Gonccedilalo Magalhatildees Mota de Oliveira Barreto

Licenciado em Ciecircncias de Engenharia Fiacutesica

Desenvolvimento de um Sistema para a Mediccedilatildeodo Efeito Electrooacuteptico

Dissertaccedilatildeo para obtenccedilatildeo do Grau de Mestre emEngenharia Fiacutesica

Orientador Paulo Antoacutenio Martins Ferreira RibeiroProf Auxiliar Universidade Nova de Lisboa

Co-orientadora Maria de Faacutetima Guerreiro da Silva CamposRaposo Prof Auxiliar Universidade Nova deLisboa

Juacuteri

Presidente Doutora Maria Isabel Simotildees CatarinoArguente Doutor Alexandre Cabral

Vogal Doutor Paulo Antoacutenio Martins Ferreira Ribeiro

Setembro 2015

Desenvolvimento de um Sistema para a Mediccedilatildeo do Efeito Elec-trooacuteptico

Copyright copy Gonccedilalo Magalhatildees Mota de Oliveira Barreto Faculdade de Ciecircncias

e Tecnologia Universidade NOVA de Lisboa

A Faculdade de Ciecircncias e Tecnologia e a Universidade NOVA de Lisboa tecircm o

direito perpeacutetuo e sem limites geograacuteficos de arquivar e publicar esta dissertaccedilatildeo

atraveacutes de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital ou

por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado e de a divulgar

atraveacutes de repositoacuterios cientiacuteficos e de admitir a sua coacutepia e distribuiccedilatildeo com

objetivos educacionais ou de investigaccedilatildeo natildeo comerciais desde que seja dado

creacutedito ao autor e editor

Este documento foi gerado utilizando o processador (pdf)LATEX com base no template ldquounlthesisrdquo [1] desen-volvido no Dep Informaacutetica da FCT-NOVA [2] [1] httpsgithubcomjoaomlourencounlthesis [2]httpwwwdifctunlpt

Desenvolvimento de um Sistema para a Mediccedilatildeo do Efeito Elec-trooacuteptico

Copyright copy Gonccedilalo Magalhatildees Mota de Oliveira Barreto Faculdade de Ciecircncias

e Tecnologia Universidade NOVA de Lisboa

A Faculdade de Ciecircncias e Tecnologia e a Universidade NOVA de Lisboa tecircm o

direito perpeacutetuo e sem limites geograacuteficos de arquivar e publicar esta dissertaccedilatildeo

atraveacutes de exemplares impressos reproduzidos em papel ou de forma digital ou

por qualquer outro meio conhecido ou que venha a ser inventado e de a divulgar

atraveacutes de repositoacuterios cientiacuteficos e de admitir a sua coacutepia e distribuiccedilatildeo com

objetivos educacionais ou de investigaccedilatildeo natildeo comerciais desde que seja dado

creacutedito ao autor e editor

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Agradecimentos

Em primeiro lugar gostaria de agradecer ao meu orientador Professor Doutor

Paulo Ribeiro pela sua enorme disponibilidade e apoio durante a elaboraccedilatildeo desta

dissertaccedilatildeo

Agrave minha co-orientadora a Professora Doutora Maria de Faacutetima Raposo pela

sua ajuda especialmente no esclarecimento de algumas duacutevidas do ponto de vista

teoacuterico

Ao Gonccedilalo Tomaacutes e ao Filipe Bernardo pela sua assistecircncia na aacuterea de instru-

mentaccedilatildeo e informaacutetica

Agradeccedilo agraves oficinas do Departamento de Fiacutesica especialmente ao Faustino

pela fabricaccedilatildeo da maioria das peccedilas mecacircnicas utilizadas

Agradeccedilo ainda ao Senhor Mesquita pelo fornecimento e ajuda com algum do

equipamento electroacutenico utilizado

Por uacuteltimo agradeccedilo agrave minha famiacutelia em especial agrave minha matildee e ao meu

irmatildeo por me terem sempre apoiado e ajudado ao longo deste curso

v

Resumo

Foi desenvolvido um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electroacuteptico em meios

oacutepticos com propriedades de oacuteptica natildeo-linear O sistema baseia-se numa teacutecnica

interferomeacutetrica implementada atraveacutes de um interferoacutemetro de Michelson fun-

cionando em modo de transmissatildeo no qual se mede a diferenccedila de fase entre os

ramos do interferoacutemetro gerada pelo efeito electroacuteptico numa amostra onde eacute

aplicado um potencial eleacutetrico O coeficiente electroacuteptico a ser medido pode ser

escolhido pela aplicaccedilatildeo do sinal eleacutectrico de uma amostra na direccedilatildeo adequada

bem como do alinhamento desta num porta-amostras O sistema foi calibrado

usando um cristal com propriedades oacutepticas natildeo-lineares padratildeo o fosfato de

dihidrogeacutenio e potaacutessio tendo sido utilizado o coeficiente electroacuteptico r63 como

referecircncia O valor medido experimentalmente foi de 105plusmn 02pmV pelo que o

valor tabelado se encontra dentro desta medida A bancada oacuteptica implementada

revelou tambeacutem estabilidade no que diz respeito ao ruiacutedo ambiente Este sistema

seraacute utilizado no futuro para a mediccedilatildeo de coeficientes electroacutepticos em filmes

finos polimeacutericos que contenham cromoacuteforos com polarizabilidades electroacutenicas

natildeo-lineares elevadas

Palavras-chave Oacuteptica Efeito electrooacuteptico Modulaccedilatildeo de luz Interferoacutemetria

Interferoacutemetro de Michelson

vii

Abstract

A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-

rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-

ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase

difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index

change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-

nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by

conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample

holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium

dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The

attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-

ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise

This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-

cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores

Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-

son interferometer

ix

Iacutendice

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xv

1 Introduccedilatildeo 1

2 Efeito Electrooacuteptico 3

21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5

221 Vector de Poynting 7

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9

223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12

3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15

31 Meacutetodo Tradicional 15

32 Meacutetodos por Interferometria 17

321 Interferometria Oacuteptica 17

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19

323 Interferoacutemetro de Michelson 20

4 Sistema Implementado 23

41 Interferoacutemetro 23

42 Electroacutenica Desenvolvida 24

421 Amplificador 24

422 Gerador de Rampa 25

423 Seguidor de Tensatildeo 27

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28

431 Espelho Vibrante 28

432 Bancada Oacuteptica 29

433 Detector 29

434 Cristal Electrooacuteptico 31

xi

IacuteNDICE

435 Porta Amostras 32

44 Coeficiente Electrooacuteptico 35

45 Execuccedilatildeo Experimental 36

46 Resultados 39

5 Conclusotildees 43

Bibliografia 45

A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47

xii

Lista de Figuras

21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8

22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11

31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado

de [9]) 16

32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva

completa (b) 17

33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-

tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro

(adaptado de [11]) 18

34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19

35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com

interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21

41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-

lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24

42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-

ficador operacional LF356n 25

43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no

circuito temporizador NE555 26

44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos

amplifacores operacionais LF356n 27

45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28

46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28

47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi

construiacutedo 29

48 Imagem do detector e disco utilizado 30

49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de

iacutendices 31

410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32

xiii

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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sidade Federal de Alagoas 2013

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45

Resumo

Foi desenvolvido um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electroacuteptico em meios

oacutepticos com propriedades de oacuteptica natildeo-linear O sistema baseia-se numa teacutecnica

interferomeacutetrica implementada atraveacutes de um interferoacutemetro de Michelson fun-

cionando em modo de transmissatildeo no qual se mede a diferenccedila de fase entre os

ramos do interferoacutemetro gerada pelo efeito electroacuteptico numa amostra onde eacute

aplicado um potencial eleacutetrico O coeficiente electroacuteptico a ser medido pode ser

escolhido pela aplicaccedilatildeo do sinal eleacutectrico de uma amostra na direccedilatildeo adequada

bem como do alinhamento desta num porta-amostras O sistema foi calibrado

usando um cristal com propriedades oacutepticas natildeo-lineares padratildeo o fosfato de

dihidrogeacutenio e potaacutessio tendo sido utilizado o coeficiente electroacuteptico r63 como

referecircncia O valor medido experimentalmente foi de 105plusmn 02pmV pelo que o

valor tabelado se encontra dentro desta medida A bancada oacuteptica implementada

revelou tambeacutem estabilidade no que diz respeito ao ruiacutedo ambiente Este sistema

seraacute utilizado no futuro para a mediccedilatildeo de coeficientes electroacutepticos em filmes

finos polimeacutericos que contenham cromoacuteforos com polarizabilidades electroacutenicas

natildeo-lineares elevadas

Palavras-chave Oacuteptica Efeito electrooacuteptico Modulaccedilatildeo de luz Interferoacutemetria

