UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFaculdade de Engenharia Mecânica

GUSTAVO SILVA RODRIGUES

Desempenho de esquemas de discretizaçãoem volumes finitos na equação de transporte

advectiva-difusiva

CAMPINAS2019

GUSTAVO SILVA RODRIGUES

Desempenho de esquemas de discretizaçãoem volumes finitos na equação de transporte

advectiva-difusiva

Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade deEngenharia Mecânica da Universidade Estadual deCampinas como parte dos requisitos exigidos paraobtenção do título de Mestre em Engenharia Mecâ-nica, na Área de Térmica e Fluidos.

Orientador: Prof. Dr. José Ricardo Figueiredo

ESTE EXEMPLAR CORRESPONDE À VERSÃOFINAL DA DISSERTAÇÃO DEFENDIDA PELOALUNO Gustavo Silva Rodrigues, E ORIENTADOPELO Prof. Dr. José Ricardo Figueiredo.

CAMPINAS2019

Agência(s) de fomento e nº(s) de processo(s): CAPES, 1784734ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1492-1949

Ficha catalográficaUniversidade Estadual de Campinas

Biblioteca da Área de Engenharia e ArquiteturaElizangela Aparecida dos Santos Souza - CRB 8/8098

Rodrigues, Gustavo Silva, 1994- R618d RodDesempenho de esquemas de discretização em volumes finitos na

equação de transporte advectiva-difusiva / Gustavo Silva Rodrigues. –Campinas, SP : [s.n.], 2019.

RodOrientador: José Ricardo Figueiredo. RodDissertação (mestrado) – Universidade Estadual de Campinas, Faculdade

de Engenharia Mecânica.

Rod1. Método dos volumes finitos. 2. Métodos de discretização. 3. Análise

numérica. 4. Fluidodinâmica computacional (CFD). I. Figueiredo, José Ricardo,1953-. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de EngenhariaMecânica. III. Título.

Informações para Biblioteca Digital

Título em outro idioma: Performance of finite volume discretization schemes in theadvective-diffusive transport equationPalavras-chave em inglês:Finite volume methodDiscretization methodsNumerical analysisComputational fluid dynamics (CFD)Área de concentração: Térmica e FluídosTitulação: Mestre em Engenharia MecânicaBanca examinadora:José Ricardo Figueiredo [Orientador]Rogério Gonçalves dos SantosAristeu da Silveira NetoData de defesa: 19-02-2019Programa de Pós-Graduação: Engenharia Mecânica

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICADEPARTAMENTO DE ENERGIA

DISSERTAÇÃO DE MESTRADO ACADÊMICO

Desempenho de esquemas de discretizaçãoem volumes finitos na equação de transporte

advectiva-difusiva

Autor: Gustavo Silva Rodrigues

Orientador: Prof. Dr. José Ricardo Figueiredo

A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou esta Dissertação:

Prof. Dr. José Ricardo Figueiredo, PresidenteDE/FEM/Unicamp

Prof. Dr. Rogério Gonçalves dos SantosDE/FEM/Unicamp

Prof. Dr. Aristeu da Silveira NetoMFLab/FEMEC/UFU

A ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no processo de vidaacadêmica do aluno.

Campinas, 19 de fevereiro de 2019.

Dedico este trabalho à minha mãe Eliane eao meu irmão Rodrigo por nunca medirem

esforços na minha formação pessoal.

Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar à minha mãe Eliane, pela determinação e luta durante a criaçãominha e dos meus irmãos.

Agradeço aos meus irmãos Rodrigo e Karine, por todo incentivo e apoio incondicional que meconcederam ao longo da vida.

Agradeço ao meu orientador Dr. José Ricardo Figueiredo pela oportunidade concedida, peloconhecimento transmitido, pela confiança depositada em mim e pela paciência durante o desen-volvimento deste trabalho.

Agradeço aos meus amigos e colegas de departamento, pela cumplicidade, ajuda e amizade quecontribuíram de forma direta ou indireta na conclusão deste trabalho.

Agradeço também aos professores da Faculdade de Engenharia Mecânica da Unicamp, quecontribuíram para a minha formação acadêmica. Em especial ao professor Dr. Rogério Gonçal-ves dos Santos, pelas dicas e conselhos que foram dados ao longo do desenvolvimento destetrabalho.

Não poderia deixar de registrar o meu agradecimento especial a professora Dr.a Raquel daCunha Ribeiro da Silva, pela amizade e oportunidade que me foi concedida em 2015, que meconduziu até aqui.

Por fim, agradeço aos membros da banca examinadora, pela disposição em avaliar o presentetrabalho.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal deNível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

Parece ser uma das característicasfundamentais da natureza que as leisfísicas fundamentais sejam descritas emtermos de uma teoria matemática degrande beleza e poder.

Paul Dirac

Resumo

RODRIGUES, Gustavo. Desempenho de esquemas de discretização em volumes finitos naequação de transporte advectiva-difusiva. 2019. 160p. Dissertação de Mestrado. Faculdade deEngenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, Campinas.

Os desempenhos de sete esquemas de discretização em volumes finitos dos termosadvectivos-difusivos da equação de transporte bidimensional, foram avaliados em dois pro-blemas testes. O primeiro problema consiste no transporte advectivo e difusivo de um escalarsem termo fonte através de um campo de velocidades uniforme e paralelo. Este problemaé modelado por uma equação linear, resolvida pelo método de separação de variáveis, quepossui seis soluções elementares na forma real dependente de um autovalor. Este primeiroteste, puramente teórico, permite investigar os efeitos que o número de Peclet, o autovalorda solução elementar, e ângulo entre o escoamento e a malha tem na acurácia e estabilidadedos esquemas de discretização. O segundo teste realizado, consiste no estudo do escoamentoisotérmico incompressível em canal com degrau a montante. Este problema é modelado pelasequações de Navier-Stokes e continuidade, que são resolvidas numericamente utilizando aformulação de variáveis primitivas, empregando a equação de Poisson para a pressão naestrutura de malha semi-deslocada. As equações que modelam este escoamento não possuemsoluções analíticas para comparação com os resultados numéricos, utiliza-se a técnica daextrapolação de Richardson para estimar a solução analítica do conjunto de equações e realizara comparação da acurácia dos esquemas. Nesse segundo ensaio, o objetivo foi investigar osefeitos que o número de Reynolds tem na precisão numérica e estabilidade dos esquemas dediscretização através dos comprimentos de recirculação e dos campos de pressão e velocidade.Os esquemas submetidos a estes dois problemas testes foram o esquema da diferenciaçãocentral, exponencial simples, upwind de primeira ordem, upwind de segunda ordem, LOADS,QUICK e UNIFAES.

Palavras-chave: volumes finitos, esquemas de discretização, análise numérica, CFD, extrapo-lação de richardson.

Abstract

RODRIGUES, Gustavo. Performance of finite volume discretization schemes in the advective-diffusive transport equation. 2019. 160p. Master’s dissertation. School of MechanicalEngineering, University of Campinas, Campinas.

The performances of seven finite-volume discretization schemes of the advective-diffusive terms of the two-dimensional transport equation were evaluated in two test problems.The first problem consists of the advective and diffusive transport of an inert scalar withoutsource term through a uniform and parallel velocity field. This problem is modeled by alinear equation, solved by the method of separation of variables, which has six elementarysolutions in real form dependent on an eigenvalue. This first test, purely theoretical, allows theinvestigation of the effects that the number of Peclet, the eigenvalue of the elementary solution,and angle between the flow and the mesh have in the accuracy and stability of the discretizationschemes. The second test consists of the study incompressible isothermal flow in a channelwith a backward facing step. This problem is modeled by the Navier-Stokes and continuityequations, which are solved numerically using the formulation of primitive variables, usingthe Poisson equation for the pressure in the semi-staggered mesh structure. The equations thatmodel this flow does not have an analytical solution for comparison with the numerical results,the Richardson extrapolation technique is used to estimate the exact solution and compare theaccuracy of the schemes. In this second test problem, the objective was to investigate the effectsthat the Reynolds number has on the numerical precision and stability of the discretizationschemes through the recirculation lengths and the pressure and velocity fields. The schemessubmitted to these two test problems were the central differencing scheme, simple exponential,first order upwind, second order upwind, LOADS, QUICK and UNIFAES.

Keywords: finite volumes, discretization schemes, numerical analysis, CFD, richardson extra-polation.

Lista de Ilustrações

2.1 Tipos de estruturas de malhas utilizadas na solução das equações de Navier-Stokes utilizando a formulação de variáveis primitivas. . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Regiões de recirculação formadas em escoamento no canal com degrau a mon-tante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 Volume de controle regular e uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393.2 Perfil de interpolação adotado pelo esquema CDS. . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3 Perfil de interpolação adotado pelo esquema FOU. . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4 Célula computacional e perfil interpolante adotados pelo SOU. . . . . . . . . . 463.5 Perfil de interpolação adotado pelo esquema QUICK. . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Perfis de interpolação exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.7 Célula computacional do LOADS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.8 Célula computacional do esquema UNIFAES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.9 Diferenças entre os esquemas na fronteira do domínio computacional. . . . . . 613.10 Modificação adotada na fronteira para os esquemas discretizantes. . . . . . . . 633.11 Forma do erro discretizante em CFD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1 Volume de controle regular e uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2 Método ADI para malhas bidimensionais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.1 Sistema de coordenadas numéricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2 Soluções elementares em 𝑃𝑒 = 10 e 𝜃 = 22,5∘. . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.3 Estrutura do algoritmo de solução do problema linear. . . . . . . . . . . . . . . 855.4 Perfis exato e numéricos para as soluções A, B, C e D numa malha 10x10,

𝑥 = 0,4, 𝑃𝑒 = 60, 𝜆 = 6, 𝜃 = 22,5∘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.5 Perfis exatos e numéricos para as soluções A, B, C e D numa malha 10x10,

𝑥 = 0,4, 𝑃𝑒 = 60, 𝜆 = 36, 𝜃 = 22,5∘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.6 Evolução do erro RMS com o refinamento da malha para as soluções A,B,C e

