deixando de odiar matemática – parte 6 · (g.n. 2016) duas torneiras de água enchem um tanque....

Matemática Prof. Guilherme Neves

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DeixandodeodiarMatemática–Parte6FraçãoRestante 2

ProduçãoxTempo 4

ExercíciosPropostos 10

Gabaritos 11

Resoluçãodosexercíciospropostos 12



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FraçãoRestante

O conceito de “fração restante” é muito importante em vários tópicos de Matemática. É comum encontrarmos em Geometria, Porcentagem, Probabilidade e muito mais!

A “fração restante” é o que falta para 1.

Se você come 2/5 de um chocolate, significa que você dividiu o chocolate em 5 partes iguais e comeu 2 dessas partes. Em outras palavras, sobraram 3 das 5 partes. Assim, a fração restante é 3/5.

Se você consumiu 4/7 de uma garrafa de leite, então sobram 3/7.

Para calcular a “fração restante”, basta repetir o denominador e subtrair o denominador do numerador.

Suponha que seu salário seja de R$ 8.000,00. Se você gasta 3/16 na conta luz, então o valor que sobra é igual a 13/16. Portanto, o valor que você ainda tem disponível é

1316 ∙ 8.000 = 13 ∙ 500 = 6.500 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠

É muito comum você precisar calcular a “fração restante” da “fração restante”. Neste caso, basta multiplicar tudo.

Exemplo: O salário de João é R$ 20.000,00. Ele gastou 2/5 com alimentação. Do dinheiro que sobrou, João gastou 1/4 na prestação de seu carro. Quanto João ainda tem disponível?

Resolução

Se João gastou 2/5 com alimentação, então sobraram 3/5 de seu salário. Do que restou, João gastou 1/4. Portanto, sobraram 3/4 do restante. O que João ainda tem disponível é

34 ∙35 ∙ 20.000 =

920 ∙ 20.000 = 9 ∙ 1.000 = 9.000 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠



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(G.N. 2016) Patrícia Quintão tinha R$ 1800,00. Ela emprestou 2/5 dessa quantia para seu irmão. Quantos reais sobraram para ela?

A) R$ 1.080,00 B) R$ 910,00 C) R$ 911,00 D) R$ 902,00 E) R$ 915,00

Resolução

Ora, se Patrícia emprestou 2/5 do seu dinheiro, então sobraram 3/5.

Sobraram para ela

35 ∙ 1.800 =

5.4005 = 1.080 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠.

Letra A

Vamos agora resolver de “trás para frente”. Vamos informar as frações que foram gastas, informar o valor final e perguntar quanto havia no início.

(G.N. 2016) Ricardo Gomes gastou inicialmente metade do dinheiro que tinha e, em seguida, mais um terço do que sobrou. Depois disso, ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha Ricardo inicialmente?

Resolução

Vamos assumir que Ricardo tinha inicialmente x reais.

Se ele gastou metade do seu dinheiro (1/2), então ele ficou com a outra metade, ou seja, ½ de x.

Em seguida, do dinheiro que sobrou, Ricardo gastou 1/3. Assim, ele ficou com 2/3 do restante.

Ricardo agora tem 2/3 de 1/2 de x. Esta quantia é igual a 40 reais.

23 ∙12 ∙ 𝑥 = 40

Cortando 2 do numerador com 2 do denominador:

𝑥3 = 40

𝑥 = 3 ∙ 40 = 120 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠



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ProduçãoxTempo

Este é o tipo de problema que é “mais velho que a fome”, mas que atormenta a estudantada por aí.

(ATA-MF 2009/ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo, ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?

a) 12 horas b) 30 horas c) 20 horas d) 24 horas e) 16 horas

Resolução Existe uma tática muito boa para resolver problemas envolvendo produção e tempo: perguntar o que cada objeto produz na unidade de tempo. A primeira torneira enche o tanque em 24 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 24 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora.

O tanque foi dividido em 24 partes iguais. A torneira enche cada parte em 1 hora, totalizando 24 horas.

Cada parte representa !!"

do tanque.



