Dinâmica do Sistema Solar

• Introdução• Problema de dois corpos• Problema de N corpos e movimento planetário• Dinâmica de pequenos corpos

– Problema de 3 corpos– Movimento ressonante

• Caos

Introdução

• Segunda lei de Newton

• Lei da gravitação de Newton

• Equação de movimento

iiji m aF =

3ij

ijjiij r

mGmr

F −=

32

2

ji

jij

i

rGm

dtd rr

−=

jiij rrr −=

Problema de dois corpos

• O centro de massa é um sistema inercial => eq. do movimento relativo:

• O momento angular se conserva (3 constantes)• A energia se conserva (1 constante)• A força não depende do tempo => equação da

trajetória

32

2

)(r

mmGdtd

jrr

+−=

Problema de dois corpos

• Solução: órbitas keplerianas definidas por um conjunto de parâmetros chamados elementos orbitais– Semi-eixo maior– Excentrcidade– Posição do corpo na órbita

(ou anomalia)

Problema de dois corpos

– Inclinação– Posição do nodo– Posição do pericentro

Problema de N corpos

• Não ha suficientes constantes do movimento => problema sem solução

• Procuram-se aproximações e simplificações:– Modelos perturbativos– Modelos restritos

Modelos perturbativos

• A idéia é escrever as equações do movimento na forma:

de forma que a força perturbativa seja pequena comparada com a força principal

vaperturbati forçaprincipal força2

2

+=dtdm i

ir

Modelos perturbativos

• Problema planetário

• R é a denominada função perturbadora

)()(

)(

2

2

3332

2

ki

ii

ij j

j

ji

jij

i

ii

i

Rr

mMGdtd

rrGm

rmMG

dtd

iirr

rrrr

rr ∇++

∇=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+−= ∑

≠

Modelos perturbativos

• Solução 1: método de variação das constantes

))(,( )()(

),( )(

ttdtd

tdtd

cxxgxfx

cxxfx

⇒+=

⇒=

ε

Modelos perturbativos

• O movimento planetário é representado por órbitas keplerianas que mudam com o tempo

• No caso planetário é possível resolver estas equações fazendo-se certas simplificações na função perturbadora

),( )( 0ccchc tdtd

⇒=

Modelos perturbativos

• Solução 2: teoria de perturbações

)()(

)()(

xgxfxxx

xgxfx

′′+′′=′

′→

+=

n

dtd

dtd

ε

ε

Modelos perturbativos

• A teoria de perturbações leva implícita a aplicação de um método de média

• Através da média elimino os termos da perturbação que oscilam rapidamente => movimento secular

)()()( xgxfxf ′+′=′′ ε

Modelos perturbativos

• Para manipular um modelo perturbativo é necessário desenvolver a função perturbadora

• Isto é feito, basicamente, através de séries de Fourier

)()( kk RR er →

∑=n

nne )cos()( θCR k

Modelos perturbativos

• Assim, fazer uma média da função perturbadora é equivalente a cortar da série os harmônicos de curto período

para certos i• Fisicamente, a média é equivalente a espalhar a

massa do corpo ao longo de um anel

∫=π

θ2

0

)()( ikk dRR ee

Modelos perturbativos

• Como os planetas se movem em órbitas quase circulares e co-planares, podemos ficar apenas com os primeiros termos do desenvolvimento:

– O semi-exio dos planetas não tem variações seculares– A excentricidade e inclinação apresentam variações de

longo período– O periélio dos planetas avança em sentido direto– O nodo das órbitas precesa em sentido retrógrado

Modelos perturbativos

• Principais conseqüências da aplicação de modelos perturbativos– A comprovação da estabilidade do sistema planetário– A descoberta de Netuno– A descoberta da precesão do periélio de Mercúrio– A evidência de caos no sistema planetário

Modelos perturbativos

• Os planetas terrestres evoluem caóticamente

Modelos restritos

• A idéia é simplificar o problema assumindo que um dos corpos tem massa desprezível

• O problema equivale ao de uma pártícula de teste movendo-se num dado potencial

Problema de 3 corpos restrito

• Sol + Júpiter + asteróide• Sol + Terra + Lua• Sol + Netuno + trans-netuniano• Saturno + Satélite + partículas

dos anéis

• Não é integrável, mas podemos deduzir certas propriedades do movimento

Problema de 3 corpos restrito

• Pontos Lagrangianos e superfícies de Jacobi

Problema de 3 corpos restrito

• Principais resultados obtidos com o P3CR:– Os asteróides

Troianos

Problema de 3 corpos restrito

• Principais resultados obtidos com o P3CR:– A órbita da Lua é estável (fundamental para que o eixo

de rotação da Terra também seja estável!)– Manobras de trasnferência de órbita– Processos de captura de satélites retrógrados– O papel das ressonâncias na dinâmica dos asteróides e

dos objetos trans-netunianos

Problema de 3 corpos restrito

• Principais resultados obtidos com o P3CR:– Os fenômenos de maré nos satélites galileanos (Io)– A estrutura dos anéis de Saturno (Pan e o anel F)

Ressonâncias

• Ressonâncias ocorrem quando algúm harmônico na função perturbadora tem uma freqüência próxima de zero

jijiji nnnnnn Ω+Ω++++= 654321 ϖϖλλθn

Ressonâncias

• Nesse caso, é possível aplicar uma transformação

tal que as equações se transformam naquelas de um péndulo => oscila em torno de um valor fixo

nn θθ ′→

nθ ′

Ressonâncias

• Exemplo: na ressonância 2/1 com Júpiter o asteróide completa duas voltas em torno do Sol no mesmo tempo em que Júpiter completa uma. Nesse caso

o que significa que o asteróide e Júpiter se re-encontram quando o asteróide está no periélio

021/2 ≈−−= iij ϖλλθ

Caos no Sistema Solar

Caos no Sistema Solar

• Os asteróides próximos da Terra

Caos no Sistema Solar

• O movimento de Plutão é caótico em escalas de 1 bilhão de anos

Caos no Sistema Solar

• O cinturão trans-netuniano

Caos no Sistema Solar

• Os planetasexternos

Caos no Sistema Solar

• A rotação de Toutatis e Hypérion