procurava
divertir. Criou métodos próprios, desmistificando o ensino de Matemática, tirando dessa
disciplina o medo de aprender e a fama de difícil. As muitas histórias maravilhosas, cheias
de sabedoria, em que revelava o mistério da construção do pensamento matemático, sempre nos surpreenderam. (Malba Tahan: Cem anos de Matemática e Literatura Prof. Dra. Estela Kaufman Faiguelernt - Artigo apresentado no Simpósio de Malba Tahan, Queluz, 2006, p.3)
É um Ambiente Virtual de Aprendizagem, com objetivo de estabelecer entre os professores e
bolsistas do Departamento de Ensino Fundamental uma possibilidade de troca de experiências e um
diálogo inicial de discussão sobre questões pertinentes ao ensino-aprendizagem no campo da
Matemática, desenvolvido nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Compreendendo o quanto as
Tecnologias da Informação e Comunicação (TICs) vêm sendo utilizadas em diversos setores,
2 Podendo ser adiado devido a crise enfrentada pela UERJ.
10
inclusive na área da educação, usaremos esse recurso para garantirmos a continuidade das
discussões sobre o nosso cotidiano. Teremos essa ferramenta para nos auxiliar nos processos de
interação entre os profissionais deste departamento, como uma versão atualizada de um Diário de
Bordo, mas protagonizado a muitas mãos.
O Diário de Bordo Malba Tahan, disponível para os docentes do departamento, já possui o
primeiro "debate" sobre o uso dos algoritmos convencionais, que foi uma divergência levantada na
pesquisa e um acervo instalado: a dissertação e esse material. Tal acervo será ampliado pelo próprio
grupo.
Nessa produção, que trata sobre a segunda parte do Produto Final, estão disponíveis alguns
textos, jogos, desafios e uma bibliografia inicial e que será ampliada pelo próprio grupo. As
contribuições ampliarão esse acervo e estará disponível num "Blogspot" a ser organizado mais
adiante.
Seguem abaixo, os caminhos percorridos para chegarmos ao Diário de Bordo Virtual Malba
Tahan, ambiente virtual que poderá ser usado apenas por profissionais do nosso departamento.
a. A entrada no AVA-CAp é realizada através do "endereço virtual": ava.cap.uerj.br e depois,
podemos entrar no Diário, clicando em: "Grupos de Estudo", inscrito no Ensino Fundamental I.
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b. Chegamos ao Diário de Bordo Virtual Malba Tahan, podemos participar das discussões e
acessar o material disponível.
c. A partir daí, só poderão entrar no Diário os docentes do DEF, usando o e-mail como usuário e
entrando com uma senha de acesso. As professoras e o professor do departamento receberão um
e-mail da equipe responsável pela manutenção do AVA-CAp para a realização do primeiro
acesso.
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d. A partir da criação da senha, o profissional entrará no Diário de Bordo Malba Tahan.
e. Iniciamos pela apresentação do Ambiente de Discussão.
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f. A seguir, vem o "Tópico 1", com o primeiro fórum de discussão, com a questão sobre o uso dos
algoritmos convencionais.
g. No "Tópico 2", há duas pastas. A primeira com a cópia da parte textual da dissertação.
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h. Já na segunda pasta, encontra-se esse material.
Após a defesa da dissertação, cada docente do DEF receberá um e-mail da equipe de
manutenção do AVA-CAP com as instruções para que cada um possa acessar o Diário Virtual Malba
Tahan.
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3. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A ideia do Diário de Bordo Virtual Malba Tahan pressupõe criar uma nova possibilidade na
construção do conhecimento do coletivo desse departamento, seria um espaço virtual de registro das
práticas relacionadas aos conteúdos de Matemática nos anos iniciais, que estará sempre em aberto.
Essa nova versão de diário digital, alia a prática aos fundamentos teóricos e vice-versa e
ainda propicia a ampliação do conhecimento docente. Assim, teremos mais um espaço garantido
para pensarmos nas nossas práticas, reconstruindo nossos fazeres, como o mestre Paulo Freire
afirmava que "...ensinar não é transferir conhecimento, mas criar as possibilidades para sua
própria produção ou a sua construção" (FREIRE, 2003, p. 47)3. Estaremos criando possibilidades
de novas ações no cotidiano das salas de aula dos anos iniciais do ensino fundamental, construindo e
reconstruindo nossos saberes tendo como ponto de partida o que foi coletado na pesquisa.
A seguir, seguem alguns textos, jogos, desafios e uma bibliografia iniciada para contribuir
com as discussões iniciais das práticas voltadas para o ensino da Matemática.
3 Incluído nas referências da dissertação.
16
(Imagem retirada de:http://www.demostenestorres.com.br/post/memorizacao-de-livros-
textos-e-roteiros/)
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Malba Tahan
O escritor Malba Tahan vestido a caráter.
Você conhece Malba Tahan?
Foi um grande professor, dentre outras
atribuições.
Por isso a escolha desse nome, tão significativo e
bastante propício para este Produto Final.
Então, para começar,
um pouco dessa figura tão incrível, que estava
além da sua época.
O HOMEM QUE CALCULAVA
Conheça o divertido mundo do professor de matemática e escritor
Malba Tahan
O que é, o que é? Ou melhor: quem é, quem é? Que escrevia histórias árabes, mas era
brasileiro? Gostava de sapos e de geometria? Se você não sabe, a gente responde: é o Malba
Tahan! Um professor de matemática e, também, escritor muito criativo, que adorava elaborar
enigmas em sala de aula para iniciar suas explicações. Malba nasceu no Rio de janeiro, no dia 6
de maio de 1895 e seu verdadeiro nome era Júlio César de Mello e Souza.
O primeiro nome falso que ele adotou foi R.S.Slade para fingir que era um escritor de outro país
e conseguir publicar uma história dele num jornal, uma vez que seus contos já haviam sido
rejeitados pelo editor do mesmo jornal quando assinou seu nome verdadeiro. E deu certo! Por
isso ele decidiu usar sempre um nome estrangeiro. Mais tarde, escolheu Malba Tahan, porque
adorava escrever histórias árabes.
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Suas histórias eram sobre aventuras misteriosas, com beduínos do deserto, xeques, vizires,
magos, princesas e sultões. Seu livro mais famoso é O Homem que Calculava , que conta as
aventuras de Beremís, um árabe que gostava de resolver os problemas da vida com soluções
matemáticas.
Por mais incrível que pareça, ele não foi sempre um ótimo aluno em matemática. Só quando
teve um professor de quem gostava é que começou a entender melhor a matéria. O que ele
adorava mesmo, quando criança, era colecionar sapos – argh! – e escrever pequenas revistas que
se chamavam Erre, com histórias, notícias e jogos.
O livro mais famoso de Tahan e a revista que fazia quando criança
Já adulto, quando se tornou professor e escritor, ele continuou a colecionar sapos, mas de louça.
Já imaginou um professor que entra em sala de aula, se curva diante de um aluno e diz Salam
Aleikum, que quer dizer ―a paz esteja contigo‖, em árabe, e depois escrevia uma charada sobre
sapos no quadro-negro para dar uma explicação matemática?
Os números e as propriedades numéricas eram para ele como seres vivos. Dizia haver números
alegres e bem-humorados, frações tristes, multiplicações carrancudas e tabuadas sonolentas.
Havia, para ele, algarismos arábicos com túnicas brancas e turbantes vermelhos, além das
contas-de-faz-de-contas.
Essa é uma parte da história do professor Mello e Souza ou Malba Tahan, o “carioca das
arábias”, que misturava diversão com matemática. Se estivesse vivo, ele teria completado
110 anos em 2005. Para saber mais a seu respeito, leia esse artigo na íntegra na CHC 54.