Interferoacutemetro de Michelson

vii

Abstract

A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-

rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-

ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase

difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index

change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-

nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by

conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample

holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium

dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The

attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-

ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise

This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-

cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores

Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-

son interferometer

ix

Iacutendice

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xv

1 Introduccedilatildeo 1

2 Efeito Electrooacuteptico 3

21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5

221 Vector de Poynting 7

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9

223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12

3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15

31 Meacutetodo Tradicional 15

32 Meacutetodos por Interferometria 17

321 Interferometria Oacuteptica 17

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19

323 Interferoacutemetro de Michelson 20

4 Sistema Implementado 23

41 Interferoacutemetro 23

42 Electroacutenica Desenvolvida 24

421 Amplificador 24

422 Gerador de Rampa 25

423 Seguidor de Tensatildeo 27

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28

431 Espelho Vibrante 28

432 Bancada Oacuteptica 29

433 Detector 29

434 Cristal Electrooacuteptico 31

xi

IacuteNDICE

435 Porta Amostras 32

44 Coeficiente Electrooacuteptico 35

45 Execuccedilatildeo Experimental 36

46 Resultados 39

5 Conclusotildees 43

Bibliografia 45

A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47

xii

Lista de Figuras

21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8

22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11

31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado

de [9]) 16

32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva

completa (b) 17

33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-

tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro

(adaptado de [11]) 18

34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19

35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com

interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21

41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-

lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24

42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-

ficador operacional LF356n 25

43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no

circuito temporizador NE555 26

44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos

amplifacores operacionais LF356n 27

45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28

46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28

47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi

construiacutedo 29

48 Imagem do detector e disco utilizado 30

49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de

iacutendices 31

410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32

xiii

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

Abstract

A system for measuring the electro-optical activity of nonlinear-optical mate-

rials has been developed The system is based on a scanning Michelson interfer-

ometer working in transmission mode allowing the measurement of the phase

difference between the arms of the interferometer as a result of refractive index

change due to electro-optical effect induced in a sample through an applied exter-

nal electrical field The electro-optical coefficient to be measured can be chosen by

conveniently electroding and adequately aligning the sample in a proper sample

holder The system was calibrated with a standard nonlinear-optical potassium

dihydrogen phosphate crystal with respect to r63 electro-optical coefficient The

attained value of 105plusmn02pmV falls within the 1 of the expected standard val-

ues In addition the system revealed to be stable to overall environmental noise

This system will be used in the future for measuring the electro-optical coeffi-

cients of novel polymeric thin films containing nonlinear-optical chromophores

Keywords Optics Electro-optic effect Light modulation Interferometry Michel-

son interferometer

ix

Iacutendice

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xv

1 Introduccedilatildeo 1

2 Efeito Electrooacuteptico 3

21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5

221 Vector de Poynting 7

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9

223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12

3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15

31 Meacutetodo Tradicional 15

32 Meacutetodos por Interferometria 17

321 Interferometria Oacuteptica 17

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19

323 Interferoacutemetro de Michelson 20

4 Sistema Implementado 23

41 Interferoacutemetro 23

42 Electroacutenica Desenvolvida 24

421 Amplificador 24

422 Gerador de Rampa 25

423 Seguidor de Tensatildeo 27

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28

431 Espelho Vibrante 28

432 Bancada Oacuteptica 29

433 Detector 29

434 Cristal Electrooacuteptico 31

xi

IacuteNDICE

435 Porta Amostras 32

44 Coeficiente Electrooacuteptico 35

45 Execuccedilatildeo Experimental 36

46 Resultados 39

5 Conclusotildees 43

Bibliografia 45

A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47

xii

Lista de Figuras

21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8

22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11

31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado

de [9]) 16

32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva

completa (b) 17

33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-

tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro

(adaptado de [11]) 18

34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19

35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com

interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21

41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-

lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24

42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-

ficador operacional LF356n 25

43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no

circuito temporizador NE555 26

44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos

amplifacores operacionais LF356n 27

45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28

46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28

47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi

construiacutedo 29

48 Imagem do detector e disco utilizado 30

49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de

iacutendices 31

410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32

xiii

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

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incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

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45

Iacutendice

Lista de Figuras xiii

Lista de Tabelas xv

1 Introduccedilatildeo 1

2 Efeito Electrooacuteptico 3

21 Oacuteptica Natildeo-Linear 3

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos 5

221 Vector de Poynting 7

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices 9

223 Coeficientes Natildeo-Lineares 12

3 Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico 15

31 Meacutetodo Tradicional 15

32 Meacutetodos por Interferometria 17

321 Interferometria Oacuteptica 17

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder 19

323 Interferoacutemetro de Michelson 20

4 Sistema Implementado 23

41 Interferoacutemetro 23

42 Electroacutenica Desenvolvida 24

421 Amplificador 24

422 Gerador de Rampa 25

423 Seguidor de Tensatildeo 27

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido 28

431 Espelho Vibrante 28

432 Bancada Oacuteptica 29

433 Detector 29

434 Cristal Electrooacuteptico 31

xi

IacuteNDICE

435 Porta Amostras 32

44 Coeficiente Electrooacuteptico 35

45 Execuccedilatildeo Experimental 36

46 Resultados 39

5 Conclusotildees 43

Bibliografia 45

A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47

xii

Lista de Figuras

21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8

22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11

31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado

de [9]) 16

32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva

completa (b) 17

33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-

tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro

(adaptado de [11]) 18

34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19

35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com

interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21

41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-

lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24

42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-

ficador operacional LF356n 25

43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no

circuito temporizador NE555 26

44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos

amplifacores operacionais LF356n 27

45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28

46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28

47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi

construiacutedo 29

48 Imagem do detector e disco utilizado 30

49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de

iacutendices 31

410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32

xiii

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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45

IacuteNDICE

435 Porta Amostras 32

44 Coeficiente Electrooacuteptico 35

45 Execuccedilatildeo Experimental 36

46 Resultados 39

5 Conclusotildees 43

Bibliografia 45

A Apecircndice 47A1 Desenhos Teacutecnicos 47

xii

Lista de Figuras

21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8

22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11

31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado

de [9]) 16

32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva

completa (b) 17

33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-

tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro

(adaptado de [11]) 18

34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19

35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com

interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21

41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-

lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24

42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-

ficador operacional LF356n 25

43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no

circuito temporizador NE555 26

44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos

amplifacores operacionais LF356n 27

45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28

46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28

47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi

construiacutedo 29

48 Imagem do detector e disco utilizado 30

49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de

iacutendices 31

410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32

xiii

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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45

Lista de Figuras

21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado 8

22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7]) 11

31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptado

de [9]) 16

32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutiva

completa (b) 17

33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase en-

tre duas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro

(adaptado de [11]) 18

34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12]) 19

35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson com

interferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15]) 21

41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeo uti-

lizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais 24

42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-

ficador operacional LF356n 25

43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado no

circuito temporizador NE555 26

44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nos

amplifacores operacionais LF356n 27

45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implementada 28

46 Imagem do espelho vibrante utilizado 28

47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foi

construiacutedo 29

48 Imagem do detector e disco utilizado 30

49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede de

iacutendices 31

410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido 32

xiii

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

Lista de Figuras

411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista de

frente (a) e a vista de traacutes (b) 33

412 Imagem do porta Amostras desenvolvido 34

413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico 34

414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente r63

num cristal 35

415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luz

medido num interferoacutemetro de Michelson 38

416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-

trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo 39

417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade de franjas

em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal 40

xiv

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

Lista de Tabelas

41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17] 30

42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18] 31

43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7] 32

44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacuteptico

para o cristal KDP utilizado 40

xv

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

Lista de Siacutembolos

~S - Vector de Poynting

ε - Permissidade eleacutectrica

micro - Permeabilidade eleacutectrica

λ - Comprimento de onda

φ - Fase

ν - Visibilidade

δ - Retardaccedilatildeo

Ω - Frequecircncia de modulaccedilatildeo

χ(1) - Suscetibilidade eleacutectrica linear

χ(2) - Suscetibilidade eleacutectrica de segunda ordem

χ(3) - Suscetibilidade eleacutectrica de terceira ordem

ε0 - Permissidade eleacutectrica do vazio

B - Campo magneacutetico

D - Deslocamento eleacutectrico

E - Campo eleacutectrico

I - Intensidade

P - Polarizaccedilatildeo

Vo - Potencial eleacutectrico

c - Velocidade da luz no vazio

h - Distacircncia entre os eleacutetrodos

xvii

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

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refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

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[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

LISTA DE SIacuteMBOLOS

k - Nuacutemero de onda

l - Caminho percorrido pela luz num meio

n - Iacutendice de refraccedilatildeo

ne - Iacutendice de refraccedilatildeo extraordinaacuterio

no - Iacutendice de refraccedilatildeo ordinaacuterio

r - Coeficiente electrooacuteptico linear

s - Coeficiente electrooacuteptico quadraacutetico

u - Densidade de energia

w - Frequecircncia angular

xviii

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

Capiacutetulo

1Introduccedilatildeo

A fibra oacuteptica eacute hoje amplamente utilizada nas redes de telecomunicaccedilatildeo em subs-

tituiccedilatildeo dos tradicionais cabos eleacutectricos por permitir transportar uma grande

quantidade de informaccedilatildeo a alta velocidade e com perdas reduzidas sem ser

afetada pelo ruiacutedo eletromagneacutetico Por outro lado a transmissatildeo de informaccedilatildeo

atraveacutes da fibra oacuteptica requer o desenvolvimento de dispositivos capazes de pro-

cessar sinal oacuteptico tais como amplificadores comutadores e moduladores de luz

Eacute aqui que o efeito electrooacuteptico assume um papel de relevo jaacute que possibilita a

modulaccedilatildeo de luz a frequecircncias da ordem do gigahertz [1 2 3]

O efeito electrooacuteptico tambeacutem conhecido por efeito de Pockels1 consiste na

variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo de um meio quando a este eacute aplicado um campo

eleacutetrico externo Esta alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo eacute o resultado de forccedilas elec-

trostaacuteticas que deformam as moleacuteculas (alteraccedilatildeo de posiccedilatildeo orientaccedilatildeo ou forma)

do meio que estaacute na origem de uma alteraccedilatildeo no momento dipolar Distinguem-

se dois tipos de efeito eletrooacuteptico o linear (efeito Pockels) e o quadraacutetico (efeito

Kerr2)

O efeito de Pockels estaacute na origem da criaccedilatildeo de uma birrefringecircncia ∆n

no meio oacuteptico proporcional ao campo eleacutetrico aplicado Este efeito observa-se

1Friedrich Carl Alwin Pockels foi um fiacutesico alematildeo que em 1893 descobriu que se for aplicadoum campo eleacutectrico estaacutevel a certos materiais birrefrigentes estes vatildeo sofrer uma variaccedilatildeo noiacutendice de refraccedilatildeo proporcional agrave forccedila do campo aplicado Este coeficiente de proporcionalidadeestaacute entre os 10times 10minus10V minus1 e os 10times 10minus12V minus1 Ficando este fenoacutemeno conhecido como Efeito dePockels

