dinâmica de máquinas e vibrações

DINÂMICA DAS MÁQUINAS E VIBRAÇÕES

Mecânica: Ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou

movimento de corpos sob a ação de forças.

• ESTÁTICA: Estudo da ação de forças sobre corpos em repouso

(Equilíbrio Estático):

∑ == 0FRrr

• CINEMÁTICA: Estudo do movimento, sem alusão às forças que

o causaram.

• DINÂMICA: Estudo que relaciona a ação de forças sobre corpos

com movimentos resultantes (Equilíbrio Dinâmico):

∑ ≠= 0FRrr

∑ =− 0.amF rr

Mecânica dos corpos rígidos

ESTÁTICAv = 0

CINEMÁTICAv ≠ 0

DINÂMICAv ≠ 0 (causas)

DINÂMICA DO PONTO MATERIAL

1. Introdução:

A primeira e a terceira lei de Newton foram extensivamente

empregadas na estática para estudarmos os corpos em repouso sob a

ação das forças neles agentes. Essas duas leis também são usadas

em Dinâmica sendo suficientes para estudarmos os movimentos de

corpos que não têm aceleração. Todavia, quando os corpos são

acelerados, isto é, quando as velocidades se modificam em módulo,

direção ou sentido, é necessário utilizar a Segunda Lei de Newton

para relacionar os efeitos (acelerações) com as causas (forças

aplicadas).

2. A Segunda Lei de Newton

A Segunda Lei de Newton pode ser enunciada da seguinte

forma:

“Um ponto material submetido a uma força não nula

adquire um aceleração com módulo proporcional ao

módulo da força e na mesma direção e sentido desta”

A figura 1 (a) mostra um ponto material está sujeito a uma força

F1 constante. Observa-se, experimentalmente, que o ponto material se

desloca em linha reta na direção e sentido da força. Determinando-se

a posição do ponto material em vários instantes, verificamos que a

aceleração possui módulo constante a1.

Figura 01 – Ponto material sujeito a uma força F

Se a experiência for repetida com forças F2, F3 etc., de

diferentes módulos, direções e sentidos, verificaremos, para cada

caso, que o ponto material se deslocará na direção e no sentido da

força que atuar sobre ele e que os módulos a1, a2, a3 etc. das

acelerações serão proporcionais aos módulos F1, F2, F3 etc. das

forças correspondentes.

constante3

3

2

2

1

1 ==== KaF

aF

aF

O valor constante obtido para a relação entre os módulos das

forças e acelerações é uma característica do ponto material em

consideração: é chamado de MASSA do ponto material. Quando

sobre um ponto material de massa m atua uma força F, a aceleração

a do ponto material e a força F devem satisfazer à relação:

amF rr.=

Quando um ponto material estiver sujeito simultaneamente a

várias forças:

amF rr.=∑

3. Equações do Movimento

Considere um ponto material de massa m sujeito a ação de

diversas forças. Expressando-se cada força F e a aceleração a em

componentes cartesianas, escrevemos:

( ) ( )kajaiamkFjFiF zyxzyx

rrrrrr++=++∑ .

Da qual resultam:

xxamF .=∑

yyamF .=∑

zzamF .=∑

Lembrando que as componentes da aceleração são iguais às

derivadas segundas das coordenadas do ponto material, temos:

xmFx

&&.=∑ 2

2

dtxdx =&&

ymFy

&&.=∑ 2

2

dtydy =&&

zmFz

&&.=∑ 2

2

dtzdz =&&

4. Equilíbrio Dinâmico

Rearranjando-se os termos da equação amF rr.=∑ , podemos

escrever a Segunda Lei de Newton na forma alternativa:

0. =−∑ amF rr

Esta equação mostra que, se adicionarmos o vetor –m.a às

forças que atuam sobre o ponto material, obteremos um sistema de

vetores equivalentes a zero. O vetor –m.a é chamado vetor de inércia.

O ponto material pode, então, ser considerado em equilíbrio sob a

ação das forças dadas e do vetor de inércia. Diz-se que o ponto

material está em Equilíbrio Dinâmico.

Figura 02 – Equilíbrio dinâmico

Quando as componentes tangencial e normal são utilizadas, é

mais conveniente representar o vetor de inércia por suas duas

componentes –m.at e –m.an. A componente tangencial do vetor de

inércia mede a resistência que o ponto material oferece quando se

tenta mudar o módulo de sua velocidade, enquanto a componente

normal (também chamada força centrífuga) representa a tendência do

ponto material em abandonar sua trajetória curvilínea. Observa-se que

qualquer destas duas componentes pode ser zero em condições

especiais: (1) se o ponto material parte do repouso, sua velocidade é

zero e a componente normal do vetor de inércia é zero quando t=0; (2)

se o ponto material se move com velocidade escalar constante ao

longo de sua trajetória, a componente tangencial do vetor de inércia é

zero e somente a componente normal é considerada.

Figura 03 - Ponto material em trajetória curvilínea


6. Momento Angular

Considere-se um ponto material P de massa m que se desloca

em relação a um sistema de referência. A quantidade de movimento

de um ponto material, num dado instante, é definida como o vetor mv,

multiplicando-se a velocidade v do ponto material por sua massa m. O

momento em relação a O do vetor mv é chamado de momento da

quantidade de movimento, ou momento angular do ponto material a

O, naquele instante sendo denominado HO.

Denominando r o vetor de posição do ponto P¸ escrevemos:

vmrHOrr .×=

Observamos que HO é um vetor perpendicular ao plano que

contém r e mv e tem módulo:

φsen... vmrHO =

⋅smkg 2

onde φ é o ângulo entre r e mv. O sentido de HO pode ser

determinado a partir do sentido de mv, aplicando-se a regra da mão

direita.

Figura 05 – Vetor Momento Angular

Expressando os vetores r e mv em termos de sua coordenadas

cartesianas, escrevemos:

zyx

O

vmvmvmzyxkji

H...

=

As componentes de HO, que também representam os momentos

da quantidade de movimento mv em relação aos eixos coordenados,

podem ser obtidas pelo desenvolvimento do determinante, obtendo-

se:

( )yzx vzvymH .. −⋅=⇒

( )zxy vxvzmH .. −⋅=⇒

( )xyz vyvxmH .. −⋅=⇒

No caso do ponto material que se move no plano Oxy temos

z=vz=0 e as componentes Hx e Hy reduzem-se a zero. O momento

angular é então perpendicular ao plano Oxy e definido pelo escalar:

( )xyzO vyvxmHH .. −⋅==

que pode ser positivo ou negativo dependendo do sentido de

movimento do ponto material, relativamente a O.


5. Quantidade de Movimento

Quando sobre um ponto material de massa m atua uma força F,

a aceleração a do ponto material e a força F devem satisfazer à

relação:

amF rr.=∑

Substituindo-se a aceleração a pela sua derivada dtvdr

,

escrevemos:

dtvdmFrr

.=∑ ou( )vm

dtdF rr

=∑

uma vez que se considera constante a massa m do ponto material.

Esta equação mostra que a resultante das forças que atuam

num ponto material é igual à derivada temporal da quantidade de

movimento desse ponto.

O vetor mv é chamado de quantidade de movimento do ponto

material. Ele tem a mesma direção e sentido que a velocidade do

ponto material e seu módulo é igual ao produto da massa m pela

velocidade v do ponto.

Figura 04 – Quantidade de movimento do ponto material

Designando-se por L a quantidade de movimento do ponto

material:

vmL rr.=

e por L& sua derivada em relação ao tempo t, podemos escrever:

LF &r=∑

Segue-se, da equação ( )vmdtdF rr

=∑ , que a taxa de variação

da quantidade de movimento mv é zero quando 0=∑ Fr

. Então, se a

força resultante que atua em um ponto material é zero, a quantidade

de movimento do ponto material permanece constante, tanto em

módulo com em direção e sentido.

Este é o Princípio da Conservação da Quantidade de Movimento

para um Ponto Material, que podemos reconhecer como em um

enunciado alternativo da Primeira Lei de Newton.


