DESENVOLVIMENTO DO PENSAMENTO ALGÉBRICO: possibilidades para a

sala de aula

Autor: Silvana Rita de Cássia Précoma

Orientador: Professor Doutor Emerson Rolkouski.

Resumo

Este artigo tem como objetivo relatar a implementação de um caderno pedagógico, desenvolvido no âmbito do PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional) promovido pela SEED-PR (Secretaria da Educação do Estado do Paraná). Tal caderno pedagógico oferece uma sequência didática, fundamentada teoricamente, para um trabalho diferenciado sobre o desenvolvimento do pensamento algébrico para estudantes. Este artigo, portanto, apresenta os resultados da implementação do caderno pedagógico, ressaltando os avanços e as dificuldades que o professor obteve. Este trabalho relata um estudo realizado sobre o pensamento algébrico na sala de aula. Para tanto, inicialmente, apresenta algumas reflexões teóricas sobre o ensino de álgebra, caracteriza o campo de implementação e a relata e, finalmente, tece algumas considerações finais, onde apresentam-se as limitações e as possibilidades levantadas durante o trabalho didático estudado. A ideia da realização deste estudo surgiu dos problemas observados em sala de aula onde se percebia a enorme dificuldade na disciplina de Matemática no ensino e aprendizagem das equações do 1º grau nos 7º anos. Assim, as atividades propostas tiveram como objetivo melhorar o processo do ensino-aprendizagem, na execução de exercícios práticos de álgebra, buscando atividades diferenciadas que pudessem motivar a prática profissional em sala de aula, pois, percebe-se uma grande necessidade de mudanças no ensino, uma vez que, cada vez mais, se faz necessário incentivar o gosto pela matemática desde as séries iniciais da educação básica. Palavras-chave: Educação Matemática. Álgebra. Pensamento Algébrico.

Abstract

This article reports on implementation of a pedagogical notebook, developed under the EDP (Educational Development Program) sponsored by SEED-PR (Education Department State of Paraná). Such notebook provides a pedagogical didactic sequence, theoretically based, to a different work on the development of algebraic thinking for students. Therefore, this paper presents the results of the implementation of the educational notebook, highlighting the progress and difficulties that the teacher has found. This paper reports a study on algebraic thinking in the classroom. To this end it, initially presents some theoretical reflections on the teaching of algebra, characterizing the field of implementation, reporting and finally offering some final thoughts, which present the limitations and possibilities raised during the didactic

work studied. The idea for this study arose from the problems observed in the classroom on which there are found enormous difficulties related to teaching and learning Mathematics, specially, first degree equations for seven year students. So, the proposed activities were aimed at improving the teaching-learning process, the implementation of practical exercises in algebra, trying different activities that could motivate the professional practice in the classroom, because we perceive a great need for educational change more is needed to encourage a taste for mathematics since the early grades of basic education. Keywords: Mathematics Education. Algebra. Algebraic Thinking. 1 INTRODUÇÃO

Ao decidir-se pela carreira de magistério, optou-se pela Faculdade de

Filosofia, Ciências e Letras de União da Vitória-Pr. O curso se pautava no ensino

tradicional, com aulas expositivas. Em algumas ocasiões, os professores solicitavam

trabalhos que eram orientados. A orientação também era nos moldes tradicionais: o

professor se colocava como detentor do saber e os alunos ficavam passivos e não

questionavam.

Ao iniciar as práticas pedagógicas nas escolas públicas, percebeu-se

enorme dificuldade na disciplina de Matemática, em particular no ensino e

aprendizagem das equações do 1º grau nas 6ª séries, isto é, o início do conteúdo de

álgebra. Buscando melhorar a situação, buscou-se apresentar atividades diferentes

para mostrar a relação de igualdade, e os processos aditivos e multiplicativos.

Mesmo assim, o sentimento de frustração, como professora, era marcante, pois os

alunos não conseguiam fazer os exercícios e nem entendiam os problemas com

base nas explicações dadas. Surgiram então as costumeiras perguntas: “Quem

inventou isso?", " Para que serve isso?".

A angústia era tanta, que fez com que surgisse uma auto-indagação: “Por

que temos de ensinar Álgebra? Por que não ensinar somente Aritmética?” Essa

angústia foi compartilhada com a diretora do colégio. Meses mais tarde, ao ser

selecionada para participar do Programa de Desenvolvimento Educacional da

Secretaria de Educação- PDE, surgiu a oportunidade de estudar e rever a prática

docente. Naturalmente, o tema de pesquisa foi o ensino da Álgebra, em particular, o

conteúdo de equações do 1º Grau nos 7os anos. Em conversas com o orientador

deste trabalho, decidiu-se ampliar o tema de pesquisa para o desenvolvimento do

pensamento algébrico em alunos de 7o ano.

Ensinar álgebra é um enorme desafio, pois, quando universitária, as

equações eram consideradas operações mecânicas que utilizavam letras e técnicas

para uma resolução correta: o que valia era o resultado final. Não houve nenhum

estudo sobre as estruturas do pensamento algébrico.

