deec/ ist isabel lourtie sistemas e sinais slits representação no domínio do tempo de sistemas...

DEEC/ IST Isabel Lourtie

Sistemas e Sinais SLITs

Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs)

Representação no Domínio do Tempo de Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo (SLITs)

Resposta ImpulsionalDefinição; Resposta no tempo de um SLIT descrito pela resposta impulsional:

soma e integral de convolução;Propriedades dos SLITs e sua relação com a resposta impulsional

Sistema com e sem memória; Causalidade; Estabilidade; Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional.

Equações Diferenciais e às Diferenças.Resolução de equações diferenciais e às diferenças;Diagrama de blocos.

Modelo de EstadoDefinição; Transformações de semelhança; Diagonalização;Solução da equação de estado;Cálculo da matriz de transição; Resposta impulsional.



impulso unitário discreto resposta impulsional

Resposta impulsional resposta no tempo do SLIT quando a entrada é um impulso unitário

SLIT discreto n nh

impulso unitário de Dirac resposta impulsional

t SLIT contínuo thSLIT

Exemplo

SLIT nx 1 nxnxny

1 nnnh

n4 02 42

1… …



Resposta no tempo SLIT discretoSLIT discreto

nx ?ny nh

O SLIT é invariante no tempo

knhknnhn

O SLIT é linear

inteiroknhn kk

k

kkk

kk nhanynanx

k

kk

k knhanyknanx

knhnhknn kk Mas

k

knkxnx

nhnxknhkxnyk

(soma de convolução)



0n

1n

Resposta no tempo

k

knhkxnhnxny

knhkunhnunyk

11

1;0

0;1

k

k

knhnyk

0

hn

nunx 1 ?ny nh

nunhn

12

1

Exemplo

h

2

1

3 1 0 1 2 3

12

1

u

n

0;2

11;0

0

n

nn

nun

10 2

1

nu

n

1

1

21

1

21

1

nun

1

1

2

112



Propriedades da soma de convolução

Comutativa:Comutativa: nxnhnhnx

k

knhkxnhnx

hnx

nxh nxnh

Associativa:Associativa: nhnhnxnhnhnx 2121

k

knhknhkxnhnhnx 2121

k

knhhkx

21

m

k m

mnhkmhkx 21

m k

mnhkmhkx 21

m

mnhmhmx 21 nhnhnx 21



Propriedades da soma de convolução SLITs em sérieSLITs em série

ny nh2 nh1

nw nx nhnhnxnhnwny 212

A convolução é associativa

nhnhnxny 21 nx ny nhnh 21

A convolução é comutativa


A convolução é associativa

nhnhnxny 12 ny nh1 nh2

nz nx

nz



Propriedades da soma de convolução

Distributiva em relação à adição:Distributiva em relação à adição: nhnxnhnxnhnhnx 2121

nhnxnhnx

knhkxknhkxknhknhkxnhnhnxkkk

21

212121

SLITs em paraleloSLITs em paralelo

ny

nh2

nh1

nx

ny1

ny2

nhnxnhnxnynyny 2121

A convolução é distributiva




Resposta no tempo SLIT contínuoSLIT contínuo

tx ?ty th

dthxty

dtxtx

integral de convolução

thtx

O integral de convolução é: comutativo; associativo; distributivo em relação à adição.



0t

0t

Resposta no tempo dthxthtxty

dthuthtuty 11

0;0

0;1

0

dthty

d

d

dh

t

tutx 1 ?ty th

teth

Exemplo

0;

0;0

0tdede

tdet

t

1

dht

h

1

0

e e-

0;2

0;

te

tet

t

tuetue tt11 2



presente da entrada

passado da entrada

futuro da entrada

Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs

1. Memória1. Memória

Um sistema diz-se sem memória quando a saída num dado instante de tempodepende apenas da entrada nesse instante de tempo.

x xhy h

1

1

0kk

knxkhnxhknxkh

k

knxkhnxnhny

SLIT discreto sem memóriaSLIT discreto sem memória 0 0

0,00,0 khkknxkhk

nKn

nKnh

0;0

0;

SLIT contínuo sem memóriaSLIT contínuo sem memória

tKth

tv

ti R

tRitv ti

tRthtti



Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs x xhy h

0,0 knxkhk

SLIT contínuo causalSLIT contínuo causal

0,0 tht

2. Causalidade2. Causalidade

Um sistema diz-se causal quando a saída num dado instante de tempo dependeapenas da entrada nesse instante de tempo e/ou de instantes anteriores.