Pedro Paulo Salles, Notícias da CHC, 28-06-2010
http://chc.org.br/o-homem-que-calculava/ visitado em: 07/07/2017
19
D’Ambrosio entrevista Paulo Freire (ubiratandambrosio.blogspot.com.br)
This is the transliteration - faithful, withou adjustments of language - to the complete interview (not
the edited one shown in Seville)
MC - Estamos aqui reunidos para uma conversa, um bate papo informal, com o Professor Paulo Freire e o
Professor Ubiratan D'Ambrosio, sobre educação e educação matemática.
U - Devo dizer que para mim é um privilégio raro poder entrevistar o mestre. Formalmente, nunca fui seu
aluno, mas sou daquele exército de educadores do mundo inteiro que se consideram discípulos de Paulo
Freire. Ter a oportunidade desta conversa é para mim uma grande honra.
P - Para mim também. Sobretudo compreendendo, como nós três aqui compreendemos, a continuidade
desta conversa dentro de algum tempo mais na Espanha, diante de um grande número de matemáticos, de
educadores que se metem com os problemas do ensino da matemática, da compreensão da matemática.
Para mim também é uma grande satisfação estar nessa conversa e gostaria que ela até tomasse corpo
imediatamente.
U - Hoje nós todos reconhecemos o Paulo Freire grande filósofo que inspira uma serie de medidas novas
em educação, propostas. É o nosso filósofo da educação. No inicio, há muitos anos, quando você começou
a sua carreira, a sua grande preocupação parece ter sido, claro educação em geral, mas sempre se fala no
Paulo Freire como ensinando, alfabetizando, ensinando a ler. Existe claro uma preocupação muito grande
em todo seu discurso com a importância de o indivíduo se expressar, saber ler, participar do mundo. Eu
pergunto: desde aquele momento até hoje, você vê uma importância equivalente em ele saber participar
matematicamente do mundo. Você vê um equivalente ao literacy, uma forma de matheracy? Existe um
equivalente matemático à alfabetização na sua obra?
P - Essa é uma pergunta primeira. É a primeira vez que eu me defronto com essa pergunta e eu acho que
ela tem sentido. Tem sentido como uma pergunta não apenas feita a mim, mas feita a nós todos. Confesso
que na época eu não pensei nisso. Não iria eu agora mentir e dizer ah, já naqueles anos, há quarenta anos
atrás, eu já vivia pensando nisso. Não, na verdade eu não pensei nisso. Mas eu hoje entendo isso
perfeitamente. Eu não tenho dúvida nenhuma da importância de qualquer esforço, que não deve inclusive
ser um esforço exclusivo do matemático, professor de matemática por exemplo, mas que deveria ser no
meu entender um esforço do homem e da mulher, matemático ou físico ou carpinteiro, que é exatamente o
esforço de nos reconhecer como corpos conscientes matematicizados. Eu não tenho dúvida nenhuma de
que a nossa presença no mundo, que implicou indiscutivelmente a invenção do mundo... Eu venho
pensando muito que o passo decisivo que nos tornamos capazes de dar, mulheres e homens, foi
exatamente o passo em que o suporte em que estávamos virou mundo e a vida que vivíamos virou
existência, começou a virar existência. E que nessa passagem, nunca você diria uma fronteira geográfica
para a história, mas nessa transição do suporte para o mundo e que se instala a história, é que começa a se
instalar a cultura, a linguagem, a invenção da linguagem, o pensamento que não apenas se atenta no objeto
que está sendo pensado, mas que já se enriquece da possibilidade de comunicar e comunicar-se. Eu acho
que nesse momento a gente se transformou também em matemáticos. A vida que vira existência se
matematiza. Para mim, e eu volto agora a esse ponto, eu acho que uma preocupação fundamental, não
apenas dos matemáticos mas de todos nós, sobretudo dos educadores, a quem cabe certas decifrações do
mundo, eu acho que uma das grandes preocupações deveria ser essa: a de propor aos jovens, estudantes,
alunos homens do campo, que antes e ao mesmo em que descobrem que 4 por 4 são 16, descobrem
também que há uma forma matemática de estar no mundo. Eu dizia outro dia aos alunos que quando a
gente desperta, já caminhando para o banheiro, a gente já começa a fazer cálculos matemáticos. Quando a
gente olha o relógio, por exemplo, a gente já estabelece a quantidade de minutos que a gente tem para, se
acordou mais cedo, se acordou mais tarde, para saber exatamente a hora em que vai chegar à cozinha, que
vai tomar o café da manhã, a hora que vai chegar o carro que vai nos levar ao seminário, para chegar às
oito. Quer dizer, ao despertar os primeiros movimentos, lá dentro do quarto, são movimentos
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matematicizados. Para mim essa deveria ser uma das preocupações, a de mostrar a naturalidade do
exercício matemático. Lamentavelmente, o que a gente vem fazendo, e eu sou um brasileiro que paga,
paga caro... Eu não tenho dúvida nenhuma que dentro de mim há escondido um matemático que não teve
chance de acordar, e eu vou morrer sem ter despertado esse matemático, que talvez pudesse ter sido bom.
Bem, uma coisa eu acho, que se esse matemático que existe dormindo em mim tivesse despertado, de uma
coisa eu estou certo, ele seria um bom professor de matemática. Mas não houve isso, não ocorreu, e eu
pago hoje muito caro, porque na minha geração de brasileiras e brasileiros lá no Nordeste, quando a gente
falava em matemática, era um negócio para deuses ou gênios. Se fazia uma concessão para o sujeito
genial que podia fazer matemática sem ser deus. E com isso, quantas inteligências críticas, quantas
curiosidades, quantos indagadores, quanta capacidade abstrativa para poder ser concreta, perdemos. Eu
acho que nesse congresso, uma das coisas que eu faria era, não um apelo, mas eu diria aos congressistas,
professores de matemática de várias partes do mundo, que ao mesmo tempo em que ensinam que 4 vezes
4 são 16 ou raiz quadrada e isso e aquilo outro, despertem os alunos para que se assumam como
matemáticos.
U - Em todo o seu discurso, a sua teorização, a sua prática, se vê a importância política da aquisição da
linguagem. Você diz que o homem para ser livre tem que ser capaz de se expressar, tem que ser capaz de
ler, ser capaz de discursar. Você vê alguma coisa equivalente no domínio da matemática?
P - Eu acho que indiscutivelmente essa possível alfabetização da matemática, uma mate-alfabetização,
math-literacy, eu não tenho dúvida nenhuma que isso ajudaria a própria criação da cidadania. E vou dizer
como eu vejo, e não como se deve ver. Eu falo como eu vejo. Eu acho que no momento em que você
traduz a naturalidade da matemática como uma condição de estar no mundo, você trabalha contra um
certo elitismo com que os estudos matemáticos, mesmo contra a vontade de alguns matemáticos, tem.
Quer dizer, você democratiza a possibilidade da naturalidade da matemática, e isso é cidadania. E quando
você viabiliza a convivência com a matemática, não há dúvida que você ajuda a solução de inúmeras
questões que ficam aí às vezes entulhadas, precisamente por falta de um mínimo de competência sobre a
matéria. E porque não está havendo isso? Porque a compreensão da matemática virou uma coisa
profundamente refinada, quando na verdade não é e não deveria ser. Eu não quero com isso dizer que os
estudos matemáticos jamais devessem ter a profundidade e a rigorosidade que eles tem que ter. Como o
filosofo tem também que ser rigoroso, o biólogo, não é isso que eu digo. Mas o que eu digo é o seguinte:
na medida em que você não faz simplismo, mas torna simples, a compreensão da existência matemática
da existência humana, aí não há dúvida nenhuma que você perceberá a importância dessa compreensão
matemática, tão grande quanto a linguagem.
