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Densidade de Fluxo Elétrico
Prof Daniel Silveira
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Introdução
Objetivo– Introduzir o conceito de fluxo
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
– Introduzir os conceitos de fluxo elétrico e densidade de fluxo elétrico
– Relacionar estes conceitos com o de campo elétrico
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Conceito de Fluxo
Φ =(v.cosθ)A
Φ =v·A
Fluxo volumétrico= Vazão (volume por unidade de tempo) do ar através da espira por área
A) Incidência perpendicular
B) A componente perpendicular é v.cosθ
C) O vetor área A é perpendicular ao plano da espira e faz um ângulo θ com v
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Fluxo de um campo
É possível associar um vetor velocidade do vento a cada ponto do interior da espira
O conjunto de todos esses vetores é um campo de velocidades
A equação Φ =v·A pode ser interpretada como uma expressão para o fluxo do campo de velocidades através da espira
Interpretando desta forma, fluxo seria o produto de uma área pelo campo que existe no interior dessa área
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Introdução
Michael Faraday (1791-1867)– Autodidata, com apenas educação primária
– Grandes contribuições na química e na física
– Habilidade com experimentos
– Descobriu algumas leis que regem a eletricidade e o magnetismo
– Propôs a representação do campo elétrico através de linhas de força• Recusado pelos matemáticos da época
• Provado posteriormente por Maxwell
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Introdução
Michael Faraday– Papel com limalha de ferro em cima e imã embaixo
– Há também linhas de força para campo elétrico?
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Introdução
Michael Faraday– Cargas opostas mergulhadas em óleo com barbantes finos
– Como medir este fluxo elétrico?
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Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday– Seja uma esfera metálica com carga +Q
– Colocando esta esfera no interior de outra esfera metálica• Carga –Q induzida na parte interna
• Carga +Q induzida na parte externa
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Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday– Ligando a esfera à terra
• Carga positivas se deslocarão para a terra
• Esfera externa com carga negativa
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Fluxo Elétrico
Experimento de Faraday– Faraday interpretou o fenômeno como um fluxo de deslocamento de cargas da esfera interna para a externa
– Este fluxo deve ser igual à carga total
– As trajetórias de deslocamento de carga são denominadas linhas de fluxo
Q=Ψ
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Densidade de Fluxo Elétrico
Densidade de Fluxo Elétrico ( )
Medida de quantidade de linhas de fluxo por unidade de área
Grandeza vetorial que aponta na direção das linhas de fluxo
Dr
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Densidade de Fluxo Elétrico
Esferas concêntricas– Considerando uma esfera de raio r entre as duas esferas
– A carga total, i.e. o fluxo, dentro da esfera é Q e a área total é 4πr 2
– não depende do “corpo”, desde que r seja maior que este
Dr
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Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem– Considerando esfera interna centrada na origem com
e esfera externa com
– Se a carga estiver localizada em
rar
QD
rr
24π=
0→r ∞→r
'rr
( )'
'
'42
rr
rr
rr
QrD rr
rr
rr
rr
−
−
−=
π
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Densidade de Fluxo Elétrico
Carga pontual na origem– Comparando com a equação do campo para uma carga pontual
– No espaço livre