D em 𝑃𝑒 = 60, 𝜆 = 6, 𝜃 = 22,5∘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.7 Evolução do erro RMS com o refinamento da malha para as soluções A,B,CD e

DC em 𝑃𝑒 = 60, 𝜆 = 36, 𝜃 = 22,5∘. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.8 Evolução do erro RMS para a solução do tipo A. . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.9 Evolução da solução tipo A de acordo com o autovalor em 𝑃𝑒 = 100 e 𝜃 = 22,5∘. 935.10 Evolução do erro RMS com o aumento do autovalor para 𝑃𝑒 = 10 e malha de

10x10 volumes de controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.11 Resultados obtidos para o problema de advecção pura com distribuição degrau. 975.12 Coordenadas das informações extrapoladas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1 Geometria do canal com degrau a montante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2 Domínio computacional do canal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.3 Estrutura do algoritmo de solução do problema não linear. . . . . . . . . . . . . 1046.4 Comprimentos de descolamento e reatamento das regiões de recirculação para

vários números de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1116.5 Coeficiente de atrito nas paredes do degrau a montante para Re = 800. . . . . . 1136.6 Linhas de corrente para o escoamento laminar estável sobre o degrau a montante

obtida pelos esquemas não difusivos CDS, SOU, QUICK, UNIFAES na malha H.1156.7 Linhas de corrente para o escoamento laminar estável sobre o degrau a montante

obtida pelos esquemas difusivos FOU e exponencial simples na malha H. . . . 1166.8 Legenda adotada nos resultados apresentados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.9 Perfis de velocidade ao longo do canal para 100 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 400 obtidos na malha H.1186.10 Perfis de velocidade ao longo do canal para 500 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 800 obtidos na malha H.1196.11 Perfis de velocidade ao longo do canal para 900 ≤ 𝑅𝑒 ≤ 1200 obtidos na malha

H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.12 Efeito tabuleiro de Xadrez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.13 Pós-processamento do campo de Pressão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.14 Perfis dos campos de pressões oscilatórios e suavizados em algumas posições

do canal para 𝑅𝑒 = 1000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1226.15 Contorno dos campos de pressões oscilatórios e suavizados para 𝑅𝑒 = 1000. . . 1236.16 Perfis dos campos de pressões suavizados em 𝑥/ℎ = 7. . . . . . . . . . . . . . 1236.17 Contorno dos campos de pressões obtidos para 𝑅𝑒 = 600. . . . . . . . . . . . . 1246.18 Evolução do erro relativo para os comprimentos de recirculação. . . . . . . . . 1286.19 Pontos comuns dos níveis de refinamento utilizados. . . . . . . . . . . . . . . . 1296.20 Evolução do erro RMS para o campo de velocidades 𝑢. . . . . . . . . . . . . . 1306.21 Evolução do erro RMS para o campo de velocidades 𝑣. . . . . . . . . . . . . . 1316.22 Evolução do erro RMS para o campo de pressões 𝑝. . . . . . . . . . . . . . . . 132A.1 Detecção do comprimento da bolha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147A.2 Comprimento de recirculação na parede. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148A.3 Regiões com equações especiais da pressão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149A.4 Volumes de controle da fronteira adjacentes a parede inferior. . . . . . . . . . . 150A.5 Detecção do comprimento de recirculação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151B.1 Dimensões da altura do canal com degrau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152B.2 Comprimentos característicos das regiões de recirculação nas razões de expan-

são de 1:2 e 1:1,94 para vários números de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . 153

Lista de Tabelas

5.1 Extrapolação de Richardson para a solução A em 𝑃𝑒 = 200, 𝜆 = 10, 𝜃 = 22,5∘. 996.1 Nomenclatura dos níveis de refinamentos utilizados. . . . . . . . . . . . . . . . 1056.2 Comprimento de recirculação 𝑋1/ℎ para 𝑅𝑒 = 100. . . . . . . . . . . . . . . . 1066.3 Comprimento de recirculação 𝑋1/ℎ para 𝑅𝑒 = 200. . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4 Comprimento de recirculação 𝑋1/ℎ para 𝑅𝑒 = 300. . . . . . . . . . . . . . . . 1086.5 Comprimentos de recirculação 𝑋1/ℎ, 𝑋2/ℎ e 𝑋3/ℎ para 𝑅𝑒 = 600. . . . . . . 1096.6 Validação dos resultados para 𝑅𝑒 = 800 com investigações anteriores. . . . . . 1126.7 Níveis de refinamentos utilizados nas extrapolações. . . . . . . . . . . . . . . . 1256.8 Comprimento de recirculação extrapolados em 𝑅𝑒 = 100. . . . . . . . . . . . . 1276.9 Variações na avaliação do erro relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127A.1 Detecção do comprimento de recirculação. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147B.1 Malhas utilizadas para as razões de expansão de 1:2 e 1:1,94. . . . . . . . . . . 154C.1 Comprimentos da região de recirculação primária (𝑋1) . . . . . . . . . . . . . 155C.2 Comprimentos da região de recirculação secundária (𝑋2) . . . . . . . . . . . . 157C.3 Comprimentos da região de recirculação secundária (𝑋3) . . . . . . . . . . . . 158C.4 Comprimentos característicos das regiões de recirculação nas razões de expan-

são de 1:2 e 1:1,94 para vários números de Reynolds. . . . . . . . . . . . . . . 160C.5 Comprimentos característicos experimentais das regiões de recirculação nas ra-

zões de expansão de 1:2 e 1:1,94 para vários números de Reynolds. . . . . . . . 160

Lista de Abreviaturas e Siglas

Letras Latinas

𝑎𝑖 - Coeficientes de influencia das equações do momento discretizadas𝐴𝑖 - Coeficientes de influencia modificados𝐶 - Constantes𝐶𝑓 - Coeficiente de atrito𝐷 - Dilatação, divergente de velocidade𝐷𝑖 - Termo da difusão adimensional𝐸𝑅 - Razão de expansão do canal𝐹𝑖 - Fluxo de massa convectiva𝑔 - Aceleração gravitacionalℎ - Altura do degrauℎ𝐸 - Altura do comprimento de entrada do degrau𝐻 - Altura total do canal𝐿𝑐 - Comprimento característico𝑃 - Pressão física, mais carga hidrostática𝐽 - Fluxos viscosos e advectivos combinados através do contorno da célula𝐾 - Termo fonte da equação geradora𝑅𝑒 - Número de Reynolds𝑃𝑒 - Número de Peclet𝑆 - Termo fonte da equação de transporte𝑆𝑎 - Termo fonte da equação de transporte discretizada𝑡 - Tempo adimensional𝑢 - Componente de velocidade na direção x𝑣 - Componente de velocidade na direção y𝑉𝑐 - Velocidade característica𝑋𝑖/ℎ - Comprimentos característicos de cada região de recirculação

Letras Gregas

𝜑 - Variável genéricaΓ - Difusividade𝜋 - Função real para o número de Peclet celularΠ - Coeficientes de influência no esquema de Allen e Southwell𝜆 - Autovalor da Solução elementar𝜒 - Função real para o número de Peclet celular

𝜓 - Termo de correção para as equações do momentum discretizadas𝜃 - ângulo entre a malha e o escoamento𝜌 - Densidade do fluido𝜏𝑤 - Tensão de cisalhamento na parede𝜇 - Viscosidade dinâmica do fluido𝜈 - Viscosidade cinemática do fluido𝜔 - Sub-relaxação adotada no método de Gauss-Siedel

Siglas

ADI - Direção implícita alternada, do inglês Alternating Direction ImplicitCDS - Esquema da diferença central, do inglês Central Differencing schemeCFD - Dinâmica dos fluidos computacional, do inglês Computational Fluid Dyna-

mics

CFL - Courant Friedrichs LewyDNS - Simulações numéricas diretas, do inglês direct numerical simulationsFOU - Upwind de primeira ordem, do inglês First Order UpwindLOADS - Esquema de diferenciação localmente analítico, do inglês Locally Analytic

Differencing Scheme

MAC - Marker and CellMDF - Métodos das diferenças finitasMEF - Métodos dos Elementos FinitosMVF - Métodos dos Volumes FinitosQUICK - Interpolação quadrática a montante para a cinemática convectiva, do inglês

Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics

QUICKER - Interpolação quadrática a montante para a cinemática convectiva estendida erevisada, do inglês Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kine-matics Extended and Revised

RMS - Root Mean SquareSIMPLE - Semi-Implicit Method for Pressure-Linked EquationSIMPLEC - Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation ConsistentSIMPLER - Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation RevisedSOU - Upwind de segunda ordem, do inglês Second Order UpwindSOUB - Second Order Upwind BiasedTDMA - Tridiagonal Matrix AlgorithmUNIFAES - Esquema de abordagem finita unificada do tipo exponencial, do inglês Uni-

fied Finite Approaches Exponential-type Scheme

SUMÁRIO

Lista de Ilustrações 10

Lista de Tabelas 12

Lista de Abreviaturas e Siglas 13

SUMÁRIO 15

1 INTRODUÇÃO 181.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2 Justificativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 242.1 Origem e Histórico da CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2 Formulações e Métodos de Soluções das Equações de Navier-Stokes . . . . . . 25

2.2.1 Tipos de estruturas de malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2.2 Métodos de integração das equações de momentum . . . . . . . . . . . 30

2.3 Escoamento Sobre o Degrau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3.1 Estudos experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.3.2 Estudos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3 ESQUEMAS DE DISCRETIZAÇÃO EM VOLUMES FINITOS 383.1 Discretização da Equação de Transporte Advectiva-Difusiva . . . . . . . . . . 383.2 Discretizações Clássicas do Termo Advectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Esquema de diferenciação central (CDS) . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2.2 Upwind de primeira ordem (FOU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.3 Upwind de segunda ordem (SOU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4 Interpolação quadrática a montante para a cinemática convectiva (QUICK) 48