MC - Essa é a matemática natural, a matemática que fala da quantificação natural. Então o menino
pequeno tem alguma coisa a falar, por exemplo sobre a multiplicação como ele entende, e o professor não
vê isso como sendo válido. É uma outra visão de matemática.
P - Isso não se dá apenas com a matemática, isso se dá com a presença do homem e da mulher no mundo.
Eu acho que tem muito que ver com um certo desprestígio do senso comum. Isso tem muito que ver com a
postura elitista da escola, relegando toda a contribuição que o aluno possa dar à escola. No fundo, é a
super-valoração do conhecimento chamado acadêmico diante da desvalorização do conhecimento comum.
É a posição epistemológica segundo a qual entre um e outro conhecimento você tem uma definitiva
ruptura. No meu entender o que há não é uma ruptura, o que há é uma superação. Uma das coisas que a
escola deveria fazer, e eu venho insistindo nisso há 30 anos ou mais, e fui muito mal entendido, e ainda
hoje continuo a ser, mas no começo fui muito menos entendido, quando eu insistia que o ponto de partida
da prática educativa deve ser não a compreensão do mundo que tem o educador e o seu sistema de
conhecimento, mas a compreensão do mundo que tem, ou que esteja tendo, o educando. A gente parte do
que o educando sabe para que o educando possa saber melhor, saber mais e saber o que ainda não sabe.
Eu acho que está nesse desrespeito, que é um desrespeito elitista, está na superação desse desrespeito, está
no aprofundamento de uma postura democrática, eu acho a superação desse ser.
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MC - É um elemento de ordem epistemológica querer que o aluno conheça melhor, mas é um desrespeito.
U - O aluno vai para a escola para receber.
P - É isso, e ele inclusive está convencido disso.
U - Para levar adiante essa nova postura pedagógica é necessário mudar o professor. A maneira como o
professor tem sido formado tem sido fundamental, e eu sei que um dos seus projetos atuais é escrever um
livro sobre formação de professores. Daria para falar um pouco sobre isso, de uma forma mais dirigida à
nossa preocupação, como educadores matemáticos? Como a formação de professores deve ser revitalizada
nesse seu pensamento?
P - Eu estou realmente escrevendo um livro agora, que eu espero não seja nem um caderno nem um
compêndio, um livro à minha maneira. O título provisório do livro vai ser formação docente e saberes
necessários fundamentais à prática educativa crítica. A minha preocupação ao estar escrevendo esse livro
é mostrar, às vezes até mais do que saberes, mostrar certas sabedorias indispensáveis a um professor, ou à
formação do educador. Por exemplo, talvez o primeiro saber que deve virar uma sabedoria e que
exatamente a gente incorpora é o seguinte: a prática educativa se funda não apenas na inconclusão
ontológica do ser humano, mas na consciência da inconclusão. É em cima desses dois pés, de um lado a
minha inconclusão, do outro a minha consciência da inconclusão, é aí que se funda a educação. A
educabilidade humana não tem outra explicação senão nesta assunção de minha inconclusão consciente.
Como também é ai que se fundamenta a minha esperança. Você imagine que incongruência seria que ser
inconclusos como somos e conscientes da inconclusão, não nos lançássemos num permanente movimento
de procura, de busca. O ser que não procura é aquele que sendo inconcluso não se sabe inconcluso.
Exemplo: a jaboticabeira que eu tenho no quintal da casa é inconclusa também, porque o fenômeno da
inconclusão é um fenômeno vital, não é exclusivo do ser humano. Mas o nível de inconclusão da
jaboticabeira não tem nada a ver com meu nível de inconclusão. Ela é inconclusa, como é inconcluso meu
pastor alemão no quintal, mas eles não se sabem inconclusos. No caso da gente, a gente assumiu a
inconclusão e ao assumir a inconclusão, a gente é levada à busca. Seria um absurdo buscar sem esperança.
Eu posso até ao buscar não encontrar, mas a minha esperança faz parte do processo de buscar. Não há
busca desesperançada. É um contra-senso. Esse saber ... nem sempre os educadores foram um dia
desafiados para saber-se interminados. Eu estou escrevendo sobre isso. Um outro saber, que eu acho que é
uma sabedoria já, sem a qual não dá para ir para uma escola, é o saber de que mudar é difícil mas é
possível. Como é, Ubiratan, que tu poderias andarilhar pelo mundo como tu andas, na África, na Europa,
nos Estados Unidos, discutindo o que é a matemática e discutindo como propor a matemática, se tu não
estivesses convencido que um dia pode mudar. É o impulso. Esse saber precisa ser discutido, não imposto,
mas tem que ser posto em cima da mesa, para que o jovem que está se formando para ser professor
amanhã, repouse nesta verdade: eu me movo como professor porque apesar de saber quão difícil é mudar,
eu sei que é possível mudar. Pode ser até que o agente da mudança mais radical não seja nem sequer
minha geração, mas sem a minha geração a outra não vai mudar.
U - Nós trabalhamos para um outro futuro, no qual nós acreditamos.
P - Exato. Um outro saber que eu preciso saber é que ensinar não é transferir conhecimento, transferir
conteúdo. É lutar para com os alunos, criar as condições para que o conhecimento seja construído, seja
reconstruído. Isso para mim é que é ensinar. Enquanto eu não estiver convencido disso, enquanto eu
estiver pelo contrário convencido que ensinar é chegar às nove horas da manhã e despejar um discurso
transferidor de objetos, e que são apenas perfis de objetos, que são os conteúdos, então eu não sei o que é
ensinar, eu não sei o que é aprender. É preciso que eu, como professor, saiba que do ponto de vista
histórico, o homem e a mulher primeiro aprenderam, para depois ensinar. O aprender precedeu sempre o
ensinar. O que é que está acontecendo na sistemática da escola? O ensinar virou o mais importante, e o
aprender foi burocratizado com a burocratização do ensinar. Na verdade, o que eu não posso é deixar de
conhecer os dois em processo contraditório dialético, em que quanto melhor eu aprendo tanto melhor eu
posso ensinar e quanto mais eu ensinar tanto melhor se pode aprender. Mas foi aprendendo socialmente
que historicamente as mulheres e os homens descobriram no ato de aprender diluída a prática de ensinar.
Um dia na história dos homens e das mulheres, um dia mais ou menos recente, é que descobriram que
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porque aprendiam era possível ensinar, e aí se sistematizou o trabalho de ensino. A gente perdeu essa
noção da história e inverteu os papéis. Eu também estou escrevendo sobre isso. Eu acho que às vezes é
preciso recuperar historicamente o grande papel de aprender, sem que isso signifique nenhuma diminuição
do ensinar.
U - A escola deve ser um ambiente, ser tornado um ambiente mais para compartilhar esse processo de
busca, e não um ambiente onde se passa conhecimento.
P - Claro. Poderia se pensar que eu estou defendendo aqui um papel subalterno para o professor. De jeito
nenhum. Indiscutivelmente o papel do professor, o papel do ensinante, é um grande papel. Ele/ela tem
uma grande responsabilidade de ensinar. E professor que não ensina não se justifica, ele não se explica a
si mesmo. Agora, é preciso clarear e esclarecer o que significa mesmo ensinar. E quando a gente busca
compreender na própria prática o que é ensinar, a gente tem que concluir que o próprio esforço do
processo social da produção do conhecimento põe de lado qualquer possibilidade de transferir
conhecimento. Eu produzo, eu crio, eu recrio o conhecimento, eu não engulo conhecimento. Eu me
lembro de uma expressão irônica de Sartre, quando ele criticava o que ele chamava de concepção
nutricionista do saber. Ele diz: trágica e dolorosa a concepção nutricionista do saber, em que o professor
alimenta, e você vê as metáforas todas que a gente vê na linguagem comum para nos referir ao problema
do conhecimento. Tem muito a ver com alimento. Você fala de fome de saber, sede de saber. Você não
fala na curiosidade de saber. Você fala na sede do saber. Eu não tenho que beber saber, nem tenho que
comer saber. Eu como uma feijoada, não conhecimento. Conhecimento eu produzo socialmente.
