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UNIVERSIDADE DO ALGARVE

ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA

Área Departamental de Engenharia Civil

FOLHAS DE PROBLEMAS DAS AULAS

DE

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL

DINÂMICA DE ESTRUTURAS

JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO

FARO 2005/06

COMPLEMENTOS DE ANÁLISE ESTRUTURAL - Dinâmica de Estruturas – 2005/06

- 1 -

1. Considerando o sistema estrutural da figura seguinte:

a) Estabeleça os graus de liberdade dinâmicos, de modo a caracterizar o movimento da massa;

b) Determine a rigidez associada a esses graus de liberdade.

BC

A

EA = GA = ∞6.00

m

EI = 36000 kNm2

EI

3.00 m

2EI

2. Estabeleça a equação de movimento, da viga da figura seguinte (EA=GA =EI= ∞), aplicando:

a) O princípio de D’Alembert;

b) O princípio dos trabalhos virtuais;

c) O princípio da conservação da energia.

BCA

2.00

m

k

4.00 m

3. Determine a equação de movimento do oscilador apresentado na figura seguinte, recorrendo:

a) Ao princípio de D’Alembert;

b) Às equações de Lagrange.

João M. C. Estêvão - EST – Ualg – 2005/06

- 2 -

E

C

D

EA = GA = EI = ∞

1.00 m

m

3k

2.00 m

B

A

Fk

4. Considere a estrutura apresentada em modelo na figura seguinte (EA= GA= EI= ∞). Estabeleça a

equação de movimento com base:

a) No princípio de D’Alembert;

b) Nas equações de Lagrange.

B

D

A

F(t)1.00

k

4.00 m

m (ton./m)

2.00 4.00 m

c

k

E F

C

2.00

5. Considerando o sistema estrutural, não amortecido, representado em modelo na figura seguinte,

determine:

a) A equação de movimento;

b) O período natural de vibração;

c) O deslocamento da massa, 0.7 seg. após a libertação, instantânea, da restrição que impunha um

deslocamento vertical (para cima), no ponto “B”, de 10 cm.

BCA

m

EI

2.00 3.00 m EA = GA = ∞

m = 800 ton.

EI = 156600 kNm2EI


- 3 -

6. Considere o oscilador amortecido da figura seguinte.

a) Estabeleça a equação de movimento;

b) Determine a frequência natural de vibração;

c) Calcule o deslocamento da massa no instante t= 3T, sabendo que o movimento se iniciou em

repouso mas com um deslocamento da massa igual a 0.05 m (para a direita).

3.00

4.00 m

EI

B

C

A

m = 64 ton.

EI = ∞

EI = 90000 kNm2

k = 10000 kN/m

k

ζ = 10 %3.00

EA = GA = ∞

m

7. Considere o sistema dinâmico apresentado em modelo na figura seguinte.

a) Estabeleça a equação de movimento do oscilador;

b) Determine a frequência natural de vibração;

c) Caso o movimento se iniciasse com velocidade igual a 0.5 m/s e com um deslocamento de 2 cm

(para cima), calcule o deslocamento da massa no instante t= 1 segundo.

3.00

EA

B

C D

m = 6 ton.

EI = ∞

c

c = 12 kNs/m

4.00

mEI

A

6.00 m

EA = 420600 kN

EA = GA = ∞

Barra “AB”

Restantes barras

EI = 210300 kNm2


- 4 -

8. Considere o oscilador de um grau de liberdade (inicialmente em repouso) representado em modelo

na figura seguinte.

B DA

2.00 m

mk

C

1.00

c

m = 8 ton.

c = 40 kNs/m

EA = GA = EI = ∞k = 3200 kN/m

2.00

a) Estabeleça a equação de movimento.

b) Calcule o deslocamento vertical do ponto “D” no instante t = 0.5 s, quando a massa apresenta, no

instante inicial, uma velocidade de 1 m/s e um deslocamento de 0.08 m, para baixo.

(1º Teste – 2002/03)

9. Considere o oscilador de um grau de liberdade representado em modelo na figura seguinte (valores iniciais: m 05.0x ; m/s 5.1x )0()0( ==& ).

B

A

3.00 m

C

c m = 7 ton.

c = 5.6 kNs/m

EA = GA = EI = ∞

2.00

x(t)

k

k = 1008 kNm/rad

m


b) Calcule o deslocamento do ponto “B” no instante t = 0.21 segundos.

