delba costa da silva alvesdm.ufrpe.br/sites/dm.ufrpe.br/files/delba_-_tcc.pdf · 2019. 10. 17. ·...

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCODEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional

Delba Costa da Silva Alves

Fractais: uma ferramenta no ensino médio

RECIFE2019

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCODEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional

Delba Costa da Silva Alves

Fractais: uma ferramenta no ensino médio

Dissertação de mestrado apresentada ao Departamento deMatemática da Universidade Federal Rural de Pernambucocomo requisito parcial para obtenção do título de Mestreem Matemática.

Orientador: Prof. Dr. Ross Alves do Nascimento

RECIFE2019

À minha família, pelo apoio em todos os momentos.

Agradecimentos

Aos meus filhos, Amanda e Lucas, que de alguma forma, sempre mostraram compreensãoem relação às minhas ausências.

Ao meu marido, Rômulo, que me apoiou e incentivou a seguir na caminhada em buscados meus objetivos.

A todos os professores do PROFMAT – UFRPE, em especial às professoras AneteCavalcanti, Bárbara Costa, Maria Ângela Didier, Maité Kuleza e ao professor Rodrigo Gondim.

Ao professor Ross Nascimento, pela gentileza de em meio a tantos orientandos, aceitar-me e ser meu orientador. Obrigada pela disposição, paciência, compreensão e competência parame orientar neste trabalho, fornecendo contribuições valiosas para que o mesmo fosse realizado.

“Quando a gente acha que tem todas as respostas,

vem a vida e muda todas as perguntas.”

(Luís Fernando Veríssimo)

ResumoEste trabalho apresenta uma proposta de análise da geometria fractal associada aos conceitos deprogressões e representação da noção de função, especificamente na aplicação de saberes obtidosem aprendizagens em sala de aula. A proposta foi construída a partir de uma sequência de trêsatividades, que foi aplicada em uma turma de 2o ano do Ensino Médio de uma escola públicaestadual. Buscamos investigar se os estudantes trabalhando atividades baseadas em geometriafractal, especificamente, o Triângulo de Sierpinski, procuram por investigação de padrões ede escrita matemática baseada em saberes de progressões aritméticas e geométricas e sobre oconceito de funções.

Palavras-chave: Ensino de Matemática, Modelagem Matemática, Fractal, Progressões.

AbstractThis work presents a proposal of analysis of the fractal geometry associated to the conceptsof progressions and representation of the notion of function, specifically in the application ofknowledge obtained in learning in the classroom. The proposal was constructed from a sequenceof three activities, which was applied in a second year high school class of a state publicschool. We seek to investigate whether students working in activities based on fractal geometry,specifically the Sierpinski Triangle, seek to investigate patterns and mathematical writing basedon arithmetic and geometric progression knowledge and on the concept of functions.

Keywords: Mathematics teaching, Mathematics Modelling, Fractal, Progressions.

Lista de ilustrações

Figura 1 – Representação Fractal conhecida como Conjunto de Cantor. . . . . . . . . . 31Figura 2 – Imagem estática do iGeom com um fractal nele construída (usando sua

recorrência) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Figura 3 – Questionário da primeira atividade, exploração de formas geométricas. . . . 39Figura 4 – Atividade de construção do Triângulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . . 40Figura 5 – Atividade de investigação do Triângulo de Sierpinski. . . . . . . . . . . . . 41Figura 6 – Prévia da resolução da atividade 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Figura 7 – Respostas apresentadas pelo do aluno A10 para a atividade 1. . . . . . . . . 44Figura 8 – Respostas apresentadas pelo do aluno A10 para a atividade 2. . . . . . . . . 45Figura 9 – Respostas do estudante A1 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46Figura 10 – Respostas do estudante A2 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Figura 11 – Respostas do estudante A3 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48Figura 12 – Respostas do estudante A4 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Figura 13 – Respostas do estudante A5 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Figura 14 – Respostas do estudante A6 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Figura 15 – Respostas do estudante A7 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Figura 16 – Respostas do estudante A8 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 53Figura 17 – Respostas do estudante A9 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54Figura 18 – Respostas do estudante A10 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 55Figura 19 – Respostas do estudante A11 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 56Figura 20 – Respostas do estudante A12 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 57Figura 21 – Respostas do estudante A13 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 58Figura 22 – Respostas do estudante A14 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 59Figura 23 – Respostas do estudante A15 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 60Figura 24 – Respostas do estudante A16 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 61Figura 25 – Respostas do estudante A17 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 62Figura 26 – Respostas do estudante A18 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 63Figura 27 – Respostas do estudante A19 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 64Figura 28 – Respostas do estudante A20 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 65Figura 29 – Respostas do estudante A21 para as questões. . . . . . . . . . . . . . . . . 66Figura 30 – Respostas para Questão 1 da atividade 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 31 – Respostas para Questão 2 da atividade 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70Figura 32 – Respostas para Questão 3 da atividade 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Lista de tabelas

Tabela 1 – Alunos com escrita correta das sequências até a iteração 4. . . . . . . . . . 68Tabela 2 – Alunos com generalizações corretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Sumário

Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1 OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.1 Objetivo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2 Objetivos específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1 A Geometria Fractal, Interdisciplinaridade e Ensino . . . . . . . . . . . 312.2 A geometria fractal e sua aplicação na medicina . . . . . . . . . . . . . . 322.3 A geometria fractal e sua aplicação na geografia de mapas . . . . . . . . 322.4 O desenvolvimento da representação fractal a partir do uso de software 332.5 Geometria fractal e conceito de progressão aritmética e geométrica . . . 34

3 METODOLOGIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1 Tipo de Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Sujeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Local da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.4 Atividades da Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5 Procedimento de aplicação das atividades . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 ANÁLISE DOS DADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.1 Resultados da atividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2 Resultados da atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3 Resultados da atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.3.1 A análise das respostas do estudante A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.3.2 A análise das respostas do estudante A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3.3 A análise das respostas do estudante A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.4 A análise das respostas do estudante A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.5 A análise das respostas do estudante A5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3.6 A análise das respostas do estudante A6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.3.7 A análise das respostas do estudante A7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3.8 A análise das respostas do estudante A8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.9 A análise das respostas do estudante A9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.10 A análise das respostas do estudante A10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.11 A análise das respostas do estudante A11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.3.12 A análise das respostas do estudante A12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3.13 A análise das respostas do estudante A13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.14 A análise das respostas do estudante A14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.15 A análise das respostas do estudante A15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.16 A análise das respostas do estudante A16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3.17 A análise das respostas do estudante A17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.18 A análise das respostas do estudante A18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.19 A análise das respostas do estudante A19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.3.20 A análise das respostas do estudante A20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3.21 A análise das respostas do estudante A21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 DISCUSSÃO DOS RESULTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.1 Análise das respostas das sequências até a iteração 4 . . . . . . . . . . . 675.2 Análise das respostas para as generalizações . . . . . . . . . . . . . . . . 695.3 Análise das respostas para as questões discursivas . . . . . . . . . . . . . 70

Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

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Introdução

O desenvolvimento da matemática ocorre por necessidade humana de conhecer o mundoao seu redor e pelas necessidades de sobrevivência. A matemática faz parte da vida de nossasexperiências mais cotidianas, desde o ato de contar, até em processo de investigação e desen-volvimento de projetos. O conhecimento adquirido pelo ser humano a partir da apropriação damatemática permite uma melhor compreensão dos fenômenos sociais, econômicos e culturais.

Nesse processo apresenta-se a dificuldade de conhecer saberes matemáticos, observando-se principalmente no processo de ensino da própria matemática, que está atrelado a diversosfatores. Um deles é a própria natureza da ciência, pois um resultado matemático utiliza outrosresultados anteriores, e assim por diante, caracterizando-a como uma linguagem. Outro fator é odistanciamento dos conteúdos tratados com o mundo real. Ainda é comum a prática engessadada metodologia da aula expositiva, cópia e exercícios, que são repetitivos a partir da aplicação deum modelo, sem nenhum sentido real para o aluno.

No campo de ensino da geometria, constata-se que muitos professores não detêm partedos conhecimentos geométricos necessários para realização de suas práticas pedagógicas. Estadiscussão foi colocada há bastante tempo no trabalho “Os por quês matemáticos dos alunos eas respostas dos professores” (LORENZATO, 1995). Sobre uma pesquisa realizada com 255professores de 1a a 4a séries, cada um com cerca de 10 anos de experiência no magistério,estudo em que foram submetidos a trabalhar 8 (oito) questões referentes à Geometria planaeuclidiana (conceitos de ângulos, paralelismo, perpendicularismo, círculo, perímetro, área evolume), observou-se 2.040 respostas erradas, isto é, o máximo possível de erros. E mais, somente8% dos professores admitiram que tentavam ensinar Geometria aos alunos (LORENZATO, 1995,pág. 3).