3.3 Família de Esquemas do Tipo Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.1 Esquema exponencial simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3.2 Esquema de diferenciação localmente analítico (LOADS) . . . . . . . . 553.3.3 Esquema tipo exponencial por abordagem finitas unificadas (UNIFAES) 58

3.4 Tratamento das Fronteiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.5 Escolha dos Esquemas Discretizantes Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6 Comentários Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.7 Forma de Análise do Erro Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.7.1 Extrapolação de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4 DESENVOLVIMENTO NUMÉRICO 724.1 Metodologia de Solução das Equações de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . 72

4.1.1 Equação da pressão de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.1.2 Discretização das equações do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.2 Equação de Transporte Advectiva-Difusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.2.1 Método da direção implícita alternada (ADI) . . . . . . . . . . . . . . 78

5 PROBLEMA LINEAR: TRANSPORTE ADVECTIVO E DIFUSIVO DE UMESCALAR EM UM CAMPO DE VELOCIDADES UNIFORME E PARALELO 805.1 Solução Geral da Equação de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.2.1 Algoritmo de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.2 Comportamento dos esquemas em baixas e altas razões de autovalores . 865.2.3 Investigação da evolução do erro de acordo com número de Peclet e o

ângulo entre o escoamento e a malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.2.4 Investigação da evolução do erro com o aumento do autovalor . . . . . 935.2.5 Investigação do comportamento dos esquemas em um problema de ad-

vecção pura utilizando uma distribuição degrau . . . . . . . . . . . . . 965.2.6 Extrapolação de Richardson na estimativa da solução exata . . . . . . . 98

5.3 Conclusões do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6 PROBLEMA NÃO-LINEAR: ESCOAMENTO NO DEGRAU A MONTANTE 1016.1 Modelagem Adotada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.1.1 Algoritmo de solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.2.1 Adversidades encontradas na utilização do esquema LOADS . . . . . . 1056.2.2 Resultados preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.3 Validação do método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2.4 Características do Escoamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3 Resultados relativos aos campos de pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1216.4 Avaliação do Erro Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.4.1 Avaliação do erro através dos comprimentos de recirculação . . . . . . 1256.4.2 Avaliação do erro através dos campos de velocidade e pressão . . . . . 129

6.5 Conclusões do Capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7 CONCLUSÕES DA DISSERTAÇÃO 1347.1 Sugestões para Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 136

APÊNDICES 146

A – Procedimentos Matemáticos Secundários 147A.1 Determinação dos Comprimentos das Regiões de Recirculação . . . . . . . . . 147A.2 Tratamento Numérico Adotado nas Fronteiras para a Pressão . . . . . . . . . . 149A.3 Tratamento Numérico Adotado nas Fronteiras para os Esquemas Discretizantes 150

B – Influência da Taxa de Expansão nos Comprimentos das Regiões de Recirculação152

C – Resultado Numéricos Tabelados 155

18

1 INTRODUÇÃO

Os processos de advecção-difusão são correlacionados aos fenômenos de transporte de

energia térmica, de quantidade de movimento linear, de contaminantes, dentre outros, surgindo

frequentemente em muitas áreas das ciências aplicadas e da engenharia. Na discretização das

equações de transporte advectivo-difusivas, as três escolhas clássicas de partição espacial para

a solução numérica de equações diferenciais parciais são o método das diferenças finitas, o mé-

todo dos elementos finitos e o método dos volumes finitos. Embora os métodos de diferenças

finitas e elementos finitos tenham sido empregados na discretização de equações advectivas-

difusivas, a abordagem de volumes finitos tem superado os outros métodos na solução de pro-

blemas de mecânica dos fluidos. As razões para tal são o apelo físico direto do método, sua

relativa simplicidade algébrica e particularmente a forma conservativa do método que é capaz

de preservar os fluxos da variável transportada independente do refinamento da malha.

Logo cedo constatou-se a insuficiência dos esquemas tradicionais de discretização nos

métodos de solução para as equações de transporte quando os termos advectivos passam a ser

predominantes. Os esquemas de segunda ordem tradicionais, central em diferenças finitas, Ga-

lerkin em elementos finitos e central em volumes finitos, mostram-se instáveis, enquanto os

esquemas tradicionais de primeira ordem a montante (upwind) em diferenças e volumes finitos

e Petrov-Galerkin em elementos finitos mostram-se inacurados e vagarosamente convergentes

com o aumento do refinamento.

Desde meados do século passado esta insuficiência forçou intensa pesquisa em diferentes

linhas; a escolha de um esquema de discretização tem sido um assunto dominante na literatura

quando se trata da solução numérica de problemas envolvendo fenômenos de transporte e me-

cânica de fluidos. O esquema de primeira ordem mais utilizado é o upwind de primeira ordem

(FOU, do inglês First Order Upwind) proposto por Courant et al. (1952). O esquema FOU é

simples, estável e fornece uma solução suave, no entanto, é excessivamente difusivo para pro-

blemas em que os números adimensionais de Reynolds, Peclet ou Rayleigh são médios a altos,

o que resulta em soluções imprecisas.

O esquema da diferença central (CDS, do inglês Central Differencing scheme) é o es-

quema de segunda ordem mais simples de ser utilizado, entretanto, essa simplicidade possui

um custo: instabilidade numérica e soluções que apresentam oscilação espacial à medida que o

valor do parâmetro adimensional aumenta. Apesar do crescente aumento da capacidade com-

19

putacional, possibilitando realizar cálculos em malhas cada vez mais refinadas, ter ampliado o

espectro em que os esquemas clássicos de segunda ordem são estáveis, suas limitações ainda

se fazem presentes. Assim sendo, nas últimas décadas, tem ocorrido um amplo uso de metodo-

logias de estabilização, tais como limitadores de fluxo, inserção de viscosidade artificial e bem

como a busca intensiva por esquemas alternativos.

Para superar essas limitações, novos esquemas de segunda ordem foram desenvolvidos,

como o upwind de segunda ordem (SOU, do inglês Second Order Upwind) proposto por War-

ming e Beam (1976) e a interpolação quadrática a montante para a cinemática convectiva

(QUICK, do inglês Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics) desenvol-

vido por Leonard (1979a). Estes métodos não apresentam os problemas de estabilidade como o

CDS, porém, em alguns casos o QUICK exibe convergência não-monotônica, como será obser-

vado em capítulo subsequente do presente trabalho.

Entre essas opções, há também os esquemas do tipo exponencial, cujas funções de inter-

polação são obtidas a partir da solução exata de uma equação linear unidimensional, homogênea

ou não homogênea, que aproxima simultaneamente os termos advectivos e difusivos da equação

de transporte. Os esquemas do tipo exponencial são assim chamados porque a função exponen-

cial sempre aparece em suas curvas de interpolação, baseado numa equação geratriz linearizada.

O primeiro esquema em volumes finitos do tipo exponencial, baseado em uma equação geratriz

homogênea, em volumes finitos é o esquema exponencial simples de Spalding (1972) e Raithby

e Torrance (1974), que motivou o desenvolvimento de esquemas aproximados como o esquema

híbrido de Spalding (1972) e o esquema Power-Law de Patankar (1980).

Todos os esquemas do tipo exponencial são assintoticamente de segunda ordem, entre-

tanto, para altos números de Reynolds, Peclet ou Rayleigh esses esquemas exponenciais simples

apresentam soluções não acuradas e hiper-difusivas, justificando a critica presente nos trabalhos

de Leonard (1979b), Gresho e Lee (1979) e Leonard e Drummond (1995). Em resposta a es-

sas criticas a formulação do esquema exponencial foi reinventada, dando origem aos esquemas

mais sofisticados desta família. O primeiro esquema do tipo exponencial baseado em uma equa-

ção geratriz não homogênea foi o esquema de diferenciação localmente analítico (LOADS, do

inglês Locally Analytic Differencing Scheme) de Wong e Raithby (1979) seguido pelo Flux-

Spline de Varejão (1979) e pelo esquema tipo exponencial por abordagem finitas unificadas

(UNIFAES, do inglês Unified Finite Approaches Exponential-type Scheme) proposto por Fi-

gueiredo (1997).

20

1.1 Objetivos

O objetivo principal do presente trabalho é executar uma série de testes nos sete esquemas

de volumes finitos mencionados anteriormente, que são CDS, exponencial simples, FOU, SOU,

LOADS, QUICK e UNIFAES, na solução das equações de transporte advectivas-difusivas e

submeter tais esquemas a dois problemas testes, um linear e outro não linear. Assim possibili-

tando realizar uma investigação do desempenho dos esquemas numéricos referidos e revisar os

rótulos pré-estabelecidos para estes esquemas.

O primeiro problema teste da presente dissertação consiste no transporte advectivo e di-

fusivo bidimensional de um escalar sem termo fonte através de um campo de velocidades uni-

forme e paralelo. Este problema, proposto por Figueiredo (1988, 1992), é modelado por uma

equação linear, resolvida pelo método de separação de variáveis, que possui seis soluções ele-

mentares na forma real dependente de um autovalor (𝜆). Esse teste é puramente teórico, sua

relevância se dá em observar como as soluções numéricas dos esquemas aproximam a solução

exata. Esse primeiro ensaio é o mais simples possível, no entanto, permite investigar os efeitos

que o número de Peclet, o autovalor da solução e ângulo entre o escoamento e a malha têm na

acurácia e estabilidade dos esquemas de discretização. O objetivo é investigar o desempenho

dos esquemas no conjunto de testes, onde o melhor esquema será aquele com bom desempenho

em todos os testes.