(Exame de época normal – 2003/04)

10. Dada a estrutura da figura seguinte sujeita a uma força harmónica F(t) = 40⋅cos(ωt) kN, calcule o momento flector no ponto “A” para:

a) t= 0.63890 seg. e t= 8.17889 seg., com ω= 5 rad/s;

b) t= 0.54978 seg. e t= 8.08960 seg., com ω= 20 rad/s.

BA

EA = GA = ∞

F(t) m = 18.125 ton.

m EI = 65250 kNm2

3.00 m

ζ = 10 %


- 5 -

11. Considere o sistema dinâmico de um grau de liberdade (sem amortecimento e, inicialmente, em

repouso ), representado em modelo na figura seguinte.

B

A

y(t)4.00 m

C

2.00F(t)

m = 10 ton.EA = GA = EI = ∞

k = 5000 kN/mk

m

k

a) Estabeleça a equação de movimento segundo o grau de liberdade assinalado.

b) Calcule o deslocamento vertical da massa no instante t = 3.15 s, quando o sistema estrutural é

sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 6⋅cos(11⋅t) kN. (Exame de época de trabalhador estudante – 2002/03)


na figura seguinte.

B

E

A

2.00 m

C

1.00

cm = 20 ton.

c = 70.4 kNs/m

EA = GA = EI = ∞

1.00

D

k2 = 2000 kN/m

F(t)

k1

k1 = 6720 kNm/rad

k2

m


b) Calcule o deslocamento do ponto “D” e o momento flector no ponto “A”, no instante t = 1.02

segundos quando o sistema estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t)=20⋅sen(8t) (kN).



- 6 -

13. Considere o oscilador de um grau de liberdade (inicialmente em repouso e sem amortecimento)

representado em modelo na figura seguinte.

B

A

4.00 m

k C

2.00

F(t)

y(t)

EA = GA = EI = ∞

k = 5000 kNm/rad m2

m1

m2 = 14 ton.

m1 = 9 ton.


b) Calcule, no instante t = 3.43 segundos, o deslocamento e a velocidade do ponto “C”, quando o

sistema estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 1.5⋅sen(6t) kN. (1º Teste – 2003/04)

14. Considere o oscilador de um grau de liberdade (inicialmente em repouso), com 5% de valor de

coeficiente de amortecimento, representado em modelo na figura seguinte.

D

A

x(t)

3.00 m

3m

C

2.00

F(t)

m = 8 ton.EA = GA = EI = ∞

k = 12096 kN/m

m

2.00

2.00

E

B


b) Calcule o deslocamento horizontal do ponto “E” no instante t = 0.83 s, quando o sistema

estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 30⋅sen(9⋅t) kN. (Exame de época especial – 2001/02)


- 7 -

15. Considere o oscilador de um grau de liberdade, representado em modelo na figura seguinte,

inicialmente em repouso.

B

A

2.00 m

E

m1 = 4 ton.

EA = GA = EI = ∞

2.00 F(t) = 35 cos(22t) kN

k2

k2 = 3000 kN/m

m1

1.00

1.00

x(t)

C

m2

m2 = 1.5 ton.

ζ = 5%

k1 = 4000 kNm/rad

D

k1

F(t)


b) Calcule os deslocamentos do ponto “C” e as reacções na mola do ponto “E”, nos instantes

t1=1.25 e t2=3.83 segundos.

(Exame de época de trabalhador estudante – 2004/05)

16. Considere o sistema dinâmico de um grau de liberdade, representado em modelo na figura seguinte.

B

D

A

x(t)

4.00

4.00 m

m

k

C

2.00

c

F(t)

m = 50 ton.

c = 72 kNs/m

EA = GA = EI = ∞k = 1800 kN/m


b) Calcule o deslocamento da massa no instante t = 4.1 s, quando o sistema estrutural é sujeito a uma

força harmónica cujo valor é F(t) = 80⋅sen(8.1t) kN, sabendo que no instante inicial x( ) .0 0 05= m e

& .( )x 0 0 5= − m / s .

(Exame de época de recurso – 2000/01)


- 8 -


repouso ), representado em modelo na figura seguinte.