Na verdade, o dilema dos professores é o discurso de que tentam ensinar geometria semconhecer as bases e os fundamentos dessa área da matemática. Há uma clara evidência de que oscurrículos dos cursos de licenciatura das universidades necessitam incorporar propostas maiseficientes para que se tenha uma formação de professores em geometria com mais qualidade.Outro fato são as modalidades de formação continuada, postas em ação nos últimos anos,basicamente na forma de cursos de capacitação, que não têm atingido um objetivo significativopara mudar esses dados relativos a dificuldade da prática na sala de aula em relação ao ensino deGeometria (ALMOULOUD, 2004).

Apesar dos saberes da geometria se situarem no eixo em que mais se permite umaaproximação com o mundo real, tais saberes ainda são tratados, frequentemente, como umconjunto de conceitos e definições sem qualquer relação com objetos reais, não permitindo,por exemplo, contemplar o espaço como referência, de modo que o aluno consiga analisá-lo,

24 Introdução

percebendo seus objetos e assim representá-los.

A geometria tem sido importante em seus diversos aspectos para a formação dos estudan-tes. Apesar de dificuldades, a Geometria Euclidiana, durante séculos, foi considerada suficientepara descrever todos os olhares do mundo em que vivemos. Pois, através do seu estudo, seconsegue explicar casos de visualização e compreensão de objetos planos com perfeição, mesmo,no século XIX, quando algumas contestações desse paradigma aparecem e, mesmo assim, ele sesustenta. Apesar de percebermos hoje, que muitas formas da natureza, como nuvem, arquiteturade árvores, muitos contornos de montanhas e até a superfície dos pulmões, por exemplo, nãopoderiam ser descritos pela geometria Euclidiana, requisitando-se outros saberes de uma novavisão da geometria que são característicos de um novo paradigma.

Esse novo paradigma geométrico vem questionar aplicações da geometria plana emcampos não usuais ao que ela se sustentava, pois não se tinha ainda observado alguns aspectos.Em 1967, Mandelbrot, matemático polonês, utilizou pela primeira vez, o termo fractal paradefinir objetos e fenômenos da natureza com formas irregulares e que se observados em diferentesescalas, tem essencialmente a mesma estrutura. Mandelbrot não aceitava a descrição de objetosnaturais comparando-os a elementos da geometria tradicional. Esta insatisfação e inquietudelevam-no a descrever uma nova forma de geometria com estruturas geometricamente complexase infinitamente variadas, a Geometria Fractal.

Muito se tem discutido sobre estratégias de abordagens de conteúdos da geometria planaem sala de aula, como um recurso para propor habilidades e conhecimentos nos estudantes a essesnovos saberes. A própria prática pedagógica nos faz perceber que apresentar novas abordagensdos saberes geométricos torna a aula mais prazerosa, permitindo ao estudante associar umconteúdo aparentemente apenas intrínseco à disciplina a algo real, valorizando o processo deensino aprendizagem. Nesse sentido, discutir propostas para trabalhar o estudo dos fractais comoforma de apresentar aos estudantes uma compreensão desse novo saber a partir de suas aplicaçõestorna-se importante, pois permite a investigação de conteúdos matemáticos de diversas áreas,como cálculo, geometria plana e espacial e álgebra, por um novo caminho.

Segundo Nunes (2006), a exploração da geometria fractal, no contexto de sala de aula,proporciona o desenvolvimento das atitudes, dos valores e das competências dos alunos, queocorre na medida em que se promove a curiosidade e o gosto de aprender, de pesquisar e deinvestigar, de impulsionar a utilização da matemática na interpretação do real, de reconhecer for-mas e processos que envolvem conceitos matemáticos e na ajuda da compreensão dos conceitosde perímetro, área e volume, como também ao promover a pesquisa de padrões e regularidadesformulando em seguida generalizações em situações diversas, nomeadamente em contextosnuméricos e geométricos.

Nesse sentido, experimentar uma abordagem de ensino de matemática através do usode fractais, no ensino médio, para valorizar o aprendizado dos estudantes em conteúdos queexploram essa visão geométrica é uma proposta que pode enaltecer o trabalho do professor, pois

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começa a se discutir nesse nível de ensino o que as ciências vêm apresentando.

A Geometria Fractal nos favorece com uma ligação mais próxima da representação deelementos naturais, além de ter uma aplicabilidade em diversas áreas, como Biologia, Medicina,Topografia, Engenharias, Arte, design gráfico em jogos, entre outras, que desperta o interessedo aluno no processo de identificação de formas, provocando a curiosidade do entendimento dealguma delas.

Atualmente se verifica na prática de sala de aula a possibilidade do uso de materiaissimples, como papel, lápis, régua e compasso, para construir a representação de fractais, prin-cipalmente quando a estrutura escolar não dispõe de recursos computacionais para o uso desoftware que permite a visualização e sua construção pelo estudante.

No Ensino Médio, quando o estudante está em fase decisiva de formação de opinião eescolhas referentes ao seu futuro acadêmico e profissional, a identificação com os conteúdosapresentados nas diversas disciplinas pode gerar contentamento quando o mesmo consegueassociar a importância desses conteúdos com a sua aplicação na vida real.

De acordo com os PCN+ (Brasil, 2002), os temas devem, ainda, permitir uma articulaçãológica entre diferentes ideias e conceitos para garantir maior significação para a aprendizagem,possibilitar ao aluno o estabelecimento de relações de forma consciente no sentido de caminharem direção às competências da área e, até mesmo, tornar mais eficaz a utilização do tempodisponível. (Pág. 116).

Embora os PCN para o Ensino Médio (Brasil, 1998) não explicitem este tema comoconteúdo curricular, a Geometria Fractal, ultimamente, vem sendo objeto de investigação nocenário da Educação Matemática a partir dos estudos de diversos pesquisadores (BARBOSA,2002; BRANDÃO, 2002; ROMAN, 2004; SALLUM, 2005; GOUVEA, 2005; PIMENTEL,2005; ALMEIDA, 2006; GONÇALVES, 2007; PALLESI, 2007; FARIA, 2012), que atravésde discussões em áreas diversas detalharemos nesse estudo em um tópico específico para cadacampo matemático trabalhado.

A forma de apresentar um conteúdo da matemática utilizando fractais permite ao aluno aoportunidade de estudar tópicos do currículo da matemática com um novo olhar, no qual, elepoderá articular temas da matemática formal com a natureza. Portanto, a proposta deste trabalhoé discutir os resultados da aplicação de uma atividade em que se fez o uso da geometria fractalpara desenvolver habilidades em estudantes do ensino médio relativo a identificação de saberesdo campo das sequências numéricas, quando visualizadas através da geometria fractal.

Os saberes da geometria fractal a partir dos estudos que vem sendo construídos tornaram-se bastante diversos e atualmente já exploram diversos saberes e campos de aplicação. Portanto,nosso foco de estudo restringe-se apenas ao campo das sucessões numéricas, especificamenteprogressão aritmética e geométrica. Dessa forma, apresentamos como questão de pesquisa aseguinte indagação: Será que os estudantes do ensino médio trabalhando atividades baseadas em

26 Introdução

geometria fractal aplicam corretamente saberes obtidos de suas aprendizagens matemáticas desala de aula, especificamente Progressão Aritmética, Progressão Geométrica e a Representaçãoda noção de funções (termo geral de uma sequência)?

Para o desenvolvimento dessa proposta de estudo apresentamos a seguir os objetivos quepretendemos seguir como forma de contemplar os aspectos e tópicos importantes que vem sendotratados nas discussões da literatura.

27

1 Objetivos

1.1 Objetivo geral

Através de uma sequência de atividades buscamos explorar a geometria fractal comorecurso para o entendimento de conteúdos curriculares de matemática relativos a ProgressãoAritmética e Geométrica, com estudantes do ensino médio.

1.2 Objetivos específicos

1. Explorar com estudantes do Ensino Médio atividades com foco na geometria fractal;

2. Analisar como os estudantes do Ensino Médio compreendem a geometria fractal associadaaos conteúdos trabalhados na sala de aula em seus diversos aspectos;

3. Discutir a associação dos padrões de regularidades visualizados nos fractais que temligação com o conceito de P.A. e P.G.

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2 Fundamentação teórica

O conjunto de anotações contidas no material histórico, os Elementos de Euclides, éconsiderado a mais completa obra antiga que trata de geometria. Constituída de 13 livros, expõeresultados de matemática elementar em ordem lógica, desde a época de Tales (600 a. C) atéEuclides (300 a. C). A grandeza de sua estrutura axiomática é o que a diferencia de todas asoutras que a precederam.