6.1. Conservação do Momento Angular

Quando a única força que atua sobre o ponto material P é

uma força F paralela ao vetor de posição r de P em relação a um

ponto fixo O, diz-se que o ponto material se move sob a ação de uma

Força central e o ponto O é chamado de Centro de força. Como a

linha de ação de F passa por O, tem-se que 0=∑ OM em qualquer

instante. Isto significa dizer que constante=OH .

Figura 06 – Ponto material sob a ação de uma força central

Conclui-se, então, que o Momento Angular do ponto

material que se move sob a ação de uma força central é constante em

módulo, direção e sentido. Portanto, tem-se que:

constante. =×= vmrHOrr

Observa-se, da equação acima, que o vetor posição r do

ponto P deve ser perpendicular ao vetor constante HO.

Figura 07 – Plano de movimento do ponto material

Como o módulo HO do momento angular do ponto material

P é constante, escreve-se:

OOO vmrvmr φφ sen...sen... =

Esta relação aplica-se ao movimento de qualquer ponto

material sob a ação de uma força central. Como a força gravitacional

exercida pelo Sol sobre um planeta é uma força central dirigida para o

centro do Sol, a equação acima é fundamental para o estudo do

movimento planetário, e também para a análise do movimento de

veículos espaciais em órbita ao redor da Terra.

Problema Resolvido 12.8

Lançou um satélite numa direção paralela à superfície da Terra, com

velocidade de 30.281 km/h e a uma altura de 386 km. Determine a

velocidade do satélite quando este atinge a altura máxima de 3.765

km. O raio médio da Terra é de 6.372 km.


1. Trabalho de uma força

Considere-se um ponto material que se desloca de um ponto A

até um ponto próximo A’. Se r designa o vetor de posição

correspondente ao ponto A, o pequeno vetor que une A e A’ pode ser

designado pela diferencial dr. O vetor dr é chamado de

DESLOCAMENTO do ponto material.

Figura 01 – Deslocamento do ponto material

Seja F uma FORÇA atuando sobre o ponto material, o

TRABALHO de F correspondente ao deslocamento dr é definido

como a quantidade:

rdFdU rr⋅=

O TRABALHO é obtido fazendo-se o produto escalar da força Fe do deslocamento dr.


2. Energia Cinética de um ponto material – Princípio doTrabalho e Energia

Considere-se um ponto material de massa m soba ação da força

F deslocando-se segundo uma trajetória qualquer.

Figura 08 – Ponto material em trajetória

Expressando a Segunda Lei de Newton em termos das

componentes tangenciais da força e da aceleração, tem-se:

tt amF ⋅= ou dtdvmFt ⋅=

onde v é a velocidade escalar do ponto material.

Recordando que dtdsv = e que dt

dsdsdv

dtdv

⋅= então:

dtdvmFt ⋅=

dtds

dsdvmFt ⋅⋅=

dsdvvmFt ⋅⋅=

dvvmdsFt ⋅⋅=⋅

Integrando de A1, onde s = s1 e v = v1, a A2, onde s = s2 e v = v2,

escrevemos:

22

21

22

2

1

2

1

vmvmdvvmdsFv

v

s

st

⋅−

⋅=⋅=⋅ ∫∫

O primeiro membro da equação representa o Trabalho que a

força F realiza sobre o ponto material durante o deslocamento de A1

até A2, pois:

∫ ⋅=→

2

1

21

s

st dsFU

O segundo membro da equação, isto é, o termo 2

2vm ⋅ é

definido como Energia Cinética do Ponto Material e denotada por T:

2

2vmT ⋅=

A Energia Cinética é medida nas mesmas unidades que o

Trabalho, ou seja, em Joules [J].

Pode se escrever, então que:

1221 TTU −=→ ou 2121 TTU =+→

Alternativamente, denotando-se por F e ds o módulo da força e

do deslocamento e por α o ângulo formado entre F e dr:

αcos⋅⋅= dsFdU

Em termos das componentes cartesianas da força e do

deslocamento, para o trabalho dU, tem-se:

)()( kdzjdyidxkFjFiFdU zyx

rrrrrr++⋅++=

)( dzFdyFdxFdU zyx ⋅+⋅+⋅=

Sendo uma quantidade escalar, o Trabalho possui módulo e

sinal, mas não direção.

A unidade de Trabalho é obtida multiplicando-se a unidade de

Força pela unidade de comprimento. A unidade de Trabalho [N.m] é

chamada de Joule [J];

O Trabalho dU será positivo se o ângulo α for agudo:

0º90 >⇒< dUα

O Trabalho dU será negativo se o ângulo α for obtuso:

0º90 <⇒> dUα

Casos particulares:

• Se a força F tem a mesma direção e sentido de dr:

1cos0 =⇒= αα ⇒ dsFdU ⋅=

• Se a força F tem a mesma direção e sentido oposto ao de dr:

1cosº180 −=⇒= αα ⇒ dsFdU ⋅−=

• Se a força F É perpendicular a dr:

0cosº90 =⇒= αα ⇒ 0=dU

O Trabalho de F durante um deslocamento finito do ponto

material de A1 para A2 é obtido integrando-se a equação ao longo da

trajetória. Este Trabalho é denotado por U1→2 e calculado por:

∫ ⋅=→

2

1

21

A

A

rdFU rr

Figura 02 - Deslocamento finito de um ponto material

Usando-se a expressão alternativa para o Trabalho elementar

dU, e observando-se que F.cosα representa a componente tangencial

Ft da força e que a variável de integração ds mede a distância

percorrida pelo ponto material ao longo da trajetória, podemos

exprimir o Trabalho U1→2 por:

( ) ∫∫ ⋅=⋅⋅=→

2

1

2

1

cos21

s

st

s

s

dsFdsFU α

O Trabalho U1→2 está representado pela área sob a curva obtida

traçando-se Ft = F.cosα em função de s.

Figura 03 – Representação gráfica do Trabalho de uma força

Quando se define a força F por suas componentes cartesianas,

o Trabalho é calculado por:

∫ ⋅+⋅+⋅=→

2

1

)(21

A

Azyx dzFdyFdxFU

Onde a integração deve ser efetuada ao longo da trajetória

descrita pelo ponto material.

1.1. Trabalho de uma força constante em MovimentoRetilíneo

Quando um ponto material, deslocando-se numa reta, é

impelido por uma força F de módulo e direção constantes o Trabalho

é calculado por:

( ) xFU ∆⋅⋅=→ αcos21

Em que:

• α = ângulo formado pela força e pela direção do movimento;

• ∆x = deslocamento de A1 a A2.

Figura 04 - Trabalho de uma força constante em Movimento Retilíneo

1.2. Trabalho da força peso

O Trabalho do peso P de um corpo é obtido substituindo-

se as componentes de P nas equações:

)( dzFdyFdxFdU zyx ⋅+⋅+⋅=

e

∫ ⋅+⋅+⋅=→

2

1

)(21

A

Azyx dzFdyFdxFU

Com o eixo y escolhido para cima, tem-se que 0=xF ,

PFy −= e 0=zF , então escrevemos:

dyPdU ⋅−=

2121

2

1

yPyPdyPUy

y

⋅−⋅=⋅−= ∫→

( ) yPyyPU ∆⋅−=−⋅−=→ 1221

yPU ∆⋅−=→21

Em que:

• ∆y = deslocamento vertical de A1 a A2.

Figura 05 - Trabalho da força P

O Trabalho da força P é igual ao produto de P pelo

deslocamento vertical do centro de gravidade do corpo. O Trabalho é

positivo quando ∆y < 0, isto é, quando o corpo se desloca para baixo.

1.3. Trabalho da Força Exercida por uma Mola

Considere-se um corpo A preso a um ponto fixo B por

meio de uma mola. Supõe-se que a mola não está deformada quando

o corpo está em A0.

Experiências mostram que o módulo da força F exercida

pela mola sobre o corpo A é proporcional à deformação x medida a

partir da posição A0.

Figura 06 – Deformação de uma mola submetida a força F

Daí, tem-se que:

xkF ⋅=

Onde k é a constante da

mola, expressa em N/m, em

unidades do SI.