O segundo teste aplica-se às equações de Navier-Stokes no caso do escoamento isotér-

mico em canal com degrau, também conhecido como backward-facing step ou problema do

degrau a montante. Escoamentos que apresentam fenômenos de separação e recirculação, cau-

sadas por obstáculos ou mudanças abruptas na geometria do canal, desempenham um papel

importante em muitas aplicações de engenharia. Escoamentos com essas características são co-

mumente encontrados em aerofólios, sistemas de tubulação, câmaras de combustão, trocadores

térmicos, medidores de vazão dentre outras aplicações. As propriedades de transporte e mistura

de tais escoamentos são de grande interesse. O escoamento interno sobre um degrau tornou-se

uma referência de geometria para testes em estudos numéricos de escoamentos que apresentam

separação e recirculação. Nos últimos 50 anos, diversos estudos experimentais e numéricos fo-

ram realizados na tentativa de investigar esse fenômeno, vide Goldstein et al. (1970), Denham

e Patrick (1974), Armaly et al. (1983) e Lee e Mateescu (1998).

21

Este segundo teste é modelado por um conjunto de equações não lineares, resolvidas uti-

lizando a formulação de variáveis primitivas, empregando a equação de Poisson para a pressão

na estrutura de malha semi-deslocada. Nesse segundo ensaio o objetivo é investigar os efeitos

que o número de Reynolds tem na precisão numérica e estabilidade dos esquemas de discre-

tização através dos comprimentos de recirculação e dos campos de pressão e velocidade. Este

ensaio não possui uma solução analítica exata para comparação com os resultados numéricos

como no problema teste anterior. Existem os dados experimentais Armaly et al. (1983) e de Lee

e Mateescu (1998) como uma referência experimental na investigação do desempenho dos es-

quemas numéricos em aproximar os comprimentos de recirculação, mas tais testes apresentam

características intrinsecamente tridimensionais para números de Reynolds superiores a 400. Por

estes motivos, a comparação da acurácia dos esquemas requer a estimação da solução exata

do conjunto de equações que modela este problema através da extrapolação de Richardson, de

forma metódica e comparativa.

1.2 Justificativa

As simulações numéricas tornaram-se ferramentas extremamente relevantes no desenvol-

vimento tecnológico, evitando erros na elaboração de projetos ou fornecendo soluções para

problemas específicos. Nesse contexto a dinâmica de fluidos computacional (CFD, do inglês

Computational Fluid Dynamics) estabeleceu-se como uma técnica viável para realizar investi-

gações e resolver problemas de engenharia, fornecendo resultados precisos para casos comple-

xos quando utilizada corretamente, assim evitando gastos com experimentos de custo elevado.

Dessa forma, esse êxito impulsionou o desenvolvimento de diversos códigos computa-

cionais em CFD, onde os usuários de pacotes comerciais frequentemente alegam que os seus

códigos podem resolver quase todos os problemas de escoamento de fluidos. Dentro desses

pacotes existe uma infinidade de opções de esquemas discretizantes utilizados na solução da

equação de transporte, onde os usuários podem escolher de maneira aleatória qualquer esquema

numa lista, sem sequer saber o tratamento algébrico e numérico que estes pacotes utilizam no

processo de solução.

Muitos usuários de programas computacionais utilizam o CFD, mas estão distantes de

entender o que realmente acontece dentro das “caixas pretas” desses pacotes computacionais,

22

ocorrendo uma verdadeira banalização da utilização de ferramentas baseadas em CFD. Essa

afirmação pode causar estranheza num primeiro momento, mas é muito comum encontrar em

fóruns da área usuários de programas ou pacotes que demonstram falta de conhecimento na

compreensão de como o problema em questão está sendo resolvido.

Celik (1993) realiza uma crítica muito importante ao afirmar que muitos usuários de pro-

gramas computacionais em CFD realizam uso indevido dessas ferramentas, deslumbrando-se

com os primeiros resultados coloridos obtidos por pacotes computacionais, sem conhecimento

suficiente em computação científica e fenômenos de transporte para entender o que os resultados

obtidos representam, assim levando a conclusões distantes da física real do problema.

Claro que estes programas são de extrema importância para aplicações muito bem conhe-

cidas e documentadas, sejam elas industriais ou até mesmo acadêmicas. Entretanto, quando se

trata do desenvolvimento de novas abordagens utilizadas na solução de problemas computacio-

nais, esses pacotes devem ser utilizados com uma certa precaução, principalmente quando todos

os procedimentos relativos ao processo de solução não forem conhecidos.

A contribuição da presente dissertação está em fornecer subsídios para auxiliar a esco-

lha de um esquema discretizante dado o objetivo que se espera alcançar, seja ele acuidade,

estabilidade, tempo de processamento ou facilidade de implementação. Bem como auxiliar na

escolha de um esquema discretizante considerando uma extensa comparação do desempenho

dos mesmos na solução da equação do transporte.

1.3 Estrutura do Trabalho

Esta dissertação foi estruturada em um total de sete capítulos e três apêndices. No primeiro

capítulo, foi apresentada uma introdução sobre os esquemas discretizantes, abordando alguns

conceitos básicos e apontando algumas dificuldades da utilização destes esquemas. Além disso,

foram apresentados os objetivos e as justificativas da realização deste estudo.

No segundo capítulo é exposta uma breve revisão bibliográfica da origem e histórico

da dinâmica dos fluidos computacional, das principais formulações e métodos de soluções do

conjunto de equações de Navier-Stokes e continuidade, bem como os tipos de estruturas de

malhas existentes. Além disso, esse capítulo expõe a pesquisa bibliográfica realizada a respeito

do escoamento interno sobre um degrau a montante.

23

No terceiro capítulo, são apresentados alguns dos principais esquemas discretizantes utili-

zados na solução numérica da equação de transporte advectiva-difusiva utilizando a abordagem

de volumes finitos.

No quarto capítulo, observa-se o processo de modelagem utilizando a formulação de va-

riáveis primitivas e malha semi-deslocada no processo de solução das equações de Navier-

Stokes, o método de acoplamento da pressão-velocidade realizado pela equação de Poisson

para pressão, e pelos critérios de convergência adotados na solução das equações.

No quinto capítulo comparam-se os desempenhos das referidas discretizações para pro-

blemas bidimensionais empregando a equação de transporte linear homogênea de coeficientes

constantes de uma forma extensiva e sistemática.

No sexto capítulo comparam-se os desempenhos das referidas discretizações na solução

das equações de Navier-Stokes para o problema do escoamento interno sobre um degrau a

montante, a análise do erro neste caso é ligeiramente mais restrita em comparação ao anterior,

pois, nesse problema não se faz presente a solução exata do conjunto de equações que modela

o problema.

No sétimo capítulo, apresentam-se as conclusões obtidas sobre o estudo bem como as

sugestões para trabalhos futuros.

No apêndice A, observam-se os detalhes de alguns procedimentos matemáticos secundá-

rios utilizados durante o desenvolvimento deste trabalho.

No apêndice B, apresenta-se a investigação da influência da razão de expansão nos com-

primentos de recirculação do escoamento no canal com degrau a montante.

Por fim, no apêndice C expõem-se os comprimentos de recirculação obtidos pelas simu-

lações numéricas realizadas nos oito níveis de refinamento utilizados no capítulo seis.

24

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O seguinte capítulo tem a finalidade de aprofundar os conhecimentos acerca dos procedi-

mentos numéricos de solução das equações de Navier-Stokes e continuidade, e também apre-

sentar os principais estudos utilizados no desenvolvimento da presente dissertação. Na seção

2.1 é apresentada uma breve origem e histórico da dinâmica dos fluidos computacional, posteri-

ormente na seção 2.2 são detalhadas as principais formulações, estruturas de malhas e métodos

utilizados na solução das equações de Navier-Stokes. Na próxima seção 2.3, apresenta-se uma

breve pesquisa bibliográfica relacionada ao escoamento sobre um degrau, onde se enfatizam os

principais trabalhos utilizados na presente dissertação.

2.1 Origem e Histórico da CFD

O desenvolvimento da dinâmica dos fluidos computacional começou em meados da me-

tade do século passado com o advento do computador digital. O método das diferenças finitas

(MDF) e elementos finitos (MEF) foram as primeiras ferramentas computacionais desenvolvi-

das para a solução de equações diferenciais parciais em CFD e possuem origens bem diferen-

tes. Richardson (1910) apresentou o primeiro método de solução em MDF para a análise de

tensão de uma barragem de alvenaria utilizando o método iterativo de Jacobi. Courant et al.

(1928) desenvolveram um critério de estabilidade explicíto para o passo de tempo, que ficou

conhecido como CFL (Courant Friedrichs Lewy). Thom (1933) desenvolveu a primeira solução

numérica para um escoamento viscoso, utilizando diferenças finitas onde foi possível calcular

manualmente as linhas de corrente para um escoamento estacionário ao redor de um cilindro

para baixos números de Reynolds. Allen e Southwell (1955) aplicaram a primeira discretização

exponencial em CFD ao resolver o problema do escoamento incompressível em torno de um ci-

lindro. Turner et al. (1956) apresentou o primeiro trabalho em MEF para aplicações em análise

de tensões em aeronaves.

Desde então o MDF foi mais empregado em estudos envolvendo a dinâmica dos fluidos,

com o foco voltado em desenvolver metodologias para tratar as não-linearidades dos termos

advectivos e o acoplamento entre as equações de Navier-Stokes. Enquanto o MEF se voltou

25

para a área estrutural na solução de problemas lineares de elasticidade dominantemente difusi-

vos, onde os termos advectivos não se fazem presentes (Maliska, 2004). Essa constante busca

em tratar as não-linearidades, motivaram mais pesquisas que, eventualmente proporcionaram o

desenvolvimento do método dos volumes finitos (MVF) por McDonald (1971) e MacCormack

e Paullay (1972). O MVF possui a vantagem de incorporar os princípios de balanço em sua

formulação, esses princípios são a base para a modelagem matemática de problemas da mecâ-

nica do contínuo, pois, garantem intrinsecamente a conservatividade numérica do modelo em

questão independentemente do refinamento da malha, o que não é necessariamente garantido

pelos outros métodos.

O MVF realiza um balanço da propriedade para cada volume de controle aproximando a

equação desejada em forma integral no volume, diferentemente do MDF que não é numerica-

mente conservativo, pois, não trabalha com volumes de controle e sim com os pontos discretos

da malha. Essa possibilidade de associar a interpretação física à matemática influenciou muitos

pesquisadores a migrarem do MDF para o MVF (Maliska, 2004).

