desenvolvimento de uma metodologia integrada para

Desenvolvimento de uma

Metodologia Integrada para

Otimização de Forma de

Mecânica de Fluidos

Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica

Desenvolvimento de uma Metodologia Integrada para

Otimização de Forma de Mecânica de Fluidos

Dissertação submetida à Universidade Federal de Santa

Catarina como parte dos requisitos para a obtenção do grau de

Mestre em Engenharia Mecânica

Lindaura Maria Steffens

Florianópolis, março de 2005.

ii

Desenvolvimento de uma Metodologia Integrada para

Otimização de Forma de Mecânica de Fluidos

Lindaura Maria Steffens

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

Mestre em Engenharia Mecânica Especialidade em Engenharia Mecânica, área de Análise e Projeto

Mecânico, sendo aprovada em sua forma final pelo curso de Pós-

Graduação em Engenharia Mecânica.

Banca Examinadora

Marcelo Krajnc Alves, Ph.D. Orientador

José Antônio Bellini da Cunha Neto, Dr. Coordenador do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

Amir Antônio Martins de Oliveira Júnior, Ph.D. Membro da Banca Examinadora

Mário César Zambaldi, Dr. Membro da Banca Examinadora

César José Deschamps, Ph.D. Presidente da Banca Examinadora

iii

Dedico este trabalho à minha família,

especialmente meus queridos pais Elvino e Maria que são a razão da minha existência e me criaram com muito amor e carinho . . .

iv

AGRADECIMENTOS

À Deus, acima de tudo!

Aos meus pais, pelos valores que me ensinaram e por sempre acreditarem na

minha capacidade.

Ao professor e orientador Marcelo Krajnc Alves, mais que um agradecimento, e

sim uma homenagem pela orientação acadêmica ímpar e as lições de como enfrentar as

grandes adversidades com coragem, determinação e confiança. Obrigada pelos seus

preciosos ensinamentos e amizade.

Aos queridos primos Carlos e Ruth, pelo carinho, incentivo e apoio.

As minhas “grandes” amigas Ana, Cris, Dani e Edi, por todos os momentos de

companherismo e descontração.

As amigas Cris e Claires, que além de todo apoio contribuíram nas correções

ortográficas.

Ao amigos e colegas, Bruno, Guilherme, Hilbeth, Miguel e Rodrigo, por me

auxiliarem sempre que preciso.

À todos os amigos e colegas da UFSC, em especial, André, Anderson, Antônio,

Carlos Henrique, Cátia, Claudio, Celso, Cleber, Daniela, Danilo, Evandro, Everaldo,

Gustavo, Humberto, Izolda, João, Jorge, Juliano, Luciano, Marçal, Pedro, Raimundo,

Tiago.

À todos os professores e à coordenação do Programa de Pós Graduação em

Engenharia Mecânica.

Aos professores e amigos do Departamento de Matemática, em especial, José Luis

Rosas Pinho, Rubens Starke, Ruy Coimbra Charão e Mário César Zambaldi.

À CAPES pelo apoio financeiro nestes dois anos de trabalho.

v

À todos que, de alguma forma ou outra, contribuíram para a realização deste

trabalho.

Meu muito obrigado!

vi

“Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável (...)

para aprender a conhecer a influência libertadora da beleza do reino do espírito, para seu

próprio prazer pessoal e para proveito da comunidade à qual

seu futuro trabalho pertencer”

(Albert Einstein)

vii

Sumário

Lista de Símbolos xi

Lista de Figuras xv

Lista de Tabelas xix

Resumo xx

Abstract xxi

Apresentação do Trabalho xxii

1 Introdução 1

1.1 Objetivos 2

1.2 Revisão Bibliográfica 2

1.2.1 Solução da equação diferencial 2

1.2.2 Solução do problema ótimo 5

1.3 Metodologia Adotada 9

2 Fluido - Equação de Navier-Stokes 12

2.1 Formulação Forte 13

2.2 Formulação Fraca 14

2.3 Formulação Discreta – Método de Elementos Finitos 17

2.4 Sistemas Não-Linear 24

2.4.1 Método de solução 24

2.5 Aplicações 27

2.5.1 Cavidade quadrada com face móvel 27

2.5.2 Difusor divergente 39

2.5.2 Difusor divergente com obstáculo 48

viii

2.6 Conclusões Parciais 56

3 Otimização de Forma 58

3.1 Fundamentos de Programação Matemática 58

3.1.1 Condições necessárias de otimalidade 59

3.1.2 Forma Geral do algoritmo de programação matemática 61

3.2 Método de Solução – Lagrangenao Aumentado 61

3.3 Variáveis de Projeto 68

3.4 Função Objetivo 68

4 Modelagem Geométrica 70

4.1 Uma Visão Geral das Curvas Splines 71

4.2 Equações Paramétricas 72

4.3 Curvas B-splines 74

4.3.1 B-splines não-uniformes 74

4.3.2 B-splines uniformes 77

4.3.3 B-splines fechadas 77

4.3.4 B-splines não-uniformes racionias 79

4.3.5 Continuidade 79

4.4 Implementação Computacional 81

5 Análise de Sensibilidade 85

5.1 Transformação do Domínio 86

5.2 Sensibilidade 87

5.3 Método de Diferenças Finitas 87

5.4 Método Analítico 88

5.4.1 Gradiente analítico da função objetivo 90

5.4.2 Sensibilidade da função objetivo em relação ao vetor de

deslocamentos nodais 91

5.4.3 Sensibilidade da função objetivo em relação ao vetor de

variáveis de projeto 92

ix

5.4.4 Sensibilidade do resíduo 92

5.4.5 Sensibilidade das matrizes e vetores elementares 92

5.4.6 Sensibilidade do Jacobiano e seu determinante 95

5.4.7 Sensibilidades das funções de interpolação 95

5.4.8 Sensibilidade da matriz gradiente de velocidade 96

5.4.7 Sensibilidade do volume 97

5.5 Método Semi-Analítico 97

5.5.1 Método semi-analítico convencional 97

5.5.2 Método semi-analítico “exato” 97

6 Aplicações 100

6.1 Algoritmo de Otimização de Forma 100

6.1.1 Definição do modelo de otimização 101

6.1.2 Definição do modelo pelo Método de Elementos Finitos 101

6.1.3 Análise do escoamento 102

6.1.4 Análise de sensibilidade 102

6.1.5 Otimização dos parâmetros 102

6.1.6 Atualização do modelo de otimização 102

6.2 Aplicações 102

6.2.1 Cavidade quadrada com face móvel 103

6.2.2 Difusor divergente 114

6.3 Considerações Finais 138

Conclusão e Perspectivas Futuras 139

Bibliografia 141

A A Equação de Navier-Stokes 147

B O Elemento T7/C3 156

x

C A Equação de Euler Lagrange 160

D O Teorema de Kuhn-Tucker 168

E O Método de Newton 174

xi

Lista de Símbolos

Φ Conjunto de dados de entrada

Ω Domínio genérico

eΩ Domínio elementar

Γ Contorno do domínio

x Vetor posição

u Vetor velocidade

v Vetor velocidade admissível

p Pressão

p Pressão admissível

ν Viscosidade dinâmica

µ Viscosidade cinemática

ρ Densidade

b Vetor de força de corpo

n Vetor normal

σ Tensor tensão

δ Delta de Kroneker

(.)D Tensor deformação

Re Número de Reynolds

δ Termo captura de descontinuidade

i Funções interpolação de elementos finitos (Cap. 2)

i Funções-base das curvas paramétricas (Cap. 4) i

eq Vetor ingcógnita de elementos finitos

ek Matriz de rigidez elementar

K Matriz de rigidez global extF Vetor de força global

R Vetor resíduo

xii

TK Matriz tangente

s Vetor das variáveis de projeto infis Ínfimo da i-ésima restrição lateral supis Supremo da i-ésima restrição lateral

( )f s Função objetivo

( )h s Restrição de igualdade

( )g s Restrição de desigualdade

g Gradiente da função objetivo

H Matriz Hessina da função objetivo

d Direção de busca

α Tamanho do passo (busca linear)

L Função Lagrangeana

χ Função Lagrangeana Aumentada

µ Vetor multiplicador de Lagrange - restrição de desigualdade

λ Vetor multiplicador de Lagrange - restrição de igualdade (Cap. 3)

λ Vetor adjunto (Cap. 5)

ε Parâmetro de penalidade

z Vetor de variávies de folga

γ Escalar entre zero e um

Ψ Termo da função Lagrangena Aumentada simplificada

( )p t Representação paramétrica de uma curva

t Coordenada paramétrica de uma curva

ip Polinômios cúbicos

, , ,i i i ia b c d Coeficientes dos polinômios cúbicos

Pi Ponto-chaves

Qi Segmentos da curva

Bi Ponto de controle

ib Vetor posição do ponto de controle Bi

T Vetor variável paramétrica

C Matriz coeficientes dos polinômios

M Matriz base da representação paramétrica

xiii

G Vetor geometria

BSM Matriz base para a representação de curvas B-splines

GBS Vetor geometria para a representação de curvas B-splines

ijm Coeficiente matriz base

ig Coeficiente do vetor geometria

N Parâmetro que controla o grau das funções-base

K Número de pontos de controle

( )t t Vetor tangente

( )curv t Curvatura

ih Peso

, , ,a b c d Coeficientes referentes as condições nos extremos das curvas B-splines

,e f Vetores referentes as condições nos extremos das B-splines

eT Transformação do domínio elementar

J Matriz Jacobiana

J Determinante da matriz Jacobiana

js∆ Perturbação absoluta da variável de projeto js

jη Perturbação relativa da variável de projeto js

∇ Gradiente

∧ Conectivo lógico “e”

∨ Conectivo lógico “ou”

∴ Conectivo lógico “então”

∀ Quantificador “qualquer que seja”

∪ Quantificador “união”

⊂ Quantificador “contido”

∈ Quantificador “pertence”

∆ Operador Laplaciano

1

n

i=Α Operador Montagem

mod Operador Restante

∂ Operador diferencial

div Divergente

⊗ Produto tensorial

xiv

.,. Produto interno

⋅ Produto escalar

. Norma

xv

Lista de Figuras

2.1 Descrição do domínio 14

2.2 Exemplo do elemento T7/C3 18

2.3 Esquema do algoritmo para solução do sistema não-linear 26

2.4 Cavidade quadrada com face móvel 27

2.5 Malha não-estruturada de elementos triangulares 28

2.6 Malha estruturada de elementos quadrilaterais - Fonte: Deus (2002) 29

2.7 Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=1000) 29

2.8 Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=1000) - Fonte: Deus (2002) 30

2.9 Curvas do campo de pressão (Re=1000) 30

2.10 Curvas do campo de pressão (Re=1000) - Fonte: Deus (2002) 31

2.11 Campo de velocidade (Re=1000) 31

2.12 Campo de velocidade (Re=1000) - Fonte: Deus (2002) 32


2.14 Curvas do campo de pressão (Re=4000) 33


2.16 Recirculação no canto inferior direito da cavidade (Re=4000) 34

2.17 Recirculação no canto inferior esquerdo da cavidade (Re=4000) 34

2.18 Recirculação no canto superior esquerdo da cavidade (Re=4000) 35

2.19 Perfil de velocidade u ao longo da linha de centro vertical (Re=1000) 36

2.20 Perfil de velocidade v ao longo da linha de centro horizontal (Re=1000) 36





2.25 Difusor divergente 40

xvi

2.26 Malha não-estruturada de elementos triangulares (Re=10) 41

2.27 Malha estruturada de elementos quadrilaterais (Re=10) - Fonte: Deus (2002) 42


2.29 Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=10) - Fonte: Deus (2002) 43

2.30 Campo de pressão (Re=10) 43

2.31 Campo de pressão (Re=10) - Fonte: Deus (2002) 44


2.33 Campo de velocidade (Re=10) - Fonte: Deus (2002) 45

2.34 Malha não-estruturada do difusor divergente (Re=100) 46


2.36 Campo de pressão (Re=100) 47


2.38 Difusor divergente com obstáculo de um aerofólio 48

2.39 Difusor divergente com obstáculo cilíndrico 49

2.40 Malha não-estruturada do difusor caso (i) 50

2.41 Malha não-estruturada do difusor caso (ii) 50

2.42 Caso (i) - Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=100) 51

2.43 Caso (i) - Campo de pressão (Re=100) 51

2.44 Caso (i) - Campo de velocidade (Re=100) 52

2.45 Caso (i) - Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=1000) 52

2.46 Caso (i) - Campo de pressão (Re=1000) 53

2.47 Caso (i) - Campo de velocidade (Re=1000) 53

2.48 Caso (i) - Campo de velocidade contornando o obstáculo (Re=1000) 54

2.49 Caso (ii) - Norma euclidiana do vetor de velocidade (Re=100) 55

2.50 Caso (ii) - Campo de pressão (Re=100) 55

2.51 Caso (ii) - Campo de velocidade (Re=100) 56

3.1 Esquema do algoritmo de Otimização 67

4.1 Continuidade de funções 72

xvii

4.2 Controle Local 74

4.3 Curvas B-splines com N=2,3,4. 76

4.4 (a) B-spline uniforme (b) B-spline não-uniforme 77

4.5 Curva B-spline fechada (K=5 e N=4) 78

4.6 Curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave 81

4.7 Intervalo paramétrico de um segmento de curva B-spline 82

4.8 Contorno bidimensional modelados por splines 84

5.1 Elemento eΩ no plano xy - Elemento eΩ no plano ξη 86

5.2 Malha dos nós afetados pela perturbação de um ponto-chave da B-spline 89

6.1 Esquema do Processo de Otimização 101

6.2 Cavidade a ser otimizada 103

6.3 Cavidade caso (i) - Configuração do pontos-chaves 104

6.4 Malha da cavidade na configuração inicial 105

6.5 Cavidade caso (i) - Malha na configuração otimizada 105

6.6 Cavidade caso (i) - Campo pressão 106

6.7 Cavidade caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade 106

6.8 Cavidade caso (i) - Campo de velocidade 107

6.9 Cavidade caso (ii) - Configuração do pontos-chaves 108

6.10 Cavidade caso (ii) - Malha na configuração otimizada 109

6.11 Cavidade caso (ii) - Campo pressão 110

6.12 Cavidade caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade 110

6.13 Cavidade caso (ii) - Campo de velocidade 111

6.14 Cavidade caso (i) - Posição inicial e final dos nós na face superior 112

6.15 Cavidade caso (i) - Posição inicial e final dos nós na face superior – Fonte:

Deus(2002) 112

6.16 Cavidade caso (ii) - Posição inicial e final dos nós na face superior 113

6.17 Difusor divergente a ser otimizado 115

6.18 Difusor caso (i) - Configuração do pontos-chaves 115

xviii

6.19 Malha da forma inicial do difusor com rampa a ser otimizada 116

6.20 Difusor caso (i) - Malha otimizada 117

6.21 Difusor caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade 117

6.22 Difusor caso (i) - Campo de pressão 118

6.23 Difusor caso (ii) - Configuração do pontos-chaves 119

6.24 Difusor caso (ii) - Malha Otimizada 120

6.25 Difusor caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade 120

6.26 Difusor caso (ii) - Campo de pressão 121

6.27 Difusor caso (ii) - Campo de velocidade 121

6.28 Difusor caso (i) - Posição inicial e final dos nós da rampa 123

6.29 Difusor caso (i) - Posição inicial e final dos nós da rampa - Fonte: Deus(2002) 123

6.30 Difusor caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da rampa 124

6.31 Difusor caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da rampa - Fonte: Deus(2002) 124

6.32 Difusor divergente suave a ser otimizado 126

6.33 Difusor caso (iii) - Configuração do pontos-chave 126

6.34 Malha da forma inicial do difusor suave com parede a ser otimizada 127

6.35 Difusor caso (iii) - Malha otimizada 128

6.36 Difusor caso (iii) - Norma euclidiana do vetor velocidade 128

6.37 Difusor caso (iii) - Campo de velocidade 129

6.38 Difusor caso (iii) - Posição inicial e final dos nós da parede 130

6.39 Difusor caso (iii) - Posição inicial e final dos nós com acréscimo às VP 131

6.40 Difusor e obstáculo a serem otimizados 132

6.41 Difusor caso (iv) - Configuração do pontos-chave 132

6.42 Malha da forma inicial do difusor e obstáculo a serem otimizados 133

6.43 Difusor caso (iv) - Malha na configuração otimizada 134

6.44 Difusor caso (iv) - Norma euclidiana do vetor velocidade 134

6.45 Difusor caso (iv) - Campo de pressão 135

6.46 Difusor caso (iv) - Campo de velocidade 135

6.47 Difusor caso (iv) - Posição inicial e final dos nós da parede e no obstáculo 137

xix

Lista de Tabelas

4.1 Dados de uma curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave 82

4.2 Valores dos coeficientes do sistema de equações e pontos de controle das extremi-

dades para as condições de contorno de uma B-spline cúbica 84

Resumo

Este trabalho propõe um procedimento numérico integrado para problemas que envolvem a

otimização de forma aplicada ao escoamento de fluidos. O procedimento é denominado integrado

porque reúne diversos módulos distintos para o tratamento do problema, como modelagem

geométrica, geração de malhas por elementos finitos, análise não-linear do escoamento, análise

de sensibilidade, programação matemática e otimização de forma.

A solução eficiente desta classe de problemas de otimização, principalmente os algoritmos

de programação matemática, depende fortemente da estratégia utilizada na análise de sensibili-

dade da resposta do contorno e da determinação efetiva do gradiente da função objetivo e suas

restrições, com relação às variáveis de projeto. Por este motivo, neste trabalho, foi aplicado um

procedimento para melhorar a qualidade da análise de sensibilidade. As sensibilidades são obti-

das analiticamente e o procedimento implementado para o gradiente da função objetivo propõe

uma alternativa chamada de método adjunto, que consiste na adição de um termo à função

objetivo, o que reduz consideralvemente o custo computacional.

O problema de otimização é definido com base no modelo geométrico, a função objetivo a

ser considerada é a dissipação viscosa e as variáveis de projeto são as coordenadas dos pontos-

chave, os quais descrevem o contorno do domínio, que é representado por segmentos de B-

splines cúbicas. A definição paramétrica de curvas em função de um conjunto de pontos-chave

e condições de contorno em seus vértices extremos são discutidas detalhadamente. É dada

ênfase à interpolação através de segmentos de B-splines, devido à sua simplicidade, eficácia e

flexibilidade. A correta definição da geometria do domínio é responsável pelo sucesso do processo

de otimização.

O problema discretizado de otimização é formulado através do Método do Lagrangeano

Aumentado, considerando-se restrições laterais e volumétricas.

Os escoamentos aqui tratados são bidimensionais, supondo as hipóteses de incompressibili-

dade e em regime permanente, modelados pelas equações de Navier-Stokes. Estas equações são

discretizadas pelo método dos elementos finitos de Galerkin, via elementos triangulares T7/C3

(sete nós para a velocidade e três para a pressão), resultando em um sistema de equações não-

lineares, que é solucionado pelo método de Newton.

O problema a ser solucionado neste trabalho consiste na otimização de forma de contornos,

visando à redução da dissipação viscosa decorrente do escoamento em torno de um dado corpo

ou em um canal.

Palavras-Chave: Análise de Sensibilidade, Navier-Stokes, Otimização de Forma.

viii

Abstract

This work presents an integrated numerical procedure for problems involving the optimiza-

tion applied to fluid flow. The procedure is called integrated because it gathers distinct modules

to the treatment of the problem, such as geometric modeling, generation of finite element meshes,

nonlinear flow analysis, sensitivity analysis, mathematical programming and shape optimization.

The effective solution of this class of optimization problems, mainly the algorithms of mathe-

matical programming, strongly depends upon the strategy used in the sensitivity analysis of the

contour response and of the effective determination of the gradient of the objective function and

its restrictions with relation to the design variables. For this reason, a method was developed in

this work in order to improve the sensitivity quality. The sensivities are obtained analytically

and the procedure used to the gradient of the objective function offers an alternative called an

adjoint method, which considerably reduces the computational cost.

The optimization problem is defined on the basis of the geometric model, the objective

function to be considered is a viscosity dissipation, and the design variables are the coordinates of

the key points, which describe the contour of the domain represented by cubic B-spline segments.

The parametric definition of curves in function of a set of key points and conditions of contour in

its extreme vertices are discussed at great length. Emphasis is given to the interpolation through

the B-spline segments, due to its simplicity, effectiveness, and flexibility. The right definition of

the domain geometry is responsible for the success of the optimization process. The discretized

optimization problem is formulated through the Augmented Lagrangian Method, and lateral

and volumetric restrictions were taken into account.

The flows treated here are bidimensional, assuming the hypotheses of incompressibility and

steady-state, modeling by the Navier-Stokes equations. These equations are discretized by

Galerkin’s finite element method, via triangular elements T7/C3 (seven knots for the velo-

city and three knots for the pressure), resulting in a system of nonlinear equations, solved by

Newton´s method.

The problem to be solved in this work consists in the optimization of the contour shapes,

aiming the reduction of the viscosity dissipation originated from the flow around a given body

or channel.

Key-Words: Sensitivity Analysis, Navier-Stokes, Shape Optimization.

ix

Apresentação do trabalho

Buscando facilitar o entendimento deste trabalho, o texto desta dissertação está organizado

em 6 capítulos principais e alguns apêndices.

No Capítulo 1 são apresentadas a introdução do problema estudado, a motivação queimpulsionou o desenvolvimento do trabalho, a revisão bibliográfica sobre os diferentes e inúmeros

métodos possíveis para se abordar o problema e a metodologia e objetivos definidos para o

trabalho aqui desenvolvido.

No Capítulo 2 são descritos o problema do escoamento do fluido nas suas formulaçõesforte, fraca e discreta, o método de solução aplicado para o problema não-linear, obtido da

discretização por elementos finitos, e ainda, alguns exemplos de análise do escoamento.

No Capítulo 3 são apresentados os conceitos gerais da programação matemática, a formu-lação do problema ótimo de forma genérica, algumas informações sobre os algoritmos utilizados

neste trabalho, como também a definição das variáveis de projeto e função objetivo. O texto

fornece uma visão de como funciona o procedimento iterativo de solução do problema e infor-

mações necessárias para compreender a organização do sistema computacional implementado.

O Capítulo 4 introduz o conceito e a importância da modelagem geométrica no processo

de otimização de forma. São discutidas as técnicas de modelagem disponíveis para a solução de

problemas de otimização e são estudados, principalmente os aspectos de representação paramétrica

de curvas utilizando B-splines.

Um estudo detalhado dos principais métodos disponíveis para a análise de sensibilidade é

feito no Capítulo 5, onde são discutidas as vantagens e limitações de cada um no que diz

respeito à precisão, eficiência e às dificuldades de implementação. São deduzidas as expressões

do gradiente da função objetivo e restrições pelo método escolhido neste trabalho.

No Capítulo 6 são apresentados o resumo de cada etapa do processo implementado nestetrabalho para a solução de um problema de otimização em escoamentos de fluidos e os principais

resultados obtidos da aplicação deste, bem como a comparação dos resultados apresentados com

resultados de outros trabalhos semelhantes desenvolvidos na literatura.

Finalmente, tem-se as conclusões mais importantes referentes aos resultados obtidos no de-

senvolvimento do trabalho e algumas perspectivas e sugestões para trabalhos futuros.

Os apêndices estão reservados para outros detalhes referentes à determinação de alguns

resultados matemáticos que requerem extensa manipulação e à implementações de pequenas

variações feitas na teoria apresentada nos capítulos.

x

Capítulo 1

Introdução

A solução de problemas de engenharia através de técnicas e análises numéricas é atual-

mente uma realidade tanto em nível acadêmico quanto industrial. A evolução crescente dos

computadores modernos vem possibilitando que problemas cada vez mais complexos possam ser

resolvidos através de técnicas numéricas. Outro fator que também contribuiu para esta nova

tendência está relacionado com os custos de projeto. Os computadores modernos além de cada

vez mais poderosos estão cada vez mais baratos. Hoje é possível que todo o desenvolvimento

de um problema numérico seja realizado em um microcomputador, cujo custo é muito baixo,

deixando apenas as grandes simulações, com malhas refinadas, para os supercomputadores ou

às estações de trabalho. Alguns problemas mais simples podem até mesmo serem resolvidos no

próprio microcomputador em que o código foi desenvolvido.

Ainda com relação a fatores econômicos, outro aspecto importante é que atualmente já é

possível que horas de experimentação em laboratórios a custos altíssimos sejam substituídas

por simulações em computadores, diminuindo enormemente os custos de projeto e deixando os

testes de laboratórios apenas para os refinamentos do projeto, ou a modelagem de problemas

que ainda não possuem uma formulação matemática satisfatória.

A área de interesse deste trabalho concentra-se na aplicação de soluções numéricas para

problemas de otimização de forma em mecânica dos fluidos, cujas aplicações estão presentes em

diversas áreas da engenharia e são especialmente importantes nas áreas da engenharia aeroes-

pacial e automobilística, bem como no projeto de válvulas e bombas hidráulicas. Esta área tem

experimentado nas últimas décadas um grande crescimento, incentivada tanto pela evolução dos

computadores quanto pelo desenvolvimento de técnicas numéricas cada vez mais poderosas e

capazes de resolver modelos matemáticos mais próximos da realidade.

A otimização de forma é um procedimento quase indispensável no projeto e construção de

estruturas industriais. O problema de otimização de forma consiste em encontrar a geometria

de uma estrutura ou de um contorno, que minimiza um dado funcional (tais como, o peso

da estrutura ou a perda de carga do escoamento) e que simultaneamente satisfaça as restrições

especificadas (como espessura, energia de deformação, volume ou limites de deformação e físicos).

A geometria pode ser considerada como um domínio no espaço Euclidiano tri-dimensional.

Em geral o funcional toma a forma de uma integral sobre o domínio, ou sobre seu contorno,

onde o integrando depende da suavidade da solução do problema de valor de contorno. O

1

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

problema de otimização de forma consiste na minimização de tal funcional com respeito ao

domínio geométrico que deve ser tomado sobre uma família de domínios admissíveis.

Assim, idealmente um problema de otimização de forma significa encontrar o mínimo de um

funcional específico sobre um conjunto de domínios admissíveis. Na prática, a engenharia está

interessada em reduzir o arraste na asa de um avião ou em automóveis, ou então, diminuir a

perda de carga em canais, válvulas hidráulicas, válvulas cardiovasculares, etc.

Um campo recente e muito fértil em termos de estudo e produção científica é a combinação

dos resultados obtidos nas áreas de mecânica, análise funcional e teoria de controle. O de-

senvolvimento deste trabalho tem o intuito de aplicar tais teorias e conceitos à problemas de

escoamento de fluidos sobre contornos e superfícies.

1.1 Objetivos

Este trabalho de pesquisa propõe o desenvolvimento de um procedimento numérico para

a solução de problemas de otimização de forma em escoamentos de fluidos, com o objetivo de

diminuir a dissipação viscosa decorrente dos escoamentos sobre uma forma genérica, ou seja,

dado um escoamento sobre um contorno, pretende-se encontrar a forma deste que minimize a

perda de carga do escoamento analisado.

Um sistema computacional para a otimização de forma de contornos em escoamentos de flui-

dos será implementado. A implementação de um sistema desse tipo é um grande desafio, pois

envolve conhecimentos das áreas de programação matemática, modelagem geométrica, geração

de malhas, análise do escoamento e análise de sensibilidade. Cada um destes temas isolada-

mente se constitui em uma área de conhecimento bastante vasta, tanto no aspecto teórico como

computacional.

O procedimento é aplicado em escoamentos bidimensionais de fluidos newtonianos, sob as

hipóteses de incompressibilidade e regime permanente.

1.2 Revisão Bibliográfica

As referências bibliográficas citadas da metodologia utilizada podem ser divididas didati-

camente em dois grupos: as que fazem referência à solução do problema do escoamento do

fluido, ou seja, à solução numérica das equações diferenciais (equação de Navier-Stokes) e as

que se referem à definição e solução do problema de otimização de forma. Por esse motivo, a

revisão bibliográfica é dividida em duas partes: a primeira traz um histórico do desenvolvimento

dos métodos disponíveis para solução das equações diferenciais e a segunda procura abordar os

aspectos relacionados com o problema ótimo.

1.2.1 Solução da equação diferencial

No presente trabalho, a atenção é voltada para a modelagem de problemas de otimização

de forma que envolvem o escoamento de fluidos newtonianos incompressíveis. A solução desses


problemas requer o manuseio das equações de Navier-Stokes, altamente não-lineares. Os méto-

dos tradicionais disponíveis para o tratamento dessas equações diferenciais são o Método de

Diferenças Finitas, o Método de Volumes Finitos e o Método de Elementos Finitos.

O grande desenvolvimento dos métodos numéricos e a conseqüente aplicação dos mesmos

na engenharia, ocasiona, não raramente, discussões a respeito da eficiência e aplicabilidade dos

diferentes métodos citados acima. Sabe-se, historicamente, que o Método de Diferenças Finitas

era empregado na mecânica dos fluidos e o Método de Elementos Finitos na área estrutural.

Os problemas abordados nestas áreas, do ponto de vista físico e matemático, são completa-

mente distintos, isto é, enquanto os problemas de escoamentos de fluidos são não-lineares, os da

elasticidade têm, normalmente, características lineares. As não-linearidades provém dos termos

advectivos das equações de Navier-Stokes e as linearidades assemelham-se a problemas pura-

mente difusivos.

O Método de Elementos Finitos, preferido pelos analistas da área de estruturas, desenvolveu-

se fundamentalmente na área de elasticidade pelo fato de não haver nem o problema de não-

linearidades nem o problema de acoplamento entre as variáveis. Os esforços dos pesquisadores

deste método concentrou-se mais na discretização de geometrias arbitrárias e no emprego de

malhas não-estruturadas, o que proporcionou a vantagem de solucionar problemas com geome-

trias complexas. Mesmo com muitas das características desejadas pelos analistas da área de

fluidos a sua aplicação foi tardia porque se acreditava que a equação diferencial a ser resolvida

necessitava de um princípio variacional para que o método pudesse ser aplicado, propriedade

que a equação de Navier-Stokes não tem, além disso apresentava dificuldades no tratamento das

não-linearidades.

Até o início dos anos setenta tinha-se então o Método de Diferenças Finitas com grande

experiência na área de fluidos mas com dificuldades em tratar geometrias complexas. Em con-

trapartida, o Método de Elementos Finitos era eficaz no tratamento da geometria mas sem

ferramentas suficientes para tratar os termos advectivos presentes nas equações do movimento.

Apesar de superar a questão do princípio variacional através do uso do método clássico

de Galerkin, o Método de Elementos Finitos não teve sucesso imediato em problemas de flui-

dos pelo fato de o método ser adequado apenas para problemas puramente difusivos. Além

disso, os resultados de simulações numéricas da equação de Navier-Stokes, usando este método

em elementos finitos produz instabilidades numéricas. Isto se dá por dois motivos principais:

o primeiro, pelo caráter advectivo-difusivo das equações, que pode contaminar o campo de

pressão e, conseqüentemente, o campo de velocidade; o segundo, pela formulação de caráter

“misto” (envolvendo campos de pressão e velocidade) das equações, a qual limita a escolha das

combinações das funções de interpolação elementares utilizadas para aproximar os campos de

velocidade e pressão.

Estes problemas e outros similares motivaram inúmeras pesquisas buscando sua solução,

ou seja, procurando a estabilização da solução. Ocorreu ainda na decáda de 70, uma grande

transformação na área numérica em fluidos motivada pelo aparecimento de equipamentos mais

velozes e a observação do caráter físico de cada termo da equação diferencial, o que permitiu

que métodos mais robustos fossem desenvolvidos causando grandes progressos nesta área.


O Método de Elementos Finitos passou a empregar outras funções de interpolação para

permitir o tratamento adequado dos termos advectivos-difusivos não-lineares. No caso da for-

mulação Petrov-Galerkin, onde as funções nada mais são do que a ponderação entre os efeitos

difusivos e convectivos, ou seja, a base das funções peso é enriquecida pela adição de funções

perturbação descontínuas que possuem características numéricas desejáveis, o que resulta no

esquema SUPG1 que foi introduzido por Brooks e Hughes (1980), Brooks e Hughes (1982) e

Kondo (1994). O SUPG possibilitou um expressivo avanço do Método de Elementos Finitos na

área de escoamento de fluidos, por ter-se mostrado capaz de controlar as instabilidades numéri-

cas. Entretanto, percebeu-se que na vizinhança de regiões com elevados gradientes a solução se

mostrou ainda vulnerável às tão indesejadas instabilidades.

Recentes formulações com a mesma finalidade citada acima também podem ser referenciadas,

como o Método do Gradiente Projetado descrito em Cecchi et al (1998) e Codina e Blasco (2000),

onde o gradiente de pressão é projetado no espaço do campo de vetores contínuos do elemento

finito e o divergente da diferença entre estes dois vetores (gradiente de pressão e sua projeção) é

incorporado na equação da continuidade. Outros exemplos de metodologias são as que utilizam

as Funções Bolha2 apresentadas por Franca et al (1998), onde a idéia é enriquecer o subespaço

das funções peso com funções elementares pré-definidas para agregarem precisão e estabilidade

à solução.

Ainda para a solução por elementos finitos pode-se citar: o Método de Mínimos Quadrados

de Galerkin3, o método desenvolvido ao longo da linha de corrente, os esquemas semi-implicitos,

os esquemas de interpolação iguais para os campos de pressão e velocidade, os esquemas de

captura de descontinuidade, o Método de Elementos Finitos baseado em Volume de Controle e

o Método dos Elementos no Contorno4.

