apostila fuzzy - osvaldo saavedra

Introdução à Teoria de Conjuntos Nebulosos Osvaldo R. Saavedra -GSP-DEE –UFMA

Osvaldo R. Saavedra

GSP – DEE – UFMA


Introdução

O filósofo grego Aristóteles (384 - 322 a.C.), é considerado o pai da ciência da lógica, e estabeleceu um conjunto de regras rígidas para que conclusões pudessem ser aceitas como logicamente válidas. O emprego da lógica de Aristóteles levou a uma linha de raciocínio lógico, baseado em premissas e conclusões. Considere-se, por exemplo, as seguintes premissas: i) é observado que "todo ser vivo é mortal" ; ii) constata-se que "Maria é um ser vivo". Como conclusão, temos que "Maria é mortal". Esta lógica, também chamada de Ocidental, tem sido de essência binária, onde uma declaração é falsa ou verdadeira, não podendo ser ao mesmo tempo parcialmente verdadeira e parcialmente falsa.

A Lógica Difusa (Fuzzy Logic) não atende estas suposições. O conceito de dualidade, estabelecendo que algo pode e deve coexistir com o seu oposto, faz a lógica difusa parecer natural, até mesmo inevitável. A lógica Ocidental trata binariamente afirmações, classificando-as como verdadeiras ou falsas. Não obstante, muitas das experiências do mundo real não podem ser classificadas simplesmente como verdadeiras ou falsas, sim ou não, branco ou preto. Por exemplo, é aquele homem alto ou baixo? A taxa de risco para aquele empreendimento é grande ou pequena? Um sim ou um não como resposta a estas questões é, na maioria das vezes, incompleta. Na verdade, entre a certeza de ser e a certeza de não ser, existem infinitos graus de incerteza. Esta imperfeição intrínseca à informação representada numa linguagem natural, tem sido tratada matematicamente no passado com o uso da teoria das probabilidades.

Por outro lado, a Lógica Nebulosa, com base na teoria dos Conjuntos Nebulosos (Fuzzy Set), tem se mostrado mais adequada para tratar imperfeições da informação do que a teoria das probabilidades. De forma mais objetiva e preliminar, podemos definir Lógica Nebulosa como sendo uma ferramenta capaz de capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos computadores de hoje em dia. Considere a seguinte afirmativa: Se o tempo de um investimento é longo e o sistema financeiro tem sido não muito estável, então a taxa de risco do investimento é muito alta. Os termos "longo", "não muito estável" e "muito alta" trazem consigo informações vagas. A extração (representação) destas informações vagas se dá através do uso de conjuntos nebulosos. Devido a esta propriedade e a capacidade de realizar inferências, a Lógica Difusa tem encontrado grandes aplicações nas seguintes áreas: Sistemas Especialistas; Computação com Palavras; Raciocínio Aproximado; Linguagem Natural; Controle de Processos; Robótica; Modelamento de Sistemas Parcialmente Abertos; Reconhecimento de Padrões; Processos de Tomada de Decisão (decision making).

A Lógica Nebulosa, também pode ser definida, como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados a trabalhar. Ela está baseada na teoria dos conjuntos nebulosos e difere dos sistemas lógicos tradicionais em suas características e detalhes.

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A Lógica Nebulosa, também pode ser definida, como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos,

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uma ferramenta capaz de capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos computadores de hoje em dia.


Nesta lógica, o raciocínio exato corresponde a um caso limite do raciocínio aproximado, sendo interpretado como um processo de composição nebulosa.

A Lógica Nebulosa foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria probabilística, inteligência artificial e redes neurais para que possa representar o pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática. 1.1 Conjuntos Nebulosos

Uma conversa cotidiana contém muitas palavras vagas tal como a declaração “A menina da casa ao lado é bonita”, ou a declaração de um economista que “O dólar está se mostrando relativamente forte”. Conjuntos nebulosos foram propostos para lidar com palavras e expressões que contenham incertezas. Os conjuntos nebulosos podem lidar com conceitos vagos tais como “um conjunto de pessoas altas” e “as pessoas que vivem próximo a Tókio”, que não podem tratadas pela teoria dos conjuntos convencional. Nas expressões anteriores, as palavras “altas” e “próximo” dão idéias ambíguas. Estas expressões vagas não são permitidas na teoria dos conjuntos convencionais e temos que definir condições precisas tais como “o conjunto de pessoas com altura superior a 190 cm”, ou “as pessoas que moram em Tóquio”. A medida da altura de uma pessoa mostrará se esta pessoa pertence ao conjunto. Estes conjuntos convencionais, que são definidos exatamente, são denominados conjuntos Crisp.

A teoria dos conjuntos Crisp será descrita antes de introduzirmos a teoria dos conjuntos fuzzy. A teoria dos conjuntos fuzzy é uma extensão dos primeiros e a compreensão dos conjuntos fuzzy será difícil sem o conhecimento da teoria dos conjuntos Crisp. Porém, como o objetivo desta apostila é a aplicação da Lógica fuzzy, limitar-nos-emos a mostrar apenas os conceitos básicos dos conjuntos Crisp.

2.1.1 Conjuntos Crisp e Funções Características Na teoria dos conjuntos Crisp, união, interseção, e complementos são definidos como segue.

União, intersecção e complemento dos conjuntos crisp

Sejam A, B representando subconjuntos do universo X. A união, intersecção e complemento são definidos como.


• União dos conjuntos Crisp A e B: B}.xorAx|{xBA ∈∈=∪ (1.1)

• Intersecção dos conjuntos A e B: B}. x eA x |{x B A ∈∈=∩ (1.2)

• O complemento do conjunto Crisp A: A}. x |{x A ∉= (1.3)

As definições anteriores de união, intersecção e complemento, estão ilustrados na figura 1.1. Estas figuras são chamadas de diagramas de Venn ou diagramas de Euler.

Vamos representar A e B como subconjuntos do universo X tal que XA ⊂ e XB ⊂ . Quando dizemos “A é subconjunto de X” significa que qualquer elemento do conjunto A pertence a X. Por exemplo, temos;

}.3,0,3{}10,8,6,4,2{

}10,9,8,7,6,5,4,3,2,1{

−===

BAX

Então XA ⊂ mas XB ⊄ . Aqui, XB ⊄ indica que B não é um subconjunto de X.

Figura 1.1: (a) união, (b) intersecção e (c) complemento de conjuntos

• União: )(),( BABBAA ∪⊂∪⊂


• Intersecção: BBAABA ⊂∩⊂∩ )(,)(

• Complemento: )(

)(

ocontradiçãdaleiAA

excluídametadedaleiXAA

φ=∩

=∩

Onde φ é o conjunto vazio.

Estas propriedades podem ser verificadas através dos diagramas de Venn. Outras propriedades são resumidas como segue.

Propriedades dos conjuntos Crisp • Lei da Idempotência ., AAAAAA =∩=∪ • Comutativa: ., ABBAABBA ∩=∩∪=∪ • Associativa:

.)()(,)()(

CBACBACBACBA

∩∩=∩∩∪∪=∪∪

• Distributiva:

).()()(),()()(

CABACBACABACBA

∩∪∩=∪∩∪∩∪=∩∪

• Dupla negação: .AA = • Lei de De Morgan:

.BABA

BABA

∪=∩

∩=∪

(1.4)

(1.5)

(1.6)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

EXEMPLO 1.1. União, intersecção e complemento de conjuntos Crisp

Um clube de tênis do qual Bob pertence inclui seis membros. Vamos imaginar um conjunto de mulheres e estudantes. O universo neste caso é o conjunto de todos os membros, o qual é definido como:

membros = {Anne, Bob, Cathy, Jhon, Linda, Tom}.

Vamos formar um conjunto de mulheres a partir do conjunto anterior.

membros mulheres = {Anne, Cathy, Linda}.

Também, o conjunto dos estudantes será:

Membros estudantes = {Bob, John, Linda}.

Aqui, se nós designarmos os conjuntos anteriores como


X: membros,

A: membros femininos, e

B: membros estudantes,

o relacionamento dos conjuntos pode ser ilustrado na figura 1.2.

União, interseção e complemento de A e B são como segue:

Linda}John,Cathy,Bob,{Anne,BA =∪

{Linda}BA =∩ Tom}John,{Bob,A =

Tom}Cathy,{Anne,B =

Aqui A U B é o conjunto dos membros femininos ou estudantes, A∩B é o conjunto dos membros estudantes femininos, A é o conjunto dos membros que não são femininos (masculinos), e B é o conjunto dos membros que não são estudantes.

Observamos também que:

Tom}John,Cathy,Bob,{Anne,BABA

{Tom}BABA

=∪=∩

=∩=∪

Confirmando a lei de De Morgan.

Não há problema em escrever os elementos dos conjuntos se, como neste exemplo, o número de elementos é pequeno. Entretanto, pode ser um incômodo se houver muitos elementos. Por exemplo, é fácil escrever.