B

A

x(t)

4.00 m

2m

C

2.00

F(t)

m = 4 ton.EA = GA = EI = ∞

k = 12000 kNm/rad

k = 1650 kN/m

m


b) Calcule o deslocamento horizontal do ponto “C” no instante t = 0.48 s, quando o sistema

estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 25⋅cos(12⋅t) kN. (Exame de época de trabalhador estudante – 2001/02)

18. Considere o oscilador de um grau de liberdade, representado em modelo na figura seguinte,

inicialmente em repouso.

B

A 2.00 m

D

m1 = 12 ton.

EA = GA = EI = ∞

2.25

F(t) = 15 sen(9.8t) kN

k

k = 56889 kN/m

m2

1.00 1.00

x(t)

0.75

C

m1

m2 = 24 ton.

ζ = 2%


b) Calcule os deslocamentos do ponto “D” e os momentos flectores no ponto “B”, nos instantes t1 =

0.81 e t2 = 7.87 segundos.



- 9 -

19. Considere o oscilador de um grau de liberdade, representado em modelo na figura seguinte. No

instante inicial d1 (t=0) = 0.01 m.

B

A

2.00 m

m = 6 ton.

EA = GA = EI = ∞

2.00

F(t) = 40 sen(18t) kN

k2

k2 = 3500 kN/m

1.50

1.50

d1(t)

C

m

ζ = 10%

k1 = 7600 kNm/rad

D

k1

F(t)

2.00 m


b) Calcule o deslocamento segundo o grau de liberdade assinalado e a reacção na mola do ponto

“A”, no instante t = 0.6 segundos.


20. Considere o oscilador de um grau de liberdade, com 10% de valor de coeficiente de

amortecimento, representado em modelo na figura seguinte.

B

C

A

GA = ∞

F(t)

m = 149 ton.

4.00

m

EA = 3000 kN

3.00 m

EA = ∞

EI = 18000 kNm2



- 10 -

b) Calcule o momento flector no ponto “B”, no instante t = 0.8 segundos, quando o sistema

estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 20⋅sen(4t) kN (Exame de época normal – 2001/02)

21. O oscilador de um grau de liberdade da figura seguinte, com amortecimento nulo, é sujeita a uma

força variável no tempo. Calcule o deslocamento da massa nos instantes t= 0.5 s, t= 5 s e t= 8 s.

2.00

B

Cm = 54.4 ton.

2k

k = 500 kN/mmA

4.00 m

EA = GA = EI = ∞

F(t)

k

F(t)

t0 s

50 kN

5 s

22. Considere o oscilador de um grau de liberdade, não amortecido, representado em modelo na figura

seguinte.

B

C

A EA = GA = ∞

F(t)

m = 15 ton.

1

2.60 m2.40

m

90º EI = 41310 kNm2

m

1.80

a) Estabeleça a equação do movimento.

b) Calcule, no instante t = 0.85 segundos, o deslocamento e a velocidade do ponto “B”, segundo a

direcção 1, quando o sistema estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t)=20⋅cos(18t) (em kN), com 0 ≤ t ≤ 0.85 seg.

c) Determine o momento flector no ponto “A”, no instante t = 4.65 segundos, quando o oscilador é

sujeito, após a acção harmónica, a uma força cuja intensidade é representada no gráfico seguinte.

t

F(t)

4.85 s

20 kN

40 kN

0.85 s

(1º Teste – 2000/01)


- 11 -

23. Considere o oscilador de um grau de liberdade, não amortecido, representado em modelo na figura

seguinte.

B C

A

EA = GA = ∞

m = 10 ton.

1

2.00 m1.00

mF(t)

EI = 52920 kNm2

2m

3.00

D

EI = ∞

Barra “AC”

Restantes barras


b) Calcule, no instante t = 0.7 segundos, o deslocamento e a velocidade do ponto “C”, segundo a

direcção 1, quando o sistema estrutural é sujeito a uma força harmónica F(t) = 40⋅cos(8.4t) kN, com 0 ≤ t ≤ 0.7 seg.

c) Determine o momento flector no ponto “A”, no instante t = 0.92 segundos, quando o oscilador é

sujeito, após a acção harmónica, a uma força cuja intensidade é representada no gráfico seguinte.

t

F(t)

1.7 s0 kN

−50 kN

0.7 s

(1º Teste – 2001/02)


na figura seguinte.

