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Dinâmica dos Fluidos II Teoria da camada limite

Camada limite turbulenta

1 - Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds.

Estrutura da camada limite turbulenta.

2 - Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.

3 - Camada limite turbulenta sobre superfícies rugosas.

Revisão dos conceitos de intensidade de turbulência, difusão turbulenta e tensões de Reynolds. Estrutura da camada limite turbulenta.

Osborne Reynolds (1842-1912) distinguiu pela 1ª vez regime laminar e regime turbulento na sua célebre e simples experiência com uma linha de emissão de tinta no interior de um tubo .

Num escoamento permanente:

- Em regime laminar, a velocidade em cada ponto é constante no tempo. - Em regime turbulento, a velocidade tem flutuações instantâneas e aleatórias em torno do valor médio pontual, o qual é constante no tempo. - No regime de transição, entre laminar e turbulento, a velocidade ora estabiliza durante alguns instantes, ora flutua em torno do valor médio pontual.


A amostra u(t), representada, é obtida normalmente com equipamento de aquisição de sinal com elevada frequência.

ò+

=Tt

tdttu

Tu

0

0

)(1


( ) ( )

u

dtuT

uu

Tt

t

212

20

0

1

Iúûù

êëé ¢

=¢

=ò

+

( )ò+

¢Tt

tdtu

T0

0

21

Definição de Intensidade de turbulência,


No perfil laminar, a difusão da quantidade de movimento está limitada pela proximidade molecular. Os perfis de velocidade turbulentos são muito mais cheios que os laminares, devido à elevada difusão turbulenta da quantidade de movimento promovida pelos vórtices.

Tensão de corte laminar, no plano A-A, provocada pela interação próxima de moléculas

Tensão de corte turbulenta, no plano A-A, provocada por vórtices tridimensionais aleatórios.


434210

turbulentolaminartotal>

¢¢-=+= vudyud rmttt

Distribuição típica, num escoamento turbulento próximo da parede, de: (a) – tensão total (lam. + turb.) ; (b) – valor médio temporal da componente u.


Estrutura da camada limite turbulenta em placa plana lisa: 1 - Subcamada viscosa - (ocupa apenas 2% do perfil) a viscosidade molecular domina:

em que u* designa-se como velocidade de atrito. A velocidade varia linearmente com y. 2 - Subcamada intermédia - de transição, ambos os tipos de tensão são importantes e faz a ligação entre as duas outras regiões. A velocidade varia logaritmicamente com y.

3 - Subcamada exterior - domina a tensão turbulenta e Prandtl demonstrou que os perfis podem ser aproximados por uma lei de potência:

71

÷øö

çèæ@

¥ dy

Uu

rt

npucomuy

uuyu ==Û= ++ *

*

*

0.541.01 *

* +÷÷ø

öççè

æ=

nuyln

uu


Estrutura da c. limite:

1 - Subcamada viscosa;

2 - Subcamada intermédia;

3 - Subcamada exterior

Nota: Atenção à desproporção

gráfica devida à escala logarítmica

do eixo das abcissas.

Ex: a subcamada 3 é muito mais

extensa do que a 1, facto que o

gráfico não evidencia.


11

11

*

0

1*

+=Þ

+=

úúû

ù

êêë

é÷øö

çèæ-= ò nn

dyy n

ddd

dd

d

Embora sem ligação à física do escoamento, uma lei de potência representa razoavelmente bem todo o perfil, simplificando o estudo quando se pretendem os parâmetros integrais.

Por exemplo, de acordo com as definições:

nyUu

1

÷øö

çèæ@

¥ d

( )( )211

1

0

1

++=Þ

úúû

ù

êêë

é-÷

øö

çèæ= ò nn

ndyyy nn

dq

ddq

d


Prandtl demonstrou que a

conhecida lei de potência 1/7

reproduz razoavelmente bem todo

o perfil turbulento sobre placa

plana lisa, simplificando a análise

integral da camada limite.

71

÷øö

çèæ@

¥ dy

Uu

71

÷øö

çèæ@

¥ dy

Uu


Parâmetros integrais da camada limite sobre placa plana lisa (dp/dx = 0), baseados na aplicação da lei de um sétimo.

Análise integral da c. l. turbulenta

Recorrendo à relação integral de von Karman para a q. de movimento: Como, por definição, , vem: Aproximando toda a camada limite pela lei logarítmica: Das definições de cf e u*, o 1º membro da lei logarítmica, para y = d e u=U, vem:

dxdUxp

qrt 2)( =

dxdc f

q2=

r

t

npucomuyln

uu

=+÷÷ø

öççè

æ= *

*

* 0.541.01

21

*

2÷÷ø

öççè

æ=

fcuU

2

2Uc p

f r

t=

Por outro lado: Então, aplicando a lei logarítmica em δ, verifica-se que se trata duma lei de atrito, cf = f(Re), para escoamento turbulento: Apesar de ser uma lei complicada, a tabela abaixo mostra alguns valores:

21

*

2 ÷÷ø

öççè

æ×=×=

*fc

ReUuUu

dnd

nd

0.52

44.22 212

1

+úú

û

ù

êê

ë

é÷÷ø

öççè

æ×=÷

÷ø

öççè

æ f

f

cReln

c d



Segundo Prandtl, podemos ajustar estes valores por uma lei bem mais simples: Use-se esta lei como o lado esquerdo da expressão Use-se agora a lei de potência 1/7 e a definição de q para obter o lado direito. Portanto, substituindo, vem:

61

02.0 -×= dRec f

dxdc f

q2=

dqdd

qdd

72711

71

0

71

0

=Ûúúû

ù

êêë

é-÷

øö

çèæ=÷

øö

çèæ -= òò dyyydy

Uu

Uu

dxd

dxdRe ddd 72

14727202.0 6

1=÷

øö

çèæ=× -



donde: obtendo-se finalmente a relação: isto é, δ cresce com x6/7 , mais rápido que em laminar com x1/2. Pode-se concluir sobre os restantes parâmetros integrais:

76

67

61

16.06

772.972.972.9 xx

x

ReReReRedRedRe

dxdRe ×=®=®=×=-

ddd

dd

71

xRex16.0

=d

71

61

76

61 027.016.002.002.0

xfxf

RecReRec @Þ÷

øöç

èæ ×=×=

--

d



CA é apenas 16% maior que cf (L) enquanto que em laminar CA é o dobro de cf (L). A espessura de deslocamento é obtida pela definição:

e o factor de forma é:

( ) ( )

( )LcCRe

C

ReLL

LLbU

LUbC

fAL

A

LA

67031.0

16.07214

72722

21

71

71

2

2

»Þ@

Þ×=×=== -dqr

qr

811 *

0

71

0

* ddd

ddd

=Ûúú

û

ù

êê

ë

é÷øö

çèæ-=÷

øö

çèæ -= òò dyydy

Uu



3.1*

@=qdH

Camada limite turbulenta sobre superfícies rugosas.

O CA está representado no gráfico ao lado para superfícies rugosas e também para superfícies lisas (laminar e turbulento).

O parâmetro de rugosidade nas placas é L/ε , por analogia com ε/D nos tubos rugosos.

Uma curva que ajusta bem CA, em regime completamente rugoso, é:

5.2

62.189.1-

÷øö

çèæ +=

eLlogCA

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