Diagnóstico Médico Fuzzy de Doenças Infantis

Universidade Federal de Uberlândia

Faculdade de Matemática

Mariana Fernandes dos Santos Villela Patrícia Borges dos Santos

marianamat_ufu@yahoo.com patricia_1609@yahoo.com.br

Rosana Sueli da Motta Jafelice

rmotta@ufu.br

Introdução A Modelagem Matemática tem como objetivo interpretar e compreender os mais

diversos fenômenos do nosso cotidiano e poder descrevê-los, analisá-los e interpretá-los com

o propósito de gerar discussões reflexivas sobre tais acontecimentos que cercam nosso

cotidiano.

Neste trabalho, a modelagem é realizada através da Teoria dos conjuntos Fuzzy, o qual

tem por objetivo o diagnóstico médico fuzzy de doenças infantis tais como, catapora,

caxumba, coqueluche e meningite. Para isto, foi necessário a colaboração de especialistas,

neste caso pediatras, e a partir de sinais e sintomas apresentado pelos pacientes, simulamos a

atuação do médico no diagnóstico de seus doentes, com o intuito de ajudar este em suas

tomadas de decisões e optar por exames laboratoriais.

Além disso, realizamos o estudo de dois modelos de propagação de doenças

transmissíveis (epidemias) os quais são, SIR (Suscetível Infectado Recuperado) e SIRS

(Suscetível Infectado Recuperado Suscetível) que servem para exemplificar o a propagação de

doenças estudadas no Diagnóstico Médico Fuzzy.

Conjuntos fuzzy

Histórico Em 1965, com uma publicação de Lotfi A. Zadeh ("Fuzzy Sets", Information and

Control, Vol. 8, pp. 338-353) surgiu uma nova teoria de conjuntos. Professor da Universidade

da Califórnia, Berkeley, considerado um grande colaborador do controle moderno, Zadeh

criou uma teoria de conjuntos em que não há descontinuidades, ou seja, não há uma distinção

abrupta entre elementos pertencentes e não pertencentes a um conjunto, os são os Conjuntos

Nebulosos. Começava aí a se desenvolver a Teoria Fuzzy (Nebulosa), para tratar de variáveis

"imprecisas", ou definidas de forma "vaga".

Zadeh percebeu que a modelagem de muitas atividades relacionadas a problemas

industriais, biológicos ou químicos seria complexa demais se implementada da forma

convencional. Os sistemas fuzzy foram utilizados, com sucesso, em algumas aplicações que

se tornaram exemplos clássicos. Destaca-se a primeira aplicação que se tornou pública:

• Em 1974 o professor Mamdani, do Queen Mary College, da Universidade de Londres,

implementou um controle de uma máquina a vapor, baseado em lógica fuzzy. Até

então, não se tinha conseguido automatizar essas máquinas com outras técnicas de

controle, nem mesmo com algoritmo PID.

Com o tempo, outras aplicações foram surgindo. No oriente, onde a cultura fez com que os

conceitos da lógica nebulosa fossem aceitos com maior facilidade do que no mundo oriental,

investiu-se muito em soluções baseadas em modelagem e controle fuzzy, e, além disso,

inúmeras aplicações surgiram principalmente no Japão.

Apesar de os estudos teóricos terem se desenvolvido na Europa e nos Estados Unidos, as

aplicações nunca tiveram lá a mesma ênfase que tiveram no oriente, principalmente no Japão,

que investiu muito no desenvolvimento de tecnologias baseadas na Teoria Fuzzy.

Hoje, empresas como Boeing, General Motors, Allen-Bradley, Chrysler, Eaton e

Whirlpool têm procurado soluções diversas na Teoria Fuzzy. Controle de refrigeradores de

baixa potência, transmissão automotiva, e motores elétricos de alta eficácia fazem parte de

suas linhas de pesquisa.

Nos Estados Unidos, a Agência de Proteção Ambiental estuda o uso de controle Fuzzy em

motores. A NASA tem estudado a aplicação da Teoria Fuzzy na ancoragem automática de

suas naves no espaço. Simulações mostram que um Sistema Fuzzy pode reduzir

significativamente o consumo em motores a combustão [2].

