Dinâmica Semiclássica de elétrons de Bloch

Sommerfeld vs. Bloch

demonstrar

Dinâmica livre de pacotes de onda

para o pacote ser bem definido

elétron quântico tem v constante em um cristal !!!

Dinâmica de pacotes de onda na presença de campos

para não ter transição inter-bandas

campos semi-clássicos

como os campos afetam a distribuição dos elétrons

• r(t) e k(t) são pensados como trajetórias clássicas em um espaço de fase.

• a distribuição dos elétrons, n(r(t),k(t)), evolui no tempo com as equações semiclássicas e permite obter qualquer quantidade de interesse.

• em equilíbrio: 1

1

4

1),( /])([3 kTE

eqn ne

kkr

bandas totalmente cheias e vazias

• bandas cheias (En(k) << ) tem n(r(t),k(t)) = 1/(43).

• bandas vazias (En(k) >> ) tem n(r(t),k(t)) = 0.

• o teorema de Liouville e a ausência de transições inter-banda garantem que essas distribuições permanecem assim, mesmo na presença dos campos.

• a distribuição eletrônica em bandas semi-cheias é afetada pelos campos.

densidade e correntes

• banda totalmente cheia: n = 2/vc um isolante tem densidade total: ntot = 2k/vc,ou seja, um número par de

elétrons por célula unitária. Um número ímpar de elétrons por célula produz um metal (caso interação ee não seja crucial)

• banda totalmente cheia ou vazia: J(r) = J(r) = 0 de fato, qualquer n(r,k)=n(r,k) tem corrente nula devido à

degenerescência de Kramer, En(k)=En(k).

E constante e uniforme

ilimitado, MUV

limitado, movimento oscilatório

Oscilações de Bloch (metais)

ziman.exe

eqs. semiclássicas em extremos de En(k)

Si band structure

tensor massa efetiva

se k0 é um ponto onde En(k) tem simetria cúbica, Mij = m* i,j

buracos

B constante e uniforme

• k não se altera na direção de B.

• E(k(t)) permanece constante.

órbitas nos espaços r e k

• k(t) evolui com menores energias “à esquerda”.

ziman.exe