O livro I desse material científico é destinado a apresentação da geometria plana, com 48proposições deduzidas a partir de 5 axiomas, 5 postulados e 23 termos definidos.

Por mais de dois mil anos, Os Elementos foram aceitos como verdade evidente, comexceção do quinto postulado, conhecido como o postulado das paralelas, que por não ser tãoevidente, como os outros, mesmo na antiguidade, despertou o interesse de alguns matemáticosque acreditavam que se tratava de um teorema, passível de ser demonstrado a partir dos demais.Mas todas as tentativas neste sentido falharam.

Apesar de sua aceitação universal por tanto tempo, Os Elementos tem recebido críticaspor ter provas e definições insuficientes pelo padrão da matemática moderna. O movimento críticoiniciou-se, provavelmente, no século XVII, sobretudo com John Wallis (1616–1703), matemáticobritânico com trabalho sobre cálculo percursor aos de Newton (1643-1727), prosseguindo comLambert (1728-1777) e Gauss (1777-1855). Mas é no século XIX que a crítica chega as últimasconsequências, ocorrendo a proposição de geometrias alternativas por Bolyai (1802-1860),Lobachewski (1793-1853) e Riemann (1826-1866), e ademais emerge, em nova fundamentaçãoda geometria euclidiana proposta por Pachs (1843-1930), Dedekind (1831- 1916) e Hilbert(1862-1943), que tentaram reformular os axiomas dos Elementos, inclusive adicionando umaxioma de continuidade e um axioma de congruência.

Gauss foi o primeiro a aceitar a independência do quinto postulado. Mas a primeiranegação pública foi de Lobachewski, em 1826 que, de acordo com Boyer (2003, p. 360) échamado de “Copérnico da Geometria”, o homem que revolucionou o assunto pela criaçãode todo um ramo novo, a geometria de Lobachewski, mostrando com isso que a geometriaeuclidiana não era a verdade absoluta que se supunha ser. Atualmente temos a clareza de quemuitos dos problemas do cotidiano e do mundo científico, não são resolvidos pela geometriaeuclidiana, e sim pelas chamadas geometrias não euclidianas, como por exemplo, as geometriashiperbólica, elíptica, projetiva, da topologia e a dos fractais (VEJAN, 2011).

Ainda segundo Vejan (2011), alguns comportamentos na natureza que apresentam formasmuito irregulares, como as nuvens, as montanhas, os batimentos do coração, as árvores, osformatos visuais da couve-flor e dos brócolis, dentre outros, a geometria euclidiana por nósconhecida se torna inadequada para analisar tais situações, sendo necessário recorrer a Geometria

30 Capítulo 2. Fundamentação teórica

dos Fractais. Talvez seja este um dos maiores méritos da Geometria Fractal: o de melhorrepresentar as formas da natureza. Ideia formalizada em uma famosa frase, pelo criador do termofractal e percursor da Geometria Fractal, o polonês Benoit Mandelbrot (1924-2010), no seulivro intitulado: “The Fractal Geometry of Nature”, no qual coloca o fato de que nuvens não sãoesferas, montanhas não são cones, os litorais não são círculos, a casca das árvores não é lisa etampouco a luz viaja em linha reta.

A história da Geometria Fractal confunde-se com a do seu criador. Mandelbrot percebia-se descontente com a crescente algebrização da matemática proposta pelo Bourbaki, grupo dejovens matemáticos que visavam uma Matemática formal e pura à qual predominava a abstraçãoe que tinha como um dos membros, seu tio Szolem Mandelbrot, na primeira metade do séculoXX, na França, onde residia. Em 1948, Mandelbrot mudou-se para os Estados Unidos paratrabalhar no Instituto de Pesquisa James Watson da IBM (Internacional Business MachinesCorporation), segundo estudos de Barbosa, (2002).

Mandelbrot trabalhou em vários problemas aparentemente independentes. Um delesestava relacionado a medição do litoral da Grã-Bretanha. Barbosa (2002) apresenta a respostaencontrada por Mandelbrot:

A resposta possível variará conforme a escala de medição. Baías e Penínsulasaparecerão ou não, dependendo da escala adotada. Sabe-se, por exemplo, queem documentos dos dois países vizinhos, a fronteira da Espanha com Portugaldifere em cerca de 20%, o mesmo acontecendo por exemplo, com a fronteirada Holanda e da Bélgica. Claro que ao efetuar as medidas cada país empregouinstrumentos com unidades de escalas diferentes.(BARBOSA, 2002, p.12).

Em outras palavras, reentrâncias ou saliências menores que um metro e medidas coma base de medição sendo usado o metro, não apareceria. O que indica que a base de mediçãodeveria tender a zero. Mas isto não faria sentido pois a medição tenderia para o infinito.

Segundo Titoneli (2017, p. 92), outro problema estudado por Mandelbrot, agora já naIBM, estava relacionado com ruídos na transmissão de dados entre computadores. Problemaeste que nem os experientes engenheiros conseguiam resolver. Mas, Mandelbrot seguiu ocaminho inverso. Ao invés de tentar eliminá-los, considerou-os inevitáveis, percebendo que oserros vinham em blocos, que se ampliados, revelavam outros blocos menores em sua estruturaintercalados pelos dados da transmissão. Tratando os erros como de maneira semelhante à Poeirade Cantor (Figura 1). Gonçalves (2007, p. 42) discute que o conjunto ou poeira de Cantor,talvez o primeiro objeto a ser reconhecido como fractal, foi publicado em 1883. A partir de umsegmento de reta, divida-o em três partes iguais e elimine a parte central. Depois, repita esteprocedimento a cada parte do segmento que permanece. Programando os computadores paratrabalhar assim, diferenciando a informação transmitida e o ruído indesejável, elimina-se a maiorparte da interferência, tornando a comunicação viável.

2.1. A Geometria Fractal, Interdisciplinaridade e Ensino 31

Figura 1 – Representação Fractal conhecida como Conjunto de Cantor.

Fonte:.(Acesso em 11/02/2018)

Após diversos resultados, Mandelbrot reuniu todos os seus trabalhos e os direcionoupara o que se conhece hoje como Geometria Fractal. Sendo fractal, que significa quebrado, otermo utilizado para identificar as formas que fazem parte desta geometria.

Segundo Albuquerque (2008, p.1), tecnicamente, um fractal é um objeto que apresentainvariância na sua forma à medida em que a escala, sob a qual o mesmo é analisado, é alterada,mantendo-se a sua estrutura idêntica ao original. Isto não é o que ocorre, por exemplo, com umacircunferência, que parece reduzir a sua curvatura à medida em que ampliamos uma das suaspartes.

As principais características de um fractal são autossimilaridade, quando uma porção, deuma figura ou de um contorno, pode ser vista como uma réplica do todo, numa escala menor;complexidade infinita, quando se executa um determinado procedimento, no decorrer do mesmoencontra-se como subprocedimento o próprio procedimento anteriormente executado; dimensão,que ao contrário da geometria euclidiana, não é necessariamente um número inteiro, pode seruma quantidade fracionária, representando o grau de ocupação da estrutura no espaço que acontém; e iteração, característica que permite que o fractal seja expresso por um procedimentorecursivo ou iterativo.

2.1 A Geometria Fractal, Interdisciplinaridade e Ensino

Segundo Barbosa (2002), a Geometria Fractal está intimamente ligada à ciência do Caos,pois as estruturas fragmentadas dos fractais fornecem uma certa ordem, buscando padrões dentrode um sistema que é aparentemente aleatório. A teoria dos fractais apresenta uma maneirasimples e coerente de entender um fenômeno complexo.

Ainda segundo Barbosa (2002), as justificativas para se inserir Geometria Fractal em salade aula se dá pelas conexões com várias ciências e até por deficiências da Geometria Euclidiana

http://www.principo.org/universidade-de-coimbra.html


no estudo de formas da natureza, desde que é, em geral, apenas apropriada para formas do mundooriundas do humano, como construções de casas, prédios, pontes, estradas, máquinas, etc.; osobjetos naturais são com frequência mais complicados e exigem uma geometria mais rica, que osmodela com fractais, possibilitando desenvolver projetos educacionais sobre temas transversaisvoltados para a compreensão de fenômenos que se observa nos diversos ambientes; difusãoe acesso aos computadores e a tecnologias da informática nos vários níveis de escolarização;existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvolver o senso estético com oestudo e arte aplicada à construção de fractais, entendendo-se arte como toda ação que envolvesimultaneamente emoção, habilidade e criatividade e a sensação de surpresa diante da ordem nadesordem.