Portanto, como uma das exigências do PDE, produziu-se um material

didático pautado em pesquisas da área de Educação Matemática, que apontou

caminhos para procedimentos mais adequados ao desenvolvimento do pensamento

algébrico em alunos do 7o ano.

Tal material didático foi implementado e a este artigo cabe apresentar os

resultados desta implementação. Para tanto, iniciaremos fazendo uma breve revisão

bibliográfica sobre o tema. A partir daí, relataremos a implementação e finalmente

teceremos nossas considerações finais.

Com este trabalho, espera-se contribuir para o próprio desenvolvimento

profissional. A expectativa é, também, que este estudo possa ser útil e aplicável a

outros professores que se deparam com as mesmas dificuldades e preocupações.

2 Desenvolvimento

Muitas mudanças têm ocorrido na área da Educação. Permanentes

tentativas tem sido buscadas no sentido de aprimorar os sistemas e métodos

empregados.

Fundamental é centrar esses esforços na pessoa do aluno, preparando-o

para uma sociedade em constante evolução, buscando as praticas pedagógicas que

incentivem os alunos a uma postura critica e reflexiva sobre sua aprendizagem,

levando-os a investigação e exploração de seu conhecimento.

O papel do professor vai além de esboçar planos ou dinamizá-los: implica

numa reflexão sobre as ações realizadas, e segundo as Diretrizes Curriculares da

Educação Básica (DCE) do Estado do Paraná “(...) requer um profissional

interessado em desenvolver-se intelectual e profissionalmente e em refletir sobre

sua prática para tornar-se um educador matemático e um pesquisador em contínua

formação” (PARANÁ, 2008, p.48).

A álgebra precisa ser aprendida num período caracterizado por diversos

tipos de dificuldades vivenciadas pela maioria dos estudantes, tanto no plano

conceitual como no operacional.

O conceito de álgebra é muito abrangente e possui uma linguagem permeada por convenções diversas de modo que o conhecimento algébrico não pode ser concebido pela simples manipulação dos conteúdos abordados isoladamente. Defende-se uma abordagem pedagógica que os articule, na qual os conceitos se complementem e tragam significado aos conteúdos abordados (PARANÁ, 2008, p.52).

A álgebra é uma das ferramentas matemáticas mais importantes de que os

alunos dispõem, tanto para a solução de problemas como para o desenvolvimento

de suas estruturas cognitivas. E nesse sentido que as DCE do Paraná orientam que

“(...) a álgebra seja compreendida de forma ampla, para que se analisem e

descrevam relações em vários contextos onde se situam as abordagens

matemáticas, explorando os significados que possam ser produzidos a partir deste

conteúdo” (PARANÁ, 2006, p.48).

Além disso, o conteúdo de álgebra está presente em todas as séries da

Educação Básica estando diretamente ligado à aritmética, de acordo com as DCE

do PR, "é preciso estabelecer uma relação intrínseca entre pensamento e

linguagem, ou seja, a linguagem algébrica entendida como expressão do

pensamento matemático” (PARANÁ, 2006, p.48).

Sabe-se que, no modelo pedagógico atual ainda se mantém um padrão de

mera aplicação das fórmulas e das regras matemáticas por meio de treinamento:

exercícios modelo e de fixação. A incompreensão dos alunos, no conteúdo, faz com

que questionem: “Para que serve isso?”... “Por que tem de ser assim?”... “Onde

usaremos esses cálculos?”, não dando a oportunidade de o aluno desenvolver um

trabalho intelectual na sala de aula.

Segundo Nasser e Tinoco (2001 apud DÉCHEN, 2008), apesar de ser muito

comum encontrar em documentos oficiais e em planejamento dos professores, como

objetivos das aulas de matemática, "desenvolver o raciocínio lógico", constata-se

que os alunos pouco trabalham com atividades que, de fato favoreceriam este

desenvolvimento.

Segundo Déchen (2008), uma solução apontada por Ponte (2005) para

mudar esse quadro, é adotar uma estratégia de introdução dos símbolos e de seu

uso em contextos significativos, em atividades que mostrem de forma natural o

poder matemático da simbolização e da formalização.

A álgebra é uma área da matemática em que os alunos apresentam grande

dificuldade de aprendizagem. É preciso fazer com que os alunos desenvolvam o

pensamento algébrico desmistificando a álgebra como apenas uma forma de operar

com letras tendo que decorar regras, “seguir a trajetória do uso das letras, permite

seguir a trajetória do desenvolvimento de um pensamento algébrico" (LINS e

GIMENEZ, 2005, p.95).

É necessário oportunizar situações de aprendizagem que propiciem a

construção de significados, bem como estimular a capacidade para abstrair, fazer

conjecturas, generalizações e deduções simples. Também é preciso desenvolver

trabalho matemático que desperte confiança entre o aluno e professor e entre os

próprios alunos, fazendo com que a aprendizagem seja vivenciada como experiência

interessante, progressiva e formativa, apoiada na ação, descoberta e reflexão.