2John Kerr foi um fiacutesico escocecircs e um pioneiro no campo da electro-oacuteptica nomeadamentepelo efeito de Kerr em 1875 que consiste numa variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo que varia quadraacuteti-camente com o campo eleacutetrico aplicado

1

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 1 INTRODUCcedilAtildeO

apenas em meios em que a sua estrutura natildeo apresenta centro de simetria

No efeito de Kerr a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo do meio eacute proporcional ao

quadrado do campo eleacutetrico aplicado e portanto proporcional agrave intensidade da

luz e ao contraacuterio do efeito de Pockels ocorre dum modo geral como mais ou

menos intensidade em todos os materiais

O conhecimento das propriedades electrooacutepticas de um material eacute fundamen-

tal na avaliaccedilatildeo das suas capacidades para o desenvolvimentos de dispositivos

moduladores de luz O presente trabalho de dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de uma bancada oacuteptica para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico base-

ado em teacutecnica interferomeacutetrica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase induzida por

efeito eletrooacuteptico

Neste trabalho seraacute inicialmente descrita a teoria e os caacutelculos necessaacuterios

para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico atraveacutes dos seus coeficientes natildeo-lineares

Sendo de seguida apresentados alguns sistemas de mediccedilatildeo deste efeito e o seu

respectivo funcionamento No capiacutetulo seguinte seraacute descrito o funcionamento

do sistema desenvolvido o interferoacutemetro implementado o porta-amostras cons-

truiacutedo a eletroacutenica e os sistemas oacutepticos desenvolvidos que integram o sistema

bem como os caacutelculos finais para a obtenccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico do sis-

tema usado Por uacuteltimo as conclusotildees retiradas do trabalho desenvolvido bem

como as suas perspectivas futuras

2

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

Capiacutetulo

2Efeito Electrooacuteptico

Este capiacutetulo aborda do ponto de vista teoacuterico alguns aspectos relevantes para a

realizaccedilatildeo deste trabalho nomeadamente a propagaccedilatildeo da luz num meio as pro-

priedades da oacuteptica natildeo-linear e a alteraccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo linear em meios

anisotroacutepicos Estes conceitos permitiratildeo encontrar as expressotildees que determinam

os coeficientes natildeo-lineares

21 Oacuteptica Natildeo-Linear

Um dado material pode responder de forma natildeo-linear a um campo eleacutectrico

aplicado De um modo geral pode-se descrever a resposta da seguinte forma[4]

Pi = ε0

[χ

(1)ij Ej +χ(2)

ijkEjEk +χ(3)ijklEjEkEl +χ(N )

middotmiddotmiddot middot middot middot]

(21)

Onde P i eacute a polarizaccedilatildeo do meio ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vaacutecuo E

o campo eleacutectrico aplicado χ(1) a suscetibilidade eleacutectrica linear e χ(2) χ(3)

χ(n) as suscetibilidades natildeo lineares de segunda ordem de terceira ordem ateacute

N ordem sendo N um nuacutemero inteiro com i j k l um sistema de eixos de

laboratoacuterio com valores valores 1 2 e 3

Cada termo da equaccedilatildeo 21 estaacute associado a diferentes respostas do meio O

termo χ(1) estaacute associado ao iacutendice de refraccedilatildeo e absorccedilatildeo linear O termo χ(2) agrave

geraccedilatildeo de segunda harmoacutenica soma e diferenccedila de frequecircncias e o efeito elec-

trooacuteptico linear ou efeito de Pockels Este efeito eacute particularmente importante

3

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

jaacute que permite a modulaccedilatildeo da luz De salientar que o tensor de terceira ordem

(χ(2)ijk) se reduz a dezoito elementos atendendo agraves simetrias resultantes de permu-

tas de iacutendices jaacute que χ(2)ijk = χ

(2)ikj = χ

(2)kij = χ

(2)jik = χ

(2)jki = χ

(2)kji Pode-se desta forma

representar atraveacutes da matriz

χ(2)ij =

χ

(2)11 χ

(2)12 χ

(2)13 χ

(2)14 χ

(2)15 χ

(2)16

χ(2)21 χ

(2)22 χ

(2)23 χ

(2)24 χ

(2)25 χ

(2)26

χ(2)31 χ

(2)32 χ

(2)33 χ

(2)34 χ

(2)35 χ

(2)36

Utilizando uma notaccedilatildeo condensada[5] ficamos com

χ(2)ijk = χ(2)

mk = com m =

1 quando ij = 11

2 quando ij = 22

3 quando ij = 33

4 quando ij = 2332

5 quando ij = 1331

6 quando ij = 1221

De notar que dependendo do meio soacute alguns dos elementos de χ(2)ijk seratildeo natildeo

nulos Para materiais que exibam centro de simetria o efeito electrooacuteptico linear

natildeo existe de todo sendo os elementos de χ(2)ijk nulos

O elemento χ(3) estaacute associado agrave geraccedilatildeo da terceira harmoacutenica soma e dife-

renccedila de frequecircncias e o efeito electrooacuteptico quadraacutetico ou efeito de Kerr que se

manifesta na variaccedilatildeo do iacutendice de refraccedilatildeo com o quadrado do campo eleacutectrico

aplicado

De salientar ainda que quanto maior o valor de ordem n mais difiacutecil se torna

observar os efeitos associados uma vez que estes se tornam cada vez menos inten-

sos

4

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

22 Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos

A propagaccedilatildeo de uma onda electromagneacutetica num meio pode ser descrita pelas

equaccedilotildees de Maxwell1 Para o caso de um meio homogeacuteneo isolante e neutro

pode-se escrever como

nabla middot ~E = 0 (22a)

nabla middot ~B = 0 (22b)

nablatimes ~E = minuspart~Bpartt

(22c)

nablatimes ~B = microεpart~Epartt

(22d)

Sendo ~B o campo magneacutetico ~E o campo eleacutectrico ε e micro a permissidade eleacutectrica

e permeabilidade magneacutetica do meio respectivamente

Tendo em conta que para um vector ~D geneacuterico

nablatimesnablatimes ~D = nabla(nabla middot ~D

)minusnabla2 ~D (23)

e

nablatimespart~Dpartt

=partnablatimes ~Dpartt

(24)

Comeccedilando pela equaccedilatildeo 22c

nablatimesnablatimes ~E = nablatimespart~Bpartt

(25)

Usando as propriedades matemaacuteticas das equaccedilotildees 23 e 24

nabla(nabla middot ~E

)minusnabla2~E =

partnablatimes ~Bpartt

(26)

Utilizando as equaccedilotildees 22a e 22d na equaccedilatildeo 26 verifica-se que

nabla2~E = microεpart2~E

partt2(27)

1James Clerk Maxwell foi um cientista escocecircs mais conhecido por ter combinado as teoriasdos campos da oacuteptica do magnetismo e da electricidade numa soacute e uacutenica teoria dando assimorigem as chamadas equaccedilotildees de Maxwell

5

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Obtendo-se desta maneira a equaccedilatildeo de onda para o campo eleacutectrico Analo-

gamente mas comeccedilando com a equaccedilatildeo 22d obteacutem-se para o campo magneacutetico

nabla2~B = microεpart2~B

partt2(28)

A sua velocidade de propagaccedilatildeo eacute dada por

v =1radicmicroε

(29)

Sendo que no vazio micro = micro0 e ε = ε0 o que resulta em v = c 3times 108ms

Resolvendo as equaccedilotildees 27 e 28 obtecircm-se as expressotildees para os campos eleacutec-

tricos e magneacuteticos que se propagam no meio

~E (~r t) = ~E0ei(~kmiddot~rminuswt

)(210)

e

~B (~r t) = ~B0ei(~kmiddot~rminuswt

)(211)

Onde ~r eacute o vector posiccedilatildeo ~k eacute o vector de onda que segue a direccedilatildeo de pro-

pagaccedilatildeo da onda w a frequecircncia angular e t o tempo Sendo que a parte real das

equaccedilotildees representa os seus respectivos campos A magnitude do vector ~k pode

ser escrita da seguinte maneira

k =2πλ

=wv

=wnc

(212)

Em que k eacute o nuacutemero de onda λ o comprimento de onda e n o iacutendice de

refraccedilatildeo

Escrevendo a parte real das equaccedilotildees 210 e 211 fica-se com

E = E0 cos(kr minuswt) (213)

e

B = B0 cos(kr minuswt) (214)

Manipulando a equaccedilatildeo 22c obtem-se

partEpartx

= minuspartBpartt

(215)

6

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Utilizando a equaccedilatildeo 215 nas equaccedilotildees 213 e 213

kE0 = wB0 (216)

Usando a equaccedilatildeo 212 na equaccedilatildeo 216 verifica-se que

B0 =E0

v(217)

221 Vector de Poynting

O fluxo de energia (Wm2) dado pelo vector de Poynting2 (~S) pode ser escrito da

seguinte forma

~S =1micro~E times ~B (218)

A densidade de energia eleacutectrica ou a energia eleacutectrica armazenada por uni-

dade de volume (joulem3) a quantidade de energia contida num dado sistema

em relaccedilatildeo ao seu volume seraacute dada por

uE =12εE2 (219)

Agrave semelhanccedila da densidade de energia eleacutectrica a densidade de energia mag-

neacutetica (uB) eacute

uB =1

2microB2 (220)

Assim somando as equaccedilotildees 219 e 220 obtem-se a densidade de energia

total de uma onda electromagneacutetica

u =12εE2 +

12microB2 (221)

2John Henry Poynting foi um fiacutesico britacircnico autor de diversos trabalhos entre os quais um te-orema no qual se atribui um valor agrave taxa de fluxo de energia electromagneacutetica que ficou conhecidocomo vector de Poynting

7

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Substituindo as equaccedilotildees 29 e 217 na equaccedilatildeo 221 pode-se escrever a densi-

dade de energia total de uma onda electromagneacutetica num dado meio da seguinte

forma

u = εE2 (222)

