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Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas

Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor

Prof. Ricardo R. Fragelli

Setembro, 2004

Mecânica Geral – Esforços Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli

DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA

• Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em toda a barra.Veja:

aCorte a-a:

F FF FA A’ A’ B

aF FA BA’

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• Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão sempre submetidos somente a forças axiais.

• Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a carregamentos não axiais.

• Considere a viga seguinte:

a

A’F2 F3

F4

aA BF1 F5



• Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante.

• Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular ao plano xy).

F1A A’

F2 VN

M

BA’F3

F5

F4

MN

V

a

a

F1A BA’

F2 F3

F5

F4



• As reações N, V e M são explicadas a seguir:– N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou

compressão do elemento;– V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte”

da viga;– M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga.

• Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor.



• Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.

• (i) Força cisalhante (V>0)

a

A’

Análise do lado esquerdo, V para cima

A V A’

VAnálise do lado esquerdo, V para baixo

B

aA BA’

Corte a-a:



• Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.

• (ii) Momento fletor (M>0)

a

A’AM

A’ BM

aA BA’

Corte a-a:

Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo



• Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso estudo.

• No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga.



Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.

a

A EB10N

b

b

DC

5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m

a




5N

a

a

A EB10N

b

b

DC

1,0m 1,0m 1,0m 1,0m 5N

A BV

N

M5N

A DV

N

M5N

10NC

Corte a-a: Corte b-b:

Análise de Equilíbrio do corte a-a:

∑ Fx=0 → N=0

∑ Fy=0 → V=5N

∑ MB=0 → M=5N.m




5N

a

a

A EB10N

b

b

DC

1,0m 1,0m 1,0m 1,0m 5N

A BV

N

M5N

A DV

N

M5N

10NC

Corte a-a: Corte b-b:

Análise de Equilíbrio do corte b-b:

∑ Fx=0 → N=0

∑ Fy=0 → V=-5N

∑ MD=0 → M=-5N.m



• Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas(e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga.

• Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento binário).

• É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da representação gráfica do problema (desenho da viga).



Exemplo 2) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:

A C10N

B

5N 2,0m 2,0m 5N

Existem duas regiões de corte, uma entre os pontos A e B e outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funções para V(x) e duas para M(x).



Exemplo 2)

A

5N

C10N

B

5N2,0m 2,0m

Primeiro corte: (a-a) a

ax

A A’V

N

M5N x



Exemplo 2)

A A’V

N

M5N x


* Válido para (0<x<2)

∑ Fx=0 → N=0

∑ Fy=0 → V=5N

∑ MA’=0 → M=5x



Exemplo 2)

A

5N

C10N

B

5N2,0m 2,0m

b

bx

A B’V

N

M5N

10NB

x

Segundo corte: (b-b)



Exemplo 2)

A B’V

N

M5N

10NB

x


* Válido para (2<x<4)

∑ Fx=0 → N=0

∑ Fy=0 → V(x)=-5N

∑ MA’=0 → M(x)=-5x+20



Exemplo 2)Diagramas de V e M: A C

10NB

5N 5N2,0m 2,0m

2.0 4.0

x [m]

V [N] M [N.m]5.0

10.0

4.0 x [m]2.0

-5.0



• Existe uma relação diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstrá-la agora.

• Considere uma seção de uma viga sujeita a um carregamento distribuído w(x):

a

a

A BA’ b

b

B’

w(x)

V(B)

N(B)

M(B)

N(A)

V(A)

M(A)

∆x



• Fazendo dois cortes em A’ e B’, distanciados em ∆x, podemos estudar o comportamento de V(x) e M(x) sob a ação do carregamento distribuído w(x). Considerando ∆x suficientemente pequeno, podemos considerar a variação do carregamento desprezível.

a

a

A BA’ b

b

B’

w(x)

V(B)

N(B)

M(B)

N(A)

V(A)

M(A)

∆x



• Fazendo o estudo de equilíbrio da viga restante (lembrando que ∆x étão pequeno quanto se queira), seção entre A’ e B’, temos que:

Análise de Equilíbrio:

∑ Fx=0 → N(x+∆x)=N(x)

∑ Fy=0 → V(x +∆x)-V(x)=-w(x) ⋅∆x

∑ MB’=0 → M(x +∆x)-M(x)=V(x) ⋅∆xB’V(x+∆x)

N(x+∆x)

M(x +∆x)∆x

w(x)

A’N(x)

M(x)Fazendo ∆x → 0, temos que

V’(x) = -w(x) e M’(x) = V(x)

Por outro lado, integrando em relação a x entre A e x:

V(x) = V(A) - ∫ w(x) dx

M(x) = M(A) + ∫ V(x) dx

x

Ax

A

V(x)



Exemplo 3) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:

20N/m

Ay

A B

By10m

Existe apenas uma região de análise, portanto, existe apenas uma função para V(x) e uma para M(x).



Exemplo 3)

20N/m

Ay

A B

By10m

Antes de encontrar as equações para V(x) e M(x), devem ser calculadas as reações Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuída em uma força concentrada aplicada no centróide de área do carregamento. Neste caso, a figura é um retângulo e, portanto, a força resultante é igual a sua área, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.



Exemplo 3)

20N/m

100N 100N10m

A B

Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.



Exemplo 3)

20N/m

100N 100N10m

Como w(x)=20, temos que:

V(x) = V(A) - ∫ w(x) dx → V(x) = 100 - 20x

M(x) = M(A) + ∫ V(x) dx → M(x) = 100x - 10x2

x

A

x

A

0

A B



Exemplo 3)Diagramas de V e M:

100

5.0 10.0

x [m]

V [N]

250

5.0 10.0 x [m]

M [N.m]

A B

20N/m

100N 100N10m

M(x) = 100x - 10x2V(x) = 100 - 20x

-100


Para complementar o estudo, não deixe de acessar as aulas interativas em Flash.

O conteúdo mostrado aqui é suficiente para resolver os problemasreferentes a este assunto, contudo, depende do aluno não limitar o seu conhecimento a isto. Foram colocados textos e artigos mais

aprofundados no assunto, bem como possíveis paradoxos e desafiosque serão discutidos no Fórum. Para testar o seu potencial de

resolução faça os exercícios da lista.


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Prof. Ricardo R. Fragelli(dúvidas? [email protected])

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