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

mas se

A = {1, 2, 3, ..., 98, 99, 100},

é mais conveniente escrever inteiro}éxe100x1|{xA ≤≤=


Figura 1.2: diagramas de Venn dos membros do clube de tênis

Em geral, conjuntos Crisp são definidos por funções características como segue.

Funções características

Sendo A representando um conjunto Crisp de um universo X. Sua função característica χA pode ser definida como:

χA : X → {0, 1} (1.10)

com

∉∈

=Xxse0Xxse1

(x)χA . (1.11)

(1.11) indica que se o elemento x pertence a A, χA é igual a1, e se não pertence a A, χA é 0.

Funções características são raramente usadas em aplicações dos conjuntos Crisp. Porém, quando estendemos esta idéia para conjuntos fuzzy a regra de funções características torna-se significativa como se mostra na seção seguinte.

1.2.2 Conjuntos Fuzzy e funções de Pertinência

Enquanto os conjuntos crisp podem ser definidos por funções características, os conjuntos fuzzy podem ser caracterizados por funções de pertinência (membership). Antes de irmos para a definição de funções de pertinência, revisaremos o caso dado no exemplo 1.1.


EXEMPLO 1.2. Conjuntos fuzzy e conjuntos crisp

Os conjuntos usados no exemplo anterior são:

X: membros,

A: membros femininos, e

B: membros estudantes,

Neste exemplo, substituiremos os conjuntos crisp A e B pelos seguintes conjuntos fuzzy ~A e

~B :

~A : conjunto das pessoas gordas; ~B : conjunto das pessoas de altura moderada.

É conveniente expressar estes conjuntos fuzzy por diagramas de Venn porque a idéia de “gordas” e “altura moderada” são diferentes de pessoa para pessoa e depende da situação. Não é prático dividir as pessoas em um grupo “gordas” e outras “não gordas”. O grau de pessoas “gordas” pode variar de “pouco pesado” até “extremamente pesado”. Portanto é necessário expressar um grau de as pessoas serem “gordas”. Neste exemplo, atribuiremos um número real entre 0 e 1 para definir o grau de pertinência. Grau 1 significa que a pessoa pertence completamente ao conjunto de “pessoas gordas” e 0 denota que a pessoa não faz parte do conjunto. Neste caso, suponha que nós podemos expressar o grau de “gordas” e “altura moderada” como na tabela 1.1.

TABELA 1.1. Grau de “gordas” e “altura moderada”

Conjunto das pessoas Anne Bob Cathy John Linda Tom Gordas 0.5 0.9 0.3 0.4 0.7 0.6 Altura moderada 0.4 0.1 0.5 0.7 0.9 0.8

Funções de pertinência dos conjuntos fuzzy definem o grau mostrado na tabela. Na função característica dos conjuntos crisp devemos decidir o grau, 0 ou 1, enquanto que as funções de pertinência nos permitem escolher um valor real arbitrário entre 0 e 1.

No exemplo anterior, os conjuntos fuzzy foram distinguidos como ~A e

~B usando o

sinal ~ . Daqui em diante, não será usado o sinal ~ a menos que tenhamos que distinguir conjuntos fuzzy de conjuntos crisp. Conjuntos fuzzy podem ser assumidos como uma ampliação dos conjuntos crisp. Conseqüentemente, funções de pertinência são uma extensão de funções características.

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Conjuntos fuzzy podem ser assumidos como uma ampliação dos conjuntos crisp.


Conjuntos fuzzy e funções de pertinência Um conjunto ou subconjunto fuzzy A de um universo X é um conjunto definido por uma função de pertinência µA representando um mapeamento

{0,1}X:µ A → (1.12)

Aqui o valor de µA(x) para o conjunto fuzzy é chamado de valor de pertinência ou grau de pertinência de Xx∈ . O valor de pertinência representa o grau com que x faz parte do conjunto fuzzy A.

O valor da função característica para os conjuntos crisp definido em (1.11) ou era 0 ou 1. Porém, o valor de pertinência de um conjunto fuzzy pode ser um real arbitrário entre 0 e 1 como indicado por (1.12). Um valor de µA(x) próximo de 1, indica um alto grau de pertinência de um elemento x em um conjunto fuzzy A. Se µA(x) = 1, o elemento x pertence completamente ao conjunto fuzzy A. Se µA(x) = 0, o elemento x não pertence do conjunto A.

EXEMPLO 1.3. Funções de pertinência e funções características.

Neste exemplo comparam-se as funções de pertinência com as funções características para demonstrar as propriedades dos conjuntos fuzzy. Existem vários exemplos de conjuntos fuzzy baseados na altura das pessoas. As figuras 1.3 e 1.4 mostram as funções características e de pertinência, respectivamente, para estaturas “baixa”, “média” e “alta”. Suponha que a altura de três pessoas A, B e C é dada como:

A: 179 cm B: 171 cm C: 169 cm.

Figura 1.3: conjuntos Crisp da altura.


Figura 1.4: conjuntos fuzzy da altura.

Se compararmos a altura individual com o conjunto crisp definido na figura 1.3, podemos obter os valores da função característica como na tabela 1.2.

Tabela 1.2. Valor da função

característica em conjuntos crisp Altura Baixa média Alta

A 179 cm 0 1 0 B 171 cm 0 1 0 C 168 cm 1 0 0

O valor da função característica indica que A e B pertencem ao conjunto de altura “média”, e C pertence ao conjunto de altura “baixa”. Porém, A ou B pode se sentir incômodos com relação a esta divisão, já que a diferença de altura entre B e C é somente 3 cm, enquanto que a diferença ente A e B é 8 cm e eles estão no mesmo grupo. Isto é devido à divisão do conjunto de altura “média” estar entre 170 cm e 180 cm.

Por outro lado, obtemos o valor de pertinência da altura do indivíduo comparando os conjuntos fuzzy mostrados na figura 1.4 e o valor da altura atual. A tabela 1.3 mostra tais valores de pertinência. Esta tabela mostra, por exemplo, que A pertence ao conjunto ”médio” em um grau de 0.6, enquanto que A não pertence ao conjunto “baixo”. Se queremos expressar as alturas lingüisticamente, as expressões podem ser as seguintes:

A: alto médio B: baixo médio C: relativamente baixo

Tabela 1.3. Valor da função de transferência em conjuntos fuzzy. Altura baixa média alta

A 179 cm 0 0.4 0.6 B 171 cm 0.4 0.6 0 C 168 cm 0.7 0.3 0


Quando expressamos a altura em conjuntos fuzzy, a divisão não resultará em uma diferença constrangedora como no caso dos conjuntos crisp, e cada indivíduo ficará satisfeito com o resultado. Conjuntos fuzzy podem, portanto, dar oportunidades para expressar aspectos sensíveis de maneira que fique mais próximo do sentimento humano, que no caso dos conjuntos crisp.

Os conjuntos fuzzy precisam ser definidos corretamente para refletir a situação. Por exemplo, o significado de “rápido” e “médio” podem ser diferentes dependendo da situação. Vamos discutir a “apropriada” definição de conjuntos fuzzy no exemplo seguinte.

EXEMPLO 1.4. Definição de conjuntos fuzzy dependentes da situação

Quando pensamos na velocidade de um carro, a interpretação de quanto “veloz” o carro está indo é diferente se está rodando em uma estrada normal ou em uma rodovia. A figura 1.5 mostra a diferença de definição do conjunto fuzzy “velocidade”. A velocidade de 80 km/h pode provavelmente ser considerada “rápida” em uma estrada normal mas poder não ser considerada rápida em uma rodovia.

Figura 1.5: Diferença na velocidade de um carro dependendo da situação

Um outro exemplo é o conjunto fuzzy que representa a altura “moderada”. A interpretação de altura “moderada” é diferente, por exemplo, de um país para outro e também varia de um esporte para outro. A altura média de um homem americano é maior que a de um homem japonês, e a altura média de um jogador de voleibol é maior que de um jockey. A figura 1.6 mostra tais diferenças na definição do conjunto fuzzy altura “moderada”.

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Conjuntos fuzzy podem, portanto, dar oportunidades para expressar aspectos sensíveis de maneira que fique mais próximo do sentimento humano, que no caso dos conjuntos crisp.


Figura 1.6: Conjuntos fuzzy representando altura moderada: (a) diferença na nacionalidade; (b) diferença em esportes.

1.1.3 A Notação de Conjuntos Fuzzy

Foi mostrado em 1.1.2 que os conjuntos fuzzy podem ser expressos como uma extensão dos conjuntos clássicos. Contudo, devemos tomar cuidado com a notação dos conjuntos fuzzy porque eles fazem uso especial de símbolos que aparecem na matemática normal. Muitos estudiosos iniciais ficaram confusos com a notação especial dos conjuntos fuzzy.

Os métodos de expressar os conjuntos fuzzy podem ser divididos em dois, de acordo as seguintes definições.

Expressões de conjuntos fuzzy

• Expressões discretas (quando o universo é finito): Considere-se o universo X como }x...,,x,{xX n21= .