Relacionando-se desta forma a densidade de energia com o campo eleacutectrico

De salientar que o campo magneacutetico e o campo eleacutectrico estatildeo relacionados atra-

veacutes da equaccedilatildeo 217

Considerando uma secccedilatildeo de aacuterea A (Fig 21) de um cubo com ∆x de lado

Figura 21 Cubo com secccedilatildeo de aacuterea A e ∆x de lado

A energia armazenada no cubo ou densidade de energia eacute igual a

∆U = uA∆x (223)

Sendo que a energia que atravessa a aacuterea A por unidade de tempo eacute

∆U∆t

=uA∆x∆xv

= uAv (224)

Assim a energia por unidade de tempo e aacuterea (Wm2) eacute igual a

uv = S (225)

Combinando a equaccedilatildeo 225 com a equaccedilatildeo 222 pode-se escrever a magnitude

do vector de Poynting da seguinte forma

S = εvE2 (226)

8

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituindo a equaccedilatildeo 213 na equaccedilatildeo 225 a magnitude do vector de Poyn-

ting assume a seguinte forma

S = εvE20 cos2 (wt) (227)

Se na equaccedilatildeo 227 se fizer uma meacutedia no tempo obteacutem-se

〈S〉 = εvE20

langcos2 (wt)

rang(228)

Sendo quelangcos2 (wt)

rang= 1

2 tem-se que

I = 〈S〉 =12εvE2

0 =c

2nεE2

0 (229)

Sendo I a intensidade ou seja a potecircncia meacutedia por unidade de aacuterea que a

onda electromagneacutetica transporta

222 Elipsoiacutede dos Iacutendices

Nos meios anisotroacutepicos o iacutendice de refraccedilatildeo linear depende da direccedilatildeo da propa-

gaccedilatildeo da luz e do seu estado de polarizaccedilatildeo A resposta de um meio anisotroacutepico

eacute normalmente obtida atraveacutes do conceito de elipsoiacutede de iacutendices[5 6 7] que

a seguir seraacute descrita Ao se aplicar um campo eleacutectrico a um meio polarizaacutevel

este induz uma mudanccedila do estado de polarizaccedilatildeo descrito pelo deslocamento

eleacutectrico

~D = ε0~E + ~P (230)

Sendo

~P = ε0χ~E (231)

onde ε0 eacute a permissidade eleacutectrica no vazio ~P a polarizaccedilatildeo ~E o campo eleacutec-

trico ~D o deslocamento eleacutectrico e χ eacute o tensor das suscetibilidades Atraveacutes das

equaccedilotildees 230 e 231 tem-se que

~D = ε0~E(1 + χ) (232)

9

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

Sendo que χ eacute dado por

χ =

χ11 χ12 χ13

χ21 χ22 χ23

χ31 χ32 χ33

(233)

Pelo teorema de eixos principais [7] seraacute possiacutevel escolher um sistema de co-

ordenadas onde apenas os elementos da diagonal principal sejam diferentes de

zero de tal forma que

χ =

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

(234)

Assim a equaccedilatildeo 231 pode ser escrita na forma no novo sistema de eixosP1

P2

P3

= ε0

χ11 0 0

0 χ22 0

0 0 χ33

E1

E2

E3

(235)

Da equaccedilatildeo 235 pode-se ainda retirar o seguinte

P1 = ε0χ11E1 D1 = ε11E1 ε11 = ε0 (1 +χ11)

P2 = ε0χ22E2 D2 = ε22E2 ε22 = ε0 (1 +χ22) (236)

P3 = ε0χ33E3 D3 = ε33E3 ε33 = ε0 (1 +χ33)

Combinando as equaccedilotildees 219 e 236 pode-se reescrever a densidade de energia

armazenada no campo eleacutectrico como

uE =12~E middot ~D (237)

Usando as expressotildees da equaccedilatildeo 236 para manipular a equaccedilatildeo 237 obtem-

se

D21

ε11+D2

2

ε22+D2

3

ε33= 2uE (238)

10

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

Substituiacutendo na equaccedilatildeo 238 D1 D2 e D3 pelos seus respectivos eixos em

coordenadas cartesianas tem-se que

x2

ε11ε0+

y2

ε22ε0+

z2

ε33ε0= 1 (239)

sendo x = D1radic2ε0UE

y = D2radic2ε0UE

e z = D3radic2ε0UE

Reescrevendo a equaccedilatildeo 239 fazendo n2x = ε11ε0 n2

y = ε22ε0 e n2z = ε33ε0

obteacutem-se forma a equaccedilatildeo do elipsoide de iacutendices

x2

n2x

+y2

n2y

+z2

n2z

= 1 (240)

Sendo nx ny e nz o iacutendice de refraccedilatildeo na sua respectiva direccedilatildeo como demons-

tra a figura 22

Figura 22 Ilustraccedilatildeo do elipsoiacutede de iacutendices (retirado de [7])

11

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 2 EFEITO ELECTROOacutePTICO

223 Coeficientes Natildeo-Lineares

Quando eacute aplicado um campo eleacutectrico ao meio o elipsoiacutede de iacutendices pode

mudar a sua forma e orientaccedilatildeo no espaccedilo de tal forma que a equaccedilatildeo de elipsoide

de iacutendices passa a ser escrita de um modo geral como

( 1n2

)1x2 +

( 1n2

)2y2 +

( 1n2

)3z2 + 2

( 1n2

)4xy + 2

( 1n2

)5xz+ 2

( 1n2

)6yz = 1 (241)

Quando o campo eleacutectrico aplicado eacute nulo as equaccedilotildees 240 e 241 tecircm de ser

equivalentes pelo que para E = 0 tem-se

( 1n2

)1

=1

n2x( 1

n2

)2

=1

n2y( 1

n2

)3

=1

n2z( 1

n2

)4

=( 1n2

)5

=( 1n2

)6

= 0

(242)

Desta forma quando se aplica um campo eleacutectrico (E) verifica-se uma variaccedilatildeo

nos coeficientes(

1n2

)i Esta variaccedilatildeo induzida pelo efeito electrooacuteptico pode entatildeo

ser descrita atraveacutes de [8]

∆

( 1n2

)i

=3sumj=1

rijEj com i = 1 6 (243)

Sendo rij o coeficiente electrooacuteptico e E a magnitude do campo eleacutectrico apli-

cado

12

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

22 PROPAGACcedilAtildeO EM MEIOS ANISOTROacutePICOS

A equaccedilatildeo 243 tambeacutem pode ser escrita como

∆

( 1n2

)1

∆

( 1n2

)2

∆

( 1n2

)3

∆

( 1n2

)4

∆

( 1n2

)5

∆

( 1n2

)6

=

r11 r12 r13

r21 r22 r23

r31 r32 r33

r41 r42 r43

r51 r52 r53

r61 r62 r63

E1

E2

E3

(244)

Nesta conformidade o coeficiente electrooacuteptico pode ser escrito como

rij = minus 2

n3ij

[partnijpartEj

](245)

A diferenccedila de fase ∆φ resultante da variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo ∆n seraacute

∆φ =2πlλ

∆n (246)

Em que o l eacute o caminho percorrido pela luz de comprimento de onda λ no

meio Sendo a variaccedilatildeo no iacutendice de refraccedilatildeo devida aos efeitos electrooacutepticos

pode-se escrever

|∆n| =rno

3

2Voh

(247)

para o efeito electrooacuteptico linear e

|∆n| =sn3o

2

(Voh

)2(248)

para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico

Onde os coefeciecircntes electrooacutepticos linear e quadraacutetico satildeo respectivamente

r e s Vo eacute o potencial eleacutectrico aplicado entre os eleacutetrodos que distam entre si a

uma distacircncia h criando assim o campo eleacutectrico aplicado

13

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

Capiacutetulo

3Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico

Neste capiacutetulo satildeo apresentadas as teacutecnicas mais comuns utilizadas para a me-

diccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico destacando-se dois tipos de interferoacutemetros o

tradicional e os de interferometria de dois feixes

31 Meacutetodo Tradicional

Um dos meacutetodos mais usados para medir o efeito eletrooacuteptico foi o proposto por

Henry [9] em 1986 Esta teacutecnica ilustrada na Fig31 baseia-se na alteraccedilatildeo do

estado de polarizaccedilatildeo de um feixe linearmente polarizado quando este atravessa

o meio Esta alteraccedilatildeo ocorre devido agrave birrefrigecircncia induzida por um campo

eleacutetrico aplicado e agrave atividade oacuteptica do meio A montagem eacute composta por uma

fonte de luz (S) um monocromador (M) uma lente (L) um diafragma (D) dois

polarizadores (P1 e P2) um cristal (BSO) de espessura d ao qual eacute aplicado um

campo eleacutetrico (E) e um fotomultiplicador (FM) ligado a um sistema de aquisiccedilatildeo

de dados

O procedimento experimental em si consiste no seguinte para um dado estado

de polarizaccedilatildeo do feixe incidente imposto pelo P1 vai-se alterando a posiccedilatildeo

angular do P2 de forma a encontrar as intensidades maacutexima e miacutenima e desta

forma calcular-se a visibilidade (ν) atraveacutes de [9]

νθ =Imax minus IminImax + Imin

(31)

15

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Figura 31 Montagem experimental proposta por Henry e a sua equipa (adaptadode [9])

De seguida altera-se P1 para a posiccedilatildeo angular de 45 e repete-se o procedi-

mento anterior Somando o quadrado das duas visibilidades obtidas tem-se que

[9]

ν2θ + ν2

θ+45 = 1 +

1minus δ2

2

sen(φ2 )φ2

2

2

(32)

sendo

δ =2πλn3rEyd (33)

e

φ =radicδ2 + ρ2 (34)