B

A

2.00 m

C

1.50

F(t)

d1(t)

EA = GA = EI = ∞

k2 = 1125 kN/m

m2

k1

m2 = 7 ton.

m1 = 4 ton.

2.00 m

k1 = 2000 kNm/rad

k2

m1

1.50


- 12 -


b) Calcule, no instante t = 1.57 segundos, o deslocamento e a velocidade da massa do ponto “C”,

segundo a direcção 1, quando o sistema estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é

F(t)=5⋅cos(8t) kN, com 0 ≤ t ≤ 1.57 seg.

c) Determine o deslocamento da massa do ponto “C, no instante t = 5.34 segundos, quando o

oscilador é sujeito, após a acção harmónica, a uma força cuja intensidade é representada no gráfico

seguinte.

t

F(t)

4.08 s

5 kN

10.02 kN

1.57 s

(1º Teste – 2004/05)


repouso), sujeito a uma força não periódica, como está representado na figura seguinte.

B

A

15.00 m

F(t) m = 781.25 ton.m

t (s)

F(t) (kN)

18 × 10 −36 × 10 −33 × 10 −3

7 × 10 3

4 × 10 3

EA = GA = ∞

EI = 225×106 kNm2

a) Estabeleça a equação de movimento e calcule a frequência natural do oscilador.

b) Determine o deslocamento horizontal da massa nos instantes t = 3×10 −3 s, 6×10 −3 s e 18×10 −3 s. (Exame de época de recurso – 2001/02)


- 13 -

26. Considere o sistema dinâmico, sem amortecimento, sujeito a uma força variável no tempo. Calcule o

deslocamento da massa nos instantes t= 0.8 s, t= 2 s, t= 4 s e t= 5.5 s.

4.00

B C

m = 118.875 ton.

EI = 16000 kNm2

m

A

3.00 m

EIEA = ∞

F(t)F(t)

t0 s

20 kN

4 s2 s

EA = 8000 kNm

D

3.00 m

EA EA

27. Considere a estrutura representada em modelo na figura seguinte.

EA =

C DEI

4.00

3.00 m

3.00 m

m = 14 ton.

EA = GA = ∞

EI = 90000 kNm2

Barra “CE”

Restantes barrasB

A

2

E

EI

EI

EI

0.384

2.00

1

EI

a) Estabeleça a matriz de rigidez associada aos graus de liberdade assinalados, de forma a efectuar a

análise dinâmica da estrutura.

b) Determine as frequências e respectivos modos de vibração.



- 14 -

28. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, foi submetida à acção de um peso P

(originando os seguintes deslocamentos: d1 = −0.0198 m e d2 = 0.005 m) que se soltou

instantaneamente.

2

5m

EA

1

1.00

2.40

3.00 m

m B

C

D

A

m = 8 ton.

EA = 80000 kN

EA = GA =EI = ∞

Barra “CD”

Restantes barrasP

k = 40000 kN/mk

ζ = 10 %

3.20

a) Estabeleça a matriz de rigidez associada aos graus de liberdade assinalados na figura, de forma a

realizar a análise dinâmica da estrutura.

b) Calcule as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da equação

característica.

c) Determine os deslocamentos d1 e d2, 0.4 segundos após o peso se ter soltado.

(1º Teste – 2000/01)

29. A estrutura representada em modelo na figura seguinte foi submetida às seguintes condições iniciais:

d1 = 0 m e d2 = −0.01 m (velocidades nulas).

a) Determine as matrizes de massa e de rigidez associadas aos graus de liberdade assinalados.


característica.

c) Determine os deslocamentos d1 e d2, no instante t = 0.75 segundos, considerando um coeficiente

de amortecimento modal de 10%. 2

1

m2

k2 = 3000 kN/m

m1

k1

k2

k1 = 8000 kNm/rad

m2 = 20 ton.

m1 = 30 ton.

C

B

A

2.00

2.00

EA = GA = EI = ∞

(1º Teste – 2003/04)


- 15 -


d1 = −7.21988×10−3 m e d2 = 10.54852×10−3 m (velocidades nulas).

2

1

m2

m1

m2 = 20 ton.

m1 = 60 ton.