Então, um conjunto fuzzy A em X pode ser representado como segue:

∑=

=+++=N

1IiiAnnA22A11A )/x(xµ)/x(xµ)/x(xµ)/x(xµA L (1.13)

• Expressões contínuas (quando o universo é infinito): quando o universo X é um conjunto infinito, um conjunto fuzzy pode ser representado como segue.

∫= x )/x(xµA iiA (1.14)


O símbolo / em (1.13) e (1.14) é chamado de separador. À direita do separador aparece o elemento do universo enquanto que no lado esquerdo, seu valor de pertinência no conjunto definido. Cada elemento é descrito da mesma forma, sendo conectados através do símbolo “+”. Na matemática normal os símbolos / e + significam divisão e adição, respectivamente, mas eles têm diferente definição em conjuntos fuzzy. Se precisarmos juntar termos em expressões discretas, utiliza-se o símbolo Σ mas cujo significado também é diferente do símbolo normal em matemática.

Existem duas outras regras para expressões discretas:

i. Quando o grau de pertinência de um elemento x’ é zero, isto é 0)( ' =xAµ , não escrevemos 0/x’ ; o termo é omitido.

ii. Se existem vários valores atribuídos a um elemento do universo, podemos tomar o valor máximo para representar o valor de pertinência. Por exemplo, para x’

./x./x./x./x. '''' 70307060 >−++

Por outro lado, em uma expressão contínua, o símbolo ∫ é usado como generalização de Σ para o mundo contínuo, e não tem nenhuma conexão com integral. No lado inferior direito do símbolo ∫ nós escrevemos o nome do universo de forma que indique em qual universo o conjunto fuzzy está representado. Numa expressão contínua, existe um número infinito de elementos e não podemos escrever os elementos e seus valores de pertinência. Conseqüentemente, colocamos os elementos como uma variável x à direita do separador, e a função de pertinência no lado esquerdo.

Reescrevendo a definição da expressão dos conjuntos fuzzy em uma forma mais geral:

Expressões dos conjuntos fuzzy

• Expressões discretas:

(Valor de pertinência do primeiro elemento) / (o valor do primeiro elemento) + (valor de pertinência do segundo elemento) / (o valor do segundo elemento) + . . . + (valor do n-ésimo elemento) / (o n-ésimo elemento)

=∑=

−−n

1ielemento)ésimoiovalor(o/elemento)ésimoidoapertinêncide(valor

• Expressões contínuas:

∫universovariável)a/elementopertinêncide(função


Pode haver um número infinito de variações nos conjuntos fuzzy mas tipos práticos são limitados. Introduziremos no próximo exemplo alguns conjuntos fuzzy populares.

EXEMPLO 1.5. Conjuntos fuzzy populares

Neste exemplo introduziremos três diferentes tipos de conjuntos fuzzy – triangular, trapezoidal, e exponencial.

EXEMPLO 1.5.i. Conjuntos fuzzy triangulares As figuras 1.7 e 1.8 mostram conjuntos fuzzy triangulares com expressões contínua

e discreta, respectivamente, com base 4 e máximo em x = 0.

A expressão contínua dos conjuntos fuzzy na figura 1.7 é

.2

22

2 2

0

0

2 ∫∫

−

+

+

=−

xxxxA

Figura 1.7: expressão infinita (triangular).

Vamos reescrever esta expressão por uma expressão finita.

Caso 1. Se o universo X é dado como

}2,1,0,1,2{ −−=X ,

.1/5.00/0.11/5.0 ++−=A

Isto está mostrado na figura 1.8.


Figura 1.8: expressão finita (caso 1).

Caso 2. Se o universo X é mais complicado como

},2,5.1,1,5.0,0,5.0,1,5.1,2{ −−−−=X

.5.1/25.01/5.05.0/75.00/0.15.0/75.01/5.05.1/25.0 +++++−+−=A

Isto caso está mostrado na figura 1.9.

Figura 1.9: expressão finita (caso 2).

EXEMPLO 1.5.ii. Conjuntos fuzzy trapezoidais A figura 1.10 mostra um exemplo de conjunto fuzzy trapezoidal. Esse conjunto pode ser expresso por uma expressão infinita:

.2

4/12

4 2

2

4

2

2

4 ∫ ∫∫ −

−

−

−

++

+

= xxxxxB


Figura 1.10: conjunto fuzzy trapezoidal.

A seguir, vamos imaginar uma expressão finita. Se o universo X é dado como

},5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5{ −−−−−=X

a expressão finita do conjunto fuzzy B será

.3/5.02/11/10/11/12/13/5.0 ++++−+−+−=B

EXEMPLO 1.5.iii. Conjuntos fuzzy exponenciais A figura 1.11 mostra um exemplo de um conjunto fuzzy exponencial. A função de pertinência deste tipo de conjunto fuzzy é expressa por uma função exponencial. A expressão infinita deste tipo de conjunto fuzzy pode ser

∫ −−=x

x xeD ./2)5(5.0

vamos agora considerar uma expressão finita do conjunto fuzzy exponencial. Se o universo X é dado como

},10,8,6,4,2,0{=X

então a expressão finita de D será .8/11.06/607.04/607.02/11.0 +++=D

Figura 1.11: conjunto fuzzy exponencial.


Os valores de pertinência do elemento 0 e 10 são muitos pequenos e aproximadamente 0, conseqüentemente eles podem ser omitidos da expressão:

.01073.3)10()0( 6 ≈×== −DD µµ

A seguir, o método de representação dos conjuntos fuzzy em programas computacionais será introduzido. A expressão discreta é mais apropriada que expressão contínua para representação computacional, devido que os conjuntos fuzzy são representados por vetores, como será mostrado mais à frente. Expressões contínuas de conjuntos fuzzy são freqüentemente aproximadas por expressões discretas.

O problema da expressão discreta para o conjunto fuzzy original é quantos elementos devem ser especificados para a expressão discreta. Se designarmos poucos elementos, a precisão da aproximação do conjunto fuzzy não é muito boa. Por outro lado, com muitos elementos há um consumo grande de memória. Conseqüentemente, precisamos selecionar um número apropriado de elementos para a expressão discreta.

Foi mencionado que os vetores são eficazes para a representação de conjuntos fuzzy discretos em computadores. Existem muitas outras técnicas aplicáveis para representação semelhante. Entretanto, cada método é basicamente idêntico na sua função. Logo aqui focalizaremos apenas a representação via vetores.

Suponha um conjunto fuzzy A definido como

.)/X(xµ)/X(xµ)/X(xµ)/X(xµ)/X(xµA 55A44A33A22A11A ++++=

Se colocarmos o valor de pertinência deste conjunto fuzzy em um vetor semelhante à linguagem C, obtemos

O dado precedente representa um vetor para A em um computador.

A relação entre os elementos do vetor e o valor de pertinência é

.5,4,3,2,1),(]1[ ==− ixiA iAµ

EXEMPLO 1.6. Representação de conjuntos fuzzy em computadores.

Neste exemplo vamos representar o conjunto fuzzy exponencial introduzido no exemplo 1.5.iii usando vetores.

O universo X é dado por },10,8,6,4,2,0{=X

e o conjunto fuzzy é

.8/11.06/607.04/607.02/11.0 +++=D

Substituindo os valores de pertinência nos elementos do vetor um por um, obtemos:

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devido que os conjuntos fuzzy são representados por vetores, como será mostrado mais à frente. Expressões contínuas de conjuntos fuzzy são freqüentemente aproximadas por expressões discretas.

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A expressão discreta é mais apropriada que expressão contínua para representação computacional, devido


Como no exemplo anterior, os índices do vetor e os elementos do universo em geral não são iguais. Em tal caso, devemos notar a correspondência dos índices e dos elementos do universo. Neste exemplo, para D existem as seguintes relações entre os índices do vetor e os elementos do universo.

índice Elementos do universo

0 → 0

1 → 2

2 → 4

3 → 6

4 → 8

5 → 10

generalizando a → 2 a

Se especificarmos a como índice, o correspondente elemento do universo é 2 a . Por exemplo, o índice 3 do vetor corresponde ao elemento 6 do universo. Igualmente, o elemento 8 do universo corresponde ao índice 4. Se escrevemos tal correspondência em uma equação geral, temos:

)1/()( minmaxmin −−+= nxxixuniversodoelementoO

onde

minx : é o valor mínimo dos elementos do universo;

maxx : é o valor máximo dos elementos do universo;

i : é o índice dos elementos do vetor; e

n : é o número de elementos do universo.

Para que a equação acima seja válida, os elementos do universo precisam estar separados igualmente. Por exemplo, se o universo X é dado por:

},10,7,6,3,2,0{=X

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Se especificarmos a como índice, o correspondente elemento do universo é 2 a

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Isto é uma forma para se evitar o uso de outro vetor para o conjunto universo


os elementos não estão distanciados igualmente um do outro, e nós não podemos aplicar a equação anterior.