Sendo δ a diferenccedila de fase originada pela birrefringecircncia λ o comprimento

de onda do feixe no vaacutecuo ρ a diferenccedila de fase associada agrave actividade oacuteptica n o

iacutendice de refraccedilatildeo sem campo eleacutetrico aplicado Ey o campo eleacutectrico aplicado e

d a espessura do cristal na direccedilatildeo do campo eleacutectrico aplicado Destas equaccedilotildees

pode-se calcular o coeficiente electrooacuteptico r

Para o caso de φ pequenos

sen(φ2 )φ2

2

1 pelo que

ν2θ + ν2

θ+45 1 +(1minus δ

2

2

)2

(35)

Natildeo sendo nesta situaccedilatildeo necessaacuteria a actividade oacuteptica ρ Esta teacutecnica apre-

senta um erro de mediccedilatildeo de 10 a 15 em relaccedilatildeo ao valor tabelado

16

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

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[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

32 Meacutetodos por Interferometria

321 Interferometria Oacuteptica

Quando duas ondas de uma mesma frequecircncia se sobrepotildeem num dado ponto

formam uma nova onda cuja amplitude eacute o resultado da soma da amplitude das

duas ondas iniciais em cada instante nesse ponto Quando a soma da duas ondas

resulta numa amplitude maior diz-se que houve interferecircncia construtiva quando

resulta numa amplitude inferior diz-se que ocorreu interferecircncia destrutiva

Supondo que uma das ondas tem a forma E1ei(φ1minuswt) e a outra forma E2e

i(φ2minuswt)

sendo E1 e E2 as amplitudes dos respetivos campos eleacutetricos φ1 e φ2 as fases

iniciais w a frequecircncia angular e t o tempo a onda resultante seraacute descrita por

[10]

ET = E1ei(φ1minuswt) +E2e

i(φ2minuswt) (36)

Se φ1 minusφ2 = 2Nπ com N = 012 entatildeo as duas ondas estaratildeo em fase e daacute-

se uma interferecircncia construtiva perfeita Se φ1 minusφ2 = (2N + 1)π e E1 = E2 entatildeo

as duas ondas estaratildeo em oposiccedilatildeo de fase e daacute-se uma interferecircncia destrutiva

completa Estas situaccedilotildees extremas encontram-se ilustradas na figura 32

Figura 32 Ilustraccedilatildeo de uma interferecircncia construtiva perfeita (a) e destrutivacompleta (b)

Matematicamente a coerecircncia eacute uma medida da correlaccedilatildeo entre as ondas

Quanto mais construtiva for a interferecircncia maior seraacute a coerecircncia Fisicamente

a coerecircncia eacute uma medida do quatildeo constante a diferenccedila de fase permanece entre

17

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

as duas ondas A coerecircncia eacute usualmente medida num padratildeo de franjas de in-

terferecircncia atraveacutes da visibilidade de franja (ν) que pode ser experimentalmente

calculada atraveacutes de [10]

ν =Imax minus IminImax + Imin

= 1 coerecircncia total e contraste maacuteximo

0 lt ν lt 1 coerecircncia parcial

= 0 incoerecircncia total e contraste natildeo haacute franjas

(37)

Pode-se ver na Fig33 um exemplo da equaccedilatildeo 37 que representa a visibi-

lidade das franjas em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entre duas ondas da mesma

frequecircncia que interferem Como a visibilidade das franjas depende da coerecircncia

das duas ondas qualquer diferenccedila iraacute traduzir-se numa diminuiccedilatildeo de visibili-

dade

Figura 33 Visibilidade num interferoacutemetro em funccedilatildeo da diferenccedila de fase entreduas ondas provenientes de ramos diferentes do interferoacutemetro (adaptado de[11])

Pode-se usar a interferometria para quantificar os efeitos electrooacutepticos natildeo

soacute linear mas tambeacutem o quadraacutetico (efeito de Kerr) Os interferoacutemetros mais

frequentemente utilizados para este efeito satildeo os interferoacutemetro de Michelson1 e1Albert Abraham Michelson foi um fiacutesico americano conhecido pela invenccedilatildeo do interferoacuteme-

tro de Michelson (1891) do seu trabalho na mediccedilatildeo da velocidade da luz e pelo seu trabalho naexperiecircncia de Michelson-Morley Em 1907 tornou-se o primeiro americano a receber o PreacutemioNobel da Fiacutesica

18

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

o interferoacutemetro de Mach-Zehnder2

De salientar que as teacutecnicas interferomeacutetricas apresentam uma elevada sensibi-

lidade simplificaccedilatildeo na preparaccedilatildeo das amostras a estudar e uma menor sensibili-

dade a vibraccedilotildees mecacircnicas e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com

a mesma intensidade em ambos os ramos do mesmo tamanho do interferoacutemetro

322 Interferoacutemetro de Mach-Zehnder

No interferoacutemetro de Mach-Zehnder (Fig 34) um separador de feixe divide o

feixe proveniente da fonte em dois feixes que vatildeo constituir os dois ramos do

interferoacutemetro o feixe-amostra e o feixe-referecircncia Ambos satildeo refletidos por um

espelho e ambos atravessam um novo separador de feixe antes de se juntarem de

novo e serem medidos nos detetores

Figura 34 Esquema de um interferoacutemetro de Mach-Zehnder (adaptado de [12])

Com os ramos agrave mesma distacircncia pode ainda observar-se que sem amostra

ambos os feixes vatildeo chegar em fase aos detetores havendo desta forma uma inter-

ferecircncia construtiva Ambos apresentaratildeo uma mudanccedila de fase correspondente

a λ devido ao facto de ambos sofrerem duas reflexotildees e uma transmissatildeo numa

placa de vidro(separador de feixe) ateacute chegarem aos detetores2Ludwig Zehnder foi um fiacutesico suiacuteccedilo e o inventor do interferoacutemetro de Mach-Zehnder Inter-

feroacutemetro esse depois aperfeiccediloado por Ludwig Mach

19

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

Alterando o caminho oacuteptico do espelho do feixe-referecircncia em λ4 sem amos-

tra o feixe-amostra e o feixe-referecircncia vatildeo chegar com uma diferenccedila de fase de

λ2 ou seja vai haver uma interferecircncia destrutiva completa Isto porque o feixe-

referecircncia vai ter uma mudanccedila de fase de λ2 devido a uma reflexatildeo e duas trans-

missotildees provocadas pelos separadores de feixe Enquanto que o feixe-amostra

chegaraacute aos detetores com uma diferenccedila de fase de λ devido a duas reflexotildees

mais uma reflexatildeo com transmissatildeo no segundo separador de feixe Assim na

ausecircncia de amostra e desde que a diferenccedila de caminho oacuteptico ou retardaccedilatildeo

(δ) seja zero os feixes iratildeo interferir construtivamente [13]

Com a amostra colocada no caminho do feixe-amostra os feixes vatildeo chegar ao

detetor em diferentes situaccedilotildees de fase sendo possiacutevel determinar a diferenccedila de

fase provocada pela presenccedila da amostra

A intensidade do feixe (I) em ambos os detetores eacute descrita por [14]

I(δ) =12I(k)cos(2Nkδ) (38)

Com k o nuacutemero de onda (k = 2πλ) E fazendo δ = d com d = vt resulta

I(δ) =12I(k)cos(2Nk(vt)) (39)

323 Interferoacutemetro de Michelson

No interferoacutemetro do tipo Michelson um feixe de luz eacute dividido em dois que

percorrem caminhos diferentes para de seguida se recombinarem Apoacutes terem

percorrido caminhos diferentes o feixe resultante da recombinaccedilatildeo pode apresen-

tar um padratildeo de interferecircncia que depende da diferenccedila de caminhos oacutepticos

entre os feixes e que pode ser medido num detetor

A forma mais simples de implementar um interferoacutemetro de Michelson con-

siste em dois espelhos colocados entre si num plano perpendicular em que um

deles se pode mover na direccedilatildeo perpendicular agrave sua superfiacutecie refletora conforme

ilustrado na Fig35

Esse espelho iraacute movimentar-se num espaccedilo definido a uma velocidade cons-

tante Entre o espelho fixo e o espelho moacutevel estaacute um separador de feixe que

divide o feixe incidente inicial em dois de igual intensidade Aqui o feixe eacute parci-

almente refletido para um espelho e parcialmente transmitido para o outro

20

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

32 MEacuteTODOS POR INTERFEROMETRIA

Figura 35 Esquema de funcionamento de um interferoacutemetro de Michelson cominterferecircncia construtiva (a) e destrutiva (b) (adaptado de [15])

Assumindo que o separador de feixe eacute ideal e com uma reflectacircncia e transmi-

tacircncia de 50 se o espelho moacutevel se encontrar estacionaacuterio pode determinar-se

a intensidade do feixe num dado ponto do detetor Se a diferenccedila do caminho

oacuteptico ou retardaccedilatildeo (δ) for zero ou seja os espelhos estatildeo igualmente espaccedilados

do separador de feixe estes vatildeo percorrer a mesma distacircncia e interferir construti-

vamente pelo que a intensidade do feixe final eacute a soma das intensidades dos dois

feixes Nestas condiccedilotildees toda a luz que sai da fonte chega ao detetor

No caso do espelho moacutevel se deslocar uma distacircncia de λ4 a retardaccedilatildeo total

seraacute de λ2 pelo que os feixes estaratildeo desfasadas de 180ordm (π) Nestas condiccedilotildees ter-

se-aacute interferecircncia destrutiva completa na recombinaccedilatildeo dos feixes dando origem

agrave extinccedilatildeo total

Voltando a deslocar o espelho moacutevel de mais λ4 a diferenccedila do caminho

oacuteptico seraacute igual a λ e os dois feixes voltam a estar em fase havendo novamente

uma sobreposiccedilatildeo construtiva dos feixes

Com o espelho moacutevel a deslocar-se a uma velocidade constante o sinal do de-

tetor iraacute variar com uma forma perioacutedica sendo que atinge o seu maacuteximo quando

a retardaccedilatildeo (δ) for um muacuteltiplo inteiro de λ δ =Nλ

A expressatildeo da intensidade do feixe (I) no detector para o caso do interferoacute-

metro de Michelson eacute semelhante agrave equaccedilatildeo 38 para o interferoacutemetro de Mach-