Segundo Santos (2011, s/p), “O nosso principal papel como professores, na

promoção de uma aprendizagem significativa é desafiar os conceitos já aprendidos,

para que eles se reconstruam mais ampliados e consistentes, tornando-se assim

mais inclusivos com relação a novos conceitos".

A educação algébrica precisa considerar que qualquer aspecto técnico se

desenvolve ao modo de produção de significado que o sustenta. Tanto a aritmética

como a álgebra precisa ser pensada em termos de significado e não como até aqui

se observou em termos técnicos conteúdistas. Porque para Lins e Gimenez (2005),

a atividade algébrica consiste no processo de produção de significado para a

álgebra, e naturalmente para os mesmos autores: "A álgebra consiste em um

conjunto de afirmações para as quais é possível produzir significado em termos de

números e operações aritméticas, possivelmente envolvendo igualdade ou

desigualdade” (p.137).

Quando se fala em pensamento algébrico tem que se falar da capacidade

de lidar com o cálculo algébrico, com as funções e com outras estruturas

matemáticas, bem como usá-las na interpretação e na resolução de problemas

matemáticos.

Lins e Gimenez (2005, p.152), consideram que a educação algébrica deve

compreender 2 objetivos centrais:

1) permitir que os alunos sejam capazes de produzir significados para a álgebra;

2) permitir que os alunos desenvolvam a capacidade de pensar algebricamente.

Dessa forma, eles afirmam que o "domínio de técnicas manipulativas" será

consequência desses dois objetivos e ainda concluem que para atingir esses

objetivos as atividades referentes a uma determinada situação teria que: "(...)

produzir afirmações tidas como corretas, junto com justificações para sua

enunciação; (...) Situações que envolvem balanças, áreas, máquinas de função,

situações "com histórias" e muitas outras (LINS e GIMENEZ, 2005, p.152 e 153).

Segundo Ponte (2005, p.37 apud DÉCHEN, 2008):

(...) no pensamento algébrico dá-se atenção não só aos objetivos, mas também às relações existentes entre eles, representando e raciocinando sobre essas relações de modo geral e abstrato tanto quanto possível. Por isso, uma das vias privilegiadas para promover este pensamento é o estudo de padrões e regularidades.

Partindo do estudo de padrões e regularidades, promovemos um raciocínio

de pensamento algébrico, induzindo os alunos ao cálculo algébrico e resolução de

problemas.

Segundo os Principles and Standards for school Mathematics, os estudantes

devem passar por experiências de encontrar padrões, pois constituem a base para a

compreensão do conceito de função e proporcionam os fundamentos para mais

tarde trabalhar com símbolos e expressões algébricas (NCTM, 2000 apud VALE e

PIMENTEL, 2005).

Tarefas em que é solicitada identificação de padrões, utilizam e enfatizam a

exploração, investigação, conjecturas e provas, desafiando os alunos a recorrer às

suas destrezas de pensamento. As tarefas com padrões são úteis na introdução à

álgebra. Nesse sentido, Vale e Pimentel ( 2005, p.16), consideram que as tarefas

que envolvem a procura de padrões permitem:

contribuir para construção de uma imagem mais positiva da matemática por

parte dos alunos;

experienciar o poder e a utilidade da matemática e desenvolver o

conhecimento sobre novos conceitos;

evidenciar como os diferentes conhecimentos matemáticos se relacionam

entre si e com outras áreas do currículo;

promover o desenvolvimento do raciocínio matemático dos alunos tornando-

os bons solucionadores de problemas e pensadores abstratos;

melhorar a compreensão do sentido do número, da álgebra e de conceitos

geométricos.

Para isso os alunos devem ter a oportunidade de:

transferir padrões concretos, pictóricos e simbólicos de uma representação

para outra;

averiguar se uma lista de números mostra alguma regularidade;

descobrir o padrão numa sequência; descrever o padrão numa sequência;

descrever o padrão oralmente e por escrito;

continuar uma sequência;

generalizar;

construir uma sequência.

Devido às dificuldades da aprendizagem do conteúdo de álgebra. Vários

pesquisadores têm se aprofundado nos projetos de pesquisa com o intuito de

elaborar material didático e sequências didáticas. Cujo objetivo é diminuir os

fracassos e levar os alunos a desenvolver seus pensamentos algébricos e atingir

níveis mais complexos de abstração.

Mondanez (2003, p.30) realizou sua pesquisa com alunos de 6ª série com o

objetivo de "verificar se a introdução ao pensamento algébrico, por meio de

sequências de padrões geométricos, favorece a superação das principais

dificuldades apresentadas pelos alunos que iniciam o estudo em álgebra". A autora

constatou e validou as hipóteses de sua pesquisa, de que, sequências e padrões

geométricos podem proporcionar a introdução ao pensamento algébrico se o ensino:

- engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes aspectos da álgebra, como resolução de problemas e não só para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica ou atividades meramente mecânicas; - propuser situações em que o aluno possa investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em representações geométricas, identificando suas estruturas para que possa descrevê-los simbolicamente; - propuser situações que levem o aluno a construir noções algébricas pela observação de regularidades, e não somente manipulações mecânicas de expressões algébricas (MONDANEZ, 2003, p.86).