O Trabalho da força F realizado pela mola durante um

deslocamento finito do corpo de A1 (x = x1) a A2 (x = x2) é obtido

escrevendo-se:

dxxkdxFdU ⋅⋅−=⋅−=

∫ ⋅⋅−=→

2

1

21

x

x

dxxkU

22

2121 21

21 kxkxU ⋅−⋅=→

Figura 07 – Gráfico: Deformação x Força


3. Potência

Potência é definida como a quantidade de trabalho que é

realizada na unidade de tempo. Se ∆U é o Trabalho realizado durante

o intervalo de tempo ∆t, então a Potência média durante esse

intervalo de tempo é:

tU∆∆

= média Potência

Fazendo ∆t tender a zero, obtemos no limite:

dtdU

= Potência

Substituindo dU pelo produto escalar F.dr, podemos escrever:

dtrdF

dtdU rr

⋅== Potência

Visto que dr/dt representa a velocidade v do ponto de aplicação

de força F, tem-se da equação acima que:

vF rr⋅= Potência

Obtém-se a unidade de Potência ao se dividir a unidade de

Trabalho pela unidade de Tempo. Assim, no sistema internacional, a

Potência deve ser dada em J/s. Esta unidade é denominada watt [W].

Tem-se portanto:

smN

sJW ⋅== 111

4. Rendimento Mecânico

O rendimento mecânico de uma máquina é definido como a

razão entre o Trabalho produzido e o Trabalho absorvido:

absorvido Trabalho produzido Trabalho

=η

Esta definição se baseia na suposição de que o trabalho é

realizado a uma razão constante. A razão entre o trabalho produzido e

o absorvido é, portanto, igual à razão das variações em que o trabalho

produzido e o absorvido são realizados. Tem-se assim:

absorvida Potênciaproduzida Potência

=η

Por causa da energia perdida devido ao atrito, o trabalho

produzido é sempre menor que trabalho absorvido, e,

consequentemente, a potência produzida é sempre menor que a

potência absorvida.

O rendimento total de uma máquina é sempre menor que 1 e

fornece uma medida das várias perdas de energia envolvidas (perdas

de energia elétrica, térmica, bem como perdas por atrito).


5. Forças Conservativas

Uma força F atuando sobre um ponto material A é chamada de

conservativa quando seu trabalho U1→2 é independente da trajetória

seguida pelo ponto material A, quando ele se desloca de A1 para A2.

Assim:

2121 VVU −=→

Em que V é denominada energia potencial de F.

A FORÇA PESO e a FORÇA ELÁSTICA são exemplos de

FORÇAS CONSERVATIVAS, pois seus trabalhos são independentes

da trajetória.

O trabalho realizado pela força peso é independente da

trajetória, uma vez que depende apenas do deslocamento vertical do

ponto material:

yPU ∆⋅−=→21

O trabalho realizado pela força de uma mola é independente da

trajetória, uma vez que depende apenas da deformação (tração ou

compressão) da mola.

22

2121 21

21 kxkxU ⋅−⋅=→

A força de atrito, por sua vez, não é conservativa. Quando a

força de atrito realiza trabalho, este depende da forma da trajetória:

“Quanto maior for a trajetória percorrida maior será o trabalho

realizado”. A FORÇA DE ATRITO é chamada, então, de FORÇA

DISSIPATIVA assim como a RESISTÊNCIA DO AR.


5. Forças Conservativas

Uma força F atuando sobre um ponto material A é chamada de

conservativa quando seu trabalho U1→2 é independente da trajetória

seguida pelo ponto material A, quando ele se desloca de A1 para A2.

Assim:

2121 VVU −=→

Em que V é denominada energia potencial de F.

A FORÇA PESO e a FORÇA ELÁSTICA são exemplos de

FORÇAS CONSERVATIVAS, pois seus trabalhos são independentes

da trajetória.

O trabalho realizado pela força peso é independente da

trajetória, uma vez que depende apenas do deslocamento vertical do

ponto material:

yPU ∆⋅−=→21

O trabalho realizado pela força de uma mola é independente da

trajetória, uma vez que depende apenas da deformação (tração ou

compressão) da mola.

22

2121 21

21 kxkxU ⋅−⋅=→

A força de atrito, por sua vez, não é conservativa. Quando a

força de atrito realiza trabalho, este depende da forma da trajetória:

“Quanto maior for a trajetória percorrida maior será o trabalho

realizado”. A FORÇA DE ATRITO é chamada, então, de FORÇA

DISSIPATIVA assim como a RESISTÊNCIA DO AR.


6. Energia potencial

Às Forças Conservativas associa-se o conceito de ENERGIA

POTENCIAL. A energia potencial é expressa nas mesmas unidades

que o trabalho, isto é, em Joules, caso usadas as unidades no S.I.

6.1. Energia potencial gravitacional

Considerando-se um corpo de peso P que se desloca

seguindo uma trajetória curva a partir de um ponto A1 de altura y1 até

um ponto A2 de altura y2, o trabalho de peso P durante o

deslocamento é:

2121 PyPyU −=→

Figura 09 - Trabalho da força P

O Trabalho de P depende unicamente dos valores inicial e

final da função Py, denominada energia potencial do corpo em relação

à força da gravidade P e é representada por Vg.

2121 gg VVU −=→ yPVg .=

6.2. Energia potencial elástica

Considerando-se um corpo preso à uma mola e que se

desloca de uma posição A1, correspondente a uma deformação x1, a

uma posição A2 , correspondente a uma deformação x2, o trabalho da

força F exercida pela mola sobre o corpo é:

22

2121 21

21 kxkxU ⋅−⋅=→

Figura 10 – Deformação de uma mola submetida a força F

Obtém-se o trabalho da força elástica subtraindo-se o valor

da função ½ (k.x2) correspondente à segunda posição do corpo de

seu valor correspondente à primeira posição. Esta função,

representada por Ve, é chamada de energia potencial do corpo em

relação à força elástica F.

2121 ee VVU −=→ 2. 2xkVe =

A expressão Ve obtida é válida se a deformação da mola é

medida a partir de sua posição não deformada. O trabalho da força

elástica depende exclusivamente das deformações inicial e final da

mola.

Figura 11 – Deformação de uma mola e gráfico


7. Conservação da Energia

Quando um ponto material se desloca sob a ação de forças

conservativas, o princípio do trabalho e energia pode ser expresso

conforme segue. Substituindo:

2121 VVU −=→ em 1221 TTU −=→

1221 TTVV −=−

2211 VTVT +=+

A equação acima mostra que, quando um ponto material se

desloca sob a ação de forças conservativas, a soma de sua Energia

Cinética e de sua Energia Potencial permanece constante. A soma

T + V, representada por E, é chamada de Energia Mecânica Total do

ponto material.

21 EE =

Exemplo: Um pêndulo é solto com velocidade nula em A1 e oscila num

plano vertical.

Medindo a energia potencial a partir do nível de A2, em A1 tem-

se:

01 =T

lPV .1 =

lPVT .11 =+ lPE .1 =⇒

Para A2, pelo Princípio do Trabalho e Energia, a velocidade do

pêndulo será:

2121 TTU =+→

yPU ∆⋅−=→21

2

2vmT ⋅=

2121TTUP =+

→

2.0.22vmlP =+

2...22vmlgm =

2.

22vlg =

lgv ..222 =

lgv ..22 =

Portanto, pelo Princípio da Conservação da Energia, em A2 tem-

se:

2. 22

2vmT =

tal que lgv ..22 =

Assim,

lPglgPT ...2..

21

2 == lPT .2 =∴

02 =V

lPVT .22 =+ lPE .2 =⇒

Restou demonstrado, portanto, que a energia mecânica total

E = T + V do pêndulo é a mesma em A1 e A2 e, quando o pêndulo

continua se movendo para a direita, a energia cinética vai se

transformando novamente em energia potencial.

Em A3, tem-se que:

03 =T

lPV .3 =

lPVT .33 =+ lPE .3 =⇒

Como a energia mecânica total do pêndulo permanece

constante e como sua energia potencial depende unicamente da

elevação, a energia cinética do pêndulo terá o mesmo valor para

quaisquer dois pontos localizados no mesmo nível. Dessa forma, a

velocidade do pêndulo em A e em A’ é a mesma.


8. Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento

Considere-se um ponto material de massa m submetido a uma

força F. A segunda lei de Newton pode ser expressa na forma:

( )vmdtdF rr

=

onde mv é a quantidade de movimento do ponto material.

Multiplicando-se ambos os lados da equação acima por dt e

integrando-se de t1 a t2, tem-se:

( )vmddtF rr.. =

12 ...2

1

vmvmdtFt

t

−=∫r

ou, transpondo-se o último termo,

21 ...2

1

vmdtFvmt

t

=+ ∫r

A integral na equação acima é um vetor conhecido como

impulso linear ou simplesmente IMPULSO da força F, durante o

intervalo de tempo considerado. Expressando F em componentes

cartesianas, tem-se que:

∫=→

2

1

.Imp 21

t

t

dtFr

∫∫∫ ++=→

2

1

2

1

2

1

...Imp 21

t

tz

t

ty

t

tx dtFkdtFjdtFi

rrrrrr

As componentes do impulso da força F são, respectivamente,

iguais às áreas sob as curvas obtidas pelo traçado das componentes

Fx, Fy e Fz em função de t. No caso de uma força F de módulo e

direção constantes, o impulso é representado pelo vetor F(t2-t1), que

tem a mesma direção e sentido que F.

Figura 12 – Componentes do impulso da força F

Usando-se as unidades do S.I., o módulo do Impulso da força é

expresso em N.s, mas recordando a definição de newton, tem-se que;

smkgs

smkgsN .... 2 ==

Quando um ponto material está submetido a uma força F,

durante um intervalo de tempo, a quantidade de movimento final m.v2

do ponto material pode ser obtida adicionando-se vetorialmente à sua

quantidade de movimento inicial m.v1 o impulso da força F durante o

mesmo intervalo de tempo.

2211 .Imp. vmvm =+ →

Figura 13 – Ponto material submetido a uma força F

Enquanto a Energia Cinética e o Trabalho são quantidades

escalares, a Quantidade de Movimento e o Impulso são quantidades

vetoriais. Portanto, para se obter uma solução analítica, é conveniente

considerar as três equações escalares equivalentes:

( ) ( )21 ...2

1

x

t

txx vmdtFvm =+ ∫

( ) ( )21

...2

1

y

t

tyy vmdtFvm =+ ∫

( ) ( )21 ...2

1

z

t

tzz vmdtFvm =+ ∫

Quando várias forças atuam sobre um ponto material, deve-se

considerar o impulso de cada uma das forças. Tem-se, portanto:

2211 .Imp. vmvm =+∑ →

Novamente, a equação obtida representa uma relação entre as

quantidades vetoriais; Na solução real de um problema, consideram-

se as equações escalares em termos das componentes.

Quando um problema envolve dois ou mais pontos, cada um

pode ser considerado separadamente e a equação acima pode ser

escrita para cada ponto material. Pode-se adicionar vetorialmente as

quantidades de movimento de todos os pontos materiais e os

impulsos de todas as forças envolvidas. Assim:

∑∑∑ =+ → 2211 .Imp. vmvm

Como as forças internas entre os pontos materiais formam pares

de forças diretamente opostas e como o intervalo de tempo de t1 a t2 é

comum para todas as forças envolvidas, os impulsos das forças de

ação e reação cancelam-se e, portanto, apenas os impulsos das

forças externas necessitam ser considerados.

Se não se exerce força alguma sobre os pontos materiais, ou

mais geralmente, se a soma das forças externas for zero, o segundo

termo da equação se reduz a:

∑∑ = 21 .. vmvm

Esta equação garante que a quantidade de movimento total dos

pontos materiais se conserva.


9. Movimento Impulsivo

Em alguns casos, uma força muito grande pode atuar sobre um

ponto material, durante um pequeno intervalo e produzir uma

mudança considerável na sua quantidade de movimento. Uma força

desse tipo é chamada de força impulsiva e o movimento resultante, de

movimento impulsivo.

Exemplo: Quando uma bola de beisebol é batida, o contato entre

o bastão e a bola ocorre durante um intervalo de tempo ∆t muito curto,

mas o valor da força F exercida pelo bastão sobre a bola é grande e o

impulso resultante F.∆t é suficientemente grande para mudar o

sentido de movimento da bola.

Figura 14 – Quantidade de movimento e atuação da força F

Quando forças impulsivas agem sobre um ponto material:

21 ... vmtFvm =∆+∑

Qualquer força que não seja impulsiva pode ser desprezada,

pois, o impulso correspondente é muito pequeno. Forças não

impulsivas compreendem o peso do corpo, a força exercida por uma

mola ou qualquer outra força sabidamente pequena se comparada

com uma força impulsiva. Reações desconhecidas podem ou não ser

impulsivas, de modo que, seus impulsos devem ser incluídos caso

não se prove serem despresíveis.

No caso do movimento impulsivo de vários pontos materiais,

pode-se usar a equação:

∑∑∑ =∆+ 21 ... vmtFvm

MOVIMENTO PLANO DOS CORPOS RÍGIDOS- Métodos da Energia e da Quantidade de movimento -

1.Introdução

Neste capítulo são utilizados os métodos do trabalho e energia,

e do impulso e quantidade de movimento, para a análise do

movimento de corpos rígidos.

2. Princípio do Trabalho e Energia para um Corpo Rígido

O método do trabalho e energia é apropriado à solução de

problemas que envolvem velocidades e deslocamentos. Sua

vantagem está no fato de que o trabalho das forças e a energia

cinética dos pontos materiais são grandezas escalares.

Para se aplicar o princípio do trabalho e energia na análise do

movimento de um corpo rígido, considera-se que o corpo rígido é

constituído de um número muito grande n de pontos materiais de

massas ∆mi.

Então, escrevemos:

2121 TTU =+→

• T1 , T2 = valores inicial e final da energia cinética total dos pontos

materiais que formam o corpo rígido;

• U1→2 = Trabalho de todas as forças que agem sobre os vários

pontos materiais do corpo.

A Energia Cinética Total é obtida somando-se grandezas

positivas escalares:

( ) 2

1

.21

i

n

ii vmT ∑

=

∆=

A expressão U1→2 representa o trabalho de todas as forças que

atuam nos pontos materiais do corpo, sejam elas internas ou

externas. No entanto, o trabalho total das forças internas de coesão,

entre os pontos materiais de um corpo rígido, é nulo, conforme

demonstração que se segue.

Considerando-se dois pontos materiais A e B de um corpo rígido

e duas forças opostas F e –F que cada um exerce sobre o outro. Em

geral, os deslocamentos dr e dr’ dos pontos considerados sejam

diferentes, as componentes desses deslocamentos projetados sobre

AB são iguais, caso contrário, A e B não se manteriam a uma

distância fixa e o corpo deixaria de ser rígido.

Figura 15 – Forças internas em um corpo rígido

Portanto, o trabalho de F é igual em módulo e de sinal contrário

ao de –F e sua soma é nula. Logo, o trabalho total das forças internas

que atuam nos pontos materiais de um corpo rígido é nulo, e a

expressão U1→2 se reduz ao trabalho das forças externas que atuam

sobre o corpo durante o deslocamento considerado.

3. Trabalho das Forças que atuam em Corpo Rígido

Conforme visto anteriormente, o trabalho de uma força F durante

o deslocamento de seu ponto de aplicação de A1 para A2 é:

∫ ⋅=→

2

1

21

A

A

rdFU rr

ou

( )∫ ⋅⋅=→

2

1

cos21

s

s

dsFU α

onde F é o módulo da força, α é o angulo que a força faz com a

direção do movimento de seu ponto de aplicação A e s é a variável de

integração que mede a distância percorrida por A ao longo de sua

trajetória.

No cálculo do trabalho das forças externas que atuam num

corpo rígido, convém determinar o trabalho de um binário sem

considerar separadamente o trabalho de cada uma das duas forças

que o formam. Considerem-se as duas forças opostas F e –F, que

formam um binário de momento M e atuam num corpo rígido.