Definição Um subconjunto fuzzy A de U é definido em termos de uma função pertinência u que

a cada elemento x de U associa um número ( )u x , entre zero e um, que é chamado o grau de

pertinência de x em A. Assim o conjunto A é definido da seguinte maneira:

[ ]: 0,1Au U → .

Os valores ( ) 1Au x = e ( ) 0Au x = significam a pertinência e a não pertinência do

elemento x a A.

Operações entre conjuntos fuzzy Sejam A e B subconjuntos clássicos de U representados pelas funções características Au e Bu ,

respectivamente. Os conjuntos

{ ; ou }A B x U x A x B∪ = ∈ ∈ ∈ ,

{ ; e }A B x U x A x B∩ = ∈ ∈ ∈ ,

' { ; }A x U x A= ∈ ∉ .

Definição1: Sejam A e B conjuntos fuzzy. As funções de pertinência que representam os

conjuntos fuzzy união (Figura 1), intersecção (Figura 2) e complementar (Figura 3) de

conjuntos fuzzy são dados por, x U∀ ∈ ,

( ) ( )max{ , }A B A Bu u x u x∪ = ,

( ) ( )min{ , }A B A Bu u x u x∩ = ,

( ) ( )' 1 }.A Au x u x= −

Figura 1: Representa a união dos conjuntos fuzzy.

Figura 2: Representa a intersecção dos conjuntos fuzzy.

Figura 3: Representa o complementar dos conjuntos fuzzy.

Exemplo: Seja U um conjunto universo composto por pacientes de uma clínica, identificados

pelos números 1, 2, 3, 4 e 5. Sejam A e B os conjuntos fuzzy que representam os pacientes

com febre e dor, respectivamente. A Tabela 1, abaixo, representa a união, intersecção e

complemento.

Paciente Febre ( )Au Dor ( )Bu A Bu ∪ A Bu ∩ 'Au 'A Au ∩

1 0.7 0.6 0.7 0.6 0.3 0.3

2 1.0 1.0 1.0 1.0 0.0 0.0

3 0.4 0.2 0.4 0.2 0.6 0.4

4 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

5 1.0 0.2 1.0 0.2 0.0 0.0

Tabela 1: União, intersecção e complementar dos conjuntos A e B.

Normas Triangulares Generalizando os operadores de união e intersecções têm as normas triangulares, que podem

ser definidas da seguinte maneira [1]:

Definição2: Uma co-norma triangular (s-norma) é uma operação binária

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → satisfazendo:

• Comutatividade: xsy = ysx

• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz

• Monotonicidade: Se x≤y e w≤ z então xsw≤ysz

• Condições de Fronteira: xs0 = x, xs1=1.

Temos como exemplo de uma s-norma o operador max.

1-União padrão (Figura 4)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com xsy = max(x; y).

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

União padrão

Figura 4: s-norma ‘União Padrão’.

2- Soma Algébrica (Figura 5)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com xsy = x+y-xy.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Soma algébrica

Figura 5: s-norma ‘Soma Algébrica’.

3- Soma Limitada (Figura 6)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com xsy = min(1; x + y).

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Soma limitada

Figura 6: s-norma ‘Soma Limitada’.

4- União Drástica (Figura 7)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1s X → com

se 0

se 0

1 caso contrario

x y

xsy y x

=

=

.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

União drástica

Figura 4: s-norma ‘União Drástica’.

Definição3: Uma norma triangular (t-norma) é uma operação binária [ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X →

satisfazendo:

• Comutatividade: xsy = ysx

• Associatividade: xs(ysz) = (xsy)sz

• Monotonicidade: Se x≤y e w≤ z então xsw≤ysz

• Condições de Fronteira: xs0 = 0, xs1=x.

Temos como exemplo de uma s-norma o operador min.

1- Intersecção Padrão (Figura 8)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com xty = min(x; y).

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Intersecção padrão

Figura 8: t-norma ‘Intersecção Padrão’.

2- Produto Algébrico (Figura 9)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com xty = xy.

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Produto algébrica

Figura 9: t-norma ‘Produto Algébrico’.

3- Diferença Limitada (Figura 10)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com xty = max(0; x + y ; 1).

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Diferença limitada

Figura 10: s-norma ‘Diferença Limitada’.