Zehnder sendo que neste caso δ = 2d com d = vt jaacute que o feixe atravessa a

amostra duas vezes Nestas condiccedilotildees ter-se-aacute

I(δ) =12I(k)cos(4Nk(vt)) (310)

21

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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45

CAPIacuteTULO 3 MEDICcedilAtildeO DO EFEITO ELECTROOacutePTICO

22

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

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incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

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[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

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45

Capiacutetulo

4Sistema Implementado

Este capiacutetulo descreve o sistema implementado para a mediccedilatildeo do coeficiente

electrooacuteptico usando a teacutecnica de interferoacutemetria de Michelson bem como a cali-

braccedilatildeo do mesmo

41 Interferoacutemetro

O sistema escolhido para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico baseia-se na teacutec-

nica de interferometria de Michelson (ver secccedilatildeo 323) onde se mediu a diferenccedila

de fase entre os ramos do interferoacutemetro Esta teacutecnica foi escolhida pela elevada

sensibilidade agrave diferenccedila de fase gerada entre os ramos do interferoacutemetro facili-

dade de preparaccedilatildeo das amostras e por ser menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas

e a flutuaccedilotildees teacutermicas desde que estas ocorram com a mesma intensidade em

ambos os ramos do interferoacutemetro Para aleacutem das vantagens mencionadas e espe-

cificamente em comparaccedilatildeo com o interferoacutemetro mais usado o interferoacutemetro

do tipo Mach-Zehnder o interferoacutemetro de Michelson tem uma maior facilidade

de alinhamento dos espelhos e usa apenas um separador de feixe

A figura 41 esquematiza o sistema baseado no interferoacutemetro de Michelson

desenvolvido para a mediccedilatildeo do coeficiente eletrooacuteptico

23

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

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S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

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[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 41 Esquematizaccedilatildeo do interferoacutemetro de Michelson e instrumentaccedilatildeoutilizada para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico em cristais

Como se pode ver no esquema da figura 41 o ramo do espelho vibrante fica

vazio enquanto que no ramo do espelho fixo se encontra a amostra entre dois

eleacutectrodos onde se aplicam um campo eleacutectrico E O sinal medido no detector

resulta da interferecircncia entre os feixes provenientes de cada ramo do interferoacute-

mentro dependendo da diferenccedila de fase entre os dois feixes Conforme referido

anteriormente a intensidade da luz (I) que chega ao detector eacute da ordem de [16]

I prop E21 +E2

2 + 2E1E2cos(∆φ) (41)

42 Electroacutenica Desenvolvida

421 Amplificador

Para o efeito electrooacuteptico se manisfestar eacute necessaacuterio aplicar-se uma tensatildeo eleacutec-

trica ao meio Uma vez que a tensatildeo de referecircncia fornecida pelo amplificador

lock-in utilizado eacute muito baixa para induzir efeito electrooacuteptico significativo por

volta dos 12V foi necessaacuterio construir um amplificador de tensatildeo (Fig 42)

24

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

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S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

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[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

Figura 42 Esquemaacutetico do amplificador de tensatildeo utilizado com base no ampli-ficador operacional LF356n

O amplificador construiacutedo conforme ilustra a figura 42 consiste numa mon-

tagem inversora de ganho variaacutevel com uma malha de controlo de offset e eacute

alimentado a plusmn12V

Assim o ganho G eacute determinado atraveacutes de

G = 1 +R2R1

(42)

Sendo R1 = 11kΩ R2 = 5kΩ R3 = 25kΩ e o amplificador em si utilizado foi

o LF356n

Obtendo-se desta forma um ganho de aproximadamente 55 Permitindo apli-

car uma tensatildeo de cerca de 66V ao cristal electrooacuteptico Uma vez que a tensatildeo

aplicada eacute baixa pode-se desprezar o efeito piezoeleacutectrico gerado na amostra e

que iria influenciar o valor do coeficiente electrooacuteptico medido

422 Gerador de Rampa

Para alimentar o excitador piezoeleacutectrico do espelho moacutevel foi utilizado um ge-

rador de sinais (Fig 43) de forma a induzir um deslocamento linear perioacutedico

na forma de rampa A frequecircncia de oscilaccedilatildeo cerca de 25Hz foi escolhida de

25

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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1991 isbn 9788185618104

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101016S1570-8659(04)13001-9

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

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incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

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45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

forma a ser suficientemente baixa para evitar fenoacutemenos de batimento com o sinal

de modulaccedilatildeo electrooacuteptico e suficientemente alta para que se consiga adquirir

dados em tempo uacutetil com uma tensatildeo variaacutevel entre os 4 e os 8V

Figura 43 Esquema eleacutectrico do gerador de rampa implementado baseado nocircuito temporizador NE555

Sendo R1 = 20kΩ R2 = 1kΩ e C1 = C2 = 47microF

O tempo de subida da rampa t1 eacute dado por

t1 = 0693(R1 +R2)C1 (43)

Enquanto que o tempo de descida t2 eacute

t2 = 0693R2C1 (44)

Obtendo assim um tempo de subida de 036s e um tempo de descida de 0033s

Assim a frequecircncia do gerador de rampa f seraacute dada por

f =1

t1 + t2=

144(R1 + 2R2)C1

(45)

O gerador de rampa foi construiacutedo aproveitando o espaccedilo livre no interior da

unidade de amplificaccedilatildeo onde se situa o amplificador

26

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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1991 isbn 9788185618104

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[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

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45

42 ELECTROacuteNICA DESENVOLVIDA

423 Seguidor de Tensatildeo

Devido agrave necessidade de acoplamento de impedacircncias entre o amplificador lock-

in e o osciloacutescopio natildeo foi possiacutevel a utilizaccedilatildeo de um repartidor coaxial que

repartisse o sinal proveniente do detector Assim de forma a se poder visuali-

zar o sinal proveniente do detector em simultacircneo com o sinal electrooacuteptico foi

necessaacuterio a construccedilatildeo de um seguidor de tensatildeo (Fig44)

Figura 44 Esquema do seguidor de tensatildeo utilizado construida com base nosamplifacores operacionais LF356n

Sendo que ambos os circuitos integrados foram alimentados por uma tensatildeo

positiva (V+) de 12V e uma negativa (Vminus) de minus12V Com R1 = R2 = 25kΩ Agrave

semelhanccedila do amplificador foi tambeacutem construida uma malha de controlo de

offset

Agrave semelhanccedila do gerador de rampa tambeacutem foi construido na unidade de

amplificaccedilatildeo e gerador de rampa como se pode ver na figura 45

27

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

28

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

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46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

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do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

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45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 45 Imagem da unidade de amplificaccedilatildeo e geraccedilatildeo de rampa implemen-tada

43 Sistema Oacuteptico Desenvolvido

431 Espelho Vibrante

O espelho vibrante (Fig46) foi construiacutedo afixando um espelho a um disco pie-

zoeleacutectrico A vibraccedilatildeo do espelho iraacute fazer com que a distacircncia entre o divisor

de feixe e o espelho varie Fazendo deslocar a franja de interferecircncia em frente ao

detector permitindo a este medir as intensidades maacuteximas e miacutenimas das franjas

de interferecircncia (ver secccedilatildeo 323)

Figura 46 Imagem do espelho vibrante utilizado

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43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

29

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

432 Bancada Oacuteptica

De forma a colocar os componentes ao niacutevel do feixe do laser na mesa oacuteptica e a

tornar o sistema menos sensiacutevel a vibraccedilotildees mecacircnicas e flutuaccedilotildees teacutermicas os

componentes foram colocadas numa base quadrada de alumiacutenio

Figura 47 Imagem da bancada oacuteptica onde o interferoacutemetro de Michelson foiconstruiacutedo

Conforme se pode ver na figura 47 para completar o interferoacutemetro de Michel-

son para aleacutem dos componentes jaacute referidos foram ainda utilizados um separador

de feixe e um espelho (fixo) no suporte com uma lente oacuteptica agrave saiacuteda do mesmo

Faltando ainda o laser utilizado da Melles Griotreg que possui uma potecircncia de

635mW e um comprimento de onda de 6328nm

433 Detector

O detector utilizado foi um modelo 818-UVDB da Newport Corporationreg (Fig

48) de baixa potecircncia consistindo num fotodiacuteodo de siliacutecio capaz de operar entre

os 200 e os 1100nm As caracteriacutesticas principais deste detector encontram-se

listadas na tabela 433

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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

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43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

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CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Tabela 41 Caracteriacutesticas principais do detector 818-UVDB [17]

Largura de Banda 200 a 1100(nm) Material Siliacutecio

Potecircncia

W λ(nm)

Incerteza de

λ(nm)

02 200 a 4008 200 a 219

Maacutexima Calibraccedilatildeo 2 220 a 349

005 400 a 11001 350 a 9494 950 a 1050

Densidade de02Wcm2 Aacuterea Activa 1cm2

Potecircncia Meacutedia

Energia Maacutexima05microJ

Diacircmetro113cm

de Pulso Activo

De forma a evitar que a luz ambiente interferisse nas medidas e para aumen-

tar a resoluccedilatildeo de mediccedilatildeo do perfil da franja de interferecircncia foi colocado um

diafragma com uma abertura no centro de 06mm conforme se pode ver na figura

48 reduzido desta maneira a aacuterea activa para 028 mm2

Figura 48 Imagem do detector e disco utilizado

Para a aquisiccedilatildeo do sinal electrooacuteptico e geraccedilatildeo de sinal electrooacuteptico de

referecircncia foi utilizado um osciloscoacutepio Lecroy Wavesufertrade422

30

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

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[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

434 Cristal Electrooacuteptico

Para a calibraccedilatildeo do sistema foi utilizado um cristal padratildeo de dihidrogenofosfato

de potaacutessio (KDP) Na tabela 42 pode-se observar algumas das propriedades

fiacutesicas desse cristal

Tabela 42 Propriedades fiacutesicas do cristal padratildeo KDP [18]