Vamos aplicar a equação apresentada acima para o vetor D, então. Antes de tudo, encontramos

6;10

;0

max

min

===

nxx

Se o índice i = 0, o elemento correspondente do universo pode ser obtido como

05

1000 =×+

similarmente, se i = 2, o elemento correspondente do universo será

45

1020 =×+

1.1.4 Conjuntos fuzzy Normal, Convexo e Cardinalidade Nesta seção, descreveremos os conjuntos fuzzy Normal, Convexo e a sua

Cardinalidade.

Normal, convexo e cardinalidade.

Seja A um conjunto fuzzy do universo X. Os conjuntos fuzzy normal, convexo e a cardinalidade são definidos como segue.

• Conjunto fuzzy normal: o conjunto fuzzy A é normal se

1.(x)µ AXx

max =∈

(1.15)

• Conjunto fuzzy convexo: o conjunto fuzzy A é convexo se

)).(),(min())1((

]1,0[,,

2121

21

xxxxXxXxpara

AAA µµλλµλ

≥−+∈∀∈∀∈∀

(1.16)


• Cardinalidade: quando X é um conjunto finito, a cardinalidade do conjunto fuzzy A em X é definido por

∑∈

=Xx

A xA ).(µ (1.17)

• Cardinalidade relativa: a cardinalidade relativa de um conjunto fuzzy A em X é definido por

.XA

A = (1.18)

onde |A| é a cardinalidade de A e |X| é a cardinalidade do universo X.

A equação (1.15) significa que se o valor máximo do grau de pertinência for igual a 1, o conjunto fuzzy é normal.

Alternativamente, podemos definir uma função para o valor máximo de Aµ como

(x)µmaxmaximo(A) AXx∈

= ,

e se Maximo(A) = 1, o conjunto fuzzy A é normal.

A equação (1.16) para o conjunto fuzzy convexo pode também ser definida como segue. Em um intervalo arbitrário [x1, x2] para todo x ∈ [x1, x2] a seguinte condição torna-se verdadeira,

))(),((min)( 21 xxx AAA µµµ ≥ ,

onde min( a , b ) é o operador que retorna o menor valor entre a e b .

A definição de cardinalidade para conjuntos fuzzy é uma expansão de cardinalidade para os conjuntos crisp. Vamos supor uma função de pertinência especial tal como:

∉∈

=AxAx

xA 01

)(µ .

Esta é função característica de um conjunto crisp. Neste caso o valor de ∑∈Xx

A x)(µ é o

número de elementos e (1.17) e resulta na cardinalidade do conjunto crisp.


EXEMPLO 1.7. Conjuntos fuzzy normal, convexo e cardinalidade dos conjuntos

A figura 1.12, 1.13 e 1.14 mostram exemplos de conjuntos fuzzy normal, convexo e a cardinalidade de conjunto fuzzy, respectivamente.

A seguir é realizada uma discussão e avaliação de normalidade e convexidade de um conjunto fuzzy a partir de vetores de dados.

A[0] A[1] A[2] A[3] A[4] A[5] Nome do vetor A 0.5 0.9 0.7 1.0 0.7 0.3

B[0] B[1] B[2] B[3] B[4] B[5] Nome do vetor B 0 0.4 0.8 0.7 0.2 0

Para avaliar se um conjunto fuzzy é normal, devemos encontrar o valor máximo do vetor e verificar se é igual a 1. Devido o máximo valor do vetor A ser 1.0, o conjunto fuzzy A é normal. Por outro lado, devido o máximo valor do vetor B ser 0.8, o conjunto fuzzy B não é normal.

Figura 1.12. conjuntos fuzzy: (a) normal; (b) não normal.

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Para avaliar se um conjunto fuzzy é normal, devemos encontrar o valor máximo do vetor e verificar se é igual a 1. Devido o máximo valor do vetor A ser 1.0, o conjunto fuzzy A é normal. Por outro lado, devido o máximo valor do vetor B ser 0.8, o conjunto fuzzy B não é normal.


A avaliação de convexidade não é realizada diretamente como da normalidade. Partindo do primeiro (mais à direita) elemento do vetor, comparamos os elementos adjacentes seqüencialmente. Observamos a relação para os primeiros elementos como

1,....0,i1],A[iA[i] =+<

Se a desigualdade anterior não se cumpre até o i-ésimo elemento, armazenamos o índice i. No vetor A do exemplo anterior, notamos que A[1] > A[2]. Portanto armazenamos o índice 1.

Figura 1.13. conjuntos fuzzy: (a) convexo; (b) não

convexo.

Figura 1.14. cardinalidade de conjuntos fuzzy.


Em seguida, do último (mais a direita) elemento do vetor comparamos os elementos adjacentes na direção inversa. Observamos para os primeiros elementos da pesquisa a seguinte desigualdade;

2,....-k1,-kk,i1],A[iA[i] =+≥

Aqui, k é o maior índice. Logo, armazenamos o índice i + 1, se esta relação não é verdadeira para i. No vetor A, observa-se que A[2] < A[3], assim armazenamos o índice 3. Se o índice armazenado nas operações anteriores são os mesmos, o conjunto fuzzy é convexo. Se dois índices são diferentes para o vetor A, o conjunto fuzzy A não é convexo.

Se aplicarmos o mesmo procedimento ao vetor B, obtemos o mesmo índice 2 em ambas as direções de busca, e conseqüentemente, o conjunto fuzzy B é convexo.

1.2 Operações fundamentais com conjuntos fuzzy – União, Intersecção e Complemento

Nesta seção introduziremos a união,intersecção e complemento de conjuntos fuzzy. Estas podem ser deduzidas pela operação de suas funções de pertinência, como definido a seguir.

União, intersecção e complemento de conjuntos fuzzy

• União dos conjuntos fuzzy A e B: a união BA ∪ dos conjuntos fuzzy A e B é um conjunto fuzzy definido pela função de pertinência:

(x)µ(x)µ(x)µ BABA ∨=∪ (1.19) onde

<

≥=∨

(x)µ(x)µ(x)µ

(x)µ(x)µ(x)µ(x)µ(x)µ

BAB

BAABA

(x)µ(x)µ BA ∨ pode ser reescrita como (x)}µ(x),max{µ BA .

• Intersecção dos conjuntos fuzzy A e B: a intersecção BA ∩ dos conjuntos fuzzy A e B é um conjunto fuzzy definido pela função de pertinência:

Windows XP

Se dois índices são diferentes para o vetor A, o conjunto fuzzy A é não convexo.

Windows XP

x) µ (x) µ B A ∨ pode ser reescrita como (x)} µ (x), max{µ B A .


(x)µ(x)µ(x)µ BABA ∧=∩ (1.20) onde

>

≤=∧

(x)µ(x)µ(x)µ

(x)µ(x)µ(x)µ(x)µ(x)µ

BAB

BAABA ;

(x)µ(x)µ BA ∧ pode ser reescrita como (x)}µ(x),min{µ BA .

• Complemento do conjunto fuzzy A: o complemento do conjunto fuzzy A é definido pela função de pertinência:

(x)µ1(x)µ AA −= (1.21)

Note que união, intersecção e complemento de conjuntos crisp são casos especiais de união, intersecção e complemento dos conjuntos fuzzy, respectivamente. Conseqüentemente, através da substituição da função de pertinência por equações características podemos deduzir as operações fundamentais dos conjuntos crisp.

EXEMPLO 1.8 União, intersecção e complemento de conjuntos fuzzy

As figuras 1.15, 1.16, 1.17 mostram exemplos de união, intersecção e complemento de conjuntos fuzzy. As funções de pertinência da união, intersecção e complemento são derivadas a partir das definições (1.19) - (1.21) .

Figura 1.15. União: (a) conjuntos fuzzy; (b) conjuntos crisp.

Figura 1.16. intersecção: (a) conjuntos fuzzy; (b) conjuntos crisp.

Windows XP

(x) µ (x) µ B A ∧ pode ser reescrita como (x)} µ (x), min{µ B A .


Figura 1.17. complemento: (a) conjuntos fuzzy; (b) conjuntos crisp.

Agora mostraremos como calcular a união, intersecção e complemento computacionalmente Foi mencionado que os conjuntos fuzzy podem ser representados por vetores. Considerem-se os vetores:

A 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

B 0 0 0.1 0.4 0.7 1.0 0.7 0.4 0.1 0

Para calcular a união BA ∪ comparamos cada elemento correspondente dos vetores e substituímos o maior valor dos dois em um outro vetor representando BA ∪ . De A e B acima obtemos

BA ∪ 0 0.1 0.6 1.0 0.7 1.0 0.7 0.4 0.1 0

A figura 1.18 mostra esta operação.

Figura 1.18. união de A e B.

Por outro lado, para calcular a intersecção BA ∩ substituímos o menor valor dos elementos correspondentes em um outro vetor representando BA ∩ como abaixo:

A 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

B 0 0 0.1 0.4 0.7 1.0 0.7 0.4 0.1 0

BA ∩ 0 0 0.1 0.4 0.6 0.1 0 0 0 0

Windows XP

Agora mostraremos como calcular a união, intersecção e complemento computacionalmente Foi mencionado que os conjuntos fuzzy podem ser representados por vetores. Considerem-se os vetores:

Windows XP

Para calcular a união B A ∪ comparamos cada elemento correspondente dos vetores e substituímos o maior valor dos dois em um outro vetor representando B A ∪ . De A e B acima obtemos


A figura 1.19 indica esta operação.