O Método de Mínimos Quadrados de Galerkin baseado nas referências Achdou et al (1999),

Codina (2000) e Franca e Frey (1992), alia um termo adicional com o objetivo de eliminar as

oscilações que podem estar presentes nas regiões de gradientes elevados. Tal metodologia tem

alcançado excelentes resultados.

O método onde as funções são desenvolvidas ao longo da linha de corrente, equivale aos

esquemas skew (Baliga e Patankar, 1980 e Schneider e Raw, 1986), usados em volumes finitos,

que permitiram que o Método de Elementos Finitos passasse a tratar problemas de fluidos

minimizando os efeitos de difusão numérica.

Os esquemas semi-implícitos (Codina et al, 1998 e Kjellgren, 1997), consistem em tratar os

termos difusivos de forma implícita e os termos advectivos de forma explícita e os esquemas

que utilizam ordem de interpolação iguais para os campos de pressão e velocidade (Franca

e Frey, 1992 e Codina e Blasco, 1997). Tais formulações não satisfazem a condição de Brezzi-

Babuška, também chamada de condição de “inf-sup” (Babuška, 1973 e Brezzi, 1974). Esta é uma

condição necessária para garantir uma performance ótima de um determinado método, quando

este é aplicado a um conjunto bem definido de dados de entrada, digamos Φ. Se satisfeitas

1Streamline Upwind Petrov Galerkin2Residual Free Bubbles3Galerkin Least Square Method4Boundary Element Method


as condições de “inf-sup”, diz-se então que tal método é robusto com relação ao conjunto Φ.

Quando a condição não é satisfeita o método apresenta uma performance sub-ótima ou não

converge, neste caso, diz-se que o método não é robusto com relação ao conjunto Φ. Entretanto,

é possível que haja um subconjunto Φ∗ de Φ, com respeito ao qual o método estudado seja

robusto (Babuška e Narasimhan, 1997).

Nos esquemas com captura de descontinuidades (Codina, 1993), uma parcela de “amorteci-

mento” é inserida na formulação, de tal forma que esta só atue em regiões de elevados gradientes,

com o objetivo de combater as possíveis oscilações numéricas da solução. Há ainda metodologias

que fazem uso de malhas adaptativas a fim de capturar melhor as regiões de elevados gradientes

e, deste modo, contribuir para uma melhor precisão dos resultados (Bugeda e Oñate, 1995).

Alguns trabalhos mostram o Método de Elementos Finitos aplicado em nível de volumes

elementares, sendo denominado método dos elementos finitos baseado em volume de controle

(Baliga e Patankar, 1980 e Schneider e Raw, 1986), denominado na literatura como CVFEM5,

cujo objetivo é obter as equações aproximadas em nível de volumes elementares em uma base

de elementos finitos, ou seja, busca unir as características desejadas de volumes finitos, que é a

conservação das propriedades em nível elementar, com as características desejadas de elemen-

tos finitos, que é a utilização de um sistema de coordenadas locais e independência entre os

elementos.

O Método dos Elementos no Contorno vem ganhando destaque, sendo aplicado quando é

possível transferir a influência do operador do domínio para a fronteira. Sua vantagem é a

possibilidade de tratar apenas com a discretização da fronteira, sem a necessidade de discretizar

o domínio interno.

Atualmente, observa-se que ambos os métodos (Volumes Finitos e Elementos Finitos) re-

solvem problemas altamente advectivos, inclusive com ondas de choque e geometrias arbitrárias.

Isso mostra que existe entre eles uma forte semelhança em termos de generalidade. Na verdade

não poderia ser diferente se observarmos do ponto de vista matemático, uma vez que todos os

métodos numéricos podem ser derivados do método dos resíduos ponderados, empregando-se

diferentes funções peso. O Método de Diferenças Finitas surge quando a função peso é feita

igual à função delta no ponto em consideração, o Método de Volumes Finitos aparece quando

esta função peso é feita igual a um no volume elementar e a zero em todos os outros volumes

elementares. Enquanto o Método de Elementos Finitos-Galerkin surge quando estas funções

peso são feitas iguais às funções tentativas.

Portanto, não existe sentido em argumentar que um determinado método é sempre superior a

outro, visto que eles são derivados do mesmo princípio e diferem apenas na forma de minimização

escolhida. O que se tem, na prática, são diferentes graus de experiência dos diversos métodos

para diferentes problemas.

1.2.2 Solução do problema ótimo

A literatura na área de otimização fornece uma gama de possibilidades para abordagem

de tais problemas, pelo fato de envolver vários aspectos na definição e na solução do problema.

5Control Volume Finite Element Method


Ela reúne diversos módulos distintos, como a formulação do problema ótimo, a representação

do modelo geométrico, a análise de sensibilidade e a programação matemática.

Nas últimas quatro décadas, foram desenvolvidos modelos e técnicas de otimização e o cresci-

mento paralelo das facilidades computacionais permitiram a utilização destas técnicas desenvolvi-

das. Outro aspecto que estimulou o uso de uma abordagem sistemática na solução de problemas,

foi o rápido aumento no tamanho e na complexidade dos problemas, como resultado do avanço

tecnológico desde a segunda guerra mundial.

A necessidade de reduzir o peso das estruturas sem comprometer a integridade estrutural,

particularmente em aplicações aeroespaciais, foi historicamente a grande força motriz por de-

trás do desenvolvimento dos métodos de otimização. Este impulso ocorreu nos anos 60 e Schmit

(1981) descreve, com muita propriedade, seu desenvolvimento. Porém, a literatura sobre otimiza-

ção de projetos estruturais remonta desde o século passado. Inicialmente, com o trabalho de

Maxwell (1869) e, em seguida, seu desenvolvimento feito por Michell (1904), ambos citados por

Schmit (1981), supriram a teoria básica para a solução de problemas de otimização de estruturas.

Desta época até o final da década de 50, os trabalhos escritos foram quase todos relacionados

com o mesmo tipo de problema.

A partir daí, com as facilidades criadas pelo uso do computador e após o surgimento da

linguagem Fortran, o avanço foi grande. Empresas como a NASA6, Bell Aerosystems7 e Boeing8,

envolveram-se em pesquisas relacionadas com otimização. Em seguida, Gallagher e Zienkiewicz

(1973) apresentaram a primeira coletânea de artigos importantes em otimização.

Após esta fase, da década de 70 até a atualidade, as pesquisas têm-se concentrado no desen-

volvimento e escolha de métodos matemáticos para solução de problemas com variáveis discretas

e, em termos de programação matemática, têm-se concentrado na melhoria dos códigos com-

putacionais baseados em métodos de gradiente de passos largos, para que esses códigos possam

resolver problemas de grande porte de forma tão eficaz quanto vêm resolvendo os problemas de

pequeno e médio porte que lhes têm sido submetidos.

A formulação do problema ótimo pode ser feito de diversas maneiras. Dentre as metodologias

existentes pode-se destacar as seguintes: os Métodos Seqüenciais Quadráticos9 (Mahmoud et al,

1994), o Método do Lagrangeano Aumentado10 (Nocedal e Wright, 1999) e o Método do Gradi-

ente Reduzido Generalizado (Wang e Ragsdell, 1984). O Método Seqüencial Quadrático ao longo

dos anos tem-se mostrado bem eficiente para uma larga classe de problemas de otimização. Ele

se caracteriza pela minimização de uma aproximação quadrática da função Lagrangeana a cada

passo. Enquanto o Lagrangeano Aumentado transforma o problema original em uma seqüência

de problemas laterais, além de acrescentar positividade à curvatura da função Lagrangeana do

problema original. O Método do Gradiente Reduzido Generalizado imita os passos do Método

Simplex (Luenberger, 1973 e Splendey, 1972) para uma linerização local de um problema de

programação não-linear. A idéia é a de, a cada iteração do algoritmo, movimentar o ponto

6National Aeronautics and Space Administration (1960).7Bell Aerosystems Company (1964).8Boeing Company (1968).9Sequential Quadratic Programming10Augmented Lagrangian Method


viável.

De acordo com registros históricos a utilização do modelamento geométrico matemático

remonta a mais de mil anos atrás, quando era usado como aplicação de seções cônicas nos

projetos de arquitetura naval. Os engenheiros e construtores projetavam e construíam os navios

baseados em métodos de curvas cônicas.

Nos anos cinqüenta a revolução do advento do computador e o desenvolvimento da com-

putação gráfica mudaram para sempre a modelagem, transformando o modelamento geométrico

em uma ferramenta de grande auxílio na execução e desenvolvimento de projetos e novas tec-

nologias.

As raízes do modelamento geométrico de hoje são encontradas nos sistemas mais avançados

de computação gráfica desenvolvidos para projetos computacionais. Estes, por sua vez, são

descendentes do sistema computacional SAGE11, da Força Aérea Norte Americana (Everett,

1958).

Sutherlan (1963), trabalhando no MIT12 está entre os pioneiros neste ramo com o seu sistema

Sketchpad. O Sketchpad e outros sistemas gráficos avançados, sugeriram e proporcionaram pos-

sibilidades para melhorar e estender os projetos de engenharia, estimulando o desenvolvimento

de muitas teorias matemáticas que são a base do modelamento geométrico de hoje. Do lado da

engenharia, o modelamento tendeu a enfatizar a aparência do projeto, com a exceção notável

dos modelos de elementos finitos, usados em análise estrutural e modelos análagos em análise

aero-termodinâmica, que tendeu a enfatizar também a funcionabilidade do projeto.

Do lado industrial, a história de modelamento geométrico iniciou-se com um modelamento

simples de processos de controle numérico, quando foram introduzidos computadores na indústria

para calcular e controlar os movimentos nas ferramentas e máquinas. Isto exigiu uma nova

maneira de entender e extrair a informação dos desenhos e projetos de engenharia. Tal tarefa

não era possível até que foram desenvolvidos linguagens especiais para traduzir a informação da

forma dos desenhos em um formato compatível computacionalmente, ou seja, em uma linguagem

computacional.

Através de estudos avançados, Ross (1959), no IIT13, dedicando grande esforço neste campo,

desenvolveu com sucesso uma linguagem de controle de máquina, baseada na geometria analítica

clássica. A linguagem APT14 emergiu deste trabalho. Isto marcou o começo do controle

numérico, revolucionando assim a maquinaria na indústria.

Em meados dos anos sessenta, Coons (1963, 1965) também no MIT e Ferguson (1964) na

Boeing, iniciaram trabalhos importantes em curvas não racionais de forma livre e modelagem

de superfícies, usando o esquema de interpolação cúbica de Hermite. O trabalho de Coons foi

muito importante porque abriu o caminho e estimulou o desenvolvimento de outras curvas e

representações de superfícies. Os esforços anteriores de Casteljau (1959, 1963), foram seguidos

rapidamente pelo trabalho independente de Bézier (1966, 1967, 1968), que produziu um método

extensamente usado para projetar curvas e superfícies.

11Semi-Automatic Ground Environment12Massachusetts Institute of Technology13 Illnois Institute of Technology14Automatic Programming of Tools


Coons, Ferguson e outros desenvolverammodelos de superfícies para substituir as tradicionais

técnicas das indústrias de construção naval, automobilística e aeronaútica, por algo mais rápido,

preciso e versátil. Eles buscaram formas que eram fáceis de modificar e compatíveis com a análise

e os processos industriais. Os famosos remendos cúbicos paramétricos de Coons e Ferguson e as

formulações de Bézier foram um grande sucesso.

Nesta mesma época, a General Motors desenvolveu seu sistema denominado de DAC-115,

primeiro sistema de CAD16 utilizado para projeto de automóveis. Outras companhias aeroes-

paciais, como Douglas, Lockheed e McDonnell, fizeram desenvolvimentos significativos neste

campo. O esforço da Douglas foi conduzido por Eshleman e Meriwether (1966, 1967), que es-

tenderam consideravelmente a compreensão e a utilidade da forma Hermitiana cúbica e bicúbica

das curvas e superfícies. Para Eshleman e Meriwether, a idéia de um modelo matemático que

descreve e registra a geometria do produto final de um projeto era muito importante, mas o

principal era o processo real - o uso, a evolução e a análise do modelo em todas as fases do

projeto.

Conseqüentemente, isto colocou em ênfase a universalidade e versatilidade da maneira de

representação do modelo, ou seja, uma boa aproximação. Como exemplo, podemos citar a forma

racional da B-spline não uniforme, extensamente usada e popularmente chamada de NURBS17.

O sucesso da forma de NURBS surgiu pelo simples fato que o projeto e processo industrial ainda

confia em formas analíticas padrões, tais como: linhas retas, círculos, cônicas e em superfícies

quadráticas. As formas racionais de representação para curvas e superfícies como NURBS, são

capazes de incorporar formas padrões e formas livres.

Nos anos setenta Gordon e Riesenfeld (1974) introduziram e aplicaram, com a ajuda do

computador, as curvas e superfícies B-splines à projetos geométricos. A forma racional das

curvas de Bézier e B-spline vieram logo em seguida, culminando nas poderosas e populares curvas

e superficies NURBS. Cox (1972) e Boor (1972) fundamentaram matematicamente grande parte

deste trabalho.

As limitações das linguagens de programação de controle numérico estimularam mais e mais o

trabalho no campo da matemática e as aplicações em modelar superfícies. Isto foi reforçado pelo

crescimento da indústria automobilística e aeronáutica. Nesta época, se obteve grandes avanços

na área da matemática, especialmente na geometria paramétrica. Desta maneira, se tem uma

década produtiva em pesquisa e desenvolvimento, que termina no meio dos anos setenta, onde

emergiu as idéias de curvas e superficíes por partes, ou seja, a junção de muitos segmentos de

curvas individuais ou remendos de superfícies descrevem as geometrias mais complexas.

Portanto, há a possibilidade do contorno do domínio ser modelado através de uma spline

paramétrica que pode ser do tipo Ferguson, Hermite, Bézier ou ainda uma B-spline (Bugeda e

Oñate, 1995 e Virgil et al, 1992). Pode-se também, descrever o contorno do domínio através

de funções polinomiais (Francavilla et al, 1975), de linhas retas e circunferências, ou de “car-

regamentos fictícios” (Belegundu e Rajan, 1988; Rajan e Belegundu, 1989 e Yatheendhar e

Belegundu, 1993). Os Métodos de Carregamentos Fictícios tem a peculiaridade de utilizar a

15Design Augmented by Computers16Computer Aided Design17Non Uniform Racional B-Spline


solução de problemas auxiliares, onde se encontram aplicadas cargas fictícias. A solução destes

problemas auxiliares por sua vez permite achar a matriz da transformação, que leva a per-

turbação das variáveis de projeto na perturbação das coordenadas dos nós da malha. Cada

um destes métodos representam diferentes maneiras pelas quais as variáveis de projetos podem

definir a forma do contorno.

Todos os métodos fundamentados nas curvas paramétricas e superfícies de geometria diferen-

cial formam o núcleo de modelamento geométrico computacional. Além disso, as possibilidades

crescentes de alteração interativa e da otimização de formas ganharam mais atenção, estimulando

uma reconsideração de todos os métodos de modelamento atuais. O futuro de modelamento geo-

métrico é, sem dúvida, promissor.

No que se refere a análise de sensibilidade, sabe-se que a convergência do processo de otimiza-

ção é fortemente influenciada pela qualidade das sensibilidades calculadas. Os algoritmos de pro-

gramação matemática necessitam dos gradientes da função objetivo e das restrições em relação

às variáveis de projeto para determinar a direção de busca do processo de otimização.

Portanto, pelo fato da análise de sensibilidade desempenhar um papel central no processo

de otimização, sendo freqüentemente a etapa mais cara deste processo, podendo tomar de 50 a

90% do esforço computacional para a solução de todo o problema, é imprescíndivel que o cálculo

das sensibilidades seja o mais preciso e eficaz possível. Como conseqüência, diferentes métodos

foram desenvolvidos (Choi et al, 1986; Lund, 1994 e Tortorelli, 1997), os quais se distingüem

basicamente pela eficiência numérica e o esforço de implementação.

Os principais métodos disponíveis para se obter as sensibilidades são: o Método de Diferenças

Finitas, o Método Analítico e o Método Semi-Analítico. O Método Analítico é o mais preciso

e eficiente, contudo as expressões resultantes podem ser longas e exigir mais trabalho para a

implementação. O Método de Diferenças Finitas é simples e genérico, mas altamente ineficiente

por ser muito caro computacionalmente. O Método Semi-Analítico mantém as vantagens da

utilização de diferenças finitas e possui um custo computacional baixo quando comparado com

Diferenças Finitas, porém apresenta sérios problemas de precisão. Há ainda algumas variações

e combinações entre estes métodos que busca suprir ou minimizar as dificuldades que cada um

apresenta individualmente.

No caso da solução de problemas de otimização de forma envolvendo escoamentos de fluidos

existem alguns trabalhos que podem ser referenciados, como é o caso do trabalho Mohammadi

e Pironneau (2004), que descreve os desenvolvimentos mais recentes na área de otimização de

forma em fluidos, no que se refere a importantes fatores como a existência de solução, análise

de sensibilidade, compatibilidade de discretização, implementação eficiente dos algoritmos, uti-

lização de sistemas CAD18, etc. Todos estes conceitos são aplicados para a otimização de um

jato supersônico.

O estudo desenvolvido por Parente de Deus (2002) foi utilizado como referência para o

trabalho proposto para esta dissertação. Os procedimentos para solucionar um problema de

otimização de forma em escoamentos de fluidos aqui desenvolvidos são a continuidade do trabalho

feito por Parente de Deus (2002), o qual difere basicamente pelas estratégicas utilizadas para a

18Computer Aided Design


abordagem do problema (definição do contorno, método de análise de sensibilidade, geração de

malha, etc.), buscando melhorar e agregar resultados, tornando a metodologia mais sofisticada.

1.3 Metodologia Adotada

Os algoritmos de otimização são procedimentos iterativos, nos quais um projeto inicial vai

sendo progressivamente melhorado. A cada iteração destes algoritmos é preciso definir uma

nova forma, analisar o contorno, o escoamento e a função objetivo e calcular os gradientes

(sensibilidades) das respostas obtidas. É necessário, para isso, utilizar procedimentos precisos,

eficazes e robustos para realizar cada uma destas etapas.

Neste trabalho a equação que governa o escoamento é dada pela Equação de Navier-Stokes, na sua forma bidimensional, supondo as hipóteses de incompressibilidade e regimepermanente. A discretização da equação é feita pelo Método de Elementos Finitos. A opção

por este método para o problema do fluido justifica-se, primeiro, pela área de atuação, que

focaliza o estudo e desenvolvimento deste e, segundo, pelo fato de Método de Elementos Finitos

estar solucionando problemas altamente advectivos, além de ter a vantagem de trabalhar com

geometrias complexas e malhas não-estruturadas.

Desta forma, a equação envolvida é discretizada pelo Método de Elementos Finitos de

Galerkin (Brooks e Hughes, 1982 e Reddy, 1992), via o elemento T7/C3 (sete nós para a ve-

locidade e três para a pressão). A grande motivação para a abordagem via este elemento, em

problemas de dinâmica de fluidos, é a satisfação da condição “inf-sup”, também denotada como

condição de Brezzi-Babuška (Babuška e Narasimhan, 1977 e Brezzi, 1974) para os problemas

“mistos”. A satisfação desta condição garante a existência da solução do problema variacional e

a estabilidade numérica do problema discretizado. Torna-se, assim, desnecessária a introdução

de parâmetros de estabilidade, simplificando consideravelmente o esforço necessário para a de-

terminação da análise de sensibilidade associada à otimização de forma.O T7/C3 é um elemento

com maior custo computacional, por apresentar um número maior de campos a ser interpolado

e a ordem das funções interpolação ser quadrática, mas mostra vantagens em relação a outros

elementos de alta-ordem, devido à sua simplicidade computacional e eficiência na determinação

da solução dos campos de pressão e velocidade do escoamento.

A formulação utilizada para o problema do escoamento adiciona um termo à formulação

fraca, cujo objetivo é a eliminação de oscilações que podem ocorrer em regiões de elevados

gradientes. Tal termo é chamado de captura de descontinuidade ou captura de choque.

Assim, como conseqüência destes procedimentos, a solução do problema do escoamento do

fluido consiste na resolução de um sistema não-linear, o qual é resolvido pelo método de Newton

(Bazaraa, 1993, Luenberger, 1973 e Martinez e Santos, 1995).

O problema de otimização é formulado pelo Método do Lagrangeano Aumentado (Arora,

1989, Nocedal e Wright, 1999 e Martinez e Santos, 1995), que transforma o problema original

em uma seqüência de problemas de otimização laterais. Serão consideradas, também, restrições

volumétricas ao problema.

A função objetivo a ser considerada é a dissipação viscosa e as variáveis de projeto são


definidas como sendo as coordenadas dos pontos-chave, os quais descrevem o contorno do domínio

por meio de B-splines cúbicas (Bugeda e Oñate, 1995 e Hinton e Sienz, 1997). Estas, por sua

vez, são determinadas em função do conjunto destes pontos de interpolação e das condições de

contorno em seus vértices extremos. Através do uso de splines é possível obter uma melhor

definição do contorno, permitindo a manipulação e avaliação dos pontos na curva, com controle

local e mudanças iterativas.

Uma eficiente e relevante maneira de se realizar a análise de sensibilidade sempre implica em

uma considerável redução do tempo total de solução do problema. Diante disso, neste trabalho,

as expressões necessárias para o cálculo das sensibilidades em relação às variáveis de projeto

foram desenvolvidas analiticamente, pelo fato de serem precisas e eficazes. É importante ressaltar

que os resultados obtidos através da aplicação dessas expressões representam as sensibilidades

exatas de uma dada malha de elementos finitos.

Além disso, foi aplicado um procedimento para melhorar a qualidade das sensibilidades

analíticas de contornos sujeitos aos escoamentos não-lineares. O procedimento é baseado na

diferenciação analítica da função objetivo adicionada de um termo. Tal operação é denominada

de método adjunto. A grande vantagem da aplicação deste método neste trabalho está na

maneira eficaz de como foi escolhido este vetor adjunto, que reduz consideravelmente o custo

computacional para a solução do problema não-linear do fluido.

Capítulo 2

Equação de Navier-Stokes

O desenvolvimento da mecânica dos fluidos foi iniciado antes de Cristo, quando as apli-

cações poderiam ser consideradas mais arte do que propriamente ciência. O início da análise

dos fenômenos que ocorrem com os fluidos pode ser atribuído a Arquimedes (285-213 a.C.),

estudando a flutuação de corpos submersos na célebre determinação do conteúdo de ouro da

coroa do rei Hiero I1. Com os romanos voltou a era das grandes construções hidráulicas, mas

poucas foram as suas descobertas científicas. Contudo, isso não leva a desprezar seus feitos,

pois os seus aquedutos fazem parte de grandes sistemas de distribuição de água, os quais foram

frutos da experiência acumulada. Depois no Renascimento, nos séculos XV e XVI, Leonardo da

Vinci reiniciou aplicações no campo de Hidráulica e deu início ao estabelecimento de proposições

científicas na área.

Na primeira metade do século XVII, Newton enunciou as famosas leis do movimento. Pouco

depois, em 1755, Euler estudando elementos fluidos estabeleceu equações diferenciais básicas

do movimento e importantes equações básicas sobre energia foram estabelecidas por Bernoulli.

E quase um século depois, em traballhos independentes, Navier (1827) e Stokes (1845) gene-

ralizaram as equações de movimento com a inclusão do conceito de viscosidade.

Neste trabalho, a equação que governa o escoamento é dada pela Equação de Navier-Stokes, considerada a mais importante em dinâmica dos fluidos newtonianos e foi obtida suces-sivamente por Navier (1827), Poisson (1831), Saint-Venant (1843) e Stokes (1845). A equação

é tratada em sua forma bidimensional, supondo as hipóteses de incompressibilidade e regime

permanente, o que pode ser observado pelas condições impostas ao problema.

Este capítulo, aborda desde a apresentação do problema do escoamento na sua forma mais

geral até a apresentação do esquema numérico para a solução do problema não-linear obtido da

formulação em elementos finitos e mais alguns exemplos de análise do escoamento.

Primeiramente, é realizada a exposição do problema em sua formulaçao forte, com todas as

suas condições de contorno (essenciais e naturais). Em seguida, obtém-se a formulação fraca

do problema inicialmente apresentado através do Método de Galerkin. A transformação do

problema da sua formulação forte para a fraca ocorre devido à dificuldade de se obter soluções

1Conta-se que Arquimedes inventou o procedimento quando, ao entrar num recipiente completamente cheio deágua para se lavar, parte dela transbordou. Assim, descobriu como determinar se a coroa de ouro do rei estavaadulterada. Nesse momento saiu do banho e gritou a célebre palavra “Eureka!”, que em grego significa “Achei!”

12

CAPÍTULO 2. EQUAÇÃO DE NAVIER-STOKES 13

em um espaço de dimensão infinita. Por esse motivo, transforma-se o problema para um espaço

de solução de dimensão finita. Obtida a forma fraca do problema, incorpora-se a esta o parâmetro

de captura de descontinuidade, que se faz necessário quando se trabalha com valores elevados

para o número de Reynolds. Feito isto, segue-se com a aplicação da formulação de elementos

finitos.

A formulação pelo Método de Elementos Finitos do problema é com certeza, a etapa mais

importante deste processo inicial para a solução do escoamento. Vale observar ainda que tal

etapa é fortemente influenciada pelas anteriores. Nesta etapa serão obtidas todas as matrizes e

vetores elementares que contribuirão para a formação da matriz de rigidez global.

Em seguida, apresenta-se o esquema para a solução do sistema não-linear de equações obtido

pela discretização de elementos finitos, algumas aplicações de escoamentos e a comparação destes

com outros trabalhos já realizados, procurando validar o código aqui implementado.

Alguns resultados matemáticos sobre a existência e unicidade de solução para a Equação de

Navier-Stokes, podem ser encontrados no Apêndice A.

2.1 Formulação Forte

O problema do escoamento a ser resolvido pode ser descrito da seguinte forma:

Seja Ω ⊂ R2 um domínio limitado e Γ o seu contorno. O problema consiste em:

Determinar u(x) e p(x), para ∀ x ∈ Ω ∪ Γ, tais que satisfaçam

(∇u(x))u(x)− 2ν div(D(u(x))) + 1ρ∇p(x) = b(x) em Ω

div(u(x)) = 0 em Ω ,(2.1)

onde ν é a viscosidade dinâmica, ρ é a densidade, u é o vetor velocidade, p é a pressão, b é o

vetor de força de corpo e D(·) é a parte simétrica do operador gradiente, dado por

D(·) = ∇(·) +∇T (·)

2. (2.2)

As equações descritas em (2.1) estão sujeitas às condições de contorno de Dirichlet e Neu-

mann, dadas respectivamente por

u(x) = u(x) em Γu

e

2ν D(u(x)) · bn− 1ρp(x)bn = h(x) em Γt,

(2.3)

onde Γ = Γu ∪ Γt, sendo Γu a região do contorno com o campo de velocidade prescrito e Γt a

região do contorno com a tensão prescrita. Como um exemplo de domínio genérico, tem-se a

Fig. (2.1)


Figura 2.1: Descrição do domínio.

Visando à obtenção da forma fraca para o problema definido acima, define-se os espaços de

funções ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

Conjunto dos campos de velocidades admissíveis:

Kinu = u(x) ∈£H1(Ω)

¤2 | u(x) = u(x) em Γu.Conjunto de variações dos campos de velocidades admissíveis:

Varu = v(x) ∈£H1(Ω)

¤2 | v(x) = 0 em Γu.Conjunto dos campos de pressões admissíveis:

Kinp = p(x) ∈ L2(Ω).Conjunto de variações dos campos de pressões admissíveis:

Varp = p(x) ∈ L2(Ω),

onde L2(Ω) é o espaço normado das funções Lebesgue quadrado integráveis em Ω e H1(Ω),

normado com a norma k.k1, é o espaço de Sobolev de ordem 1, definido como o espaço constituídodas funções em L2(Ω) e cujas derivadas também são Lebesgue quadrado integráveis em Ω. (Para

mais detalhes ver Apêndice A, Temam, 1991, Reddy, 1997 e Kreyszing, 1989).

2.2 Formulação Fraca

Visando encontrar a formulação fraca do problema, aplica-se agora o método de Galerkin.

Para isso, apresenta-se o problema em sua forma integral ponderada:

Determinar (u, p) ∈ Kinu ×Kinp, tais queZΩ(∇u)u− 2ν div(D(u)) +

1

ρ∇p− b · v dΩ−

ZΩ1ρdiv(u)bp dΩ = 0 (2.4)

∀(v, p) ∈ Varu ×Varp.


Sendo

div(D(u)T v) = v · div(D(u)) +∇(v) ·D(u) (2.5)

= v · div(D(u)) +D(v) ·D(u)

e

div (pv) = p · div(v) + v ·∇p. (2.6)

Substituindo estas relações em (2.4), obtém-se:ZΩ(∇u)u · v dΩ−

ZΩ2νdiv(D(u)T v)dΩ+

ZΩ2νD(v) ·D(u)dΩ+ (2.7)Z

Ω

1

ρdiv(pv)dΩ−

ZΩ

1

ρp · div(v)dΩ−

ZΩb · vdΩ−

ZΩ1ρdiv(u)bp dΩ = 0.

E como resultado do Teorema da Divergência tem-seZΩdiv (D(u)T v)dΩ =

Z∂ΩD(u)T v · bn dΓ (2.8)

=

ZΓu

v ·D(u)bn dΓ+ ZΓt

v ·D(u)bn dΓ.Como v ∈ Varu, então v = 0 em Γu, isto implica emZ

Ωdiv (D(u)T v)dΩ =

ZΓt

v ·D(u)bn dΓ. (2.9)

Analogamente, obtém-se ZΩdiv (pv)dΩ =

ZΓt

v · pbn dΓ. (2.10)

Substituindo os resultados de (2.9) e (2.10) em (2.7) e aplicando a condição de contorno

natural resulta em:ZΩ(∇u)u · v dΩ+

ZΩ2ν D(u) ·D(v)dΩ−

ZΩ

1

ρp · div(v)dΩ− (2.11)Z

Ωb · vdΩ−

ZΩ

1

ρdiv(u)bpdΩ− Z

Γt

h · vdΓ = 0.

Agora define-se

hf(x), g(x)i =ZΩf(x) · g(x)dΩ (2.12)

como produto interno de quaisquer funções arbitrárias f(x), g(x) ∈ L2(Ω).

Portanto, obtém-se a seguinte formulação fraca:


Determinar (u, p) ∈ Kinu ×Kinp, tais que

h(∇u)u, viΩ + 2ν hD(u),D(v)iΩ −1

ρhp, div(v)iΩ − hb, viΩ −

1

ρhdiv(u), pi

Ω − hh, viΓt = 0 (2.13)

∀(v, bp) ∈ Varu ×Varp.Com o intuito de analisar escoamentos com elevados números de Reynolds, adiciona-se um

termo à formulação fraca, cujo objetivo é a eliminação de oscilações que podem ocorrer em

regiões de elevados gradientes. Tal termo é chamado de captura de descontinuidade ou captura

de choque. Acrescentando-se este parâmetro proposto por Franca e Frey (1992), o problema

pode ser reformulado na forma bilinear como:

Determinar (u, p) ∈ Kinu ×Kinp, tais que

B(u, p, v, p) = F (v, p), ∀(v, bp) ∈ Varu ×Varp, (2.14)

com

B(u, p, v, p) = h(∇u)u, viΩ + 2ν hD(u),D(v)iΩ −1

ρhp, div(v)iΩ− (2.15)

1

ρhdiv(u), piΩ + hdiv(u), δdiv(v)iΩ

e

F (v, p) = hb, viΩ + hh, viΓt . (2.16)

O parâmetro de estabilidade para captura de choque, definido em Franca e Frey (1992), é

dado como

δ = λku(x)kpheξ(Ree(x)); (2.17)

onde

Ree(x) =mkku(x)kphe

4ν; (2.18)

ξ(Ree(x)) =

(Ree(x) se 0 ≤ Ree(x) < 1

1 se Ree(x) ≥ 1; (2.19)

ku(x)kp =

⎧⎪⎨⎪⎩µ

nPi=1|ui(x)|p

¶ 1p

), se 1 ≤ p <∞,

maxi=1,...,n

|ui(x)| se p =∞,

; (2.20)

mk = min

½1

3, 2Ck

¾, (2.21)

Ck

Xe

h2ek 5 ·D(v)k20,e ≤ k 5 ·D(v)k20, v ∈ Varu; (2.22)

λ > 0. (2.23)

A condição de contorno de Dirichlet descrita em (2.3), também conhecida como condição de


contorno essencial não homogênea, fornece u(x) = u(x) em Γu. Desta forma, pode-se considerar

a decomposição

u = u∗ + u5, (2.24)

onde u5 é um campo de velocidade conhecido, satisfazendo a condição de contorno do campo

prescrito na fronteira, isto é, u5 ∈ Kinu, enquanto que u∗ é um campo de velocidade desco-

nhecido, tal que u∗ ∈ Varu. Aplicando a decomposição ao problema em questão, este pode ser

reformulado como:

Dado u5 ∈ Kinu, determine (u∗, p) ∈ Varu ×Varp, tal que

B(u∗, p, v, p) = F (v, p), ∀(v, bp) ∈ Varu ×Varp. (2.25)

Com

B(u∗, p, v, p) = h(∇(u∗ + u5))(u∗ + u5), viΩ + 2ν hD(u∗ + u5),D(v)iΩ− (2.26)1

ρhp, div(v)i

Ω −1

ρhdiv(u∗ + u5), piΩ + hdiv(u∗ + u5), δdiv(v)iΩ

e

F (v, p) = hb, viΩ + hh, viΓt . (2.27)

2.3 Formulação Discreta - Método de Elementos Finitos

O domínio Ω é “aproximadamente” particionado em elementos Ωe, nos quais os campos de

velocidade e pressão são interpolados.