2.2 A geometria fractal e sua aplicação na medicina

Nas ciências médicas e biológicas encontramos situações e dados importantes queestão associados à geometria Fractal, por exemplo, que podem ser modelados por fractais. Asramificações pulmonares, veias e artérias seguem padrões de ramificações que são perfeitamenterepresentados por fractais. Um ritmo cardíaco, apesar de aparentar constância, tem variaçõesaleatórias, porém, identificam-se padrões fractais nessas variações em diferentes escalas. Aanálise de imagem no diagnóstico precoce de câncer pode ser feita através de modelagemutilizando-se a dimensão fractal (RABAY, 2013).

Para aplicação da análise da dimensão fractal em imagens radiográficas foram desenvolvi-dos algoritmos para quantificar as propriedades texturais de uma imagem. O osso trabecular, tipode osso responsável por 20% do esqueleto humano e que tem entre outras funções, a manutençãoda força e elasticidade do esqueleto, além de alojar a medula óssea, tem um padrão de ramificaçãoque apresenta propriedades fractais como autossimilaridade e falta de escala bem definida. Estefenômeno, a aplicação da geometria fractal e a medição da dimensão fractal pode ser usadapara determinar a complexidade estrutural do osso trabecular (KANIS,1994; MARSHALL etal.,1996; SCHUIT et al., 2004 apud SINDEAUX, 2013).

2.3 A geometria fractal e sua aplicação na geografia de ma-pas

Desde sua criação, a Geometria Fractal vem sendo utilizada em diversas áreas, masno início dos anos 70 e com o desenvolvimento dos sistemas de informação geográfico edo sensoriamento remoto é que a Geometria Fractal passou a ser incorporada em estudoscartográficos, topográficos e ecológicos (LAWFORD e MASTER, 2002).

A ecologia e a geometria espacial têm ressaltado a importância da métrica utilizadapara quantificar o nível de detalhes de mapeamento. A variação da resolução, ou do nível de

2.4. O desenvolvimento da representação fractal a partir do uso de software 33

detalhe das representações espaciais contidas em um mapa, pode ser responsável por distorçõesde valores de área, perímetro, número e forma dos objetos. Desta maneira, muita atenção temsido dada à resolução espacial dos arranjos espaciais das paisagens, pois quando a resolução ouo nível de detalhe é alterado, diferentes estruturas e feições espaciais podem aparecer (BENSONe MACKENZIE, 1995).

Segundo Turner (2001), as alterações influenciam diretamente nos valores das métricasutilizadas na quantificação dos padrões espaciais da paisagem, provocando distorções que sãoresponsáveis por variações na estimativa da dimensão fractal de elementos lineares, como é ocaso das linhas de costa.

Mandelbrot (1967) já havia concluído que à medida que o tamanho padrão aumenta, oscomprimentos aproximados das linhas da costa e das fronteiras diminuem. Este padrão negativodos gráficos é dependente de duas constantes que podem ser interpretadas como uma dimensão,no caso a dimensão fractal.

2.4 O desenvolvimento da representação fractal a partir douso de software

Barbosa (2002) propõe a exploração de temas como contagem, sequências, perímetro,área, volume e algoritmo de programação, buscando o despertar de padrões através da estéticados fractais. Uma abordagem para contagem e sequência dá-se pela construção de fractais pelafronteira, permitindo determinar a sucessão de comprimentos dos níveis, descobrindo o seutermo geral por inferência sobre os casos iniciais; na exploração de descobrir a sucessão dasquantidades das formas de paralelepípedos construídos por dobraduras e cortes em uma folhade papel, permitindo a conclusão dada por uma recorrência, dá-se a abordagem de volume;perímetro e área são explorados, por exemplo, em atividades com fractais planos por remoção; ealgoritmo de programação, trabalhado de forma interessante como a árvore fractal construída noCabri-géomètre, software desenvolvido por Laborde e Bellemain (1988).

Roman (2004) utilizou os recursos computacionais para relacionar progressões comfractais. A utilização da Geometria dinâmica permite a simulação no computador de cons-truções usualmente feitas com régua e compasso, possibilitando com apenas uma construçãorealizar vários testes. Outros estudos (GONÇALVES, 2007; PALLESI, 2007; FARIA, 2012),também fizeram uso da Geometria Dinâmica, hoje bastante requisitada no movimento dos efeitoscomputacionais.

O uso de software para o desenvolvimento de fractais oferece condições de manipulaçãode diferentes componentes das figuras construídas permitindo a construção de conjecturas deforma a fundamentar conceitos geométricos e algébricos. Os programas gráficos são capazesde resolver e até ajudam a solucionar problemas de bons projetos, permitindo a visualização


imediata do erro e criando no ambiente onde o produto está sendo desenvolvido a antecipação deetapas. No caso das iterações na construção de fractais, permite a generalização de resultados deforma mais rápida e segura. Como exemplo, os softwares Geogebra e o iGeom (figura 2) sãoalguns dos programas de Geometria Dinâmica que possuem recursos inerentes à construção defractais geométricos.

Como exemplo, os softwares Geogebra e o iGeom (figura 2) são alguns dos programasde Geometria Dinâmica que possuem recursos inerentes à construção de fractais geométricos.

Figura 2 – Imagem estática do iGeom com um fractal nele construída (usando sua recorrência)

Fonte:.(Acesso em 11/02/2018)

2.5 Geometria fractal e conceito de progressão aritmética egeométrica

Antes de abordar a geometria fractal em relação aos conceitos de PA e PG, indicamosum estudo de Albuquerque e Nascimento (2016) enfatizando que existem propostas de ensinoda Matemática que geram contextos importantes para compreensão do conceito de sucessãoaritmética e geométrica que ainda são pouco exploradas e valorizam a discussão de que ageometria sempre foi um campo do conhecimento matemático utilizado como ferramenta auxiliarpara a compreensão de outros conceitos da própria Matemática. Tal fato é reforçado por Almeida(2013) quando levanta a questão de que normalmente, os livros didáticos dão pouca ênfaseao uso de representações geométricas para compreensão do conceito de sucessão aritmética e

http://www.matematica.br/igeom

2.5. Geometria fractal e conceito de progressão aritmética e geométrica 35

geométrica, aparecendo, geralmente, na prática de exercícios, como forma de colocar o estudantediante da situação.

Albuquerque e Nascimento (2016, p. 48) na justificativa do estudo destacam que:

O conceito de sucessão é geralmente ensinado com base no contexto da compre-ensão das funções, apresentando modelos prontos. Portanto, por percebermos ovazio que pode deixar muitos estudantes sem o domínio desse conceito, quandoassociado a algumas formas geométricas, fomos levados a tratar tal questãocomo um problema para investigação. Decidimos buscar entendimento do con-ceito de progressão vivenciado na sala de aula utilizando formas da Geometria[...] o objetivo do trabalho foi entender como os estudantes visualizavam oconceito de progressão por meio das regularidades geométricas possibilitadasno SuperLogo.

Os resultados do estudo de Albuquerque e Nascimento (2016) afirmam que o conceito de progres-são, mesmo trabalhado na escola por diversas formas de representação (numérica, algébrica, entreoutras), não foi visualizado de forma espontânea pelos estudantes ao manipular esse conceito apartir do recurso geométrico. Parece não ser comum no modo de pensar de alguns estudantes quea geometria também está associada ao desenvolvimento do conceito de progressão em algumassituações de ensino. Esse fato indica a necessidade de estudos para a proposta, a fim de reforçaro conhecimento desse saber com os estudantes.

Partindo deste fato, nosso estudo é uma proposta de análise da geometria fractal associadaaos conceitos de Progressão aritmética e geométrica, especificamente em saberes próprios quesão trabalhados no ensino médio. Portanto, recorremos a várias pesquisas que colaboram nessesentido.

Gonçalves (2007) investigou a utilização de fractais com o objetivo de estimular apercepção da autossemelhança e o processo de generalização de fórmulas numa progressãogeométrica no Ensino Médio. A pesquisa revela que a construção, manipulação e observaçãolevaram a percepção da autossemelhança, facilitando a generalização dos elementos matemáticosque compõem uma progressão geométrica.

Pallesi (2007) defende o uso de fractais em progressões aritméticas e geométricas noEnsino Médio como fator para tornar as aulas de progressões mais atrativas e dinâmicas. Apreocupação em apresentar conteúdos de forma mais atrativa e dinâmica não é apenas deestudiosos em educação matemática, os próprios docentes, através de suas experiências em salade aula estão buscando propostas de sequências didáticas utilizando Geometria Fractal.