Figura 1.19. intersecção de A e B.

O complemento pode ser obtido subtraindo-se cada elemento de 1. O vetor A é dado como segue.

A 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

A 1.0 0.9 0.4 0 0.4 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0

A figura 1.20 mostra como é esta operação.

Figura 2.20. complemento de A.

O princípio de operação de conjuntos fuzzy tem as seguintes propriedades. Algumas propriedades são válidas tanto para conjuntos fuzzy quanto para conjuntos crisp. Outras propriedades são válidas somente para os conjuntos crisp.

Propriedades dos conjuntos fuzzy

Sejam A, B e C conjuntos fuzzy em um universo X.

i. Propriedades válidas para ambos conjuntos. • Lei da idempotência:

., AAAAAA =∩=∪ (1.22)

• Lei comutativa: ., ABBAABBA ∩=∩∪=∪ (1.22)

• Lei associativa: (1.24)


.)()(,)()(

CBACBACBACBA

∩∩=∩∩∪∪=∪∪

• Lei distributiva:

).()()(),()()(

CABACBACABACBA

∩∪∩=∪∩∪∩∪=∩∪

(1.25)

• Lei de dupla negação: .AA =

(1.26)

• Lei de Morgan:

.BABA

BABA

∪=∩

∩=∪ (1.27)

ii. Propriedades válidas para os conjuntos crisp, mas em geral não são válidas para os conjuntos fuzzy.

• Lei da metade excluída: XA ≠∪ A

(1.28)

• Lei da contradição: φ≠∩ AA onde φ é o conjunto vazio

(1.29)

As leis da metade excluída e da contradição não são válidas em conjuntos fuzzy.

EXEMPLO 1.9. Leis da metade excluída e da contradição

Neste exemplo mostramos as leis da metade excluída e da contradição, as quais não são aplicadas aos conjuntos fuzzy. A figura 1.21 indica a lei da metade excluída enquanto que a figura 1.22 mostra a lei da contradição.

Figura 1.21. lei da metade excluída.

Windows XP

As leis da metade excluída e da contradição não são válidas em conjuntos fuzzy.


Figura 1.22. lei da contradição.

A seguir apresentaremos a igualdade e inclusão de conjuntos fuzzy.

Igualdade e inclusão de conjuntos fuzzy

Sejam A e B conjuntos fuzzy no universo X.

• Igualdade de conjuntos fuzzy: a igualdade dos conjuntos fuzzy A e B é definida como

.),()( xxxxBA xBA ∈∀=⇔= µµ (1.30)

• Inclusão de conjuntos fuzzy: a inclusão do conjunto fuzzy A em B, ou A sersubconjunto de B, é definida como

.),()( xxxxBA BA ∈∀≤⇔⊂ µµ (1.31) Os conjuntos fuzzy A e B são iguais quando os seus valores de pertinência são idênticos. Semelhantemente, A está incluído em B quando todos os valores de pertinência de B são iguais ou maiores que os correspondentes valores de A.

As figuras 1.23 e 1.24 mostram a igualdade e inclusão, respectivamente.

Figura 1.23. igualdade.


Figura 1.24. inclusão.

A seguir é apresentada uma descrição de como tratar a igualdade e a inclusão computacionalmente. Suponha que os vetores para representar os conjuntos fuzzy A e B são dados como segue.

A 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

B 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

Para avaliar a igualdade dos conjuntos fuzzy, deve-se comparar cada elemento correspondente e verificar se eles são iguais.

No caso dos vetores acima, nota-se que

A[i] = B[i], i = 0, ..., 9.

Conseqüentemente A = B.

Agora, admitamos que os conjuntos A e B são dados pelos vetores:

A 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

B 0 0.1 0.6 1.0 0.8 0.1 0 0 0 0

Neste caso, A[4] ≠ B[4] e então A ≠ B.

Como mostrado nesse exemplo, se um par de valores de pertinência não são iguais, então a igualdade não é válida.

Vejamos agora a inclusão de conjuntos fuzzy A e B. Para avaliar a inclusão BA⊂ , devemos comparar os elementos correspondentes e verificar se os valores dos elementos de B são iguais ou maiores que aqueles de A. Considere os vetores:

A 0 0.1 0.5 0.9 0.5 0 0 0 0 0

B 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

Windows XP

Como mostrado nesse exemplo, se um par de valores de pertinência não são iguais, então a igualdade não é válida.


Quando comparamos estes vetores, nós observamos

.9,,0],[][ L=≤ iiBiA

Portanto, BA⊂ .

Entretanto, se A e B são

A 0 0.1 0.5 0.9 0.9 0 0 0 0 0

B 0 0.1 0.6 1.0 0.6 0.1 0 0 0 0

A[4] > B[4].

Então BA⊄ .

1.3 Cortes α e Princípio da decomposição

Em esta seção, é apresentado o conceito de cortes α e o princípio da decomposição baseado na idéia de cortes α .

Cortes α e princípio da decomposição

Considere um conjunto fuzzy A no universo X. • Cortes : para o conjunto fuzzy A podem ser definidos os seguintes cortes – α .

cortes α robustos: )1,0[},)(|{ ∈≥= ααµα xxA A (1.32) cortes α fracos: ]1,0(},)(|{ ∈≥= ααµα xxA A (1.33)

Os cortes α fracos são às vezes chamados de conjuntos de níveis α. • Princípio de decomposição: Usando cortes α pode-se decompor uma função de

pertinência )(xAµ em um número infinito de funções de pertinência retangulares )).()(( xorx

AA

αα

χαχα ∧∧ Quando agregamos estas funções

de pertinência e aplicamos a operação max, pode ser obtido o conjunto fuzzy original:

)]([max)]([max)(]1,0()1,0[

xxx AAA ααχαχαµ

αα∧=∧=

∈∈ (1.34)

onde )(xAαχ é uma equação característica do conjunto αA .

Windows XP

Quando agregamos estas funções

Windows XP

de pertinência e aplicamos a operação max, pode ser obtido o conjunto fuzzy

Windows XP

original:


A figura 1.25 mostra um exemplo de um corte α.

A figura 1.26 ilustra a idéia do princípio da decomposição. Seja uma função característica de um corte α fraco )(xAσ

χ para um ]1,0(∈α . Define-se a função de pertinência retangular que satisfaz ).(xAα

χα ∧ . Mudando o valor de α no intervalo de ]1,0(∈α repetimos a mesma operação e obtemos um numero infinito de funções de

pertinência retangular. O princípio de decomposição nos permite que a função de pertinência do conjunto fuzzy original A pode ser expresso pela operação max das funções de pertinência retangular obtidas previamente. Isto é definido por

)]([max)(]1,0(

xx AA αχαµ

α∧=

∈

Figura 1.25. Corte α

Figura 1.26. Princípio de Decomposição

Windows XP

pode ser expresso pela operação max das funções de pertinência retangular obtidas previamente.


Exemplo 1.10. PRINCÍPIO DE DECOMPOSIÇÃO Assumindo um conjunto fuzzy A definido pela expressão discreta: A= 0.2/1+0.5/2+0.7/3+1.0/4+0.8/5+0.4/6+0.2/7. Se aplicamos corte α para ]1,0(∈α desde 0.1 até 1 com o tamanho de passo de 0.1, obtemos os seguintes cortes α

{ }{ }

{ }{ }

{ }{ }4

5,4

5,4,3

5,4,3,2

7,6,5,4,3,2

7,6,5,4,3,2,1

0.19.0

8.0

7.06.0

5.0

4.03.0

2.01.0

==

=

==

=

==

==

AA

A

AA

A

AA

AA

Agora tentemos reconstruir a conjunto fuzzy A usando os cortes α . Primeiro reescrevemos os cortes α usando expressões discretas de conjuntos fuzzy como a seguir.

=1.0

A 1.0/1 +1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 + 1.0/7 =

2.0A 1.0/1 +1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 + 1.0/7

=3.0

A 1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 =

4.0A 1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6

=5.0

A 1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 =

6.0A 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5

=7.0

A 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 =

8.0A 1.0/4 + 1.0/5

=9.0

A 1.0/4 =

0.1A 1.0/4 Aqui, já que 1.0A é obtido como :

]7,6,5,4,3,2,1[1.0=A ,

Quando associamos o valor 1.0 para a equação característica para estes elementos,

obtemos

=1.0

A 1.0/1 +1.0/2 + 1.0/3 + 1.0/4 + 1.0/5 + 1.0/6 + 1.0/7

Windows XP

Primeiro reescrevemos os cortes α usando expressões discretas de conjuntos fuzzy como a seguir.