Seja u = ue1 + ve2 , onde e1 e e2 são os vetores da base canônica. Seguindo com os pro-

cedimentos clássicos utilizados no método de elementos finitos pode-se escrever os campos de

interpolação na seguinte forma matricial

u∗ = [Ni] qeu∗ , u5 = [Ni] qe

uO ⇒ u = [Ni] qeu;

v∗ = [Ni] qev∗ , v5 = [Ni] qe

vO ⇒ v = [Ni] qev;

p = [Ni] qep;

(2.28)

onde [Ni]i=u,p representam as funções de interpolação elementares e qeu, qev e qep representam

os vetores incógnitas de velocidades e pressões nodais.

Neste trabalho, o elemento triagular utilizado é o T7/C3 (sete nós para a velocidade e três

para pressão, veja a figura (2.2), mais detalhes Apêndice B). A grande motivação para a

abordagem via este elemento, em problemas de dinâmica de fluidos, é a satisfação da condição

“inf-sup”, também denotada como condição de Brezzi-Babuška (Babuška e Narasimhan, 1977

e Brezzi, 1974) para problemas “mistos”. A satisfação desta condição garante a existência da

solução do problema variacional e a estabilidade numérica do problema discretizado. Torna-

se, assim, desnecessária a introdução de parâmetros de estabilidade, simplificando consideravel-

mente o esforço necessário para a determinação da análise de sensibilidade associada à otimização


de forma.

Portanto, os vetores incógnitas para este elemento ficam representados da seguinte forma:

qeu∗ =

¡u∗1, u∗

2, u∗

3, u∗

4, u∗

5, u∗

6, u∗

7

¢;

qev∗ =

¡v∗1, v∗

2, v∗

3, v∗

4, v∗

5, v∗

6, v∗

7

¢;

qep = (p1 , p2 , p3) .

(2.29)

Figura 2.2: Exemplo do elemento T7/C3.

Aplicando o raciocínio elementar, procede-se a discretização de cada um dos termos da

formulação apresentada em (2.26) e (2.27):

A) Determinação de

h(∇u)u, viΩe = h(∇(u∗ + u5))(u∗ + u5), viΩe , (2.30)

onde

u =

(u

v

)∧ v =

(u

v

).

Pela definição dada em (2.28), pode-se escrever u como

u =

(u

v

)=

"[Nu] [0] [0]

[0] [Nu] [0]

#⎧⎪⎨⎪⎩qe

u

qev

qep

⎫⎪⎬⎪⎭ =hNdisp

iqe.

Analogamente,

v =

(u

v

)=hNdisp

iqe,

onde qe = (qeu, qev, qep) .


Sendo

(5u)u =

"u,x u,y

v,x v,y

#(u

v

)=

(u u,x + v u,y

u v,x + v v,y

).

Assim utilizando novamente a definição dada em (2.28), obtém-se:

(5u)u =

(u [Nu,x] qe

u + v [Nu,y] qeu

u [Nu,x] qev + v [Nu,y] qe

v

)

=

"u [Nu,x] + v [Nu,y] [0] [0]

[0] u [Nu,x] + v [Nu,y] [0]

#⎧⎪⎨⎪⎩qe

u

qev

qep

⎫⎪⎬⎪⎭= [N5u u(u)]qe.

Substituindo as expressões obtidas em (2.30), resulta em

h(∇u)u, viΩe

= h[N5u u(u)]qe, [Ndisp]qeiΩe = h[Ndisp]T [N5u u(u)]qe, qeiΩe

=

∙ZΩe

[Ndisp]T [N5u u(u)]dΩ

¸qe · qe = [k5u u

e (u)]qe · qe,

onde

[k5u ue (u)] =

∙ZΩe

hNdisp

iT hN5u u(u)

idΩ

¸.

B) Determinação de

2νhD(u),D(v)iΩe = 2νhD(u∗ + u5),D(v)iΩe . (2.31)

O operador D(·) é dado por

D(u) =5(u) +5T (u)

2,

ou também, como:

D(u)i,j =1

2

∙∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¸=[ui,j + uj,i]

2, i = 1, 2 e j = 1, 2.

Assim, da decomposição descrita em (2.24) tem-se

D(u) = D(u∗ + u5) = D(u∗) +D(u5).

Além disso,

D(u) ·D(v) = tr(DT (u)D(v)) = D(u)11D(v)11+D(u)12D(v)12+D(u)22D(v)22+D(u)21D(v)21.

Mas como D(·) é a parte simétrica do gradiente de velocidade, isto implica em

D(u) ·D(v) = D(u)11D(v)11 + 2D(u)12D(v)12 +D(u)22D(v)22.


Definindo D(u) como

D(u) =

⎧⎪⎨⎪⎩D(u)11

D(u)22

2D(u)12

⎫⎪⎬⎪⎭e identificando u1 = u, u2 = v e x1 = x, x2 = y no operador simétrico do gradiente de velocidade,

obtém-se

D(u)11 = u,x D(u)22 = v,y 2D(u)12 = u,y + v,x.

Portanto,

D(u)

⎧⎪⎨⎪⎩u,x

v,y

u,y + v,x

⎫⎪⎬⎪⎭com

u,x = [Nu,x] qeu, v,y = [Nu,y] qe

v, u,y + v,x = [Nu,y] qeu + [Nu,x] qe

v.

Logo,

D(u) =

⎧⎪⎨⎪⎩[Nu,x] qe

u

[Nu,y] qev

[Nu,y] qeu + [Nu,x] qe

v

⎫⎪⎬⎪⎭=

⎡⎢⎣ [Nu,x] [0] [0]

[0] [Nu,y] [0]

[Nu,y] [Nu,x] [0]

⎤⎥⎦⎧⎪⎨⎪⎩

qeu

qev

qep

⎫⎪⎬⎪⎭= [Bv] qe.

Desta forma, pode-se escrever

2νD(u) ·D(v) =

⎡⎢⎣ 2ν 0 0

0 2ν 0

0 0 ν

⎤⎥⎦D(u) ·D(v)= [Hv]D(u) ·D(v)= [Hv] [Bv] qe · [Bv] qe.

O que resulta em

2νhD(u),D(v)iΩe = h[Hv]D(u),D(v)iΩe = h[Hv] [Bv] qe, [Bv] qeiΩe

= h[Bv]T [Hv] [Bv] qe, qeiΩe =∙Z

Ωe

[Bv]T [Hv] [Bv] dΩ¸qe · qe

= [kve ] qe · qe,

onde

[kve ] =∙Z

Ωe

[Bv]T [Hv] [Bv] dΩ¸.


C) Determinação de1

ρhp, div(v)i

Ωe. (2.32)

Por (2.28) tem-se:

p = [Np] qep, u = [Nu] qe

u, v = [Nu] qev.

Assim,

div(v) = u,x + v,y = [Nu,x] qeu + [Nu,y] qe

v

=n[Nu,x] [Nu,y] [0]

o⎧⎪⎨⎪⎩qe

u

qev

qep

⎫⎪⎬⎪⎭ = [Bdiv] · qe.

E para a pressão

p = [Np] qep

=n[0] [0] [Np]

o⎧⎪⎨⎪⎩qe

u

qev

qep

⎫⎪⎬⎪⎭ = [Npress] · qe.

Logo,

1

ρhp, div(v)i

Ωe=

1

ρh[Npress] · qe,

hBdiv

i· qeiΩe

=1

ρ

ZΩe

([Npress] · qe) · ([Bdiv] · qe)dΩ

=1

ρ

∙ZΩe

h[Bdiv]⊗ [Npress]

idΩ

¸qe · qe

= [kpresse ] qe · qe,

onde

[kpresse ] =1

ρ

∙ZΩe

h[Bdiv]⊗ [Npress]

idΩ

¸.

D) Determinação de

1

ρhdiv(u), pi

Ωe=1

ρhdiv(u∗ + u5), piΩe . (2.33)

Observe que este termo é semelhante ao anterior. Segue-se assim por analogia que

div(u) = div(u∗ + u5) = [Bdiv] · qe ∧ p = [Npress] · qe.


Então

1

ρhdiv(u), pi

Ωe=

1

ρh[Bdiv] · qe, [Npress] · qeiΩe

=1

ρ

ZΩe

([Bdiv] · qe) · ([Npress] · qe)dΩ

=1

ρ

∙ZΩe

h[Npress]⊗ [Bdiv]

idΩ

¸qe · qe

= [kpe]qe · qe,

onde

[kpe] =1

ρ

∙ZΩe

h[Npress]⊗ [Bdiv]

idΩ

¸.

Note ainda que

[kpe] = [kpresse ]T .

E) Determinação de

hdiv(u), δdiv(v)iΩe = hdiv(u∗ + u5), δdiv(v)iΩe . (2.34)

Este é o termo de captura de descontinuidade, cuja atuação é dirigida à regiões de elevados

gradientes, ou seja, em regiões nas quais a equação da continuidade é violada, com o objetivo

de eliminar oscilações que possam ocorrer nestas regiões.

Novamente, por analogia,

div(u) = div(u∗ + u5) = [Bdiv] · qe ∧ div(v) = [Bdiv] · qe.

Portanto

hdiv(u), δdiv(v)iΩe = h[Bdiv] · qe, δ[Bdiv] · qeiΩe=

ZΩe

δ([Bdiv] · qe) · ([Bdiv] · qe)dΩ

=

∙ZΩe

δh[Bdiv]⊗ [Bdiv]

idΩ

¸qe · qe

= [kδe ]qe · qe,

onde

[kδe ] =∙Z

Ωe

δh[Bdiv]⊗ [Bdiv]

idΩ

¸.

F) Determinação dehb, viΩe . (2.35)

onde

v =

(u

v

)= [Ndisp]qe ∧ b =

(bx

by

).


Tem-se assim

hb, viΩe = hb, [Ndisp]qeiΩe =ZΩe

b · [Ndisp]qedΩ

=

∙ZΩe

[Ndisp]T b dΩ

¸· qe = [F b

e ] · qe,

onde

[F be ] =

∙ZΩe

[Ndisp]T b dΩ

¸.

G) Determinação dehh, viΓt∩Ωe . (2.36)

Semelhante ao item anterior tem-se

v =

(u

v

)= [Ndisp]qe ∧ h =

(hx

hy

).

Portanto,

hh, viΓt∩Ωe = hh, [Ndisp]qeiΓt∩Ωe =ZΓt∩Ωe

h · [Ndisp]qedΩ

=

∙ZΓt∩Ωe

[Ndisp]T h dΓ

¸· qe = [F t

e ] · qe,

onde

[F te ] =

∙ZΓt∩Ωe

[Ndisp]T h dΓ

¸.

A partir dos termos obtidos nas expressões acima (A, B, C, D, E, F e G), pode-se escreverde forma elementar (2.26) e (2.27), respectivamente, como

B(u∗, p, v, p)|Ωe = [k5u ue (u)]qe · qe + [kve ]qe · qe − [kpresse ]qe · qe − [kpe]qe · qe + [kδe ]qe · qe (2.37)

e

F (v, p)|Ωe = [Fbe ] · qe + [F t

e ] · qe. (2.38)

Assim, a equação (2.25) restrita ao elemento fica

B(u∗, p, v, p)|Ωe − F (v, p)|Ωe = 0.

Portanto: n[k5u ue (u)] + [kve ]− [kpresse ]− [kpe] + [kδe ]

oqe = [F

be ] + [F

te ].

Note que o termo [k5u ue (u)] depende de u = [Ni] qe

u, ou seja, tem-se um termo não-linear

no funcional B(.).

Destaca-se abaixo, os termos dos funcionais B(.) e F (.) da forma bilinear:


• B(.):

— termos clássicos de Galerkin: [k5u ue (u)]qe · qe, [kve ]qe · qe, [k

presse ]qe · qe e [kpe]qe · qe;

— termo de captura de choque: [kδe ]qe · qe;

• F (.):

— termos clássicos de Galerkin: [F be ] · qe e [F t

e ].

2.4 Sistema Não-Linear

Uma vez expressas as contribuições de cada elemento na formulação fraca discretizada do

problema, faz-se com que os vetores e matrizes elementares dêem lugar às matrizes e vetores

globais, que são definidos da seguinte forma:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩q ⇐=

ne∪e=1

qe;

[K (q)]⇐=neAe=1

n[k5u ue (u)] + [kve ]− [k

presse ]− [kpresse ]T + [kδe ]

o;h

F exti⇐=

neAe=1

©[F b

e ] + [Fte ]ª;

(2.39)

onde q é o vetor global que contém todas as incógnitas das componentes de velocidade (u∗, v∗)

e pressão (p), ne é o número de elementos eneAe=1

· representa genericamente o operador demontagem para a matriz de rigidez e o vetor de força externa globais.

Portanto, determina-se a equação de equilíbrio discretizada global:

[K (q)]q = [F ext], (2.40)

obtendo-se, finalmente, o sistema não-linear global.

2.4.1 Método de solução

O conjunto de equações não-lineares obtido da discretização por elementos finitos é solu-

cionado iterativamente através de um método incremental, o qual aplica a cada incremento o

método de Newton.

Recordando o conjunto de equações de acordo com (2.40) tem-se:

[K (q)] q =hF ext

ionde q é o vetor incógnita.

Definindo-se o vetor resíduo por

R (q) = [K (q)] q −hF ext

i(2.41)

pode-se redefinir o problema como:


Determinar q ∈ Rn tal que

R (q) = 0. (2.42)

Computacionalmente é estabelecida uma tolerância (tol > 0), suficientemente pequena, para

a qual o critério de convergência é dado por

kR (q) k < tol, (2.43)

onde k · k é a norma euclidiana.Como procedimento de solução para o problema (2.42), aplica-se o método de Newton, com

uma estimativa inicial q 0 e cuja atualização do vetor incógnita q é dada da seguinte forma

q k+1 = q k +∆q k, (2.44)

onde k é a iteração atual, q k+1 é a (k + 1)-ésima estimativa para a solução de (2.42), q k é a

(k)-ésima estimativa para a solução de (2.42) e ∆q k é a correção para (k)-ésima estimativa de

solução de (2.42).

De modo a determinar o incremento ∆q k, impõe-se que na convergência para (k+1)−ésimaiteração ocorra o seguinte

R(q k+1) = R(q k +∆q k) = 0. (2.45)

Agora, expandindo a Eq. (2.45) em série de Taylor até o termo de primeira ordem em torno

de q k, tem-se

R(q k+1) ∼= R³q k´+

"∂(R(q k))

∂qk|q k

#∆q k = 0. (2.46)

Denota-se a matriz de rigidez tangente em q k como

[KkT] =

"∂(R(q k))

∂qk|q k

#. (2.47)

No caso deste trabalho a matriz tangente [KT] é obtida de forma analítica, ou seja, a matriz

é obtida exatamente. Entretanto, vale observar que a exatidão está relacionada com a expressão

da derivada analítica, pois a matriz será obtida por uma aproximação de elementos finitos.

Portanto, pela Eq. (2.46) tem-se

[KkT]∆q

k = −R³q k´. (2.48)

Logo:

∆q k = −[KkT]−1R

³q k´

(2.49)

sendo

R(q k) = [K(q k)]q k − [F ext]. (2.50)

Assim, a cada iteração do método de Newton, deve-se resolver um sistema linear análogo ao

apresentado em (2.48).


Algoritmo para a solução do sistema não-linear

Aqui faz-se a apresentação da idéia principal do algoritmo para a solução do sistema de

equações não-lineares de uma forma esquemática.

Com a finalidade de resolver o problema representado pela equação (2.42) é aplicado o método

de Newton, como mencionado acima. Assim, para uma estimativa inicial q 0, segue o esquema

numérico para obtenção da solução do problema:

Fim!

Calcule ( )kR q ;

Calcule ( )( )TK

k

kk

k q

R q

q

⎡ ⎤∂⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎣ ⎦ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

;

Solucione ( )1

TKk k kq R q−

⎡ ⎤∆ = − ⎣ ⎦ ;

Se erro ≤ tol ?

Sim

Nao

Atualize 1k k kq q q+ = + ∆ .

Atualize 1 1k k k kq q q q− +⇐ ∧ ⇐ .

Enquanto erro > tol faça:

Inicialize 1, e k kq q erro− . Para 1 0 01: k kk q q q q−= ⇐ ∧ ⇐ .

Início

Calcule o novo ( )1kerro R q += .

Figura 2.3: Esquema do algoritmo para solução do sistema não-linear.

A medida do erro é dada por kR¡qk+1

¢k. Como conseqüência, se o algoritmo do método

de Newton converge, tem-se q k ⇐= q soluçao. Portanto q soluç ao é, a menos de uma tolerância,

a solução do problema discretizado. Assim q solucao fornece os campos de velocidade e pressão

convergidos, que é a solução do problema não-linear do fluido.


2.5 Aplicações

Para se testar o código implementado foram selecionados alguns problemas clássicos já

citados na literatura, como o problema da cavidade quadrada com face móvel2 e o problema do

difusor divergente. Além destes, criou-se mais um exemplo onde imagina-se um obstáculo ao

escoamento no interior de um difusor divergente.

Vale observar que aqui não serão apresentados resultados referentes à dissipação viscosa sobre

o domínio. Contudo, como o interesse principal deste trabalho é analisar o valor da dissipação

viscosa integrada em todo o domínio, isso será abordado de forma mais consistente e detalhada

no Capítulo 6, com uma análise do problema de otimização de forma no escoamento.

O computador utilizado para a implementação e análise numérica foi um Pentium 4, 3.0ghz,

512Mb.

2.5.1 Cavidade quadrada com face móvel

O problema da cavidade configura-se como um escoamento incompressível em uma cavi-

dade quadrada, cuja face superior move-se com uma velocidade horizontal constante, conforme

Fig. (2.4). Este problema tem servido como modelo para teste e avaliação de muitas técnicas

numéricas, principalmente devido aos seus dois pontos de singularidade situados nos vértices

superiores da cavidade. Aqui estes pontos são considerados como se tivessem a velocidade da

face superior da cavidade.

Os resultados obtidos pelo código aqui implementado são comparados com os resultados

apresentados em Parente de Deus (2002) e Erturk e Corke (2005).

u=1.0 v=0.0

u=0.0 v=0.0

u=0.0 v=0.0

u=0.0 v=0.0

1.0

X

Y

Figura 2.4: Cavidade quadrada com face móvel.

2Square lid-driven cavity


A malha utilizada, que pode ser visualizada na Fig. (2.5), é uma malha não-estruturada e

não-uniforme com 2494 elementos. O tipo de elemento utilizado foi o elemento triangular T7/C3

(interpolação de sete nós para a velocidade e três para a pressão). Em Parente de Deus (2002),

a malha utilizada foi uma malha estruturada e não-uniforme e o tipo de elemento utilizado foi

o quad — four isoparamétrico. A malha utilizada por ele pode ser visualizada na figura (2.6).

A seguir, as figuras (2.7) à (2.18) mostram os resultados obtidos do aplicativo desenvolvido

neste trabalho para escoamentos submetidos a número de Reynolds 1000 e 4000, e também,

no caso de Reynolds 1000, os resultados apresentados em Parente de Deus (2002), para poder

comparar com os aqui obtidos.

Figura 2.5: Malha não-estruturada de elementos triangulares.


Figura 2.6: Malha estruturada de elementos quadrilaterais. Fonte: Deus (2002).

Figura 2.7: Norma euclidiana do vetor velocidade (Re=1000).


Figura 2.8: Norma euclidiana do vetor velocidade (Re=1000). Fonte: Deus (2002).

Figura 2.9: Curvas do campo de pressão (Re=1000).


Figura 2.10: Curvas do campo de pressão (Re=1000). Fonte: Deus (2002).

Figura 2.11: Campo de velocidade (Re=1000).


Figura 2.12: Campo de velocidade (Re=1000). Fonte: Deus (2002).



Figura 2.14: Curvas do campo de pressão (Re=4000).



Figura 2.16: Recirculação no canto inferior direito da cavidade (Re=4000).

Figura 2.17: Recirculação no canto inferior esquerdo da cavidade (Re=4000).


Figura 2.18: Recirculação no canto superior esquerdo da cavidade (Re=4000).

Na abordagem do problema foi usado um passo de carregamento para solução do caso

Re=1000 e seis passos para o caso Re=4000. Os passos de carregamentos se referem ao in-

cremento do método de Newton, o qual é dividido em pequenos incrementos.

A precisão requerida no método de Newton solicitado para solução do sistema não-linear

foi, em ambos os casos, de 10−4. Quanto ao tempo de CPU, em o caso Re=1000 convergiu em

aproximadamente 6 min e o caso Re=4000 em aproximadamente 21 min.

Nas figuras de (2.7) até (2.12) estão apresentadas as características do escoamento para o

caso Re=1000. Analogamente, as figuras de (2.13) até (2.18), para o caso Re=4000. Através

destas figuras é possível visualizar o comportamento do escoamento no interior da cavidade,

inclusive as regiões de recirculação originados nos cantos.

Observa-se que os resultados do trabalho aqui desenvolvido tiveram uma boa concordância

com os apresentados em Parente de Deus (2002). Porém, nota-se que na região do lado direito

superior da cavidade ocorrem oscilações dos gradientes de velocidade do escoamento, como

mostram as figuras (2.7) e (2.13). Isso demonstra que nesta região ocorrem as indesejáveis

instabilidades numéricas, conseqüência do ponto de singularidade situado no canto superior

direito da cavidade.

É interessante observar também as figuras (2.9) e (2.10), que mostram as curvas e os valores

do campo de pressão do escoamento para Re=1000. Note que o valor do campo de pressão

difere consideravelmente de um trabalho para outro. Tal diferença é totalmente comprenssível e

justificável, pois esta diferença se dá pelo fato de que é imposto apenas a condição de contorno

essencial, sobre o campo de velocidade, não sendo imposto a condição natural, sobre a tensão,


conseqüentemente o campo de pressão fica livre.

A seguir, as figuras de (2.19) à (2.22) apresentam os gráficos comparativos dos perfis de

velocidade calculados neste trabalho com os apresentados em Erturk e Corke (2005) para os

casos de Re=1000 e Re=2500. Convenciona-se que uLM e vLM representam a velocidade ho-

rizontal (u) e a velocidade vertical (v), respectivamente, calculados pelo código desenvolvido

neste trabalho, enquanto que uEC e vEC representam respectivamente os perfis das velocidades

horizontal e vertical que são apresentados em Erturk e Corke (2005).

Figura 2.19: Perfil de velocidade u ao longo da linha de centro vertical (Re = 1000).

Figura 2.20: Perfil de velocidade v ao longo da linha de centro horizontal (Re = 1000)




Os gráficos acima mostram os perfis das componentes do vetor velocidade ao longo das linhas

de centro da cavidade. As figuras (2.19), (2.20), (2.21) e (2.22) apresentam gráficos comparativos

entre os resultados obtidos com os resultados apresentados por Erturk e Corke (2005), para os

casos Re=1000 e Re= 2500.

Vale ressaltar que em Erturk e Corke (2005) não são apresentados os perfis de velocidade

para o caso de Re=4000, assim as figuras (2.23) e (2.24) apresentam apenas os gráficos dos perfis

de velocidade calculados neste trabalho.

Diante dos gráficos apresentados, nota-se que os resultados obtidos pelo código implementado


neste trabalho tiveram uma boa concordância e são bem similares com os resultados de Erturk

e Corke (2005).

2.5.2 Difusor divergente

O problema configura-se como um escoamento incompressível em um canal, cuja geometria

depende do número de Reynolds e os maiores detalhes dependem das condições de contorno que

são prescritas na entrada, parede, saída e fronteira de simetria do canal (veja Fig. 2.25). Tais

condições serão denotadas a seguir. Este problema também tem servido como modelo para teste

e avaliação de muitas técnicas numéricas.

Condições de contorno

As condições de contorno para a equação de Navier-Stokes implicam na imposição nos

contornos das variáveis principais (u — velocidade na direção x, e v — velocidade na direção y)

prescritas e/ou a imposição das componentes da tensão prescrita. Tais condições podem ser

observadas na formulação fraca do problema (seção 2.2).

As componentes do tensor tensão apresentadas da seguinte forma

σij = −pδij + µ

µ∂ui∂xj

+∂uj∂xi

¶= −pδij + µ (ui,j + uj,i) , i, j = 1, 2 (2.51)

onde δij é a função delta de Kroneker e µ é o coeficiente de viscosidade cinemática.

Conseqüentemente, identificando u1 = u, u2 = v e x1 = x, x2 = y na expressão (2.51),

escreve-se as condições como:

Condição de saída:

σ · n = (σij ei ⊗ ej) · ek = σij (ej · ek) ei = σij (δjk) ei = σikei onde i = 1, 2; k = 1.

=⇒ σ · n ="−p+ 2µ (u,x) µ (v,x + u,y)

µ (u,y + v,x) −p+ 2µ (v,y)

#(1

0

)(2.52)

=⇒ σ · n =(−p+ 2µ (u,x)µ (u,y + v,x)

).

Nesta face onde o escoamento é plenamente desenvolvido, impõe-se a seguinte condição

essencial

v = 0 =⇒ u,x + v,y = 0 =⇒ u,x = 0 (2.53)

e como conseqüência tem-se a natural

=⇒ (σ · n)x = σ∗xx. (2.54)


Condição de simetria:

σ · n = (σij ei ⊗ ej) · ek = σij (ej · ek) ei = σij (δjk) ei = σikei onde i = 1, 2; k = 1.

=⇒ σ · n ="−p+ 2µ (u,x) µ (v,x + u,y)

µ (u,y + v,x) −p+ 2µ (v,y)

#(0

1

)(2.55)

=⇒ σ · n =(

µ (v,x + u,y)

−p+ 2µ (v,y)

).

Nesta face de simetria do campo de velocidade, impõe-se a seguinte condição essencial

v = 0 (2.56)

e como conseqüência tem-se a natural

=⇒ (σ · n)x = 0. (2.57)

Impostas as condições de contorno, que são obtidas das equações de Euler-Lagrange (ver

Apêndice C), o problema está pronto para ser abordado.

Parede do canal (u=0 e v=0) (Re/3 , f(Re/3))

(0,0)

(0,1)

X

Y

(Re/3 , 1) Fronteira de Simetria (u – livre v=0 σxx=0)

Entrada (u=u(y) e v=0)

Saída (u – livre v=0 e σxx=σ*xx)

Figura 2.25: Difusor divergente.

Aqui o problema foi resolvido para números de Reynolds iguais a 10 e 100, que são baseados

nas condições de entrada do canal. A geometria do modelo depende deste número de acordo

com a seguinte expressão:

y = f(x) =1

2

∙tanh

µ2− 30x

Re

¶¸para 0 ≤ x ≤ Re

3. (2.58)


As componentes cartesianas do vetor velocidade na entrada do canal para o caso Re=10 são

u = 3

µy − y2

2

¶e v = 0 para x = 0 e 0 ≤ y ≤ 1 (2.59)

e para o caso Re=100 são dadas por

u = 1 e v = 0 para x = 0 e 0 ≤ y ≤ 1. (2.60)

A razão pela qual são analisadas diferentes condições para os campos de velocidades prescritos

na entrada do canal é para mostrar que o aplicativo permite que se defina diferentes perfis de

velocidades sobre o problema, possibilitando analisar diferentes situações

A malha aqui utilizada para Re=10 foi uma malha não-estruturada, a qual fez uso de 1411

elementos triangulares. Veja Fig. (2.26), que é comparada com a malha utilizada por Parente

de Deus (2002), dada na Fig (2.27).

Na seqüência, as figuras (2.28) à (2.33) mostram os resultados obtidos do aplicativo desen-

volvido neste trabalho para escoamentos submetidos a número de Reynolds 10, como também os

resultados apresentados em Parente de Deus (2002), para poder comparar com os aqui obtidos.

Figura 2.26: Malha não-estruturada de elementos triangulares (Re=10).


Figura 2.27: Malha estruturada de elementos quadrilaterais (Re=10). Fonte: Deus (2002).



Figura 2.29: Norma euclidiana do vetor velocidade (Re=10).Fonte: Deus (2002).

Figura 2.30: Campo de pressão (Re=10).


Figura 2.31: Campo de pressão (Re=10). Fonte: Deus (2002).



Figura 2.33: Campo de velocidade (Re=10). Fonte: Deus (2002).

Neste caso, foi utilizado para a solução do método de Newton apenas 1 passo de carregamento

e a precisão requerida foi de 10−4. O problema convergiu em apenas 2 min, enquanto que

em Parente de Deus (2002), requerendo a mesma precisão e o mesmo número de passos de

carregamento, o problema convergiu em aproximadamente 12 min.

As figuras (2.28), (2.30) e (2.32) correspondem aos resultados obtidos neste trabalho, en-

quanto que as figuras (2.29), (2.31) e (2.33) correspondem aos resultados apresentados por

Parente de Deus (2002).

Neste caso percebe-se que os valores dos campos de pressão são bem semelhantes, pois aqui

foram impostas as duas condições de contorno, tanto para a velocidade como para a tensão.

Portanto, os resultados obtidos pelo código aqui implementado são bastante similares e

coerentes com os obtidos anteriormente por Parente de Deus (2002).

Mostra-se, a seguir, nas figuras (2.35), (2.36) e (2.11) os resultados do vetor velocidade,

campo de pressão e campo de velocidade, respectivamente, obtidos para o caso Re=100. A

malha não-estruturada utilizada é formada de 1664 elementos triangulares. Veja Fig. (2.34).


Figura 2.34: Malha não-estruturada do difusor divergente. (Re=100).



Figura 2.36: Campo de pressão (Re=100).



Através deste exemplo pode-se perceber claramente a dependência da geometria do canal em

função do número de Reynolds. Nele utilizou-se 3 passos de carregamento para solução, a pre-

cisão requerida no método de Newton foi de 10−4 e o problema convergiu em, aproximadamente,

5 min.

2.5.3 Difusor divergente com obstáculo

Aqui o problema configura-se como um escoamento incompressível em um canal, como no

caso anterior, sendo que agora sua geometria é fixa e com a existência, no seu interior, de um

obstáculo ao escoamento. São analisados dois exemplos diferentes para o formato do obstáculo:

(i) Obstáculo no formato de um aerofólio

(ii) Obstáculo no formato de um cilindro

As figuras (2.38) e (2.39) mostram a posição dos obstáculos.

(0;0)

(0;1)

Parede do difusor (u=0 e v=0) (10;-3)

Y

X

(10;1)

Entrada (u=1 e v=0)

Escoamento parabólico

Saída

Fronteira de Simetria

Obstáculo (u=0 e v=0)

(u livre e v=0)

(8,5;1)(3,8; 1)

(u livre e v=0) (u livre e v=0)

Figura 2.38: Difusor divergente com obstáculo de um aerofólio.


(0;0)

(0;1)


X

(10;1)

Entrada (u=1 e v=0)


Saída



(u livre e v=0)

(7;1)(4;1)


Figura 2.39: Difusor divergente com obstáculo cilíndrico.

Os escoamentos analisados, para o exemplo com o obstáculo de um aerofólio, estão sub-

metidos a número de Reynolds 100 e 1000. No caso de Reynolds 100, a velocidade prescrita

na entrada do difusor é uniforme, enquanto que para Reynolds 1000 a velocidade prescrita é

variável.

No exemplo com o obstáculo cilíndrico, o escoamento está submetido a número de Reynolds

100 e a velocidade prescrita na entrada do canal é variável.

As velocidades prescritas na entrada do difusor, tanto para o caso da velocidade variável

como para o caso da velocidade uniforme, são as mesmas que foram definidas para o caso do

difusor divergente sem obstáculo.

As malhas utilizadas, que podem ser visualizadas na Fig. (2.40) e (2.41), foram malhas

não-estruturadas e não-uniformes com 1609 e 1581 elementos triangulares, respectivamente.


Figura 2.40: Malha não-estruturada do difusor caso (i).

Figura 2.41: Malha não-estruturada do difusor caso (ii).


(i) Caso do obstáculo no formato de um aerofólio

Figura 2.42: Caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade (Re=100).

Figura 2.43: Caso (i) - Campo de pressão (Re=100).


Figura 2.44: Caso (i) - Campo de velocidade (Re=100).

Figura 2.45: Caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade (Re=1000).


Figura 2.46: Caso (i) - Campo de pressão (Re=1000).

Figura 2.47: Caso (i) - Campo de velocidade (Re=1000).


Figura 2.48: Caso (i) - Campo de velocidade contornando o obstáculo. (Re=1000)

As figuras (2.42) à (2.44) apresentam as características do escoamento no canal para o caso

Re=100 e velocidade prescrita uniforme na entrada do difusor. Enquanto que as figuras (2.45)

à (2.48) apresentam as características para o caso Re=1000, com velocidade prescrita variável

na entrada do difusor.

No caso de Re=100 foi usado 1 passo de carregamento para solução e 6 passos para o caso

Re=1000. A precisão requerida no método de Newton, para ambos, foi novamente de 10−4.

Quanto ao tempo de CPU, o caso Re=100 convergiu em, aproximadamente, 6 min e o caso

Re=1000 em, aproximadamente, 15 min.


