Denominamos polinômio na variável x e indicamos por P(x) a expressão do tipo:

P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0

Onde: • an, an-1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio.

• anxn , an-1xn-1 , ..., a2x2, a1x, a0 são os termos do polinômio.

• a0 é o termo independente.

• n é um número natural.

• x é a variável.

Polinômios

O grau de um polinômio P(x) é representado pelo maior expoente da variável x que possui coeficiente não-nulo e é indicado por gr(P).

Grau de um polinômio

observações importantes:

• Um polinômio nulo não tem grau. P(x) = 0 não se define o grau.

• Se o coeficiente do termo de maior grau de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico. • Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. exemplo: P(x) = 3x4 – 7x + 8

Valor numérico de um polinômio

• Obtemos o valor numérico de um polinômio P(x) para um número x = k, quando substituímos a variável x pelo número k e efetuamos as operações indicadas. exemplo: P(x) = 2x² - 5x +1 se x = 1 temos, P(1) = 2.1² - 5.1 +1, logo P(1) = - 2.

Igualdade de polinômios ou polinômios idênticos

Considere os polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais.

P(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn e Q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ... + bn xn

são iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n:

ak = bk

Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor) com D(x) diferente de zero, dividir P(x) por

D(x) é determinar outros dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) de modo que:

Ou seja, dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que:

P(x) = D(x).Q(x) + R(x) onde GR < GD.

Divisão de Polinômios

Este dispositivo é utilizado para dividir um polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da forma x - a. Neste método trabalha-se apenas com os coeficientes do polinômio e com o valor a.

      Obs.: Se o resto da divisão é zero, então o polinômio é divisível pelo polinômio

divisor.

Dispositivo Prático Briot - Rufini

Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x - a, se e somente se, P(a) = 0.

Teorema de D'Alembert

Teorema do Resto

O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) é o próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a).

De acordo com a definição de divisão, temos:P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = k (constante)P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = kLogo: R(x)= P(a)