Com operações similares derivamos a expressão anterior desde 2.0

A até 1.0A . Se focalizamos o valor da equação característica, notamos que

( ) ( ) .0.17...1 ===αα

χχ AA Em seguida, calculamos )(xAα

χα ∧ . Assumindo

7...,,2,1 721 === xxx ou

iX i = para i = 1,..., 7. Se denotamos como *

αA o conjunto fuzzy que tem )(xAαχα ∧ como o valor de

pertinência, podemos calcular *αA como segue.

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*1.0

/1.01.0

iiiA xxx

( )[ ] ( )[ ] 7711 /1.0.../1.01.01.0

xxxxxx AA ∧++∧=

( )[ ] ( )[ ] 7/1.0...1/1.0 71 1.01.0xxxx AA ∧++∧=

= 0.1/1 +0.1/2 + 0.1/3 + 0.1/4 + 0.1/5 + 0.1/6 + 0.1/7

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*2.0

/1.02.0

iiiA xxx

= 0.2/1 +0.2/2 + 0.2/3 +0.2/4 + 0.2/5 + 0.2/6 + 0.2/7

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*3.0

/1.03.0

iiiA xxx

= 0.3/2 + 0.3/3 +0.3/4 + 0.3/5 + 0.3/6

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*4.0

/1.04.0

iiiA xxx

= 0.4/2 + 0.4/3 +0.4/4 + 0.4/5 + 0.4/6

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*5.0

/1.05.0

iiiA xxx

= 0.5/2 + 0.5/3 +0.5/4 + 0.5/5

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*6.0

/1.06.0

iiiA xxx

= 0.6/3 +0.6/4 + 0.6/5

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*7.0

/1.07.0

iiiA xxx

= 0.7/3 +0.7/4 + 0.7/5

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*8.0

/1.08.0

iiiA xxx

= 0.8/4 + 0.8/5


A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*9.0

/1.09.0

iiiA xxx

= 0.9/4

A ( )[ ]( )∑=

∧=7

1

*0.1

/1.00.1

iiiA xxx

= 1.0/4 Calculando a união dos conjuntos fuzzy anteriores, podemos obter o conjunto fuzzy original A como:

[ ]( )UU]1,0(

7

1]1,0(

* )/)(∈ =∈

∧= ∑αα

α αα

iiiA xxXA

= 0.2/1 +0.5/2 + 0.7/3 +1.0/4 + 0.8/5 + 0.4/6 + 0.2/7 =A Isto também pode ser escrito como:

)]([maxmax)(]1,0(

xXx AA ααµ

α∧=

∈

A expressão anterior é o mesma de (1.34). Em este exemplo, a resolução de valores de pertinência é 0.1, sendo suficiente para representar o conjunto fuzzy A por cortes α . Para um conjunto fuzzy contínuo, a operação max poderia ser aplicada em forma mais precisa para o intervalo de ]1,0(∈α .

A seguir vamos estudar como calcular os cortes α em computadores. Assumimos um conjunto fuzzy é dado num arranjo vetorial : A [ ]0 A [ ]1 A [ ]2 A [ ]3 A [ ]4 A [ ]5 A [ ]6 A [ ]7 A [ ]8

A 0 0.1 0.6 1.0 0.5 0.1 0 0 0 Os cortes α são calculados pelo processamento dos elementos de A como segue: Se α < [ ]iA , [ ]iA = 1, i = 0,1, ..., 7, 8; [ ]iAnãose , = 0; Para um α que fornece um corte α fraco. Por exemplo, para 2.0=α , 6.0=α , e 8.0=α , os arranjos resultantes serão:


A2.0 0 0 1.0 1.0 1.0 0 0 0 0

A

6.0 0 0 1.0 1.0 0 0 0 0 0

A

8.0 0 0 0 1.0 0 0 0 0 0

1.4 Números Fuzzy e o Princípio da Extensão

Na seção 1.4.1 introduzimos o princípio da extensão e na seção 1.4.2 descrevemos operações como números fuzzy usando este princípio. Na seção 1.4.3 descrevemos números fuzzy L-R e fórmulas de cálculo.

1.4.1 Princípio da Extensão

Através do princípio da extensão podemos definir várias operações com conjuntos fuzzy. Quando existe uma relação 23 += xy entre x e y, os valores de y para x = 4 pode ser calculado por: 3=y x 4 +2 = 14

Então, como podemos calcular o valor de y quando x é dado por um conjunto fuzzy tal que x = “próximo de 4?”. O princípio da extensão fornece um método para fazer isto. A figura 1.27 mostra a idéia do princípio da extensão. O processo de cálculo na figura 1.27 pode ser interpretado como: 3 x “Próximo de 4”+2= “Próximo de 12”+2= “Próximo de 14”.

Agora, introduzimos idéias necessárias para explicar o princípio da extensão. Considere-se um mapeamento de um conjunto X para outro conjunto Y, tal que: f : X → Y. Agora, seja A um subconjunto de X. Logo, ( ) ( ){ }AxxfyyAf ∈== ,/ é chamado a imagem de A através de f . Note –se que f(A) é um subconjunto de Y.


Figura 1.27. O conceito do princípio da extensão

Similarmente, seja B um subconjunto de Y. Então. ( ) ( ){ }ByyxfxBf ∈==− ,/1 é chamada imagem inversa de B através de f . ( )Bf 1− é subconjunto de X. Estas relações são definidas para os conjuntos fuzzy A e B pelo princípio da extensão, formalizado a seguir: Princípio da Extensão EXEMPLO 2.11. PRINCÍPIO DA EXTENSÃO Analisemos o processo dos exemplos prévios, usando conjuntos fuzzy e o princípio da extensão:

Estenda um mapeamento f : X Y para relacionar um conjunto fuzzy A em X com um conjunto fuzzy B em Y:

∅=

=∅≠

=−

−

)(0)(

)()(sup)(

1

1

)(

yfxfy

yfxy

A

Af

µµ (1.35)

Quando f é mapeado um a um, podemos escrever a relação anterior simplesmente como:

)()( yAfµ = )(xAµ (1.36)

Windows XP

Quando

Windows XP

f

Windows XP

é mapeado um a um,


3 x “Próximo de 4”+2= “Próximo de 12”+2= “Próximo de 14”. Primeiro de todo, considerar o mapeamento dado por. y = 3x + 2. Fazendo que A seja um conjunto fuzzy “próximo de 4” tal que A = 0.5/3 + 1.0/4 +0.5/5. Também definamos 5,4,3 321 === xxx de forma que

.3,2,1,2,3 =+= ixy ii Já que f fornece o mapeamento de 1:1, podemos aplicar (1.36) para obter f(A) para o conjunto Fuzzy A como segue:

( ) ( ) ( )∑=

=3

1/

iiiAf yyAf µ

= ( ) ( )∑=

+3

123/

iiiA xyµ

= 0.5/(3 x 3 + 2) + 1.0/(3 x 4 + 2) + 0.5/(3 x 5 + 2) = 0.5/11 + 1.0/14 + 0.5/17 = “Próximo de 14”.

Já que )(Af é um conjunto fuzzy assimétrico com valor de pertinência de 1 até 14, podemos interpretar este conjunto fuzzy como “Próximo de 14”.

Agora, estendemos a discussão anterior para um caso geral. Introduzimos a idéia de produto cartesiano usado na definição do princípio da extensão. Produto cartesiano

• Produto cartesiano : seja nxx ,,...1 os elementos de nXX ,,...1 . O conjunto de todas as combinações de ( nxx ,,...1 ) é chamado de produto cartesiano de nXX ,,...1 e é denotado por nXX ×× ,,...1 .

• O produto cartesiano de conjuntos nebulosos: sejam nXX ×× ,,...1 o produto cartesiano do universo nXX ,,...1 , e nAA ,,...1 conjuntos fuzzy em nXX ,,...1 . O produto cartesiano dos conjuntos fuzzy nAA ,,...1 pode ser definido por

nAA ×× ,,...1

= )...,,/()(...,),(min( 11,,... 11 nnAAAA xxxxnn

µµ∫ ×× (1.37)

no universo nXX ×× ,,...1


A seguir o princípio de extensão é generalizado. Princípio da Extensão (no espaço do produto cartesiano) 1.4.2 Números Fuzzy e suas Aplicações

Os números fuzzy são conjuntos fuzzy com considerações especiais para seu fácil cálculo. Podemos definir operações fuzzy usando o princípio da extensão. Primeiro, definamos os números fuzzy. Números fuzzy

Definição: Se um conjunto fuzzy A no universo R de números reais satisfaz as condições seguintes, podemos chamá-lo um número fuzzy:

i. A é um conjunto fuzzy convexo; ii. Existe somente um 0x que satisfaz ;1)( 0 =xAµ e iii. Aµ é contínua em um intervalo. • Números Fuzzy monótonos: Corresponde a um número fuzzy A que satisfaz

a seguinte condição,

].,[1)(),(

21

2121

mmxxmmRmm

A ∈∀=<∈

µ (1.39)

Seja f um mapeamento de nXX ×× ,,...1 para Y , para satisfazer ),,...( 1 nxxfy = . Estendendo a função f:

YXXf n →×× ,,...: 1 , obtemos a relação entre o produto cartesiano nAA ×× ,,...1 dos conjuntos fuzzy

nAA ,,...1 em X e um conjunto fuzzy B (= nAAf ×× ,,...( 1 )) em Y, tal que:

∅=

∅≠=

−

−

××

)(0

)()(...,),(min(sup)(

1

11

...,,...