2.2 Formulações e Métodos de Soluções das Equações de Navier-Stokes

Na solução numérica das equações de Navier-Stokes em escoamentos viscosos incom-

pressíveis existe uma dificuldade na determinação do campo de pressão. Um método de con-

tornar este tipo de dificuldade na solução de problemas bidimensionais consiste em eliminar

completamente a variável de pressão e introduzir a vorticidade e função-corrente como variá-

veis a serem determinadas. Diante disso surgiram diversas formulações na solução das equa-

ções de Navier-Stokes, as formulações de variáveis primitivas, Função-Corrente-Vorticidade e

Velocidade-Vorticidade.

Na formulação de Corrente-Vorticidade as componentes de pressão e velocidade podem

ser facilmente determinadas quando as variáveis derivadas são conhecidas, a vantagem de uti-

lizar essa formulação está em reduzir o número de equações a serem resolvidas em problemas

bidimensionais, no entanto, essa formulação se limita a solução de problemas em duas dimen-

sões (Fortuna, 2012).

Em problemas tridimensionais ainda persistem as formulações velocidade-vorticidade e

potencial vetorial-vorticidade, consideravelmente mais pesadas computacionalmente, por de-

26

mandarem cada uma delas seis equações diferenciais. Essas formulações coexistiram por um

certo momento até que a formulação numérica em termos das variáveis primitivas superou as

demais formulações, dominando literatura sobre a modelagem de escoamentos incompressíveis.

Os primeiros trabalhos na solução numérica de Navier-Stokes descreviam apenas proble-

mas em estado estacionário, esse cenário mudou drasticamente após o surgimento dos métodos

de solução propostos por Crank e Nicolson (1947), Thomas (1949) e Peaceman e Rachford

(1955) onde as soluções das equações dependentes do tempo receberam atenção. Crank e Ni-

colson (1947) formularam um método de solução de segunda ordem no tempo e no espaço,

implícito no tempo e numericamente estável, esse procedimento ficou conhecido como método

de Crank–Nicolson. Thomas (1949) apresentou um algoritmo de baixo custo computacional

para resolução de sistemas de equações tridiagonais, este algoritmo ficou conhecido como Al-

goritmo de Thomas (TDMA, do inglês Tridiagonal Matrix Algorithm). Peaceman e Rachford

(1955) propuseram o ADI (Alternating Direction Implicit) que foi o primeiro método que for-

neceu técnicas altamente eficientes na solução das equações diferenciais parciais dependentes

do tempo em várias dimensões espaciais. Ambos os métodos mencionados anteriormente são

tão eficientes que ainda continuam sendo amplamente utilizados décadas após sua formulação.

Harlow e Welch (1965) desenvolveram o método Marker and Cell (MAC) para simular

escoamentos internos e externos em superfícies livres. Seu nome é devido o emprego de partí-

culas marcadoras para identificar a posição da superfície livre do fluido. A utilização do método

MAC também é responsável pela criação e disseminação do uso da malha deslocada, que foi a

primeira estrutura de malha bem-sucedida utilizando a formulação de variáveis primitivas, pois,

resolve de maneira muito eficiente algumas dificuldades encontradas na discretização das equa-

ções em escoamentos incompressíveis. Desde então a estrutura de malha deslocada tem sido

utilizado para resolver numericamente uma ampla variedade de problemas relativos à dinâmica

transitória de escoamentos de fluidos viscosos em várias dimensões espaciais.

Chorin (1967) propôs uma nova abordagem numérica na solução de problemas de escoa-

mentos viscosos, o então intitulado método da compressibilidade artificial, em que as equações

do escoamento incompressível são modificadas através da introdução de uma compressibilidade

artificial, funcionando como uma técnica de convergência para a solução do problema.

Chorin (1968) desenvolveu o então intitulado método da projeção, que consiste em um

método eficaz de resolver numericamente problemas de escoamentos de fluido incompressíveis

dependentes do tempo. O método da projeção utiliza a formulação em variáveis primitivas e

pode ser facilmente aplicado em problemas de duas e três dimensões, a principal vantagem

27

desse método é que os cálculos dos campos de velocidade e pressão são desacoplados e o

campo de velocidade é forçado a satisfazer a equação da continuidade discreta no final de cada

intervalo de tempo.

O livro texto de Patankar (1980) foi e continua sendo referência para a solução numérica

de escoamentos incompressíveis. Além de desenvolver e difundir o método SIMPLE (Semi-

Implicit Method for Pressure Linked Equations), um dos métodos mais utilizados na literatura

de CFD na solução de escoamentos incompressíveis até os dias atuais, Patankar (1980) também

difundiu as notações adotadas nas publicações a respeito do MVF, bem como padronizou o

procedimento de discretização no MVF.

Rhie e Chow (1983) desenvolveram uma técnica de interpolação especial para calcular

as velocidades nas faces do volume de controle em uma malha co-localizada. Essa técnica de

interpolação ficou conhecida como interpolação do momentum, pois, utiliza as equações do

momentum discretizadas de dois volumes de controle adjacentes para calcular as velocidades

de cada face em vez de utilizar uma interpolação linear nas interfaces de volume de controle.

Além disso, essa técnica foi a primeira a obter bons resultados numa malha co-localizada uti-

lizando a formulação de variáveis primitivas, entretanto, essa técnica apresenta a desvantagem

de não preservar a massa, no sentido de que a continuidade não é mais satisfeita em sua forma

discretizada. A próxima secção abordará as principais diferenças entre as estruturas de malhas

mencionadas na presente seção.

2.2.1 Tipos de estruturas de malhas

É fundamental entender os efeitos que as estruturas nas quais as informações são arma-

zenadas podem gerar na solução numérica. A figura 2.1 apresenta as três principais estruturas

de malhas utilizadas na solução das equações de Navier-Stokes e continuidade empregando a

formulação de variáveis primitivas, estas estruturas referem-se apenas a volumes finitos e dife-

renças finitas.

Inicialmente parece lógico armazenar todas as informações na mesma posição da malha.

Entretanto, se as velocidades e a pressão forem armazenadas nas mesmas posições no volume

de controle, um campo de pressão oscilatório pode aparecer tornando as soluções fisicamente

irrealistas. Essa configuração, intitulada de malha co-localizada (do inglês colocated), ficou

28

conhecida pela simplicidade na avaliação da velocidade, principalmente na fronteira onde a ve-

locidade é prescrita. As primeiras utilizações da malha co-localizada ficaram restritas apenas

a determinação dos campos de velocidade, pois, os campos de pressão mostraram-se espacial-

mente oscilatórios até o desenvolvimento da interpolação do momentum de Rhie e Chow (1983)

que difundiu a utilização dessa malha em problemas práticos da engenharia.

Co-localizada

Fronteira

Deslocada

Célula da continuidade

Célula do momentum

Pressão

Velocidade - V

Velocidade - U

Fronteira Fronteira

Semi-deslocada

Figura 2.1: Tipos de estruturas de malhas utilizadas na solução das equações de Navier-Stokesutilizando a formulação de variáveis primitivas.

Essa estrutura apresenta a vantagem de possuir uma maior simplicidade geométrica para

problemas envolvendo contornos irregulares, entretanto, também possuí a desvantagem de de-

finir a pressão na fronteira e como geralmente não são utilizadas condição de contorno para

a pressão, a utilização de alguma técnica se faz necessária na avaliação dessa informação nos

pontos de contorno do domínio computacional.

A presença de oscilações no campo de pressão pode ser eliminada através de um acopla-

mento entre os nós de pressão e velocidades. A malha deslocada (do inglês staggered) realiza

esse acoplamento, sua disposição consiste em armazenar a pressão e cada componente de ve-

locidade em pontos distintos, como pode ser observado. A pressão é armazenada no centro do

volume de controle da continuidade e as componentes de velocidades são armazenadas nas fron-

teiras a que são normais. A utilização dessa estrutura possui como desvantagem a dificuldade

na determinação da velocidade na fronteira, devido ao deslocamento dos campos de velocidade,

o que aumenta a complexidade de implementação do algoritmo.

A malha deslocada foi a primeira estrutura de malhas bem-sucedida na determinação dos

campos de pressão utilizando a formulação de variáveis primitivas. Desde o seu desenvolvi-

mento, proposto por Harlow e Welch (1965), essa configuração tornou-se a estrutura de malha

mais utilizada em MDF e MVF. Entretanto, calcular todas as variáveis em localizações dife-

rentes em uma mesma estrutura de malha revelou-se como uma tarefa complexa, incômoda e

29

difícil, especialmente para algoritmos paralelos e problemas envolvendo coordenadas curvilí-

neas, gerando crescente interesse em malhas alternativas como a co-localizada.

Outra alternativa apresenta a união das vantagens dessas duas estruturas de malhas, a

então intitulada malha semi-deslocada (do inglês semi-staggered), armazena as componentes de

velocidade co-localizadas nos vértices e a pressão no centro da célula da continuidade, deixando

os componentes de pressão internos aos componentes de velocidade.

Essa estrutura de malhas, desenvolvida por Kuznetsov (1968), apresenta simplicidade na

determinação das velocidades nas fronteiras, como a malha co-localizada, e também possibilita

a utilização da abordagem MAC, como na malha deslocada. Segundo Peyret e Taylor (1983)

essa configuração também está sujeita a apresentar campos de pressão desacoplados como na

malha co-localizada, entretanto, o gradiente de pressão desse campo não é oscilatório e dessa

forma é possível corrigir o campo de pressão através de técnicas de pós-processamento que

tem o intuito de suavizar o campo de pressão sem a perca da conservatividade dos campos de

velocidades.

Dentre estas três estruturas de malhas apresentadas nessa seção, a semi-deslocada é a

menos difundida na literatura. Um dos motivos para tal, pode ser atribuído as diversas nomen-

claturas existentes para essa configuração que também é conhecida como malha meio deslocada

(do inglês half-staggered), malha deslocada híbrida (do inglês hybrid-staggered) ou até mesmo

confundida como um tipo de malha co-localizada.