D

B

A

4.00

2.00 3.00 m 1.50 2.00

E C

GA = ∞

EA = 15000 kN

EA = ∞

Barra “AB”

Restantes barras

EI = 9000 kNm2

EI = ∞

Barra “DE”

Restantes barras

a) Determine as matrizes de massa e de rigidez associadas aos graus de liberdade assinalados.


característica.

c) Determine os deslocamentos d1 e d2, no instante t = 0.39 segundos, considerando um coeficiente

de amortecimento modal de 2%.

(1º Teste – 2004/05)


d1 = 0.04167 m e d2 = −0.19583 m. 2

4m1

4.00

6.00 m

m

B C D

A

m = 6 ton.

EIEA

3.00

EA = 27000 kN

GA = ∞

EI = 96000 kNm2

EIEA = ∞

EA=EI = ∞ EA=EI = ∞


- 16 -

a) Atendendo aos graus de liberdade assinalados, estabeleça o sistema de equações do movimento,

considerando o amortecimento nulo.


característica.

c) Determine os deslocamentos d1 e d2, no instante t = 0.9 segundos, considerando um coeficiente de

amortecimento modal de 10%.

(1º Teste – 2001/02)

32. Considere o oscilador representado em modelo na figura seguinte.

2

6m

1

EA2.40

1.803.20 m

EI

m

B

CA

m = 10 ton.

EI = 128000 kNm2

EA = 4800 kN

EA = GA = ∞

Barra “BC”

Restantes barras

F(t)

90º

a) Atendendo aos graus de liberdade assinalados, estabeleça o sistema de equações do movimento

admitindo amortecimento nulo.

b) Determine as frequências naturais do oscilador e respectivos modos de vibração, a partir da

equação característica.

c) Calcule, no instante t = 7.2 segundos, o momento flector no ponto “A”, quando o sistema

estrutural é sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 50⋅cos(12t) kN. (Exame de dirigentes associativos – 2000/01)

33. A estrutura representada em modelo na figura seguinte, é constituída por dois corpos rígidos, não

apresentando qualquer tipo de amortecimento.

21

m2

k2 = 60 kN/m m1 F(t)

k1

k2

k1 = 2400 kN/m

m2 = 12 ton.

m1 = 120 ton.


- 17 -

a) Atendendo aos graus de liberdade assinalados, estabeleça o sistema de equações do movimento.


característica.

c) Determine os deslocamentos d1 e d2, no instante t = 5.9 segundos, quando o sistema dinâmico é

sujeito a uma força harmónica cujo valor é F(t) = 100⋅sen(4⋅t) kN, sabendo que, no instante inicial, o deslocamento de ambas as massas é de 0.04 m (para a direita), com velocidades nulas.

d) Calcule a frequência fundamental pelo método de Rayleigh simplificado.

(1º Teste – 2002/03)

34. Considerando as seguintes matrizes de massa e flexibilidade:

[ ]m =

50 0

0 20 (ton.) [ ]f =

−−

× −2 5 0 5

0 5 110 4. .

. (m/kN)

a) Determine as configurações e os períodos naturais de vibração pelo método de Stodola;

b) Determine a frequência fundamental pelo método de Rayleigh simplificado.

(Exame de época de trabalhador estudante – 2000/01)

35. Considerando as seguintes matrizes de massa e flexibilidade:

[ ]m =

6 0

0 14 (ton.) [ ]f =

−−

× −3 4

4 2010 4 (m/kN)

a) Determine as frequências e as configurações dos modos de vibração pelo método de Stodola

(garanta a estabilidade de cinco casas decimais);

b) Calcule a frequência fundamental pelo método de Rayleigh simplificado.

(1º Teste – 2001/02)

36. Dadas as seguintes matrizes de massa e flexibilidade:

[ ]

=

5000

0100

0010

m (ton.) [ ] 410

5.12200

20344

044

f −×

= (m/kN)

a) Determine as configurações e as frequências dos modos de vibração pelo método de Stodola.


- 18 -

b) Determine a frequência fundamental pelo método de Rayleigh simplificado.