0,0 nhn

tv

ti

C

tdi

Ctv 1 ti

t

tuC

dC

thtti 1

11

presente da entrada

passado da entrada

futuro da entrada

1

1

0kk

knxkhnxhknxkh

k

knxkhnxnhny

SLIT discreto causalSLIT discreto causal 0




k

knxkhny

xB

3. Estabilidade3. Estabilidade

Um sistema diz-se estável (de entrada limitada/saída limitada) quando qualquer entrada limitada dá origem a uma saída limitada, i.e.,

yyxx BnyBnBnxBn :0,:0,

SLIT discreto estávelSLIT discreto estável

xBnx

k

knxkh

yk

x BkhB

n

nh

A resposta impulsional de um SLIT discreto estável é uma função absolutamente somável, i.e.



Propriedades dos SLITsPropriedades dos SLITs

n

n

n

nuanh 1

n

nhSLIT discreto estável

nx ny nh

Exemplo

nuanh n1

00

||n

n

n

n aa

1;

1;1

1

a

aanh

n

O SLIT é estável quando |a|<1 porque h(n) é absolutamente somável.




3. Estabilidade3. Estabilidade

dtth

A resposta impulsional de um SLIT contínuo estável é uma função absolutamente integrável, i.e.

tx ty th

Exemplo

tueth t1

dttuedtth t

1

0

dte t

0dte t

0

te 1lim1

t

te

0;1

0;

O SLIT é estável quando >0 porque h(t) é absolutamente integrável.



Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsionalResposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional

SLIT discretoSLIT discreto

nu 1 ny ?nh

resposta ao escalão unitário

1 nynynh 111 nunun

Exemplo

y(n)

n320-1-2-3 1

1 1

2

… …

y(n-1)

2

1 1… …

h(n)

n3

2

0-1-2-3

1

1 1… …

-1-1



Resposta ao escalão unitário vs. resposta impulsionalResposta ao escalão unitário vs. resposta impulsional

SLIT contínuoSLIT contínuo

tu 1 ty ?th

resposta ao escalão unitário

tydt

dth tu

dt

dt 1

Exemplo tuetytu t1

21 5

tuedt

dty

dt

dth t

125 tu

dt

detue tt

12

12 510

t

tetue tt 21

2 510

te 0

ttueth t 510 12



Equações diferenciais

tvdt

dCti CC

txtvtv CR

tvdt

dRCtiRtv CCR

)(11

txRC

tvRC

tvdt

dCC

Sistema de 1ª ordem



Resolução de equações diferenciais

Sistemacontínuo

ty tx

)(txtyatydt

d

00 yy

tutKtx 10cos)( Sinal de entrada:

Modelo:

Condição inicial:

?




tytyty ph

Solução homogénea Solução particular

0 taytydt

dhh

sth eAty

?

?

tuKe

tutKtxtj

1

10

0Re

cos

tueYty tjpp 1

0Re

?



Resolução de equações diferenciais Solução homogéneaSolução homogénea

sth eAty

stst aAeAedt

d stst aAeAse

0 stAeas

0 taytydt

dhh

0 as as

ath eAty

?

equação característica



Resolução de equações diferenciais Solução particularSolução particular

tuKetx tj1

0Re

tueYty tjpp 1

0Re txtayty

dt

dpp

KYaj p 0 aj

KYp

0

tjtjp

tjp KeeaYeY

dt

d000

0t



Resolução de equações diferenciais Solução particularSolução particular

tueYty tjpp 1

0Re

aj

KYp

0

tuea

Kty tj

p 120

2

0Re

a

j

p ea

KY

0arctan

20

2

tuta

Kty p 102

02

cos



020

2cos0 y

a

KAy

Resolução de equações diferenciais Resposta completaResposta completa

tytyty ph tuta

KAe at

1020

2cos

?Condição inicial + continuidade da solução

00 yAy

0

0

;

;cos

0

20

20

t

t

ya

Ky

A



regime estacionário

devido a x(t)devido

a y0

tuta

K

tuea

Keyty atat

1020

2

120

20

cos

cos

Resolução de equações diferenciais Resposta completaResposta completa

regime transitório

a0arctan




tuta

Ktue

a

Keyty atat

1020

2120

20 coscos

rad/s; ; .