Essa estrutura de malha se mostrou extremamente eficiente em aplicações com contornos

irregulares e coordenadas curvilíneas como constatado por George et al. (2000) e Huang (2000).

Figueiredo e Oliveira (2009a,b) realizaram uma comparação sistemática entre as malhas

co-localizada, semi-deslocada e deslocada no problema de teste da cavidade hidrodinâmica uti-

lizando a integração explícita no tempo. Seus resultados indicaram que a malha semi-deslocada

apresenta a melhor acurácia, seguida pela malha co-localizada e pela malha deslocada, porém,

a malha deslocada demonstrou maior estabilidade e robustez, evoluindo sempre monotonica-

mente com o refinamento, enquanto para altos números de Reynolds a malha semi-deslocada

mostrou-se instável em malhas grosseiras e a malha co-localizada apresentou mudanças abrup-

tas do perfil de solução com o refinamento.

Segundo Olshanskii (2009) a utilização da malha semi-deslocada é extremamente vanta-

josa em problemas onde o vetor velocidade ou seu gradiente estão envolvidos em parâmetros

adicionais que entram no sistema de equações do escoamento.

30

Segundo Tyliszczak (2014) o esforço da utilização da malha semi deslocada em proble-

mas tridimensionais é praticamente o mesmo da utilização da malha co-localizada, onde estas

duas apresentam a vantagem de simplificar o processo de desenvolvimento do algorítimo com-

putacional.

2.2.2 Métodos de integração das equações de momentum

Esquemas de solução numérica são referidos como explícitos ou implícitos. Quando um

cálculo direto das variáveis dependentes pode ser feito considerando quantidades conhecidas,

a computação é dita explícita. Quando as variáveis dependentes são definidas pela solução de

conjuntos de equações, o método numérico é dito implícito.

Na formulação de variáveis primitivas a continuidade deve ser assegurada indiretamente

pela pressão, implicando na utilização de algum método de acoplamento entre as equações da

continuidade e da pressão. O método da equação de pressão de Poisson e o método da com-

pressibilidade artificial são algumas das técnicas comumente adotados na solução numérica das

equações incompreensíveis de Navier-Stokes em variáveis primitivas. Em ambas as técnicas, o

campo de velocidade é calculado a partir da equação de momento dependente do tempo usando

procedimentos de marcha temporal, onde cada um deles emprega uma certa equação para cal-

cular a pressão.

No método de compressibilidade artificial, uma derivada temporal da pressão é adicio-

nada à equação de continuidade e o campo incompressível pode ser tratado como compressível

durante os cálculos transientes. Por outro lado, o método de Poisson para pressão satisfaz a

equação de continuidade explicitamente por uma equação de Poisson elíptica de segunda or-

dem para a pressão. A técnica de acoplamento adotada na presente dissertação é a equação de

Poisson, devido a sua forma analítica rigorosa de expressar a relação entre pressão e continui-

dade.

Segundo Sotiropoulos e Abdallah (1990) o método de Poisson para a pressão satisfaz a

equação discretizada da continuidade praticamente com a mesma precisão que o método de

compressibilidade artificial, entretanto, deve-se ressaltar que no método da compressibilidade

artificial um termo de dissipação artificial é adicionado à equação de continuidade pseudo-

compressível para eliminar o desacoplamento no campo de pressão.

31

A técnica explícita de acoplamento da equação de Poisson é obtida a partir das equações

discretizadas do momentum linear e da continuidade, assim sendo, a continuidade numérica é

satisfeita na medida em que a equação de Poisson também é satisfeita. Entretanto, ao longo do

processo iterativo o longo do processo iterativo a dilatação residual se faz presente devido à

convergência incompleta da equação de Poisson, mas essa dilatação residual é eliminada gra-

dualmente durante o processo iterativo sem qualquer artifício numérico, basta computar estes

valores de dilatação, que aparecem naturalmente como termos fonte da equação de Poisson, e

se tornam auto-corretores.

Os métodos implícitos e semi-implícitos de integração temporal tendem a afastar-se da

dilatação nula, e o emprego da dilatação residual como termos fonte da equação de Poisson não

é tão eficaz, requerendo alguma outra forma de correção. A maior vantagem em utilizar os mé-

todos implícitos e semi-implícitos está em evitar as restrições dos métodos explícitos presentes

no intervalo de tempo empregado em cada iteração. Por outro lado, os métodos explícitos garan-

tem a conservatividade da massa, além de apresentar maior simplicidade em sua programação,

particularmente quando se poderá requerer vetorização ou paralelização.

Outra linha de procedimentos no tratamento da pressão é dada pelos acoplamentos itera-

tivos da família SIMPLE, SIMPLER e SIMPLEC. Patankar e Spalding (1972) propuseram um

algoritmo preditor-corretor para o cálculo da pressão numa malha deslocada, o algoritmo ficou

conhecido como SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations), esse método

essencialmente consiste em um procedimento preditor-corretor que calcula a pressão na malha

deslocada.

Patankar (1980) desenvolveu o SIMPLER (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked

Equation Revised), uma versão aprimorada do SIMPLE. Nesse algoritmo é utilizado a equa-

ção da continuidade discretizada para derivar uma equação discretizada para a pressão, nesse

método a pressão é obtida diretamente sem nenhuma equação de correção da pressão como no

SIMPLE. Doormaal e Raithby (1984) apresentou o algoritmo SIMPLEC (Semi-Implicit Method

for Pressure-Linked Equation Consistent) que segue os mesmos moldes do algoritmo SIMPLE,

diferindo apenas na equação de correção, que é obtida a partir de uma manipulação da equação

do momentum que omite os termos menos significativos.

32

2.3 Escoamento Sobre o Degrau

O estudo do fenômeno da separação gerada à medida que o fluido escoa sobre um degrau

é de interesse por uma variedade de razões. Primeiro, porque a separação do escoamento pro-

duzido por uma mudança abrupta na geometria é de grande importância em muitas aplicações

da engenharia. Segundo, sob uma perspectiva fundamental, porque existe um forte interesse em

entender a instabilidade e a transição para a turbulência em escoamentos abertos não paralelos.

Por fim, sob uma perspectiva estritamente computacional, o escoamento bidimensional sobre

um degrau é uma referência (benchmark) muito bem fundamentada na CFD.

O fenômeno de separação de um escoamento consiste no desprendimento da camada li-

mite do fluido em relação a uma dada superfície sólida. Este fenômeno é estritamente restrito a

escoamentos viscosos externos ou internos, o resultado prático desse fenômeno se dá na cria-

ção de regiões de recirculação. A seguir será apresentada uma síntese dos principais trabalhos

realizados acerca do escoamento sobre um degrau.

A figura 2.2 apresenta qualitativamente a geometria do escoamento sobre degrau a mon-

tante, onde são exibidas as localizações aproximadas das regiões de recirculação primária e

secundária, nas paredes superior e inferior do canal respectivamente.

Primaria

Fronteira aJusante

u(y)Região de Recirculação

Secundária

Região de Recirculação

Figura 2.2: Regiões de recirculação formadas em escoamento no canal com degrau a montante.

Escoamentos nesta geometria geralmente apresentam duas regiões de recirculação, a pri-

meira região é formada a jusante do degrau, e tem seu comprimento determinado pelo ponto de

recolocação. A segunda região de recirculação ocorre na parede superior do canal a partir de um

dado valor do número de Reynolds. Ambas regiões de recirculação ocorrem devido à presença

de um gradiente de pressão adverso, que é responsável pelo desprendimento e reatamento da

camada limite deste escoamento.

33

2.3.1 Estudos experimentais

O trabalho de Goldstein et al. (1970) foi um dos primeiros a estudar experimentalmente a

separação laminar, o comprimento de recirculação e a região de transição do escoamento interno

de ar sobre um degrau, com uma taxa de expansão de 1:1,17. Seus experimentos basicamente

consistiram em observações visuais de filamentos de fumaça na camada viscosa, onde pode ser

observado os perfis de velocidade médios ao longo da seção de teste. Os autores não expressa-

ram o comprimento de recirculação como um número dependente da altura do degrau, mas sim

função de uma expressão empírica dependente do número de Reynolds e da altura do canal.

Denham e Patrick (1974) realizaram experimentos em escoamento laminar sobre um de-

grau com uma taxa de expansão de 1:3. Os perfis de velocidade e os comprimentos da zona de

recirculação primária foram medidos para números de Reynolds até 344 utilizando um anemô-

metro Laser-Doppler. Os autores também observaram movimentos tridimensionais transitórios

dentro da zona de recirculação primária, após perturbações obtidas ao tocar o canal em Rey-

nolds igual a 344.

Armaly et al. (1983) realizam o primeiro grande estudo na geometria do degrau obtendo

dados experimentais nas região laminar, transição e turbulenta. Utilizando anemômetros do tipo

Laser-Doppler foi possível obter medições para a distribuição de velocidade e o comprimento

da zona de recirculação do escoamento sobre o degrau para uma extensa faixa do número de

Reynolds de 70 até 8000. O experimento realizado foi o primeiro a identificar a existência de

mais duas zonas de recirculação, uma localizada na parede superior a partir de Reynolds 400 e a

outra na parede inferior um pouco a frente a região de circulação primária a partir de Reynolds

1300. Além disso, também foi observado que o comprimento da zona de recirculação primária

varia de forma quase linear com o número de Reynolds até que ocorra a transição do regime

laminar para o turbulento, onde o escoamento é considerado laminar e estável para Reynolds

menores que 1200, acima disso o escoamento se encontra na região de transição caracterizada

pelas instabilidades. A região de transição ocorre para números de Reynolds menores que 6600,

para números de Reynolds maiores que este o escoamento passa a ser considerado turbulento.