Material Simetria Densidade Classe Higroscopicidade

KDP Tetragonal (42m) 234gcm3 Uniaxial Higroscoacutepico

Uma vez que o cristal eacute uniaxial nx = ny = no e nz = ne sendo no e ne os

iacutendices de refraccedilatildeo ordinaacuterio e extraordinaacuterio do cristal KDP A figura 49 ilustra

o elipsoiacutede de iacutendices num cristal padratildeo KDP

Figura 49 Ilustraccedilatildeo de um cristal padratildeo KDP e seu respectivo elipsoiacutede deiacutendices

31

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na Tabela 43 pode-se observar algumas das propriedades oacutepticas do cristal

padratildeo KDP

Tabela 43 Propriedades oacutepticas do cristal padratildeo KDP a 6328nm [7]

Material Foacutermula Quiacutemica Iacutendice de RefracccedilatildeoCoeficiente

Electrooacuteptico

KDPKH2PO4

no=15074 r41=86 pmV(λ = 6328nm) ne=14673 r63=106 pmV

Como se pode ver na tabela 42 o cristal do tipo KDP eacute higroscoacutepico sendo

assim necessaacuterio reduzir ao maacuteximo o contacto entre o cristal e a atmosfera para

evitar que as suas faces fiquem opacas interferindo assim na qualidade do feixe

transmitido

435 Porta Amostras

O porta amostras eacute constituiacutedo por uma base feita de latatildeo (Fig 410) onde se

coloca o cristal nivelado com o feixe laser Este suporte possui oito roscas para

parafusos M3 quatro em cima de forma a se fixar os encaixes laterais do porta

amostras e quatro em baixo de forma a afixar-se firmemente na bancada oacuteptica

Figura 410 Imagem da base do porta-amostras desenvolvido

32

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

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101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

43 SISTEMA OacutePTICO DESENVOLVIDO

De forma a aplicar-se a tensatildeo de excitaccedilatildeo ao cristal sem bloquear o feixe do

laser foram utilizadas duas placas de vidro com oacutexido de estanho dopado com

fluacuteor (FTO) Este permite que haja uma boa transparecircncia e conduccedilatildeo eleacutetrica

sendo usado em vaacuterios tipos de dispositivos como aplicaccedilotildees opto-eletroacutenicas

ecratildes touch screen filmes finos fotovoltaicos etc O oacutexido de estanho dopado

com fluacuteor [19] eacute reconhecido por ser altamente estaacutevel quimicamente inerte re-

siste a temperaturas elevadas e ao desgaste abrasivo sendo mais econoacutemico do

que o tradicional oacutexido de iacutendio e estanho (ITO)

De forma a garantir um bom contacto eleacutectrico entre o vidro FTO e o cristal

foram construidas duas peccedilas de afixaccedilatildeo idecircnticas (Fig 411) Trata-se de duas

peccedilas de alumiacutenio cada uma contendo uma abertura de forma a deixar passar

o feixe laser e dois rasgos para parafusos de forma a poder-se fixar no suporte e

desta maneira exercer uma pressatildeo constante sobre o cristal

Figura 411 Imagem das peccedilas de fixaccedilatildeo do cristal desenvolvidas com a vista defrente (a) e a vista de traacutes (b)

A ligaccedilatildeo eleacutectrica entre o sinal de referecircncia proveniente do amplificador ao

vidro FTO foi feita atraveacutes de uma cola condutora de prata de forma a assegurar

a ligaccedilatildeo oacutehmica entre o fio de cobre e a camada de FTO O cristal fica assim entre

duas placas de vidro FTO(Fig412)

33

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

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S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

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sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

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[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Figura 412 Imagem do porta Amostras desenvolvido

A figura 413 ilustra o sistema desenvolvido incluindo a bancada oacuteptica e

instrumentaccedilatildeo

Figura 413 Imagem do sistema desenvolvido para a mediccedilatildeo do efeito electrooacutep-tico

34

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

44 COEFICIENTE ELECTROOacutePTICO

44 Coeficiente Electrooacuteptico

Para o cristal utilizado o dihidrogenofosfato de potaacutessio (KDP) e para o efeito

electrooacuteptico linear a matriz de coeficientes electrooacutepticos eacute a seguinte

rij =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

r41 0 0

0 r52 0

0 0 r63

com

i = 1 6

j = 123

Sendo que r41 = r52 pelo que existem apenas dois coeficientes independentes

o r41 e o r63

Usando a notaccedilatildeo condensada mencionada da secccedilatildeo 21 onde se aplica o

campo eleacutectrico (E) no plano do i (sendo i = m) enquanto que j eacute o eixo oacuteptico

Para o caso do KDP eacute costume utilizar o r63 Isto eacute aplicar o campo eleacutectrico nos

planos 12 ou 21 (ou seja i = 6) com o eixo oacuteptico no eixo 3 (j = 3) como demonstra

a figura 414

Figura 414 Ilustraccedilatildeo da configuraccedilatildeo utilizada para a mediccedilatildeo do coeficienter63 num cristal

35

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Para o caso do efeito electrooacuteptico quadraacutetico a matriz dos coeficientes elec-

trooacutepticos seraacute

sij =

s11 s12 s12 0 0 0

s12 s11 s12 0 0 0

s12 s12 s11 0 0 0

0 0 0 s11 minus s12 0 0

0 0 0 0 s11 minus s12 0

0 0 0 0 0 s11 minus s12

com i j = 1 6

45 Execuccedilatildeo Experimental

Para se medir o coeficiente electrooacuteptico aplica-se ao cristal uma tensatildeo com uma

frequecircncia de 2kHz frequecircncia essa que se revelou menos sensiacutevel aos ruiacutedos

ambientes sendo que o sinal electrooacuteptico teraacute a mesma frequecircncia Podendo-

se desta maneira atraveacutes de um amplificador de lock-in (modelo 393 da IthacoDynatrac) filtrar o sinal electrooacuteptico dos restantes sinais uma vez que a sua

frequecircncia eacute conhecida

A intensidade da equaccedilatildeo 41 eacute maacutexima quando cos(∆φ) = 1 e miacutenima quando

cos(∆φ) = minus1 Pelo que subtraindo estas duas equaccedilotildees

Imax minus Imin = 4E1E2 (46)

Assim combinando a equaccedilatildeo 41 com a equaccedilatildeo 46 obtem-se

I prop E21E

22 +

12

(Imax minus Imin)cos(∆φ) (47)

Juntando agora a equaccedilatildeo 246 agrave equaccedilatildeo 247 e tendo em conta que o feixe

passa duas vezes por cada ramo (=2l) a diferenccedila de fase para o efeito electrooacutep-

tico linear

∆φ = ∆φ0 +πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) (48)

Sendo ∆φ0 a diferenccedila de fase inicial sem o efeito electrooacuteptico

36

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

45 EXECUCcedilAtildeO EXPERIMENTAL

Substituindo o ∆φ da equaccedilatildeo 48 na equaccedilatildeo 47 a intensidade do sinal com

modulaccedilatildeo electrooacuteptica(Iseo) seraacute dado por

Iseo prop E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin)cos(∆φ0 +

πrn3oVoλ

2lh

cos(Ωt))

(49)

Usando cos(α plusmn β) = cos(α)cos(β)∓ sen(α) sen(β) e D = πrn3oVoλ

2lh fica-se com

Iseo prop E21 +E2

2+12

(Imax minus Imin)

[cos(∆φ0)cos(Dcos(Ωt)) minus sen(∆φ0) sen(D cos(Ωt))](410)

Como a modulaccedilatildeo electrooacuteptica eacute um efeito muito pequeno a equaccedilatildeo 410

pode-se escrever

Iseo asymp E21 +E2

2 +12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (411)

Considerando soacute os termos de primeira ordem

Iseo asymp12

(Imax minus Imin) [cos(∆φ0)minusD cos(Ωt) sen(∆φ0)] (412)

A componente do sinal electrooacuteptico eacute entatildeo dado por

Iseo =12

(Imax minus Imin)D cos(Ωt) sen(∆φ0) (413)

Ou seja

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

cos(Ωt) sen(∆φ0) (414)

O acircngulo ∆φ0 varia linearmente com o tempo (t) a uma frequecircncia inferior

a Ω A franja de interferecircncia desloca-se continuamente em frente ao detector

devido a um dos espelho estar fixado num disco piezoeleacutectrico

37

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

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1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

[4] P Butcher e D Cotter The Elements of Nonlinear Optics Cambridge Univer-

sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Na figura 415 pode-se ver uma exemplificaccedilatildeo do sinal no detector que incor-

pora o sinal da franja e electrooacuteptico dada pela equaccedilatildeo 414

Figura 415 Ilustraccedilatildeo do sinal de modulaccedilatildeo electrooacuteptica de um feixe de luzmedido num interferoacutemetro de Michelson

Uma vez que o sinal electrooacuteptico (cos(Ωt)) estaacute desfasado π2 do sinal da

franja ( sen(∆φ0)) A intensidade do sinal electrooacuteptico pode ser escrita como

Iseo asymp12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

∣∣∣ sen(∆φ0)∣∣∣ (415)

Assim a amplitude do sinal electrooacuteptico eacute

Iseo =12

(Imax minus Imin)πrn3

oVoλ

2lh

(416)

Pelo que o coeficiente electrooacuteptico linear seraacute dado por

r =|Iseo|

|Imax minus Imin|λ

πn3oVo

hl

(417)

38

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

httpdxdoiorg101016jijleo201507194

[2] A Ghatak e K Thyagarajan Optical Electronics Cambridge University Press

1991 isbn 9788185618104

[3] Q Lai Z Li L Zhang X Li W F Stickle Z Zhu Z Gu T I Kamins R

S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

transistorrdquo Em Nano Letters 83 (2008) pp 876ndash880 issn 15306984 doi

101021nl073112y

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sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

[5] A Yariv e P Yeh Photonics optical electronics in modern communications2007 p 849 isbn 9780195179460 doi 0195106261

