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DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES


A relação entre as matrizes e os sistemas lineares remonta ao século100 a.C. Desde então, a evolução do uso das matrizes e dosdeterminantes na resolução de sistemas deu significado relevante aessas fascinantes estruturas matemáticas.

Equação linear: toda aquela do tipo

na qual x1, x2, ..., xn são incógnitas; a1, a2, ..., an são coeficientes

reais das incógnitas e b, também real, é o termo independente.

Solução: conjunto ordenado de valores atribuídos às incógnitas que

tornam a igualdade verdadeira. (1, 2, ..., n) é solução da equação

linear acima desde que a1. 1 + a2

. 2 + ... + an. n = b.

I. Sistemas de equações lineares


Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas é

um conjunto de equações lineares:

I. Sistemas de equações lineares


em que a11, a12, ... , amn são os coeficientes reais das incógnitas x1, x2, ..., xn e b1, b2, ...,

bm são os termos independentes.

É toda ênupla ordenada que torna verdadeiras simultaneamente

todas as equações que compõem o sistema. Em relação às

soluções, um sistema pode ser classificado da seguinte forma:

• Possível e determinado (SPD): solução única;

• Possível e indeterminado (SPI): infinitas soluções;

• Impossível (SI): sem solução.

II. Solução de um sistema de equações lineares


• Matriz aumentada associada ao sistema:

III. Resolução de sistemas


Regra de Cramer: a partir de um

sistema com três equações e

três incógnitas, podemos obter

algumas matrizes e determinantes:

• Matriz de coeficientes associada ao sistema:

Conjunto solução: envolve o cálculo do

determinante da matriz de coeficientes

associada ao sistema, denotada por D:

Dx: é o determinante da matriz

de coeficientes associada, mas

com a coluna dos coeficientes

de x trocada pela coluna dos

termos independentes:

O mesmo se faz para Dy e Dz,

os determinantes das matrizes

de coeficientes associadas,

trocando-se as colunas dos

coeficientes de y e z,

respectivamente, pela coluna

dos termos independentes:

A regra de Cramer configura-se

na obtenção da solução de um

sistema a partir de:

III. Resolução de sistemas


• se D = 0, o sistema é possível e indeterminado; ou o sistema

é impossível.

• se D 0, o sistema é possível e determinado.

IV. Discussão de um sistema linear


Exemplo:

Solução:

332

72

yx

yx

18

8

38

24

814632

72

2432133

1 7

82632

1 2

D

Dy

D

Dx

D

D

D

y

x

y

x

•Utilizando Cramer, determine o seguinte sistema linear:

Exemplo 2:

Solução:

1433

42

732

zyx

zyx

zyx

456410914143684214

1143

142

371

071718214236287

1314

114

327

9161874391861

133

112

321

y

x

D

D

D

•Utilizando Cramer, determine o seguinte sistema linear:

}1,5,0{

19

9

59

45

09

0

98980561221422414

1433

412

721

S

D

Dz

D

Dy

D

Dx

D

z

y

x

z

Resolva os seguintes sistemas de equaçõesutilizando qualquer um dos métodos deresolução vistos em sala de aula.

a) ൜𝑥 + 𝑦 = 5𝑥 − 𝑦 = 1

b) ൜3𝑥 − 𝑦 = −22𝑥 − 𝑦 = −4

c) ൜𝑥 + 𝑦 = 20

𝑥 − 3𝑦 = −12

𝑆 = {(3 , 2)}

𝑆 = {(12 , 8)}

𝑆 = {(2 , 8)}

Exercícios Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando

Regra de Cramer.

Exercícios

d) ቐ3𝑥 − 𝑦 = 4

2𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 = −1−𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 = 2

e) ቐ−𝑦 + 2𝑥 − 6𝑧 = 2−4𝑧 + 2𝑥 − 3𝑦 = 4−𝑥 + 3𝑦 + 2𝑧 = 3

𝑆 =47

3,10

3,13

3

𝑆 =1

4, −

13

4,−

5

2

Exercício Qual é o valor da corrente e da tensão no resistor de 4

para o circuito mostrado abaixo sendo as seguintesequações de malha.

ቐ

2𝐼1 − 𝐼2 = −2−𝐼1 + 6𝐼2 − 3𝐼3 = 4−3𝐼2 + 7𝐼3 = 5 𝐼1=−0,39A, 𝐼2=1,22A, 𝐼3=1,24A

V4=4,94V

𝑆 = −0.39, 1.22, 1.24


a) ൜𝑥 + 𝑦 = 9𝑥 − 𝑦 = 5

b) ൜2𝑥 + 𝑦 = −1𝑥 + 4𝑦 = 3

c) ൜𝑥 + 𝑦 = 4

2𝑥 − 3𝑦 = 𝟑

d) ൜2𝑥 + 3𝑦 = 54𝑥 − 7𝑦 = −3

e) ൜3𝑥 + 5𝑦 = −72𝑥 − 3𝑦 = 8

f) ൜𝟐𝑥 − 3𝑦 = 143𝑥 + 7𝑦 = −𝟐

Exercícios – Extraclasse Resolva os seguintes sistemas de equações utilizando

Regra de Cramer.


Solução

a) 𝑆 = 7; 2

b) 𝑆 = −1, 1

c) 𝑆 = 3; 1

d) 𝑆 = 1; 1

e) 𝑆 = 1;−2

f) 𝑆 = 4;−2

Exercícios-Extraclasse Determine os valores das correntes para o circuito

mostrado abaixo sendo as seguintes equações de malha.

ቐ

2𝐼1 + 4𝐼3 = 2𝐼𝟐 + 4𝐼𝟑 = 6

𝐼𝟏 + 𝐼𝟐 − 𝐼𝟑 = 0 𝐼1=−1A, 𝐼2=2A, 𝐼3=1A

𝑆 = −1, 2, 1

Exercícios-Extraclasse Qual é o valor da corrente no resistor de 10 para o

circuito mostrado abaixo sendo as seguintes equações demalha.

ቐ

11𝐼1 − 3𝐼2 − 8𝐼3 = 15−3𝐼1 + 10𝐼2 − 5𝐼3 = 0−8𝐼1 − 5𝐼2 + 23𝐼3 = 0

𝐼1=2,63A, 𝐼2=1,4A, 𝐼3=1,22A

𝑆 = 2,63; 1,4; 1,22

FIM DA AULA


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