4- Intersecção Drástica (Figura 11)

[ ] [ ] [ ]: 0,1 0,1 0,1t X → com

se 1

se 1

0 caso contrario

x y

xsy y x

=

=

.

rara

00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Intersecção drástica

Figura 11: s-norma ‘Intersecção Drástica’.

Relações Fuzzy Estudos de associações, relações ou interações, entre os elementos de diversas classes

é de grande interesse na análise e compreensão de muitos fenômenos do mundo real.

Matematicamente, o conceito de relação é formalizado a partir da teoria de conjuntos. Desta

forma, intuitivamente pode-se dizer que a relação será fuzzy quando optamos pela teoria dos

conjuntos fuzzy e será clássica quando optamos pela teoria clássica de conjuntos para

conceituar a relação em estudo. Qual dos modelos adotar, entre estes dois, depende muito do

fenômeno estudado. Porém, a opção pela teoria de conjuntos fuzzy sempre tem maior

robustez no sentido de que esta inclui a teoria clássica de conjuntos.

Uma relação clássica segue a função característica da lógica clássica. Sendo assim,

uma relação de amizade entre duas pessoas, por exemplo (ver [2]), designadas como “amigos”

considera que nas relações humanas ou alguém é seu amigo ou não o é, o que é uma

simplificação da realidade. Uma relação de amizade fuzzy entre duas pessoas considera o

grau de amizade entre elas, sendo assim dois ou mais indivíduos podem se relacionar com

diferentes graus de amizade, desde 1,0 ( são certamente amigos) até 0,0 ( não são amigos).

Formalmente, uma relação fuzzy R entre duas variáveis, e yx X Y∈ ∈ , é definida por uma

função que mapeia o par ordenado ( ,x y ) no espaço X Y× para o seu grau na relação, ou seja,

[ ]: 0,1R X Y× → . Esta definição é facilmente generalizada para relações de dimensões

superiores. Um exemplo importante de relações fuzzy em sistema de diagnósticos é aquela

que relaciona sintomas a doenças, o qual é o foco do nosso trabalho.

Definição 4: Uma relação fuzzy R, sobre 1 2 ... nU U U× × × , é qualquer subconjunto fuzzy do

produto cartesiano 1 2 ... nU U U× × × . Se o produto cartesiano for formado por apenas dois

conjuntos, 1 2U U× , a relação é chamada de fuzzy binária sobre 1 2U U× . Assim, uma relação

fuzzy é definida por uma função de pertinência [ ]1 2: ... 0,1R nU U Uϕ × × × → .

A principal vantagem na opção pela relação fuzzy é que a relação clássica indica

apenas se há ou não relação entre dois objetos, enquanto uma relação fuzzy além de indicar se

existe ou não relação, indica também o grau desta relação. Uma noção que será muito

importante para o nosso trabalho, é o produto cartesiano entre conjuntos fuzzy.

Definição 5: O produto cartesiano fuzzy 1 2 ... nA A A× × × dos subconjuntos fuzzy 1 2, ,..., nA A A

de 1 2, ,..., nU U U , é a relação fuzzy R cuja função de pertinência é

( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 1 2, ,..., ^ ^ ...^

nR n A A A nu x x x u x u x u x=

onde ^ é a t-norma min.

Composição Relações de Fuzzy Considere R e S duas relações fuzzy binárias em 1 2 ... nU U U× × × , respectivamente.

Definição 6: A composição RoS é uma relação fuzzy binária em 1 3U U× , com função de

pertinência dada por

( ) ( ) ( )( )2 2

1 3 1 2 2 3, max min , , ,RoS R Sx U

u x x u x x u x x∈

= .

Agora , definiremos um caso especial da composição max-min, que utilizamos no

trabalho para elaborar o diagnóstico médico fuzzy.

Definição 7: Sejam 1U e 2U dois conjuntos , F( 1U ) e F( 2U ) as classes dos conjuntos fuzzy de

1U e 2U , respectivamente, e R uma relação binária sobre 1 2U U× . Então a relação R define

um funcional de F( 1U ) em F( 2U ) que a cada elemento 1A ∈ F( 1U ), faz corresponder o

elemento 2A ∈ F( 2U ) a função de pertinência é dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 11

1 1

2 2 1 1 2max min , ,A A RR Ax U

u x u x u x u x x∈

= = .