[6] W Magnus e W Schoenmaker Introduction to Electromagnetism 2005 doi

101016S1570-8659(04)13001-9

[7] J Frejlich Photorefractive materials 2006 isbn 9780471748663

[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

46 RESULTADOS

Para o efeito electrooacuteptico quadraacutetico utilizando o procedimento anoacutelogo mas

a partir da equaccedilatildeo 248 em vez da equaccedilatildeo 247 O sinal electrooacuteptico quadraacutetico

Iseoq que ocorre ao dobro da frequecircncia de modulaccedilatildeo 2Ω eacute dado por

s =

∣∣∣Iseoq∣∣∣|Imax minus Imin|

2λ

πn3oV

2o

h2

l(418)

46 Resultados

Com o cristal de KDP devidamente alinhado no interferoacutemetro segundo o seu

eixo oacuteptico de maneira a se medir o coeficiente r63 Obtendo-se assim dois sinais

o sinal de franja e o sinal electrooacuteptico (Fig 416)

Figura 416 Padratildeo da franja produzida (a) e respectivos sinais de franja e elec-trooacuteptico obtidos para um cristal KDP padratildeo

De forma a se proceder a calibraccedilatildeo do sistema utilizou-se a equaccedilatildeo 417 na

forma

|Iseo||Imax minus Imin|

=πn3

o

λlhrVo (419)

39

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

[1] T Jalali e M Hessamodini ldquoThe effect of 1D magneto-photonic crystal

defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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S Williams e Y Chen ldquoAn organicSi nanowire hybrid field configurable

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sity Press 1990 isbn 0-521-34183-3

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[8] A d L Moura ldquoMedida do coeficiente eletrooacuteptico efetivo e determinaccedilatildeo

do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

[9] M Henry S Mallick D Rouegravede L E Celaya e a Garcia Weidner ldquoPro-

pagation of light in an optically active electro-optic crystal of Bi12SiO20

Measurement of the electro-optic coefficientrdquo Em Journal of Applied Physics591986 (1986) pp 2650ndash2654 issn 00218979 doi 1010631336969

[10] P Hariharan ldquoOptical interferometryrdquo Em Reports on Progress in Physics543 (1991) p 339 doi 1010880034-4885543001

45

CAPIacuteTULO 4 SISTEMA IMPLEMENTADO

Usando o valor da razatildeo |Iseo ||ImaxminusImin|

em funccedilatildeo do potencial aplicado Vo pode-se

calcular o valor do coeficiente electrooacuteptico r atraveacutes do declive da recta obtida

Pode-se ver na figura 417 uma das rectas obtidas para o cristal utilizado na

calibraccedilatildeo do sistema

Figura 417 Razatildeo entre o sinal electrooacuteptico e a diferenccedila de intensidade defranjas em funccedilatildeo do potencial Vo aplicado ao cristal

A tabela 44 apresenta o valor do coeficiente electrooacuteptico obtido e respectiva

incerteza para o cristal de KDP tomando em conta os valores dos iacutendices de

refraccedilatildeo da tabela 43

Tabela 44 Valores e respectivas incertezas obtidas do coeficiente electrooacutepticopara o cristal KDP utilizado

Material Valor Padratildeo Valor Obtido Erro

KDPr63 = 106pmV r63 = 105plusmn 02pmV 1

(λ = 6328nm)

Como se pode ver na tabela 44 o resultado obtido situa-se muito proacuteximo

do teoacuterico encontrando-se dentro da incerteza obtida Os valores valores meacutedios

apresentam um desvio da ordem dos 02pmV

40

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

Bibliografia

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defect mode on Faraday rotationrdquo Em Optik - International Journal for Lightand Electron Optics 12623 (2015) pp 3954 ndash3958 issn 0030-4026 doi

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

refrativo Bi12TiO20 nominalmente puro utilizando uma configuraccedilatildeo de

incidecircncia obliacutequa modelo e experimentordquo Tese de doutoramento Univer-

sidade Federal de Alagoas 2013

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45

46 RESULTADOS

Apesar dos valores obtidos serem bastante positivos houve algumas dificul-

dades nomeadamente o vidro FTO que causou que o alinhamento fosse extrema-

mente complicado natildeo soacute pela sua espessura e dimensionamento como tambeacutem

pela refraccedilatildeo provocada no feixe laser Outro grande obstaacuteculo foi o alinhamento

do cristal uma vez que basta um ligeiro desvio no caminho oacuteptico para causar um

desalinhamento total algo que eacute agravado no interferoacutemetro do tipo Michelson

pelo facto de o feixe laser passar na amostra duas vezes

Apesar destas dificuldades o valor obtido para o coeficiente electrooacuteptico r63

foi de 105pmV valor esse muito proacuteximo do valor padratildeo da literatura que se

encontra nos 106pmV Assim pode-se considerar que o sistema desenvolvido

se encontra devidamente calibrado e pronto para futuras utilizaccedilotildees

41

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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do coeficiente de blindagem do campo eleacutetrico aplicado em cristal fotor-

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45

Capiacutetulo

5Conclusotildees

O trabalho desenvolvido no decorrer desta dissertaccedilatildeo consistiu no desenvolvi-

mento de um sistema para a mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico aacuterea a ser ulilizada

na caracterizaccedilatildeo de novos materiais polimeacutericos para aplicaccedilatildeo em dispositivos

fotoacutenicos

Nesta conformidade foi desenhada construiacuteda e testado uma bancada oacuteptica

destinada agrave mediccedilatildeo do efeito electrooacuteptico baseado numa teacutecnica interferomeacute-

trica de mediccedilatildeo da diferenccedila de fase implementado atraveacutes de um interferoacutemetro

do tipo Michelson

O cristal escolhido para a calibraccedilatildeo do sistema desenvolvido foi um cristal de

KDP comercial tendo sido utilizado o coeficiente electrooacuteptico r63 como referecircn-

cia sendo o valor padratildeo de 106pmV

O sistema obtido permitiu medir um valor nominal de 105plusmn 02pmV com

um erro de aproximadamente 1 em relaccedilatildeo ao valor tabelado comprovando a

afericcedilatildeo do sistema para a mediccedilatildeo do coeficiente electrooacuteptico por transmissatildeo

O sistema desenvolvido estaacute portanto apto para futuras mediccedilotildees sendo ape-

nas necessaacuterio algumas alteraccedilotildees no porta-amostras mediante as dimensotildees e

forma da amostra a utilizar

Chegou-se ainda agrave conclusatildeo que para amostras como o cristal utilizado o

feixe laser passar duas vezes na amostra acaba por ser uma grande desvantagem

desvantagem essa inexistente para filmes polimeacutericos que ganham cada vez mais

importacircncia na aacuterea da fotoacutenica uma vez que satildeo materiais de grande interesse

cientiacutefico e tecnoloacutegico jaacute que podem ser utilizados no desenvolvimento de dispo-

sitivos oacutepticos nomeadamente moduladores de luz e memoacuterias oacutepticas

43

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htmlTablePage=106837645 [Consultado em 17-05-2015]

46

Apecircndice

AApecircndice

A1 Desenhos Teacutecnicos

47

4xM

311

23

35

40

4xM

311

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• Lista de Figuras
• Lista de Tabelas
• Introduccedilatildeo
• Efeito Electrooacuteptico
• • Oacuteptica Natildeo-Linear
  • Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
  • • Vector de Poynting
    • Elipsoiacutede dos Iacutendices
    • Coeficientes Natildeo-Lineares
    • • Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
      • • Meacutetodo Tradicional
        • Meacutetodos por Interferometria
        • • Interferometria Oacuteptica
          • Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
          • Interferoacutemetro de Michelson
          • • Sistema Implementado
            • • Interferoacutemetro
              • Electroacutenica Desenvolvida
              • • Amplificador
                • Gerador de Rampa
                • Seguidor de Tensatildeo
                • • Sistema Oacuteptico Desenvolvido
                  • • Espelho Vibrante
                    • Bancada Oacuteptica
                    • Detector
                    • Cristal Electrooacuteptico
                    • Porta Amostras
                    • • Coeficiente Electrooacuteptico
                      • Execuccedilatildeo Experimental
                      • Resultados
                      • • Conclusotildees
                        • Bibliografia
                        • Apecircndice
                        • • Desenhos Teacutecnicos

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• Lista de Figuras
• Lista de Tabelas
• Introduccedilatildeo
• Efeito Electrooacuteptico
• • Oacuteptica Natildeo-Linear
  • Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
  • • Vector de Poynting
    • Elipsoiacutede dos Iacutendices
    • Coeficientes Natildeo-Lineares
    • • Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
      • • Meacutetodo Tradicional
        • Meacutetodos por Interferometria
        • • Interferometria Oacuteptica
          • Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
          • Interferoacutemetro de Michelson
          • • Sistema Implementado
            • • Interferoacutemetro
              • Electroacutenica Desenvolvida
              • • Amplificador
                • Gerador de Rampa
                • Seguidor de Tensatildeo
                • • Sistema Oacuteptico Desenvolvido
                  • • Espelho Vibrante
                    • Bancada Oacuteptica
                    • Detector
                    • Cristal Electrooacuteptico
                    • Porta Amostras
                    • • Coeficiente Electrooacuteptico
                      • Execuccedilatildeo Experimental
                      • Resultados
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                        • Bibliografia
                        • Apecircndice
                        • • Desenhos Teacutecnicos

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• Lista de Tabelas
• Introduccedilatildeo
• Efeito Electrooacuteptico
• • Oacuteptica Natildeo-Linear
  • Propagaccedilatildeo em Meios Anisotroacutepicos
  • • Vector de Poynting
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    • Coeficientes Natildeo-Lineares
    • • Mediccedilatildeo do Efeito Electrooacuteptico
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        • Meacutetodos por Interferometria
        • • Interferometria Oacuteptica
          • Interferoacutemetro de Mach-Zehnder
          • Interferoacutemetro de Michelson
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                      • Execuccedilatildeo Experimental
                      • Resultados
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                        • Bibliografia
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