Qualquer deslocamento do corpo transportando A e B,

respectivamente, para A’ e B’’, pode ser dividido em duas partes,

conforme figura abaixo:

Figura 16 – Deslocamento de um corpo rígido

• Parte 1: os pontos A e B tem deslocamentos iguais a dr1 e

• Parte 2: o ponto A’ permanece fixo, enquanto B’ se move para B’’

com um deslocamento dr2, cujo módulo é ds2 = r.dθ.

Na primeira parte do movimento, o trabalho de F é igual em

módulo e de sinal contrário ao de –F, acarretando uma soma nula. Na

Segunda parte do movimento, somente a força F produz trabalho, que

é igual a:

2.dsFdU =

θdFrdU .=

Mas o produto Fr é igual ao módulo do momento M do binário.

Assim, o trabalho de um binário com momento M que atua num corpo

rígido é:

θdMdU .=

onde:

• dθ é o ângulo, expresso em radianos, de que gira o corpo.

O trabalho do binário, durante uma rotação finita do corpo rígido,

é obtido pela integração de ambos os membros da expressão acima,

desde o valor inicial θ1 até seu valor final θ2.

∫=→

2

1

.21

θ

θ

θdMU

Quando o momento M do binário é constante, a fórmula acima

reduz-se a:

( )1221 . θθ −=→ MU


4. Energia Cinética de um Corpo Rígido em MovimentoPlano

Considere-se um corpo rígido de massa m em movimento plano.

Se exprimirmos a velocidade absoluta vi de cada ponto material Pi do

corpo como a soma da velocidade v do centro de massa G do corpo

com a velocidade v’i do ponto material em relação ao sistema Gx’y’

com origem em G e com orientação fixa. A Energia Cinética do

sistema de pontos materiais que formam o corpo rígido pode ser

escrita na forma:

( ) 2

1

2 '.21..

21

i

n

ii vmvmT ∑

=

∆+=

Figura 17 – Velocidade absoluta em um corpo rígido

Mas o módulo v’i da velocidade relativa de Pi é igual ao produto:

ω.'' ii rv =

onde:

• r’i é a distância do ponto material Pi ao eixo que passa por G e é

perpendicular ao plano do movimento e;

• ω é o módulo da velocidade angular do corpo no instante

considerado.

Substituindo v’i na equação, tem-se que:

( ) 2

1

21

2 ..'21..

21

ω∑=

∆+=n

iimrvmT

ou,

A somatória na expressão representa o momento de inércia

I do corpo em relação ao eixo que passa por G, então:

22 ..21..

21

ωIvmT +=

No caso particular de um corpo em Translação, ( )0=ω e a

expressão obtida reduz-se a 2..21 vmT = , enquanto no caso de rotação

baricêntrica ( )0=v tem-se 2..21

ωIT = . Conclui-se que a energia cinética

de um corpo rígido em movimento plano se divide em duas partes:

(1) A energia cinética 2..21 vm associada ao movimento do centro de

massa do corpo;

(2) A energia cinética 2..21

ωI associada à rotação do corpo em torno

de G.

Momentos de Inércia de sólidos comuns

Haste delgada 2

121 mLII zy ==

Placa retangular

( )22

121 cbmIx +=

2

121 mcI y =

2

121 mbIz =

Prisma retangular

( )22

121 cbmIx +=

( )22

121 camI y +=

( )22

121 bamIz +=

Disco fino2

121 mrIx =

2

41mrII zy ==

Cilindro circular2

21maIx =

( )223121 LamII zy +==

Cone circular

2

103 maIx =

+== 22

41

53 hamII zy

Esfera 2

52maIII zyx ===


5. Conservação da Energia

O Trabalho de forças conservativas, como o peso de um corpo

ou a força exercida por uma mola, pode ser expresso como uma

variação da energia potencial.

2121 VVU −=→

Quando um corpo rígido se move soba ação de forças

conservativas, o princípio do trabalho e energia pode ser apresentado

de forma modificada.

2121 TTU =+→

Então, escrevemos:

2211 VTVT +=+

A equação acima mostra que, quando um corpo rígido se move

sob a ação de forças conservativas, a soma das energias cinética e

potencial permanece constante.

Observe-se que, no caso do movimento plano de um corpo

rígido, a energia cinética do mesmo inclui tanto o termo devido à

translação, 2..21 vm , como o termo devido à rotação 2..

21 ωI .

Exemplo:

Considere uma barra delgada AB, de comprimento l e massa m,

cujas extremidades estão ligadas a blocos de massas desprezíveis,

que deslizam ao longo de guias horizontal e vertical. A barra parte do

repouso na posição horizontal sem velocidade inicial. Determine a

velocidade angular da barra depois que a mesma girou de um

ângulo θ.

Resolução:

Sendo nula a velocidade inicial, então:

01 =T

Tomando como referência para medição da energia potencial o

nível da guia na posição horizontal, tem-se que:

01 =V

Após a barra ter girado de um ângulo θ, o centro de gravidade G

da barra está a uma distância θsen..21 l , abaixo do nível de referência,

então:

θsen...21

2 lPV −= θsen....21

2 lgmV −=⇒

Nessa posição, o centro instantâneo de rotação da barra está

localizado em C e que lCG .21

= . Assim:

ω..21

2 lv =

Para o cálculo da energia cinética na posição final desejada:

22

222 ..21..

21 ωIvmT +=

22

22

2 ...121.

21..

21..

21 ωω

+

= lmlmT

22

2

2 .3..

21 ω

=

lmT

Aplicando o princípio da conservação da energia:

2211 VTVT +=+

θω sen....21.

3..

2100 2

2

2

lgmlm−

=+

θω sen....21.

3..

21 2

2

2

lgmlm=

= θω sen.3lg

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

1.Introdução

No cotidiano do mundo moderno nos deparamos com inúmeros

fenômenos físicos associados a vibrações mecânicas e suas

manifestações. Podemos vivenciar a sensação induzida pelo

movimento mecânico de alta freqüência e de pequena amplitude de

deslocamento em aparelhos de uso doméstico, como aparelho elétrico

de barbear, aspirador de pó, secador de cabelo, máquina de lavar

roupa, telefone celular, desagradável em geral, associado a ruído

sonoro e que conduz à fadiga física após certo tempo de exposição.

Em automóveis e outros veículos de transporte sentimos o efeito

dos movimentos e acelerações induzidos, causados pelas

irregularidades nas vias de tráfego. Na indústria, máquinas de

produção de bens são, em geral, compostas por inúmeros eixos e

elementos mecânicos que giram com rotações elevadas e induzem

movimentos vibratórios ao piso das fábricas, as quais são transmitidas

ao corpo dos operadores e às máquinas vizinhas, gerando ruídos

intensos e insuportáveis em caso de longos períodos de exposição.

Dessa forma, na fase de projeto, procura-se antecipar

problemas que possam causar desconforto ou falha prematura de

equipamentos e máquinas através de análise de vibração, eliminando

possíveis fontes de vibrações.

Para tal, utilizam-se componentes isoladores de vibrações,

fabricados a partir de materiais elastoméricos, com propriedades de

amortecimento e rigidez adequados para determinadas aplicações.

Além dos problemas que afetam o conforto e a saúde, a

vibração promove o desgaste prematuro de superfícies em contato,

como o caso de mancais, onde se apoiam eixos e elementos girantes.

Em situações mais drásticas, a vibração pode levar à ruptura

prematura de elementos de fixação e apoio de máquinas, causando

danos materiais e humanos.

Ressalta-se que podem ocorrer falhas em componentes

mecânicos em conseqüência de fadiga de material associada da

cargas dinâmicas moderadas, mas repetitivas, cíclicas e acumuladas,

que tendem a reduzi a duração física dos elementos de máquinas.

Nesses casos, se não for possível eliminar totalmente a

vibração, deve-se ao menos, tentar mantê-la sob controle e, com o

auxílio de planejamento e programação de manutenção apropriados,

antecipar a substituição de componentes antes que as avarias

ocorram.

Assim, a compreensão dos fenômenos vibratórios, associada à

utilização de ferramentas de medidas e instrumentação e à análise

por computador, pode ajudar a melhorar o projeto e a operação de

máquinas, veículos e aparelhos de uso geral sob o ponto de vista da

vibração e do ruído.

2. Definições

Vibração mecânica: Movimento de um ponto material ou de um

corpo que oscila em torno de uma posição de equilíbrio.