37. Com base nos seguintes dados:

[ ]

=

1000

0200

0020

m (ton.) ; [ ]

=

01.0012.0008.0

006.0012.0008.0

004.0008.001.0

D ; { } 31 10

24051.172

35959.145

47866.118−×

=φ

a) Calcule a frequência e a configuração do 2º modo de vibração pelo método de Stodola (garanta a

estabilidade de cinco casas decimais).

b) Atendendo às propriedades de ortogonalidade dos modos de vibração, determine a configuração

do 3º modo.

(1º Teste – 2002/03)

38. Com base nos seguintes dados:

[ ]

=

500

0200

00100

m (ton.) ; [ ]

−−−−−

−−=

005.0016.004.0

004.0016.002.0

002.0004.005.0

D ; { }

=

0.67541-

0.46488

1

1v

a) Calcule a frequência e a configuração do 2º modo de vibração pelo método de Stodola (garanta a

estabilidade de três casas decimais).

b) Atendendo às propriedades de ortogonalidade dos modos de vibração, determine a configuração

do 3º modo.

(1º Teste – 2003/04)


- 19 -

SOLUÇÕES:

Nota: Os resultados estão apresentados com cinco casas decimais, no entanto os cálculos foram

efectuados com todas as casas decimais que os meios de cálculo permitiram. Tendo em conta a

possibilidade de existirem resultados incorrectamente transcritos para o texto, os alunos devem atender

a essa possibilidade nos seus estudos, tirando dúvidas com o docente da disciplina sempre que não

consigam chegar ao resultado apresentado.

1.

a) Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “C”.

b) k = 2000 kN / m

2. Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “C”.

a) b) c) m y k yt t⋅ + ⋅ =&&( ) ( )4 0

3. Grau de liberdade: deslocamento horizontal do ponto “F”.

a) b) m xk

xt t⋅ + ⋅ =&&( ) ( )40

4. Grau de liberdade: rotação do ponto “B”.

a) b) 8548

5m c k Ft t t t⋅ + ⋅ + ⋅ = −&& &( ) ( ) ( ) ( )θ θ θ

5. Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “B”.

a) 800 65250 0⋅ + ⋅ =&&( ) ( )y yt t

b) T = 0 69572. s

c) y( . ) .0 7 0 10= m (para cima)

6. Grau de liberdade: deslocamento horizontal do ponto “C”.

a) 64 128 6400 0⋅ + ⋅ + ⋅ =&& &( ) ( ) ( )x x xt t t

b) f = 159155. Hz

c) x T( . ) .3 188496 0 00749= = m (para a direita)


- 20 -

7. Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “D”.

a) 6 12 2400 0⋅ + ⋅ + ⋅ =&& &( ) ( ) ( )y y yt t t

b) f = 318310. Hz

c) y(1) .= 0 01181 m (para cima)

8. Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “D”.

a) 8 14 4 512 0⋅ + ⋅ + ⋅ =&& . &( ) ( ) ( )y y yt t t

b) y( . ) .0 5 0 09794= − m (para cima)

9.

a) 0x252x6.12x7 )t()t()t(

=⋅+⋅+⋅ &&&

b) m 21752.0x )21.0( = (para a direita)

10. Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “B”.

a) y y yt T t P(t( . ) ( ) ) . . .= = + = − − = −0 68898 0 00164 0 00588 0 00752 m (para cima)

MA t( . ) .= =0 68898 163 59 kNm

y y yt T t P(t( . ) ( ) ) . .= = + = − = −8 17880 0 0 00588 0 00588 m (para cima)

MA t( . ) .= =8 17880 127 82 kNm

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

b) y y yt T t P(t( . ) ( ) ) . . .= = + = − = −0 54978 0 00922 0 02759 0 01837 m (para cima)

MA t( . ) .= =0 54978 399 49 kNm

y y yt T t P(t( . ) ( ) ) . .= = + = − = −8 08960 0 0 02759 0 02759 m (para cima)

t

MA (t)


- 21 -

MA t( . ) .= =8 08960 600 00 kNm

0 0.5 1 1.5 2

11.

a) 10 1000 0 8⋅ + ⋅ = ⋅&& .( ) ( ) ( )y y Ft t t

b) y( . ) .3 15 0 04554= m (para baixo)

Batimento:

0 2 4 6 8 10 12

12.

a) 80 158 4 9680⋅ + ⋅ + ⋅ =&& . &( ) ( ) ( ) ( )x x x Ft t t t

b) x x xT P( . ) ( . ) ( . ) .102 102 10235 3346 10= + = × −

m (para a direita)

t

y (t)

t

MA (t)