Na mesma linha Grecco (2008, p.18), em sua pesquisa cuja proposta foi de:

"verificar se a introdução ao pensamento algébrico a partir do uso de sequência

aritmética e padrões apresentada na forma de problema, pode trazer algum

benefício ao pensamento algébrico, em particular a dois de seus componentes: a

generalização e a construção e utilização de expressões algébricas", destacou, a

importância da elaboração e aplicação de sequências didáticas no processo de

ensino aprendizagem.

A implementação ocorreu entre os meses de setembro e novembro. A seguir

são apresentadas as características do campo de implementação.

2.1 A escola

O Colégio Estadual Guaíra – Ensino Fundamental e Médio, está situado à

Rua Lamenha Lins, 1652, bairro Rebouças, Curitiba – Paraná, mantido pelo poder

público e administrado pela Secretaria de Estado da Educação.

A Escola iniciou suas atividades no ano de 1953, pelo Decreto nº 9864 de

02/07/1953. A inauguração oficial foi em 08 de janeiro de 1954, por ocasião da

Conferência Nacional da Educação, tendo sido parte do programa de

comemorações do Centenário da Emancipação Política do Paraná.

Em 1956 foi instalada uma Clínica Psicológica, para estudo de casos

considerados difíceis e em decorrência, no ano de 1958, a primeira Classe Especial

para atender crianças excepcionais.

Em 1960 foi inaugurado o 1º Pavilhão de Artes Industriais do Paraná.

Em 1963 foi sede da Coordenação Escolar do Complexo Guaíra .

Em 1967, pelo Decreto nº 3477/67 o Centro Educacional Guaíra foi

autorizado a funcionar no período noturno e, em 1972, recebeu autorização para

funcionar a Fase I do Ensino Supletivo e em 1974 iniciou a Fase II.

No ano de 1975, foram autorizados o funcionamento do Centro Educacional

Guaíra e do Centro de Artes industriais Guaíra como um único Estabelecimento de

Ensino. Nesse mesmo ano o Estabelecimento passou a se chamar Escola Guaíra –

Ensino Regular e Supletivo de 1º Grau.

Em 1982, foi autorizado o funcionamento da segunda Classe Especial e já

no ano no ano de 1983, o Estabelecimento passou a ser denominado Escola

Estadual Guaíra – Ensino Regular e Supletivo de 1º Grau.

Em 1991, foi autorizado o funcionamento do Curso de 2º Grau – Habilitação

Magistério, passando o Estabelecimento de Ensino a se chamar Colégio Estadual

Guaíra – Ensino de 1º Grau Regular e Supletivo e de 2º Grau, sendo extinto em

1999.

Em 1997 foi autorizado o funcionamento do Curso Regular de 2º Grau na

Habilitação Educação Geral em caráter provisório e em 1998, em virtude da Lei nº

9394/96 (Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional), o Colégio passou a

denominar-se Colégio Estadual Guaíra – Ensino Fundamental e Médio, ofertando à

sua clientela a Educação Básica que é formada pela Educação Infantil, Ensino

Fundamental e Ensino Médio.

Em 2002 o estabelecimento de ensino recebe autorização para o

funcionamento da Sala de Recursos, deficiência mental e distúrbios de

aprendizagem.

Atualmente o Colégio Estadual Guaíra – Ensino Fundamental e Médio,

oferta os anos finais do Ensino Fundamental – 6° a 9° anos – diurno e noturno,

Classe Especial , Sala de Recursos, Sala de Apoio à Aprendizagem e Ensino Médio

diurno e noturno.

O corpo docente, é formado por uma equipe de professores, interessada em

propostas inovadoras, bem conscientes e criticas em educação. Procuram trabalhar

as questões do dia a dia, fazendo com que o aluno analise e interprete as situações

propostas e saibam aplicá-las em outras. Nas reuniões dividem com os colegas as

inovações. Foram unanimes, em considerar importante trabalhar com atividades

diferenciadas, tão relevantes ao desenvolvimento do pensamento algébrico, para a

tão desejada melhoria qualitativa da ação escolar.

3.2 Os alunos

A comunidade atendida constitui-se de educandos com idade a partir dos 11

anos, que ingressam no 6º ano do Ensino Fundamental de 9 anos e permanecem,

na sua maioria, até concluírem o Ensino Médio, neste estabelecimento.

Pela localização, a escola recebe alunos e alunas de vários bairros, em

grande parte oriundos da classe trabalhadora de baixa e média renda. Parte da

comunidade atendida vem de várias regiões da cidade e região metropolitana, sendo

que muitas comunidades atendidas são oriundas de favelas próximas ao Colégio, na

Vila Torres e Vila Parolin.

