- ) Descartes (1596 - 1650)

3

y

1.

.

1

2

2 22 2 22 21 1 1 1

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2

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4 4

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3

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3

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3

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y yy

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2.

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(1)

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5

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3.

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2

y yy

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4.

6

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.

2 22 2

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(1)

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5.

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7

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1 1

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22

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1 1 2 22

2 2 2 22 2 2 2

1 1 2 2

2 22 2 2 2

1 2

2 2

1 2

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

1 2

1

8

30

y

6. AB A

.

2 2 2 2 2 3

2

2 2 2 2 .

22 2 2 2

2 2 2 2 2 3

2

2

.

22 2 2 2 2 2 2 2

2

.

.

2 2 22

2 2

2 2 2 2

3

2

2 2

22 2

3

2

2 2

2 2

3

2

2 2 2 23 2 2

2 3

2 2

22 2 2 2 2

2 3 2 3 2 3

4 32 3 2 3 2 3

2

2 2 2 2 2 2

9

χΒ(0,0)

Α(α,β)

Γ(2α,0)Δ

Ε

Α

Β Γ

Η

Δ

Ε

Θ

Ζ Κ

2

2

7.

K .

Z K .

K

K E 90

KE 180 KE K E 180 KE ,

E K

Z E K K

.

22 2 2

2 2 2 2 2

2

.

0y x y x x y 0

0

x,0 , x 0

2 2 2 2

x 0 xd ,AB

0y x x y 2 0

2

2 2 2 2 2 2

x 2x 0 2 2 xE d ,A

2 2 2 2 2 2 2 2

2 xx x 2 x 2E

10

y

y

y

8.

2

2

2 2 2 

2 2 2AB .

O y . 2 2 2 2 2 2 2 2 .

y .

22 2

0 2 22

22 2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 .

y y.

0,

2

2 2 2 2 22 2

2 2 2

AB ,

B

11

y

,2 2

2 2 2AB

2222 2 2 2

2 2 2 2 2 2

.

9.

.

.

2 .

1

2

22 2 2 21 1 1

4 4 4

2 2 2 21 1 1

4 4 2

y y.

0,

,2 2

.

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2

2 2 4 4 4 2 2

10.

2 2

.

12

y

0,

A

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0 2 2

y y.

0,

0

,

y

y

2 2 2 2 2 2y

yy

2

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2

2 2

yy

2 2

2 2 2 2

.

2 2 ,

4 2 22 22 2 6 4 2

2 2 2 2 2 22 2 2 2

2

2 2

2

2 2

.

2

22 2 2

2 2

13

Μ

Γ

Α Β

Ε

Δ

χ

y

Γ(0,γ)

Α(0,0) Β(β,0)

Ε

Δ

11.

B E E 2 2 25A AE B

9.

2

2 2 2 EA AE 2AM

2(1).

ME M E B M MB ,

BAM

2

BE

3

2

2 2 2 2 2

2 2

2

B

B 9B B 10B 5B9A AE 22 18 18 18 94

2 22 2 2 2 2 2

A AE B BA E A B 2B BA BA E 2 E A A 1

1

B E E B3

2 2 2

BA A B

2 22 2 21 1

A AE B 2 B BA B B B 2 E A3 3

2 2 2 2 21 1 1 1

A AE B 2 B BA B B B 2 A9 3 9 3

2 2 2 211 2 2 11 2 2

A AE B B BA A B B BA B A9 3 3 9 3 3

2 2 2 2 2 2 211 2 11 2 11 6 5

A AE B B A BA B B A AB B B B9 3 9 3 9 9 9

y

0, 1 1 2 2

x ,y , E x ,y .

2

1

xx

2 (1) 2

1 2 1

yy y 2y

2 (2)

14

21

2

1

Μ

Ν

Γ

Α Β

Δ

y

χ

Ν(0,γ/2)

Μ(β/2,0)

Γ(0,γ)

Α(0,0) Β(β,0)

Δ

1

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xx x 2x

2(3)

1

2

yy

2 (4)

2

2 2 2 2

x2x 4x x x

2 3

1

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3

1

1 1 1 1

y2y 4y y y

2 3

2

2y

3

2,

3 3

2E ,

3 3.

2 22 2 2 2

2 2 254 4 5

A AE9 9 9 9 9 9

12.

M N 90 .

N N NA NA 2 2A .

M MB MA MA 1 1A .

1 2 1 2M N A A 90 .

21 1 1

N M A A B A A B A B2 2 4

21 1 1

N M A A B A A B2 2 4

0

A

0

B

2 21 1

N M A A A AB A A A AB4 4

0 2

A A AB A A

2

A A

1N M 2A A A A AB

4

2 2 21 1

N M 2A A A A A 2A 2A 0 N M4 4

y

0,

M ,02

N 0,2

.

15

ε

x

y

Μ

Λ

Γ(0,γ)

Α(0,0) Β(β,0)

Κ(κ,λ)

ε

Μ

Λ

Γ

Α Β

Κ

y x y x

B 1

y x .

2

2 2 2

2 2

2

2 2

xy x x x x

y xy x y x y

2 2

2 2 2 2, .