(ii) Caso do obstáculo no formato de um cilíndrico

Figura 2.49: Caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade (Re=100).

Figura 2.50: Caso (ii) - Campo de pressão (Re=100).


Figura 2.51: Caso (ii) - Campo de velocidade (Re=100).

Nas figuras (2.49) à (2.51) são apresentados os resultados obtidos para o escoamento no

canal com obstáculo cilíndrico submetido à Re=100. Neste caso foi utilizado um passo de

carregamento para solução e o problema convergiu em, aproximadamente, 7 min.

2.6 Conclusões parcias

As simulações numéricas dos exemplos estudados neste capítulo têm o objetivo de auxi-

liar na compreensão do comportamento de escoamentos de fluidos incompressíveis em regime

permanente, modelados pela equação de Navier-Stokes em diferentes situações.

Nas simulações para a cavidade, por exemplo, percebe-se as circulações que ocorrem no centro

e as regiões de recirculação captados nos cantos, além das curvas do campo de pressão e o campo

de velocidade. Percebe-se também a similaridade e coerência, através dos gráficos comparativos

dos perfis de velocidade ao longo das linhas de centro da cavidade, com os resultados apresentados

no trabalho de Erturk e Corke (2005).

No caso do difusor divergente sem obstáculo, nota-se, através dos exemplos analisados, a

dependência dos campos de velocidade e pressão em função do número de Reynolds. Além

disso, observando as figuras percebe-se claramente as condições de contorno impostas sobre o

difusor. É possível identificar a velocidade prescrita, na entrada do difusor, e a condição de

não-deslizamento, na parede do difusor. Enquanto que nas regiões de saída e de simetria, a

condição imposta é velocidade parabólica na direção x.

Nos exemplos do difusor, com um obstáculo ao escoamento, foi possível visualizar o compor-

tamento dos escoamentos contornando os obstáculos definidos, além dos aspectos relacionados


com as condições de contorno e os campos de velocidade e pressão.

No caso de Re=100, tanto para o obstáculo aerofólio como para o obstáculo cilíndrico, nota-

se uma região de circulação logo após o obstáculo e o escoamento direciona-se para a parede do

canal (Fig. 2.44). Enquanto no caso em que o escoamento é mais rápido (Re=1000), não ocorre

a circulação e o escoamento se encontra afastado da parede, contornando o obstáculo, veja Fig.

(2.47).

Outro aspecto relevante de ser observado é a camada limite3 que pode ser facilmente iden-

tificada no escoamento.

3Camada Limite: Originalmente definida como a região próxima à parede, mas pode ser aplicada a jatos ou àfina camada entre dois escoamentos com diferentes velocidades.

Capítulo 3

Otimização de Forma

Até meados da década de 1960, a definição do projeto ótimo era feita pelo processo de

tentativa e erro, onde a experiência e habilidade do projetista eram pré-requisitos essenciais na

fase de “tentativa”. Neste período surgem então as primeiras técnicas numéricas para a análise

de contorno, análise de sensibilidade e otimização. Entretanto, deficiências teóricas envolvendo

a modelagem numérica do problema e limitações computacionais desmotivaram o interesse pelo

assunto.

Contudo, com o surgimento de computadores mais potentes e o desenvolvimento da indústria

aeroespacial, onde os elementos estruturais eram projetados para se obter melhor desempenho

aerodinâmico vencendo a resistência do ar e suportando grandes solicitações com o objetivo de

reduzir o peso e custos, a otimização ganhou o impulso definitivo para seu estabelecimento como

um ramo da mecânica computacional.

As ferramentas de otimização dependem da eficiente integração das técnicas para a definição

da forma do modelo geométrico, análise de sensibilidade e programação matemática. Há muitos

anos, grandes esforços têm sido dedicados no aprimoramento de cada uma destas técnicas.

O objetivo deste capítulo é abordar o problema ótimo de forma genérica, apresentando os

conceitos básicos de programação matemática necessários para a compreensão do processo de

otimização de forma e na seqüência discutir o método e algoritmos efetivamente utilizados para

o trabalho aqui desenvolvido, como também definir as variáveis de projeto e a função objetivo.

A parte que diz respeito ao modelamento geométrico e análise de sensibilidade, devido à

grande importância destes tópicos em um processo de otimização, estão descritos detalhadamente

nos dois capítulos subseqüentes.

3.1 Fundamentos de Programação Matemática

Os problemas de otimização são compostos de três ingredientes básicos:

Uma função objetivo que se queira minimizar ou maximizar, um conjunto de incógnitasou variáveis que afetam o valor da função objetivo e um conjunto de restrições que permitem asvariáveis assumirem determinados valores e excluirem outros. Então, o problema do otimização

consiste em:

58

CAPÍTULO 3. OTIMIZAÇÃO DE FORMA 59

“Encontrar valores ótimos para as variáveis que minimizem ou maximizem umafunção objetivo ao satisfazer determinadas restrições.”

AProgramação Matemática estuda a minimização ou maximização de funções em proble-mas com ou sem restrições. Considere o problema de programação matemática no seu caso mais

geral:

Determinar s ∈ Rn tal que seja solução de

min(max)s/a

f(s)

hj(s) = 0, j = 1, ..., l;

gj(s) ≤ 0, j = 1, ...,m;

sinfi ≤ si ≤ ssupi , i = 1, ..., n.

(3.1)

Onde s ∈ Rn define unicamente um projeto, sendo restrito lateralmente pelos limites infe-

rior e superior, f(s) é denotada como função objetivo e as funções h(s) e g(s) representam as

restrições de igualdade e desigualdade, respectivamente. Assume-se que tanto a função obje-

tivo quanto as restrições são funções contínuas do Rn. Em geral, elas são funções implícitas e

não-lineares dependendo de s, que é definido como vetor das váriaveis de projeto.Todo ponto s ∈ Rn que satisfaça as restrições impostas ao problema é dito ser um ponto

viável e o conjunto destes pontos determinam uma região viável.A restrição de desigualdade define uma fronteira em Rn, dividindo Rn em uma região viável

e outra inviável. Se s está sobre a fronteira, ou seja, gj(s) = 0, a restrição é dita ativa, se estiverno interior da região viável, isto é, gj(s) < 0, é dita inativa e, finalmente, se estiver fora destaregião, diz-se então que a restrição foi violada.

O modelo de projeto ótimo baseado no problema definido matematicamente em (3.1) é

bastante geral, permitindo sua aplicação em problemas de diversas áreas da engenharia.

3.1.1 Condições necessárias de otimalidade

Um ponto s∗ é um mínimo local de f se existe uma vizinhança deste ponto na qual todos

os outros pontos possuem valores de f maiores ou iguais ao valor de f em s∗ e um ponto é dito

ser mínimo global de f se todos os pontos da região viável possuírem valores de f maiores ou

iguais ao valor de f em s∗.

Sendo g = ∇f e H = ∇2f o gradiente e a matriz Hessiana da função objetivo, respecti-vamente, d uma direção qualquer, sabe-se, através de deduções de cálculo diferencial, que as

condições de primeira e segunda ordem para que um ponto s∗ seja denominado de mínimolocal é que deva satisfazer as seguintes condições

g∗= 0 e dTHd > 0, ∀d6= 0, (3.2)

ou seja, o gradiente da função objetivo é nulo e a matriz Hessiana deve ser positiva definida,

isto é, não há direção de decréscimo no ponto analisado.


No caso de problemas sujeitos à restrições, para um ponto ser um mínimo local é preciso

considerar também que não deve ocorrer direção de decréscimo viável neste ponto. Assim, se

faz necessário a introdução dos conceitos de multiplicadores de Lagrange.Define-se a função Lagrangeana para o problema (3.1) como

L(s, λ, µ) = f(s) +lX

j=1

λjhj (s) +mXj=1

µjgj (s) . (3.3)

Aplicando a condição de estacionaridade na equação (3.3) tem-se

∇f(s∗, λ∗, µ∗) +lX

j=1

λ∗j∇hj (s∗) +mXj=1

µ∗j∇gj (s∗) = 0. (3.4)

Chega-se assim às condições necessárias de primeira ordem para um problema de progra-

mação matemática no caso mais geral, que são chamadas de condições de Karush-Kuhn-Tucker (KKT), que podem ser escritas como

∇f(s∗) +lX

j=1

λ∗j∇hj (s∗) +mXj=1

µ∗j∇gj (s∗) = 0, (3.5)

hj (s∗) = 0, j = 1, ..., l; (3.6)

gj (s∗) ≤ 0, j = 1, ...,m; (3.7)

µ∗j ≥ 0, j = 1, ...,m; (3.8)

µ∗jgj (s∗) = 0, ∀j. (3.9)

Assim, as n + l + m equações (3.5) - (3.9) formam um sistema não-linear nas incógnitas

s ∈ Rn, λ ∈ Rl e µ ∈ Rm. A última condição estabelece que gj (s∗) e µ∗j não podem ser ambos

nulos, ou melhor, que uma restrição inativa tem multiplicador de Lagrange nulo e uma restrição

ativa tem multiplicador diferente de zero.

O estudo das condições de segunda ordem exige que

dTH∗d > 0, ∀d6= 0, (3.10)

onde H∗ é a matriz Hessiana da função Lagrangeana, dada por

H∗ = ∇2f(s∗) +lX

j=1

λ∗j∇2hj (s∗) +mXj=1

µ∗j∇2gj (s∗) . (3.11)

Portanto:

“Seja um ponto s∗ satisfazendo as condições KKT e a matriz Hessiana H∗ positivadefinida para toda direção d, isto é, dTH∗d > 0, para todo d 6= 0. Então s∗ é um minímolocal.”


3.1.2 Forma geral do algoritmo de programação matemática - busca linear

Geralmente, os algoritmos de programação matemática são procedimentos iterativos que

a partir da determinação de um ponto inicial s0, uma seqüência de novos pontos é gerada e,

se bem sucedida, converge para o ponto de mínimo local s∗. A forma mais utilizada para este

procedimento é dada por

sk+1 = sk + α · dk. (3.12)

Este processo é denominado de busca linear e envolve, basicamente, duas etapas. A

primeira é a determinação da direção de busca dk, geralmente direção de descida local da

função e a segunda envolve a avaliação do parâmetro escalar α, o qual determina o tamanho do

passo a ser dado na direção d.A partir da equação (3.12), vários algoritmos podem ser elaborados utilizando diferentes

técnicas para a determinação da direção de busca e do tamanho do passo. A maneira como estas

duas componentes são determinadas refletem fundamentalmente na eficiência e confiabilidade

de um algoritmo.

Os algoritmos podem ser classificados conforme a ordem das informações utilizadas para a

determinação de busca. Assim, o algoritmo é dito ser de primeira ordem se utilizar apenas as

informações dos gradientes da função objetivo e suas restrições para calcular sua direção de

busca. Enquanto que o algoritmo é dito ser de segunda ordem se utilizar informações sobre as

Hessianas destas funções.

3.2 Método de Solução - Lagrangeano Aumentado

Neste trabalho, as restrições de desigualdade (volume), igualdade (equação de estado) e la-

terais (geométricas) são impostas no problema de otimização. Sendo que a restrição de igualdade

é imposta implicitamente ao problema, através da solução da equação de equilíbrio utilizada para

definir a função objetivo.

Diante disso, nesta seção são apresentadas as definições e condições necessárias de otimalidade

para este tipo de problema de otimização com restrições e o Método do Lagrangeano Aumentado

é adotado para a solução do mesmo.

Naturalmente, como em qualquer outra área, a otimização procura converter um problema

complexo em outro, cuja solução é conhecida. Com este intuito, aqui aplica-se o procedimento de

“Penalização”, onde o risco de não satisfação ou a não satisfação, de uma restrição é sancionado

com um acréscimo na função objetivo, de maneira que a função que define a restrição é eliminada

e substituída por um termo introduzido na função objetivo.

O parâmetro que deve estar multiplicando a função restrição para castigar o risco da violação

provoca, ao tomar valores extremos, instabilidades numéricas ao problema.

O Método do Lagrangeano Aumentado tem por objetivo conciliar dois aspectos: contornar

o mal-condicionamento proveniente do parâmetro de penalização e evitar a perda da estrutura

de minimização original.

Considere como problema inicial:


Determinar s ∈ S tal que seja solução de

mins/a

f(s)

gj(s) ≤ 0, onde j = 1, ...,m; ∀ s ∈ S.(3.13)

Onde o conjunto S =©s ∈ Rn | sinfi ≤ si ≤ ssupi , onde i = 1, ..., n

ª.

Desta maneira, pode-se escrever as condições de otimalidade referentes ao problema (3.13)

como:

Definição: Um ponto s∗ ∈ S é dito ser regular se os vetores gradientes de todas restriçõesativas (gj(s) = 0) em s∗ forem linearmente independentes. Isto é, se o conjunto ∇gj (s∗) ,j ∈ J é linearmente independente, onde J = j ∈ (1, ...,m) | gj(s∗) = 0.

Teorema (Condições Kuhn-Tucker KT): Seja s∗ um minimizador regular do pro-blema (3.13) e seja a função Lagrangeana associada ao problema dada por

L(s, µ) = f(s) +mXj=1

µjgj (s) . (3.14)

Então existem únicos µ∗j ∈ Rm, µ∗j ≥ 0, para todo j ∈ J, tais que

∇L(s∗, µ∗) = ∇f(s∗) +mXj=1

µ∗j∇gj (s∗) = 0, (3.15)

onde ⎧⎪⎨⎪⎩gj (s

∗) ≤ 0;µ∗j ≥ 0;

µ∗jgj (s∗) = 0;

para j = 1, ...,m.

A demonstração deste teorema encontra-se no Apêndice D.

Para a solução deste tipo de problema aplica-se o Método do Lagrangeano Aumentado. Por

simplicidade, considera-se inicialmente o problema de minimização com restrição de igualdade:

Determinar s ∈ S solução de

mins/a

f(s)

hj (s) = 0, onde j = 1, ..., l; ∀ s ∈ S.(3.16)

Seja L(.) a função Lagrageana associada ao problema definida por

L(s, λ) = f(s) +lX

j=1

λjhj(s). (3.17)


Desse modo, o problema (3.16) pode ser reformulado da seguinte forma:

mins/a

L(s, λ)

hj (s) = 0, onde j = 1, ..., l; ∀ s ∈ S.(3.18)

Note que hj (s) = 0, para j = 1, ..., l, assim o problema (3.18) é equivalente ao (3.16).

Agora, para a solução do problema (3.18) aplica-se o Método de Penalidade Exterior que,

neste caso, fornece a função Lagrangeana Aumentada dada por

χ(s, λ, ε) = f(s) +lX

j=1

λjhj(s) +1

2ε

lXj=1

[hj(s)]2. (3.19)

Nesta nova formulação, dados os multiplicadores de Lagrange (λ) e o parâmetro de penalidade

(ε > 0), o Método do Lagrangeano Aumentado consiste na solução do seguinte problema:

Determinar s∗ ∈ Rn tal que s∗ = limk→∞

s∗k, onde s∗k é solução do problema:

Dados λk ∈ Rl, εk > 0, determinar s∗k tal que seja solução de

mins/a

χ(s, λk, εk)

s ∈ S.(3.20)

Observe que como S =©s ∈ Rn | sinfi ≤ si ≤ ssupi , onde i = 1, ..., n

ªo problema original foi

transformado em um problema de restrições laterais. Desta maneira, o problema (3.20) consiste

na solução de uma seqüência de problemas laterais, isto é, uma seqüência de problemas da

seguinte forma:

Determinar s ∈ Rn tal que para λ ∈ Rl e ε > 0, seja solução do problema

mins/a

χ(s, λk, εk)

sinfi ≤ si ≤ ssupi onde i = 1, ..., n.(3.21)

Onde o parâmetro de penalidade (εk > 0) e os multiplicadores de Lagrange (λk ∈ Rl) são

reajustados convenientemente de modo a obter a solução do problema original. Tal processo de

reajuste é repetido até atingir a convergência.

A atualização do parâmetro de penalidade (εk > 0) é feita da seguinte maneira:

εk+1 =

⎧⎪⎨⎪⎩γεk se εk+1 > εcrit;

εcrit se εk+1 < εcrit;

onde γ ∈ (0, 1). (3.22)

A atualização de λ é obtida comparando-se a condição necessária de otimalidade com a

condição de estacionaridade de χ(s, λ, ε) em (s∗k, λk, εk), ou seja, comparando as seguintes ex-


pressões:

∇L(s∗, λ∗) = ∇f(s∗) +lX

j=1

λ∗j∇hj(s∗) = 0 (3.23)

e

∇χ(s∗k, λk, εk) = ∇f(s∗k) +

lXj=1

[λkj +1

εkhj(s

∗k)]∇hj(s∗k) = 0. (3.24)

Feito isso, pode-se considerar a atualização de λkcomo

λk+1j = λkj +1

εkhj(s

∗k), onde j = 1, ..., l. (3.25)

Mas lembrando que neste trabalho se considera o problema com restrições de desigualdade, o

qual pode ser convertido em um problema com restrição de igualdade em S, através da introdução

do conceito de “variáveis de folga”. Porém, é importante observar que tal procedimento não

fornece a condição de positividade dos multiplicadores de Lagrange.

Assim, aplicando este procedimento em um problema com restrições de desigualdade como

o definido em (3.13), tem-se agora o problema:

Determinar (s, z) ∈ Rn ×Rm, s ∈ S, solução do problema

mins/a

f(s)

gj(s) + z2j = 0, onde j = 1, ...,m; ∀ s ∈ S.(3.26)

No problema (3.26) zj corresponde a variável de folga. A função Lagrangeana Aumentada

associada a este problema torna-se

χ(s, z, λ, ε) = f(s) +mXj=1

λj(gj(s) + z2j ) +1

2ε

mXj=1

[gj(s) + z2j ]2, (3.27)

que pode ser simplificada como

χ(s, z, λ, ε) = f(s) +1

2ε

mXj=1

[2ελj + (gj(s) + z2j )](gj(s) + z2j ). (3.28)

Impondo a condição de estacionaridade de χ(.) em (s∗, z∗, λ∗, ε), pode-se eliminar as variáveis

de folga. Para isso, procede-se da seguinte maneira:

∂χ

∂zj= 0, onde j = 1, ...,m; (3.29)


ou seja,

=⇒mXj=1

2λjzj +1ε

mXj=1

[gj(s) + z2j ] (2zj) = 0 =⇒mXj=1

2λjzj +1ε [gj(s) + z2j ] (2zj) = 0

=⇒ 2λjzjε+ [gj(s) + z2j ] (2zj) = 0 =⇒ 2zj [ελj + gj(s) + z2j ] = 0.

O que implica em

z2j = 0 ∨ z2j = −(ελj + gj(s)), (3.30)

que nos permite selecionar

z2j = max0,−(ελj + gj(s), onde j = 1, ...,m. (3.31)

Esta seleção satisfaz a condição necessária de otimalidade, além de permitir remover as

variáveis de folga da formulação. Note ainda que

gj(s) + z2j = maxgj(s),−ελj, onde j = 1, ...,m. (3.32)

Substituindo na expressão da função Lagrangeana Aumentada (3.28), obtém-se

χ(s, λ, ε) = f(s) +1

2ε

mXj=1

Ψj (gj(s), ελj) , (3.33)

onde

Ψj (gj(s), ελj) =

⎧⎪⎨⎪⎩[2ελj + gj(s)]gj(s) se gj(s) ≥ −ελj ;

−(ελj)2 se gj(−→x ) < −ελj .

(3.34)

Note que caso gj(s) ∈ C1(Rn), então Ψj (gj(s), ·) também pertence a C1(Rn).

Assim, a atualização de λ é dada por:

λk+1j = max0, λkj +1

εkgj(s

k), onde j = 1, ...,m. (3.35)

Portanto, tem-se a formulação final do problema de otimização:

Determinar s∗ ∈ Rn tal que s∗ = limk→∞

s∗k, onde s∗k é solução do problema:

Dados λk ∈ Rm e εk > 0, determinar s∗k tal que seja solução de

mins/a

χ(s, λk, εk)

s ∈ S.(3.36)


Onde

S =ns ∈ Rn | sinfi ≤ si ≤ ssupi , onde i = 1, ..., n

o;

χ(s, λk, εk) = f(s) +

1

2εk

mXj=1

Ψj(gj(s), εkλ

k

j );

Ψj(gj(s), εkλkj ) =

⎧⎪⎨⎪⎩[2εkλkj + gj(s)]gj(s) se gj(s) ≥ −εkλkj ;

−(εkλkj )2 se gj(−→s ) < −εkλkj .

E as atualizações de εk e λksão dadas respectivamente por

εk+1 =

⎧⎪⎨⎪⎩γεk se εk+1 > εcrit;

εcrit se εk+1 < εcrit;

onde γ ∈ (0, 1),

e

λk+1j = max0, λkj +1

εkgj(s

k), onde j = 1, ...,m.

Para este trabalho escolheu-se γ = 10−1 e εcrit = 10−8.

Assim, para resolver o problema de otimização com restrição de desigualdade pelo método

do Lagrangeano Aumentado, o algoritmo pode ser esquematizado como:


Solucionar o problema de otimização restrita:

. .min ( , , )t qk ks

s S

χ λ ε

∀ ∈

onde:

1( , , ) ( ) ( ( ), )

2 1mk k k ks f s g sj j jk j

χ λ ε ε λε

= + Ψ∑=

.

Com

( )[ ( ) 2 ] ( ) ,( ( ), )

2( ) ( ) .

k k k kg s g s se g sj j j j jk kg sj j j k k k kse g sj j j

ε λ ε λε λ

ε λ ε λ

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

+ ≥−Ψ =

− <−

supinf , 1,..., .nS s s s s onde i ni i i⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

= ∈ ≤ ≤ =

Denote, então, a solução por ks .

Sim Enquanto: KKT satisfeitas?

Selecione: 0k kλ ε= ∧

Defina: 1 0.1d-04erro tol= ∧ =

Início

Nao

Imprima: * *( , , )s λ ε

Atualização do vetor Multiplicador de

Lagrange: 11 max 0, ( ) ,

1,..., .

k kk g sj jj konde j m

λ λε

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

+ = +

=

Fim!

Atualização do erro:

1,...,.

1

1maxj m

k kErro

k kj j

λ λ

λ λ=

+= −∞

+= −

Atualização do parâmetro de penalidade:

1

1

,

1

(0,1).

k k crit

crit k crit

se

seonde

k γε ε ε

ε ε εε

γ

+

+

⎧ >⎪⎨

<⎪⎩

+ =

∈

Faça: 11

k kk k

λ λε ε

⇐

⇐

++

Figura 3.1: Esquema do algoritmo de Otimização.

Vale observar aqui, que o algoritmo de minimização lateral, também denominado de pro-

blema de minimização em “caixa”, é um subalgoritmo do subproblema que surgiu da aplicação

do método do Lagrangeano Aumentado. No caso deste trabalho, a solução da seqüência de

problemas laterais foi obtida utilizando o código GENCAN desenvolvido por pesquisadores do

IMECC-UNICAMP. O código combina métodos irrestritos, o métodos espectral do gradiente

projetado e uma nova técnica de busca linear. O algortimo satisfaz as condições de KT e a

convergência global é provada. Para mais informações veja (Birgin e Martinez, 2002).


3.3 Variáveis de Projeto

A execução do processo de otimização e análise de sensibilidade requer que um número de

variáveis de projeto sejam definidas, a escolha apropriada destas é de fundamental importân-cia para o sucesso da otimização de forma do contorno. Como já mencionadas na definição do

problema ótimo, as variáveis de projeto serão denotadas por

si, i = 1, ..., J ; (3.37)

e estas compreendem um vetor s.

Sendo que no trabalho aqui presente, define-se como variáveis de projeto a posição dos pontos-

chave, os quais descrevem univocamente o contorno do domínio representado por segmentos de

curvas B-splines cúbicas (para maiores detalhes veja Capítulo 4).

3.4 Função Objetivo

A função objetivo a ser considerada será a dissipação viscosa, integrada no domínio Ω,dada por

f(u(x(s)), s) = 2ν hD(u(x(s))),D(u(x(s)))iΩ(s) = 2νZΩ(s)

D(u(x(s))) ·D(u(x(s)))dΩ (3.38)

onde ν é a viscosidade dinâmica, D(·) é o operador parte simétrica do gradiente, u é o vetorvelocidade, x é vetor posição das variáveis de projeto e s é o vetor das variáveis de projeto.

Esta função objetivo representa o trabalho das forças viscosas do escoamento de uma forma

global.

Discretização

Análogo aos procedimentos utilizados na discretização da equação de Navier-Stokes, se faz

para a função objetivo. Note porém, que a expressão (2.31), no Capítulo 2, corresponde afunção de dissipação viscosa do escoamento, ou seja, a discretização da função objetivo já foi

obtida na discretização do termoB. Portanto, a função objetivo discretizada restrita ao elementoΩe é dada por

f |Ωe = [kve (s)] qe(s) · qe(s), (3.39)

onde

[kve (s)] =∙Z

Ωe

[Bv]T [Hv] [Bv] dΩ¸. (3.40)

Logo, de forma global fica

f(q(s), s) = [Kv(s)] q(s) · q(s), (3.41)


sendo

[Kv(s)] =neXe=1

∙ZΩe

[Bv]T [Hv] [Bv] dΩ¸=

neXe=1

[kve (s)] (3.42)

e

q(s) =ne∪e=1

qe(s), (3.43)

onde q(s) é o vetor que contém os campos de velocidade (u) e pressão (p) convergidos, dado pela

solução do problema do fluido, ou seja, solução do sistema não-linear

[K (q(s))] q(s) =hF ext

i. (3.44)

Capítulo 4

Modelagem Geométrica

O modelamento geométrico desperta uma mistura curiosa entre o visual e o analítico nos

olhos e mentes daqueles que o estudam e o aplicam. A resposta visual surge da associação com

a simulação das formas que definem objetos no mundo real, enquanto que a resposta analítica

provêm da fundamentação matemática, freqüentemente elegante e fina.

A otimização de forma envolve a aplicação de métodos computacionas na análise de objetos

reais ou de modelos originados pela imaginação e criatividade do analista. Em ambos os casos a

necessidade da modelagem de curvas e superfícies suaves surge com fundamental importância.

Com isso a modelagem geométrica surge como importante ferramenta na implementação de

métodos de otimização ao permitir que objetos possam ser representados através de equações

que, por sua vez, podem ser traduzidas para linguagens computacionais.

O modelo geométrico deve possuir o menor número possível de variáveis sem que se torne

ambíguo e ser eficientemente implementável sob o ponto de vista computacional. A represen-

tação deste modelo para a otimização pode ser feita utilizando diferentes técnicas, como o uso

de polinômios ou macro-elementos. Apesar de reduzirem o tamanho do problema estas téc-

nicas apresentam problemas, como instabilidade numérica e distorções, quando aplicadas para

geometrias complexas.

Neste aspecto, um grande avanço foi obtido a partir da utilização das teorias de curvas

paramétricas (splines) para definição do modelo geométrico. Além da facilidade de manipulação

e avaliação de pontos na curva, devido à forma como são representadas matematicamente, as

splines requerem poucos dados de entrada por causa do reduzido número de graus de liberdade e

podem ser modificadas iterativamente, sendo possível utilizá-las em combinação com geradores

de malhas automáticos.

O objetivo deste capítulo é trazer uma visão geral das curvas paramétricas, discutir os

conceitos e técnicas de modelagem disponíveis para a solução do problema de otimização, fo-

calizando os estudos na representação de curvas por B-splines utilizadas neste trabalho. Vale

observar que aqui trata-se apenas de modelos bidimensionais, mas a exposição do assunto não

fica prejudicada por esta simplificação e um tratamento mais detalhado pode ser encontrado em

Foley et al (1996).

70

CAPÍTULO 4. MODELAGEM GEOMÉTRICA 71

4.1 Uma Visão Geral das Curvas Splines

A idéia de controlar a forma de uma curva através do número e da posição de um conjunto

de pontos serviu de base para o desenvolvimento de uma série de curvas. Matematicamente,

diversas curvas podem ser geradas a partir dos pontos de um polígono e uma determinada relação

entre o polígono e a curva. Esta relação é definida pelas funções-base escolhidas.

Entre os vários tipos de splines1 paramétricas usadas para representar uma forma, as cúbicas

são as mais populares, pois possuem continuidade C2, o que satisfaz as necessidades da maioria

dos problemas que surgem em aplicações práticas. Tendo estas várias representações, como as

curvas de Hermite, Bézier e B-splines. Estas curvas paramétricas formam os elementos básicos

das splines: curvas que consistem de segmentos de curva paramétricos individuais “juntados”

para dar o formato de uma única curva, com a continuidade controlada nas junções dos seg-

mentos. A seguir uma breve discussão sobre as principais características na definição destas

curvas.

A interpolação de Hermite não é restrita somente aos pontos. Na sua forma padrão,as curvas de Hermite2 são definidas usando as informações nos pontos e suas derivadas. Por

exemplo, uma curva de Hermite cúbica é definida pelos seus dois pontos extremos e os vetores

tangentes nestes pontos.

As curvas de Bézier são geradas utilizando os polinômios de Bernstein como funções-base(Mortenson, 1997), os quais são definidos por um conjunto de pontos de controle. Estas curvas

interpolam o último e o primeiro ponto de controle e a tangente no primeiro e último lado do

polígono definido para estes pontos. Duas características das curvas de Bézier limitam o seu uso.

Primeiro, o número de pontos do polígono especifica diretamente o grau da curva gerada. Desta

forma, o aumento do número de pontos causa o aumento do custo de avaliação da curva e suas

derivadas. A segunda característica limitante é o caráter global dos polinômios de Bernstein, o

que limita o controle local da curva.

Com o objetivo de modelar formas complexas utilizando curvas de grau arbitrário, foram

desenvolvidas as curvas polinomiais segmentadas ou B-splines. Estas curvas utilizam uma base

de funções diferente da base de polinômios de Bernstein. Esta base é chamada de spline e por

este motivo a curva resultante foi denominada B-spline.

A curva B-spline é uma curva polinomial por partes definida por um conjunto de pontos

de controle que a curva não necessariamente os interpola. O grau das funções-base polinomiais

é definido independentemente do número de pontos de controle. O controle local da curva é

possível, já que uma mudança local em um ponto de controle não se propaga mudando a forma

global, pois os pontos de controle influenciam somente poucos segmentos e os mais próximos.

Assim, percebe-se que as curvas B-spline e Bézier possuem muitas vantagens em comum.

Seus pontos de controle influenciam na forma da curva de uma maneira natural, fazendo-as boas

1O nome spline vem das réguas longas e estreitas, feitas de madeira, plástico ou metal, utilizadas para construiruma curva passando por um certo número de pontos (Rogers, 1990). A forma de uma spline era determinada porum conjunto de pesos de chumbo. Variando o número e a posição dos pesos, era possível modificar a forma dacurva, aumentando a suavidade e melhorando o seu aspecto.

2Este nome da curva é em homenagem à Charles Hermite (1822-1901), um matemático francês pelas consid-eráveis realizações nas áreas de polinômio cúbicos.


candidatas para serem usadas em um ambiente interativo. Ambas tem pequenas variações, eixos

independentes, multi-avaliações e possuem a propriendade de convexidade. Contudo, o controle

local da curva só é possível com as B-splines, tendo a habilidade de adicionar pontos de controle

sem aumentar o grau da curva, o que fornece desta maneira uma vantagem sobre a técnica de

Bézier.

4.2 Equações Paramétricas

Entre as formas investigadas e utilizadas para o estudo e modelamento geométrico de curvas

e superficies, a paramétrica mostra vantagens pelo fato de sua definição ser relativamente simples

e possuir uma versatilidade natural. Solucionando assim, diversas dificuldades encontradas nas

formas de representação do contorno de otimização.

Os segmentos das splines cúbicas podem ser representados de forma paramétrica como

p = p(t). (4.1)

Na equação (4.1) p é um vetor posição da curva e t é a coordenada paramérica associada

a este ponto na curva. A forma paramétrica permite que as representações sejam descritas

de maneira uniforme através da definição de um intervalo fixo para a variação do parâmetro

t e os vértices extremos do segmento possam ser explicitamente considerados associando-os às

coordenadas inicial e final do intervalo paramétrico. Neste caso, uma curva é representada por

um conjunto de segmentos polinomiais, sendo que cada segmento é dado por funções, px, py e

pz, que são polinômios na coordenada t.

Os polinômios cúbicos são os mais utilizados por possuirem continuidade C2 (veja Fig. 4.1),

além disso polinômios de graus inferiores não permitem a interpolação de uma curva através dos

vértices extremos do segmento. Um polinômio cúbico é univocamente determinado satisfazendo

quatro condições de contorno, que podem ser os vértices extremos do segmento e suas respectivas

derivadas.

Figura 4.1: Continuidade de funções.


Os polinômios cúbicos que definem o segmento de curva [px(t), py(t), pz(t)] são da forma:

px(t) = axt3 + bxt

2 + cxt+ dx;

py(t) = ayt3 + byt

2 + cyt+ dy; 0 ≤ t ≤ 1, (4.2)

pz(t) = azt3 + bzt

2 + czt+ dz;

onde o parâmetro t está restrito, sem perda de generalidade, ao intervalo [0, 1].