Participaram da pesquisa 10 alunos e alunas dos 6º anos, do período

matutino, que apresentavam baixo rendimento escolar e dificuldade no aprendizado

da matemática e que tinham disponibilidade de frequentar o contra turno, conforme

as normas do PDE .

Foram escolhidos para participar do projeto de implementação, os alunos e

alunas com rendimento insatisfatório no 2º bimestre na área de matemática, que

residissem próximo da escola e com disponibilidade de frequentar o contra turno,

cujo convite foi feito pela equipe pedagógica, por meio de carta aos pais.

3.3 O material didático e os dados coletados

O material didático foi dividido em 6 blocos. Para fins de apresentar os

resultados alcançados com a implementação foram selecionados 4 (quatro) deles

(este é o motivo pelo qual o leitor observará que a numeração presente na folha de

atividades é distinta daquela anunciada). Para esta seleção observou-se a

diversidade de resoluções, tornando mais ricas as observações feitas.

Os participantes do projeto foram reunidos em 3 grupos. Com o objetivo de

ampliar o rendimento dos grupos, houve alteração de integrantes no decorrer dos

encontros.

A seguir são apresentados os blocos selecionados, seus objetivos, exemplos

de respostas dos alunos em cada um dos blocos e comentários sobre a resolução

dos blocos:

3.3.1 Bloco 1

Este bloco de atividades tem a função de promover um primeiro contato com

sequências repetitivas. As atividades propostas não requerem o uso de letras. Elas

tem como objetivo um primeiro contato do aluno com sequências que se repetem e

consequentemente, com a correspondência entre a posição e o elemento na

sequência. Visam também, a retomada dos conceitos de múltiplos e divisores.

São objetivos deste bloco:

- Promover o contato com sequencias repetitivas geométricas e numéricas,

bem como a revisão dos conceitos de múltiplos e divisores;

- Observar e descobrir padrões;

- Expressar generalidades na forma oral e escrita;

- Relacionar, a partir "da repetição" das sequências o elemento ou sua

posição na sequência (correspondência);

- Reconhecer a relação entre os múltiplos de um número e a posição que o

elemento ocupa na sequência;

- Registrar em linguagem corrente suas hipóteses, quando solicitado.

3.3.1.1 Exemplos de resoluções dos alunos

De modo geral as resoluções não diferiram e os alunos não tiveram maiores

dificuldades. Perceberam que a sequência era de 5 em 5. Na atividade 3.d, os

alunos perceberam que 45 seria múltiplo de cinco e portanto um hexágono para, a

partir dele chegar no triangulo.

Alguns alunos tiveram dificuldades quanto a nomenclatura. Isto ressalta a

potencialidade de atividades como esta, pois, apesar de estarmos no âmbito de um

trabalho essencialmente algébrico utilizou-se elementos da geometria e, portanto

houve também um ganho com relação a esta área.

Em outra atividade, os alunos demonstraram dificuldades em compreender

que 23 = 8, muitos ainda faziam 23 = 6. Ou seja, mais uma vez, embora o trabalho

com a álgebra estivesse sendo desenvolvido a contento, problemas com a aritmética

se mostravam e eram aos poucos sanados.

De modo geral os alunos estavam inquietos, sendo que apenas o primeiro

grupo trabalhou adequadamente, embora todos tenham conseguido preencher as

fichas.

3.3.2 Bloco 2

Este bloco de atividades dá a oportunidade ao aluno de: refletir, desenvolver

a agilidade no esforço da descoberta e criar o hábito de se expressar

matematicamente na forma oral e escrita, partindo de suas próprias estratégias. Na

discussão sobre as diferentes formas de resolver as questões, os alunos vão

construindo novos conceitos propiciando um desenvolvimento gradual e significativo

do raciocínio algébrico e matemático. Nessas atividades são exploradas a

construção de expressões com o uso de símbolos.

São objetivos deste bloco:

- Desenvolver habilidades de interpretar dados e explorar a abstração no

campo aritmético;

- Identificar o número desconhecido numa expressão aritmética simples;

- Realizar operações inversas;

- Analisar e registrar as relações numéricas da situação apresentada na

atividade;

- Registrar, mesmo em linguagem corrente, as expressões matemáticas das

atividades, quando solicitado;

- Criar o hábito de registrar em linguagem corrente as suas hipóteses e

justificativas;

- Provocar nos alunos a necessidade de uma representação simbólica de

números desconhecidos.

3.3.2.1 Exemplos de resoluções dos alunos

Estas atividades tinham como objetivo introduzir a utilização de simbolos

para representar números desconhecidos. Observa-se que os alunos utilizaram o

que lhes parecia mais evidente, ou seja, a propria palavra “dinheiro”. Trata-se de

uma etapa do trabalho com a algebra que vem sendo deixado de lado, em

detrimento de uma precoce utilização das letras, o que, nem sempre é eficaz.