10 1.0a 10 y

t

ty



Sistema contínuo de ordem N

txdt

dbty

dt

da

k

kN

k

M

kkk

k

k

0 0

Condições iniciais: 0

1

1

0

,...,,0

t

N

N

t

tydt

dty

dt

dy

Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais:

nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear

MN Solução: tytyty ph

N

k

tskh

keAty1

mesma forma dosinal de entrada

N

k

kk sa

0

0 Equação característica



Condições iniciais

28

11

4

11200 yyxxy

Sistema de 2ª ordem

Equações às diferençasSistemadiscreto

ny nx

1228

11

4

1 nxnxnynyny

Cálculo de para : ny 0n

18

10

4

10211 yyxxy

08

11

4

11222 yyxxy

etc



Resolução de equações às diferenças

Sistemadiscreto

ny nx

1228

11

4

1 nxnxnynyny

021 yy

nunx 1)( Sinal de entrada:

Modelo:

Condição inicial:




nynyny ph

Solução homogénea Solução particular

nnh zAzAny 2211

nunx 1

nuYny pp 1

?

028

11

4

1 nynyny hhh

?

Equação característica: 08

1

4

12 zz2

1;

4

121 zz



Solução particularSolução particularResolução de equações às diferenças

nunx 1

nuYny pp 1 122

8

11

4

1 nxnxnynyny

218

1

4

1 ppp YYY

2n

3

8pY

nuny p 13

8



nynyny ph

Resolução de equações às diferenças Resposta completaResposta completa

3

80 21 AAy

3

8

2

1

4

11 21 AAy

0;3

8

2

1

4

121

nAA

nn

021;

1228

11

4

1

1

yynunx

nxnxnynyny

1

4

11

11 A

3

22 A




nunynn

13

8

2

1

3

2

4

1

ny

n



Sistema discreto de ordem N

knxbknyaN

k

M

kkk

0 0

Condições iniciais: Nyy ,...,1

Propriedades - sistema invariante no tempo e causal Condições iniciais:

nulas – sistema linear não nulas – sistema incrementalmente linear

MN ,Solução: nynyny ph

N

k

nkkh zAny

1mesma forma dosinal de entrada

N

k

kNk za

0

0 Equação característica



Diagrama de blocos



nwDiagrama de blocos

1228

11

4

1 nxnxnynyny

nx ny

1nx

A

2

nw

A

1ny

A

2ny81

41

Forma directa IForma directa I



Diagrama de blocos

A

2

ny

A

A

81

41

nx



A2

ny

A

A

81

41

nx

Diagrama de blocos

Forma directa IIForma directa II



Equações de estado:

Modelo de Estado

nxnsnsns 211 8

1

4

11

nsns 12 1 2

ny

A

A

81

41

nx

ns1

ns2

11 ns

12 ns

Variáveis de estado 12 11 nsnsny

Equação de saída nxnsnsny 21 8

1

4

7



Modelo de Estado

nxnsnsns 211 8

1

4

11

nsns 12 1


nxnsnsny 21 8

1

4

7Equação de saída:

Vector de estado:

ns

nsns

2

1

nxnsns

0

1

018

1

4

11

nxnsny 18

1

4

7

TDTC

BA



Diagrama de blocos

txtxdt

dtyty

dt

dty

dt

d 223

2

2

,3,2,1,1

0

ndvtv

tvtvt nn

txtxtytytydt

d 11 223

txtxtytyty 2121 223



tw

Diagrama de blocos

txtxtytyty 2121 223

tv n 1 tv n

ty

tx 1

tx

tx 2

2

tw

ty 1

2

ty 2

3

Forma directa I



Diagrama de blocos

tx

2

3

2

ty

Forma directa II



Equação de saída

2

3 2

tx

ty

Modelo de Estado dttds ts

ts2

ts1

tsdt

d2

tsdt

d1

tststy 212


txtststsdt

d 211 23

tstsdt

d12



Modelo de Estado

Equação de saída:

Vector de estado:

ts

tsts

2

1

txtstsdt

d

0

1

01

23

txtsty 012

TDTC

BAEquações de estado:

txtststsdt

d 211 23

tstsdt

d12

tststy 212



Modelo de Estado

tBxtAstsdt

d nBxnAsns 1

txDtsCty TT nxDnsCny TT

Equação de Estado

Equação de Saída

LMN estados, entradas, saídas.