- 22 -

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

kNm 96.8M )02.1t(A ==

13.

a) )t()t()t( Fy625y25

−=⋅+⋅ &&

b) m 1087645.11y 3)43.3(

−×= (para baixo)

14.

a) )t()t()t()t( Fx2016x75879.23x28

=⋅+⋅+⋅ &&&

b) m 01921.0x )83.0( −= (para a esquerda)

15.

a) )t()t()t()t( Fx1000x5x5.2 =⋅+⋅+⋅ &&&

b) m 18159.014140.004019.0x )25.1( =+= (para a direita)

m 14710.014716.000006.0x )83.3( =+−= (para a direita)

kN 38.272R )25.1( HE

= ; kN 64.220R )83.3( HE

=

16.

a) 100 36 8100⋅ + ⋅ + ⋅ =&& &( ) ( ) ( ) ( )x x x Ft t t t

b) m 10508.005104.005404.0x )1.4( =+= (para a direita)

17.

a) )t()t()t( Fx4800x14 −=⋅+⋅ &&

t

x (t) x P (t)

x T (t)


- 23 -

b) m 1054950.11077866.71071638.7x 233)48.0(

−−− ×=×−×−= (para a esquerda)

18.

a) )t()t()t()t( Fx8428x08.24x43 −=⋅+⋅+⋅ &&&

b) m 1036038.51048304.31087734.1x 333)81.0(

−−− ×−=×−×−= (para a esquerda)

m 1049963.31046636.31003327.0x 333)87.7(

−−− ×−=×−×−= (para a esquerda)

kNm 53.135M )81.0( B

−= ; kNm 48.88M )87.7( B

−=

19.

a) )t()t(1)t(1)t(1 Fd1728d8.28d12

=⋅+⋅+⋅ &&

b) m 03284.001799.001485.0d )6.0(1

=+= (sentido positivo de d1)

kN 41.32R )6.0( HA

=

20. Grau de liberdade: deslocamento vertical do ponto “A”.

a) )t()t()t()t( Fy2384y2.119y149

=⋅+⋅+⋅ &&&

b) m 01131.004187.003056.0y )8.0( =+−= (para cima)

kNm 88.67M )08( B

=

21. y( . ) .0 5 0 044721= m (para baixo)

y( ) .5 0 02333= − m (para cima)

y( ) .8 0 02283= − m (para cima).

22.

a) 20 4 4590 0 61 1. && .( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ = ⋅d d Ft t t

b) d1 0 85 0 00584 0 00545 0 01130

m( . ) . . .= + = (sentido positivo de d1)

& . . .( . )d1 0 85 0 01627 0 04243 0 02616

m / s= − + =

c) m 01365.000273.001093.0d )65.4(1

=+=

MA kNm( . ) .4 65 187 99= −


- 24 -

23.

a) 30 58801 1⋅ + ⋅ =&&( ) ( ) ( )d d Ft t t

b) d1 0 72 2 20 98897 10 0 97770 10 196667 10

m( . ) . . .= × + × = ×− − − (para a direita)

& . . .( . )d1 0 725 45356 0 03503 195043 10

m / s= − + = − × −

c) MA kNm( . ) .0 92 61515=

24.

a) )t()t(1)t(1 Fd2000d20

=⋅+⋅ &&

b) m 1088853.131094430.61094422.6d 333)57.1(1

−−− ×=×+×= (sentido positivo de d1)

m/s 1090692.01035392.01055300.0d 333)57.1(1

−−− ×=×+×=&

c) m 1039904.16d 3)34.5(1

−×= (sentido positivo de d1)

25.

a) 78125 200000. &&( ) ( ) ( )⋅ + ⋅ =x x Ft t t

b) x( )

.3 10

53 134385 10×

−− = × m (para a direita)

x( )

.6 10

53 9 40320 10×


x( )

.18 10

33 112387 10×


26. x( . ) .0 8 0 02101= m (para a direita)

x( ) .2 0 01205= m (para a direita)

x( ) .4 0 01137= m (para a direita)

x( . ) .5 5 0 01218= m (para a direita).