2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

2

2 22 2

2

2 2

2

2,

2 2

2 2

21 N

2 M N 90 .

13. A 90

B M .

B M

B M A AB AM A

B M A AM 0

A A AB AM AB A 0

A ABB M A A AB AM A M AB M

B M A M AB M A M AB M M A AB M B 0 B M

y

,

, 0, ,

16

30

y x y x

K , .

KM KM

KM B 1

2 2 2 2y x x y .

x 0

2 2 2

2 2 2y y

2 2 2

0, .

y 0

2 2 2

2x

2 2 2

2M ,0

2 2 2

2 2 2

B 2

0

0

2

2 2 2 2 2 2

2

0

0

2 2 2 2

B 2 2 2 21 B M

14. 30

2

2

3

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2

2

2

2 2 22

2

4 2 2

4

4 2 2

4

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2 2

4 2 2 2

4

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4

17

30

0,

y

A O

2 2

2

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0,

.

.

2

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15.

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18

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Δ

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y 0 .

y 0,

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y 0 .

0

16.

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, B BE, Z3 3 3

.

BK

Z Z BK2

(1)

KE BE K

2 (2)

19

y

xΔ(γ/2,0)

Ζ Ε

Α(α,β)

Β(0,0) Γ(γ,0)

2

2

2

3.

K B 2E B 2 B BE

2 2 3.

BK 2Z 2 Z Z

2 2 3.

2 2 2

A , B BE, Z3 3 3

. A x B yBE

1 1

A B x yBE A B x AB A y BA B2 2

x x y y x x y y y

AB AB A BA A AB AB A AB A AB AB 02 2 2 2 2 2 2 2 2

x x yy 1 AB A 0

2 2 2 (1)

x

y 1 02

x y

2 21 AB A AB Ax

y 12

x y

02 2

xy 1

21 A AB A ABx y

2 2

x3xy 1 0

221 x y2

3x yx y0

2 2

2 2

A , B BE3 3

.

2 2 1 1 2

A A A AB A A AB A3 3 2 3 3

1 2 1 2 1 1 1

Z AZ A AB AB AB A AB A2 3 2 3 2 6 3

.

2

2 Z Z3

.

A

,2 2

.

20

μ1

μ2

μ3

Ι

Ζ

Ε

Δ

Α

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2

0 2y 0 x y x

2 2 2

2

y x y3

...2

y x x2 2 3

,3 3

.

02y 0 x y x

2 2

2

.

23 2

3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 3 2

2 2 2 2 22

B3 3 3

,

2 2 2 2 22

BE2 2 2

2

B BE3

.

2

A A3

2

A3

.

17.

1 2, .

3

21

μ1

μ2

μ3

x

y

Ι

Ζ

Ε

Δ

Α(α,β)

Β(0,0) Γ(γ,0)

A

, , ,02 2 2

,2 2

.

1 2, .

3

.

1 111 .

1

2 2

y x y x2 2 2

2

x2

2 2 2 2 2 2

y x y2 2 2 2

x x2 2

2 2

,2 2

.

3 331 .

3

2 2 2

y x y x2 2 2 2

.

3

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

18.

2 2 2

2 2 2 (1)

2 2 2 (2)

, 2 2 2 (3)

2 2 2 2 2 2 2 2

22

x

y

1 2

22 2 2 2 2

2 2 2

.

2 2 , 2 2 , ,

2

2 22 2 2 2 2 2 2 2 2

19.

2

2 2 22

2 ( 1

1 2 .

2 2 2 (1)

2 2 2 (2)

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 22 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 20

2 2

22 2 4 2

23

1 2

y

y

,02

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 (1)

22 2 2

2 2 2 2 2 212

2 2 2 4 2

2 2 2 2 21

22

(2)

2 2 2 21

2 .

20.

.

,

.

.

2

y yy y 2

2

,

.

24

y

2

y yy y 2

2

, .

y y 2 .

.

21.

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1

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1

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,2 2

,2 2

.

2 2

y yy y 2y 2

2 2

.

2 2

y yy y 2y 2

2 2

,

.

y y y

2 2

25

ΖΔ

Μ

Α

Β Γ

Ε

y

x

Δ

Μ(γ/2,0)

Α(α,β)

Β(0,0) Γ(γ,0)

Ε

22.

A 3AE .

MZ BE .

E MZ

AE EZ Z A 3AE

AE xA B yBE

1

B yBE A AB y AE AB AM AB yxA yAB2

1 1 1

AB A AB yxA yAB 0 AB A AB yxA yAB 04 4 4

1 1 3 11 y AB yx A 0 y AB yx A 0

4 4 4 4 (1)

3y 0

4

1yx

41 AB A AB A3

y4

1yx 0

4

3y

4A AB A AB1

yx4

33yy 0

44

11xyx 0

34

1

AE A A 3AE3

,02

2,

4 2.

22y x y x2

4

.

26

Δ

Ε

Ζ

Α

Β Γ

x

y

Δ(α/2,β/2)

Ε(γ/2,0)

Ζ((α+γ)/2,β/2)

Α(α,β)

Β(0,0) Γ(γ,0)

y 0 x y x .