Diagnóstico Médico O objetivo desta aplicação, e deste trabalho, é propor um sistema fuzzy que imite a

atuação de um médico no diagnóstico de seus pacientes, a partir dos sintomas que estes

apresentam. Com o intuito de ajudar o médico a tomar decisões e optar por exames

laboratoriais mais detalhados.

Para isto, foi preciso a interferência de um especialista na área, que neste caso

consultamos dois pediatras Dr. Georges Ishac Abdallah e Dr. Márcia F. Lopes. O trabalho

trata-se de estabelecer um diagnóstico de doenças infantis. A idéia básica é relacionar os

sintomas ou sinais de pacientes com as possíveis doenças, as quais são cataporas, caxumbas,

coqueluches e meningites. Esta aplicação pode ser resumida da seguinte maneira:

Considere os seguintes conjuntos universais:

• U = conjuntos dos pacientes do médico 1;

• S = conjuntos dos pacientes do médico 2;

• V = conjunto dos sintomas;

• W = conjunto das doenças.

Foram analisadas as informações de dois diferentes médicos, os quais obtivemos

conhecimento de sete pacientes 1 2 3 4 5 6 7, , , , , e P P P P P P P , com sintomas s1, s2, s3 ,s4 ,s5, s6 ,s7

,s8 ,s9 ,s10 ,s11 ,s12 ,s13 ,s14 ,s15 ,s16 ,s17 e s18 que apresentaram os diagnósticos

1 2 3 4, , e d d d d , onde:

  s1 = pintas vermelhas no corpo   s10 = infecção das glândulas

salivares

  s2 = coceira   s11 = tosse seca   s3 = febre   s12 = coriza   s4 = cansaço   s13 = dor muscular

  s5 = cefaléia   s14 = fraqueza   s6 = perda de apetite   s15 = dor ao mastigar ou engolir

  s7 = rigidez na nuca   s16 = mal estar

  s8 = calafrios   s17 = vômito

  s9 = confusão mental   s18 = dor de garganta   d1 = catapora   d3 = coqueluche   d2 = caxumba   d4 = meningite

ΕντEntrada

(sintomas)

Base de

conhecimento Saída

(Diagnóstico)

A média das relações fuzzy sintomas X doenças de ambos os médicos é dada pela seguinte

tabela 2:

s

d

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18

d1 1 1 0.45 0.4 0.5 0.4 0 0.1 0 0 0.2 0.3 0.05 0.2 0 0.1 0 0

d2 0 0 0.3 0.15 0.7 0.5 0 0.25 0 0.8 0.1 0 0.4 0.4 0.9 0.3 0.05 0.75

d3 0 0 0.9 0.45 0.25 0.25 0 0.15 0 0 1 .55 0.1 0.1 0 0.6 0.05 0

d4 0.2 0 0.95 0.5 0.8 0.8 1 0.75 0.4 0 0 0 0.3 0.1 0 0.85 0.8 0

Tabela 2: Relação fuzzy sintomas x doenças.

Médico 1 ( Dr. Georges Ishac Abdallah)

s

P

s1 s2 s3 s4 s5 s6 s7 s8 s9 s10 s11 s12 s13 s14 s15 s16 s17 s18

P1 0 0 0.7 0.5 0.1 0.2 0 0.5 0 0 1 0.5 0.1 0.5 0 0 0 0

P2 0 0 0.5 0.7 0.9 0.5 0.9 0.3 0.9 0 0.5 0.1 0.6 0.5 0 0.8 0.7 0

P3 0 0 0.5 0.3 0.8 0.7 0 0.2 0 1 0.5 0.2 0.3 0.5 0.9 0.7 0.3 0.8

P4 1 0.8 0.9 0.3 0 0.7 0 0.3 0 0 0 0 0.2 0.3 0 0.1 0 0

P5 1 0.5 0.9 0.2 0 0.1 0 0.5 0 0 0 0.5 0.1 0.2 0 0 0 0

P6 0 0 0.3 0.2 0.1 0.1 0 0.1 0 0 1 0.3 0.1 0.1 0 0.1 0 0

P7 0 0 0.5 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0 0 1 0.5 0.1 0.1 0 0.1 0.3 0

Tabela 3: Relação fuzzy pacientes x sintomas.

Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente

obtido através da definição 6. Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados, o

paciente P1 pode ter uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 com os respectivos graus de

possibilidades (pela Tabela 3):

( ) ( ) ( ) ( )( )11

1 11 18max min , , 0.45R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )11

2 21 18max min , , 0.3R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )11

3 31 18max min , , 1.0R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )11

4 41 18max min , , 0.7R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P2 pode ter também uma

das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 , com os respectivos graus de possibilidades:

( ) ( ) ( ) ( )( )22

1 11 18max min , , 0.5R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )22

2 21 18max min , , 0.7R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )22

3 31 18max min , , 0.6R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )22

4 41 18max min , , 0.9R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

Desta forma, obtêm-se os diagnósticos para todos os pacientes:

  ( ) ( )1

0.45;0.3;1.0;0.7R P

u =

  ( ) ( )2

0.5;0.7;0.6;0.9R P

u =

  ( ) ( )3

0.6;0.9;0.6;0.8R P

u =

  ( ) ( )4

1.0;0.5;0.9;0.95R P

u =

  ( ) ( )5

1.0;0.3;0.9;0.9R P

u =

  ( ) ( )6

0.3;0.3;1.0;0.3R P

u =

  ( ) ( )7

0.45;0.3;1.0;0.5R P

u =

Portanto, nota-se que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de

estar com coqueluche, o paciente P2 pode estar com meningite, P3 pode estar com caxumba,

P4 e P5 podem estar com catapora e , P6 e P7 podem estar com coqueluche. Segundo o

especialista os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças.

Médico 2 (Dr. Márcia F. Lopes)

s

P 1s 2s 3s 4s 5s 6s 7s 8s 9s 10s 11s 12s 13s 14s 15s 16s 17s 18s

1P 1.0 0.5 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2P 0 0 1.0 0 1.0 0 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.0 0

3P 1.0 0.7 1.0 0.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 0 0 0 0

4P 0 0 1.0 0 0 1.0 0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0 1.0 0

5P 0 0.7 0 0 1.0 1.0 1.0 0 1.0 0 0.9 0 0 0 0 0 1.0 0

6P 1.0 0.5 1.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0 0 1.0 1.0

7P 1.0 0.9 0.9 0 0.5 0 0.5 0.5 0.3 0 0.4 0.5 0 0.4 0 0.5 0.7 0

Tabela 4: Relação fuzzy pacientes x sintomas.

Por exemplo, o diagnóstico médico do paciente P1, via relação fuzzy R, é facilmente

obtido através da definição 6. Assim, de acordo com os sinais e sintomas apresentados, o

paciente P1 pode ter uma das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 com os respectivos graus de

possibilidades (Tabela 4):

( ) ( ) ( ) ( )( )11

1 11 18max min , , 1.0R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )11

2 21 18max min , , 0.3R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )11

3 31 18max min , , 0.9R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )11

4 41 18max min , , 0.9R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

Assim, de acordo com os sintomas apresentados, o paciente P2 pode ter também uma

das doenças di, com i = 1, 2, 3 e 4 , com os respectivos graus de possibilidades:

( ) ( ) ( ) ( )( )22

1 11 18max min , , 0.5R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )22

2 21 18max min , , 0.7R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )22

3 31 18max min , , 0.9R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

( ) ( ) ( ) ( )( )22

4 41 18max min , , 1.0R i P iR Pi

u d u d s u s≤ ≤

= =

Desta forma, obtêm-se os diagnósticos para todos os pacientes:

  ( ) ( )1

1.0;0.3;0.9;0.9R P

u =

  ( ) ( )2

0.5;0.7;0.9;1.0R P

u =

  ( ) ( )3

1.0;0.4;0.9;0.9R P

u =

  ( ) ( )4

0.45;0.5;1.0;0.95R P

u =

  ( ) ( )5

0.7;0.7;0.9;1.0R P

u =

  ( ) ( )6

1.0;0.75;0.9;0.95R P

u =

  ( ) ( )7

1.0;0.5;0.9;0.9R P

u =

Portanto, nota-se que o paciente P1, pela teoria aplicada, tem maior possibilidade de

estar com catapora, os pacientes P2 e P5 podem estar com meningite, P3 pode estar com

catapora, P4 pode estar com coqueluche e, P6 e P7 podem estar com catapora. Segundo a

especialista os pacientes realmente possuíam as respectivas doenças.