Para se encontrar os valores desconhecidos, foram utilizadas, diversas

estratégias, desde a tentativa e erro até a utilização adequada da operação inversa.

Quando o aluno fazia por tentativa e erro questionava o que aconteceria se os

números fossem maiores, verificava que os alunos rapidamente criavam novas

estratégias, também baseadas na tentativa e erro. Como no diálogo abaixo:

Registro da aluna: " contei nos dedos, 18 para chegar no 32, 45 para chegar no 65".

Ao ser questionada, falou: "Acho que tem jeito mais fácil", e experimentou

46 + 20 = 66 e falou, “Acho que é 19”.

Nesse momento foi questionado" E se o resultado fosse 6535? Seria

possível contar nos dedos? A aluna respondeu: "Eu ia experimentando. Colocaria

90, depois um maior ou menor".

Depois disso percebeu-se que é necessario um trabalho que não desvalorize

a criação do aluno, mas confronte a sua resolução com outras mais eficazes, desta

maneira o aluno poderá, por si só, desenvolver ferramentas mais adequadas, de

acordo com a extensão numérica que está trabalhando.

Se tivermos uma situação em que o aluno precise encontrar, que número

somado a 5 resulta 7, certamente a utilização de uma equação não é a maneira

mais adequada, o calculo mental, seja pela operação inversa ou pela tentativa, será

mais eficaz. É importante que professores e alunos desenvolvam esta flexibilidade,

muito mais do que mecanizar procedimentos sempre iguais para situações distintas.

De maneira geral, os alunos se mostraram mais atentos e mais participativos.

Infelizmente, isto pode ter sido ocasionado pelo fato de apenas 3 alunas terem

participado deste encontro.

3.3.3 Bloco 3

Neste bloco de atividades as sequências são abordadas em diferentes

contextos. Não são mais figuras que se repetem, mas sim, figuras que vão se

modificando, a cada posição seguindo uma regra padrão. Nestas atividades, a

pretensão é que o aluno perceba como uma figura se transforma na seguinte e

descubra a regra de formação da sequência, dando assim a oportunidade do aluno

pensar em diferentes hipóteses.

A resolução dessas atividades tem como um dos objetivos provocar a

mudança do pensamento aritmético para o algébrico, preparando o aluno, para a

mudança de registro de representação, do geométrico para o algébrico. Para isso,

se faz necessário, que o aluno sinta a necessidade da utilização de símbolos

matemáticos, do que ficar a todo o momento escrevendo em linguagem corrente a

regra de formação das sequências, Mondanez (2003, p.46) "...se a 'letra' é dada no

exercício, sem que o aluno sinta a necessidade desta, este não compreenderá o

significado, pois essa 'letra' não terá sentido para o aluno".

Também, as questões das atividades vão gradativamente aumentando as

posições das figuras, para que o aluno, sinta a dificuldade de respondê-las, usando

a estratégia de desenho ou contagem, segundo Mondanez (2003, p.61) "enquanto o

aluno está preso nos desenhos para responder as questões, este se encontra,

ainda, distante de uma generalização da sequência por meio da expressão

algébrica".

São objetivos deste bloco:

- Relacionar a quantidade de objetos de acordo com a posição que ela

ocupa na sequência;

- Descobrir a regra de formação da sequência;

- Registrar, os valores encontrados nos padrões, em forma de tabela

facilitando a validação de suas respostas;

- Escrever a regra de formação da sequência por meio da linguagem

corrente ou por meio de símbolos matemáticos;

- Construir tabelas para facilitar o raciocínio e a generalização

- Identificar regularidades;

- Descobrir e descrever o padrão numa sequência;

- Formular generalizações;

- Transferir padrões concretos, pictóricos e simbólicos de uma representação

para a outra;

- Descrever o padrão oralmente e por escrito;

- Continuar uma sequência.

3.3.3.1 Exemplos de resoluções dos alunos

As atividades tinham a intenção de desenvolver a habilidade de escrita na

linguagem matemática de situações envolvendo a percepção visual, característica

da área da geometria. Novamente, observa-se que há um ganho duplo, pois os

alunos acabam desenvolvendo conteúdos em duas áreas importantes.

Observou-se que os alunos não apresentaram grandes dificuldades com o

pensamento algberico, mas sim, em conceitos mais elementares como a tabuada,

momento em que houve a retomada do conteúdo.

Algo que chamou a atenção foi a seguinte resolução:

Observa-se que aluna precisou de um sinal de igualdade e uma resposta,

mesmo que depois, tenha usado a expressão corretamente. Isto porque na escola,

até esta serie de modo geral a expressão precisa de um resultado numérico. Talvez,

uma maneira de sanar isto seria ter indicado a igualdade da seguinte maneira:

Número de faces =

Uma outra dificuldade foi a de considerar a posição como um índice na

atividade 1.g. No entanto, o caminho suave que foi indicado, diminuiu tais

dificuldades.

Infelizmente somente 3 alunas compareceram e se mostraram

razoavelmente comprometidas e felizes com seus avanços.