U - A idéia da produção do conhecimento, sobretudo em matemática, parece que ficou muito esquecida.
P - Muito, muito, muito.
U - Se produz muito pouco no sistema escolar. Eu acho que essa oportunidade desse papo com Paulo
Freire foi realmente um momento muito importante para todos nós, e esses do congresso que nos assistem
vão sentir aquela pontinha de inveja, porque nós tivemos o privilégio dessa conversa com o Paulo.
P - Eu quero mandar através de vocês que estarão lá, o meu grande abraço a todos e a todas que vão
comparecer ao congresso e lhes dizer que minha ausência só se poderia explicar mesmo por uma questão
de cuidados que eu e meus médicos estão tendo. Eles estão fazendo força, e eu concordo com o esforço
deles, no sentido de ver se eu demoro um pouco mais no mundo. E com isso eu concluo.
MC - Gostaria também de agradecer estar com o Sr. Quando o Prof. Ubiratan começou dizendo que todos
nós fomos, de algum modo, alunos de Paulo Freire, é verdade, mas nem todos conseguiram entender.
Porque cada vez tem uma coisa nova. A gente está sempre aprendendo coisas novas. Os dois representam
para nós uma mudança de modelo. o Sr. em geral, em educação, e o Prof. Ubiratan D'Ambrosio em
educação matemática.
P - Com o D'Ambrosio você extrapola o adjetivo matemático e pode ficar só na educação mesmo. Eu
acho que D'Ambrosio é na verdade até mais que um educador, ele é também um pensador da educação
atual. Agora eu peço desculpas para vocês e eu vou correndo para o doutor.
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Aprender a Ler Problemas em Matemática
(http://mathema.com.br/reflexoes/aprender-a-ler-problemas-em-matematica/)
Katia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz
Diretoras do Grupo Mathema
Muitos professores acreditarem que as dificuldades apresentadas por seus alunos em ler e interpretar
um problema ou exercício de matemática estão associadas a pouca competência que eles têm para
leitura. Também é comum a concepção de que, se o aluno tivesse mais fluência na leitura nas aulas de
língua materna, consequentemente ele seria um melhor leitor nas aulas de matemática.
Embora tais afirmações estejam em parte corretas, pois ler é um dos principais caminhos para
ampliarmos nossa aprendizagem em qualquer área do conhecimento, consideramos que não basta
atribuir as dificuldades dos alunos em ler problemas a sua pouca habilidade em ler nas aulas de
português. A dificuldade que os alunos encontram em ler e compreender textos de problemas estão,
entre outras coisas, ligadas à ausência de um trabalho pedagógico específico com o texto do
problema, nas aulas de matemática.
O estilo nos quais geralmente os problemas de matemática são escritos, a falta de compreensão de um
conceito envolvido no problema, o uso de termos específicos da matemática e que, portanto, não
fazem parte do cotidiano do aluno, e mesmo palavras que têm significados diferentes na matemática e
fora dela – total, diferença, ímpar, média, volume, produto – podem se constituir em obstáculos para
que a compreensão ocorra. Para que tais dificuldades sejam superadas, ou mesmo para que elas não
surjam, é preciso alguns cuidados com a proposição dos problemas desde o início da escolarização
até o final do Ensino Médio.
Cuidados com a leitura que o professor elabora o o problema, cuidados em propor tarefas específicas
de interpretação do texto dos exercícioscaracterizamum conjunto de intervenções didáticas destinadas
exclusivamente a levar os alunos a lerem problemas de matemática com autonomia e
compreensão.Neste artigo, pretendemos indicar algumas intervenções que temos utilizado em nossas
ações junto a alunos e professores e que têm auxiliado a tornar os estudantes melhores leitores de
problemas.
A Leitura dos Problemas com Alunos no Início da Alfabetização
Quando os alunos ainda não são leitores, o professor lê todos os problemas para eles e, como leitor,
auxilia os alunos , garantindo que todos compreendam, cuidando para não enfatizar palavras chave e
usar qualquer recurso que os impeça de buscar a solução por si mesmos. Mas há outros recursos dos
quais o professor pode se valer para explorar a alfabetização e a matemática enquanto trabalha com
problemas.
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Um deles é escrever uma cópia do problema no quadro e fazer com os alunos uma leitura cuidadosa.
Primeiro do problema todo, para que eles tenham ideia geral da situação; depois mais vagarosamente,
para que percebam as palavras do texto, suas grafias e seus significados.
Propor o problema escrito e fazer questionamentos orais com a classe, como é comum que se faça
durante a discussão de um texto, auxilia o trabalho inicial com problemas escritos:
Quem pode me contar o problema novamente?
Há alguma palavra nova ou desconhecida?
Do que trata o problema?
Qual é a pergunta?
Novamente o cuidado é para não resolver o problema pelos alunos durante a discussão e, também,
não tornar o recurso uma regra ou conjunto de passos obrigatórios que representem um roteiro de
resolução. Se providenciar para cada aluno uma folha com o problema escrito, o professor pode
ainda:
Pedir aos alunos que encontrem e circulem determinadas palavras;
Escrever na lousa o texto do problema sem algumas palavras;
Pedir para os alunos em duplas olharem seus textos, que devem ser completos, e descobrirem
as palavras que faltam.
Conforme as palavras são descobertas, os alunos são convidados a ir ao quadro e completar os
espaços com os termos ausentes. Em todos os casos, o professor pode escolher trabalhar com palavras
e frases que sejam significativas para os alunos ou que precisem ser discutidas com a classe, inclusive
aquelas que se relacionam com noções matemáticas. Os problemas são resolvidos após toda a
discussão sobre o texto, que a essa altura já terá sido interpretado e compreendido pela turma, uma
vez que as atividades que sugerimos contemplam leitura, escrita e interpretação simultaneamente.
Ampliando Possibilidades para os Leitores
Para os alunos do Ensino Fundamental e Médio que já lêem com mais fluência textos diversos, o
professor pode propor outras atividades envolvendo textos de problemas. A primeira delas, sem
dúvida, é deixar que eles façam sozinhos a leitura das situações propostas.
A leitura individual ou em dupla auxilia os alunos a buscarem um sentido para o texto. Na ocasião, o
professor pode indicar que cada leitor tente descobrir sobre o que o problema fala, qual é a pergunta,
se há palavras desconhecidas. Aí, então, é possível conduzir um debate com toda a classe para
socializar as leituras, dúvidas, compreensões. Novamente não se trata de resolver o problema
oralmente, mas de garantir meios para que todos os alunos possam iniciar a resolução do problema
sem, pelo menos, ter dúvidas quanto ao significado das palavras que nele aparecem. Assim, se houver
um dado do problema, um termo que seja indispensável e que os alunos não conheçam ou não saibam
ler, principalmente no início do ano, o professor deve revelar seu significado, proceder à leitura
correta. Esse processo para quando os alunos entendem o contexto dos problemas.