Note que a resposta da composição é também um conjunto fuzzy, ou seja, a

composição nem sempre responde qual doença o paciente possui, porém fornece a

distribuição de possibilidades do paciente no conjunto de doenças dado que ele apresenta

certa distribuição de possibilidades no conjunto de sintomas. Outra propriedade importante da

relação fuzzy é que após ter diagnósticos de novos pacientes, estes podem ser incluídos na

base de conhecimentos e assim aumentar a capacidade de se obter mais diagnósticos por meio

da relação fuzzy R, tal como faz o médico.

Apresentamos, na próxima seção, alguns sistemas de equações diferenciais

relacionados com as epidemias de doenças.

Modelo SIR (Suscetível Infectado recuperado) de Epidemiologia O estudo da propagação de doenças transmissíveis (epidemias) teve um

desenvolvimento bastante lento até o século XIX, sendo finalmente assumido como pesquisa

científica a partir dos trabalhos desenvolvidos pó Pasteur e Kock.

A partir de 1927, os modelos matemáticos, formulados por Kermack-McKendric, ( ver

[4]), consideram que uma epidemias com microparasitas (vírus e bactérias) ocorre em uma

comunidade fechada através do contato entre pessoas infecciosas e pessoas sadias.

A população hospedeira é subdividida em classes distintas (compartimentos) de

acordo com a sanidade ou infecciosidade de seus elementos:

S = S(t): pessoas sadias, mas suscetíveis à doença, podendo ser infectadas quando em contato

com pessoas doentes;

I = I(t): pessoas portadoras da doença (infecciosas);

R = R(t): indivíduos imunes que já contraíram a doença e se recuperam, ou estão isoladas ou

morreram.

Supor que a comunidade seja fechada implica que a população total se mantém

constante, isto é,

( ) ( ) ( )N S t I t R t= + + não varia com t. Este fato é característico das doenças cujo período de inclusão do parasita é

relativamente pequeno.

Para cada tipo de doenças podemos modelar sua velocidade de propagação através das

interações entre as variáveis S, I e R. O processo epidemiológico pode ser esquematizado pelo

sistema compartimental que resume as taxas de transições entre as três classes:

onde Iβ é a taxa de transmissão da doença (β>0), com β como o coeficiente de

infecciosidade; α é a taxa de remoção (α>0) .

Se considerarmos que:

a- Cada compartimento é composto de indivíduos homogêneos;

b- Cada indivíduo infeccioso tem a mesma probabilidade de se encontrar com um

suscetível;

c- Não ocorre nascimento na comunidade e a morte somente é causada pela doença.

Então o modelo matemático que descreve a epidemias, também chamado SIR ou modelo sem

dinâmica vital, é dado por:

(I)

(II) (1)

(III)

dSSI

dt

dISI I

dt

dRI

dt

β

β α

α

= −

= −

=

I

S

R β α

(I) os suscetíveis decrescem a uma taxa proporcional ao número de encontros com os

infecciosos.

(II) os infectados aumentam do mesmo modo como os sadios diminuem e perdem os

que são curados ou mortos.

(III) a variação dos retirados é proporcional à quantidade dos infectados.

Das doenças estudadas no Diagnóstico médico fuzzy, as que apresentam comportamento

parecido com o modelo SIR são a catapora, caxumba e coqueluche.

Em qualquer situação é fundamental conhecer os valores iniciais So=S(0)=100,

Io=I(0)=10 e Ro=R(0)=10, e para resolução desse sistema, obtivemos os parâmetros do

programa Populus. Temos então:

0.8

0.5

α

β

=

=

Utilizando o Matlab, temos como solução do sistema de equação diferencial ordinária

(1) o seguinte gráfico (Figura 12):

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-20

0

20

40

60

80

100

120

tempo

população

Suscetível

Infectado

Recuperado

Figura12: Resolução do sistema de equações diferenciais (1).

