Mecânica Geral – Esforços Internos em Vigas
Diagramas de Força Cisalhante e Momento Fletor
Prof. Ricardo R. Fragelli
Setembro, 2004
Mecânica Geral – Esforços Internos em VigasProf. Ricardo R. Fragelli
DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
• Ao analisar as forças atuantes nos elementos de uma treliça, verificamos, através do método das seções, que as forças são axiais em toda a barra.Veja:
aCorte a-a:
F FF FA A’ A’ B
aF FA BA’
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DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
• Nos elementos de uma estrutura qualquer, os pontos internos não estão sempre submetidos somente a forças axiais.
• Estudaremos a seguir os esforços internos em uma viga submetida a carregamentos não axiais.
• Considere a viga seguinte:
a
A’F2 F3
F4
aA BF1 F5
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DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
• Ao fazermos o corte a-a devemos adicionar as reações que a parte da viga secionada realizava sobre a viga restante.
• Em geral, a viga secionada resiste à translação em x e y, além de resistir a uma tendência de rotação em relação ao eixo z (perpendicular ao plano xy).
F1A A’
F2 VN
M
BA’F3
F5
F4
MN
V
a
a
F1A BA’
F2 F3
F5
F4
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DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
• As reações N, V e M são explicadas a seguir:– N é conhecida como força normal ou axial e é responsável pela tração ou
compressão do elemento;– V é a força cortante ou cisalhante, responsável pela tendência de “corte”
da viga;– M é conhecido como momento fletor e é responsável pela flexão da viga.
• Em geral, os esforços V e M são mais importantes no projeto de uma estrutura do que N. Basta imaginar uma régua, você conseguiria quebrá-la por tração? Para quebrar a régua, basta entortá-la. Nesse caso, dizemos que a régua quebrou devido ao momento fletor.
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DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
• Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
• (i) Força cisalhante (V>0)
a
A’
Análise do lado esquerdo, V para cima
A V A’
VAnálise do lado esquerdo, V para baixo
B
aA BA’
Corte a-a:
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• Convenciona-se adotar os seguintes sentidos positivos para V e M.
• (ii) Momento fletor (M>0)
a
A’AM
A’ BM
aA BA’
Corte a-a:
Análise do lado esquerdo, V para cima Análise do lado esquerdo, V para baixo
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• Como dito anteriormente, no projeto de uma viga, as forças cisalhantes e momentos fletores são geralmente mais importantes que as forças axiais e, portanto, estes serão os objetos de nosso estudo.
• No exemplo seguinte, vamos calcular os valores de V e M em pontos específicos de uma viga. Em seguida, vamos introduzir o estudo do comportamento de V e M ao longo de uma viga.
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DIAGRAMAS DE FORÇA CISALHANTE E MOMENTO FLETOR – AULA TEÓRICA
Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
a
A EB10N
b
b
DC
5N 5N1,0m 1,0m 1,0m 1,0m
a
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Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
5N
a
a
A EB10N
b
b
DC
1,0m 1,0m 1,0m 1,0m 5N
A BV
N
M5N
A DV
N
M5N
10NC
Corte a-a: Corte b-b:
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
∑ Fx=0 → N=0
∑ Fy=0 → V=5N
∑ MB=0 → M=5N.m
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Exemplo 1) Calcule V e M nos pontos B e D.
5N
a
a
A EB10N
b
b
DC
1,0m 1,0m 1,0m 1,0m 5N
A BV
N
M5N
A DV
N
M5N
10NC
Corte a-a: Corte b-b:
Análise de Equilíbrio do corte b-b:
∑ Fx=0 → N=0
∑ Fy=0 → V=-5N
∑ MD=0 → M=-5N.m
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• Visto que o cálculo de V e M é fundamental para o projeto de vigas(e todo tipo de estrutura ou elemento que contenha carregamento transversal), deve-se estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga.
• Para realizar esse estudo, basta que se faça cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga. Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento (força concentrada, carga distribuída ou momento binário).
• É conveniente fazer os gráficos de V e M logo abaixo da representação gráfica do problema (desenho da viga).