A vibração é, geralmente, produzida quando um sistema é

deslocado de sua posição de equilíbrio estável. O sistema tende a

retornar a esta posição sob a ação de forças restauradoras (força

elástica, como no caso de uma massa presa a uma mola, ou força

gravitacional, como no caso do pêndulo). Mas o sistema passa pela

sua posição original com uma certa velocidade que o leva além desta

posição. Como o processo pode se repetir, o sistema mantém-se em

movimento oscilatório ao redor de sua posição de equilíbrio.

Período: Intervalo de tempo necessário para o sistema

completar um ciclo inteiro de movimento;

Freqüência: Número de ciclos por unidade de tempo;

Amplitude: Máximo deslocamento do sistema de sua posição

de equilíbrio.

3. Tipos de vibrações

Vibração livre: Quando o movimento é mantido somente por

forças restauradoras, diz-se que a vibração é livre.

Vibração forçada: Quando uma força periódica é aplicada ao

sistema, o movimento resultante é descrito como uma vibração

forçada.

Vibração não amortecida: Quando o efeito do atrito pode ser

desprezado, diz-se que as vibrações são não amortecidas.

Embora todas as vibrações sejam realmente amortecidas, em

maior ou menor grau, se uma vibração livre é levemente amortecida,

sua amplitude decresce vagarosamente até o movimento cessar. Por

outro lado, o amortecimento pode ser tão grande que impeça qualquer

vibração; o sistema então retorna vagarosamente à sua posição

original.

Vibração forçada amortecida: Uma vibração forçada

amortecida é mantida durante o tempo em que a força periódica que

produz a vibração é aplicada. A amplitude da vibração, entretanto, é

afetada pelo módulo das forças de amortecimento.

VIBRAÇÕES MECÂNICAS

1.Vibrações sem Amortecimento

1.1. Pontos materiais em vibrações livres

Considere-se um corpo de massa m preso a uma mola de

constante k. Quando o ponto material está em equilíbrio estático, as

forças que atuam sobre ele são seu peso P e a força T exercida pela

mola, de módulo estkT δ.= , onde estδ representa a elongação da mola.

Figura 01 - Corpo de massa m preso a uma mola de constante k

Portanto, tem-se que:

estkP δ.= (01)

Supondo que o ponto material é deslocado de uma distância xm

de sua posição de equilíbrio e liberado com velocidade inicial nula. Se

xm for escolhido menor que estδ , o ponto material irá mover-se para

cima e para baixo de sua posição de equilíbrio produzindo-se uma

vibração de amplitude xm.

Figura 02 - Ponto material deslocado de uma distância xm

Para analisar a vibração, considere o ponto material na posição

P em algum instante arbitrário t. Denotando por x o deslocamento OP

medido a partir da posição de equilíbrio O (positivo para baixo),

observa-se que as forças que atuam sobre o ponto material são seu

peso P e a força T exercida pela mola que, nesta posição, tem módulo

).( xkT est += δ .

O módulo da força F resultante das duas forças é:

xkxkPF est .).( −=+−= δ

xkF .−= (02)

Assim, a resultante das forças exercidas sobre o ponto material

é proporcional ao deslocamento OP medido a partir da posição de

equilíbrio. A força F é sempre dirigida para a posição de equilíbrio.

Substituindo-se F na equação fundamental, amF .= e

lembrando que a é a segunda derivada, x&& , de x em relação ao tempo t

escrevemos a equação diferencial linear de segunda ordem:

0.. =+ xkxm && (03)

Dividindo-se os dois lados da equação (03) por m, tem-se que:

mmxk

mxm 0..

=+&&

e obtém-se:

0.=+

mxkx&&

A freqüência angular p é definida por:

mkp =2

(04)

Assim, a expressão (03) pode ser escrita na forma:

0.2 =+ xpx&& (05)

O movimento definido pela equação (05) é denominado

Movimento Harmônico Simples. Caracteriza-se pelo fato de que a

aceleração é proporcional ao deslocamento e de sentido oposto.

As funções ( )ptx sen1 = e ( )ptx cos2 = satisfazem a equação

(05) e, portanto, constituem-se em soluções particulares. A solução

geral da equação (04) é obtida multiplicando-se as soluções

particulares por constantes arbitrárias A e B e adicionando-as:

21 .. xBxAx +=

)cos(.)sen(. ptBptAx += (06)

Derivando-se duas vezes a equação (06), obtém-se,

sucessivamente, a velocidade e a aceleração no instante t:

)sen(..)cos(.. ptpBptpAvx −==& (07)

)cos(..)sen(.. 22 ptpBptpAax −−==&& (08)

Substituindo-se (06) e (08) em (05), verifica-se que a equação

(06) fornece a solução geral da equação (05), devido à presença das

constantes arbitrárias A e B, cujos valores dependem das condições

iniciais do movimento.

Verificação:

0.2 =+ xpx&&

0))cos(.)sen(..()cos(..)sen(.. 222 =++−− ptBptApptpBptpA

0)cos(..)sen(..)cos(..)sen(.. 2222 =++−− ptpBptpAptpBptpA

00 =

Os valores das constantes de integração A e B, na equação (06)

dependem de como a integração teve origem, ou seja, das condições

iniciais do movimento.

Por exemplo, se deslocarmos a massa de uma distância 0xx =

e começarmos a contar o tempo, no instante em que a largamos, as

condições de partida são: Quando 0=t , 0xx = e quando 0=t ,

00 == vx& , pois a velocidade da massa no instante inicial é nula.

Verificação:

Para o Deslocamento: Para a Velocidade:

)cos(.)sen(. ptBptAx +=

)cos(.)(.0 ptBptsenAx +=

)0.cos(.)0.(.0 pBpsenAx +=

)0cos(.)0sen(.0 BAx +=

1.0.0 BAx +=

0xB =

)sen(..)cos(.. ptpBptpAv −=

)sen(..)cos(..0 ptpBptpAv −=

)0.(..)0.cos(..0 psenpBppA −=

)0(..)0cos(..0 senpBpA −=

0..1..0 pBpA −=

0..0 −= pA

0=A

Substituindo-se os valores encontrados, a equação (06) pode

ser escrita na seguinte forma:

)cos(.0 ptxx = (09)

O movimento também pode ser iniciado, dando-se à massa uma

velocidade inicial 0v . Então, as condições iniciais são: Quando 0=t ,

0=x e quando 0=t , 0vx =& .

Verificação:



)cos(.)(.0 ptBptsenA +=

)0.cos(.)0.(.0 pBpsenA +=

)0cos(.)0(.0 BsenA +=

1.0.0 BA +=

0=B


)(..)cos(..0 ptsenpBptpAv −=

)0.(..)0.cos(..0 psenpBppAv −=

)0(..)0cos(..0 senpBpAv −=

0..1..0 pBpAv −=

0..0 −= pAv

pvA 0=



)(.0 ptsenpvx = (10)

Para o caso mais geral, substitui-se 0=t e os valores iniciais

0xx = e 0vx =& do deslocamento e da velocidade em (06) e (07).

Verificação:



)cos(.)sen(.0 ptBptAx +=

)0.cos(.)0.sen(.0 pBpAx +=

)0cos(.)0sen(.0 BAx +=

1.0.0 BAx +=

0xB =



)0.sen(..)0.cos(..0 ppBppAv −=

)0sen(..)0cos(..0 pBpAv −=

0..1..0 pBpAv −=

0..0 −= pAv

pvA 0=



)cos(.)(. 00 ptxptsenpvx += (11)

Por outro lado, A será igual a 0 caso o ponto material seja

deslocado de sua posição de equilíbrio 0=x e liberado em 0=t

com velocidade inicial nula, 00 == vx& , e B será igual a 0 se P parte

de O em t = 0 com determinada velocidade inicial.

Verificação:



0)cos(.)sen(. =+ ptBptA

0)0.cos(.)0.sen(. =+ pBpA

0)0cos(.)0sen(. =+ BA

01.)0.( =+ BA

01. =B

0=B



)0.(..)0.cos(..0 psenpBppA −=

)0(..)0cos(..0 senpBpA −=

0..1..0 pBpA −=

0..0 −= pA

0=A

O movimento harmônico simples de um ponto material P pode

ser obtido, projetando-se em um eixo o movimento de um ponto Q que

descreve uma circunferência circular de raio xm, com uma velocidade

angular constante p. Isto permite que as equações do deslocamento,

da velocidade e da aceleração possam ser escritas de forma mais

compacta, conforme abaixo.