2 2y x x x y

3...

2 2 2y x y x y

3

2 2E ,

3 3.

22 2 22 22 2 1 1

AE A3 3 9 3 3

23.

1

4

Z B , E A , EZ AB .

EZ A Z , EZ EB , EZ EZ 1

EZ AB4

, , ,0 , ,2 2 2 2 2

BA , , B ,0 ,

det BA B0

1 1

AB det BA B2 2

E , , EZ ,

2 2 2 2,

2 2det E , EZ

4 4 4

2 2

1 1 1 1

EZ det E , EZ AB4 4 2 4

.

27

y

0,

Κ

Α

Β Γ

Δ

Μ

24.

B ,

22 2 2 22 2

2 2

22 2 2 22 2

2 2

2 2

y.

0,

.

2 2 2 2

2 2 2 2

25.

2 2 2 2MA M MB M .

2

2 2 2 AMA M 2MK

2

2

2 2 2 BMB M 2MK

2 A B

2 2 2 2MA M MB M .

28

x

y

Α(0,α)

Β(0,0) Γ(γ,0)

Δ(γ,α)

Μ(x,y)

22 2 2 2 2 2

MA M AM A AM AM A 2A AM AM

22 2 2

MA M 2AM AB A 2 AB A AM

2 2 2 2

MA M 2AM AB 2 AB A 0 2

A 2AB AM 2A AM

2 2 2 2 2 2

MA M AM 2AB AM AB AM 2A AM A

2 22 2 2 2 2 2

MA M AM AB AM A BM M M M

y.

0,

, x,y

2 22 2 2 2 2 22 2 2 2

MA M x y x y x y x y

222 2 2 2 2 22 2 2 2

MB M x y x y x y x y .

2 2 2 2

MA M MB M

26.

(1).

(2).

29

y

y

21

1

Κ

Δ

Α Β

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21

1

x

y

Δ(γ,δ)

Α(0,0) Β(β,0)

Γ(α,δ)Ε(x,δ)

, .

,

y .

2

y yy

2

.

02 2

y y0

2 2

27.

E B .

1

1

1 2

12

.

22 2 2 2 2

2 2

2 0 0 0 2 0

,

y x x y 0 .

d , d ,

30

Κ

Ο

Μ

Α

Β Γ

Δ

x

y

Κ

Ο

Μ

Α(β,γ)

Β(0,0) Γ(α,0)

Δ(α+β,γ)

2 2

x x 2 2 2 2 2 2 2 2

x 2 x x 2 x 0

2 2

2 22 2x

2.

x 2 2x .

2 2 2 2

x

28.

:1

BK B3

1

KM AM3

.

2 2 1 1

BK BO B B3 3 2 3

1

KM AM3

.

BK B KM AM

BK KM B AM BM A AB AB BM

1 1B A AB AB B A AB AB B B 0

2 2 2 2

1 1A AB AB A 0 A AB 0

2 2 (1)

10

2

1 A AB A AB1

2

0

1

21 AB A A AB

1 12 1 00 0 1

2 23

0

1

BK B3

1

KM AM3

.

, .

B .

31

,02

.

2y x y x

2 2 2

2

.

y x .

2 2 2y x x x x x

2 2 2 2 2 2

y x y x y x

3

2

x

2

x3

yy x 3

K ,3 3

.

2 22 21

BK3 9 3

2 2

B 1

BK B3

.

22 2 22 2

2 4 1AK 2 4

3 3 9 3

22 22 22 2 2

2 4 1AM 2 4 2 4 2 AM

2 4 2

2

AK AM3

.

29. 2 2 2 2 .

2 2 2 (1)

2 2 2 (2)

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 (3)

32

y

2 2 2 2

2 2 2 2

2 22 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

, .

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (1)

22

2 2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (2).

2 2 2 2 .

30.

2 .

2 .

.

2 2 2

.

33

y

2

.

1 1 1

2 2 2

1 1

2 2

1

2 .

2

.

, .

2 2

.

2 2

.

,

2 2 2 2

.

31.

180

180

2 .

2

34

y

O

Γ

Δ

Α

Β

K Λ

2

2

2 2 2 2

B

2 2 2 2 2 2 2 2 (1)

y

,

y

2 21

2 2 2

y y y y

.

32.

AB

AB

K A2 2

.

A K A OK O .

OK O

A OK O

ABK A AB

2 2

2 21 1

OK O O O OA OB O O OA OB2 2

2 2 2 2

O 2O O O OA 2OA OB OB

2 22 O O 2 2

2 OA OB A B

2 22 2 A B A B

A B AB AB AB

35

x

y

O

Γ

Δ

Α

Β

KΛ

Ο

BΓ ΔΑ K

1 2 1 2 1 2 1 2, , , , , , ,

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4 4

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1 1 2 22 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2

33.

O A O B

OA OB OAB OAB OBA OA OB .

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O A O BOA OB

O A O B.

O O A B O A O B .

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36

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34. A 90 O,R

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