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Nesse processo é possível, ainda, que o professor proponha aos alunos o registro, no caderno ou em
um dicionário, das palavras novas que aprenderam, ou mesmo daquelas sobre as quais tinham dúvida
para que possam consultar quando necessário. Em relação àqueles termos que tenham significados
diferentes em matemática e no uso cotidiano, o ideal é que sejam registrados no caderno dos alunos
com ambos os significados, podendo inclusive escrever frases que ilustrem os dois sentidos. Vejamos
outras estratégias:
Apresentar aos alunos problemas com falta ou excesso de dados para que eles analisem a
necessidade ou não de informações no texto;
Apresentar aos alunos o texto de um problema no qual falte uma frase ou a pergunta, deixar
que eles tentem resolver e completar o que falta para o problema ser resolvido;
Apresentar um problema com frases em ordem invertida e pedir que os alunos reorganizem o
texto;
Pedir que os alunos elaborem problemas com palavras que apresentam sentidos diferentes
quando utilizadas na matemática e no cotidiano: tira, produto, domínio, diferença etc.
Desejamos finalizar nossas considerações com o alerta de que essas ações para tornar o aluno leitor
de um problema não podem ser esporádicas, nem mesmo isoladas. É necessário que haja um trabalho
constante com as estratégias, em todas as séries escolares, pois será apenas enfrentando a formação
do leitor e do escritor como uma tarefa de todos os professores da escola, inclusive de matemática,
que criaremos oportunidades para que todos desenvolvam as habilidades essenciais para o
aprendizado de qualquer conceito, em qualquer tempo. Ler e escrever nas diferentes disciplinas
constitui uma das chaves mais essenciais para a formação da autonomia por meio da escola.
Para Saber Mais:
Pozo, J.I. (Org.) A solução de problemas. Porto Alegre, Artmed: 1998.
Reys, R.E. e Krulik, S. (orgs.). São Paulo: Atual, 1998.Smole, K., Diniz, M.I. e Cândido, P.
Resolução de Problemas, Coleção Matemática de 0 a 6, vol. 2. Porto Alegre: Artmed, 2000.
Smole, K. S. e Diniz, M.I. (orgs.) Ler, Escrever e Resolver Problemas: Habilidades Básicas para
Aprender Matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
26
Gérard Vergnaud: "Todos perdem quando
a pesquisa não é colocada em prática"
O pesquisador francês, uma referência na didática de Matemática, diz que só
conhecendo a forma como os alunos aprendem é possível ensinar
https://novaescola.org.br/conteudo/960/gerard-vergnaud-todos-
perdem-quando-a-pesquisa-nao-e-colocada-em-pratica
Por: Gabriel Pillar Grossi /Setembro de 2008
Gérard Vergnaud
No campo do ensino da Matemática, poucos nomes são tão respeitados quanto o de Gérard Vergnaud.
Aos 75 anos de idade e depois de orientar mais de 80 teses de mestrado e doutorado, ele continua
trabalhando como diretor emérito de estudos do Centro Nacional de Pesquisas Científicas (CNRS, na
sigla em francês), em Paris. Formado em Psicologia, fez a própria tese de doutoramento com ninguém
menos que Jean Piaget. "O título era A Resposta Instrumental como Resolução de Problemas. Pura
teoria", lembra Vergnaud. De lá para cá, passou a se dedicar cada vez mais aos aspectos práticos - a
didática da disciplina. Sua descoberta mais importante é a chamada Teoria dos Campos Conceituais,
que ajuda a entender como as crianças constroem os conhecimentos matemáticos. "Infelizmente, na
Educação, não temos o hábito de levar o resultado das pesquisas para dentro da sala de aula, como
fazem regularmente médicos e outros cientistas, e isso é uma perda muito grande para nós", diz. Em
outubro, ele vem a São Paulo a convite da Fundação Victor Civita para falar sobre seus estudos
durante a Semana de Educação. Saiba mais por que é tão importante conhecer os processos de
aprendizagem dos alunos na entrevista a seguir, concedida no fim de abril, quando Vergnaud esteve
na capital gaúcha para prestar consultoria a professores locais.
O que é, resumidamente, a Teoria dos Campos Conceituais?
GÉRARD VERGNAUD O resultado de muita pesquisa com estudantes, que nos leva a compreender
como eles constroem conhecimentos matemáticos. Ela é fundamental para ensinar a disciplina, pois
permite prever formas mais eficientes de trabalhar os conteúdos. Na minha palestra, quero mostrar a
relação entre essa teoria e a prática escolar.
27
É fácil fazer essa transposição para a sala de aula?
VERGNAUD Nem sempre. Mas, se não levamos os resultados das pesquisas para a sala de aula,
perdemos muito. Na maioria dos campos da Ciência, existe a percepção de que, se alguém cria uma
teoria, isso é bom. Em Educação, essa idéia infelizmente não é tão difundida. Muitos resistem às
descobertas por acreditar que basta repetir o que é feito há séculos.
Como aumentar o interesse dos professores pelas pesquisas didáticas?
VERGNAUD É preciso entender que tudo é muito novo. Há 30 anos, ninguém estudava isso. Aos
poucos, foram sendo feitos trabalhos para explicar como a criança aprende. Hoje, quando um
pesquisador apresenta resultados que mudam conceitos amplamente difundidos, a primeira reação é
de surpresa. Em seguida, alguns falam: "Ah, é interessante". Daí a mudar a prática de sala de aula,
leva tempo. A Teoria dos Campos Conceituais está apenas começando a ser utilizada nos cursos de
formação.
Mas os ganhos para quem usa esse conhecimento são enormes.
VERGNAUD Sem dúvida, porque o professor passa a compreender melhor o que faz em classe. No
caso da Matemática, é muito claro que as crianças têm necessidade de assimilar aquilo que pedimos
que elas façam. Por isso, temos de propor situações nas quais a soma faça sentido, a subtração faça
sentido - e isso vale para a escolha dos dados, não só para as contas. E vale também para o professor.
Se ele vê os alunos errar sem entender o percurso que estão trilhando, todo o trabalho se perde, não
funciona.
Como o professor consegue sair do estágio de "entender a teoria" para "usá-la na
prática"?
VERGNAUD Só com muita formação. Aqueles que usam bem a Teoria dos Campos Conceituais no
dia-a-dia são os que voltaram a ela, testaram coisas com seus alunos, cometeram erros, recomeçaram.
Só assim é possível dominar o assunto e se sentir seguro na prática.
"Se o professor vê os alunos errar sem entender o percurso que estão trilhando, o trabalho não
funciona."
Como os professores podem interferir nesse processo?
VERGNAUD Jean Piaget disse que o conhecimento é uma adaptação a situações nas quais é necessário
fazer algo. Por isso, se não confrontamos as crianças com situações nas quais elas precisem
desenvolver conceitos, ferramentas, limites, elas não têm razão para aprender. Isso vale para a escola,
mas também para a vida, para a experiência profissional. Em Matemática, por exemplo, insistimos na
28
chamada resolução de problemas - propor situações que as crianças não sabem resolver para fazer
evoluir em seus conhecimentos. Portanto, queremos desestabilizá-las. E se desestabilizarmos demais?
Elas também não vão aprender. Portanto, gerenciar o aprendizado é gerenciar ao mesmo tempo a
desestabilização e a estabilização. Portanto, temos de pensar mais e propor situações corriqueiras aos
que estão aprendendo. Sempre fizemos isso, às vezes de forma intuitiva. O que minha teoria propõe é
que precisamos pensar de forma mais sistemática. O grande desafio do professor é ampliar as
dificuldades para as crianças, mas sabendo o que está fazendo e aonde quer chegar.
O senhor pode dar alguns exemplos de como as crianças constroem o
conhecimento matemático?