– Da mesma forma, para uma distribuição volumétrica de carga
rar
QE
rr
2
04πε=
EDrr
0ε=
( ) ∫ −
−
−=
vol
v
rr
rr
rr
dvrD
'
'
'4
'2 rr
rr
rr
rr
π
ρ
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Densidade de Fluxo Elétrico
Exemplo 3.1)– Calcular densidade de fluxo ao redor de uma linha de carga uniforme de 8nC/m no eixo z no espaço livre
E3.1)– Dada uma carga pontal de 60µC na origem, determine o fluxo elétrico total que passa através de • Porção da esfera de r =26cm limitada por 0<θ<π/2 e 0<φ<π/2
• Superfície fechada definida por z =±26cm e ρ =26cm• Plano z =26cm
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Densidade de Fluxo Elétrico
E3.2)– Calcular densidade de fluxo no ponto P(2,-3,6) produzido por• Uma carga pontual QA=55mC em Q(-2,3,-6)
• Uma linha de cargas uniforme com ρL=20mC/m no eixo x
• Um plano em z =-5m com ρS =120µC/m2
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Aplicações da Lei de Gauss
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Introdução
Lei de Gauss
Vamos usá-la para determinar a densidade de fluxo se a distribuição de cargas for conhecida
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície
fechada é igual à carga total dentro da superfície
∫ ⋅=S
S SdDQrr
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Introdução
Solução se torna simples se escolhermos uma superfície fechada em que
– é normal ou tangente à superfície gaussiana• se torna ou zero
– Quando não for zero, deve ser constante
SdDS
rr⋅
SDr
SdDS
rr⋅ dSDS
SD
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Aplicações da Lei de Gauss
Carga pontual: superfície esférica de raio r em torno da carga Q, será sempre perpendicular à superfície e constante
SDr
∫∫∫ ==⋅=esfera
S
esfera
S
S
S dSDdSDSdDQrr
∫∫ ∫ ==ππ π
θθπθφθ0
2
0
2
0
2 sen2sen drDddrDQ SS
24 rDQ Sπ= ⇒=24 a
QDS
π rS aa
QD
rr
24π=
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Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição uniforme linear de carga ρL
– Superfície cilíndrica de raio ρ
com tampa em z=0 e z=L
– A carga total então será Q=ρLL
∫∫∫∫ ++=⋅==basetopolado
S
S
SL dSdSdSDSdDLQ 00rr
ρ
⇒=πρ
ρ
2
LSD
ρπρ
ρaD L
S
rr
2=
LDL SL πρρ 2=
A integração geralmente
se limita à área da
superfície onde D é
normal
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Aplicações da Lei de Gauss
Distribuição superficial de cargas ρS
– Superfície cilíndrica, uma base
em cada lado da placa
– é perpendicular à placa
– A carga total então será Q=ρSA
2
SSD
ρ=
E
AADADSdDQ SSS
S
S ... ρ=+=⋅= ∫rr
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Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito
– Cilindros condutores
– Raio interno ρinterno= a
– Raio interno ρexterno= b
– Temos ρS na superfície externa do condutor interno
– Achar o campo elétrico pela lei de Coulomb é
complicado
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Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito– Para ρ < a
• Como o condutor é metálico, a carga na está na superfície
• A superfície gaussiana não envolve nenhuma carga
– Para ρ > b• A carga total envolvida é zero
000 =⇒=⇒⋅== ∫ SS
S
S DDSdDQrrr
0=SDr
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Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito– Para a <ρ < b
• A superfície envolve a carga contida no condutor interno para 0<z<L
Pela lei de Gauss
SaLQ ρπ2=
LDaL SS πρρπ 22 = ⇒=ρ
ρSS
aD ρ
ρ
ρa
aD S
S
rr=
S
L
z
S aLdzadQ ρπφρπ
φ
20
2
0
== ∫ ∫= =
LDQ S πρ2=
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Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito– Para a <ρ < b
• Se o condutor interno for um fio comdistribuição de carga ρL
LQ Lρ=
ρπρ
ρaD L
S
rr
2=
SL aρπρ 2=
⇒=ρ
ρSS
aD
Forma idêntica a da linha infinita de cargas!