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Desta maneira, a primeira torneira enche 1/24 do tanque em 1 hora. A segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Isto significa que eu posso dividir o tanque em 48 partes iguais e a torneira enche cada parte em 1 hora. Como o tanque foi dividido em 48 partes, cada parte representa 1/48 do tanque. Ou seja, a segunda torneira enche 1/48 do tanque em 1 hora. Ora, se a primeira torneira em 1 hora enche 1/24 do tanque e a segunda torneira em 1 hora enche 1/48 do tanque, então juntas em 1 hora encherão:

124+

148 =

2+ 148 =

348 =

116

Analogamente, se juntas as torneiras enchem o tanque completamente em x horas, em 1 hora encherão 1/x. Assim:

1𝑥 =

116

𝑥 = 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.

Se você não gostou da “montagem” desta equação, poderíamos fazer uma regra de três. Fração Horas 1/16 1 1 x Por que coloquei 1? Porque eu quero saber em quanto tempo encheremos o tanque todo, ou seja, 16/16 = 1. Como a regra de três é simples e direta, basta “multiplicar cruzado”.

116 ∙ 𝑥 = 1

𝑥16 = 1

𝑥 = 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

Vamos agora criar uma resolução geral para problemas de produção e tempo? Considere que um objeto execute um serviço em 𝑎 horas, outro objeto execute um serviço o mesmo serviço em 𝑏 horas, outro objeto execute o mesmo serviço



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em 𝑐 horas e assim por diante. Considere ainda que juntos, os objetos executem o serviço em 𝑥 horas. Temos a seguinte relação:

1𝑎 +

1𝑏 +⋯ =

1𝑥

No nosso caso, a primeira torneira enche o tanque em 24 horas e a segunda torneira enche o tanque em 48 horas. Elas enchem o tanque em 𝑥 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.

124+

148 =

1𝑥

2+ 148 =

1𝑥⇔

348 =

1𝑥

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

3 ∙ 𝑥 = 1 ∙ 48

𝑥 =483 = 16 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠.

(Oficial de Chancelaria – MRE 2009/FCC) Certo dia, Alfeu e Gema foram incumbidos de, no dia seguinte, trabalharem juntos a fim de cumprir uma certa tarefa; entretanto, como Alfeu faltou ao serviço no dia marcado para a execução de tal tarefa, Gema cumpriu-a sozinha. Considerando que, juntos, eles executariam a tarefa em 3 horas e que, sozinho, Alfeu seria capaz de executá-la em 5 horas, o esperado é que, sozinha, Gema a tenha cumprido em a) 6 horas e 30 minutos. b) 7 horas e 30 minutos. c) 6 horas. d) 7 horas. e) 8 horas. Resolução Alfeu executa o serviço sozinho em 5 horas. Gema executa o serviço sozinha em g horas. Juntos, executariam o serviço em 3 horas.

15+

1𝑔 =

13

1𝑔 =

13−

15⇔

1𝑔 =

5− 315



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1𝑔 =

215

Como o produto dos meios é igual ao produto dos extremos:

2 ∙ 𝑔 = 1 ∙ 15

𝑥 =152 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 7 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Letra B

Vamos agora subir o nível destes problemas.

Um tanque tem duas torneiras. A primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda, em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se as duas torneiras durante 5 horas, enche-se uma parte do tanque. Podemos afirmar que a segunda torneira sozinha encherá o restante do tanque em

A) 14 horas. B) 10 horas. C) 7 horas. D) 8,5 horas. E) 8 horas.

Resolução

A primeira torneira enche, em uma hora, 1/15 do tanque. Em 5 horas, a primeira torneira enche 5/15 do tanque.

A segunda torneira enche, em uma hora, 1/18 do tanque. Em 5 horas, a segunda torneira enche 5/18 do tanque.

As duas torneiras, em 5 horas, enchem:

515+

518 =

13+

518 =

6+ 518 =

1118 𝑑𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑞𝑢𝑒

Precisamos ainda encher 7/18 do tanque (fração restante).