3.3.4 Bloco 4

Este bloco de atividades tem por finalidade proporcionar ao aluno a

oportunidade de descobrir as leis de igualdade e a compreensão das propriedades

das operações, bem como, da relação de cada operação com a sua inversa. Os

alunos podem usar estratégias informais de resolução de equações como a

contagem ou tentativa e erro, preparando-os para a abordagem formal.

As atividades com a balança faz com que o aluno descubra os princípios de

equivalência, como regra prática facilitadora do processo de resolução de equações

e consequentemente ele, perceberá de onde vêm essas regras práticas e suas

justificações. Nas atividades de "adivinhações" os alunos têm a possibilidade de

realizar as operações "de trás para frente", ou seja, recorrendo, assim, as operações

inversas.

Neste bloco de atividades, também é importante, que os alunos realizem e

discutam com os colegas os resultados obtidos nas atividades, caminhando assim,

para a retomada dos conceitos e propriedades, para a formalização na resolução de

equações do 1º grau.

São objetivos deste bloco:

- Reconhecer uma igualdade como uma equação;

- Reconhecer a importância das propriedades de equivalência;

- Representar as situações em expressões matemáticas usando símbolos;

- Descobrir as leis de igualdade;

- Escrever o procedimento usado na resolução das atividades;

- Verificar se o resultado encontrado;

- Validar o resultado encontrado nas atividades;

3.3.4.1 Exemplos de resoluções dos alunos

Dentre os resultados que chamaram a atenção destacamos o trabalho com a

escrita algebrica. Conforme os registros da aluna:

Notamos que ela raciocinou algebricamente, aplicando a propriedade de

equivalência e usando na relação as operações aritméticas, sendo seu raciocínio

perfeitamente adequado.

Quanto ao modo de expressar matematicamente, se está certo ou não, não

seria relevante no momento. Importante, é que a aluna tenha compreendido a

escrita matemática de uma situação real.

Nessa atividade, a aluna resolveu a questão usando operações artiméticas

que lhe permitiu dedterminar o peso desconhecido.

Nessas duas atividades as balanças em equilibrio apresentam nos dois

pratos o objeto (pote de doce), cujo peso, é desconhecido.

Na atividade 5 a aluna não apresentou a equação de maneira adequada,

mas registra em linguagem corrente: "peguei e tirei 6 Kg de cada prato e ficou em

equilibrio então é = 6 Kg cada cesto". A aluna demonstra raciocinio algebrico,

aplicando o principio de equivalência.

Na atividade 6 a aluna traduziu a situação corretamente através de uma

equação resolvendo-a de acordo com o princípio de equivalência.

Nas atividades 7,8 9 e 10, a aluna escreveu corretamente a equação usando

símbolos algébricos. Notou-se nitidamente que a aluna empregou corretamente a

letra como "incognita", na equação. Também percebeu-se que para a resolução das

equaçoes, aplicou a propriedade das operações inversas, e conforme alguns

registros verificou-se que ela tambem usou a técnica de tentativa e erro, chegando

ao resultado esperado.

Conforme as observaçoes feitas nas atividades desse bloco, observou-se

novamente qua as alunas não apresentaram dificuldades com o pensamento

algébrico. A situação das balanças em equilibrio ajudou a desenvolver a

compreensão do sinal de igual como indicação de equivalência entre duas

quantidades e promoveu o surgimento de estratégias informais para a resolução de

equações.

Nesse bloco, trabalhou-se com equações do 1º grau com uma incognita,

pois o objetivo não era aprender a resolver equações, mas sobretudo desenvolver o

conceito de igualdade, a compreensão das propriedades das operações e,

sobretudo, reconhecer a importância da propriedade de equivalência e representar

os problemas com expressões algébricas, reconhecendo a igualdade como uma

equação, preparando-os assim, para a formalização de resolução de equações do 1º

grau.

Tambem, foi nitida a evolução dos registros escritos de como elas estavam

pensando para resolver cada situação, Observa-se nestas atividades um

desenvolvimento do pensamento e raciocínio algébrico.

4 Conclusão

Na reta final desse trabalho de pesquisa, já escrevendo as conclusões,

revendo os arquivos e rascunhos escritos durante os dois anos do programa PDE,

foi encontrado o rascunho da INTENÇÃO DE PESQUISA - Professor PDE 2010 -

item 2.2. Linhas Gerais do que se Pretende Pesquisar: (o qual relata), onde estava

escrito: " Pretendo pesquisar tendências inovadoras para o ensino-aprendizagem da

álgebra, buscando um entrosamento entre a aritmética e a álgebra, especificamente

no conteúdo de equações do 1° grau; com isso, investigando novas alternativas e

produzindo material para facilitar a compreensão e o significado das equações aos

meus alunos da 6ª série (7°ano) do ensino fundamental".