A figura 03 mostra o diagrama deslocamento-tempo. Nela se

observa a ordenada do gráfico representando o deslocamento x e a

abscissa considerada como o eixo do tempo, ou do deslocamento

angular.

Figura 03 – Diagrama deslocamento-tempo

Lembrando que a equação (06), )cos(.)sen(. ptBptAx += , mostra

que o deslocamento OPx = é a soma das componentes na direção x

de dois vetores A e B, pela figura 03 observa-se que:

O módulo do vetor resultante OQ é igual ao deslocamento xm;

φ é o ângulo formado entre os vetores OQ e A;

A partir de tais observações escreve-se que:

OQOPptsen =+ )( φ

)(. φ+= ptsenOQOP (12)

Portanto, substituindo-se OPx = e OQxm = , tem-se que:

)(. φ+= ptsenxx m (13)

Derivando-se duas vezes a equação (13), obtém-se,

sucessivamente, a velocidade e a aceleração no instante t:

)cos(.. φ+== ptpxvx m& (14)

)(.. 2 φ+−== ptsenpxax m&& (15)

Os valores máximos dos módulos da velocidade e da aceleração

são:

pxv mm .= (16)

2.pxa mm = (17)

O valor máximo do deslocamento xm é chamado Amplitude da

vibração.

A velocidade angular p do ponto Q, que descreve a

circunferência auxiliar é chamada de Freqüência Angular ou Pulsação

da vibração é medida em [rad/s].

O ângulo φ que define a posição de Q no círculo é chamado de

Ângulo de fase.

O Período de vibração é definido por τ medido em [s].

pπ

τ2

= (18)

O número de ciclos descritos na unidade de tempo é

representado por f, chamado de Freqüência da vibração, e medido em

Hertz [Hz].

πτ 21 pf == (19)

Hzs601

601 rpm 1 1 == − e rad/s

602 rpm 1 π

=

1.2. Vibrações forçadas

As vibrações mais importantes do ponto de vista da

Engenharia são as vibrações forçadas de um sistema. Essas

vibrações ocorrem, quando o sistema é submetido a uma força

periódica ou quando está elasticamente ligado a um suporte que tem

movimento alternado.

1.2.1. Força periódica

Considere-se inicialmente o caso de um corpo de

massa m suspenso por uma mola e submetido a uma força periódica

F de intensidade )sen(. tFF m ω= . Chamando de x o deslocamento do

corpo medido a partir de sua posição de equilíbrio:

Figura 04 – Sistema submetido a vibração forçada

A equação do movimento será:

amF .=↓⊕ ∑

xmTPtFm &&.)sen(. =−+ω

( ) xmxkPtF estm &&.)sen(. =+−+ δω

Lembrando que estkP δ.= , tem-se que:

xmxkkktF estestm &&....)sen(. =−−+ δδω

xmxktFm &&..)sen(. =−ω

)sen(... tFxkxm m ω=+&& (20)

(equação diferencial não homogênea)

1.2.2. Deslocamento elástico

Considere-se agora o caso de um corpo de massa m

suspenso por uma mola presa a um suporte móvel cujo deslocamento

δ é igual a )sen(. tm ωδδ = . Medindo o deslocamento x do corpo a partir

da posição de equilíbrio estático correspondente a 0=tω , tem-se o

seguinte resultado para a elongação da mola no instante t

( )tx mest ωδδ sen.−+ .

Figura 05 – Suporte de movimento alternado

A equação do movimento será:

amF .=↓⊕ ∑

xmTP &&.=−

( )( ) xmtxkP mest &&.sen.. =−+− ωδδ


( )( ) xmtxkk mestest &&.sen... =−+− ωδδδ

( ) xmtkxkkk mestest &&.sen..... =+−− ωδδδ

( ) xmtkxk m &&.sen... =+− ωδ

( )tkxkxm m ωδ sen.... =+&& (21)

(equação diferencial não homogênea)

As equações (20) e (21) são do mesmo tipo e a solução da

primeira equação satisfará à segunda se colocarmos: mm kF δ.= .

1.2.3. Solução particular

Uma equação diferencial do tipo (20) ou (21) que

possui um segundo membro diferente de zero, é chamada não-

homogênea. Sua solução geral é obtida adicionando-se uma solução

particular da equação dada à solução geral da correspondente

equação homogênea (com o segundo membro igual a zero).

)sen(. txx mpart ω= (22)

)cos(.. txx m ωω=⇒ &

)sen(.. 2 txx m ωω−=⇒ &&

Para a equação (20):

)sen(... tFxkxm m ω=+&&

( ) ( ) )sen(.)sen(..)sen(... 2 tFtxktxm mmm ωωωω =+−

)sen(.)sen(..)sen(... 2 tFtxktxm mmm ωωωω =+−

mmm Fxkxm =+− ... 2ω

mm Fmkx =− )...( 2ω

)..( 2ωmkFx m

m −=

Como mkp =2

, onde p é a freqüência angular da

vibração livre do corpo, dividindo-se o segundo membro da expressão

acima por k, tem-se que:

kmkkF

xm

m 2..ω−=

km

kk

kF

xm

m 2.ω−

=⇒

2

2

1p

kF

xm

m ω−

=⇒

2

1

−

=∴

p

kF

xm

mω (23)

Para (21), de modo análogo, a amplitude máxima da

vibração será:

2

1

−

=

p

kxm

mω

δ

(23´)

A equação homogênea correspondente a equação

(20) ou (21) é a equação (03), que define a vibração livre do corpo.

Sua solução geral, chamada função complementar, foi definida por:

)cos(.)sen(. ptBptAxcomp += (24)

Somando-se a solução particular (22) e a função

complementar (24), obtém-se a solução geral das equações (20) e

(21).

)sen(.)cos(.)sen(. txptBptAx m ω++= (25)

A vibração obtida consiste em duas vibrações

superpostas:

• Os dois primeiros termos em (25) representam a vibração livre do

sistema, também denominada vibração TRANSITÓRIA. A

freqüência desta vibração (freqüência natural) depende apenas da

constante k da mola e da massa m do corpo ( mkp =2 ), sendo que

as constantes arbitrárias A e B, podem ser determinadas a partir

das condições iniciais do movimento;

• O último termo da equação (25) representa a vibração do estado

ESTACIONÁRIO, produzida e mantida pela força que a imprime ou

que é imprimida pelo movimento de um suporte. Sua freqüência é a

freqüência forçada imposta pela força ou pelo movimento do

suporte, de modo que sua amplitude xm depende da razão entre as

freqüências, ou seja, pω , bastando-se observar as equações (23) e

(23´).

• A razão entre a amplitude xm da vibração do estado estacionário e

a deflexão estática kFm causada por uma força de intensidade Fm ou

pela amplitude δm do movimento do suporte é chamada fator de

ampliação:

2m

m

m

1

1x

kFxAmpliação deFator

−

===

pm ωδ (26)

O fator de ampliação versus a razão das freqüências

pω está representado graficamente na figura 06 abaixo:

Figura 07 – Gráfico: Fator de ampliação x a razão das freqüências

• Quando p=ω , amplitude da vibração forçada torna-se infinita.

Diz-se que a força excitadora ou o movimento excitador do suporte

está em ressonância com o sistema dado. Tal situação deve ser

evitada e a freqüência forçada não deve ser escolhida muito

próxima da freqüência natural do sistema;

• Quando p<ω , o coeficiente ( )tωsen é positivo e diz-se que a

vibração forçada está em fase com a força excitadora ou o

movimento excitador do suporte, enquanto que para p>ω , o

coeficiente ( )tωsen é negativo, dizendo-se que a vibração forçada

está em defasagem.

2. Vibrações Amortecidas

Um tipo de amortecimento de especial interesse é o

amortecimento viscoso causado pelo atrito fluido a baixas e

moderadas velocidades. O amortecimento viscoso é caracterizado

pelo fato de que a força de atrito é diretamente proporcional à

velocidade do corpo que se move.