Faria (2012) estudou as contribuições dos padrões dos fractais para generalização depadrões, por permitir trabalhar algumas propriedades como autossemelhança e complexidadeinfinita. Os resultados obtidos indicaram que o trabalho com tais padrões contribuiu para oprocesso de generalização de conteúdos matemáticos, dentre os quais PG, por permitir trabalharcom propriedades, como autossemelhança e complexidade infinita.

Pimentel (2005) traz o debate da matemática como a ciência dos padrões, apontando que


a lei de correspondência entre cada elemento de uma sequência tem o objetivo de investigar odesenvolvimento de um pensamento algébrico. A autora argumenta que o trabalho com padrõespossibilita descobrir uma lei de formação para continuar determinada sequência e conseguir ageneralização de todos os termos.

Nicola (2013) destaca que a motivação em trabalhar com fractais deve-se a riqueza eatualidade do tema, objetivando que os alunos verifiquem uma das propriedades fundamentaisda geometria, a semelhança, e sejam motivados a estudar conceitos matemáticos de uma formasimples.

Reis (2014) faz referência às indagações sobre as concepções do ensino da matemáticaque remetem as competências para ser um bom professor. Segundo o autor, a matemática formalestá desassociada da realidade e a motivação do seu trabalho deu-se pelas indagações de alunose professores do porquê da necessidade de estudar conteúdos como sequências e progressões,por exemplo. O autor escolheu a geometria fractal como meio de apresentação de conteúdos deforma mais dinâmica e significativa.

37

3 Metodologia

3.1 Tipo de Pesquisa

Nosso trabalho está baseado em modelo de pesquisa qualitativa, especificamente numestudo de caso, envolvendo alunos de uma turma do 2o ano do Ensino Médio de uma escolapública estadual.

3.2 Sujeitos

O público alvo foram 38 alunos da turma do 2o ano do ensino médio técnico, na faixaetária entre 14 e 15 anos. O grupo de trabalho foi selecionado de uma turma de estudantes emque a pesquisadora era professora responsável pela disciplina de matemática.

3.3 Local da Pesquisa

A pesquisa ocorreu na Escola Técnica Estadual Almirante Soares Dutra, localizadana cidade do Recife (PE). A Escola funciona em três modalidades: Integral Integrada; EaD(Educação à Distância) e Subsequente. Todas as modalidades ocorrem por meio de processoseletivo (prova de português e matemática).

Na modalidade Integral Integrada, os alunos ingressam após concluírem o ensino funda-mental e fazem opção, no momento do processo seletivo, por um dos dois cursos disponibilizados(Técnico em Nutrição e Dietética ou Técnico em Meio Ambiente). Após três anos, concluem oEnsino Médio e uma modalidade técnica. A modalidade Subsequente é para os que já concluíramo Ensino Médio e desejam a formação técnica em um dos seguintes cursos: Enfermagem, SaúdeBucal, Análise Clínicas, Intérprete em Libras, Prótese Dentária e Segurança no Trabalho. E namodalidade EaD, os cursos oferecidos também são para quem já concluiu o Ensino Médio.

3.4 Atividades da Pesquisa

Foram aplicadas três atividades. As atividades 1 e 2 ocorreram sem prejuízo do andamentoda pesquisa, no programa que tínhamos definido. No entanto, a atividade 3, no dia em quemarcamos o trabalho, ocorreu uma festividade comemorativa próxima ao bairro onde está situadaa escola. Esse fato, provocou a ausência de alguns alunos, pois, do total de 38 que estavamparticipando, só compareceram, nesse dia, 21 estudantes. Portanto, a atividade 3, que ao nossover tem dados significativos de análise, teve esse precedente. Mesmo assim, consideramos não

38 Capítulo 3. Metodologia

refazer a coleta por analisarmos que o fato não chegava a prejudicar o estudo por ainda se ter umnúmero considerado de sujeitos que trabalhariam com o material.

A primeira atividade é diagnóstica e é composta de três questões. Na primeira questão,pede-se que o aluno desenhe formas geométricas conhecidas por ele e que as identifique, com osseus respectivos nomes. Como as formas poderão ser feitas à mão livre, não se espera rigor nafigura, apenas um resgate da demonstração dos saberes de associação do nome, característica,forma e de alguma propriedade quando for feito o desenho. Por exemplo, no triângulo equilátero,identificar que todos os lados são iguais.

Na segunda questão, é apresentada uma tabela onde o aluno deve preencher a segundacoluna identificando a forma geométrica que está associada ao elemento na primeira coluna ena terceira questão, pergunta-se se o aluno teve dificuldade de associação e que justifique a suaresposta.

A segunda atividade é da construção de quatro iterações do fractal Triângulo de Sierpinski.Este fractal foi escolhido devido a facilidade de sua construção utilizando apenas recursos simples,como papel, lápis, régua e esquadro. A terceira atividade é investigativa. Composta de umatabela explorando perímetro e área de cada iteração do Triângulo de Sierpinski e de três questõesdiscursivas sobre a análise da tabela.

3.5 Procedimento de aplicação das atividades

A primeira atividade teve como objetivo apresentar o conceito de fractal aos estudantesa partir da manipulação de uma situação que o levasse a esse entendimento. Portanto, era paraser realizada em uma hora/aula. Para a sua realização foi entregue uma folha com a atividadeimpressa, na qual foi solicitado a resolução de forma individual. Tal atividade estava compostade 3 (três) perguntas, conforme a figura 3.

3.5. Procedimento de aplicação das atividades 39

Figura 3 – Questionário da primeira atividade, exploração de formas geométricas.

Fonte: Material elaborado pela autora.

Nessa atividade buscamos resgatar os saberes do aluno sobre o conhecimento das formaspoligonais e superfícies sólidas trabalhadas no ensino fundamental.

Os resultados dessa atividade estão comentados no tópico 5.1 logo adiante.

A segunda atividade teve como referência a construção, com régua e esquadro, de quatroiterações do fractal denominado Triângulo de Sierpinski.

Essa construção é iniciada com um desenho de um triângulo equilátero com medidade lado de 16 cm. Os alunos foram orientados a utilizarem apenas régua, esquadro 30◦ e 60◦,lápis, borracha e uma folha de papel A4. Devendo cada estudante elaborar a partir do triânguloconstruído (iteração 0), a marcação do ponto médio de cada lado do triângulo e unir estes pontosformando quatro novos triângulos equiláteros de lado de 8 cm e descartar o triângulo central(iteração 1). O procedimento é repetido até os triângulos formados ficarem com lados de medida1 cm (iteração 4).

Buscamos nesta atividade o desenvolvimento da habilidade de construção de figurageométrica utilizando régua e esquadro, a partir da propriedade da figura, no caso, triânguloequilátero (lados com mesma medida e ângulos de 60o) e a percepção de padrões (semelhançade triângulos).


Figura 4 – Atividade de construção do Triângulo de Sierpinski.


Esta atividade de cunho prático, realizada pelos estudantes, tem os resultados comentadosno tópico 5.2 logo adiante.

A terceira atividade (Figura 5) é de investigação, baseada no triângulo de Sierpinskiconstruído anteriormente pelos estudantes.

Nessa atividade o aluno deverá preencher uma tabela em que cada coluna refere-se a umaiteração do triângulo de Sierpinski. Nas linhas da tabela, o aluno deve responder sobre: númerode triângulos formados, número de triângulos retirados, o perímetro de cada triângulo formado,o perímetro total da figura e área total da figura gerada após cada iteração. Na última coluna databela é solicitado um modelo geral da sequência informada pelo aluno, ou seja, a representaçãomatemática do modelo da sequência após n iterações, que deverá ser elaborado pelo aluno apósindicar o modelo da situação sequencial (sucessão numérica informada). Após o preenchimento,são apresentadas três perguntas: o que acontece com o perímetro da figura após cada iteração?; oque acontece com a área da figura após cada iteração? E o que acontece com o perímetro e coma área após n iterações?

Espera-se que o aluno perceba que a sequência formada pelos lados do triângulo que vaisendo alterado, pelos números de triângulos formados (quantidade), pelo perímetro e pela áreaestão em modelo de progressão e assim, consigam escrever na última coluna (iteração n) umafórmula geral (modelo) a partir da observação dos padrões que aparecem sendo gerados de umacoluna para outra em cada iteração.

Nesta terceira atividade, procuramos identificar qual a compreensão e a ideia de pro-gressão geométrica que o aluno possui, a partir da observação de padrões e generalização.

3.5. Procedimento de aplicação das atividades 41

Figura 5 – Atividade de investigação do Triângulo de Sierpinski.

Fonte: Elaborado pela autora a partir do estudo de Pallesi (2007, p. 23)

Como prévia de resolução, apresentamos a seguir, a figura que indica os possíveisresultados das respostas dos estudantes.