Sabemos que a segunda torneira enche, em uma hora, 1/18 do tanque. Em quanto tempo a segunda torneira encherá 7/18 do tanque? Podemos resolver com uma regra de três simples e direta.



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Fração Tempo (horas)

1/18 1 7/18 x

118 ∙ 𝑥 =

718 ∙ 1

𝑥18 =

718

𝑥 = 7

Letra C

(GN 2016) Dois grupos de trabalhadores são empregados para construir uma parede. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 24 dias; o segundo grupo em 30 dias. Se o primeiro grupo trabalhar durante 5 dias, em quanto tempo o segundo grupo terminará a obra? Aproxime para o inteiro mais próximo em dias.

Resolução

O primeiro grupo, em um dia, faz 1/24 da parede. Em 5 dias, construirá 5/24 da parede.

Assim, ainda precisamos construir 19/24 da parede (fração restante). Quem irá construir esta fração restante? O segundo grupo.

O segundo grupo faz a parede toda em 30 dias. Portanto, em um dia, o segundo grupo constrói 1/30 da parede. Queremos saber em quanto tempo o segundo grupo construirá 19/24 da parede.

Fração Dias

1/30 1 19/24 x

130 ∙ 𝑥 =

1924 ∙ 1

𝑥30 =

1924

24𝑥 = 30 ∙ 19

24𝑥 = 570

𝑥 = 23,75. O inteiro mais próximo é 24 dias.



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(GN 2016) Dois grupos de trabalhadores são empregados para colocar azulejos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 24 dias; o segundo grupo em 30 dias. Se os dois grupos trabalharem juntos durante 8 dias, após esses dias o primeiro grupo é dispensado. Em quanto tempo o segundo grupo terminará a obra?

Resolução

Os dois grupos trabalham juntos durante 8 dias.

O primeiro grupo, em um dia, faz 1/24 do serviço. Em 8 dias, o primeiro grupo faz 8/24 = 1/3 do serviço.

O segundo grupo, em um dia, faz 1/30 do serviço. Em 8 dias, o segundo grupo faz 8/30 = 4/15 do serviço.

Os dois grupos, em 8 dias, juntos fazem:

13+

415 =

5+ 415 =

915 =

35

Portanto, os dois grupos em 8 dias completaram 3/5 da tarefa. Ainda precisam ser feitos 2/5 do trabalho (fração restante).

Quem será responsável para completar o serviço? O segundo grupo sozinho.

Ora, o segundo grupo, em um dia, faz 1/30 do serviço. Em quanto tempo fará 2/5?

Fração Dias

1/30 1 2/5 x

130 ∙ 𝑥 =

25 ∙ 1

𝑥30 =

25

5𝑥 = 30 ∙ 2

5𝑥 = 60

𝑥 = 12 𝑑𝑖𝑎𝑠



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ExercíciosPropostos01. (G.N. 2016) Gabi Knoblauch gastou inicialmente 4/5 do dinheiro que tinha comprando ingressos para o cinema e em seguida 1/3 do restante com pipoca, e depois disso ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha inicialmente?

02. (G.N. 2016) Dois grupos de trabalhadores são empregados para assentar placas de pisos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 36 horas. O segundo grupo em 60 horas. O primeiro grupo trabalha durante 4 horas. Após essas horas, o segundo grupo também é contratado. Em quanto tempo os dois grupos juntos terminarão a obra?

03. (G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 9 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 3 horas e em seguida fechando esta e abrindo a outra torneira, em quanto tempo o tanque estará cheio?

04. (G.N. 2016) Três grupos de trabalhadores são empregados para lavar externamente um prédio. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 4 dias; o segundo grupo em 6 dias e o terceiro grupo em 12 dias. Se os três grupos trabalharem juntos, em quantos dias o prédio estará lavado?

05. (G.N. 2016) Três grupos de trabalhadores são empregados para levantar as paredes de uma casa. O primeiro grupo faz o trabalho todo em 12 dias; o segundo grupo em 18 dias e o terceiro grupo em 24 dias. Se os dois primeiros grupos trabalharem juntos durante 2 dias e após esses dias é contratado o terceiro grupo de trabalhadores, em quantos dias a obra estará terminada?