VERGNAUD Aos 5 anos, as crianças já compreendem alguns aspectos da adição. O primeiro modelo
que elas aprendem é a reunião de duas partes em um todo: três meninos, quatro meninas, quantas
crianças no total? Só mais tarde, porém, elas vão conseguir entender, por exemplo, como saber
quantas meninas há no grupo se o total é sete e o número de meninos é três. Na minha pesquisa,
descobri que, em média, são dois Anos para passar do primeiro estágio para o segundo. Dois Anos!
Outro exemplo é a transformação que tem relação com o tempo, não com o espaço. Eu tinha 4 reais
no bolso, minha avó chegou e me deu mais 3 reais. Ou: eu tinha 9 reais e agora tenho 4. O que
aconteceu? Parece fácil, mas para uma criança não é. Outro caso: tenho 5 reais a mais do que você.
Eu tenho 12, quanto você tem? E ainda há as transformações sucessivas. Ganhei quatro bolas de gude
e depois perdi seis. Mais quatro, menos seis. Ah, perdi duas. Não é tão óbvio aos 8 ou 9 Anos. Vamos
complicar um pouco mais. Joguei duas rodadas de bola de gude. Sei que perdi seis na segunda e que,
no total, ganhei 15. O que aconteceu na primeira partida? Até os 13, 14 Anos, muitos jovens não
conseguem achar o resultado. "Não consigo resolver o problema porque não sei quantas eu tinha no
início", eles dizem.
O que é possível fazer diante de situações desse tipo?
VERGNAUD O que descobri é que há seis tipos de problemas ligados à adição e subtração. E é óbvio
que, se os números forem grandes, ou decimais, tudo fica ainda mais complicado. No caso de frações,
nem se fala. Na sala de aula, o professor até pode propor atividades, mas, se não souber como os
alunos avançam, passo a passo, eles talvez compreendam o jogo proposto, porém não vão saber
calcular. Para um adulto, o exercício de subtrair as bolas de gude que ganhou, para saber quantas
tinha no início do jogo, pode parecer simples. Mas, aos 7, 8 ou 9 anos, não é nada fácil compreender
esse conceito matemático. Mesmo com números pequenos, as crianças costumam ter muitas
dificuldades. Se o professor sabe disso e dispõe de uma boa variedade de exercícios para propor,
ótimo. Se ele fica numa única atividade, a garotada que não entende a própria proposta do trabalho
perde o interesse e nem se preocupa mais em acertar.
A Matemática é difícil de verdade? Por que tanta gente diz não gostar dessa
disciplina?
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VERGNAUD O problema é que a escola valoriza demais os símbolos e pouco a realidade. Os alunos
não vêem utilidade naquilo e pensam: "Isso não me interessa. É abstrato e não serve para nada".
O senhor já esteve no Brasil uma dezena de vezes. É possível comparar a situação
daqui com a da França?
VERGNAUD Alguns problemas são semelhantes, ainda que no Brasil o tamanho da rede seja muito
maior. A repetência e o analfabetismo, por exemplo, afetam uma proporção muito maior da
população. Quando você observa a reprovação na França, no entanto, cai nas mesmas dificuldades
daqui: a Língua e a Matemática. O paradoxo é que as crianças aprendem a falar sem dificuldades,
mas não aprendem a ler e escrever sem problemas. Isso ocorre porque a função da escrita não é óbvia
para as crianças, sobretudo se as famílias não têm o hábito de ler. Se os pais lêem o jornal todo dia,
isso faz uma diferença enorme. E aqui há um abismo entre a França, cuja população é muito mais
letrada, e o Brasil, onde milhões de alunos chegam à escola sem as noções básicas da estrutura e do
funcionamento da língua. Percebo também que muitos professores brasileiros são obrigados a dar
aula em mais de uma escola. Na França, as crianças passam o dia todo em classe. Aqui, é um turno
só. E há a questão da formação, que também é pior aqui. Não podemos esperar grandes sucessos com
professores que são mal formados, trabalham muito e, além de tudo, não são bem pagos na rede
pública.
"A questão é que a Educação é considerada custo, não investimento. São os homens que
produzem coisas novas, não é o capital."
O que é necessário mudar na dinâmica das escolas atuais?
VERGNAUD Muitas coisas. A Educação é um universo muito complexo e é preciso enxergá-la como
um grande sistema. Se o ministro comete erros na definição das políticas, se não existem objetivos
claros e se não há recursos adequados para a formação inicial e continuada, é ridículo responsabilizar
o educador individualmente. A responsabilidade pelo fracasso é do sistema. A questão principal é que
a Educação das crianças e a formação dos adultos são consideradas custo, e não investimento. São os
homens que produzem coisas novas, não é o capital. Só que ainda não sabemos calcular que retorno a
formação dá sobre esse investimento.
Qual é o papel da formação docente nesse contexto?
VERGNAUD É primordial, ainda que seja necessário ter consciência de que não existem milagres, que
ninguém vai conseguir eliminar todos os problemas de um dia para o outro. Mas, se podemos dar ao
professor os meios de conhecer melhor seu trabalho, os limites de sua ação, os obstáculos que vão
encontrar e as formas de controlar a evolução das turmas, é absurdo não fazer isso. Eu gosto de uma
metáfora da aviação: se não tenho os instrumentos para pilotar, me falta algo essencial para atingir
meus objetivos.
30
Esses instrumentos, no campo da Educação, são a didática?
VERGNAUD Sim, a didática é a chave do conhecimento escolar hoje. Mas é mais do que isso.
Precisamos compreender que existe a didática da Matemática, a da Física, a da História etc. E, dentro
da didática da Matemática, a das estruturas aditivas não é a mesma das estruturas multiplicativas. E
assim por diante. É essencial tomar consciência dessas especificidades dentro da especificidade de
cada disciplina, pois elas têm seu papel. O fato novo dos últimos 30 Anos é dizer: "Prestem atenção
nas didáticas da Matemática. A da Educação Física não é igual para o vôlei e o tênis, ainda que exista
uma relação entre esses dois esportes".
E se não fizermos isso?
VERGNAUD O preço a pagar será o fracasso escolar - ao menos para um grupo de estudantes. Alguns
aprendem, mesmo se mal ensinados. Porém outros, mesmo se bem ensinados, fracassam quando o
professor não domina a didática. Há quem considere isso um problema dos alunos. "Uns são
inteligentes e se dão bem, outros não são e não conseguem." Mas o fato é que existe uma margem de
manobra muito importante, um papel essencial a ser desempenhado, dentro da sala de aula, pelos
professores. Esse avanço é lento, mas percebo que cada vez mais gente fala essa mesma língua.
Quer saber mais?
BIBLIOGRAFIA
As Ciências da Educação, Eric Plaisance e Gérard Vergnaud, 152 págs., Ed. Loyola, tel. (11) 2914-1922,
22,40 reais
Atividade Humana e Conceituação, Gérard Vergnaud, 65 págs., Geempa, tel. (51) 3226-5218, 30 reais
Campo Conceitual da Multiplicação, Gérard Vergnaud, 41 págs., Geempa, 3 reais
31
CAMPO ADITIVO (Resumo/Nova Escola)
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CAMPO MULTIPLICATIVO (Resumo/Nova Escola)
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TEXTOS PARA OS PROGRAMAS - UM SALTO PARA O FUTURO
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TEXTOS CURIOSOS
Multiplicando com as mãos
Tobias Dantzig, no interessante livro que já lhe recomendamos, relata um curioso processo para
fazer multiplicações com os dedos das mãos. Este método era usado, até pouco tempo, por
camponeses de uma região da França. Eles sabiam de cor a tabuada até a do 5 e, para multiplicar
números compreendidos entre 5 e 10, como por exemplo, 6 x 9 ou 7 x 8, usavam seus dedos.