Figura 6 – Prévia da resolução da atividade 3.


43

4 Análise dos dados

Nesta seção apresentamos uma descrição geral das análises obtidas a partir das respostasdos estudantes nas atividades (1, 2 e 3), que foram propostas aos estudantes da turma do 2o anodo ensino médio técnico.

4.1 Resultados da atividade 1

Na questão 1, a maioria das figuras geométricas desenhadas foram na forma plana:triângulos, retângulos e círculos. Identificados por nomenclaturas, como por exemplo, triânguloequilátero, ou por sua propriedade, como por exemplo, possuir os três lados de mesma medida.

Os sólidos geométricos: cubo, cilindro e esfera foram os mais lembrados, embora,na maioria das vezes, não foram representados corretamente. Os alunos demonstraram terdificuldade em construção geométrica.

Na questão 2, os elementos montanha e estalactites foram associados ao sólido pirâmide;couve-flor e repolho à esfera; árvore ao cilindro (tronco); casca do caracol ao círculo; relâmpagoao triângulo (raio); floco de neve e vasos sanguíneos não foram associados a qualquer sólido, namaioria das vezes.

Na questão 3, a maioria respondeu que teve dificuldade na associação, principalmente norelâmpago (raio), árvore, vaso sanguíneo e floco de neve porque não acreditavam que os sólidosconhecidos por eles conseguissem representar fielmente estes elementos.

44 Capítulo 4. Análise dos dados

Figura 7 – Respostas apresentadas pelo do aluno A10 para a atividade 1.

Fonte: Material de pesquisa da autora.

4.2. Resultados da atividade 2 45


Durante a construção do triângulo de Sierpinski (4 iterações), os alunos demonstraramdificuldade em utilizar os instrumentos régua e esquadro. A principal dificuldade com o uso darégua foi na identificação da medida de um número não inteiro para marcação do ponto médio.Em relação ao esquadro, foi observado um total desconhecimento de sua função, ocorrendo umarejeição para utilizá-lo para traçar segmentos.

Após a construção das 4 iterações, observou-se muitas medições incorretas, necessitandoa reconstrução.

Figura 8 – Respostas apresentadas pelo do aluno A10 para a atividade 2.



Na terceira atividade (triângulo de Sierpinski), buscamos verificar o desenvolvimentodo aluno na ideia de progressão (aritmética e geométrica), através da observação de padrões egeneralização presentes nos dados do experimento.

Para essa análise da atividade 3, nomeamos os alunos por (A1, A2, A3, . . . , A21), comoforma de identificá-los nos resultados que serão apresentados a seguir respectivamente a partirda ordenação de suas resoluções.


4.3.1 A análise das respostas do estudante A1

Figura 9 – Respostas do estudante A1 para as questões.


• O estudante A1 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, representada por (1, 3, 9, 27, 81), e corretamente indica a repre-sentação geral 3n;

• A1 descreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27) para o número de triângulos retirados, informandoter compreensão do modelo geral ao escrever o termo geral 3n−1;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A1 chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.2n);

• A1 informa a sucessão (3.16, 3.3.8, 9.3.4, 27.3.21, 81.3.1, n.3.n) para o perímetro total dotriângulo. Nota-se que ele tem certa compreensão da representação, mas erra na escritamatemática e chega ao modelo geral incoerente como gerador da sequência;

• A1 representa a sequência(A,

3A

4,9A

16,27A

64,81A

256,3nA

4n

)para a área do triângulo mos-

trando ter compreensão do modelo geral que apresenta como gerador da sequência.






• A2 descreve a sequência (0, 1, 4, 13, 40) para o número de triângulos retirados, informandonão ter compreensão do modelo geral;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A2 chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (48, 24, 12, 6, 3);

• A2 informa a sucessão (48, 72, 108, 162, 243) para o perímetro total do triângulo. Nota-seque ele tem certa compreensão da representação, mas não chega ao modelo geral coerentecom o gerador da sequência;


3A

4,32A

42,33A

43

)para a área do triângulo mostrando ter

compreensão da sua construção, mas não consegue escrever a representação do gerador dasequência.





• O estudante A3 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, representada por (1, 3.1, 3.3, 9.3, 27.3), e corretamente indica arepresentação geral 3n;


• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A3 não chega a um modelo geral paradescrever a sequência apresentada por ele (3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1);

• A3 informa a sucessão (3.16, 3.12, 3.12, 3.6, 3.3) para o perímetro total do triângulo. Nota-se que ele tem certa compreensão da representação, mas não chega ao modelo geralcoerente como gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

128

)para a área do triângulo mostrando

ter certa compreensão da formação da sequência, mas não apresenta o termo gerador dasequência.





• O estudante A4 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, representada por (1, 3, 9, 27, 81), mas escreve de forma incorretaa representação geral;

• A4 descreve a sequência (0,1, 4, 12, 40) para o número de triângulos retirados, informandonão ter compreensão do modelo geral;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A4 não chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (48, 24, 12, 6, 3);

• A4 informa a sucessão (48, 72, 108, 162, 273) para o perímetro total do triângulo. Nota-seque em parte ele tem certa compreensão da representação, mas não chega ao modelo geralcoerente como gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256


ter certa compreensão da formação da sequência, mas não apresenta o termo gerador dacoerente com a sequência.





• O estudante A5 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, representada por (1, 3, 32, 33, 34), fazendo a sua representaçãogeral 3n;

• A5 descreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27) para o número de triângulos retirados, informandoter uma certa compreensão do modelo geral, mas não escreve corretamente a representaçãogeral;

• O aluno A5 escreve a sequência (16.3, 42.3, 22.3, 2.3, 1.3) para representar o perímetro decada triângulo. Erra na iteração 1 e na generalização.

• Quanto ao valor do perímetro total do triângulo, A5 escreve a sequência (24.3, 23.3, 22.3, 2.3,3), informando ter noção de sua formação. Mas, erra na escrita matemática no modelogeral como gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256


ter certa compreensão da sua construção, e mesmo a sequência não estando correta,consegue escrever a representação do modelo gerador da sequência.





• O estudante A6 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, nominada representada por (1, 3, 9, 27, 81), mas não faz a suarepresentação geral;;


• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A6 escreve a sequência (16, 8, 4, 2, 1)informando não ter compreensão de perímetro;

• A6 apresenta a sucessão (48, 72, 108, 162, 243) para o perímetro do triângulo. Nota-se queem parte ele tem certa compreensão da representação, mas não chega ao modelo geralgerador da sequência;


3A

4,9A

13,27A

13,81A

40

)para a área do triângulo, não tendo

compreensão do modelo gerador da sequência.





• O estudante A7 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3 representada por (1, 3, 9, 27, 81), mas não faz a sua representaçãogeral correta;


• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A7 chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (48, 24, 12, 6, 3);

• A7 informa a sucessão (48, 72, 108, 162, 243) para o perímetro de cada triângulo. Nota-seque em parte ele tem certa compreensão da representação, mas erra na escrita matemáticae chega ao modelo geral (3n) incoerente como gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256


ter certa compreensão da sua construção, mas não consegue escrever a representação dogerador da sequência.






• A8 descreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27) para o número de triângulos retirados, mostrandoter certa compreensão do modelo geral, mas escreve incorretamente o modelo gerador;


• A8 informa a sucessão (3.16, 3.3.8, 9.3.4, 27.3.21, 81.3.1, n.3.n) para o perímetro total dotriângulo. Nota-se que em parte ele tem certa compreensão da representação, mas erra naescrita matemática e chega ao modelo geral incoerente como gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256,3nA

4n







• O estudante A9 registra uma sequência numérica para o número de triângulos formados(1, 3, 27, 81), percebendo a formação para o termo geral. Mas, não consegue representar otermo geral;

• A9 escreve a sequência incorreta (0, 1, 4, 13, 40) para o número de triângulos retirados einforma que construiu a sequência através da contagem na figura;

• Para o valor do perímetro em cada figura, A9 considera (3.16, 24, 12, 6, 3), mas escreveum modelo geral incorreto;

• A9 registra o valor de cada perímetro do triângulo pela sequência (48, 24.3, 12.9, 6.27, 3.81),demonstrando ter entendimento da sequência, mas não escreve corretamente o modelogeral;

• A9 representa a sequência das áreas de cada triângulo gerado por(A,

3A

4,A.9

16,27

64,81

256

).

Embora a escrita não esteja correta, demonstra certo entendimento da sua construção, masnão consegue chegar ao modelo gerador da sequência.