27.

a) [ ]

=

45009000

900028000k (kN/m)

b) f1 161930= . Hz ; { } { }vT

1 0 33897 1= − .

f2 7 49536= . Hz ; { } { }vT

2 1 0 33897= .


- 25 -

28.

a) [ ]

=

297007500

75002500k (kN/m)

b) ω1 7 50497= . rad / s ; { } { }φ1 0 30169 0 08244= −. . T

ω2 3160183= . rad / s ; { } { }φ2 018434 0 13492= . . T

c) m 01385.0d )4.0(1 = (para cima)

m 00390.0d )4.0(2 −= (para a baixo)

29.

a) [ ]

=

200

030m (ton.) ; [ ]

−

−=

30006000

600014000k (kN/m)

b) rad/s 08248.41 =ω ; { } { }T1 19640.008729.0=φ

rad/s 49490.242 =ω ; { } { }T2 0.1069016036.0 −=φ

c) m 1091877.2d 3)75.0(1

−×= (para a direita)

m 1031315.5d 3)75.0(2

−×= (para a direita)

30.

a) [ ]

=

200

060m (ton.) ; [ ]

=

30804500

450013500k (kN/m)

b) rad/s 40492.71 =ω ; { } { }T1 17774.007834.0−=φ

rad/s 00464.182 =ω ; { } { }T2 .13568010262.0=φ

c) m 1002141.4d 3)39.0(1

−×= (para a cima)

m 1094468.12d 3)39.0(2

−×−= (para a esquerda)

31.

a)

=

+

0

0

d

d

7501125

11255.5287

d

d

60

05.43

2

1

2

1

&&

&&

b) ω1 7 32248= . rad / s ; { } { }φ1 010853 0 28508= − . . T

ω2 13 89003= . rad / s ; { } { }φ2 010588 0= . .29223 T

c) d1 0 9 0 02506

m( . ) .= (para a direita)


- 26 -

d2 0 9 0 09004

m( . ) .= − (para baixo)

32.

a)

⋅−=

+

)t(2

1

2

1

F75.0

0

d

d

118751200

1200576

d

d

75.930

010

&&

&&

b) ω1 6 31647= . rad / s ; { } { }φ1 0 28819 0 04251= −. . T

ω2 12 01536= . rad / s ; { } { }φ2 013017 0 09412= . . T

c) d1 7 2 0 14547 0 00775 013772

m( . ) . . .= − = (para a direita)

d2 7 2 0 10490 0 00558 0 09932

m( . ) . . .= − = (para cima)

MA kNm( . ) .7 2 2979 58=

33.

a)

=

−

−+

0

F

d

d

6060

602460

d

d

120

0120 )t(

2

1

2

1

&&

&&

b) rad/s 20008.21 =ω ; { } { }T1 28721.000917.0=φ

rad/s 54529.42 =ω ; { } { }T2 02900.009083.0 −=φ

c) m 33322.033605.000283.0d )9.5(1 −=−= (para a esquerda)

m 19597.010730.008868.0d )9.5(2 =+= (para a direita)

d) ω1 2 90676= . rad / s

34.

a) { } { }T1 23293.01v −= ; rad/s 86208.81 =ω ; s 70900.0T1 =

{ } { }T2 109317.0v = ; rad/s 78882.232 =ω ; s 26412.0T2 =

b) ω1 9 24011= . rad / s

35.

a) { } { }T1 0.2647805553.0−=φ ; Hz 94270.0f1 =

{ } { }T2 .03635040445.0=φ ; Hz 41979.4f2 =

b) Hz 95805.0f1 =


- 27 -

36.

a) { } { }T1 61073.0104384.0v = ; rad/s 24020.31 =ω

{ } { }T2 18719.052777.01v −= ; rad/s 79202.122 =ω

{ } { }T3 31566.0182322.0v −−= ; rad/s 11923.343 =ω

b) rad/s 24193.31 =ω

37.

a) { } { }T2 108464.083072.0v −= ; rad/s 12748.152 =ω

b) { } { }T3 115.0v −=

38.

a) { } { }T2 182088.004255.0v −= ; rad/s 10022.72 =ω

b) { } { }T3 128884.006063.0v −=

dinÂmica de estruturas - w3.ualg.ptw3.ualg.pt/~jestevao/caefolhasd05_06.pdf · complementos de...

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