A equação (4.2) pode ser representada também como

p(t) = px(t) py(t) pz(t) . (4.3)

Matricialmente

p(t) = T [C] (4.4)

com T =©t3 t2 t 1

ªe a matriz dos coeficientes dos polinômios dada por

[C] =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ax ay az

bx by bz

cx cy cz

dx dy dz

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ . (4.5)

Um segmento de curva é definido por restrições nos vértices extremos, vetores tangente e

continuidade entre segmentos adjacentes. Cada polinômio cúbico possui quatro coeficientes e,

portanto, quatro restrições são necessárias de forma a se montar um sistema de quatro equações

onde as incógnitas são estes coeficientes. Pode-se, então, classificar as curvas pela maneira como

as restrições são impostas ao problema. Lembrando que as curvas de Hermite são definidas pelos

dois vértices e vetores-tangente das extremidades, as de Bézier pelos dois vértices extremos e

outros dois pontos que controlam os vetores-tangente das extremidades e as B-splines por quatro

pontos de controle.

Com o objetivo de mostrar a dependência geométrica da matriz dada na equação (4.5),

reescreve-se [C] = [M].G, sendo que [M] e G dependem do tipo de representação. Onde [M] éuma matriz-base de ordem 4 eG é um vetor de 4 componentes contendo as restrições geométricas,

denotado de vetor de geometria.Assim, rescrevendo (4.4) na forma matricial

p(t) =©t3 t2 t 1

ª⎡⎢⎢⎢⎢⎣

m11 m12 m13 m14

m21 m22 m23 m24

m31 m32 m33 m34

m41 m42 m43 m44

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

g1

g2

g3

g4

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ . (4.6)


4.3 Curvas B-splines

Em otimização de forma, não só é importante gerar formas sofisticadas de uma maneira

flexível, mas também controlar esta geração de um modo fácil. Isto pode ser obtido através da

movimentação dos pontos de controle das B-splines, que garantirão a suavidade da curva.

Muitas técnicas de definição de curvas não permitem controle local da forma. Conseqüen-

temente, mudanças em posições locais. Como, por exemplo, uma pequena alteração na posição

de um ponto na curva de Hermite ou em um vértice do polígono característico de uma curva de

Bézier, tendem fortemente a se propagar na curva inteira. Isto é descrito como uma propagação

global de uma mudança local.

A curva B-spline evita este tipo de problema por usar um conjunto especial de funções-base,

que possuem apenas influência local e dependem apenas de alguns pontos de controle. Ou seja,

cada segmento de curva é definido e influenciado por somente poucos pontos de controle, que

são os coeficientes das funções-base da B-spline e o grau da curva é independente do número

total de pontos de controle. Tais características permitem mudanças que não se propagam além

de um ou apenas poucos segmentos locais da curva, ou seja, o movimento de um ponto-chave

afetará apenas um trecho da curva. Ver Fig. (4.2).

Figura 4.2: Controle Local.

4.3.1 B-splines não-uniformes

São as curvas splines na forma mais geral definidas por funções-base não-uniformes, isto é,

a função-base que define um segmento pode diferir das que definem os outros segmentos. Isso

permite interpolar um ou mais pontos de controle, dependendo da situação modelada.

Uma curva B-spline é similar a uma curva Bézier, onde um conjunto de funções-base Ni é

combinado com os vetores posição bi dos (K + 1) pontos de controle Bi. A forma não-racional

é definida como:

p (t) =KXi=0

biNNi (t) . (4.7)

Para uma curva de Bézier, o número de pontos de controle determina o grau das funções-base

polinomiais. Para uma curva B-spline o parâmetro N controla o grau (N − 1) dos polinômios


base, o qual é independente do número de pontos de controle (K).

As funções-base da B-spline não-uniforme são definidas recursivamente pelas seguintes ex-

pressões de Boor (1972)

N1i (t) =

(1 se ti ≤ t ≤ ti+1;

0 caso contrário!(4.8)

e

Nni (t) =

(t− ti)Nn−1i (t)

ti+n−1 − ti+(ti+n − t)Nn−1

i+1 (t)

ti+n − ti+1(4.9)

para valores inteiros de n, n = 2, ..., N. A ordem da B-spline, dada por N , controla o grau

(N − 1) do polinômio resultante em t e também a continuidade da curva. Os tj são chamados

de valores dos nós e o conjunto destes valores compreende um vetor de nós. Tais valoresrelacionam a variável paramétrica t com os vetores posição bi dos pontos de controle Bi, onde

i = 0, ...,K.

Assim, para uma curva aberta não-uniforme que interpola os pontos extremos, os tj são

calculados como

tj =

⎧⎪⎨⎪⎩0 se j < N ;

j −N + 1 se N ≤ j ≤ K;

K −N + 2 se j > K;

(4.10)

para valores inteiros de j = 0, ...,K +N . O índice j no valor do nó tj varia de 0 à (K +N),

enquanto que o índice i na função Nni varia de 0 à K.

Portanto, há sempre (K + 1) funções para cada n. Note que, calculados os tj para N, estes

são usados para calcular Nni , para todo n = 1, ..., N. Observe também que na equação (4.9) o

denominador pode ser zero, razão pela qual define-se 00 = 0.

Agora acha-se a expressão para p (t) sobre um segmento de curva arbitrário, isto é, no

intervalo i ≤ t < i + 1. Colecionando estas informações e fazendo os cálculos para N = 3 nas

equações (4.10), (4.9) e (4.8), tem-se:

p (t) =1

2(i+1− t)2bi+

1

2[(t− i+ 1)(i+ 1− t) + (i+ 2− t)(t− i)] bi+1 +

1

2(t− i)2bi+2. (4.11)

Para fins computacionais, há vantagens em reparametrizar o intervalo tal que 0 ≤ t < 1

e identificá-lo de maneira conveniente. Reescrevendo p (t) , por exemplo, como pi (t) para o

i−ésimo intervalo. Assim, reparametriza-se a equação (4.11), mudando t por t+ 1, tal que

pi (t) =1

2[¡t2 − 2t+ 1

¢bi +

¡−2t2 + 2t+ 1

¢bi+1 +

¡t2¢bi+2]. (4.12)

Analogamente, aplicando tais considerações para uma curva B-spline cúbica (N = 4), obtém-

se finalmente a equação

pi (t) =1

6[¡−t3 + 3t2 − 3t+ 1

¢bi +

¡3t3 − 6t2 + 4

¢bi+1 +

¡−3t3 + 3t2 + 3t+ 1

¢bi+2 +

¡t3¢bi+3].

(4.13)


Alterações no valor de N levam à mudanças no grau do polinômio das funções-base e mu-

danças significativas na curva B-spline. Quando N = 2, a curva coincide com o polígono repre-

sentativo e à medida que N aumenta, a curva se torna cada vez mais suave e mais distante do

polígono. Veja Fig. (4.3).

Figura 4.3: Curvas B-splines com N =2, 3, 4.

Forma matricial

Reescreve-se a equação (4.13) substituindo i por (i− 1) , sendo que agora i denota o númerode segmentos da curva. Assim, para a B-spline cúbica, em notação matricial fica

pi(t) =©t3 t2 t 1

ª 16

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1 3 −3 1

3 −6 3 0

−3 0 3 0

1 4 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

bi−1

bi

bi+1

bi+2

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (4.14)

i ∈ [1 : K − 2] para curvas abertas e 0 ≤ t ≤ 1.

Denotando

T =©t3 t2 t 1

ª; (4.15)

[MBS] =1

6

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1 3 −3 1

3 −6 3 0

−3 0 3 0

1 4 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ ; (4.16)


GBS =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩bi−1

bi

bi+1

bi+2

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ . (4.17)

Tem-se

p(t) = T [MBS]GBS. (4.18)

O produto [MBS]GBS origina as funções de forma de cada segmento.

4.3.2 B-splines uniformes

Muitas situações de modelagem geométrica não requerem que a curva passe através dos

pontos extremos. Nestes casos, aplica-se uma formulação, como na equação (4.14), para um

conjunto de pontos de controle, espaçando os nós em intervalos iguais. Este método produz uma

curva B-spline uniforme ou periódica. Esta periodicidade é pelo fato de as funções-base serem

repetidas idêntica e sucessivamente sobre os intervalos da variável paramétrica.

A figura 4.4-(a) descreve curvas B-splines uniformes. Note que ambas as curvas, para N = 3

e N = 4, não passam em todos os pontos de controle. Em contrapartida, a curva da figura

4.4-(b) é uma B-spline não-uniforme ou não-periódica, onde as funções-base diferem de um

segmento para outro.

Figura 4.4: (a) B-spline uniforme (b) B-spline não-uniforme

4.3.3 B-splines fechadas

As curvas B-splines uniformes são particularmente bem definidas para produzir curvas

fechadas. A equação (4.14) pode ser facilmente adaptada por uma simples modificação na

escala do número de segmentos, no índice subscrito dos pontos de controle. Para isso, reescreve-


se (4.14) como

pi(t) = T [MBS]

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩bi−1mod(K+1)bimod(K+1)

bi+1mod(K+1)

bi+2mod(K+1)

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (4.19)

i ∈ [1 : K + 1] para curvas fechadas,

sendo mod(K + 1) é o operador restante3.

Figura 4.5: Curva B-spline fechada (K = 5 e N = 4).

A curva da figura (4.5) é um bom exemplo para ser trabalhado. Neste caso a equação (4.19)

fica:

[pi(t)] = T [MBS]

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩bi−1mod 6

bimod6

bi+1mod6

bi+2mod6

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ , (4.20)

i ∈ [1 : 6].

Expandindo a equação (4.20) obtém-se

p1(t) = T [MBS] b0 b1 b2 b3T ;p2(t) = T [MBS] b1 b2 b3 b4T ;p3(t) = T [MBS] b2 b3 b4 b5T ;p4(t) = T [MBS] b3 b4 b5 b0T ;p5(t) = T [MBS] b4 b5 b0 b1T ;p6(t) = T [MBS] b5 b0 b1 b2T .

Assim, calculando cada um destes segmentos de curva, para uma sequência de valores de t e

3O operador mod retorna o resto de divisão inteira. Ou seja, dada a expressão A mod B, o valor retornadoé do resto de divisão inteira de A por B. Ambos operandos devem ser inteiros e o segundo deve ser estritamentemaior que zero. Exemplos: 5mod4 = 1, 8mod3 = 2, 4mod4 = 0, e assim por diante.


especificando as coordenadas dos pontos de controle, resulta naturalmente o desenho da curva

B-spline fechada.

4.3.4 B-splines não-uniformes racionais

Uma das ferramentas mais versáteis para o modelamento de curvas é a forma racional da

curva B-spline não-uniforme, ou NURBS4, como é popularmente chamada. Sua base é a relação

de duas funções-base da B-spline na forma não-racional, resultando em um polinômio racional

por partes. A curva na forma racional, exibe as mesmas propriedades de invariança como

as funções-base de Bézier racional, fazendo uso de coordenadas homogêneas e características

de projeção geométrica. Isto significa que as curvas de NURBS são invariantes sob translação,

rotação, escala e projeção. As curvas B-spline e Bézier, na forma não-racional, são casos especiais

da curva B-spline na forma racional.

Os pontos na curva NURBS são dados por

p(t) =

kPi=0

hibiNNi (t)

kPi=0

hiNNi (t)

, (4.21)

onde os hi são pesos. Se hi = 1 para todo i, então as funções-base da equação (4.21) se reduzem

à forma não-racional da curva B-spline.

Existem três maneiras de modificar a forma de uma curva NURBS: Mudando o vetor de nós,

movendo os pontos de controle e modificando os pesos. No primero caso é relativamente difícil

determinar como uma curva responderá às mudanças no vetor de nós, sendo que esta não é a

melhor maneira de mudar a forma da curva. Em contrapartida, no segundo caso, o efeito de

mudar os pontos de controle é previsível e intuitivo. Já no terceiro e último caso, se um peso hifor aumentado ou diminuído no seu valor, conseqüentemente a curva será puxada ou empurrada

afastando-se do ponto de controle Bi.

4.3.5 Continuidade

Neste trabalho serão utilizadas B-splines cúbicas (N = 4), pois os seus pontos de controle

podem ser determinados de modo a garantir a continuidade da segunda derivada.

Deseja-se analisar a continuidade do ponto t = 1, correspondente ao segmento i, ao ponto

t = 0, correspondente ao segmento (i+ 1), para a curva paramétrica e suas derivadas (primeira

e segunda). Para isso, utiliza-se uma curva B-spline cúbica, cuja equação paramétrica é dada

4NURBS - NonUniform Rational B-Spline


por

pi(t) = T [MBS]GBS

=©t3 t2 t 1

ª 16

⎡⎢⎢⎢⎢⎣−1 3 −3 1

3 −6 3 0

−3 0 3 0

1 4 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

bi−1

bi

bi+1

bi+2

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ (4.22)

0 ≤ t ≤ 1 1 ≤ i ≤ k − 2.

Expandindo este produto e avaliando a curva nos pontos pi(1) e pi+1(0), tem-se:

t = 1 =⇒ 6pi(1) = bi + 4bi+1 + bi+2

t = 0 =⇒ 6pi+1(0) = bi + 4bi+1 + bi+2(4.23)

Isso mostra que pi(1) = pi+1(0), isto é, a curva é contínua como era de se esperar.

As expressões para as primeira e segunda derivadas para a curva B-spline cúbica são obtidas

diferenciando a equação (4.22) em relação a t. Ou seja,

p 0i (t) = T 0[MBS]GBS =©3t2 t 1 0

ª[MBS]GBS (4.24)

e

p 00i (t) = T 00[MBS]GBS = 6t 2 0 0 [MBS]GBS, (4.25)

sendo 0 ≤ t ≤ 1 e 1 ≤ i ≤ k − 2.Agora, análogo ao que foi feito para a curva, examina-se a continuidade da primeira e da

segunda derivada. Para isso, avalia-se p 0i (1), p0i+1(0), p

00i (1) e p

00i+1(0). Assim, fazendo os cálculos

nas expressões (4.24) e (4.25), obtém-se

Para a primeira derivada,

t = 1 =⇒ 2p 0i (1) = (bi+2 − bi)

t = 0 =⇒ 2p 0i+1(0) = (bi+2 − bi)(4.26)

e para a segundat = 1 =⇒ p 00i (1) = (bi+2 − bi+1) + (bi − bi+1)

t = 0 =⇒ p 00i+1(0) = (bi+2 − bi+1) + (bi − bi+1).(4.27)

Note que p 0i (1) = p 0i+1(0) e p00i (1) = p 00i+1 (0), o que mostra a continuidade da primeira e

segunda derivadas na junção dos segmentos.

A partir destes resultados pode-se determinar o vetor tangente e a curvatura em qualquer

ponto da B-spline, pelas seguintes expressões

t(t) =

(p 0x(t)

p 0y (t)

)(4.28)


e

Curv(t) =p 0x(t)p

00y (t)− p 00x (t)p

0y (t)

[(p 0x(t))2 + (p 0y (t))

2]32

. (4.29)

Note que esta análise de continuidade pode ser extendida para curvas B-splines de graus

superiores. Vale observar também, que fazendo uso das características de uma curva B-spline

não-uniforme, que permite que se tenha valores múltiplos dos nós, introduzindo os nós em

posições selecionadas de uma maneira conveniente, pode-se forçar esta curva a interpolar um

ponto de controle, incluindo o primeiro e último pontos de controle. Porém, a multiplicação ou

a repetição os valores do vetor de nós induz à descontinuidades na junção dos segmentos. Para

uma curva cúbica, por exemplo, um nó duplo define no ponto de junção dos segmentos uma

descontinuidade para a curvatura.

4.4 Implementação Computacional

No trabalho aqui presente, por conveniência e simplicidade, adotou-se a parametrização

fazendo uso das curvas B-splines não-uniformes na forma não-racional, adicionando o primeiro

e último ponto de controle.

A Fig. (4.6) mostra um arco modelado por uma B-spline cúbica com quatro pontos-chave —

P1, P2, P3, e P4 — enquanto que a Tabela - (4.1) contém informações referentes aos segmentos

da curva.

Figura 4.6: Curva B-spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave.

Note que a curva B-spline da figura (4.6) é formada pela associação de diversos subsegmentos.


Tabela 4.1: Dados de uma curva B-Spline cúbica passando por um conjunto de pontos-chave.Segmento Intervalo paramétrico Pontos de Controle Pontos-Chave

Q1 0 ≤ t ≤ 1 B0, B1, B2, B3 P1,P2Q2 1 ≤ t ≤ 2 B1, B2, B3, B4 P2,P3Q3 2 ≤ t ≤ 3 B2, B3, B4, B5 P3,P4

O primeiro segmento é determinado pelo polígono cujos vértices são os chamados pontos de

controle, B0, B1, B2 e B3. Se mais um vértice B4 for adicionado, então B1, B2, B3 e B4determinam o subsegmento subseqüente da curva (compreendido entre P2 e P3). Deste modo,

continua-se o procedimento até a formação da geometria desejada. Este arranjo assegura a

continuidade C2 nas junções dos segmentos adjacentes.

Visando a implementação computacional, considera-se uma B-spline cúbica não-uniforme

passando por um conjunto de pontos-chave que definem o contorno bidimensional de um domíno.

Para isso, supõe-se uma curva definida por k pontos-chave. Neste caso, o domínio é mapeado

por (k + 2) pontos de controle (B0, B1,..., Bk+1, k 1 3) e possui (k − 1) segmentos Qi. Estes

segmentos são definidos em intervalos, 0 ≤ t ≤ 1, igualmente espaçados. Cada segmento Qi da

curva é definido por quatro vértices de controle. Assim, o vetor geometria que se refere a este

segmento é representado por

GBS =

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩bi−1

bi

bi+1

bi+2

⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭ , 1 ≤ i ≤ k − 1; (4.30)

sendo bi−1, bi, bi+1 e bi+2 os vetores posição dos pontos de controle Bi−1, Bi, Bi+1, e Bi+2 , que

são os vértices do polígono representativo da curva (Veja Fig.4.7).

Figura 4.7: Intervalo paramétrico de um segmento de curva B-spline.


A aplicação das relações obtidas na seção 4.4.4, onde estudou-se a continuidade da curva e

suas derivadas, resulta em um sistema de equações lineares dado por

6pi = bi−1 + 4bi + bi+1, i = 2, ..., k − 1; (4.31)

onde pi é o vetor de coordenadas de pontos-chave. A este sistema de equações são acrescentadas

outras duas equações definidas a partir das condições de contorno impostas nas extremidades

da curva, garantindo assim a unicidade da solução.

Portanto, o sistema resultante pode ser representado matricialmente como⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

a b

1 4 1

.

.

.

1 4 1

.

.

.

1 4 1

c d

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

b1

b2

.

.

.

bi

.

.

.

bk−1

bk

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

=

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

e

6p2

.

.

.

6pi

.

.

.

6pk−1

f

⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭

, i = 2, ..., k − 1. (4.32)

Resolvendo o sistema e uma vez obtidas as posições dos pontos de controle do sistema (4.32),

determina-se as coordenadas do primeiro e último ponto de controle, a partir das condições de

contorno do problema. Assim, com as posições de todos os pontos de controle definidas, pode-se

manipular e avaliar a curva em qualquer ponto.

As condições de contorno são especificadas a partir de considerações inerentes ao tipo de

aplicação envolvida. Entre outras, há quatro tipos específicos de condições que são considerados:

(i) tangentes definidas nas extremidades da curva;

(ii) a spline natural;

(iii) tangente definida e spline natural;

(iv) spline natural e tangente definida.

No primeiro caso, de maneira geral, são aplicadas regras empíricas para a determinação da

magnitude das tangentes. A condição de spline natural impõe curvatura nula na extremidade,

tendo como conseqüência a determinação automática da tangente. E os outros dois casos são

obtidos a partir das duas primeiras.

Os valores de a, b, c, d, e e f , referentes às quatro condições descritas acima, são obtidos

a partir das relações geométricas da B-spline cúbica (maiores detalhes em Sienz, 1994) e estão

contidas na Tabela - 4.2, juntamente com os vetores posição do primeiro e último pontos de

controle.

Um problema típico de contorno bidimensional é mostrado na Fig. (4.8), formado por uma

família de segmentos. Cada segmento da curva é formado por uma família de subsegmentos e


Tabela 4.2: Valores dos coeficientes do sistema de equações e pontos de controle das extremidadespara as condições de contorno de uma B-spline cúbica.

Variável Tipo de Condição de ContornoNome Tangente-Tangente Natural Tangente-Natural Natural-Tangente

e 3

½p1 + (

µ1

3

¶p01

¾p1 3

½p1 +

µ1

3

¶p01

¾p1

f 3

½pk −

µ1

3

¶p0k

¾pK pK 3

½pk −

µ1

3

¶p0k

¾a 2 1 2 1

b 1 0 1 0

c 1 0 0 1

d 2 1 1 2

b0 b2 − 2p01 2b1 − b2 b2 − 2p01 2b1 − b2bk+1 bk−1 + 2p0k 2bk − bk−1 2bk − bk−1 bk−1 + 2p0k

estes que passam pelos pontos-chave definidos na fronteira.

Figura 4.8: Contorno bidimensional modelado por splines

Capítulo 5

Análise de Sensibilidade

A análise de sensibilidade, mesmo fazendo parte do contexto de otimização de forma,

desenvolveu-se em um próprio tópico de pesquisa devido a sua grande importância e como

conseqüência várias técnicas têm sido continuamente desenvolvidas.

Em particular, o interesse é maior na análise de sensibilidade em modelos não-lineares, por

dois fatores principais: o primeiro e já citado, é a importância que vem tomando as técnicas de

sensibilidade nos processos de otimização, e segundo, a crença de que qualquer sistema robusto de

simulação em mecânica computacional necessita ser complementado por estudos aprofundados

sobre a sensibilidade da resposta do modelo com relação à variação de parâmetros deste modelo.

Na análise de sensibilidade é investigada a taxa de mudança das quantidades de resposta do

contorno em relação as variáveis de projeto. Ou seja, envolve o cálculo de gradientes de alguma

função resposta, com respeito as variáveis de projeto. Geralmente estas funções são implícitas,

não-lineares, dependentes das variáveis de projeto, conseqüentemente são difíceis e caras de se

calcular.

A aplicação de um método eficiente para a análise de sensibilidade é imprescíndivel no

processo de otimização de forma, pois como já visto no Capítulo 3, o algoritmo para a soluçãode um problema de otimização necessita dos gradientes da função objetivo e das restrições em

relação as variáveis de projeto para determinar uma direção de busca.

O procedimento de análise de sensibilidade consome grande parte do esforço computacional

necessário para a obtenção da solução do problema, sendo freqüentemente a etapa mais cara, po-

dendo consumir mais da metade do tempo total. Outro aspecto a ser considerado é o que se refere

a precisão das sensibilidades obtidas. Erros na avaliação das sensibilidades levam a direções de

busca incorretas, causando sérios problemas de convergência do algoritmo de otimização. Por-

tanto, a aplicação de um algoritmo eficaz para efetuar a análise de sensibilidade é de fundamental

importância para se obter exatidão e redução de tempo no processo de otimização.

As diferentes técnicas de análise de sensibilidade existentes se distingüem, principalmente,

pela eficiência e o esforço computacional exigido na implementação. E este capítulo tem por

objetivo apresentar as principais técnicas disponíveis e utilizadas para se efetuá-la, enfatizando

os aspectos relativos à precisão, eficiência, limitações e facilidades de implementação. Ele traz

também as expressões obtidas da análise de sensibilidade analítica da função objetivo e as

restrições definidas para o problema de otimização no presente trabalho. Além disso, para a

85

CAPÍTULO 5. ANÁLISE DE SENSIBILIDADE 86

análise de sensibilidade da função objetivo propõe-se uma alternativa inteligente através do

Método Adjunto, diminuindo consideravelmente o custo computacional.

5.1 Transformação do Domínio

A análise de sensibilidade pode ser facilitada com uma mudança de coordenadas, que trans-

forma um domínio elementar Ωe qualquer para um domínio elementar padrão Ωe, pois nesta

análise se faz necessário calcular a derivada de integrais sobre o domínio e o caráter de tais

cálculos (limites de integração, etc.) mudaria de elemento para elemento da malha. Além disso,

o cálculo das matrizes [ke] dos elementos, seria complicado se calculado diretamente em termos

das coordenadas (x, y). Portanto, introduz-se a transformação do domínio para que seja possível

transformar as operações de Ωe em Ωe, de uma maneira simples e genérica. Veja a figura (5.1).

Figura 5.1: Elemento Ωe no plano xy - Elemento Ωe no plano ξη.

A construção da transformação Te utiliza-se das funções de interpolação de elementos finitos

e é dada pela mudança de coordenadas definida como:

Dado s, então tem-se:

Te :

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x = x(ξ, η) =

nPi=1

xi(s)Ni(ξ, η);

y = y(ξ, η) =nPi=1

yi(s)Ni(ξ, η);(5.1)

i = 1, ..., n = número de nós do elemento;

onde (xi(s), yi(s)) são as coordenadas globais do i−ésimo nó do elemento, as quais dependemdas variáveis de projeto s.

Assim, supondo x e y diferenciávies em relação a ξ e η, obtém-se

[J] =nXi=1

"xi(s)Ni,ξ

yi(s)Ni,ξ

xi(s)Ni,η yi(s)Ni,η

#, (5.2)


denotada de matriz Jacobiana da transformação Te. Na expressão acima, Ni,ξ e Ni,η são as

derivadas das funções de interpolação em relação as coordendas paramétricas ξ e η, respectiva-

mente.

Portanto, aplicando a tranformação de domínio, tem-se

[Ωe(s)] =

∙ZΩe

dΩ

¸=

∙ZΩe

| J | dΩ¸, (5.3)

ou também,

[Ωe(s)] =

⎡⎣ 1Z0

1−ξZ0

| J | dηdξ

⎤⎦ . (5.4)

5.2 Sensibilidade

A derivada, também denotada de sensibilidade, de uma função qualquer f em relação à

variável de projeto sj é definida matematicamente pela da expressão

∂f

∂sj= lim

∆sj→0

f(sj +∆sj)− f(sj)∆sj

, (5.5)

em que ∆sj é uma perturbação da variável de projeto sj .

Existem inúmeros métodos para se obter a análise de sensibilidade. Os três principais são:

Método de Diferenças Finitas, Método Analítico e Método Semi-Analítico.

5.3 Método de Diferenças Finitas

A maneira mais simples de se calcular a sensibilidade de uma função qualquer é o Método

de Diferenças Finitas. A idéia deste método é determinar uma aproximação de primeira ordem

para a sensibilidade, através da expressão

∂f

∂sj≈f(sj +∆sj)− f(sj)

∆sj, (5.6)

sendo ∆sj uma perturbação absoluta na váriavel de projeto, suficientemente pequena para pro-

duzir resultados satisfatórios. Geralmente, esta perturbação absoluta é definida por

∆sj = ηjsj , (ηj > 0), (5.7)

onde ηj é o valor da perturbação relativa de sj .

A precisão deste método depende fortemente do tamanho do passo ou perturbação escolhida.

Um valor muito pequeno leva a erros de arredondamento, causados pela forma como os números

reais são representados nos computadores. Por outro lado, um valor muito grande leva a erros

de truncamento, pois a derivada só é exata no limite quando ∆sj tende a zero.

Um aspecto interessante da expressão (5.6) é que ela fornece resultados exatos, a menos

dos erros de arredondamento, para funções lineares. No caso de funções não-lineares, os re-


sultados são apenas aproximados. No entanto, uma perturbação relativa na ordem de 10−4 à

10−8 geralmente leva a resultados com precisão suficiente para uma aplicação prática.

Uma maneira de diminuir o erro de truncamento é calcular a sensibilidade através da dife-

rença central, dada por:∂f

∂sj≈f(sj +∆sj)− f(sj +∆sj)

2∆sj. (5.8)

O erro de truncamento desta expressão é de segunda ordem, enquanto que o da expressão

(5.6) é de primeira ordem. Assim, uma vantagem da utilização da diferença central é que ela

fornece valores exatos, a menos dos erros de arredondamento, também para funções quadráticas.

Contudo, a expressão (5.8) requer a avaliação da função duas vezes para cada variável, enquanto

que a expressão (5.6) requer apenas uma avaliação adicional para cada variável.

O grande problema deste método é o custo computacional, pois para calcular o gradiente

de uma função com várias variáveis é necessário perturbar uma variável de cada vez, calcular

o novo valor da função e avaliar a derivada parcial utilizando a expressão (5.6). No caso de

otimização, isto significa que é preciso realizar uma nova análise completa para cada variável

existente. Este aspecto torna inviável a aplicação do método na otimização de contorno para

escoamentos de fluidos reais, pois pode existir diversas variáveis e o custo de uma análise do

escoamento é bastante elevado.

A grande vantagem do método é a facilidade de implementação, pois a utilização de (5.6)

ou (5.8) não requer nenhum conhecimento sobre a forma como a função f é calculada. Assim,

a implementação do método é totalmente independente do elemento finito utilizado e nenhuma

alteração precisa ser feita no programa de análise. Isto permite a utilização de programas comer-

ciais, nos quais o código fonte não é conhecido. De qualquer forma, a facilidade de implementação

faz com que o método seja bastante utilizado na validação da implementação de métodos mais

complexos.

5.4 Método Analítico

O Método Analítico é o mais preciso e o mais rápido dos métodos discretos, contudo as

expressões das sensibilidades resultantes podem ser longas e de implementação trabalhosa. O

que não ocorre neste trabalho, onde a função objetivo e suas restrições são diferenciadas analiti-

camente em relação a variável de projeto sj , conseqüência da escolha do elemento apropriado

para a discretização.

Utiliza-se uma notação unificada para as expressões das sensibilidades e as equações são

apresentadas na forma matricial, o que é compatível com o desenvolvimento do Método de

Elementos Finitos feito no Capítulo 2.O ponto de partida para a determinação das sensibilidades pelo Método Analítico é obtido

a partir da diferenciação de funções definidas como

f(q(s), s) = 0. (5.9)

No caso deste trabalho, q(s) é o vetor dos deslocamentos nodais e s o vetor de variável de


projeto, definido como as coordenadas dos pontos de controle das curvas B-splines que definem

o contorno.

Uma vez que q depende implícitamente das variáveis de projeto s, o gradiente de f em relação

a variável de projeto sj é dado por

df

dsj=

∂f

∂sj+

∂f

∂q

dq

dsj, (5.10)

j = 1, ..., J,

onde J é o número de variáveis de projeto.

Como já foi apresentado anteriormente, as variáveis do problema de otimização são as coor-

denadas dos pontos-chave que definem o contorno do modelo geométrico no plano. O modelo de

análise discretizado em elementos finitos está associado ao modelo geométrico e ao escoamento

através dos nós, sendo necessário, portanto, fazer uso da regra da cadeia

dq

dsj=

∂q

∂xi

dxidsj

, i = 1, ..., nnp, (5.11)

onde o termo nnp denota o número de nós influenciados pela perturbação de sj (Fig. 5.2). É

importante observar na expressão acima que xi é a coordenada (xi, yi) de um nó da malha de

elementos finitos.

Figura 5.2: Malha dos nós afetados pela perturbação de um ponto-chave da B-spline.

A sensibilidade analítica das coordenadas nodais em relação à coordenada do ponto-chave é

dada por

∂xi∂sj

= limδ→0

xi (sj + δ∆sj)− xi (sj)

δ∆sj(5.12)

∂yi∂sj

= limδ→0

yi (sj + δ∆sj)− yi (sj)

δ∆sj, (5.13)


e pode ser obtida por uma aproximação por diferenças finitas

∂xi∂sj

≈ ∆xi∆sj

=xi (sj +∆sj)− xi (sj)

∆sj, (5.14)

∂yi∂sj

≈ ∆yi∆sj

=yi (sj +∆sj)− yi (sj)

∆sj. (5.15)

5.4.1 Gradiente analítico da função objetivo

A função objetivo f dada pela dissipação viscosa é definida como a função dada pela equação

(5.9). Portanto, o gradiente analítico de f é dado por

df

dsj=

∂f

∂sj+

∂f

∂q

dq

dsj. (5.16)

As sensibilidades de f em relação a q e sj são simplesmente obtidas. Mas pelo que se pode

perceber é mais complicado determinar dq/dsj , que representa o gradiente do deslocamento

nodal com relação a variação da variável de projeto sj . Pois para cada variável de projeto é

necessário solucionar o problema não-linear do fluido, precisando obter a convergência do Método

de Newton, o que aumenta o custo computacional e se torna inviável.

Diante disso, aplica-se novamente a idéia de transformar um problema complexo em problema

mais simples ou possível de ser resolvido. Propõe-se uma alternativa para eliminar o cálculo

do termo dq/dsj , que consiste em realizar uma operação denominada de Método Adjunto,descrito à seguir.

Método adjunto

O Método Adjunto consiste em redefinir a função objetivo como f introduzindo o vetor

adjunto λ, tal que a função objetivo modificada seja

f = f +Dλ,R

E, (5.17)

sendo R o vetor resíduo definido no Capítulo 2 através da equação de estado. Assume-se queno equilíbrio R = 0, o que permite escolher λ arbitrariamente, tal que

Dλ,R

E= 0.

Agora, calculando o gradiente para a nova função objetivo f , tem-se

df

dsj=

df

dsj+

*λ,

dR

dsj

+=

∂f

∂sj+

¿∂f

∂q,dq

dsj

À+

*λ,

∂R

∂sj+

∂R

∂q

dq

dsj

+. (5.18)

Utilizando-se da definição da matriz tangente, dada no Capítulo 2 por [KT] = ∂R/∂q, a

equação (5.18) pode ser reescrita como

df

dsj=

∂f

∂sj+

*λ,

∂R

∂sj

++

¿∂f

∂q+ λ [KT] ,

dq

dsj

À. (5.19)


Como λ pode ser escolhido arbitrariamente, escolhe-se de modo que

[KT]T λ = −∂f

∂q. (5.20)

Resultando em um sistema de equações linear.