• Para o número de triângulos formados, o estudante A10 escreve a sequência(1, 3, 9, 27, 81, 81.3) e chega a um modelo geral incorreto para descrever a sequênciaapresentada por ele;

• A10 apresenta a sequência (0, 1, 4, 13, 40) para os triângulos retirados e escreve no modelogeral que a sequência foi obtida por contagem, não conseguindo perceber o padrão para acontagem;

• Para o perímetro de cada triângulo considera a sequência geradora (48, 24, 12, 8, 3). A10não consegue escrever um modelo gerador para sequência descrita;

• O perímetro total é escrito por A10 pela sequência (48, 72, 108, 216, 243), mas não conse-gue escrever um modelo gerador para a esta sequência;

• Em relação ao que ocorre com a área do triângulo, A10 descreve a sequência(A,

3.A

4,9.A

16,

27.A

64,81.A

256

), mas não chega a um modelo geral para descrever a sequência.





• Para o número de triângulos formados, o estudante A11 descreve uma progressão derazão 3, nominada pelos expoentes (0, 1, 2, 3, 4, . . . , n), demonstrando ter compreensãodo modelo gerador da sequência;

• A11 descreve a sequência (0, 1, 4, 13, 40, n) para a resposta ao número de triângulosretirados. Nota-se que não tem compreensão do modelo geral, pois, apresenta a variável ncomo termo geral;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A11 responde a partir da sequência(3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1) que o termo geral é 3.n, chegando a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele;

• O estudante A11 considera o perímetro total do triângulo como sendo:(3.16, 3.3.8, 9.3.4, 27.3.2, 81.3.1, n.3.n). Nota-se que ele não tem uma compreensão domodelo gerador da sequência;

• Em relação ao que ocorre com a área do triângulo, A11 descreve a sequência(A,

3.A

4,3.3.A

4,

3.3.3.3.A

4

), informando não ter compreensão do modelo geral da sequência.





• O estudante A12 considera que a sequência do número de triângulos formados descreveuma sucessão de razão 3, nominada pelos expoentes (1, 3, 9, 27, 81, 3n), ao final descrevecorretamente a representação geral;

• A12 descreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27, 3n−1) para o número de triângulos retirados,informando ter compreensão do modelo geral;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, chega ao modelo geral a partir da sequência(3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.2n−1);

• O estudante A12 considera que o perímetro total do triângulo é dado por meio da suces-são: (3.24, 3.3.23, 9.3.22, 27.3.21, 81.3.20, 3n.24−n). Nota-se que ele tem compreensão domodelo geral que apresenta como gerador da sequência;


3A

4,3.3A

42,3.3.3.A

44


ter compreensão do modelo geral que apresenta como gerador da sequência.





• O estudante A13 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, nominada representada por (1 = 30, 3 = 31, 9 = 32, 27 = 33, 34,3n), e corretamente indica a representação geral 3n;

• A13 escreve a sequência (0, 1, 4, 13, 40, n) para a resposta ao número de triângulos reti-rados. Nota-se que não tem compreensão do modelo geral, pois, apresenta a variável ncomo resposta;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A13 chega a um modelo geral to-talmente longe do que seria correto para descrever a sequência apresentada por ele(3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.n);

• Quanto ao valor do perímetro total, A13 chega a um modelo geral totalmente longe do queseria correto para descrever a sequência apresentada por ele(3.16, 3.3.8, 9.3.4, 27.3.2, 81.3.1, n.3.n);

• Quanto a área do triângulo apresentado na análise, A13 informa a sucessão:(A,

3.A

4,3.3.A

4,3.3.3.A

4,3.3.3.3.A

4,n.A

4

). Nota-se que ele tem certa compreensão da

representação, mas erra na escrita matemática e chega ao modelo geral incoerente comogerador da sequência.





• O estudante A14 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, nominada representada por (1, 3, 9, 27, 81, 3n), e corretamenteindica a representação geral 3n;

• A14 descreve a sequência (0, 1, 3, 9, 33, 3n−1) para o número de triângulos retirados,revelando ter compreensão do modelo geral;


• O perímetro total do triângulo é informado pelo estudante A14 por meio da sucessão:(3.16, 3.3.8, 33.22, 34.2, 35.1, 3n.1) chegando a um modelo geral totalmente longe do queseria correto para descrever a sequência apresentada por ele.


3A

4,9A

16,33A

43,3nA

4n


ter compreensão do modelo geral que apresenta como gerador da sequência.





• O estudante A15 escreve a sequência do número de triângulos corretamente descrevendouma sucessão de razão 3, representada por (1, 3, 9, 27, 81, 3n), e corretamente indica arepresentação geral 3n;

• A15 descreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27, 3n−1) na qual a escrita geral apresenta umainconsistência na representação do valor ‘n’, como resposta para o número de triângulosretirados, revelando ter compreensão do modelo geral, mas representado de forma errada;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A15 chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.2);

• Quanto ao perímetro total do triângulo apresentado na análise, A15 considera a sucessão(3.16, 3.3.8, 9.3.4, 27.3.2, 81.3.1, n.3.n). Nota-se que em parte ele tem compreensão darepresentação, mas erra na escrita matemática e chega ao modelo geral incoerente comogerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

283,3nA

4

)para a área do triângulo

mostrando ter compreensão do modelo geral que apresenta como gerador da sequência,embora tenha errado na escrita do termo geral não incluindo a potência para o denominador.






• A16 escreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27, 3n−1) para o número de triângulos retirados, reve-lando não ter compreensão do modelo geral;

• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A16 chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.2);

• Quanto ao perímetro total do triângulo apresentado na análise, A16 informa a sucessão(3.16, 3.3.8, 9.3.4, 27.3.2, 81.3.1, n.3.n). Nota-se que em parte ele tem certa compreensãoda representação, mas erra na escrita matemática e chega ao modelo geral incoerente comogerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256,3nA

4


mostrando ter compreensão do modelo geral que apresenta como gerador da sequência,embora tenha errado na escrita do termo geral não incluindo a potência para o denominador.








• A17 considera a sucessão (3.16, 3.3.8, 33.22, 34.21, 35.1, 3n.1) para o perímetro de cadatriângulo. Nota-se que ele tem certa compreensão da representação, mas erra na escritamatemática e chega ao modelo geral incoerente como gerador da sequência;


3A

4,9A

16,33A

64,34A

256,3nA

4






Fonte: Material de pesquisa da autora. 22



• Quanto ao valor do perímetro de cada triângulo, A18 chega a um modelo geral incorretopara descrever a sequência apresentada por ele (3.24, 3.23, 3.22, 3.21, 3.1, 3.24−n);

• A18 apresenta a sucessão (30.24, 3.3.23, 32.3.22, 33.3.21, 34.3.1, 3n.3.24−n) para o períme-tro de cada triângulo. Nota-se que ele tem compreensão da representação e chega aomodelo geral coerente com o gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256,3nA

4n


mostrando ter compreensão do modelo geral que apresenta como gerador da sequência.






• A19 escreve a sequência (0, 1, 3, 9, 27, 3n−1) para o número de triângulos retirados, reve-lando ter compreensão do modelo geral;

• Para o valor do perímetro de cada triângulo, A19 chega a um modelo geral incorreto paradescrever a sequência apresentada por ele (3.16, 3.8, 3.4, 3.2, 3.1, 3.24−n);

• A19 apresenta a sucessão (3.16, 3.3.8, 32.3.4, 33.3.2, 34.3.1, 3n.3.24−n) para o perímetrode cada triângulo. Nota-se que ele tem compreensão da representação e chega ao modelogeral coerente com o gerador da sequência.


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256,3nA

4n










• A20 apresenta a sucessão (3.24, 3.3.23, 32.3.22, 33.3.21, 34.3.1, 3n.3.24−n) para o perímetrode cada triângulo. Nota-se que ele tem compreensão da representação e chega ao modelogeral coerente com o gerador da sequência;


3A

4,32A

16,33A

64,34A

256,3nA

4n










• A21 apresenta a sucessão (30.24, 3.3.23, 32.3.22, 33.3.21, 34.3.1, 3n.3.24−n) para o períme-tro de cada triângulo. Nota-se que ele tem compreensão da representação e chega aomodelo geral coerente com o gerador da sequência;


3A

4,9A

16,27A

64,81A

256,3nA

4n



67

5 Discussão dos resultados

5.1 Análise das respostas das sequências até a iteração 4

Observa-se que todos os alunos conseguiram escrever uma sequência, no caso uma P.G.,de razão 3 para representar o número de triângulos formados na construção do Triângulo deSierpinski. Percebe-se nos alunos A1, A5, A8, A11, A13, A14, A15, A16 e A17 a escrita naforma de potências de 3, revelando uma percepção objetiva da geração da sequência a partir daobservação e compreensão da geometria fractal associada ao conteúdo de progressão.

