definibilidade em lógica (i)

Edward Hermann Lógica e Computação 1

Definibilidade em Lógica (I)

Fórmulas sobre L Estruturas para L

Uma linguagem não-lógica L

Mod()

Mod()

Mod

=> 1- Um conjunto de fórmulas “define” uma classe de estruturas

2- Axiomatização de uma Classe de estruturas


Questões Naturais :

1- Todo conjunto de fórmulas (sobre L) define uma classe de estruturas ??

2 - Qual o conjunto de fórmulas que define a classe de todas as estruturas para uma linguagem L ?

3- Toda classe de estruturas é definível por um conjunto de fórmulas, ou seja todas as classes de estruturas são elementares ??

4- Toda classe de estruturas é definível por uma única fórmula ??

=> Existem classes não elementares


Teorema da Completude: |= se e somente se |-

Teorema da Compacidade: é finitamente satisfatível sss é satisfatível

Teorema da Compacidade: é finitamente satisfatível sss é satisfatível

finitamente satisfatível = Para todo finito com tem-se sat.

=> A Classe das estruturas (para L fixa) infinitas não é definível por nenhuma fórmula. (isto é, não é elementar)

=> A Classe das estruturas (para L fixa) finitas não é definível por nenhum conjunto de fórmulas



Estrutura S Fórmulas para LS

Para cada estrutura S tem-se a linguagem LS da estrutura

Th(S)

Th

Cn

Cn

1- Definibilidade de uma estrutura !!!!2- Axiomatização da Teoria de uma Estrutura


Q


Homomorfismo de Estruturas

S1 S2

h

P Ph

s h(s)

f(a,b)

a

b

h(a)

h(b)

h(f(a,b))

<|S1|,f,P> <|S2|,g,Q>

|S1|

f

P

|S2|

g

Q

h

= fh(h(a),h(b))

= g(h(a),h(b))

fh

Ph


Subestruturas e Extensões

Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas tais que a função de inclusão S1 S2 é um homomorfismo. Diz-se que S1 é subestrutura de S2, e que S2 é uma extensão de S1.

Def. Sejam S1 e S2 duas estruturas e h: S1 S2 um homomorfimo bijetivo (injetivo e sobrejetivo), então h é dito ser um isomorfimo de estruturas e S1 é dita ser isomorfa a S2 (S1 S2)

=> Estruturas isomorfas satisfazem as mesmas fórmulas ???

=> Estruturas que satisfazem as mesmas fórmulas são isomorfas ???




Teorema do homomorfimo: Seja h homomorfismo de S1 em S2 (estruturas para L)

Vars |S1|

|S2|

hh

|= P(t1,...,tn)<S1,>

|= P(t1,...,tn)<S2,h>

<(t1),....., (tn)> PS1 <h((t1)),....., h((tn))> PS2sss

sss

sss

1. Se não possui quantificadores nem a igualdade.

|= <S1,>

|= <S2,h>

sss

2. Se não possui quantificadores mas sim a igualdade e h é um homomorfismo injetivo

t1=t2 t1=t2

S1 S2

a

b

h(a)=h(b)

3. Se possui quantificadores e mas não a igualdade e h é um homomorfismo sobrejetivo

x x

h(|S1|)

S1 S2

c


Definibilidade em Lógica (II)

Definibilidade em uma estrutura:

(x1,...,xn) uma fórmula na linguagem da estrutura S

(x1,...,xn) define uma relação n-ária (um subconjunto de Sn)

[[(x1,...,xn) ]] = { <a1,...,an> / ai |S| e |= (x1,...,xn) }<S,[a1/x1,...an/xn]>

Exemplos:

1. Em <N,suc>: [[y(suc(y)=x)]]={0}, [[z (y(suc(y)=z)(suc(z)=x)]]={1} e [[suc(suc(x1)=x2)]]={<a1,a2>/ a1+2=a2 e a1,a2 N}

2. Em <R,,+>: [[y(+(y,x)=y]]={0}, [[y((y, y)=x)]]={r / r R e r0}, [[y((x1+y=x2) (+(y,y) y))]]={<r1,r2> / r1<r2 e r1,r2 R

Obs: Às vezes a notação infixa é usada : x+y no lugar de +(x,y)


Homomorfismo e Definibilidade


Def. Um Automorfismo é um isomorfismo (homomorfismo bijetivo) de uma estrutura nela mesma.

Corolário: Seja S uma estrutura e h:S S um automorfismo, então ASn é definível, se e somente se, h(A) Sn é definível.

==> O Corolário acima é uma boa ferramenta para mostrar que algumas relações/conjuntos não são definíveis.

Exemplos:

1- Na estrutura <N> nenhum conjunto diferente do vazio e do N é definível (em particular o número zero não é definível). Qualquer função bijetiva é um automorfismo em N.

2- Em <N,> a adição não é definível, pois o a função: f(3)=2, f(2)=3 e f(x)=x caso contrário, é um automorfismo em <N ,> que não preserva a adição.


<N,s>

< N,< >

<N,+><N, >

<N, ,+ >


Relações de extensibilidade própria entre estruturas sobre N.

definibilidade em lógica (i)

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