Portanto, olhando para trás, é possível concluir que essa pesquisa foi de

encontro as expectativas iniciais e teve resultados positivos ao encontrar alternativas

de ensino e diferentes estratégias para desenvolver o pensamento algébrico para o

ensino e aprendizagem de equações do 1º grau.

A aplicação das atividades teve duração de nove tardes, perfazendo um total

de trinta e duas horas. Nas primeiras aplicações da sequencia didática,

compareceram 10 dos 16 alunos convidados, que apresentavam baixo rendimento

escolar e dificuldade no aprendizado da matemática com disponibilidade para

frequentar o contra turno.

Percebeu-se, no inicio dos trabalhos, muitas dificuldades, gerando discussão

e conversas paralelas, demonstração de baixa autoestima e insegurança, levando-

os a desistência. Após o terceiro dia de aplicação, compareceram apenas três

alunas, as quais, desde o princípio se mostraram empenhadas, segundo elas em

"aprender mais" (fala das alunas).

Nos demais dias, notou-se no grupo de alunas, uma participação ativa e

interessada, embora com muitas dificuldades para escrever as respostas e

justificativas, pois não estão habituadas a registrar em linguagem corrente as suas

conjecturas. No decorrer das aulas, notou-se grande evolução e desenvoltura, para

a observação e registro das situações.

As atividades realizadas revelaram-se um potencial para o desenvolvimento

do pensamento e também da linguagem algébrica, pois permitiram às alunas a

observação de padrões e regularidades facilitando a continuação de uma sequencia,

induzindo-as ao cálculo algébrico e resolução de problemas.

Observou-se, ainda, que havia muitos problemas com relação a conceitos

elementares, como, por exemplo, a tabuada. Muitos professores consideram que

isto é um empecilho em se avançar para atividades que desenvolvam pensamentos

mais elaborados, como por exemplo, o trabalho com resolução de problemas ou

com a álgebra. Observou-se que isto é um equivoco, tendo em vista que, embora

estes problemas existissem, conseguiu-se desenvolver o pensamento algébrico e

inclusive a resolução de problemas. É certo que os alunos precisaram de novas

explicações, mas isto foi feito ao mesmo tempo, ou seja, o conteúdo “não parou”.

Muitos professores, afirmam que a falta de conteúdos básicos é

consequência de um trabalho “inovador” em que se deixa de fazer atividades

tradicionais, como, por exemplo, decorar a tabuada. Ora, de fato, o que se notou

nas pesquisas é que ainda se decora a tabuada, e percebeu-se que os trabalhos

inovadores ainda são restritos às pesquisas, ou seja, não foram incorporados em

sala de aula.

Portanto, as alunas que participaram do estudo provavelmente “decoraram a

tabuada” no seu tempo escolar, mas ainda “não sabem a tabuada de cor”.

Faz-se necessário, portanto, um trabalho verdadeiramente diferenciado com

conteúdos básicos, mas que não impeça o desenrolar dos conteúdos das séries,

mesmo porque, como vimos, isto não é necessário.

Vale salientar que o papel do professor foi fundamental, também, quando

procurava tirar das alunas participantes, a resposta satisfatória para cada atividade,

não interferindo na sua criatividade. Por exemplo, quando uma aluna escrevia suas

respostas (regras), usando apenas a linguagem corrente, era questionado se não

havia uma forma mais simplificada de escrever aquela regra, ou se seria possível

instigar a aluna a pensar em um número maior da sequência na atividade.

Lins e Gimenez (2005, p.167), consideram que "nem o professor nem a

tarefa devem manter os alunos em camisas de força, embora a intervenção do

professor seja essencial". Assim, as alunas foram se desprendendo da linguagem

natural e procurando escrever as regras das sequencias por meio da linguagem

algébrica.

Acredita-se que para amenizar as dificuldades e até mesmo o medo

causado pela álgebra quando ensinada a partir do 7º ano do Ensino Fundamental, é

necessário uma preparação acadêmica dos professores para trabalhar com a

introdução ao pensamento algébrico, usando "sequências de padrões", desde as

séries iniciais do Ensino Fundamental.

Ao realizar essa pesquisa, foi possível perceber o perfeito entrosamento

entre a aritmética e a álgebra e o quanto ela aproxima a teoria da prática. É preciso

não acomodar-se e buscar novas metodologias, com o objetivo de despertar nos

alunos o gosto e o interesse pela aprendizagem da álgebra. Assim, é fundamental a

recomendação de Lins e Gimenez (2005, p. 159): "O que devemos buscar é a

coexistência da educação algébrica com a aritmética, de modo que uma esteja

implicada no desenvolvimento da outra".

E finalmente, ao passar pela experiência de realizar esta pesquisa, e tudo

que se lê sobre Educação Matemática, percebeu-se que não há fórmulas mágicas

de ensino, mas sim indicações bem fundamentadas, que se mostram necessárias

como: mudar as crenças e renovar o olhar sobre o caos, para visualizar novos

caminhos, novas ideias e novas possibilidades, vencendo limites e aprimorando

potencialidades para se tornar um verdadeiro agente de mudanças.

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