Inserindo a solução λ∗do sistema (5.20) na equação (5.19), obtém-se finalmente o gradiente

da função objetivo modificada, dado por

df

dsj=

∂f

∂sj+

*λ∗,∂R

∂sj

+. (5.21)

Solucionar o sistema linear (5.20) para o vetor adjunto é computacionalmente barato, pois a

matriz de rigidez tangente já foi calculada durante a solução do problema do fluido. Requerendo

assim, para resolvê-lo, apenas uma substituição forward/backward e a sensibilidade ∂f/∂q.

Portanto, para calcular o gradiente da função objetivo é preciso obter as expressões de sen-

sibilidade ∂f/∂q, ∂f/∂sj , ∂R/∂sj e a solução λ∗do sistema linear (5.20). As expressões de tais

sensibilidades, como também a sensibilidade da restrição de volume, são obtidas nas próximas

seções. Porém, vale ressaltar antecipadamente que estas sensibilidades globais são obtidas pela

contribuição das sensibilidades das matrizes e vetores elementares obtidos da discretização de

elementos finitos.

5.4.2 Sensibilidade da função objetivo em relação ao vetor de deslocamentosnodais

De acordo com o Capítulo 3, a função objetivo discretizada é dada por

f(q(s), s) = [Kv(s)] q(s) · q(s). (5.22)

Derivando em relação a qk, tem-se

∂f

∂qk=

∂

∂qk[[Kv(s)] q(s) · q(s)] , (5.23)

ou em notação indicial, como

∂f

∂qk=

∂

∂qk[[Kvrs]qsqr] = [Kvrs]

∂qs∂qk

qr + [Kvrs]qs∂qr∂qk

= [Kvrk]qr + [Kvks]qs.

Sendo [Kv] simétrica e fazendo s = r, implica em

∂f

∂qk= 2[Kvkr]qr = 2

neXe=1

[kve ] qe. (5.24)


5.4.3 Sensibilidade da função objetivo em relação ao vetor de variáveis deprojeto

Sendo f definida como na equação (5.23), então, derivando em relação a sj , tem-se

∂f

∂sj=

∂ [Kv(s)]∂sj

q(s) · q(s).

É importante observar que para o cálculo da sensibilidade explicitamente em relação a va-

riável de projeto sj , os deslocamentos são mantidos constantes e que a sensibilidade da matriz

do termo de viscosidade [Kv] é formada pela contribuição da sensibilidade da matriz de cadaelemento finito da malha, ou seja

∂ [Kv(s)]∂sj

=neXe=1

∂ [kve (s)]∂sj

.

5.4.4 Sensibilidade do resíduo

A maneira como foi definido o cálculo do gradiente da função objetivo, utilizando o Método

Adjunto, faz necessário a sensibilidade do vetor resíduo em relação a variável de projeto sj ,

definido no Capítulo 2 através da equação de equilíbrio como

R(q(s), s) = [K(q(s), s)] q(s)−hF ext(s)

i. (5.25)

Então, derivando (5.25), tem-se

∂hR(q(s), s)

i∂sj

=∂ [K(q(s), s)]

∂sjq(s)−

∂hF ext(s)

i∂sj

. (5.26)

Assim, a sensibilidade do resíduo elementar pode ser expresso como

∂hRe(q(s), s)

i∂sj

=∂ [ke(q(s), s)]

∂sjqe(s)−

∂£F exte (s)

¤∂sj

(5.27)

=

"∂[k5u u

e (u)]

∂sj+

∂[kve ]∂sj

− ∂[kpresse ]

∂sj− ∂[kpresse ]T

∂sj+

∂[kδe ]∂sj

#qe(s)−"

∂£F be (s)

¤∂sj

+∂£F te(s)

¤∂sj

#.

Portanto, para se obter a sensibilidade do resíduo necessita-se das expressões das sensibili-

dades das matrizes e vetores elementares que contribuem para a formação da matriz de rigidez

global e do vetor de força externa global. Tais expressões serão obtidas e discutidas a seguir.

5.4.5 Sensibilidades das matrizes e vetores elementares

Neste item são apresentadas as expressões das derivadas elementares, obtidas elemento a

elemento da malha de finitos .


Sensibilidade do termo não-linear (5u u)

De acordo com o Capítulo 2, tem-se

[k5uue ] =

∙ZΩe

hNdisp

iT[5u]

hNdisp

i| J | dΩ

¸, (5.28)

onde [5u] é a matriz gradiente dos campos de velocidade, | J | é o determinante da matrizJacobiana e

£Ndisp

¤é a matriz que contém as funções interpolação Ni.

Note que efetuada a transformação de domínio através do Jacobiano, como descrito na seção

(5.2), as funções interpolação dependem somente das coordenadas curvilíneas ξ e η, isto é, são

independentes da variável de projeto sj , o que implica em

∂£Ndisp

¤T∂sj

= 0. (5.29)

Portanto, a derivação da equação (5.28) em relação a variável de projeto sj resulta em

∂[k5u ue ]

∂sj=

ZΩe

∙hNdisp

iT ∂ [5u]

∂sj

hNdisp

i| J |

¸dΩ+

ZΩe

∙hNdisp

iT[5u]

hNdisp

i ∂ | J |∂sj

¸dΩ.

(5.30)

Sensibilidade do termo de viscosidade (v)

Como mostrado no Capítulo 2, a matriz elementar do termo de viscosidade é definidacomo

[kve ] =∙Z

Ωe

[Bv]T [Hv] [Bv] | J | dΩ¸. (5.31)

Assim como | J |, a matriz [Bv] depende das coordenadas nodais, enquanto que a matrizconstitutiva [Hv] depende somente dos parâmetros constitutivos. Portanto,

∂[kve ]∂sj

=

ZΩe

"∂ [Bv]T

∂sj[Hv] [Bv] + [Bv]T [Hv]

∂ [Bv]∂sj

#| J | dΩ+

ZΩe

[Bv]T [Hv] [Bv]∂ | J |∂sj

dΩ.

(5.32)

Buscando simplicar a equação (5.32), define-se uma matriz auxiliar [Bv]∗ através da expressão

[Bv]∗ =∂ [Bv]∂sj

+1

| J |∂ | J |∂sj

[Bv] . (5.33)

Conseqüentemente, a equação (5.32) pode ser escrita como

∂[kve ]∂sj

=

ZΩe

"∂ [Bv]T

∂sj[Hv] [Bv] + [Bv]T [Hv] [Bv]∗

#| J | dΩ, (5.34)

que é uma maneira mais eficaz de calcular a sensibilidade da matriz do termo de viscosidade.


Sensisibilidade do termo de pressão (press)

Segundo o Capítulo 2, a matriz elementar do termo de pressão é dada como

[kpresse ] =1

ρ

∙ZΩe

hBdiv

iT[Npress] | J | dΩ

¸. (5.35)

Como já observado na sensibilidade do termo não-linear as sensilibidades de Ni em relação

a sj são iguais a zero, o que permite obter

∂[kpresse ]

∂sj=1

ρ

ZΩe

"∂£Bdiv

¤T∂sj

[Npress]

#| J | dΩ+ 1

ρ

ZΩe

∙hBdiv

iT[Npress]

∂ | J |∂sj

¸dΩ. (5.36)

Sensibilidade do termo de captura de descontinuidade (δ)

Novamente, segundo o Capítulo 2, tem-se o termo de captura de descontinuidade expressocomo h

kδe(s)i=

∙ZΩe

δ

∙hBdiv

iT hBdiv

i¸| J | dΩ

¸. (5.37)

Portanto,

∂£kδe(s)

¤∂sj

=

ZΩe

δ

∙∂[Bdiv]T

∂sj[Bdiv] + [Bdiv]T [Bdiv]∗

¸| J | dΩ+

ZΩe

∂δ

∂sj

h[Bdiv]T [Bdiv] | J |

idΩ.

(5.38)

Note que neste caso, também, se definiu uma matriz auxiliar£Bdiv

¤∗, dada por

hBdiv

i∗=

∂£Bdiv

¤∂sj

+1

| J |∂ | J |∂sj

hBdiv

i, (5.39a)

com o intuito de simplificar a equação (5.38).

Sensibilidade do termo de força externa (b)

De acordo com o Capítulo 2, tem-se

[F be ] =

∙ZΩe

[Ndisp]T b | J | dΩ¸. (5.40)

Como já se sabe as sensibilidades de Ni em relação a sj são iguais a zero, portanto

∂£F be (s)

¤∂sj

=

ZΩe

"hNdisp

iT ∂b

∂sj

#| J | dΩ+

ZΩe

∙hNdisp

iTb∂ | J |∂sj

¸dΩ. (5.41)

Sensibilidade do termo de tensão (t)

Sendo o termo de tensão dado como

£F te(s)

¤=

∙ZΓt∩Ωe

hNdisp

iTh | J | dΓ

¸. (5.42)


Análogo ao item anterior

∂£F te(s)

¤∂sj

=

ZΓt∩Ωe

"hNdisp

iT ∂h

∂sj

#| J | dΩ+

ZΓt∩Ωe

∙hNdisp

iTh∂ | J |∂sj

¸dΩ. (5.43)

5.4.6 Sensibilidade do Jacobiano e seu determinante

Como se pode observar nas seções anteriores, a implementação de várias expressões das

sensibilidades apresentadas requerem o conhecimento da sensibilidade do determinante da matriz

Jacobiana. Portanto, aqui se obtém a sensibilidade da matriz Jacobiana e de seu determinante.

Obteve-se em (5.2) o Jacobiano, dado por

[J] =nXi=1

"xi(s)Ni,ξ yi(s)Ni,ξ

xi(s)Ni,η yi(s)Ni,η

#. (5.44)

Como Ni,ξ e Ni,η não dependem das coordenadas nodais, a derivação da matriz Jacobiana

(5.44) em relação a sj resulta em

∂ [J]

∂sj=

nXi=1

"∂xi∂sjNi,ξ

∂yi∂sjNi,ξ

∂xi∂sjNi,η

∂yi∂sjNi,η

#. (5.45)

Sendo o determinante de [J] dado por

det(J) = | J | (5.46)

=

ÃnXi

xi(s)Ni,ξ

!ÃnXi

yi(s)Ni,η

!−Ã

nXi

xi(s)Ni,η

!ÃnXi

yi(s)Ni,ξ

!.

Logo,

∂ | J |∂sj

=

"ÃnXi

∂xi∂sj

Ni,ξ

!ÃnXi

yi(s)Ni,η

!+

ÃnXi

xi(s)Ni,ξ

!ÃnXi

∂yi∂sj

Ni,η

!#− (5.47)⎡⎣Ã nX

i

∂xi∂sj

Ni,η

!ÃnXi

yi(s)Ni,ξ

!+

ÃnX

i

xi(s)Ni,η

!⎛⎝ nXi

∂yi∂sj

Ni,ξ

⎞⎠⎤⎦ .5.4.7 Sensibilidades das funções interpolação

Muitas das análises de sensibilidades das matrizes elementares envolvem as sensibilidades

das matrizes [Bv] e£Bdiv

¤. Estas, como também outras sensibilidades, requerem o conhecimento

das sensibilidades de Ni,x e Ni,y em relação às variáveis de projeto.

Assim, supondo que as funções de interpolação Ni sejam continuamente diferenciáveis em

relação a x e y, então as suas sensibilidades Ni,x e Ni,y são calculadas a partir da expressão(Ni,x

Ni,y

)=

"ξ,x

η,x

ξ,y

η,y

#(Ni,ξ

Ni,η

)= [Λ]

(Ni,ξ

Ni,η

), (5.48)


onde [Λ] é a inversa da matriz Jacobiana, ou seja, [Λ] = [J]−1.

O processo de obter as sensibilidades de Ni,x e Ni,y em relação à variavel de projeto sj ,

envolve a derivação da matriz inversa do Jacobiano [Λ], que não é conhecida explicitamente.Entretanto esta dificuldade pode ser evitada usando a propriedade [J] [Λ] = [I] , onde [I] é a

matriz identidade. Após algumas operações utilizando-se desta propriedade obtém-se a expressão

da sensibilidade de [Λ] dada por

∂ [Λ]

∂sj= − [Λ] ∂ [J]

∂sj[Λ] . (5.49)

Finalmente, utilizando-se de (5.48) e (5.49), as sensibilidades de Ni,x e Ni,y, em relação à

variável de projeto sj , podem ser calculadas como

∂

∂sj

(Ni,x

Ni,y

)=

∂ [Λ]

∂sj

(Ni,ξ

Ni,η

)= − [Λ]

∙∂ [J]

∂sj

¸[Λ]

(Ni,ξ

Ni,η

)(5.50)

= − [Λ]∙∂ [J]

∂sj

¸(Ni,x

Ni,y

)i = 1, ..., n e j = 1, ..., J.

5.4.8 Sensibilidade da matriz gradiente de velocidade

Na análise de sensibilidade do termo não-linear da equação de equilíbrio, se fez necessário

a sensibilidade da matriz dos campos de velocidade [5u]. Aqui se deduz a expressão para [5u]

em relação à variável de projeto sj .

Tem-se, do Capítulo 2, que

[5u] =

"u,x u,y

v,x v,y

#, (5.51)

onde ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩u =

nPi=1

uiNi

v =nPi=1

viNi

i = 1, ..., n. (5.52)

Substituindo em (5.51), obtém-se

[5u] =nXi=1

"uiNi,x uiNi,y

viNi,x viNi,y

#. (5.53)

Derivando a expressão (5.53), a expressão para a sensibilidade de [5u] fica

∂ [5u]

∂sj=

∂

∂sj

"u,x u,y

v,x v,y

#=

nXi=1

"ui

∂Ni,x∂sj

ui∂Ni,y∂sj

vi∂Ni,x∂sj

vi∂Ni,y∂sj

#, (5.54)

onde as sensibilidades Ni,x e Ni,y são dadas na seção anterior.


5.4.9 Sensibilidade do volume

As restrições de desigualdade impostas ao problema de otimização são dadas pela restrição

de volume do escoamento e as restrições geométricas do contorno, enquanto que a restrição de

igualdade, dada pela equação de equilíbrio, é imposta implicitamente.

Aqui calcula-se explicitamente as expressões das sensibilidades da restrição de volume em

relação à variável de projeto sj . Sendo o volume definido pela seguinte expressão

g(s) = Ω(s)−Ωsup =neXe=1

∙µZΩe

| J | dΩ¶− Ωsup

¸. (5.55)

Então, a sensibilidade fica como

∂g(s)

∂sj=

neXe=1

∂h³R

Ωe| J | dΩ

´− Ωsup

i∂sj

=neXe=1

∙ZΩe

∂ | J |∂sj

dΩ

¸. (5.56)

Assim todos os termos necessários para a análise de sensibilidade analítica da função objetivo,

da equação de equilíbrio (resíduo) e as restrições estão devidamente definidos.

5.5 Método Semi-Analítico

O Método Semi-Analítico busca conciliar a precisão obtida no Método Analítico com a

simplicidade do Método de Diferenças Finitas a partir da expressão geral da sensibilidade da

equação de equilíbrio.

5.5.1 Método semi-analítico convencional

A idéia do Método Semi-Analítico é combinar a simplicidade e generalidade do Método das

Diferenças Finitas com a eficiência do Método Analítico. Para atingir este objetivo, o Método

Semi-Analítico Convecional utiliza as expressões gerais do Método Analítico para o cálculo da

sensibilidade dos deslocamentos. Enquanto que a sensibilidade do vetor de forças externas e da

matriz de rigidez de cada elemento finito é calculada utilizando diferenças finitas.

Assim, fazendo uma simples derivação da equação de equilíbrio com relação às variáveis de

projeto sj , tem-se∂[K(q)]∂sj

q + [K(q)]∂q

∂sj=

∂F ext(q)

∂sj. (5.57)

Define-se

F ∗=[K(q)]∂q

∂sj=

∂F ext(q)

∂sj− ∂[K(q)]

∂sjq (5.58)

como o vetor de pseudo forças.Na expressão (5.58) a matriz K(q) já foi armazenada, obtida durante a solução do problema

do fluido, então pode-se calcular F ∗, onde os termos ∂[K(q)]/∂sj e ∂F ext(q)/∂sj são avaliados


por diferenças finitas. O procedimento resultante da combinação dos métodos é muito mais

eficiente que o Método de Diferenças Finitas, pois a necessidade de novas análises foi eliminada.

A implementação do Método Semi-Analítico é bastante simples, pois os diferentes tipos de

elementos finitos são tratados de maneira uniforme. Assim, não há necessidade de conhecer os

detalhes da formulação de cada elemento finito. Esta vantagem é ainda mais importante no caso

de elementos complexos, na qual a implementação das expressões analíticas para o cálculo das

sensibilidades é uma tarefa bastante árdua e sujeita a erros.

Devido à combinação de eficiência e simplicidade, o Método Semi-Analítico se tornou bas-

tante popular, sendo amplamente utilizado em otimização. Contudo, foram descobertos certos

casos envolvendo variáveis de forma nos quais o Método Semi-Analítico apresenta sérios proble-

mas de precisão.

Diferentes procedimentos têm sido propostos para resolver os problemas apresentados pelas

sensibilidades semi-analíticas. A solução mais simples é utilizar diferenças finitas de segunda

ordem, no lugar das diferenças finitas de primeira ordem, para a diferenciação numérica dos

vetores e matrizes dos elementos. Esta solução diminui, mas não elimina completamente os

erros, além de criar outra desvantagem, que é o possível aumento do custo computacional.

Um procedimento diferente é o chamado Método Semi-Analítico “Exato”. Este método

busca eliminar o erro das sensibilidades semi-analíticas através do uso de fatores de correção

determinados com base nas características das matrizes envolvidas.

5.5.2 Método semi-analítico “exato”

Com o intuito de eliminar a dependência severa do Método Semi-Analítico convecional no

tamanho das perturbações, Olhoff et al (1993) propuseram o Método Semi-Analítico “Exato”.

A técnica é denominda “exata” no sentido de que as diferenciações numéricas envolvidas na

obtenção das sensiblidades estão sujeitas somente a erros de arredondamento e sensibilidades

são idênticas às obtidas pelo Método Analítico.

Neste caso, envolve a diferenciação numérica “exata” da matriz de rigidez obtida por ele-

mentos finitos, baseada em derivadas de primeira ordem que são computacionalmente baratas.

O método está baseado na aplicação simples de um fator de correção para atualizar com-

putacionalmente a derivada de primeira ordem. Os fatores de correção podem ser calculados

facilmente uma vez que o passo inicial da análise de sensibilidade é dado. Para problemas bidi-

mensionais com o contorno definido através do uso de B-splines cúbicas, mostra-se que este fator

de correção para todas as derivadas envolvidas é igual a 1. Assim, não aparecerá nas equações.

Por exemplo, para um único elemento, a diferenciação da matriz de rigidez elementar aplicando

a regra da cadeia, nos fornece∂ke∂sj

=nnosPi=1

∂ke∂xi

∂xi∂sj

, (5.59)

onde sj são as variáveis de projeto e xi são as coordenadas dos nós do elemento.

A sensibilidade ∂xi/∂sj pode ser calculada exatamente por diferença finita forward, como

∂xi∂sj

≈xi(sj +∆sj)− xi(sj)

∆sj, (5.60)


enquanto que a sensibilidade analítica ∂ke/∂xi é mais complexa de avaliar. Veja seção (5.4.5).No caso de elementos isoparamétricos, o método segue o procedimento analítico até o nível do

cálculo das sensibilidades de [J ] e | J |. Como estes termos são funções lineares das coordenadasnodais, o método usa diferenças finitas para calcular suas sensibilidades, obtendo valores exatos

independente do tamanho da perturbação utilizada. Assim, a sensibilidade de ∂ | J | /∂xi podeser calculada exatamente por diferença finita forward

∂ | J |∂xi

≈| J(xi +∆xi) | − | J(xi) |

∆xi. (5.61)

Portanto, este método resolve o problema de precisão do Método Semi-Analítico Conven-

cional à custa de um grande aumento na dificuldade de implementação, devido à perda de

generalidade. Assim, como o custo computacional deste método é um pouco superior ao do

Método Analítico, não há vantagem em utilizá-lo.

Capítulo 6

Aplicações

Este capítulo, apresenta os principais resultados obtidos nas aplicações estudadas e im-

plementadas pelo aplicativo desenvolvido neste trabalho, como também o resumo do esquema

para abordagem do problema ótimo, ou seja, das principais etapas executadas na solução de

problemas de otimização de forma para o escoamento de fluidos.

6.1 Algoritmo de Otimização de Forma

Neste trabalho foi proposto e implementado um método robusto de mudança de contorno

para a solução do problema de otimização de forma em escoamentos de fluidos. Nesta técnica,

o modelo geométrico é representado adequadamente por curvas paramétricas B-splines cúbicas

(Veja Capítulo 4) e as quantidades discretas, definidas como as variáveis de projeto, são dadaspelas coordenadas dos pontos-chave que definem as B-splines.

Assim, para um determinado escoamento, sob condições de contorno e propriedades do fluido,

são feitas análises não-lineares pelo Método de Elementos Finitos (Veja Capítulo 2). De posseda solução do problema não-linear do fluido, avalia-se a função objetivo e inicia-se o processo

de otimização. Os efeitos das mudanças nas variáveis de projeto sobre a resposta do contorno a

ser otimizado são avaliados e estas sensibilidades são utilizadas posteriormente para a definição

de uma geometria aperfeiçoada pelo algoritmo de programação. Através deste procedimento

obtém-se a forma otimizada do contorno.

O esquema do algoritmo básico de otimização de forma para escoamentos de fluidos é

mostrado no diagrama da Figura (6.1):

100

CAPÍTULO 6. APLICAÇÕES 101

Figura 6.1: Esquema do Processo de Otimização.

As principais etapas realizadas neste trabalho estão detalhadas abaixo, com o intuito de

fornecer uma visão geral e resumida dos vários módulos que foram implementados no programa.

6.1.1 Definição do modelo de otimização

Nesta etapa são definidas a função objetivo, restrições e variáveis de projeto. Mais ainda,

é definido também o modelo geométrico no qual será baseada a simulação e a análise de sensi-

bilidade — estas fornecem os valores das funções e os respectivos gradientes para o algoritmo de

programação matemática utilizado no processo de otimização. A partir de um modelo definido,

o contorno é modelado por meio de B-splines que, por sua vez, são definidas pelos pontos-chave.

6.1.2 Definição do modelo pelo Método de Elementos Finitos

Após ter sido definido o modelo geométrico do contorno, determina-se o modelo de análise

por elementos finitos. Um gerador automático de malhas não-estruturadas discretiza o domínio

em elementos triangulares (no caso deste trabalho, sete nós). Finalmente, o escoamento e as


condições de contorno, bem como as propriedades dos fluido são definidas e transferidas para o

modelo de otimização para análise.

6.1.3 Análise do escoamento

No processo de otimização, a análise do escoamento por elementos finitos desempenha pa-

pel importante, pois fornece as informaçãos necessárias para a reconfiguração do contorno, de

modo a satisfazer os requerimentos definidos no modelo de otimização. Um algoritmo incre-

mental/iterativo baseado no método de Newton é aplicado para a determinação da solução do

problema de fluido. Neste momento são avaliados os campos de velocidades e pressão nos pontos

de integração numérica.

6.1.4 Análise de sensibilidade

Nesta etapa são avaliadas as sensibilidades da resposta do modelo de análise em relação

a pequenas mudanças nas variáveis de projeto. A variação no modelo de otimização é feita

pela mudança das coordenadas dos pontos-chave das B-splines. As perturbações no contorno

refletem-se no modelo de análise através das novas posições dos nós de elementos finitos que

estão sobre estes segmentos. Cabe ressaltar que somente os nós sobre os segmentos perturbados

são realocados localmente sem que o contorno seja modificado ou uma nova malha gerada. Caso

contrário, descontinuidades nos gradientes das funções poderiam ser geradas, resultando em

problemas para o algoritmo de otimização.

6.1.5 Otimização dos parâmetros

De posse dos valores da função objetivo, restrições e seus respectivos gradientes, o algoritmo

de programação matemática determina uma direção de busca que minimize a função objetivo,

sem violar as restrições do problema de otimização, satisfazendo as condições de Kuhn-Tucker(KT). Durante a etapa da busca linear, avalia-se apenas a função objetivo e restrições. Comoresultado, um novo conjunto de valores é definido para as variáveis de projeto, estabelecendo

uma nova configuração para o modelo. A otimização é encerrada quando todas as restrições são

satisfeitas e não é mais possível determinar uma nova direção de decréscimo da função objetivo.

6.1.6 Atualização do modelo de otimização

Após a etapa de otimização dos parâmetros de projeto é necessário atualizar o modelo

geométrico, isto é, atualizar as variáveis de projeto, as coordenadas dos pontos-chave das B-

splines, via técnicas de otimização.

6.2 Aplicações

Apresentamos, abaixo, algumas alternativas que mostram a aplicabilidade do código aqui

implementado. O computador utilizado para a implementação e análise numérica foi um Pentium

4, 3.0ghz, 512Mb.


6.2.1 Cavidade quadrada com face móvel

Antes de prosseguir, é importante lembrar que o problema clássico da cavidade configura-se

como um escoamento incompressível em uma cavidade quadrada, cuja face inferior move-se com

uma velocidade horizontal constante (Fig. (6.2)).

No caso deste exemplo, o objetivo é encontrar o formato da face superior da cavidade, de

modo a minimizar a dissipação viscosa do escoamento. As análises de otimização de forma são

submetidas em duas situações e condições distintas.

u=1.0 v=0.0

u=0.0 v=0.0

u=0.0 v=0.0

u=0.0 v=0.0

1.0

X

Y

Figura 6.2: Cavidade a ser otimizada.

(i) Otimização da face superior da cavidade no caso em que apenas a extremidadedireita encontra-se fixa.

Neste primeiro caso, as análises de otimização de forma são feitas para Reynolds 100 e as

condições das variáveis de projeto são as mesmas impostas por Parente de Deus (2002), com

o objetivo de comparar os resultados obtidos por ele. A configuração das variáveis de projeto

pode ser observada a seguir.


Ponto-chave livre direção vetorial ey

Ponto-chave livre

Ponto-chave fixo

1 2

3 4 5 6 7

Figura 6.3: Cavidade caso (i) - Configuração dos pontos-chave.

O contorno da cavidade é descrito por 7 pontos-chave e 4 segmentos de B-splines cúbicas,

como mostra a Fig. (6.3). Note, também, que o problema têm 7 variáveis de projeto, todas

concentradas no segmento que representa a face superior da cavidade, a qual se quer otimizar.

As restrições impostas ao problema foram do tipo laterais e volume, como descritas abaixo:

0, 73 ≤ x4 ≤ 0, 77;0, 85 ≤ y4 ≤ 1, 2;0, 48 ≤ x5 ≤ 0, 52;0, 85 ≤ y5 ≤ 1, 2;0, 23 ≤ x6 ≤ 0, 27;0, 85 ≤ y6 ≤ 1, 2;0, 85 ≤ y7 ≤ 1, 2;

V ≤ 1, 1× V0 = Vadm,

onde que V0 representa o volume inicial, Vadm o volume admissível, V o volume final e (xi, yi)

representam as coordenadas das variáveis de projeto, as quais estão restritas lateralmente.

Aqui utilizou-se uma malha não-estruturada com 2494 elementos triangulares. Os resultados

para o caso descrito acima são mostrados a seguir.


Figura 6.4: Malha da cavidade na configuração inicial.

Figura 6.5: Cavidade caso (i) - Malha na configuração otimizada.


Figura 6.6: Cavidade caso (i) - Campo de pressão.

Figura 6.7: Cavidade caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade.


Figura 6.8: Cavidade caso (i) - Campo de velocidade.

Os valores finais obtidos, para a solução do formato da face superior da cavidade otimizada,

foram

F0 = 0, 16294;

F = 0, 15885;

Vadm = 1, 1;

V = 0, 92424;

x4 = 0, 73892;

y4 = 0, 85;

x5 = 0, 50389;

y5 = 0, 88792;

x6 = 0, 26411;

y6 = 0, 89520;

y7 = 1, 2,

onde F0 a dissipação viscosa inicial, F a dissipação viscosa final, Vadm o volume admissível, V o

volume final e (xi, yi) as coordenadas finais das variáveis de projeto.


(ii) Otimização do face superior da cavidade no caso em que as duas extremidadesestão livres

Neste caso deixa-se as duas extremidades da face da cavidade livres e as análises de otimiza-

ção de forma são feitas para Re=100. Aqui a configuração das variáveis de projeto é dada por

Ponto-chave livre direção vetorial ey

Ponto-chave livre

Ponto-chave fixo

1 2

3 4 5 6 7

Figura 6.9: Cavidade caso (ii) - Configuração dos pontos-chave.

O problema é semelhante ao anterior, sendo que neste caso tem-se uma variável de projeto a

mais. Ou seja, neste caso o problema têm 8 variáveis de projeto, todas distribuídas no segmento

que representa a face superior da cavidade a ser otimizada. As restrições impostas ao problema


foram do tipo laterais e volume, dadas por

0, 85 ≤ y3 ≤ 1, 2;0, 73 ≤ x4 ≤ 0, 77;0, 85 ≤ y4 ≤ 1, 2;0, 48 ≤ x5 ≤ 0, 52;0, 85 ≤ y5 ≤ 1, 2;0, 23 ≤ x6 ≤ 0, 27;0, 85 ≤ y6 ≤ 1, 2;0, 85 ≤ y7 ≤ 1, 2;

V ≤ 1, 1× V0 = Vadm,

onde V0 representa o volume inicial, Vadm o volume admissível, V o volume final e (xi, yi)


Os resultados, para o caso em que ambas extremidades da face estão livres, são mostrados

abaixo:

Figura 6.10: Cavidade caso (ii) - Malha na configuração otimizada.


Figura 6.11: Cavidade caso (ii) - Campo de pressão.

Figura 6.12: Cavidade caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade.


Figura 6.13: Cavidade caso (ii) - Campo de velocidade.

Os valores finais obtidos, para a solução do formato da face superior da cavidade otimizada,

foram

F0 = 0, 16294;

F = 0, 15473;

Vadm = 1, 1;

V = 0, 94181;

y3 = 1, 2.

x4 = 0, 73742;

y4 = 0, 85;

x5 = 0, 50649;

y5 = 0, 88755;

x6 = 0, 26411;

y6 = 0, 89520

y7 = 1, 2,



Os gráficos a seguir permitem obter uma melhor visualização dos perfis finais em relação aos

perfis iniciais, para os casos (i) e (ii) da face superior da cavidade.


Figura 6.14: Cavidade caso (i) - Posição inicial e final dos nós da face superior.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

x

y

inicialfinal

Figura 6.15: Cavidade caso (i) - Posição inicial e final dos nós na face superior. Fonte: Deus(2002).


Figura 6.16: Cavidade caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da face superior.

Observando os resultados obtidos e comparando com os apresentados em Parente de Deus

(2002) para o caso (i), percebe-se uma diferença significativa quanto ao formato ótimo da face

superior da cavidade. Entretanto, analisando a dissipação viscosa, percebe-se que houve maior

redução no valor da função objetivo em relação aos resultados obtidos em Parente de Deus

(2002). Observe os valores inicial (F0) e final (F) para a função objetivo, dados por:

F0 F %

Resultados 0, 16294 0, 15885 2, 5

Parente de Deus 0, 1612 0, 1607 0, 3

No caso (ii), onde as duas extremidades da face estão livres, a redução da dissipação viscosa

foi ainda maior, chegando a quase 6%.

Analisando todos estes resultados pode-se concluir que provavelmente as soluções de ambos

os trabalhos foram soluções locais (mínimos locais), pois a metodologia aqui utilizada para o

mapeamento do domínio geométrico é mais flexível, o que explica a grande diferença no formato

ótimo da face otimizada.

Em ambos os casos estudados neste trabalho nota-se em suas formas finais, que o centro da

face superior ficou abaulado para baixo. É a tentativa do processo de otimização de estagnar o

escoamento nesta região, ou seja, fazer com que o campo de velocidades seja baixo e, conseqüen-

temente, contribuir para a diminuição do valor da função objetivo. Já nos cantos superiores da

cavidade, ocorre uma redução do gradiente de velocidade quando comparado com o obtido na

configuração inicial. Outro fato interessante nesta região é o baixo valor do campo de velocidade,


ocasionado por um maior distanciamento desta região da face motriz (inferior).

Vale ressaltar, também, que a pequena discrepância apresentada nos valores iniciais da função

objetivo no caso (i), em relação ao valor obtido por Parente de Deus (2002), deve-se à utilização

de malhas diferentes para a solução do problema. Intuitivamente, imagina-se obter valores

idênticos para a função dissipação na primeira avaliação do problema de otimização, já que se

está impondo ao problema analisado as mesmas dimensões, restrições e condições de contorno.

Deve-se atentar, ainda, para o fato de que as formas finais da cavidade, em ambos os casos,

não são a princípio, tão intuitivas. Após observar melhor os resultados obtidos e analisar o fenô-

meno físico do escoamento, conclui-se que as formas finais estão inteiramente de acordo. Como

se busca a minimização da dissipação no problema de otimização, é natural que o escoamento

tenda a se estagnar, pois quanto menor a velocidade do escoamento menor será a dissipação

viscosa.

6.2.2 Difusor divergente

Como visto no Capítulo 2, o problema do difusor divergente configura-se como um escoa-

mento incompressível em um canal.