Este resultado leva-nos a ressaltar a importância de propostas de atividades que valorizem,a partir da observação de padrões, a construção de modelos matemáticos, principalmente nosconteúdos de sequências e funções.

Quanto ao número de triângulos retirados de uma iteração para outra, não ocorreu omesmo sucesso nas representações de suas sequências. Por exemplo A9 e A10 escreveram quefizeram através de contagem direta na figura (Figuras 17 e 18), desconsiderando as característicasde cada iteração, revelando não ter conhecimento do processo de formação da sequência. Ofato da desconsideração da autossimilaridade na construção do fractal gerou o erro na contagemdestes alunos.

Apenas o aluno A6 não conseguiu escrever a sequência para perímetro de cada novotriângulo formado. A6 informa ao escrever a sequência (16, 8, 4, 2, 1) que confundiu perímetrode cada novo triângulo com a medida do lado de cada triângulo formado. A apresentação dacaracterística da complexidade infinita do fractal, não encontrada na geometria plana, pode tergerado um conflito de observações, pois A6 apesar de não conseguir escrever a sequência paraperímetro de cada novo triângulo, informa corretamente a sequência para o perímetro total dotriângulo de Sierpinski. Os demais alunos relataram, após a atividade, que escrever a sequênciapara o perímetro de cada triângulo foi a mais fácil, principalmente devido a construção querealizaram na atividade 2.

Com exceção dos alunos A3 e A5, todos os outros conseguiram representar a sequênciapara o perímetro total do triângulo de Sierpinski. A3 apresentou a sequência (3.16, 3.24, 3.12,3.6, 3.3). O aluno acerta para a iteração 0, mas a partir da iteração 1, apresenta uma sequênciaque representa o perímetro de cada triângulo formado e não do fractal. A complexidade infinitado fractal, uma novidade da nova geometria apresentada, pode ter levado o aluno ao erro. Mas,de um modo geral, como ocorreu com todos os outros estudantes, esta característica do Fractal,colabora para que a partir da percepção do perímetro de cada novo triângulo formado, construa-sea sequência para o perímetro do Triângulo de Sierpinski. Apenas os alunos A3, A5, A6, A10,A11 e A13 não escreveram corretamente a sequência para a área do triângulo de Sierpinski.

68 Capítulo 5. Discussão dos resultados

A13 e A11, por exemplo, escrevem(A,

3.A

4,3.3.A

4,3.3.3.A

4,3.3.3.3.A

4

)usando a

multiplicação por 3 no numerador, acompanharam a formação dos triângulos no fractal, a cadaiteração, mas esquecem de que o lado está sendo dividido pela metade e consequentemente aárea dividida por quatro, gerando potências de quatro no denominador.

O fato de a área ter sido determinada por A, e não por um número específico, gerou, aprincípio, muita insegurança no preenchimento da linha relativa a área do Triângulo de Sierpinskidurante a execução da atividade 3. Mas, a partir da iteração 2, a maioria dos alunos, perceberama razão da sequência e sua associação com uma progressão geométrica.

Nas informações das sequências até a iteração 4 foi possível observar a compreensãoda geometria fractal associada a outros conteúdos em seus diversos aspectos, principalmente, aassociação de padrões de regularidades visualizados nos fractais com ligação com os conceitosde progressões geométricas.

A Tabela 1 apresenta, com as células na cor verde, os alunos que escreveram a sequênciacorreta para cada pergunta até a iteração 4 na Atividade 3.

Tabela 1 – Alunos com escrita correta das sequências até a iteração 4.

Fonte: Material de pesquisa da autora

5.2. Análise das respostas para as generalizações 69

5.2 Análise das respostas para as generalizações

Diferentemente das sequências limitadas, observadas até a iteração 4 na construção dotriângulo de Sierpinski, apenas alguns alunos conseguem a generalização das representaçõesfuncionais das sequências obtidas e numerada por eles. Os alunos A9 e A10, por exemplo, queinformaram corretamente praticamente todas as sequências até a iteração 4, não conseguiramqualquer generalização.

Uma observação interessante em A10 é como ele escreve por extenso o que foi pensadopor ele para obter as sequências: “somando os lados do triângulo” e “somando os lados de todosos triângulos”, para justificar, mas não consegue modelar funcionalmente. O interessante nestaobservação é o fato do aluno A10, entre outros, saber o necessário na construção da sequência,mas não saber o suficiente para a escrita do rigor que a matemática exige.

Por outro lado, os alunos A19, A20 e A21 escrevem, a partir da linha do perímetro decada triângulo, as sequências em potências, informando terem conhecimento da sua formação erelacionando conteúdos como progressão e função. Uma demonstração do uso de um conheci-mento já dominado perante a exigência de um novo. A Tabela 2 apresenta, com as células na corazul, os alunos que escreveram corretamente o modelo geral para cada sequência.

Tabela 2 – Alunos com generalizações corretas.

Fonte: Material de pesquisa da autora

A dificuldade apresentada pelos alunos neste item deu-se pelo fato de não terem desen-volvido as habilidades necessárias para a observação de padrões, compreensão e construção demodelos. Habilidades estas relacionadas diretamente ao estudo de funções em séries anteriores.

70 Capítulo 5. Discussão dos resultados

As propostas de ensino trabalhadas no conteúdo de funções apresentam-se através de modelosprontos, que exploram apenas a resolução de equações e construção de gráficos a partir domodelo já construído, seja pelo professor ou pelo autor do livro didático.

5.3 Análise das respostas para as questões discursivas

Nas respostas das questões referentes ao que acontece com o perímetro (questão 1) e aárea (questão 2) a cada iteração na construção do Triângulo de Sierpinski observamos que osalunos têm compreensão da relação direta das sequências informadas e a formação do fractal.Independente das respostas terem sido retiradas diretamente da tabela ou da observação da cons-trução (desenho) do fractal, em ambos os aspectos, o aluno aplicou corretamente conhecimentosobtidos de suas aprendizagens matemática de sala de aula.

O aluno A9, por exemplo, responde que “o perímetro diminui e o total aumenta”, fazendouma referência a percepção de que apesar dos triângulos ficarem cada vez menores, o perímetroda figura cresce.

O aluno A17 responde que o perímetro aumenta e em relação a área “em cima elavai multiplicada por 3 e embaixo multiplicada por 4, logo, ela vai diminuindo”. Justificativainteressante devido a utilização do saber aritmético para explicar o que ocorre geometricamente.

As Figuras 30 e 31 apresentam o percentual de alunos que responderam corretamente asquestões 1 e 2, respectivamente.

Figura 30 – Respostas para Questão 1 da atividade 3.

Fonte: material de pesquisa da autora.



5.3. Análise das respostas para as questões discursivas 71

Nas respostas referentes a questão 3 da atividade 3, que questiona o que ocorre com operímetro e com a área da figura após n iterações, repetiram as das questões 1 e 2, de um modogeral. A ideia do qual grande este n pode ser, não foi alcançado pela totalidade dos alunos. Ofato de poucos alunos terem respondido para um n suficientemente grande, remete-nos a falta deconhecimento da ideia de limite. Conteúdo matemático investigado em sequência no segundoano do ensino médio, mas pouco explorado em sala de aula.

O aluno A2 responde que “ o perímetro é infinito e a área é zero”, informando terconhecimento do que ocorre com o fractal após n iterações para um n grande. E os alunos A3,A5 e A7 consideram que o perímetro vai para o infinito e a área vai para zero. Observamos que ofato de indicar a tendência para o infinito e a tendência para o zero, mesmo sem o rigor da escritamatemática, demonstra uma certa maturidade em relação a ideia de infinito e limite.

A Figura 32 apresenta o percentual de alunos que escreveram a resposta correta paraquestão da atividade 3.



73

Considerações finais

Nosso estudo é uma proposta de análise da geometria fractal associada aos conceitos deprogressões e representação da noção de função (termo geral de uma sequência), especificamentena aplicação de saberes obtidos em aprendizagens em sala de aula.

Buscamos através de uma sequência de atividades, sendo duas delas relacionadas deforma direta com o fractal Triângulo de Sierpinski, propiciar ao aluno uma busca investigativade padrões e de escrita matemática baseada em saberes de progressões aritméticas e geométricase também sobre o conceito de funções, contribuindo para o desenvolvimento de habilidades quese relacionem com a formalização de padrões.

A importância do trabalho deve-se a diversos fatores, entre eles, podemos destacar três: aapresentação de uma geometria praticamente desconhecida que não vem sendo explorada noensino médio; a exigência da utilização do que o estudante domina perante um saber que e

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