06. (G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 8 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 4 horas e meia, em seguida abrindo a outra torneira, em mais quanto tempo o tanque estará cheio?

07.(G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 18 horas. Estando o tanque com 1/4 de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque estará cheio?

08. (G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. O tanque está com 3/20 de sua capacidade com água e abre-se a primeira torneira durante 3 horas. Em seguida, abre-se também a outra torneira. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o resto do tanque?

09. (G.N. 2016) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio?

10. (G.N. 2016) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 10 horas. Estando o tanque com metade de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio?



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Gabaritos

01. 300 reais 02. 20 horas 03. 10 horas 04. 2 dias 05. 4 dias 06. 1,5horas = 1h30min 07. 5,4 horas = 5 h 24min 08. 4 horas 09. 2,4 horas = 2h24 min 10. 10 horas



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Resoluçãodosexercíciospropostos

01. (G.N. 2016) Gabi Knoblauch gastou inicialmente 4/5 do dinheiro que tinha comprando ingressos para o cinema e em seguida 1/3 do restante com pipoca, e depois disso ficou com R$ 40,00. Quanto dinheiro tinha inicialmente?

Resolução

Vamos assumir que Gabi inicialmente possuía x reais. Se ela gastou 4/5 do dinheiro, ela possui agora 1/5 de x (fração restante).

Em seguida, ela gastou 1/3 do restante. Portanto, ela ficou com 2/3 do restante.

A quantia que Gabi agora possui é igual a 2/3 de 1/5 de x. O problema afirma que esta quantia é igual a 40 reais.

23 ∙15 ∙ 𝑥 = 40

2𝑥15 = 40

2𝑥 = 15 ∙ 40

2𝑥 = 600

𝑥 = 300 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠

02. (G.N. 2016) Dois grupos de trabalhadores são empregados para assentar placas de pisos. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 36 horas. O segundo grupo em 60 horas. O primeiro grupo trabalha durante 4 horas. Após essas horas, o segundo grupo também é contratado. Em quanto tempo os dois grupos juntos terminarão a obra?

Resolução

O primeiro grupo, em uma hora, faz 1/36 do trabalho. Em 4 horas, o primeiro grupo faz 4/36 = 1/9 do trabalho.

Como 1/9 do trabalho já foi executado, precisamos ainda fazer 8/9 (fração restante).

Quem irá fazer esta tarefa? Os dois grupos juntos.



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Sabemos que em 1 hora o primeiro grupo faz 1/36 do serviço. O segundo grupo em 1 hora faz 1/60 do serviço. Juntos, em uma hora, eles fazem

136+

160 =

5+ 3180 =

8180 =

245

Vamos agora armar a regra de três. Os dois grupos em 1 hora fazem 2/45 do serviço. Em quanto tempo farão 8/9?

Fração Horas

2/45 1

8/9 x

245 ∙ 𝑥 =

89 ∙ 1

2𝑥45 =

89

2𝑥 ∙ 9 = 8 ∙ 45

18𝑥 = 360


03. (G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 9 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 3 horas e em seguida fechando esta e abrindo a outra torneira, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Resolução

A primeira torneira, em uma hora, enche 1/9 do tanque. Em 3 horas, a primeira torneira enche 3/9 = 1/3 do tanque.

Ainda precisamos encher 2/3 do tanque (fração restante). Quem irá encher esta fração restante? A segunda torneira sozinha.

A segunda torneira enche o tanque em 15 horas. Assim, em uma hora, ela enche 1/15 do tanque. Em quanto tempo ela encherá 2/3 do tanque?

Fração Horas

1/15 1

2/3 x



14

115 ∙ 𝑥 =

23 ∙ 1

𝑥15 =

23

3𝑥 = 2 ∙ 15

3𝑥 = 30


04. (G.N. 2016) Três grupos de trabalhadores são empregados para lavar externamente um prédio. O primeiro grupo faz todo o trabalho em 4 dias; o segundo grupo em 6 dias e o terceiro grupo em 12 dias. Se os três grupos trabalharem juntos, em quantos dias o prédio estará lavado?