Vejamos como faziam para obter, por exemplo, 6 x 8.
Numas das mãos, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 6 passa de 5; portanto abaixamos 1 dedo.
Na outra mão, abaixamos tantos dedos quantas unidades o 8 passa de 5; portanto abaixamos 3 dedos.
Somamos o número de dedos abaixados, exprimindo a soma em dezenas. No nosso caso temos 1 + 3 = 4 dezenas, isto é, 40 unidades.
A seguir multiplicamos os números de dedos levantados: 4 x 2 = 8 unidades.
Para obter o resultado final, somamos os valores encontrados: 40 + 8 = 48
De fato: 6 x 8 = 48
Embora, para nós, este procedimento possa não ser prático, ele é, sem dúvida, curioso.
Use-o para obter, por exemplo, 7 x 8, 6 x 7, 7 x 9 e 6 x 9. Verifique que o método também vale para os fatores 5 e 10, que são os extremos do intervalo em que o processo pode ser usado.
(Site: educar.sc.usp.br/matemática)
61
A tabuada dos nove e os dedos das mãos Há um modo interessante para se obter a tabuada do nove usando os dedos das mãos.
Coloque as mãos abertas sobre a mesa.
Vamos obter, por exemplo, 3 x 9. Dobre o 3° dedo, a contar da esquerda para a direita.
Veja que, á esquerda do dedo dobrado, ficaram dois dedos e, á sua direita, 7 dedos.
Eis o resultado: 3 x 9 = 27 !
Veja como se obtém 6 x 9:
Não é curioso? Experimente obter as outras multiplicações da tabuada do nove.
(Site: educar.sc.usp.br/matemática)
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63
Jogos Infantis - Pieter Brueghel, 1560
(Disponível em: http://virusdaarte.net/pieter-bruegel-o-velho-jogos-infantis/)
64
Jogo 1
(Livro: Matemática através de Jogos, Atual Editora )
65
Jogo 2
JOGO DO PARE
Objetivo: terminar cada linha de operações
mais rapidamente que os adversários.
Como jogar : 1- Seu professor (ou algum aluno) vai dizer
um número maior que 100 para ser
anotado na 1ª coluna.
2- Após a anotação, todos os participantes
devem fazer as operações indicadas na 1ª linha usando o número escolhido.
3- O primeiro a conseguir realizar todas as
operações grita ―Pare !‖, e os demais
participantes devem parar de escrever em suas tabelas.
4- Os resultados devem ser conferidos no
quadro ou com a calculadora. Cada
resposta certa vale 10 pontos.
5- Repetem-se as etapas anteriores para
cada linha da tabela.
6- Ao final, verifica-se o total de pontos. Aquele que conseguir maior pontuação
será o vencedor !
Número de jogadores: 2 ou mais (pode ser a classe inteira)
Material: Tabela, lápis e borracha.
JOGO DO PARE
NÚMERO
+ 1
+ 10
+ 100
- 1
- 10
- 100
PONTOS
TOTAL GERAL:
.............................................................................................................................................
66
Jogo 3- CINCO EM LINHA
67
CINCO EM LINHA
TABULEIRO DO JOGO
34
27
38
32
47
66
26
29
31
42
36
51
70
30
33
35
29
44
63
23
26
40
55
74
34
37
49
68
28
31
83
43
46
62
65
25
TABULEIRO DE
ESCOLHA
15
19
12
23
17
32
51
11
14 ......................................................................................................................................................... ..................
68
JOGO 4
MULTIPLICAÇÃO NA LINHA
36
1
6
5
8
15
3
25
4
30
16
10
24
2
20
2
8
9
Multiplicação na Linha
Material necessário:
Tabuleiro
Dois dados
9 fichas de uma cor e 9 de outra cor (pode usar 2 lápis de cores
diferentes)
Como jogar:
Os jogadores jogam alternadamente.
Cada jogador joga os dados e multiplica os dois números que
saírem, cobrindo o resultado com uma ficha de uma cor (ou
marcando um “X” com uma cor)
Se o jogador errar o resultado, o seu adversário poderá
acusar o erro e colocar a sua ficha no local certo.
Ganha o jogo quem colocar 3 fichas da sua cor em linha reta (horizontal, vertical ou diagonal)
Do livro: Cadernos de matemática.
Obs. As regras foram reorganizadas por crianças de uma turma de 3º ano.
.......................................................................................................................... .................................................
69
JOGO 5
70
CONTANDO PONTOS
15
80
120
560
700
345
75
140
125
780
40
130
10
70
550
400
65
90
300
450
85
70
5
780
900
25
55
105
60
35
85
870
505
960
TABELA DE PONTOS
1º
NÚMERO
2º
NÚMERO
OPERAÇÃO
RESULTADO
TOTAL DE PONTOS
............................................................................................................................. ............
71
JOGO 6
BINGO DA MULTIPLICAÇÃO
Como jogar:
1. Cortar as fichas da cartela; 2. embaralhar as fichas e colocá-las num "montinho" com as faces viradas para
baixo; 3. combinar, previamente, como será o bingo - pode completar uma coluna ou uma
linha ou a diagonal (pode compor uma linha e uma coluna, etc.); 4. a professora ou uma criança retira uma ficha e fala para a turma o que há na
ficha; 5. todas as crianças marcam ou colorem o resultado no quadro do bingo; 6. ganha quem completar o que ficou combinado.
Observações: 1. Esse bingo foi uma adaptação realizada por mim com uma turma. 2.Pode-se fazer diferentes quadros para o bingo, para as crianças colarem no caderno ou fazê-los em cartolina para usarem em duplas ou em trios e, também, fazer mais fichas diferentes. O importante é que as crianças expliquem à turma como pensaram para encontrarem o resultado "de cabeça" para cada ficha. 3. Pode-se fazer para as diferentes tabuadas. 4. As próprias crianças podem fazer para o acervo da sala de aula.
BINGO DA MULTIPLICAÇÃO POR 3
15
39
3
0
9
21
18
6
27
42
12
45
30
33
66
24
93
36
99
360
60
149
90
246
123
180
210
150
309
120
603
300
195
240
600
270
.............................................................................................................................................
72
Fichas, para usar no bingo, para recortar:
3X0=
3X1=
3X2=
3X3=
3X4=
3X5=
3X6=
3X7=
3X8=
3X9=
3X10=
3X11=
3X12=
3X13=
3X14=
3X15=
3X20=
3X22=
3X25=
3X30=
3X31=
3X33=
3X40=
3X41=
3X50=
3X53=
3X60=
3X65=
3X70=
3X80=
3X82=
3X90=
3X100=
3X103=
3X110=
3X120=
3X150=
3X200=
3X201
3X210=
73
JOGO 7
JOGO DOS DADOS:
1ª RODADA:
2ª RODADA:
3ª RODADA:
TOTAL:
Como jogar: Cada grupo recebe dois, três ou mais dados (combinar com a turma). Cada criança
do grupo lança os dados, registrando o que saiu na rodada, através de desenho
e/ou usando a linguagem matemática e, depois, passa os dados para outro
participante. Quando todos terminarem os lançamentos dos dados, precisam
encontrar o total de pontos e ver quem conseguiu a maior pontuação.
74
JOGO 8 - JOGOS COM SOMA 10
DESÇA 10
Número de jogadores: 4
Materiais: 54 cartões com numerais de 1 a 9, seis de cada.
Desenvolvimento: Uma carta é retirada do maço e colocada de lado durante todo o jogo, de modo que uma outra no final ficará sem par. As demais são distribuídas entre
os jogadores.
Cada jogador procura no seu maço pares que formam 10 e os descarta no meio da mesa.