2.1. Vibrações livres amortecidas

Considere-se inicialmente o caso de um corpo de massa m

suspenso por uma mola de constante k e preso ao êmbolo de um

cilindro.

Figura 08 – Sistema submetido à vibração amortecida

O módulo da força de atrito exercida sobre o êmbolo pelo

fluido que o envolve, ou Força de Amortecimento, é igual a

xcFAmort &.= , onde a constante c expressa em (N.s/m) é conhecida

como coeficiente de amortecimento viscoso.

Chamando de x o deslocamento do corpo medido a partir

de sua posição de equilíbrio, a equação do movimento será:

amF .=↓⊕ ∑

xmxcTP &&& .. =−−

( ) xmxcxkP est &&& .. =−+− δ


xmxcxkkk estest &&& ..... =−−− δδ

xmxcxk &&& ... =−−

0... =++ xkxcxm &&& (27) (equação diferencial homogênea de 2ª ordem)

Esta equação diferencial homogênea de 2ª ordem

apresenta uma solução da forma tex λ= . Então, tex λλ=& e tex λλ2=&& .

Substituindo-se a solução e suas respectivas derivadas na

equação (27):

0... =++ xkxcxm &&&

( ) ( ) ( ) 0... 2 =++ ttt ekecem λλλ λλ

( ) 0... 2 =++ kcme t λλλ

Como 0≠teλ , então ( )kcm ++ λλ .. 2 é tratada como

uma equação do 2º grau de raízes:

2

22

44

224

mmc

mc

mmkcc −

±−

=−±−

=λ

mk

mc

mc

−

±

−=

2

22λ (28)

Definindo como coeficiente de amortecimento crítico cc, o

valor de c que anula o radical, tem-se:

02

2

=−

mk

mcc

( ) mk

mcc =2

2

2

( )mkmcc2

2 2=

mkmcc .2=

pmcc .2= (29)

Onde p é a freqüência angular do sistema sem

amortecimento.

Têm-se então, dependendo do valor da constante c, três

casos diferentes de amortecimento:

1. Amortecimento supercrítico: c > cc

Quando c > cc, as raízes λ1 e λ2 são ambas reais e

distintas e a solução geral da equação diferencial (27) é:

tt eBeAx 21 .. λλ += (30)

Neste caso, o movimento não é vibratório. O efeito do

amortecimento é tão forte que quando o bloco é deslocado e

abandonado, ele voltará simplesmente para a sua posição

original sem oscilar (sistema superamortecido).

2. Amortecimento crítico: c = cc

Quando c = cc, as raízes λ1 e λ2 são ambas reais e iguais.

Tem-se:

mc

mc cc

20

2−

=⇒±−

= λλ

mmp22−

=λ p−=∴λ

E a solução geral da equação diferencial (27) é:

pteBtAx −+= ).( (31)

Esta situação é conhecida como amortecimento crítico,

pois ela representa uma condição onde c tem o menor valor

necessário para causar o movimento não oscilatório do sistema.

O bloco deslocado e abandonado retorna à sua posição de

equilíbrio sem oscilar, no menor tempo possível.

3. Amortecimento subcrítico: c < cc

Quando c < cc, as raízes λ1 e λ2 são complexas e

conjugadas e a solução geral da equação diferencial (27) é:

)cos...(.

2 qtBsenqtAext

mc

+=

−

(32)

Onde q é definido pela relação:

22

2

−=mc

mkq

Substituindo 2p

mk= :

2

1

−=

cccpq (33)

Onde a razão c/cc é conhecida como fator de

amortecimento.

Esta situação é conhecida como amortecimento subcrítico

e o movimento resultante é vibratório com amplitude

decrescente, figura 09, de modo que a solução geral pode ser

escrita na forma:

).(..

2 φ+=

−

senqtexxt

mc

m (34)

Figura 09 – Amortecimento subcrítico: Movimento vibratório com amplitude decrescente

2.2. Vibrações forçadas amortecidas

Submetendo-se o bloco ilustrado pela figura 08 a uma

força periódica F de intensidade )sen(. tFF m ω= , a equação do

movimento torna-se:

tsenFxkxcxm m ω.... =++ &&& (35) (equação diferencial não homogênea de 2ª ordem)

A solução particular da equação diferencial de 2ª ordem

não homogênea no estado estacionário é do tipo:

)(. ϕω −= tsenxx mpart

E suas derivadas são representadas por:

)cos(.. ϕωω −= txx m& e

)(... 2 ϕωω −−= tsenxx m&&

Em que:

• φ é o ângulo de fase.

Substituindo a solução particular em (35):

tsenFxkxcxm m ω.... =++ &&&

[ ] [ ] [ ] tsenFtsenxktxctsenxm mmmm ωϕωϕωωϕωω .)(..)cos(...)(.... 2 =−+−+−−

Para os ângulos

0)( =−ϕωt (I)

2)( πϕω =−t (II), tem-se que:

De (I): 0)( =−ϕωt ϕω =⇒ t


[ ] [ ] [ ] ϕωω senFsenxkxcsenxm mmmm .)0(..)0cos(...)0(.... 2 =++−

[ ] [ ] [ ] ϕω senFxkxcm mmm .0..1...0. =++

ϕω senFxc mm ... = (36)

De (II): 2)( πϕω =−t 2

πϕω +=⇒ t


)2

(.)2(..)

2cos(...)

2(.... 2 πϕππωπω +=

+

+

− senFsenxkxcsenxm mmmm

[ ] [ ] [ ] ϕωω cos.1..0...1.... 2mmmm Fxkxcxm =++−

ϕω cos.... 2mmm Fxkxm =+−

ϕω cos.)..( 2mm Fxmk =− (37)

Dividindo-se (36) por (37):

m

m

m

m

xmkxc

FsenF

)..(..

cos..

2ωω

ϕϕ

−=

2..ω

ωϕmkctg−

= (38)

Lembrando que 2pmk= , onde p é a freqüência angular da

vibração não amortecida e que pmcc .2= é o coeficiente de

amortecimento crítico:

2

1

..2

−

=

p

pcc

tg c

ω

ω

ϕ (39)

A equação (39) define a defasagem φ entre a força

excitadora de intensidade )sen(. tFF m ω= ou o movimento excitador

do suporte )(. tsenm ωδδ = e a vibração do estado estacionário do

sistema amortecido em função da razão entre as freqüências pω

e do

fator de amortecimento ccc

.

Por sua vez, elevando-se ao quadrado ambos os membros

das equações (36) e (37) e somando-se, tem-se que:

ϕω 22222 ... senFxc mm = +

ϕω 22222 cos..).( mm Fxmk =−

)cos.(].).().[( 2222222 ϕϕωω +=+− senFxcmk mm

22222 ].).().[( mm Fxcmk =+− ωω

222

22

).().( ωω cmkFx m

m +−=

222 ).().( ωω cmkFx m

m+−

= (40)

Lembrando que 2pmk= , onde p é a freqüência angular da

vibração não amortecida e que pmcc .2= é o coeficiente de

amortecimento crítico:

222

..21

1

+

−

==

pcc

p

xkF

x

c

m

m

m

m

ωωδ (41)

A equação (41) fornece o fator de ampliação kFx

m

m ou m

mxδ

em função da razão entre as freqüências pω

e o fator de

amortecimento ccc

. Ela pode ser empregada para determinar a

amplitude da vibração do estado estacionário produzida por uma força

excitadora de intensidade )sen(. tFF m ω= ou o movimento excitador

do suporte )(. tsenm ωδδ = .

O fator de ampliação está representado graficamente em

função da razão entre as freqüências, na figura 10, para vários valores

do fator de amortecimento. Nela se observa que a amplitude de uma

vibração forçada pode ser mantida pequena pela escolha de um

coeficiente de amortecimento viscoso grande ou mantendo bem

diferentes os valores das freqüências naturais e forçadas.

Figura 10 – Fator de ampliação em sistemas forçados amortecidos

Lista de Exercícios – Dinâmica das MáquinasProf. Ricardo B. Elias

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