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Exemplo 2) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:
A C10N
B
5N 2,0m 2,0m 5N
Existem duas regiões de corte, uma entre os pontos A e B e outra entre B e C. Teremos, portanto, duas funções para V(x) e duas para M(x).
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Exemplo 2)
A
5N
C10N
B
5N2,0m 2,0m
Primeiro corte: (a-a) a
ax
A A’V
N
M5N x
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Exemplo 2)
A A’V
N
M5N x
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
* Válido para (0<x<2)
∑ Fx=0 → N=0
∑ Fy=0 → V=5N
∑ MA’=0 → M=5x
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Exemplo 2)
A
5N
C10N
B
5N2,0m 2,0m
b
bx
A B’V
N
M5N
10NB
x
Segundo corte: (b-b)
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Exemplo 2)
A B’V
N
M5N
10NB
x
Análise de Equilíbrio do corte a-a:
* Válido para (2<x<4)
∑ Fx=0 → N=0
∑ Fy=0 → V(x)=-5N
∑ MA’=0 → M(x)=-5x+20
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Exemplo 2)Diagramas de V e M: A C
10NB
5N 5N2,0m 2,0m
2.0 4.0
x [m]
V [N] M [N.m]5.0
10.0
4.0 x [m]2.0
-5.0
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• Existe uma relação diferencial entre V(x) e M(x), vamos demonstrá-la agora.
• Considere uma seção de uma viga sujeita a um carregamento distribuído w(x):
a
a
A BA’ b
b
B’
w(x)
V(B)
N(B)
M(B)
N(A)
V(A)
M(A)
∆x
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• Fazendo dois cortes em A’ e B’, distanciados em ∆x, podemos estudar o comportamento de V(x) e M(x) sob a ação do carregamento distribuído w(x). Considerando ∆x suficientemente pequeno, podemos considerar a variação do carregamento desprezível.
a
a
A BA’ b
b
B’
w(x)
V(B)
N(B)
M(B)
N(A)
V(A)
M(A)
∆x
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• Fazendo o estudo de equilíbrio da viga restante (lembrando que ∆x étão pequeno quanto se queira), seção entre A’ e B’, temos que:
Análise de Equilíbrio:
∑ Fx=0 → N(x+∆x)=N(x)
∑ Fy=0 → V(x +∆x)-V(x)=-w(x) ⋅∆x
∑ MB’=0 → M(x +∆x)-M(x)=V(x) ⋅∆xB’V(x+∆x)
N(x+∆x)
M(x +∆x)∆x
w(x)
A’N(x)
M(x)Fazendo ∆x → 0, temos que
V’(x) = -w(x) e M’(x) = V(x)
Por outro lado, integrando em relação a x entre A e x:
V(x) = V(A) - ∫ w(x) dx
M(x) = M(A) + ∫ V(x) dx
x
Ax
A
V(x)
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Exemplo 3) Faça os diagramas de força de cisalhamento e momento fletor da viga abaixo:
20N/m
Ay
A B
By10m
Existe apenas uma região de análise, portanto, existe apenas uma função para V(x) e uma para M(x).
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Exemplo 3)
20N/m
Ay
A B
By10m
Antes de encontrar as equações para V(x) e M(x), devem ser calculadas as reações Ay e By. Para isso, basta transformar a carga distribuída em uma força concentrada aplicada no centróide de área do carregamento. Neste caso, a figura é um retângulo e, portanto, a força resultante é igual a sua área, i.e., F=200N aplicada em x = 5m.
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Exemplo 3)
20N/m
100N 100N10m
A B
Sendo assim, como existe simetria no problema, Ay = By = 100N.
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Exemplo 3)
20N/m
100N 100N10m
Como w(x)=20, temos que:
V(x) = V(A) - ∫ w(x) dx → V(x) = 100 - 20x
M(x) = M(A) + ∫ V(x) dx → M(x) = 100x - 10x2
x
A
x
A
0
A B
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Exemplo 3)Diagramas de V e M:
100
5.0 10.0
x [m]
V [N]
250
5.0 10.0 x [m]
M [N.m]
A B
20N/m
100N 100N10m
M(x) = 100x - 10x2V(x) = 100 - 20x
-100
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Prof. Ricardo R. Fragelli(dúvidas? [email protected])
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