1

11

yf

yfxxy

nAA

xxxx

B

n

nn

µµµ

(1.38)

Onde )(1 yf − é a imagem inversa de y.


A diferença entre números fuzzy monótonos e outros números fuzzy está no fato

que no primeiro caso, elementos o valor de pertinência de 1 é dado para um intervalo, enquanto que para os segundos, apenas para um ponto.. Figura 1.28 e 2.29 mostra exemplos de números fuzzy e um números fuzzy monótonos respectivamente. Introduzamos as operações de números Fuzzys baseados no princípio da extensão. Aplicando este princípio, obtemos um cálculo “fuzzy” do tipo “próximo de 2” mais “próximo de 3” é “próximo de 5”.

Figura 1.28 Números fuzzy

Operações de números fuzzy baseados no princípio da extensão Usando a definição anterior podemos derivar a aritmética de números fuzzy como segue:

A operação * de números reais pode ser estendida para números Fuzzy A e B no universo X tal que: ( ) ( ) ( )[ ].sup yxz AABA µµµ ∧=⊗ (1.40)

Se reescrevemos a expressão anterior usando conjuntos fuzzy, obtemos

( ) ( )[ ] ( )./ yxyxBAXX BA ∗∧=⊗ ∫ ×

µµ

Onde

Xzyx ∈,,

Windows XP

A diferença entre números fuzzy monótonos e outros números fuzzy está no fato que no primeiro caso, elementos o valor de pertinência de 1 é dado para um intervalo, enquanto que para os segundos, apenas para um ponto..


Aritmética de números fuzzy Se um corte α de um conjunto fuzzy leva a um intervalo fechado, podemos substituir a aritmética precedente de números fuzzy com operações de intervalos. [ ] [ ] [ ] [ ]{ }dcybaxyxzzdcba ,,,,*/,*, ∈∈== Quando escolhemos + ou – para a operação [ ] [ ] [ ]dbcadcba ++=+ ,,, [ ] [ ] [ ]cbdadcba −−=− ,,, Por exemplo. [ ] [ ] [ ]13,78,45,3 =+ [ ] [ ] [ ]1,58,45,3 −=− A multiplicação e divisão não podem ser escritas em uma forma geral como a adição e subtração. Porém, se assumimos a, b, c, d > 0, podemos escrever. [ ] [ ] [ ]dbcadcba *,*,*, = [ ] [ ] [ ]cbdadcba /,/,/, =

Adição:

( ) ( ) ( )[ ].sup yxz AAyx

BA µµµ ∧=+

⊗

Subtração:

( ) ( ) ( )[ ].sup yxz AAyx

BA µµµ ∧=−

⊗

Multiplicação:

( ) ( ) ( )[ ].sup yxz AAyx

BA µµµ ∧=×

⊗

Divisão:

( ) ( ) ( )[ ].sup yxz AAyx

BA µµµ ∧=÷

⊗


Por exemplo, [ ] [ ] [ ]40,128,4*5,3 = [ ] [ ] [ ]25.1,375.08,4/5,3 =

Note que a subtração de números fuzzy não é uma operação inversa da adição, e a divisão não e uma operação inversa da multiplicação. Por exemplo, se subtraímos de um número o próprio , o resultado não será zero, porém é um número “próximo de 0”. EXEMPLO 1.12. Operação com números fuzzy usando o princípio da extensão. A figura 1.30 mostra um exemplo da adição dos números fuzzy “próximo de 2” e “próximo de 3”.

Do resultado desta operação notamos que o número fuzzy obtido no cálculo tem um grau de nebulosidade aumentado. (Note-se que a base do número fuzzy resultante é mais larga que a dos números fuzzy originais).

Figura 1.30 Adição de números fuzzy

Figura 1.31 Subtração de números fuzzy (1)


EXEMPLO 1.13 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FUZZY (1) Calculemos “próximo de 5” menos “próximo de 3”. A figura 1.31 mostra o resultado. Tal como podemos ver da comparação das figuras 1.30 e 1.31 o resultado da subtração “próximo de 5” menos “próximo de 3” não é “próximo de 2”. EXEMPLO 1.14 SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS FUZZY (2) A figura 1.32 mostra “próximo de 3” menos “próximo de 3”. Como podemos ver, o resultado não é zero e sim “próximo de zero”, que corresponde a um número Fuzzy.

Figura 1.32 Subtração de números fuzzy (2)


1.4.3 Números Fuzzy L-R e Fórmulas de Cálculo Dubois e Prade [2] mostraram que os números fuzzy L-R alcançam são eficientes em processos de cálculo. Em esta seção descrevemos as principais operações com números fuzzy L-R. Número Fuzzy L-R

As funções L e R podem ser de qualquer tipo ou tamanho, desde que satisfaçam as condições precedentes. Algumas funções típicas são , por exemplo:

( ) ( ) ( ) ;0||1,0max >=−== pxxRxL p

( ) ( )pxexRxL −==

( ) ( ) ( ) ;0||1/1 >=+== pxxRxL p A figura 1.33 mostra um exemplo de número fuzzy L-R. Escolhendo, m = 10, 1,1 == βα ( ) ( )||1,0max xxL −= ( ) ( )||1,0max xxR −= A seguinte discussão é sobre a notação simplificada de números fuzzy L-R. Expressões Simples para Números Fuzzy L-R

Considere-se a funções L e R que satisfazem as condições:

i. ( ) ( ) ( ) ( );, xxRxLxL −=−= ii. ( ) ( ) ;10,10 == RL

iii. L e R não são funções crescentes iv.

Um números fuzzy L-R, designado como M , pode ser definido usando as funções L e R assim:

( )

>≥

−

>≤

−

=0,

0,

ββ

αα

µmxxmR

mxxmLxM

Onde L e R são chamados funções de forma, m é chamado de valor médio, α e β definem o tamanho da largura da conjunto fuzzy triangular M , para a esquerda e direita do valor médio, respectivamente.

Um número fuzzy L-R é definido pela funções L(x) e R(x), pelo valor médio m e parâmetros α e β , que definem o intervalo do números fuzzy. Logo, usando uma notação simplificada:

LRmM ),,( βα=


Figura 1.33 Número fuzzy L-R

A figura 1.34 mostra o numero fuzzy L-R LRM )1,2,1(= . Aqui, usamos,

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) .

||1,0max||1,0max

xRexLparaxxRxxL

−=−=

Na seguinte discussão é relativa a operações envolvendo números fuzzy usando

expressões simplificadas. Note que, dependendo das operações, LR pode ser substituído por RL. Também, a definição de M para M > 0 é:

( ) .00 ⟨∀= xxMµ Analogamente, a definição de M para M < 0 é:

( ) .00 ⟩∀= xxMµ


Operações com números fuzzy L-R

• Adição:

( ) ( ) ( ) .,,,,,, LRLRLR nmynm δβγαδβα +++=⊕ • Subtração: ( ) ( ) ( ) .,,,,,, LRRLLR nmynm γβδαδβα ++−=− Das definições anteriores podemos derivar a seguinte relação: ( ) ( ) .,,,, RLLR mm αββα −=−

Nota: Observe que aqui a função de pertinência de referência (funções L e R) foi mudada. • Multiplicação: Para .00 >> NeM ( ) ( ) ( ) .,,,,,, LRLRLR nmnmmnynm βδαγδβα ++≈⊗ Para .00 <> NeM ( ) ( ) ( ) .,,,,,, RLLRLR nmnmmnynm γβδαδβα −−≈⊗ Para .00 >< NeM ( ) ( ) ( ) .,,,,,, RLLRLR mnmnmnynm γβδαδβα −−≈⊗ Para .00 << NeM ( ) ( ) ( ) .,,,,,, RLLRLR mnmnmnynm γαδβδβα −−−−≈⊗ Das definições anteriores podemos derivar o seguinte: Para escalar 0>λ

( ) ( ) .,,,, LRLR mm λβλαλβαλ =⊗

Para escalar 0<λ

( ) ( ) .,,,, RLLR mm λαλβλβαλ −−=⊗

• Inversão ( ) ( ) .,,,, 2211

RLLR mmmm αββα −−≈ −−− • Divisão Para .00 >> NeM

( ) ( ) .,,,,,, 22LR

RLLR nnm

nnm

nmynm

++

≈÷βγαδδβα

O cálculo anterior é derivado pela aproximação de 1−⊗=÷ NMNM


Observação: As fórmulas de multiplicação e divisão são aproximadas e válidas sob a hipótese de que a propagação dos argumentos é pequena em comparação dos valores modais dos números fuzzy. EXEMPLO 1.15 Operações com Números fuzzy L-R Sejam números fuzzy M, N,

LR

LR

NM

)1,2,3()2,1,2(

==

A funções de forma são definidas como:

( ) ( )( ) ( )||1,0max

||1,0maxxxRxxL

−=−=

Aplicando a fórmula da soma, obtemos

LR

LRLRNM)3,3,5(

)1,2,3()2,1,2(=

⊕=⊕

A figura 1.35 mostra o resultado desta operação. Quando representamos computacionalmente as operações de números fuzzy L-R, é necessário determinar; i. Valor médio m ii. Os parâmetros βα , e, iii. Funções forma L e R.