Resolução

O primeiro grupo, em um dia, faz 1/4 do trabalho.

O segundo grupo, em um dia, faz 1/6 do trabalho.

O terceiro grupo, em um dia, faz 1/12 do trabalho.

Juntos, em um dia, eles fazem:

14+

16+

112 =

3+ 2+ 112 =

612 =

12

Em um dia eles lavam metade do prédio. Assim, eles lavam o prédio todo em 2 dias.

Outra maneira seria utilizar a “fórmula” que mostrei anteriormente.

Seja x o tempo que eles levam para lavar o prédio juntos. Assim,

14+

16+

112 =

1𝑥

12 =

1𝑥

𝑥 = 2



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05. (G.N. 2016) Três grupos de trabalhadores são empregados para levantar as paredes de uma casa. O primeiro grupo faz o trabalho todo em 12 dias; o segundo grupo em 18 dias e o terceiro grupo em 24 dias. Se os dois primeiros grupos trabalharem juntos durante 2 dias e após esses dias é contratado o terceiro grupo de trabalhadores, em quantos dias a obra estará terminada?

Resolução

O primeiro grupo, em um dia, executa 1/12 do trabalho.

O segundo grupo, em um dia, executa 1/18 do trabalho.

O terceiro grupo, em um dia, executa 1/24 do trabalho.

Os dois primeiros grupos, em um dia, executam

112+

118 =

3+ 236 =

536

Só que os dois primeiros grupos trabalharam juntos durante dois dias. Assim, eles executaram

2×536 =

518 𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑖ç𝑜

Ainda precisamos executar 13/18 do serviço. Quem executará este serviço? Os três grupos juntos.

Os três grupos, em um dia, executam

112+

118+

124 =

6+ 4+ 372 =

1372

Vamos armar a regra de três. Os três grupos, em um dia, executam 13/72 do trabalho. Em quanto tempo executarão 13/18?

Fração Dias

13/72 1

13/18 x

1372 ∙ 𝑥 =

1318 ∙ 1

13𝑥72 =

1318



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Uma dica sobre simplificação. Quando temos uma proporção, ou seja, uma igualdade entre duas frações, como é o caso acima, podemos simplificar os numeradores em lados opostos da equação. Também podemos simplificar os denominadores que estão em lados opostos. Assim, podemos cortar 13 com 13. Podemos, se quisermos, também simplificar 18 com 72.

𝑥72 =

118

18𝑥 = 72

𝑥 = 4 𝑑𝑖𝑎𝑠

06. (G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 8 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo a primeira torneira durante 4 horas e meia, em seguida abrindo a outra torneira, em mais quanto tempo o tanque estará cheio?

Resolução

A primeira torneira, em 1 hora, enche 1/8 do tanque.

A segunda torneira, em 1 hora, enche 1/6 do tanque.

Juntas, em 1 hora, enchem

18+

16 =

3+ 424 =

724

Pois bem. Voltemos ao enunciado.

A primeira torneira trabalhou sozinha durante 4 horas e meia. Assim, ela encheu 4,5/8 do tanque. Ainda precisamos encher 3,5/8 do tanque (fração restante).

Quem encherá esta fração restante? As duas torneiras juntas.

As duas torneiras, em uma hora, enchem 7/24 do tanque. Em quanto tempo encherão 3,5/8?

Vamos armar a regra de três.

Fração Horas

7/24 1

3,5/8 x



17

724 ∙ 𝑥 =

3,58 ∙ 1

7𝑥24 =

3,58

7𝑥 ∙ 8 = 24 ∙ 3,5

56𝑥 = 84

𝑥 = 1,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 = 1ℎ30𝑚𝑖𝑛

07.(G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 18 horas. Estando o tanque com 1/4 de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Resolução

O tanque já está com 1/4 de sua capacidade. Portanto, ainda precisamos encher 3/4 do tanque (fração restante).

A primeira torneira, em uma hora, enche 1/12 do tanque. A segunda torneira, em uma hora, enche 1/18 do tanque. Juntas, em uma hora, enchem

112+

118 =

3+ 236 =

536

Queremos sabem em quanto tempo elas encherão 3/4 do tanque.