Deve-se salientar que esse estudo investigou o escoamento através de uma expansão sú-

bita sobre um degrau numa razão de expansão de 1:1,94. Essa razão de 1:1,94 gera algumas

dificuldades em dividir a altura do canal em um número inteiro de volumes de controle, do

domínio computacional, sem alterar a taxa de expansão. Muitos autores utilizam os dados ex-

34

perimentais de Armaly et al. (1983) para comparar com os dados numéricos obtidos para uma

razão de expansão de 1:2, o que não é totalmente acurado.

Lee e Mateescu (1998) repetiram o estudo do escoamento sobre o degrau para a taxa de

expansão de 1:2, configuração similar a utilizada por Armaly et al. (1983), obtendo os dados

experimentais nas regiões laminar, de transição e turbulenta. Utilizando o método experimental

de medição não intrusivo MHFS (multi-element hot film sensor array) foi possível obter medi-

ções para o comprimento da zona de recirculação do escoamento sobre o degrau para a faixa do

número de Reynolds de 400 até 3000. O experimento realizado identificou apenas duas zonas

de recirculação, diferentemente das três encontradas por Armaly et al. (1983). Aqui também foi

observado que o comprimento da zona de recirculação primária varia de forma quase linear com

o número de Reynolds na região de regime laminar, que foi observada em números de Reynolds

menores que 1150. Os autores procuraram solucionar problemas encontrados nas técnicas expe-

rimentais vigentes na época como as dificuldades na instalação dos sensores e a necessidade do

conhecimento prévio das regiões de recirculação. Os dados experimentais obtidos pelos autores

diferiram apenas em 8% em relação aos dados de Armaly et al. (1983).

Tihon et al. (2010) estudaram experimentalmente o escoamento sobre o degrau, para a

faixa do número de Reynolds de 30 até 1800, para uma taxa de expansão de 1:2, utilizando a

técnica de eletrodifusão na medição da taxa de cisalhamento da parede em um canal de água

com a geometria do degrau. Seus resultados indicaram que a região de recirculação, consequen-

temente o ponto de reatamento, é afetado por razões de aspecto menores que 25. Como a razão

de aspecto é uma relação entre o comprimento e a largura do canal, esses resultados indicaram

que para razões de aspecto maiores que isso o escoamento pode ser considerado predominan-

temente 2D, dessa forma o canal deve ser largo o suficiente para que hipótese do escoamento

bidimensional seja valida.

2.3.2 Estudos numéricos

Armaly et al. (1983) também realizaram um estudo numérico, utilizando diferenças finitas

e o esquema FOU, e não obtiveram boa concordância com os dados experimentais para altos

números de Reynolds. Os autores deixam bem claro em suas observações que o escoamento

só pode ser considerado totalmente bidimensional somente para números de Reynolds até 400,

35

acima disso o escoamento apresentou efeitos tridimensionais, o que muitos autores avaliam

ser o causador das diferenças entre os dados experimentais e numéricos para altos números de

Reynolds. No entanto, Armaly et al. (1983) atribuiu essa discrepância entre os dados a formação

das zonas de recirculação adicionais nas paredes superior e inferior.

O trabalho de Kim e Moin (1984) foi um dos primeiros a investigar o escoamento so-

bre um degrau utilizando um método de segunda ordem no espaço e no tempo. Os Autores

observaram uma dependência do comprimento de recirculação com número de Reynolds, seus

resultados apresentaram boa concordância com os dados experimentais de Armaly et al. (1983)

até cerca de Re = 500. Em Re = 600 os resultados computados de Kim e Moin começaram a

diferir dos valores experimentais, essa diferença foi atribuída à tridimensionalidade do escoa-

mento experimental em torno de um número de Reynolds por volta de 600.

Ghia et al. (1989) calcularam as soluções bidimensionais do escoamento sobre o degrau

ao longo do regime laminar e encontraram boa concordância com os escoamentos bidimensio-

nais observados por Armaly et al. (1983) para números de Reynolds menores que 565. Segundo

os autores a instabilidade do escoamento bidimensional pode ser consequência da instabilidade

resultante da formação da região de recirculação secundária na parede superior.

Kaiktsis et al. (1991) investigaram o início dos efeitos de tridimensionalidade, em geome-

trias bidimensionais, no escoamento sobre o degrau usando simulações numéricas diretas (DNS,

do inglês direct numerical simulations). Regiões altamente tridimensionais foram identificadas

através de coeficientes de correlação e índices de tridimensionalidade, apresentados pelos au-

tores. Os resultados obtidos indicaram que o início da tridimensionalidade ocorre nos limites

entre as zonas de recirculação primária e secundária com o escoamento do canal principal, onde

a principal fonte de instabilidade nas camadas de cisalhamento foi observada como proveniente

da região onde a expansão abrupta ocorre. Os autores constataram que a tridimensionalidade

explica parcialmente a discrepância entre predições numéricas e resultados experimentais da

região de recirculação primária, mas o principal motivo de discrepância entre os dados foram

atribuídas as condições de entrada do escoamento, sendo esta o principal motivo da transição

precoce encontrada em experimentos de laboratório.

Williams e Baker (1997) realizaram simulações tridimensionais na mesma configuração

geométrica de Armaly et al. (1983), reproduzindo o escoamento tridimensional laminar obser-

vado experimentalmente, para a faixa de número de Reynolds compreendida entre 100 e 800.

Desvios da bidimensionalidade foram encontrados próximos às paredes laterais nos números

de Reynolds, entre 300 e 400, onde Armaly et al. (1983) relatam fluxos bidimensionais. Os au-

36

tores observaram que a transição do escoamento bidimensional para tridimensional não é uma

mudança abrupta, mas sim um efeito ameno e gradativo dos efeitos tridimensionais da parede

lateral ao plano de simetria central conforme a natureza do escoamento muda. Por fim, é rela-

tado que a tridimensionalidade observada nos experimentos é resultado de um efeito induzido

pelas condições de contorno impostas pelas paredes laterais, dependentes da razão de aspecto

da geometria, e não por uma instabilidade hidrodinâmica inerente ao escoamento de base bidi-

mensional.

Cruchaga (1998) Resolveu o problema do degrau a montante utilizando o MEF com e

sem o canal de entrada, onde observou que os comprimentos de recirculação, das duas regiões,

são maiores para a geometria sem o canal de entrada.

Chiang e Sheu (1999b) investigaram a tridimensionalidade para diferentes valores de lar-

gura do canal, fornecendo informações para uma ampla faixa de larguras do canal e para Rey-

nolds compreendidos entre 100 e 1000. Os autores mostraram que a influência das paredes

laterais no escoamento no centro do canal aumenta com o aumento do número de Reynolds e a

medida que a largura do canal aumenta, essa influência diminui. Os autores concluem que a lar-

gura precisa ser estendida para 100 vezes o tamanho do degrau, de modo a evitar perturbações

da bidimensionalidade do escoamento no plano de simetria do canal.

Barkley et al. (2002) realizaram uma análise numérica de estabilidade tridimensional do

escoamento sobre o degrau com uma taxa de expansão de 1:2 numa faixa de números Reynolds

entre 450 a 1050 utilizando o método DNS de solução das equações de Navier Stokes. Os

autores observaram que o escoamento pode ser desestabilizado antes de se atingir o número de

Reynolds crítico, de transição do escoamento, devido a efeitos das paredes laterais.

Tylli et al. (2002) investigaram os efeitos tridimensionais induzidos pela presença de pa-

redes laterais utilizando medidas de velocímetro de imagem de partículas, obtidas através de

simulações numéricas tridimensionais, para uma taxa de expansão de 1:2 e uma razão de as-

pecto de 20. Os autores observaram que para números de Reynolds menores que 400 os efeitos

da parede lateral não afetam a estrutura do fluxo bidimensional do canal. Entretanto, o fenômeno

observado como responsável por causar a tridimensionalidade do escoamento foi a existência

de um jato oriundo da parede movendo-se em direção ao plano intermediário do canal, a inten-

sidade desse jato da parede aumenta de acordo com o número de Reynolds. Por fim, os autores

observaram que as paredes laterais são sim as responsáveis pela discrepância entre os resultados

experimentais e as simulações numéricas bidimensionais.

37

Kaiktsis e Monkewitz (2003) investigaram a desestabilização do escoamento sobre o de-

grau através de simulações numéricas utilizando o método do elemento espectral. Os resultados

obtidos mostraram que em geometrias 2D, o fluxo pode ser globalmente estável até um valor

crítico do número de Reynolds igual a 1000.

Biswas et al. (2004) investigaram o escoamento laminar do degrau a montante para uma

ampla gama de números de Reynolds e razões de expansão em simulações bidimensionais e tri-

dimensionais. A conclusão obtida pelos autores foi que a zona de recirculação primária aumenta

de maneira não linear com o aumento da taxa de expansão.

Erturk (2008) investigou os efeitos que as condições de entrada e saída do canal no pro-

blema do degrau a montante tem na solução numérica, seus resultados indicaram que uma maior

acurácia é atingida quando o canal de entrada tiver no mínimo cinco vezes o tamanho do de-

grau. Além disso, o autor também registrou que a condição adotada na saída do canal influência

diretamente a acurácia dos resultados obtidos principalmente em altos números de Reynolds.

Schãfer et al. (2009) investigaram a transição do escoamento laminar para o turbulento

utilizando o DNS como abordagem de solução das equações em questão. Os resultados obtidos

pelos autores indicaram que a discrepância entre os dados experimentais e numéricos das re-

giões de recirculação é causado por uma rede de vórtices presente entre o escoamento principal

e as regiões de recirculação.

Santos et al. (2010) investigaram a influência do canal de entrada no problema do de-

grau a montante utilizando a metodologia desenvolvida por Harlow e Welch (1965) estendida

para a estrutura de malha semi-deslocada no MVF. Os resultados obtidos evidenciaram que a

utilização do canal de entrada no domínio computacional influencia os comprimentos de des-

colamento e reatamento das regiões de recirculação. Por fim, os autores concluem que o com-

primento do canal de entrada deve ser escolhido de forma que não afete o comprimento das

regiões de recirculação. Foi demonstrado numericamente que um comprimento de entrada de

aproximadamente duas vezes a altura do degrau é suficiente para não influenciar a região de

recirculação primária.