Visando comparar os resultados aqui obtidos com os de Parente de Deus (2002). Considera-

se, primeiramente, duas situações para o difusor. O objetivo é encontrar o formato da rampa

do difusor divergente, de modo a minimizar a dissipação viscosa. As duas primeiras situações a

serem consideradas são as seguintes:

(i) Otimização da rampa do difusor onde ambas as extremidades encontram-se fixas.

(ii) Otimização da rampa do difusor onde apenas a extremidade direita encontra-se fixa.

Em ambos os casos, as análises de otimização de forma serão feitas para o número de Reynolds

igual a 10 e serão impostas as mesmas condições às variáveis de projeto impostas por Parente

de Deus (2002).

Com relação ao modelamento geométrico, o aplicativo aqui desenvolvido permite que se

considere outras situações para o caso do difusor. Aqui estuda-se duas destas, a saber:

(iii) Otimização da parede do difusor.

(iv) Otimização da parede do difusor e do obstáculo no interior do difusor.

O formato do canal para os casos (i) e (ii) é descrito na Fig. (6.17).


Y

Parede do canal ( u=0 e v=0 )

X

(0;0)

(0;1)

(5,33 ; 1)

(5,33 ; -1)


Saída

(4,33 ; -1)

(1; 0)


Entrada (u=1 e v=0)

Figura 6.17: Difusor divergente a ser otimizado.

(i) Otimização da rampa do difusor onde ambas extremidades encontram-se fixas

Neste caso, deixa-se ambas as extremidades da rampa do difusor fixas, que correspondem

aos pontos (1; 0) e (4, 33;−1), respectivamente. A configuração das variáveis de projeto para odifusor é dada por

Ponto-chave fixo

Ponto-chave livre

1 2

3

4

5

6 7

8 9

Figura 6.18: Difusor caso (i) - Configuração dos pontos-chave.

Observe que o contorno do difusor é descrito por 9 pontos-chave e 6 segmentos de B-splines

cúbicas, como mostra a Fig. (6.18). Note que o problema têm 6 variáveis de projeto, sendo

estas concentradas no segmento que representa a rampa do difusor, a qual se quer otimizar. As


restrições impostas ao problema foram do tipo laterais e volume, como descritas abaixo

1, 8133 ≤ x3 ≤ 1, 8533;−0, 4 ≤ y3 ≤ −0, 15;2, 6466 ≤ x4 ≤ 2, 6866;−0, 65 ≤ y4 ≤ −0, 4;3, 4799 ≤ x5 ≤ 3, 5199;−0, 9 ≤ y5 ≤ −0, 65;

V ≤ 1, 1× V0 = Vadm,



Utilizou-se uma malha não-estruturada com 1957 elementos triangulares a qual pode ser

visualizada na figura (6.19).

Figura 6.19: Malha da forma inicial do difusor com rampa a ser otimizada.

Segue os resultados para o caso (i):


Figura 6.20: Difusor caso (i) - Malha otimizada.

Figura 6.21: Difusor caso (i) - Norma euclidiana do vetor velocidade.


Figura 6.22: Difusor caso (i) - Campo de pressão.

Os valores finais obtidos, para a solução do formato da rampa do difusor otimizada, foram

F0 = 1, 16722;

F = 1, 08843;

Vadm = 8, 7945;

V = 8, 39475;

x3 = 1, 8133;

y3 = −0, 4;x4 = 2, 647;

y4 = −0, 65;x5 = 3, 48;

y5 = −0, 9,

onde F0 a dissipação viscosa inicial, F a dissipação viscosa final, Vadm volume admissível, V o


(ii) Otimização da rampa do difusor onde apenas a extremidade direita encontra-sefixa

Neste exemplo, deixa-se somente a extremidade direita da rampa do difusor fixa, a qual

corresponde ao ponto (4, 33;−1). A configuração das variáveis de projeto para o difusor neste

caso é dada por


Ponto-chave fixo

Ponto-chave livre

1 2

3

4

5

6 7

8 9

Figura 6.23: Difusor caso (ii) - Configuração dos pontos-chave.

Análogo ao caso (ii), o contorno é descrito por 9 pontos-chave e 6 segmentos de B-splines

cúbicas, como mostra a Fig. (6.23). Entretanto, neste caso o problema têm 8 variáveis de

projeto, todas concentradas no segmento que representa a rampa do difusor, a qual se quer

otimizar. As restrições impostas ao problema foram do tipo laterais e volume, como descritas a

seguir

0, 93 ≤ x2 ≤ 1, 07;−0, 15 ≤ y2 ≤ 0, 1;1, 8133 ≤ x3 ≤ 1, 8533;−0, 4 ≤ y3 ≤ −0, 15;2, 6466 ≤ x4 ≤ 2, 6866;−0, 65 ≤ y4 ≤ −0, 4;3, 4799 ≤ x5 ≤ 3, 5199;−0, 9 ≤ y5 ≤ −0, 65;

V ≤ 1, 1× V0 = Vadm,



A malha inicial neste caso é a mesma que a do caso (i), dada pela figura (6.19).

Assim, os resultados para o caso (ii) são:


Figura 6.24: Difusor caso (ii) - Malha otimizada.

Figura 6.25: Difusor caso (ii) - Norma euclidiana do vetor velocidade.


Figura 6.26: Difusor caso (ii) - Campo de pressão.

Figura 6.27: Difusor caso (ii) - Campo de velocidade.


Os valores finais obtidos, para a solução do formato da rampa do difusor otimizada, foram

F0 = 1, 16722;

F = 0, 84748;

Vadm = 8, 7945;

V = 8, 5658;

x2 = 0, 93;

y2 = −0, 15;x3 = 1, 8133;

y3 = −0, 4;x4 = 2, 647;

y4 = −0, 65;x5 = 3, 48;

y5 = −0, 9,



Os gráficos abaixo oferecem uma melhor visualização dos perfis finais em relação aos perfis

iniciais, para os casos (i) e (ii) do difusor.


Figura 6.28: Difusor caso (i) - Posição inicial e final dos nós da rampa.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

x

y

inicialfinal

Figura 6.29: Difusor caso (i) - Posição inicial e final dos nós da rampa. Fonte: Deus(2002).


Figura 6.30: Difusor caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da rampa.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

x

y

inicialfinal

Figura 6.31: Difusor caso (ii) - Posição inicial e final dos nós da rampa. Fonte: Deus (2002).


Analisando os resultados obtidos e comparando com os apresentados em Parente de Deus

(2002), ao contrário do caso da cavidade, aqui o formato da rampa do difusor otimizada se

mostrou bem semelhante aos obtidos por Parente de Deus (2002). No que se refere aos va-

lores da função objetivo, para o caso (i), aqui a redução foi de aproxidamente 7%, enquanto

que em Parente de Deus (2002) foi de aproximadamente 5%. Já para o caso (ii), a diferença

entre os resultados obtidos nos dois trabalhos foi bem mais significativa, pois a redução da

dissipação viscosa foi de aproximadamente 27, 5%, enquanto que em Parente de Deus (2002) foi

de aproximadamente 15, 5%.

Nestes dois exemplos nota-se um afundamento da região da rampa, de maneira a diminuir o

campo de velocidade nesta região e, desta forma, contribuir para a redução do valor da função

objetivo. Um outro fator que também merece atenção diz respeito à suavização das quinas da

rampa, de modo a reduzir os gradientes de velocidade.

Considerando os fatores acima citados, para os exemplos apresentados, conclui-se que os

resultados estão de acordo com o sentimento físico dos fenômenos abordados e as formas finais

da rampa do difusor, em ambos os casos, estão inteiramente de acordo com a intuição.

Vale ressaltar ainda a notória discrepância das formas iniciais do difusor (casos (i) e (ii))

tratado aqui com o difusor apresentado na seção 2.5.2. Aqui estes exemplos foram avaliados com

o objetivo de comparar os resultados com aqueles obtidos em Parente de Deus (2002), onde tal

discrepância foi justificada pela limitação da metodologia utilizada por ele para o mapeamento do

domínio inicial (via macro-elementos). Devido a este fato, apresenta-se, a seguir, o estudo para

a abordagem de um difusor semelhante ao apresentado na seção 2.5.2, já que neste trabalho

tem-se a vantagem do uso das curvas B-splines para a definição do modelo geométrico a ser

otimizado, que proporciona mais flexibilidade e suavidade dos contornos, além do controle local.

(iii) Otimização da parede do difusor

Enquanto que nos casos anteriores 6.2.2 - (i) e 6.2.2 - (ii), o objetivo era encontrar o formato

da rampa do difusor, aqui busca-se encontrar a forma ótima da parede do difusor de modo a

minimizar o valor da dissipação viscosa do escoamento. A Fig. (6.32) mostra o difusor analisado,

o qual tem contorno suave na parede sem a presença de uma rampa.


(5,33 ; -1) Parede do canal ( u=0 e v=0 )

X (0;0)

Saída


Entrada (u=1 e v=0)

(5,33 ; 1)

Y

(0;1)

Figura 6.32: Difusor divergente suave a ser otimizado.

Neste caso, as análises de otimização de forma serão feitas para Re=10 e a configuração das

variáveis de projeto é dada por

1 2

3

4 5 6 7

8 9

Ponto-chave fixo

Ponto-chave livre na direção normal

Figura 6.33: Difusor caso (iii) - Configuração dos pontos-chave.

Aqui o contorno é descrito por 9 pontos-chave e apenas 4 segmentos de B-splines cúbicas,

como mostra a Fig. (6.33). Observe que neste caso o contorno da parede do difusor que se

quer otimizar foi definido por apenas um segmento de B-spline, onde estão concentradas as 5


variáveis de projeto definidas para o problema de otimização. Estas variáveis correspondem ao

grau de liberdade que cada ponto-chave pode variar na direção da normal ao escoamento.

As restrições impostas ao problema foram do tipo laterais e volume, como descritas a seguir

−0, 15 ≤ y2 ≤ 0, 1;−0, 4 ≤ y3 ≤ −0, 15;−0, 65 ≤ y4 ≤ −0, 4;−0, 9 ≤ y5 ≤ −0, 65;−1, 1 ≤ y6 ≤ −0, 9;

V ≤ 1, 1× V0 = Vadm,

onde V0 representa o volume inicial, Vadm o volume admissível, V o volume final e (yi) represen-

tam as ordenadas das variáveis de projeto, as quais estão restritas lateralmente.

A malha inicial utilizada foi uma malha de 2097 elementos triangulares e pode ser visua-

lizada na figura (6.34). Percebe-se claramente a vantagem da utilização das B-splines, as quais

possibilitam o mapeamento do domínio inicial por contornos suaves.

Figura 6.34: Malha da forma inicial do difusor suave com parede a ser otimizada.

Tem-se, a seguir, os resultados para o caso (iii):


Figura 6.35: Difusor caso (iii) - Malha otimizada.

Figura 6.36: Difusor caso (iii) - Norma euclidiana do vetor velocidade.


Figura 6.37: Difusor caso (iii) - Campo de velocidade.

Os valores finais obtidos, para a solução do formato da parede do difusor otimizada, foram

F0 = 1, 20751;

F = 0, 79565;

Vadm = 8, 83149;

V = 8, 561;

y2 = −0, 14y3 = −0, 35;y4 = −0, 65;y5 = −0, 9;y6 = −1, 1,

sendo F0 a dissipação viscosa inicial, F a dissipação viscosa final, Vadm o volume admissível, V

o volume final e os (yi) as ordenadas finais das variáveis de projeto.

O gráfico abaixo oferece uma melhor visualização do perfil final em relação ao perfil inicial

para a parede do difusor.


Figura 6.38: Difusor caso (iii) - Posição inicial e final dos nós da parede.

Neste caso a redução da dissipação viscosa foi bem significativa, sendo de aproximadamente

34% para a parede do difusor otimizada em relação à forma inicial.

Similarmente aos casos de otimização da rampa do difusor, nota-se um afundamento da

região da parede do difusor, ocasionando uma diminuição no campo de velocidade nesta região

e contribuindo, desta forma, para a redução do valor da função objetivo.

Intuitivamente, imagina-se que impondo uma liberdade maior para as restrições laterais das

variáveis de projeto, a parede do difusor tenderá a afundar ainda mais. Conseqüentemente, o

campo de velocidade nesta região diminui, implicando em uma redução ainda maior no valor da

dissipação viscosa.

Buscando comprovar esse fato, fez-se outros testes impondo-se um acréscimo nos limites

laterais das variáveis de projeto. A Fig. (6.39) mostra o perfil da parede resultante de um

destes testes comparado com os perfis obtidos acima. O gráfico final 2 corresponde ao perfilobtido no caso em que se impôs mais liberdade às variáveis de projeto. Neste caso, a redução

para a dissipação viscosa foi maior, aproximadamente, 37%, o que era suposto. Diante disso,

comprova-se o que se imaginava a princípio. Poderia dar mais liberdade ainda às variáveis de

projeto.

Portanto, todos os resultados obtidos neste caso estão de acordo com o sentimento físico dos

fenômenos abordados e as formas finais da parede do difusor estão inteiramente de acordo com

a intuição.


Figura 6.39: Difusor caso (iii) - Posição inicial e final dos nós da parede com um acréscimo àsvariáveis de projeto.

(iv) Otimização da parede do difusor e do obstáculo no interior do difusor

Neste caso o objetivo é encontrar o formato da parede do difusor e também do obstáculo

ao escoamento, visando a minimização da dissipação viscosa. A Fig. (6.40) mostra o difusor e o

obstáculo a serem otimizados, enquanto a Fig. (6.41) apresenta a configuração das variáveis de

projeto do problema de otimização.

As análises de otimização de forma foram feitas para número de Reynolds 10 e o contorno

é descrito por 12 pontos-chave e apenas 6 segmentos de B-splines cúbicas. Aqui o problema

têm 9 variáveis de projeto, sendo 3 delas concentradas no segmento que representa a parede do

difusor a ser otimizada, e as outras 6 concentradas no segmento que representa o obstáculo ao

escoamento, que também será otimizado. Veja Fig. (6.41)


(0;0)

(0;1)


Y

X

(10;1)

Entrada (u=u(y) e v=0)


Saída



(u livre e v=0)

(7;1)(4; 1)


Figura 6.40: Difusor e obstáculo a serem otimizados.

1 2

3 4 5

6 7

8

9

Ponto-chave fixo

Ponto-chave livre na direção normal

10

11 12

Ponto-chave livre

Figura 6.41: Difusor caso (iv) - Configuração dos pontos-chave.

A malha inicial utilizada foi uma malha de 774 elementos triangulares e pode ser visualizada

na figura (6.42).


Figura 6.42: Malha da forma inicial do difusor e obstáculo a serem otimizados.

As restrições impostas ao problema foram do tipo laterais e volume, como descritas a seguir

−0, 8 ≤ y2 ≤ 0;−2, 5 ≤ y3 ≤ −1, 5;−3 ≤ y4 ≤ −2, 8;6, 9 ≤ x8 ≤ 7, 1;0, 4 ≤ y8 ≤ 0, 7;5, 4 ≤ x9 ≤ 5, 6;−0, 7 ≤ y9 ≤ −0, 3;3, 9 ≤ x10 ≤ 4, 1;0, 4 ≤ y10 ≤ 0, 7;V ≤ 1, 1× V0 = Vadm,



Segue os resultados para o caso (iv):


Figura 6.43: Difusor caso (iv) - Malha na configuração otimizada.

Figura 6.44: Difusor caso (iv) - Norma euclidiana do vetor velocidade.


Figura 6.45: Difusor caso (iv) - Campo de pressão.

Figura 6.46: Difusor caso (iv) - Campo de velocidade.

Os valores finais obtidos, para a solução do formato da parede e do obstáculo ao escoamento,


foram

F0 = 2, 66943;

F = 1.21596;

Vadm = 20, 612251;

V = 20, 612241;

y2 = −0, 8;y3 = −2, 197;y4 = −2, 8;x8 = 7, 1;

y8 = 0, 302;

x9 = 5, 6;

y9 = −0, 3;x10 = 4, 1;

y10 = 0, 7,

sendo F0 a dissipação viscosa inicial, F a dissipação viscosa final, Vadm o volume admissível, V

o volume final e (xi, yi) as coordenadas finais das variáveis de projeto.

O gráfico abaixo permite visualizar melhor o perfil final em relação ao perfil inicial para a

parede e o obstáculo.


Figura 6.47: Difusor caso (iv) - Posição inicial e final dos nós da parede e no obstáculo.

Os resultados obtidos para este exemplo estudado foram bem gratificantes. A redução da

dissipação viscosa do escoamento, foi a maior, aproximadamente 55% de redução do seu valor

inicial.

Neste exemplo o afundamento da parede, como observado no exemplo anterior, ocorre na

região próxima à entrada do canal, de maneira a diminuir o campo de velocidade nesta região e

contribuir para a redução do valor da função objetivo. Enquanto que na região do meio para a

saída do canal ocorre uma pequena elevação da parede.

Analisando o formato final do obstáculo percebe-se que o escoamento tende a arrastá-lo e

diminuí-lo, respeitando as restrições impostas. Esse fenômeno é natural, de acordo com o aspecto

físico, pois o processo de otimização de forma para o escoamento do fluido tentaria, se possível,

eliminar o obstáculo para obter o melhor fluxo do escoamento, implicando, conseqüentemente,

numa menor perda de carga do escoamento (dissipação viscosa).

Com o objetivo de observar tais características testou-se outros exemplos, onde deu-se mais

liberdade às variáveis de projeto concentradas no segmento que representa o obstáculo. Com os

resultados obtidos nestes testes, foi possível comprovar que realmente o processo de otimização

tende a eliminar o obstáculo de maneira a minimizar a dissipação viscosa. É preciso, entretanto,

ter cautela com a liberdade dada às variáveis de projeto, pois se estas forem extrapoladas poderá

ocorrer a degeneração dos elementos, acarretando em sérios erros ou, até mesmo, fazer com que

o problema não tenha convergência.


Todos os resultados obtidos neste exemplo estão inteiramente de acordo com o sentimento

físico dos fenômenos estudados e a forma final, tanto da parede do difusor como para o obstáculo,

estão inteiramente de acordo com a intuição.

6.3 Considerações Finais

As argumentações feitas nos exemplos de aplicação, da metodologia de otimização, sugerem

que um ponto seja melhor esclarecido. Este ponto se refere ao erro com relação à discretização

da malha final do processo de otimização, uma vez que não foram utilizados “estimadores de

erro” neste trabalho.

O erro com relação à discretização fornecido pela malha final é um fator muito relevante e que

precisa ser seriamente tratado. Diante disso, nos exemplos estudados neste capítulo, preferiu-

se trabalhar com escoamentos em que o número de Reynolds não fosse elevado. Além disso,

tal fator não afetou de maneira significativa o valor da função objetivo, pois aqui obteve-se a

vantagem da utilização de malhas não-estruturadas de elementos triangulares e o uso das curvas

B-splines para a definição do contorno.

Nas malhas utilizadas, além da vantagem de conservarem o número de elementos, a mesma

incidência e conectividade durante o processo de otimização, dificilmente ocorrerá problemas de

degeneração dos elementos, já que os elementos vão sendo rearranjados no processo de otimiza-

ção. Problemas de degeneração podem vir a ocorrer caso se extrapole os valores impostos às

restrições geométricas dadas ao problema. Quanto a isso, tomou-se o cuidado de considerar

restrições laterais de maneira coerente e de forma que elas não se sobrepusessem.

A vantagem na utilização da curvas B-splines para a definição do contorno é que somente os

nós sobre os segmentos perturbados são realocados sem que o contorno todo seja modificado, o

que caracteriza o controle local das B-splines.

Conclusões e Perspectivas Futuras

O objetivo deste trabalho foi o desenvolvimento de um sistema computacional para a

otimização de forma de contornos para o escoamento de fluidos. O procedimento iterativo

de otimização requereu o conhecimento de diversas áreas, tais como: programação matemática,

modelagem geométrica, geração automática de malhas de elementos finitos, análise do escoa-

mento, análise de sensibilidade e otimização de forma.

Através da implementação de um sistema cada uma das áreas citadas foi modularizada e o

fluxo de informações foi controlado pelo programa principal. Com base nos resultados obtidos

na análise dos diversos módulos, algumas conclusões merecem ser destacadas:

• A definição de um modelo geométrico para o contorno a ser manipulado pelo algoritmo

de Programação Matemática revelou-se de grande importância no processo de otimização.

A representação paramétrica das curvas por meio de B-splines oferece uma maneira sim-

ples, eficaz e flexível de definir, manipular e controlar o contorno, levando à obtenção de

excelentes resultados. As B-splines são interpoladas a partir de seus pontos-chave e as

coordenadas destes formam o conjunto de variáveis de projeto do problema de otimização.

A implementação não oferece restrições à incorporação de outros tipos de curvas. O uso

da B-splines permitiu definir diferentes e complexos contornos.

• O algoritmo de programação matemática exige diversas avaliações da função objetivo e

restrições ao longo das iterações, que são fornecidas pelas análises da reposta do contorno.

• As equações gerais para o cálculo das sensibilidades da função objetivo (dissipação viscosa)e suas restrições foram apresentadas utilizando uma notação unificada e compatível com

o desenvolvimento do Método de Elementos Finitos. Foram desenvolvidas as expressões

analíticas necessárias para o cálculo do gradiente da função objetivo e suas restrições. A

diferenciação analítica da função objetivo adicionada de um termo, principalmente pela

escolha inteligente deste termo, reduz consideravelmente o custo computacional para a

solução do problema não-linear do fluido.

• O sistema computacional para otimização de forma implementado mostrou-se bastante

versátil, permitindo analisar inúmeros contornos. Obteve-se sucesso na otimização, tanto

para problemas clássicos da literatura, tais como o caso da cavidade e do difusor, que

apresentam geometrias simples, como também para os que apresentaram geometrias mais

complexas.

139


• Um outro fator relevante, neste trabalho, é a aplicação de malhas não-estruturadas. No

processo de otimização os elementos, das malhas não-estruturadas, vão sendo rearranja-

dos, mantendo o número de elementos, de modo que não degenerem os elementos. Seria

interessante aliar isso a um esquema de refino adaptativo que, com certeza, melhoraria os

resultados. Isto se deve a uma captura mais eficiente das regiões de gradientes elevados. A

utilização do gerador de malhas não-estruturadas é muita adequada no processo iterativo

de otimização.

• A experiência mostrou a importância da utilização de recursos gráficos e iterativos. Estesrecursos permitem que a otimização seja realizada em diversas etapas, aumentando a

eficiência do processo.

A metodologia utilizada neste trabalho mostrou-se bastante eficaz no tratamento dos pro-

blemas de otimização de forma em escoamentos de fluidos que foram propostos. Pode-se observar

ainda que as formas finais dos contornos e superfícies das aplicações estudadas são bastante

suaves.

Finalmente, a seguir são apresentadas algumas sugestões para o desenvolvimento de trabalhos

futuros.

A continuidade deste trabalho dar-se-á através de uma linha incremental, como:

• A aplicação da ferramenta aqui desenvolvida para otimização de forma em escoamentos

turbulentos, compressíveis, bem como em escoamentos de fluidos não-newtonianos, bus-

cando sofisticá-la no quesito de abrangência e complexidade dos escoamentos analisados;

• Desenvolvimento de um Indicador ou Estimador de Erro, que permita o emprego de técni-cas adaptáveis de análise, como a aplicação de refino h-adaptativo no contorno. O emprego

de tal técnica é importante, pois através dela é possível captar melhor regiões críticas de

elevados gradientes, diminuindo assim a difusão numérica em tais regiões. Conseqüente-

mente, obtém-se uma melhor aproximação para a solução do problema;

• A incorporação do software MSC/PATRAN, nas fases de pré e pós processamento do

problema para poder estender a metodologia desenvolvida para problemas tridimensionais

e simular problemas reais;

• Utilização de novos algoritmos de otimização, incluindo pacotes comerciais, com objetivo

de obter melhoria na solução e a comparação do desempenho dos diversos algoritmos de

otimização.

• Aplicar a ferramenta desenvolvida em problemas de biomedicina e biologia. Em particular,em problemas de doenças cardiovasculares (uma das mais importantes causas de morte na

população mundial), buscando obter a solução de modelos mecânico-biológicos altamente

sofisticados capazes de auxiliar importantes procedimentos médicos.

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147

Apêndice A

A Equação de Navier-Stokes

Este apêndice tem o interesse de mostrar resultados relacionados com a existência e

unicidade de solução para a Equação de Navier-Stokes estacionária apresentada no

Capítulo 2. Para este estudo é importante ressaltar três diferenças com o caso linear:

· A introdução de métodos de compacidade. Pois para passar o limite no termo

não-linear precisa-se de resultados de convergência forte e estes são obtidos com

argumentos de compacidade.

· A não-unicidade de solução. A unicidade ocorre somente quando "os dados são

suficientemente pequenos ou a viscosidade suficientemente grande".

· Devido a algumas dificuldades relacionadas com o termo não-linear e com as

inequações de Sobolev, se trata as equações com uma ligeira variação de acordo com a

dimensão do espaço.

Os resultados de existência e unicidade para a equação não-linear de Navier-Stokes

são obtidos por contruções de soluções aproximadas pelo Método de Galerkin. Aqui são

citados as notações, definições, proposições, lemas e os teoremas de existência e unicidade

para as equações de Navier-Stokes em ambos os casos, homogênea e não-homogênea. A

demonstração detalhada pode ser vista em Temam (1991) e Lions (1969).

A.1 Inequações de Sobolev

A.1.1 Notação

Seja Ω um conjunto aberto em nR com contorno Γ .

Seja o operador diferencial

APÊNDICE 148

(.) , (1 )iD i nx

∂= ≤ ≤

∂ (A1)

e se 1( ,..., )nj j j= é um multi-índice, escreve-se o operador diferencial como

[ ]

1

111

... ,...

n

n

jjjj

n jjn

D D Dx x∂

= =∂ ∂

(A2)

onde 1[ ] ( ,..., )nj j j= .

A.1.2 Espaços de Sobolev

Seja Ω um conjunto aberto em nR . Denota-se ( ), 1< < ,pL pΩ +∞ (ou ( )L∞ Ω ), o

espaço de funções reais p-ésima absolutamente integráveis definidas em Ω , para a medida

de Lebesgue 1d d ,...,d nx x x= . Este é o espaço de Banach com a norma

1

( ) ( )( ) d ess.sup ( ) p

pp

L Lx x x∞Ω Ω Ω

Ω

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠∫u u u uou (A3)

No caso de 2p = , 2 ( )L Ω é um espaço de Hilbert com o produto escalar

( ) ( ) ( )dx x xΩ

= ∫u,v u v . (A4)

O espaço de Sobolev , ( )m pW Ω é o espaço de funções em ( )pL Ω com derivadas de

ordem superior ou igual à m em ( )pL Ω , sendo m um número inteiro e 1 .p≤ ≤ ∞ Este é um

espaço de Banach com a norma

,

1

( ) ( )[ ]

m p p

ppj

W Lj m

DΩ Ω

≤

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∑u u . (A5)

No caso de 2p = , ,2 ( ) ( )m mW HΩ = Ω é um espaço de Hilbert com o produto escalar

APÊNDICE 149

( )

[ ]

(( )) ( )mj j

Hj m

D DΩ

≤

= ∑u,v u v . (A6)

Seja ( ) ou ( )Ω ΩD D o espaço de funções C∞ com suporte compacto contido em Ω

(ou Ω ). O fecho de ( )ΩD em , ( )m pW Ω é denotado por ,0 ( )m pW Ω ( 0 ( )mH Ω quando 2p = ).

Seja , ( ), 1, 1m p nW m p∈ ≥ ≤ < ∞Ru então

i. Se ,( ) ( )

1 1 0, ( , , ) ;q n m p nL W

m c m p np n q− = > ≤

R Ru u

ii. Se ,( ) ( )

1 0, ( , , , , ) ,

, , 1 ;

q m p nL O W

n

m c m p n q Op n

O q q

− = ≤

∀ ⊂ ∀ ≤ < ∞

R

R

u u

limitado (A7)

iii. Se 0 ,( ) ( )

1 0, ( , , , ) ,

;

m p nC O W

n

m c m n p Op n

O

− < ≤

∀ ⊂

R

R

u u

limitado

Se Ω é um conjunto de n∀ R , resultados similares aos descritos acima em (A7)

podem ser obtidos se Ω suficientemente suave tal que

“Existe um operador de prolongação

, ,( ( ), ( ))m p m pW WΠ∈ ΩL nR , (A8) linear e contínuo.”

Quando (A8) é satisfeita as propriedade (A7), aplicadas em , ( ), 1, 1 ,m pW m pΠ ∈ Ω ≥ < < ∞u, u podem ser reescritas como

i. Se ,( ) ( )

1 1 0, ( , , , ) ;q m pL W

m c m p np n q Ω Ω− = > ≤ Ωu u

APÊNDICE 150

ii. Se ,( ) ( )

1 0, ( , , , , , ) ,

, 1 , ;

q m pL O W

m c m p n q Op n

q q O

Ω− = ≤ Ω

≤ < ∞ ⊂ Ω

u u

para algum para algum limitado (A9)

iii. Se 0 ,( ) ( )

1 0, ( , , , , , ) ,

m pC O W

m c m p n q Op n

O

Ω− < ≤ Ω

⊂ Ω

u u

para algum limitado;

O caso de interesse particular aqui, é o caso em que 2 e 1p m= = , isto é, o caso 1

0 ( )H Ω . A menos de algumas propriedade de regularidade necessárias para Ω tem-se, para 1

0 ( )H∈ Ωu :

i. 10( ) ( )

2, ( , , ) ,

, , 1 ;

qL Hn c q O

O q qΩ Ω

= ≤ Ω

∀ ⊂ Ω ∀ ≤ < ∞

u u

limitado

ii. 6 10( ) ( )

3, ( ) ;L H

n cΩ Ω

= ≤ Ωu u (A10)

iii. 4 10( ) ( )

4, ( ) ;L H

n cΩ Ω

= ≤ Ωu u

iv. 2 120( ) ( )

4, ( ) .nnL H

n c− Ω Ω≥ ≤ Ωu u

A.1.3 Teorema de Compacidade

Teorema A1: Seja Ω um conjunto aberto e limitado em nR , satisfazendo (A8). Então a

imersão

1, ( )p pW LΩ ⊂ (A11)

é compacta para algum 1 1, 1q q≤ < ∞ se p n≥ e para algum 1 1, 1q q q≤ < se1 p n≤ < .

Para os mesmos valores de p e se 1q , a imersão

1, ( )p pW LΩ ⊂ (A12)

APÊNDICE 151

é compacta para algum conjunto Ω aberto e limitado.

A.1.4 A Equação de Navier-Stokes Homogênea

A seguir as caracterizações dos espacos H e V, utilizados no estudo da equação de

Navier-Stokes no caso homogêneo.

2

10

( ), ( ) 0;( );

( ).

divH LV H

= ∈ Ω⎧⎪ = Ω⎨⎪ = Ω⎩

Du u =V V V

fecho de em

fecho de em

(A13)

Seja Ω Lispschit, um conjunto aberto e limitado em nR com contorno Γ . Seja 2 ( )f L∈ Ω uma função vetorial. Sejam 1( ,..., )nu u=u uma função vetorial e p uma função

escalar, representando a velocidade e a pressão do fluido, respectivamente, definidas em Ω

e satisfazendo as seguintes equações e confições de contorno

1

n

i ii

D grad p fν=

∆ + + = Ω∑u u u em (A14)

0 div = Ω u em (A15)

0 .= Γu em (A16)

Se , e f pu , são funções contínuas satisfazendo (A14)-(A16), então V∈u e, para

cada ,∈v V

(( , )) ( , , ) ( )b fν + =u v u u v ,v (A17)

onde

, 1

( , , ) ( ) d .n

i i j ji j

b D x=

= ∑u v w u v w (A18)

APÊNDICE 152

Para e u v em V a expressão ( , , )b u u v não necessariamente faz sentido e então

uma formulação variacional para (A14)-(A16) é precisa. Para isso, primeiro introduz-se o

espaço

10 ( ) ( ).nV H L= Ω ∩ ΩV fecho de em (A19)

Com certeza 10 ( ) ( )nH LΩ ∩ Ω e V são equipados com a norma

10 ( ) ( )

+ .nH LΩ Ωu u (A20)

Seja a distribuição

: ( ) ( )

,T D

Tϕ ϕΩ →

→ ⟨ ⟩K R Cou

(A21)

linear e contínua. Assim,

( ) ( )T TΩ = Ω´D é uma distribuição sobre (A22)

e

( ), 1plocL pΩ ≤ < ∞ (A23)

é o espaço localmente convexo das funções mensuráveis, equipado com as famílias das semi-

normas

pO O ⊂Ω aberto e limitado , (A24)

onde

1

( )p

p

O

pO x⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ u . (A25)

APÊNDICE 153

Proposição A1: Sejam Ω um conjunto aberto em nR e '1 ,..., , ( ), 1,..., .n if f f f i n= ∈ Ω =D

Uma condição necessária e suficiente é que

', ( )f grad p p= ΩDpara algum em (A26)

tal que

, 0 f⟨ ⟩ = ∀ ∈Vv v . (A27)

Proposição A2: Sejam Ω um conjunto aberto, limitado e Lipschitz em nR , então:

i. Se uma distribuição p têm todas as derivadas de primeira ordem 2,1 , ( ),iD p i n L≤ ≤ Ω em então 2 ( )p L∈ Ω e 2 2( ) ( )

( ) .L Lp c grad pΩ Ω

≤ ΩR

ii. Se uma distribuição p têm todas as derivadas de primeira ordem 1,1 , ( ),iD p i n H −≤ ≤ Ω em então 2 ( )p L∈ Ω e 2 1( ) ( )

( ) .L Hp c grad p −Ω Ω

≤ ΩR

Em ambos os casos, se Ω é um conjunto aberto em nR então 2 ( )locp L∈ Ω .