Fração Horas

5/36 1

3/4 x

536 ∙ 𝑥 =

34 ∙ 1

5𝑥36 =

34

5𝑥 ∙ 4 = 36 ∙ 3

20𝑥 = 108



18

𝑥 = 5,4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠

𝑥 = 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 0,4 ∙ 60𝑚𝑖𝑛 = 5 ℎ 24𝑚𝑖𝑛

08. (G.N. 2016) Duas torneiras de água enchem um tanque. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas. O tanque está com 3/20 de sua capacidade com água e abre-se a primeira torneira durante 3 horas. Em seguida, abre-se também a outra torneira. Em quanto tempo as duas torneiras encherão o resto do tanque?

Resolução

A primeira torneira, em uma hora, enche 1/12 do tanque. Em 3 horas, a primeira torneira enche 3/12 = 1/4 do tanque.

O tanque já possuía 3/20 da sua capacidade com água. Agora o tanque possui

320+

14 =

3+ 520 =

820 =

25 𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚 á𝑔𝑢𝑎

Ainda precisamos encher 3/5 do tanque (fração restante). Quem irá encher esta fração restante? As duas torneiras juntas.

As duas torneiras, em uma hora, enchem juntas

112+

115 =

5+ 460 =

960 =


Em quanto tempo encherão 3/5?


Fração Horas

3/20 1

3/5 x

320 ∙ 𝑥 =

35 ∙ 1

3𝑥20 =

35

3𝑥 ∙ 5 = 20 ∙ 3

15𝑥 = 60



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09. (G.N. 2016) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 3 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 4 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 6 horas. Estando o tanque vazio e abrindo as duas torneiras e o ralo simultaneamente, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Resolução

Em 1 hora, a primeira torneira enche 1/3 do tanque.

Em 1 hora, a segunda torneira enche 1/4 do tanque.

Em 1 hora, o ralo esvazia 1/6 do tanque.

Juntos, em 1 hora, as duas torneiras e o ralo enchem

13+

14−

16 =

4+ 3− 212 =


Em quanto tempo encherão um tanque todo?

Fração Horas

5/12 1

1 x

512 ∙ 𝑥 = 1

5𝑥 = 12


𝑥 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 0,4 ∙ 60𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ 24 𝑚𝑖𝑛

Podemos usar aquela “fórmula geral” para resolver esta questão. Lembre-se apenas que o ralo está “prejudicando” o trabalho. Portanto, colocaremos um sinal negativo no serviço do ralo.

Seja x o tempo necessário para encher o tanque.

13+

14−

16 =

1𝑥



20

4+ 3− 212 =

1𝑥

512 =

1𝑥

5𝑥 = 12


𝑥 = 2 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 + 0,4 ∙ 60𝑚𝑖𝑛 = 2ℎ 24 𝑚𝑖𝑛

10. (G.N. 2016) Um tanque recebe água por duas torneiras e por um ralo a água do tanque é escoada. A primeira se aberta sozinha enche o tanque em 12 horas e a segunda também aberta sozinha enche o tanque em 15 horas e o ralo estando o tanque cheio consegue esvaziá-lo em 10 horas. Estando o tanque com metade de sua capacidade com água e abrindo as duas torneiras e o ralo ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará cheio?

Resolução

Em 1 hora, a primeira torneira enche 1/12 do tanque.

Em 1 hora, a segunda torneira enche 1/15 do tanque.

Em 1 hora, o ralo esvazia 1/10 do tanque.

Juntos, em 1 hora, as duas torneiras e o ralo enchem

112+

115−

110 =

5+ 4− 660 =

360 =


O tanque já tem metade (1/2) da sua capacidade com água. Precisamos encher a outra metade (fração restante).


Fração Horas

1/20 1

1/2 x

120 ∙ 𝑥 =

12 ∙ 1

𝑥20 =

12

2𝑥 = 20



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deixando de odiar matemática – parte 6 · (g.n. 2016) duas torneiras de água enchem um tanque....

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