Os jogadores se revezam deixando que aquele à sua esquerda pegue uma carta de sua
mão ao acaso ( como no jogo do Mico Preto). Se fizer um par deve abaixá-lo sobre a
mesa, se não fica com a carta, oferecendo o seu maço ao próximo jogador. A partida termina quando apenas um jogador sobrar com a última carta, sendo ele o
perdedor.
VÁ PARA O 10
Número de jogadores: 3 ou 4 ( com duas pessoas esse jogo tem algumas
vantagens e desvantagens ).
Materiais: 54 cartões com numerais de 1 a 9, seis de cada.
Desenvolvimento: Todas as cartas são distribuídas igualmente entre os jogadores, que as
olham e pedem uma carta específica a qualquer outro jogador ( pode ser jogado
seguindo o sentido horário). Por exemplo: Pedro pede ao Gabriel a carta com o 2, se
o colega tiver deverá entregá-la. Então, Pedro abaixa o par 2 e 8 ( 2+8 = 10). Cada jogador abaixa os pares que formar, na sua vez. Ganha aquele que formar mais
pares.
MEMÓRIA DE 10
Número de jogadores: No máximo 4
Materiais: 54 cartões com numerais de 1 a 9, seis de cada.
Desenvolvimento: Todas as cartas devem ser arrumadas sobre a mesa, em fileiras e colunas, viradas para baixo .
Cada jogador, na sua vez, desvira duas cartas e tenta formar 10 (como por exemplo: 6
+ 4 = 10) e continua formando pares até errar. Quando não conseguir vire-as de novo ( igual ao Jogo da Memória de figuras).
A partida acaba quando terminarem as cartas da mesa e ganha aquele que formar mais
pares.
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75
JOGO 9
JOGO DOS NÚMEROS GRANDES
Material: fichas do Jogo Memória de 10
Número de jogadores: 2 a 4
Como jogar:
Cada jogador fica com as fichas do seu jogo.
Cada jogador embaralha as suas fichas e coloca-as com as faces numeradas voltadas
para baixo em um monte a sua frente.
Ao sinal ―Já‖, cada um vira duas cartas do seu monte e forma o maior número
possível.
Aquele que formar o maior número ganha 2 pontos. O jogo continua até acabarem
todas as fichas.
Ganha quem obter o maior número de pontos.
OBS. Pode-se jogar também virando 3 cartas.
Pode-se jogar com a turma toda. Precisa ter muitas fichas no acervo de jogos da
sala. Entregar para cada criança 2, 3 ou mais fichas (combinar, previamente, com a
turma) e ao sinal da professora, todas viram as fichas e, uma de cada vez, diz o
maior número formado.
76
JOGO 10
VARIAÇÃO DO JOGO DE DADOS
DADOS DA MULTIPLICAÇÃO x
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
24
5
6
24
Como jogar:
1. Pode jogar em dupla, trio ou com a turma toda. (com a turma, cada criança
recebe o seu quadro de registros para colar no caderno)
2. Cada criança, na sua vez, joga os dois dados e anota o resultado nas
quadrículas correspondentes. Por exemplo, no lançamento dos dados saiu: 4
e 6, então, marcará como aparece no quadro acima. (Foi uma decisão
discutida pela turma em marcar as duas possibilidades.)
77
upouiy
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?
78
1- QUADRADOS MÁGICOS COMPLETE OS QUADRADOS MÁGICOS PARA OBTER A SOMA DAS LINHAS E DAS COLUNAS IGUAIS, COM OS VALORES:
12
6
5
1
15
3
7
5
79
DESAFIO 2 Você precisa pintar, na horizontal ou na vertical quando encontrar o resultado.
SEMPRE 10
5
4
1
3
2
5
7
3
6
4
3
5
3
2
8
3
9
1
0
1
4
6
2
2
1
SEMPRE 12
5
5
2
1
1
10
6
3
7
5
9
3
6
3
2
2
2
6
4
3
10
11
7
2
8
3
2
1
3
1
12
0
8
4
2
9
.............................................................................................
80
DESAFIO 3 - LABIRINTOS
VOCÊ CONHECE ESSE DESAFIO ? ENTRE NO JOGO PELA SETA E FINALIZE O LABIRINTO NA SAÍDA. VOCÊ SÓ
PODERÁ ANDAR NA VERTICAL OU NA HORIZONTAL, COLORINDO O CAMINHO.
DEVERÁ SEGUIR PARA UMA CASA VIZINHA ACRESCENTANDO 10.
15
4
18
7
36
59
11
27
14
74
81
101
60
21
170
24
34
19
8
97
68
49
54
44
100
76
40
107
25
64
74
84
94
13
91
127
154
43
52
104
114
149
71
196
57
66
82
124
134
FOI DIFÍCIL PASSAR PELO LABIRINTO ?_________
O QUE AJUDOU A VOCÊ PENSAR NESSE DESAFIO?
_________________________________________________________________
_________________________________________________________________
...............................................................................................................................................................
SA
ÍDA
81
VOCÊ JÁ CONHECE ESSE DESAFIO !!! ENTRE NO JOGO PELA SETA. SÓ PODERÁ ANDAR NA VERTICAL OU NA
HORIZONTAL, COLORINDO O CAMINHO. DEVERÁ SEGUIR PARA UMA CASA
VIZINHA ACRESCENTANDO 5 ATÉ CHEGAR NA SAÍDA.
15
20
19
37
58
90
13
2
25
35
18
73
21
60
50
30
40
91
40
102
64
40
35
105
65
70
75
170
45
50
55
60
94
80
34
137
154
68
16
70
85
101
85
112
44
93
125
90
95
VOCÊ PASSOU POR ESSE LABIRINTO COM MAIS FACILIDADE?
_________________________________________________________
POR QUÊ ? ________________________________________________
_________________________________________________________
................................................................................................................................
SA
ÍDA
82
ENTRE NO JOGO PELA SETA E FINALIZE O LABIRINTO NA SAÍDA. VOCÊ SÓ
PODERÁ ANDAR NA VERTICAL OU NA HORIZONTAL, COLORINDO O CAMINHO.
DEVERÁ SEGUIR PARA UMA CASA VIZINHA ACRESCENTANDO 2.
11
34
9
17
26
4
10
16
14
12
10
8
6
29
18
44
31
18
12
71
67
20
26
28
30
32
30
82
22
24
49
91
34
15
101
78
93
41
62
36
38
40
74
94
78
63
38
55
42
33
91
55
50
48
46
44
O QUE HÁ DE COMUM ENTRE ESSES NÚMEROS ENCONTRADOS?
_______________________________________________________________
_______________________________________________________________
...............................................................................................................................................
SA
ÍDA
83
ENTRE NO JOGO PELA SETA E FINALIZE O LABIRINTO NA SAÍDA. VOCÊ SÓ
PODERÁ ANDAR NA VERTICAL OU NA HORIZONTAL, COLORINDO O CAMINHO.
DEVERÁ SEGUIR PARA UMA CASA VIZINHA SUBTRAINDO 2.
98
91
76
34
27
87
16
96
100
28
82
80
78
45
94
92
35
84
83
76
101
61
90
88
86
53
74
48
72
91
29
44
70
72
55
58
62
64
66
68
67
68
41
60
33
67
51
79
42
98
58
56
54
52
50
47
O que você achou desse labirinto? Explique.
______________________________________________________________
______________________________________________________________
.................................................................................................................................................................
SA
ÍDA
84
upouiy
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
85
BIBLIOGRAFIA INICIAL
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7. Ubiratan_DAmbrosio_dois Textos.pdf
8. Ubiratan em matemática para a paz.pdf
9. ubiratandambrosio.blogspot.com.br
88