Figura 1.34 Número fuzzy L-R LRM )2,1(=


Figura 1.35 Adição de números fuzzy L-R. 1.5 Exemplos Aplicativos de Conjuntos Fuzzy 1.5.1 Casamento (1) Em neste exemplo, consideramos um processo de casamento assistido por computador usando conjuntos fuzzy. Assumindo um cliente A que tem o seguinte ideal de companheiro(a): “Nem jovem nem velho; com salário anual de vários milhares de dólares americanos ou mais”. Existem três candidatos potenciais para o matrimônio: B, C e D. Uma base de dados fornece a idade e os salários:

Nome Idade Ingressos Anuais (Milhares de Dólares)

B 38 100 C 32 50 D 58 20

Podemos expressar a idéia de “jovem”, “velho” e “Salário de vários milhares de dólares” usando conjuntos fuzzy como mostrado na figura 1.36. Devido que A especificou “Nem jovem nem velho” , temos que definir a conjunto fuzzy correspondente a idéia. A figura 1.37 mostra o processo de gerar o conjunto fuzzy para “qualquer jovem ou velho”.


Figura 1.36. Conjunto fuzzy para (a) idade e (b) salário

Figura 1.37. Conjunto fuzzy para (a) jovem e (b) velho

Se designarmos Y como o conjunto Fuzzy de “Jovens” e O para o conjunto fuzzy de “Velhos” obteremos “Não jovens”: Y e “Não velhos”: O .


O conjunto Fuzzy “Nem jovem nem velho” pode ser gerado por OY ∩ . Isto é porque podemos interpretar “nem jovem nem velho” como a intersecção de “Não jovem” e “Não velho”. Escrevendo esta idéia através de funções de pertinência obtemos

( ) ( ))(1)(1)( xxx OOY µµµ γ −∧−=∩ . Comparando o conjunto fuzzy obtido “Nem jovem nem velho” e a idade atual de cada candidato, podemos obter o valor de pertinência da idade individual para o critério. Se aplicamos o mesmo procedimento para o nível de salário, obteremos o valor de pertinência dos candidatos para o ideal de A, como segue:

Nome Idade Salário TotalB 0.9 1.0 0.9 C 0.6 0.5 0.5 D 0.2 0 0

Estes resultados são obtidos por operações min aplicadas aos valores de pertinência de idade e salário. Isto implica que para idades e salários longe do ideal, os candidatos são considerados não qualificados. O valor da avaliação total pode ser interpretado de acordo ao grau de casamento. Se A acena com um nível mínimo de satisfação de 0.8, B será selecionado, pois atende o requisito com 0.9. Existem vários outros métodos para determinar o total de pontos. A multiplicação dos valores de pertinência da idade e salário, ou a média de ambos, pode também ser usado. 1.52 Itinerário de negócios Quando um Professor em Kanasawa vá a Tókio, o itinerário pode ser avaliado via números fuzzy LR Sejam as seguintes quatro alternativas de transporte com custo e tempo de viagem:

Método Transporte Custo (R$)

Tempo Observações

1 Trem bala 240 4 2 Trem expresso 190 6 3 Avião 280 2 Inclui tráfego pelo aeroporto 4 Carro 270 6-8 Inclui combustível e taxa de

pedágio O método da avaliação do transportação é definido como (Avaliação)= (Tempo [horas]) + (custo[R$ 100]). O tempo para cada método de transporte não inclui demoras, tempo requerido para transbordo, entre outros. Se incluirmos tais fatores, podemos usar números fuzzy L-R para representar o tempo, como segue:


Método 1 ;)5.0,5.0,5.4(1 LRM = Método 2 ;)5.0,5.0,5.6(2 LRM = Método 3 ;)0.1,5.0,5.2(3 LRM = Método 4 ;)0.3,0.1,5.7(4 LRM = Figura 1.38 mostra estes números. Os Números fuzzy L-R para o avião e carro têm amplio faixa de valores comparados com o trem. O tempo poderia variar para um carro dependendo das condições de tráfico na estrada, e os aviões tendem a ser mais demorado comparados ao trem. Consideremos L(x) e R(x) tal que

|).|1.0max()(|);|1.0max()(

xxRxxL

−=−=

por outro lado, os números Fuzzys L-R para o custo serão: Método 1 ;)10,10,4.2( 55

1 LRN −−= Método 2 ;)10,10,9.1( 55

2 LRN −−= Método 3 ;)10,10,8.2( 55

3 LRN −−= Método 4 ;)10,10,7.2( 55

4 LRN −−= A pesar que os custos terem valores definidos , eles são assumidos como números fuzzy L-R com variação zero. Porém, dada a definição de números fuzzy L-R , tem-se que

.0, >βα Para superar este obstáculos, utilizamos números muito pequenos. A avaliação, a partir dos custos e tempos pode ser definida como segue. ( Número fuzzy da avaliação)=(Número fuzzy para o tempo) ⊕ (Números fuzzy para o

custo). Logo:

Figura 1.38. Números fuzzy para o tempo


Figura 1.39. Números fuzzy L-R para avaliação

Método 1 ;)5.0,5.0,9.6(11 LRNM =⊕ Método 2 ;)5.0,5.0,5.8(22 LRNM =⊕ Método 3 ;)0.1,5.0,3.5(33 LRNM =⊕ Método 4 ;)0.3,5.0,2.10(44 LRNM =⊕ Estes números fuzzy são mostrados na figura 1.39, na qual indica que o método 3 é um bom método de viagem ( menor valor). Agora assumamos a situação, na qual a área de Kawazawa foi atingida por uma grande nevasca. Em tal caso os números fuzzy para o tempo mudam com o segue: Método 1 ;)0.1,5.0,0.5(*

1 LRM = Método 2 ;)0.1,5.0,0.7(*

2 LRM = Método 3 ;)0.3,5.0,0.5(*

3 LRM = Método 4 ;)0.5,0.2,0.12(*

4 LRM =

Figura 1.40 Números fuzzy para o tempo no caso de nevasca.

Estes números fuzzy são mostrados na figura 1.40. A figura indica o caso da nevasca pesada, a incerteza relativa a atraso de tempo em geral crescerá, sendo isto mais frisado para aviões e carros. Logo, a avaliação de transporte será:


Método 1 ;)0.1,5.0,4.7(1*1 LRNM =⊕

Método 2 ;)0.1,5.0,0.9(2*2 LRNM =⊕

Método 3 ;)0.3,5.0,8.7(3*3 LRNM =⊕

Método 4 ;)0.5,0.2,7.14(4*4 LRNM =⊕

A figura 1.41 mostra estes números fuzzy, e observando esta figura, podemos concluir que o método 1 é melhor nesta situação de nevasca. Agora, pensemos no mesmo para transporte para um grupo de quatro pessoas . Por simplicidade assumamos que são adultos. Em tal caso todos os custos, exceto os do carro serão quadruplicados. Logo, os números fuzzy L-R para custos serão agora: Método 1 ;)10,10,6.9( 55*

1 LRN −−= Método 2 ;)10,10,0.8( 55*

2 LRN −−= Método 3 ;)10,10,2.11( 55*

3 LRN −−= Método 4 ;)10,10,7.2( 55*

4 LRN −−= Se os números fuzzy do tempo são como os mostrados na figura 1.38, a avaliação muda para: Método 1 ;)5.0,5.0,1.14(*

11 LRNM =⊕ Método 2 ;)5.0,5.0,5.14(*

22 LRNM =⊕ Método 3 ;)0.1,5.0,7.13(*

33 LRNM =⊕ Método 4 ;)0.3,0.1,2.10(*

42 LRNM =⊕ Estes conjuntos fuzzy são mostrados na figura 2.42. Observando este resultado conclui-se que, para o grupo de 4 pessoas, o transporte via carro é melhor.

Figura 1.41 Números fuzzy L-R para a avaliação no caso de nevasca.


Figura 2.42 Números fuzzy para o grupo de viagem

REFERENCIAS [1] Zadeh. L.A., 1965. Fuzzy sets. Information and control 8:, 338-353. [2] Dubois D. and Prade, H. 1980, Fuzzy sets and systems Theory and applications

Academic Press, New York. [3] Pedrycz, W. and Gomide F., An introduction to Fuzzy Sets, 1998, MIT Press.

apostila fuzzy - osvaldo saavedra

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