O modelo SIR tem como característica o fato em que se um indivíduo foi infectado e

está recuperado, e este não se torna novamente suscetível a esta doença. Para os parâmetros

considerados a Figura 12 mostra que o número de indivíduos suscetíveis torna-se cada vez

menor até não existir mais pessoas suscetíveis, enquanto que a quantidade de indivíduos

recuperados aumenta isso acontece, pois o sistema é fechado.

Além disso, como o número de indivíduos recuperados aumenta, temos que a

quantidade de pessoas infectadas diminuirá à medida que esse número de recuperados cresce.

A Figura 12 mostra esse processo em um curto período de tempo.

Modelo SIRS (Suscetível Infectado Recuperado Suscetível) de

epidemiologia Um outro modelo de propagação de epidemia foi desenvolvido por Chimara (2003) através de

um autômato celular probabilista que corresponde a um modelo SIRS, representando a

situação em que recuperados são substituídos por suscetíveis, ou porque morreram (e um

suscetível recém-nascido ocupa seu lugar) ou porque perderam a imunidade àquela doença.

Nesse modelo foi considerada uma população de tamanho fixo e, estudando-se a

influência dos parâmetros que representam as probabilidades de infecção, de cura e de morte

causada pela doença.

Das doenças estudadas no Diagnóstico Médico fuzzy, um exemplo que tem

comportamento parecido com o modelo SIRS é a meningite.

O sistema que descreve o modelo SIRS é dado por:

(2)

dSIS R

dt

dIIS I

dt

dRI R

dt

β γ

β α

α γ

= − +

= −

= −

Em qualquer situação é fundamental conhecer os valores iniciais So=S(0)=50,

Io=I(0)=100 e Ro=R(0)=100, e para resolução desse sistema, obtivemos os parâmetros do

programa Populus. Temos então:

0.7

0.1

0.6

α

β

γ

=

=

=

onde, β como o coeficiente de infecciosidade ( 0β > ); α é a taxa de remoção 0α > e γ a

taxa de diminuição de imunidade.

Utilizando o Matlab, temos como solução do sistema de equação diferencial (2),

Figura 13:

I

S

R

γ

β α

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

20

40

60

80

100

120

140

tempo

população

Suscetível

Infectado

Recuperado

Figura 13: Resolução do sistema de equações diferenciais (2).

O modelo SIRS tem como característica o fato de que se um indivíduo foi infectado e

se recupera, e este tornar-se suscetível novamente à doença considerada. Para os parâmetros

considerados a Figura 13 mostra que o número de indivíduos suscetíveis torna-se, até certo

tempo, cada vez menor e depois a quantidade de indivíduos estabiliza. A quantidade de

indivíduos recuperados aumenta isso acontece, pois o sistema é fechado.

Além disso, a medida que o número de indivíduos recuperados aumenta, temos que a

quantidade de pessoas infectadas diminuirá. A Figura 13 mostra esse processo em um curto

período de tempo.

Conclusão O Diagnóstico Médico fuzzy apresentado feito neste trabalho teve por finalidade

imitar a atuação do médico em seus diagnósticos de doenças infantis. Inclusive, tivemos uma

boa aproximação do diagnóstico fuzzy de cada paciente, com o diagnóstico dado pelo médico.

Além disso, apresentamos os modelos SIR e SIRS que se relacionam com as

epidemias das doenças consideradas e com isso obtivemos exemplos de casos de SIR, os

quais as doenças que se encaixam neste modelo são catapora, caxumba e coqueluche. No

segundo modelo SIRS, temos como exemplo a meningite.

Em ambos os casos a solução do sistema de equação diferencial é dado por gráficos,

os quais mostram o comportamento de cada epidemia, sendo a comunidade fechada, nos dois

modelos.

Bibliografia

[1] Jafelice, R.M., L.C.Barros, R.C.Bassanezi, Teoria dos Conjuntos Fuzzy com Aplicações,

Notas em matemática aplicada – SBMAC, editora Plêiade, São Carlos, SP, 2005.

[2] Barros, L.C., R.C.Bassanezi, Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Campinas, SP,

2006.

[3] http://www.lps.usp.br/neo/fuzzy/fuzzy_historico.htm

[4] Massad, E., R. X. Menezes, P. S. P., Silveira, N. R. S. Ortega, Métodos quantitativos em

Medicina, Barueri, SP, 2004.