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Aplicações da Lei de Gauss
Cabo coaxial de comprimento infinito– Como a carga total nos dois condutores tem o mesmo módulo
ba QQ −=
SaSbb
aρρ −=
SbSa bLaL ρπρπ 22 −=
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Aplicações da Lei de Gauss
Exemplo 3.2)– Seja um cabo coaxial com L=50cm, a=1mm,
b=4mm e Qa=30nC• Ache a densidade de carga em cada condutor
• Determine e Dr
Er
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Lei de Gauss
E3.3)– Seja nC/m2 no espaço livre. Determine:
• Campo elétrico em
• Carga total dentro da esfera r = 3
• Determine o fluxo total que deixa a esfera r = 4
rarDrr
23,0=
( )oo 90,25,2 === φθrP
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Lei de Gauss
E3.4)– Calcule o fluxo total saindo de uma superfície cúbica formada por seis planos x,y,z =±5, para• Duas cargas pontuais 0,1µC em (1, -2, 3) e 1/7µC em (-1,2,-2)
• Linha uniforme de carga π µC/m em x=-2 e y=3
• Superfície uniforme de carga 0,1µC/m2 no plano y=3x
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Aplicações da Lei de Gauss
E3.5)– Uma carga pontual de 0,25µC está localizada em r=0 e superfícies uniformes de carga estão dispostas da seguinte forma: 2mC/m2 em r=1cm, -0,6mC/m2 em r=1,8cm. Calcule a densidade de fluxo elétrico em• r=0,5cm• r=1,5cm• r=2,5cm
– Que densidade de carga superficial uniforme deve ser colocada em r=3cm para que a densidade de fluxo elétrico em r=3,5cm seja nula
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Divergente
Relaciona um campo vetorial com um campo escalar
O divergente do campo vetorial é o produto escalar entre ∇ e
( )zzyyxxzyx aDaDaDa
za
ya
xD
rrrrrrr++⋅
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅∇
Dr
Dr
z
D
y
D
x
DDD zyx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂==⋅∇
rr div
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Divergente
Em coordenadas cilíndricas
Em coordenadas esféricas
( )z
DDDD z
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅∇
φρρ
ρ
ρφρ 11r
( ) ( )φθθ
θ
θφθ
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=⋅∇
D
r
D
rr
Dr
rD r
sen
1sen
sen
11 2
2
r
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Divergente
A divergência de um campo vetorial dá como resultado o fluxo líquido (fluxo que sai menos fluxo que entra) por unidade de volume
O resultado é um escalar
vD ρ=⋅∇r
←Carga por unidade de volume
0>⋅∇ Dr
0=⋅∇ Dr
0<⋅∇ Dr
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Divergência
Exemplos– Fluxo líquido de água através de qualquer superfície fechada é zero• Água que entra, sai
• Divergência de velocidade é nula
– Ar se expande quando a pressão cai• Divergência é maior que zero
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Aplicações da Lei de Gauss
Lei de Gauss
Vamos aplicar a lei de Gauss a um elemento diferencial de volume em problemas que não possuem simetria
Isto servirá para determinar a divergência de um campo vetorial e para enunciar a primeira equação de Maxwell na forma diferencial
O fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada é
igual à carga total dentro da superfície
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Divergência
Divergência informa quanto fluxo está deixando um volume por unidade de volume– Fonte de densidade de fluxo positiva
– Fonte de densidade de fluxo negativa
– Não há fonte de densidade de fluxo
0>⋅∇ Dr
0=⋅∇ Dr
0<⋅∇ Dr
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Primeira Equação de Maxwell
Sabemos que
então
A primeira equação de Maxwell estabelece que o fluxo elétrico por unidade de volume que deixa uma unidade de volume infinitesimal é igual a sua densidade volumétrica de carga
v
SdD
D S
v ∆
⋅
=⋅∇∫
→∆
rr
r
0lim QSdD
S
=⋅∫rr
⇒=∆
=⋅∇→∆
vv v
QD ρ
0lim
r
vD ρ=⋅∇r Primeira Equação de
Maxwell (Eletrostática)
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Teorema da Divergência
A integral da componente normal a qualquer campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral da divergência desse campo vetorial através do volume limitado por uma superfície fechada
Relação entre uma integral dupla de superfície com uma integral tripla de volume
∫∫ ⋅∇=⋅volS
dvDSdDrrr
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Teorema da Divergência
Fisicamente, podemos analisar este resultado como sendo preferível se preocupar com as consequências do que ocorre na superfície de um volume sem se importar com o fenômeno que está se desenvolvendo dentro deles– O que diverge em uma célula
converge na adjacente
– Só contribui para o total
o que diverge na superfície
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Teorema da Divergência
Exemplo 3.5– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo
C/m2
e um paralelepípedo 0<x<1, 0<y<2, 0<z<3
yx axaxyDrrr
22 +=
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Teorema da Divergência
Exemplo proposto– Calcule ambos os lados do teorema da divergência para o campo
C/m2
e um paralelepípedo ρ ≤5, 0 ≤ φ ≤ 0,1π, 0 ≤ z ≤ 10
zaaaDrrrr
222 25sen25cos2 ρφρφρ φρ +−=
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Lista de Exercícios
Capítulo 3– 3.3, 3.4, 3.5, 3.9, 3.13, 3.17, 3.19, 3.21, 3.23, 3.27,
3.29