Formulação variacional

Para Ω limitado e n arbitrário , associa-se com (A14)-(A16) o problema:

Achar V∈u tal que

(( , )) ( , , ) ( ), b f Vν + = ∀ ∈u v u u v ,v v . (A28)

é compacta para algum conjunto Ω aberto e limitado.

É fácil ver que, por (A18) e (A19), que se u e p são funções contínuas satisfazendo

(A14)-(A16) então u satisfaz (A28). Reciprocamente, se V∈u satisfaz (A28) então

APÊNDICE 154

, 0, i ii

D fν⟨− ∆ + − ⟩ = ∀ ∈∑u u u v v V , (A29)

com 1 2 '( ), ( ) ( )ni iH f L D L−∆ ∈ Ω ∈ Ω ∈ Ωu u u e sendo 1 11'n n= − onde

2 22 ( ) ( ).n

ni iL D L−∈ Ω ∈ Ωu u e Assim, de acordo com as Proposições A.1 A.2, existe uma

distribuição 1 ( )locp L∈ Ω , tal que (A14) é satisfeita, então (A15) e (A16) são satisfeitas,

respectivamente, no sentido das distribuições e do Teorema do Traço (Temam, 1991).

Teorema A.2 - Existência: Seja Ω um conjunto limitado em nR e seja 1( ).f H −∈ Ω Então

o problema variacional (A28) tem no mínimo uma solução V∈u e existe uma distribuição 1 ( )locp L∈ Ω tal que (A14)-(A16) são satisfeitas.

Teorema A.3 - Unicidade: Se 4n ≥ e se ν é suficientemente grande ou f suficientemente

pequena, tal que

2'

( )V

c n fν > (A30)

então existe única solução u de (A28).

A.1.5 A Equação de Navier-Stokes Não-Homogênea

Seja Ω um conjunto aberto e limitado em nR . Sejam dadas duas funções vetorias

f φ e , definidas respectivamente em Ω e Γ . Achar u e p tais que

1

n

i ii

D grad p fν=

∆ + + = Ω∑u u u em (A31)

0 div = Ω u em (A32)

.φ= Γu em (A33)

Supondo que Ω é de classe 2C , que 1( )f H −∈ Ω e que φ é dada por

curlφ ξ= (A34)

APÊNDICE 155

onde 2 ( ), ( ), ( )niH D L Lξ ξ ξ ∞∈ Ω ∈ Ω ∈ Ω e curl c denota o operador usual para 2,3n = , para

4, n curl≥ denota um operador linear com coeficientes constantes tal que ( ) 0.div curl ξ =

Se a dimensão do espaço é 2n = , então

2 1

1 2 2

, , : ,

curl u D u D u ucurl D u D u u u

= − Ω→= − =

R

1 1 2

u u

se é uma função escalar;, se uma função vetorial.

(A35)

Teorema A.4 - Existência: De acordo com as hipótes acima, existe no mínimo uma 1( )H∈ Ωu e uma distribuição ( )p Ω em tal que (A31)-(A33) são satisfeitas.

Um resultado semelhante ao Teorema A.3 mostra que para 4n ≥ , ν suficientemente grande e f pequena, existe a unicidade de solução.

Teorema A.5 - Unicidade: Supondo 4n ≥ , e que a norma de φ em

( ), ( 2, ( ) ( ), 2)n nL n L L α∞Ω = Ω Ω >para muda por para algum é suficientemente pequena tal

que

2( ) , 2

b Vνφ ≤ ∀ ∈v, ,v v v (A36)

e ν suficientemente grande tal que

2

'4 ( )

Vc n fν > , (A37)

onde ( )c n é uma constante e

1

.n

i ii

f f Dν φ φ φ=

= + ∆ −∑ , (A38)

Então, há uma única solução , pu de (A31)-(A33).

APÊNDICE 156

Apêndice B

O Elemento T7/C3

A grande motivação para a abordagem via T7/C3 em problemas de dinâmica de

fluidos é a satisfação da condição inf-sup e também chamada como condição de Brezzi-

Babuska, para problemas “mistos”. A satisfação de tal condição, via o elemento T7/C3,

além de garantir unicidade da solução do problema variacional discreto e a estabilidade

numérica, torna desnecessária a incorporação dos parâmetros de estabilidade de mínimos

quadrados, pois estes encarecem muito o custo computacional do problema de dinâmica de

fluidos.

O elemento também mostra vantagens em relação a outros elementos de alto-ordem,

devido a sua simplicidade computacional, eficiência e menos exigência de memória do

computador.

Como se obter o T7/C3? A idéia central é ajustar a cúbica proposta para o nó sete

do elemento T7/C3 de tal forma que fique consistente com a família Lagrangeana de

funções de interpolação.

APÊNDICE 157

O elemento tri-6 fornece as seguintes funções de interpolação:

1

2

3

4

5

6

( , ) (1 2 );( , ) (1 2 );( , ) (1 2 );( , ) 4 ;( , ) 4 ;( , ) 4 ;

ξ ηξ η ξ ξ

ξ η η η

ξ η ξξ η ξη

ξ η η

Ψ = ϒ − ϒ

Ψ = −

Ψ = −

Ψ = ϒ

Ψ =

Ψ = ϒ

(B1)

onde

1 ξ ηϒ = − − . (B2)

Assim, baseado no trabalho de Jan et al (2000), propõem a seguinte cúbica para o

nó 7 situado na baricentro do elemento:

APÊNDICE 158

7 ( , ) 27 .ξ η ξηΨ = ϒ (B3)

Note que os valores das demais funções para o elemento tri-6, não se anulam no nó 7

do elemento T7/C3

1 7 7 2 7 7 3 7 7

4 7 7 5 7 7 6 7 7

1( , ) ( , ) ( , ) ;9

4( , ) ( , ) ( , ) ;9

ξ η ξ η ξ η

ξ η ξ η ξ η

Ψ = Ψ = Ψ = −

Ψ = Ψ = Ψ = (B4)

Onde

7 713

ξ η= = (B5)

Os resultados anteriores levam a concluir que as funções de interpolação para

campos de velocidade ( iΨ ) e pressão ( jΨ ), respectivamente, para o elemento T7/C3,

podem ser apresentadas matricialmente como segue

11

22

33

44

55

66

77

4 / 9

4 / 9

4 / 9

1/9

1 / 9

1 / 9

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 1

−

−

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫ΨΨ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ΨΨ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ΨΨ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= ΨΨ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ΨΨ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪Ψ ⎪Ψ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ΨΨ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

(B6)

Vale ainda observar que

7 7

71 1

3 12 1 1,9 9i i

i i= =

⎛ ⎞Ψ = Ψ + − + Ψ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ (B7)

APÊNDICE 159

ou seja, é consistente com a família de funções de interpolação Lagrangeana, isto é,

( ) 1 ,

0 i j j ij

se i = j;se i j;

ξ η δ⎧

Ψ = = ⎨ ≠⎩ (B8)

onde i e j são valores inteiros positivos. O símbolo ijδ é chamado de Delta de Kronecker

muito usado para simplificar equações em notação indicial.

As expressões das sensibilidades das funções interpolação em relação a ξ e η são

facilmente obtidas, pois são polinômios de segundo grau.

As funções de interpolação podem ser expressas de forma compacta como

( ) ( ) ( ) ( ) ( )7 7 7, , c , , e , , .i i i i = 1,...,6; ξ η ξ η ξ η ξ η ξ ηΨ = Ψ + Ψ Ψ = Ψ (B9)

onde

1 4c , e c , 9 9i ii = 1,2,3; i = 4,5,6.= = − (B10)

Portanto, as expressões para das sensibilidades ficam

( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , 7, 7, 7,, , c , , e , , .i k i k i k k ki = 1,...,6; ξ η ξ η ξ η ξ η ξ ηΨ = Ψ + Ψ Ψ = Ψ (B11)

sendo

, ;k ξ η= (B12)

1 4c , e c , 9 9i ii = 1,2,3; i = 4,5,6.= = − (B13)

APÊNDICE 160

Apêndice C

A Equação de Euler-Lagrange

Teorema Fundamental do Cálculo das Variações: Seja

2

1

21 2[ , ] , ( )

x

xL f x x f x dx= → < +∞∫ com o produto interno 2

1

, ( ) ( )x

xg f g x f x dx= ∫ ;

LL ⊆ um sub-espaço de L equipado com a mesma norma de L, A L⊆ um subconjunto de

L . Se A é denso em L então vale: seja f L∈ tal que , 0f g = , g A∀ ∈ 0f⇒ = .

Dem.: Como A é denso em L então tem-se que 0ε∀ > , f L∀ ∈ , g A∃ ∈ tal que f g ε− < .

Note ainda que

2 ,

, ,

, , , ,

, 2 , , .

f g f g f g

f f g g f g

f f f g g f g g

f f f g g g

− = − −

= − − −

= − − +

= − +

(C1)

Então,

2

2

0 00

2

2 2

2 , , ,

, ,

, , 0, 0.

f g f f g g f g

f f g g

f f f f

ε

ε

ε ε ε

= ≥≥ <

= + − −

≥ + −

≥ − ⇒ ≥ ≥ ∀ >

(C2)

2, 0 0 0f f f f f⇒ = = ⇒ = ⇒ = .

APÊNDICE 161

Funcionais envolvendo funções em 2R e suas derivadas:

Serão considerados aqui funcionais do tipo

( ) ( , , , , , , , , )x y xx xy yx yyI w F x y w w w w w w w dΩ

= Ω∫ , (C3)

onde

2 2

2

2 2

2

; ; ;

; ; .

x xx xy

y yy yx

w w ww w wx x x yw w ww w wy y y x

∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂ ∂

(C4)

Obs.: Para que xy yxw w= é necessário que w seja duas vezes diferenciável e sua

segunda derivada seja contínua.

Sejam Γ - fronteira do domínio Ω e sejam então os conjuntos:

Kinu= w é suficientemente regular e satisfaz as condições de contorno em Γ ;

Varu =η é suficientemente regular e 0η = em Γ .

Seja agora a função arbitrária w que pode ser expressa como

( , ) ( , ) ( , )w x y w x y x yεη= + , conseqüentemente:

( ) ( , , , , , , , , )x y xx xy yx yyI F x y w w w w w w w dεΩ

= Ω∫ . (C5)

A condição necessária de otimalidade para um caminho extremo (máximo ou

mínimo) ( , )w x y é dado por:

0

0

( ) (0)lim 0dI I Id ε

ε

εε ε→

=

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

, (C6)

APÊNDICE 162

ou seja,

0

1lim ( , , , , , , , , ) ( , , , , , , , , ) 0x y xx xy yx yy x y xx xy yx yyF x y w w w w w w w F x y w w w w w w w dε ε Ω→

⎧ ⎫⎡ ⎤− Ω =⎨ ⎬⎣ ⎦⎩ ⎭∫

η∀ ∈Varu (C7)

Obs.: Considera-se que F(.) seja suficientemente regular de tal forma que

0(.) (.)F Fεε

→⎯⎯⎯→ uniformemente.

0

( , , , , , , , , ) ( , , , , , , , , )lim 0x y xx xy yx yy x y xx xy yx yyF x y w w w w w w w F x y w w w w w w w

dε εΩ →

−⎡ ⎤Ω =⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ (C8)

2

0

( )lim 0x y xx xy yx yyx y xx xy yx yy

F F F F F F F o dw w w w w w wε

εη η η η η η ηεΩ →

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∴ + + + + + + + Ω =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ (C9)

2

0

( )lim 0x y xx xy yx yyx y xx xy yx yy

F F F F F F F o dw w w w w w wε

εη η η η η η ηεΩ →

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∴ + + + + + + + Ω =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ (C10)

0x y xx xy yx yyx y xx xy yx yy

F F F F F F F dw w w w w w wη η η η η η η

Ω

⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂∴ + + + + + + Ω =⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦∫ , (C11)

η∀ ∈Varu

Note ainda que

APÊNDICE 163

;

;

xx x x

yy y y

F F Fx w x w w

F F Fy w y w w

η η η

η η η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(C12)

;

,

xx x x

yy y y

F F Fx w x w w

F F Fy w y w w

η η η

η η η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e pela aplicação do Teorema de Green, tem-se

(.) (.) ;

(.) (.) .

x

y

d n dx

d n dy

Ω Γ

Ω Γ

∂Ω = Γ

∂

∂Ω = Γ

∂

∫ ∫

∫ ∫

(C13)

Como resultado pode-se escrever

;

.

x xx x x

y yy y y

F F Fd n d dw w x w

F F Fd n d dw w y w

η η η

η η η

Ω Γ Ω

Ω Γ Ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂Ω = Γ − Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂Ω = Γ − Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

(C14)

Os termos associados as derivadas de segunda ordem podem ser determinados como:

APÊNDICE 164

2

2

;

,

x x xxxx xx xx

xxx xx xx

F F Fx w x w w

F F Fx x w x w x w

η η η

η η η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ = +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

(C15)

ou seja,

2

2 .xx xxx xx xx xx

F F F Fw x w x x w x w

η η η η⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

(C16)

Por analogia

2

2yy yyy yy yy yy

F F F Fw y w y y w y w

η η η η⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

. (C17)

O termo cruzado xyw pode ser determinado por

2

;

,

x x xyxy xy xy

xxy xy xy

F F Fy w y w w

F F Fx y w x y w y w

η η η

η η η

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪ = +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

(C18)

ou seja,

2

xy xxy xy xy xy

F F F Fw y w x y w x y w

η η η η⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪= − +⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

. (C19)

Integrando estes termos em Ω e aplicando o teorema de Green, obtém-se:

APÊNDICE 165

2

2

2

2

;

;

xx x x xxx xx xx xx

yy y y yyy yy yy yy

xy x yxy xy

F F F Fd n d n d dw w x w x w

F F F Fd n d n d dw w y w y w

F Fd nw w

η η η η

η η η η

η η

Ω Γ Γ Ω

Ω Γ Γ Ω

Ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ω = Γ − Γ + Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ω = Γ − Γ + Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤∂ ∂Ω = ⎢ ⎥

∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫2

2

;

.

xxy xy

yx y x yyx yx yx yx

F Fd n d dy w x y w

F F F Fd n d n d dw w x w y x w

η η

η η η η

Γ Γ Ω

Ω Γ Γ Ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂Γ − Γ + Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂Ω = Γ − Γ + Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

(C20)

Finalmente

2 2 2 2

2 2x y xx yy xy yx

x y x xx y xx yy

F F F F F F F dw x w y w x w y w x y w y x w

F F F Fn d n d n dw w w w

η

η η η η

Ω

Γ Γ Γ

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ ⎪− − + + + + Ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂

+ Γ + Γ + Γ +⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∫

∫ ∫ ∫

0,

y y x yxy

y x x y xyx xx yy xy

yyx

Fn d n dw

F F F Fn d n d n d n dw x w y w y w

F n dx w

η

η η η η

η

Γ Γ

Γ Γ Γ Γ

Γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂Γ + Γ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ Γ − Γ − Γ − Γ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤∂ ∂

− Γ =⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫

η∀ ∈Varu (C21)

Como 0η = em Γ e arbitrário no interior de Ω , determinou-se então a equação de

Euler-Lagrage associada ao funcional

2 2 2 2

2 2 0x y xx yy xy yx

F F F F F F Fw x w y w x w y w x y w y x w

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂− − + + + + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(C22)

( , ) int( )x y∀ ∈ Ω .

APÊNDICE 166

Onde as condições de contorno (essenciais e naturais) são obtidas pela aplicação do

Teorema fundamental do Cálculo das Variações nas parcelas do contorno, uma vez que

η∈Varu.

Definindo agora:

uΓ - parte do domínio onde estão prescritas as condições de contorno essenciais.

tΓ - parte do domínio onde estão prescritas os fluxos / tensões / etc.

Γ - fronteira do domínio Ω , u tΓ = Γ Γ∪ e u tΓ Γ = ∅∩ .

Sejam então os conjuntos

Kinu= v é suficientemente regular e satisfaz as condições de contorno em uΓ ;

Varu= v é suficientemente regular e ˆ 0v = em uΓ .

Assim tem-se para o caso da equação de Navier-Stokes para fluidos Newtonianos e

em regime permanente, a obtenção é feita a partir da aplicação da condição de

estacionaridade no funcional característico. Note que as parcelas convectivas são

incorporadas de forma indireta. O funcional fica então

, , ,1 1( , , , ) ( )2 2i ij ij i j j i ij ij i i i i ijkl kl ij i iI v d T p v v d T f v v p A d d d h v dρ ρ

Ω Γ

⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − − + Ω− Γ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ∫ , (C23)

onde iv é o vetor velocidade, ijd é o tensor deformação, ijT é o tensor dado pela equação

constitutiva para fluidos Newtonianos ( ij ijkl klT A d= ), p é a pressão e Ω é o domínio

ocupado pelo fluido. As equações de Euler-Lagrange neste caso ficam:

APÊNDICE 167

, ,

, ,

,

ˆ ˆ[ ( ) ] 0 [ ] 0

ˆ 0

1 ˆ( ) 02

ˆ 0.

ij j ij j i i ij ij i i i

ij ijkl kl ij

i j j i ij ij

i i

T p f v d T p n h v d

T A d d d

v v d T d

v pd

δ ρ δ ρΩ Γ

Ω

Ω

Ω

− − Ω = ⇒ − − Γ =

⎡ ⎤− + Ω =⎣ ⎦

⎛ ⎞+ − Ω =⎜ ⎟⎝ ⎠

Ω =

∫ ∫∫

∫

∫

(C24)

Note que da primeira equação de Euler-Larange fazendo a componente if igual a

parcela da aceleração convectiva ,j i jv v , tira-se a equação de equilíbrio (Navier-Stokes).

Perceba ainda que aqui desprezou-se o termo relativo as forças de corpo, ou seja, tira-se

diretamente o problema apresentado em 2.1, com todas as condições de contorno. As

demais equações fazem referência a imposição, de forma fraca, das propriedades de

deformação e tensão para fluidos Newtonianos, bem como de incompressibilidade. Vale

ressaltar ainda que 2ˆ ˆ ˆ, , ( )ij ijd T p L∈ Ω e i uv ∈Var .

APÊNDICE 168

Apêndice D

O Teorema de Kuhn-Tucker

O objetivo deste apêndice demonstrar o teorema das condições de otimalidade

impostas ao problema de otimização no Capítulo 3.

Definição: Seja S um conjunto não vazio em nR , e tome *x S∈ (fecho de S). O cone das

tangentes de S em *x , denotado por T, é o conjunto de todas as direções d tais que *lim ( )k kk

d x xλ→∞

= − , onde 0kλ ≥ , kx S∈ para cada k, e *kx x→ .

Teorema D.1: Seja S um conjunto não vazio em nR , e tome *x S∈ . Suponha ainda que

: nf →R R é diferenciável em *x . Se *x localmente resolve o problema de minimizar

( )f x sujeito a x S∈ , então oF T = ∅∩ , onde : ( ) 0ToF d f x d= ∇ < , e T é o cone das

tangentes de S em *x .

Dem.: Tome d T∈ , então *lim ( )k kkd x xλ

→∞= − , onde 0kλ ≥ , kx S∈ para cada k, e *

kx x→ .

Tem-se agora que

* * * * * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ; )Tk k k kf x f x f x x x x x r x x x− = ∇ − + − − , (D1)

onde * *( ; ) 0kr x x x− → , quando *kkx x→∞⎯⎯⎯→ . Observando a otimalidade local de *x , para k

suficientemente grande, tem-se *( ) ( )kf x f x≥ , logo

* * * * *( ) ( ) ( ; ) 0Tk k kf x x x x x r x x x∇ − + − − ≥ . (D2)

APÊNDICE 169

Multiplicando tal resultado por 0kλ > e tomando o limite quando k →∞ , a

inequação acima implica que *( ) 0Tf x d∇ ≥ . Mostrou-se então que d T∈ implica em *( ) 0Tf x d∇ ≥ , logo dada a definição de oF , tem-se oF T = ∅∩ .

Teorema D.2: Seja S um conjunto não vazio fechado e convexo em nR , e y S∉ . Então

existe um único ponto *x S∈ cuja a distância a y é mínima. Além disto *x é o ponto

mínimo se e somente se * *( ) ( ) 0,Tx x x y x S− − ≥ ∀ ∈ .

Dem.: Divide-se, didaticamente, esta demonstração em quatro tópicos:

i) Existência: Toma-se inicialmente inf : 0y x x S γ− ∈ = > .Existe uma seqüência kx

em S tal que kky x γ→∞− ⎯⎯⎯→ . Será demonstrado que kx tem limite *x S∈ , mostrando

que kx é uma seqüência de Cauchy. Como conseqüência da regra do paralelogramo tem-

se

2 2 2 2

22 2 2

2 2 2

2 2 4 .2

k m k m k m

k mk m k m

x x x y x y x x y

x xx x x y x y y

− = − + − − + −

+∴ − = − + − − −

(D3)

Note que 2

k mx x S+∈ , e por definição

22

2k mx x y γ+

− ≥ , entâo

2 2 2 22 2 4k m k mx x x y x y γ− ≤ − + − − . (D4)

Escolhendo k e m suficientemente grandes, de tal modo que kx y− e mx y− seja

suficientemente próximos de γ , e então fazendo com que 2k mx x− possa ser

suficientemente próximos de zero. Então kx é uma seqüência de Cauchy e

conseqüentemente tem um limite *x , e como S é fechado então *x S∈ .

APÊNDICE 170

ii) Unicidade: Suponha que exista um '*x S∈ tal que

'* *y x y x γ− = − = . Pela

convexidade '* *

2x x S+

∈ , aplicando a desigualdade de Schwartz, tem-se

'* *

'* *1 12 2 2

x xy y x y x γ+− ≤ − + − = . (D5)

Se a desigualdade for estrita viola-se a definição de γ . Então a igualdade é assegurada e

tem-se ainda que

2 2 22' ' ' '* * * * * * * *

' ' '* * 2 * * * *

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

T

T T T

x x y x y x y x y x y x y xy

y x y x y x y x y x y xγ

+ − + − − − − −− = = + +

∴ − − = = − − = − −

(D6)

Então pode-se escrever

' '* * * *'* * *

2'' ' * ** * *

[( ) ( )] [( ) ( )] 0( ) [( ) ( )] 0

( ) ( ) 0.( ) [( ) ( )] 0

TT

T

y x y x y x y xy x y x y x

y x y xy x y x y x

− − − − − − =⎧ − − − − =⎪ ⇒⎨∴ − − − =− − − − =⎪⎩

(D7)

Donde 2' ' '* * * * * *0 0x x x x x x− = ⇒ − = ⇒ = .

iii) Necessidade: Seja x S∈ , então

2 2 22 * * * * * *2( ) ( )Ty x y x x x y x x x y x x x− = − + − = − + − + − − , (D8)

como 2* 0x x− ≥ e * *( ) ( ) 0Tx x y x− − ≥ , por hipótese então

22 * ,y x y x x S− ≥ − ∀ ∈ e *x

é o ponto de mínimo.

APÊNDICE 171

iv) Suficiência: Tomando x S∈ e notando que * *( )x x x Sλ+ − ∈ para 0λ > e

suficientemente pequeno, então

2 2* * *( )y x x x y xλ− − − ≥ − , (D9)

também,

2 2 2* * * 2 * * *( ) 2 ( ) ( )Ty x x x y x x x x x y xλ λ λ− − − = − + − + − − . (D10)

Então 22 * * *2 ( ) ( ) 0Tx x x x y xλ λ− + − − ≥ , para todo 0λ > e suficientemente pequeno.

Dividindo-se por λ e tomando 0λ → , o resultado segue.

Teorema D.3: Seja S um conjunto não vazio fechado e convexo em nR , e y S∉ . Então

existe um vetor p e um escalar α , tais que Tp y α> e Tp x α≤ para todo x S∈ .

Dem.: Pelo teorema anterior tem-se que existe um único mínimo *x S∈ tal que * *( ) ( ) 0Tx x y x− − ≤ para cada x S∈ . Note que

2* * * * * *( ) ( ) ( ) ( )TT Ty x y x y x y y x x y x− = − − = − + − , (D11)

mas,

* * *( ) ( ),T Tx y x x y x x S− − ≤ − − ∀ ∈ . (D12)

Então

2*( ) ,Tp y x y x x S− ≥ − ∀ ∈ , (D13)

onde * 0p y x= − ≠ . Isto mostra que 2*T Tp y p x y x≥ + − para cada x S∈ . Então para

completar a demonstração basta que se tome sup : Tp x x Sα = ∈ .

APÊNDICE 172

Teorema D.4 (Teorema de Farkas): Seja A uma matriz m x n e c um vetor de dimensão n.

Então um dos dois sistemas que se seguem tem uma solução

Sistema 1: 0Ax ≤ e 0Tc x > , para algum nx∈R ;

Sistema 2: TA y c= e 0y ≥ , para algum my∈R .

Dem.: Suponha que o sistema 2 tenha uma solução, então existe um 0y > tal que Ay c= .

Tome x tal que 0Ax ≤ , então 0T Tc x y Ax= ≤ , o que implica que o sistema 1 não tem

solução. Suponha agora que o sistema 2 não tenha solução, seja então o conjunto

: , 0TS x x A y y= = ≥ . Note que S é fechado e convexo e que c S∉ . Então existe um vetor np∈R e um escalar α , tais que Tp c α> e Tp x α≤ para todo x S∈ . Como 0 S∈ , então

0 α≤ e 0Tp c > . Também T T Tp A y y Apα ≥ = para todo 0y ≥ . Como 0y ≥ , pode-se fazê-lo

tão grande quanto se queira, então a última desigualdade implica que 0Ap ≤ . Logo

construiu-se um vetor np∈R tal que 0Ap ≤ e 0Tp c > . Então sistema 1 tem uma

solução.

Teorema de Kuhn-Tucker: Seja *x um ponto regular de X o qual é solução de

. .min ( )

,t q

f x

x S∈ (D14)

onde : ( ) 0, 1,..., jS x X g x onde j m= ∈ ≤ = . Seja (.)L a função Lagrangeana definida por:

1

( , ) ( ) ( )m

j jj

L x u f x u g x=

= +∑ . (D15)

Então existe * mu ∈R tal que

APÊNDICE 173

* * * * *

1

*

*

* *

( , ) ( ) ( ) 0,

,

( ) 0,0, 1,..., .

( ) 0,

m

j jj

j

j

j j

L x u f x u g x

onde

g xu para j m

u g x

=

∇ = ∇ + ∇ =

⎧ ≤⎪ ≥ =⎨⎪ =⎩

∑

(D16)

Dem.: Pelo teorema D.1 sabe-se que oF T = ∅∩ , onde : ( ) 0ToF d f x d= ∇ < , assumindo

'T G= , onde ' : ( ) 0, TiG d g x d i I= ∇ ≤ ∈ e * : ( ) 0iI i g x= = , então '

oF G = ∅∩ . Em outras

palavras o sistema que se segue não tem solução,

*

*

( ) 0;

( ) 0, .

T

Ti

f x d

g x d onde i I

∇ <

∇ ≤ ∈ (D17)

Portanto o resultado decorre diretamente do teorema de anterior (teorema de Farkas).

APÊNDICE 174

Apêndice E

O Método de Newton

O método de Newton puro utilizado na solução de sistemas de equações não lineares

tem um grave inconveniente que é a tendência de não convergir caso o ponto inicial não

seja suficientemente próxima da solução. Um método global é aquele que para todo ponto

inicial converge para a solução. O essencial da idéia aqui usada é combinar a rápida

convergência local do método de Newton com a estratégia de convergência global que

garantirá que o processo siga para a solução em cada interação.

Recordando-se do passo de Newton para o conjunto de equações

( ) 0F x = , (E1)

onde 1( ,..., ) 0i nF x x = , com i=1,...,n, tem-se então

2

1

( ) ( ) ( )n

ii i j

j j

FF x x F x x o xx

δ δ δ=

∂+ = + +

∂∑ , (E2)

sendo a matriz das derivadas parciais a matriz Jacobiana:

iij

j

FJx∂

=∂

. (E3)

Assim tem-se

2( ) ( ) . ( )F x x F x J x o xδ δ δ+ = + + . (E4)

APÊNDICE 175

Desprezando o termo de ordem 2xδ e impondo ( ) 0F x xδ+ = , obtém-se o conjunto

de equações que serão responsáveis pela atualização de xδ , assim

.J x Fδ = − , (E5)

onde o sistema acima é resolvido por decomposição LU ( J LU= ) :

.( . ) . .L U x F L y F U x yδ δ= − ⇒ = − ⇒ = . (E6)

As correções são então adicionadas ao vetor solução, determinando assim o próximo

passo

1k kx x xδ−= + , (E7)

na k – ésima interação. Uma estratégia razoável é requerer a minimização de f , dada por

12

f F F= ⋅ . (E8)

Note porém que a solução para ( ) 0F x = implica na minimização de f. Porém, pode

haver um mínimo local de f que não solucione ( ) 0F x = . Então a simples minimização pelo

passo de Newton puro de f não é uma boa idéia.

Para desenvolver uma estratégia melhor, note que o passo de Newton é uma direção

de descida para a função f

1( . ).( . ) . 0f x F J J F F Fδ −∇ ⋅ = − = − < . (E9)

Então a estratégia será a seguinte: Sempre se tentará primeiro o passo de Newton

puro, porque uma vez próximo da solução, o suficiente, tem-se garantida a convergência

quadrática, sob certas condições. Será checado a cada interação se o passo de Newton puro

reduz f, caso contrário faz-se uma busca linear (“backtracking”) sobre a direção de Newton

puro, até que se tenha um passo aceitável. Além do que a direção de Newton puro é uma

APÊNDICE 176

direção de descida para f , daí tem-se, então, a garantia de se encontrar um passo aceitável

pelo backtracking.

Perceba ainda que este método minimiza f por tomar passos de Newton que levam F

para zero (vetor nulo), o que não equivale a minimizar f com passos de Newton que levem

o f∇ para zero.

Tomando o passo de Newton puro por d xδ= , para uma interação k tem-se

1 , 0 1k k kx x dλ λ−= + < ≤ . (E10)

É necessário encontrar λ tal que faça com que 1( )kf x dλ− + decresça o suficiente.

Daí vem a pergunta: que critério(s) adotar para que o passo seja aceitável ?. Para isto

tem-se as chamadas condições de Wolfe:

i) Armijo: 1 1 1( ) ( ) .( )k k k kf x f x C f x xλ− −≤ + ∇ − ;

ii) Curvatura: 2 1 1 2( ) ( ) , 0 1T Tk k k kf x d C f x d C C−∇ ≥ ∇ < < < .

Todavia a segunda condição de Wolfe (curvatura), na prática não foi imposta. A

busca linear aqui utilizada foi baseada em interpolações de funções conhecidas e suas

derivadas, as quais fortalecerão a condição de Armijo. Tais funções serão melhor descritas

mais adiante. Seguindo recomendações da literatura utilizou-se 41 10C − . A estratégia na

prática para o “backtracking” foi

1 1( ) : ( ) '( ) [ ( ). ]k kg f x d g f x dλ λ λ λ− −= + ⇒ = ∇ , (E11)

onde tem-se que achar λ , o qual minimiza o modelo que será construído a seguir. Tem-se

já calculados (0)g e '(0)g , e como o primeiro passo é o passo de Newton puro, então tem-

APÊNDICE 177

se também 0( 1)g λ = . Inicialmente será considerado 0 1λ = , para o qual será avaliada a

condição de Armijo. Caso esta condição não seja satisfeita é construído então um modelo

quadrático de ( )g λ

20 020

( ) (0) '(0)( ) '(0) (0)g g gg g gλ λλ λ λλ

⎡ ⎤− −≈ + +⎢ ⎥⎣ ⎦

, (E12)

donde encontra-se como mínimo:

20

0 0

'(0)2[ ( ) (0) '(0)]

gg g g

λλλ λ

= −− −

. (E13)

Em um segundo e subseqüentes backtracks, caso necessários, utiliza-se uma

aproximação cúbica para g , usando o valor prévio de 0( )g λ e um segundo mais recente

1( )g λ

3 2( ) '(0) (0)g a b g gλ λ λ λ= + + + . (E14)

Obs.: Dado um intervalo [c,q] conhecido (para o presente caso [ 0,1 ; 0,5 ]), que

contenha os comprimentos dos passos aceitáveis, tem-se que esta função cúbica sempre

existe e é única.

Determina-se assim a e b, bem como 2λ , e deste modo o processo se repete até que

“rmijo seja satisfeita. Caso kλ seja muito próximo de 1kλ − ou muito menor que este, impõe-

se então que 112k kλ λ −= . Tem-se então para a minimização da cúbica

2 11 1

1 2

'( )( )'( ) '( ) 2

kk k k k

k k

g s sg g s

λλ λ λ λλ λ+ −

−

⎡ ⎤+ −= − − ⎢ ⎥− +⎣ ⎦

, (E15)

onde

APÊNDICE 178

11 1

1

2 22 1 1

( ) ( )'( ) '( ) 3 ;

[ '( ) '( )] .

k kk k

k k

k k

g gs g g

s s g g

λ λλ λλ λ

λ λ

−−

−

−

−= + −

−

= −

(E16)

A interpolação cúbica é uma poderosa estratégia já que pode produzir uma taxa de

convergência quadrática na interação acima descrita para o processo de minimização de λ .

desenvolvimento de uma metodologia integrada para

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