Chen et al. (2018) realizaram um trabalho notável na síntese dos principais trabalhos

experimentais e numéricos realizados no estudo do escoamento sobre o degrau a montante, os

trabalhos foram classificados por razão de expansão, faixa de número de Reynolds, método

numérico utilizado e ano de publicação.

38

3 ESQUEMAS DE DISCRETIZAÇÃO EM VOLUMES FINITOS

O seguinte capítulo tem a finalidade de apresentar alguns dos principais esquemas discre-

tizantes utilizados na solução numérica da equação de transporte advectiva-difusiva utilizando

a abordagem de volumes finitos. Na seção 3.1, apresenta-se a discretização da equação de trans-

porte advectiva-difusiva sobre uma malha cartesiana. Na seção 3.2, apresentam-se os esquemas

discretizantes clássicos baseados em interpolações pela montante e centradas. Na seção 3.3,

apresenta-se a família de esquemas do tipo exponencial. Na seção 3.4, observa-se o tratamento

numérico adotado nas fronteiras para os esquemas de segunda ordem. Na seção 3.5 expõe-se

a justificativa da escolha dos sete esquemas discretizantes utilizados na presente dissertação.

Na seção 3.6 apresentam-se alguns comentários relativos a implementação e paralelização dos

esquemas utilizados. Por fim, na seção 3.7 apresenta-se a forma de análise do erro adotada para

os esquemas discretizantes utilizados.

3.1 Discretização da Equação de Transporte Advectiva-Difusiva

Com métodos analíticos, as soluções de uma equação diferencial são válidas para todo o

domínio de interesse, já com os métodos numéricos, as soluções são encontradas apenas para

um conjunto de pontos discretos dentro do espaço do domínio de interesse. Para o MDF, o

domínio tem um número fixo de pontos e as equações são resolvidas respectivamente em cada

ponto. Em contraste, para o MVF, o domínio é dividido em vários volumes de controle, onde a

informação do volume de controle é avaliada a partir dos pontos discretos vizinhos.

Ao integrar a equação de transporte advectiva-difusiva ao volume de controle, a equação

é convertida em uma forma que garante a conservação numérica. As derivadas nas faces do

volume são aproximadas por equações de diferenças finitas e um sistema de equações lineares

esparsas é gerado e pode ser resolvido através dos mais diversos métodos. A equação de trans-

porte transiente de um escalar inerte 𝜑 em um fluido submetido à advecção e difusão pode ser

escrita conforme a equação (3.1).

𝜕 (𝜌𝜑)

𝜕𝑡+ ∇. (𝜌u𝜑) −∇. (Γ∇𝜑) = 𝑆 (3.1)

39

Onde Γ é o coeficiente de difusão, S é o termo de fonte para o escalar 𝜑, 𝜌 é a densidade

do fluido e 𝑢 é o campo de velocidade do fluido. O primeiro termo da equação (3.1) é a derivada

de tempo que avalia a variação de 𝜑 em relação ao tempo. O segundo termo é o componente

advectivo que representa o transporte líquido de 𝜑 pelo do campo de velocidade. O terceiro

termo representa o transporte devido à difusão, no outro lado da igualdade o termo final é a

contribuição devida às fontes de 𝜑 dentro do campo.

Escrevendo explicitamente os termos do operador ∇, a equação (3.2) pode ser escrita em

duas dimensões na forma cartesiana como:

𝜕 (𝜌𝜑)

𝜕𝑡+𝜕(𝜌𝑢𝜑)

𝜕𝑥+𝜕(𝜌𝑣𝜑)

𝜕𝑦− 𝜕𝜑𝜕𝑥

(︂Γ𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂− 𝜕𝜑𝜕𝑦

(︂Γ𝜕𝜑

𝜕𝑦

)︂= 𝑆 (3.2)

A equação (3.2) pode ser escrita na forma adimensional (3.3), dividindo-se as coordenadas

espaciais (𝑥,𝑦) por um comprimento característico 𝐿𝑐 e os componentes da velocidade (𝑢,𝑣) por

uma velocidade característica 𝑉𝑐 sem causar mudanças notacionais.

𝜕𝜑

𝜕𝑡+𝜕(𝑃𝑒𝑢𝜑)

𝜕𝑥+𝜕(𝑃𝑒𝑣𝜑)

𝜕𝑦− 𝜕

2𝜑

𝜕𝑥2− 𝜕

2𝜑

𝜕𝑦2= 𝑆 (3.3)

Onde 𝑃𝑒 é o número global de Peclet determinado por 𝑃𝑒 = 𝜌𝑉 𝐿/Γ. A variável t

agora representa o tempo adimensional, determinado pelo tempo dimensional multiplicado por

Γ/𝜌𝐿4. S representa o termo fonte adimensional, que é dado pela sua forma dimensional multi-

plicada por 𝐿2/Γ, assim a equação (3.3) pode ser reescrita como:

𝜕𝜑

𝜕𝑡+ ∇. (𝑃𝑒𝑉 𝜑) −∇.(∇𝜑) = 𝑆 (3.4)

Integrando a equação (3.4) no volume de controle apresentado na figura 3.1 obtém-se:

Δx

Δy

S

E

Js

e

Jn

Jw JW

P

N

Figura 3.1: Volume de controle regular e uniforme.

40

∫︁𝑉 𝐶

𝜕𝜑

𝜕𝑡𝑑𝑉 +

∫︁𝑉 𝐶

∇. (𝑃𝑒𝑉 𝜑) 𝑑𝑉 −∫︁𝑉 𝐶

∇.(∇𝜑)𝑑𝑉 =∫︁𝑉 𝐶

𝑆𝑑𝑉 (3.5)

Pelo teorema da divergência, as integrais de volume dos divergentes dos fluxos podem ser

escritas como integrais de superfícies dos fluxos respectivos conforme a equação (3.6), onde as

integrais de superfície representam o fluxo nas interfaces do volume de controle uniforme. De

(3.6) para (3.7) as integrais de fluxo em cada face do volume de controle são aproximadas pelo

valor na linha de centro multiplicado pela área da superfície.

∫︁𝑉 𝐶

𝜕𝜑

𝜕𝑡𝑑𝑉 +

∮︁(𝑃𝑒�⃗� 𝜑)𝑑𝐴−

∮︁(∇⃗𝜑)𝑑𝐴 =

∫︁𝑉 𝐶

𝑆𝑑𝑉 (3.6)

𝜕𝜑

𝜕𝑡∆𝑥∆𝑦 + [(𝑃𝑒𝑢𝜑)𝑒 − (𝑃𝑒𝑢𝜑)𝑤] ∆𝑦 + [(𝑃𝑒𝑣𝜑)𝑛 − (𝑃𝑒𝑣𝜑)𝑠] ∆𝑥

−[︂(︂

𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂𝑒

−(︂𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂𝑤

]︂∆𝑦 −

[︂(︂𝜕𝜑

𝜕𝑦

)︂𝑛

−(︂𝜕𝜑

𝜕𝑦

)︂𝑠

]︂∆𝑥 = 𝑆∆𝑥∆𝑦

(3.7)

Considerando a equação do transporte em regime permanente na ausência de fontes da

propriedade 𝜑 no domínio de interesse, a equação (3.7) fica da seguinte forma:

[(𝑃𝑒𝑢𝜑)𝑒 − (𝑃𝑒𝑢𝜑)𝑤] ∆𝑦 −[︂(︂

𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂𝑒

−(︂𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂𝑤

]︂∆𝑦+

[(𝑃𝑒𝑣𝜑)𝑛 − (𝑃𝑒𝑣𝜑)𝑠] ∆𝑥−[︂(︂

𝜕𝜑

𝜕𝑦

)︂𝑛

−(︂𝜕𝜑

𝜕𝑦

)︂𝑠

]︂∆𝑥 = 0

(3.8)

Para obter equações discretizadas para o problema de advecção-difusão é necessário apro-

ximar os termos da equação (3.8) de alguma forma. O termo de difusão pode ser determinado

por aproximações utilizando diferenças finitas centradas. As derivadas para a direção 𝑥 numa

malha regular são aproximadas como:(︂𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂𝑒

≈ 𝜑𝐸 − 𝜑𝑃∆𝑥(︂

𝜕𝜑

𝜕𝑥

)︂𝑤

≈ 𝜑𝑃 − 𝜑𝑊∆𝑥

(3.9)

Considerando essa aproximação por diferenças centrais a equação (3.8) pode ser reescrita da

forma:

[(𝑃𝑒𝑢𝜑)𝑒 − (𝑃𝑒𝑢𝜑)𝑤] ∆𝑦 − [𝜑𝐸 − 2𝜑𝑃 + 𝜑𝑊 ]∆𝑦

∆𝑥+

[(𝑃𝑒𝑣𝜑)𝑛 − (𝑃𝑒𝑣𝜑)𝑠] ∆𝑥− [𝜑𝑁 − 2𝜑𝑃 + 𝜑𝑆]∆𝑥

∆𝑦= 0

(3.10)

41

Os termos de advecção são aproximados pela utilização de algum esquema discretizante

na determinação do valor do escalar 𝜑 na face do volume de controle. De modo a obter essas

aproximações, é conveniente definir duas variáveis 𝐹 e 𝐷 para representar o fluxo advectivo e

difusivo que atravessa as faces dos volumes de controle. Assim sendo, tomando como exemplo

a face 𝑒, essas variáveis podem ser representadas por:

𝐹𝑒 = (𝑃𝑒𝑢)𝑒∆𝑦

𝐷𝑒 = ∆𝑦/∆𝑥(3.11)

Considerando essas novas variáveis pode-se escrever a equação (3.8) como:

𝐹𝑒𝜑𝑒 − 𝐹𝑤𝜑𝑤 + 𝐹𝑛𝜑𝑛 − 𝐹𝑠𝜑𝑠 =

𝐷𝑒(𝜑𝐸 − 𝜑𝑃 ) −𝐷𝑤(𝜑𝑃