MNB

NNA

- matriz da dinâmica

- matriz de entrada

MLD

NLCT

T

- matriz de saída

DCBA ,,, constantes Sistema invariante no tempo



Modelo de Estado

3

2

1

11

tx ty tz1

tz2

tz1

tz2

tz

tztz

2

1

Vector de estado txtztz

dt

d

1

1

20

01

tzty 31



Equação diferencial

txtztzdt

d

1

1

20

01

tzty 31

txtztzdt

d 11

txtztzdt

d 22 2

tztzty 21 3

tzdt

dtz

dt

dty

dt

d21 3 txtztz 26 21

txtydt

dtytz 221

txty

dt

dtytz 2

3

12



txdt

dtz

dt

dtz

dt

dty

dt

d26 212

2

Equação diferencial

txtztztydt

d26 21

?2

2

tydt

d

txtztzdt

d 11

txtztzdt

d 22 2

txtxdt

dtztz 5212 21

txtydt

dtytz 221

txty

dt

dtytz 2

3

12

txtxdt

dtyty

dt

dty

dt

d 223

2

2



Equação Diferencial vs. Modelo de Estado

txtxdt

dtyty

dt

dty

dt

d 223

2

2

txtstsdt

d

0

1

01

23

tsty 12

txtztzdt

d

1

1

20

01

tzty 31



Modelo IIModelo I

Transformação de semelhança

txBtsAtsdt

d11

txDtsCty TT11

txBtzAtzdt

d22

txDtzCty TT22

ty tx

tsTtz 1 tTztsNNT :

não singular




txBtsAtsdt

d11

txDtsCty TT11

txBtzAtzdt

d22

txDtzCty TT22

tsTtz 1

tTzts

tsdt

dTtz

dt

d 1

txBTtsAT 11

11

txBTtTzAT 11

11

11

2

11

2

BTB

TATA

txDtTzC TT11

TTTT DDTCC 1212 ;



Transformação de semelhança tzTT

TTts

2221

1211

TCC TT12

2221

12111231TT

TT 22122111 22 TTTT

32

12

2212

2111

TT

TT

32

12

1222

1121

TT

TT

3212 1211

1211

TT

TTT

tzty 31

TC2

tsty 12

TC1




3212 1211

1211

TT

TTT

11

2 BTB 12 BTB

0

1

1

1

3212 1211

1211

TT

TT

0

1

222 1211

1211

TT

TT

1211 1 TT

3232

1

1212

1212

TT

TTT

txtstsdt

d

0

1

01

23

1B

txtztzdt

d

1

1

20

01

2B




txtstsdt

d

0

1

01

23 txtztzdt

d

1

1

20

01

TATA 11

2 TATA 12

3232

1

01

23

20

01

3232

1

1212

1212

1212

1212

TT

TT

TT

TT

1212

1212

1212

1212

1

63

6432

21

TT

TT

TT

TT

3232

1

1212

1212

TT

TTT

212 T

11

21T

1A 2A




txtstsdt

d

0

1

01

23 txtztzdt

d

1

1

20

01

11

21T

tTzts

tz

tz

ts

ts

2

1

2

1

11

21

tztzts

tztzts

212

211 2



Diagonalização

Dada uma matriz da dinâmica A, qual a transformação de coordenadas, T, que conduz a uma matriz da dinâmica diagonal?

txBtAstsdt

d1 txBtDztz

dt

d2

Que condição deve satisfazer A para que exista uma transformação de coordenadas

s(t)= Tz(t)

com T não singular, tal que D=T-1AT seja uma matriz diagonal?



A matriz A é diagonalizável sse for de estrutura simples, i.e., os vectores próprios de A são linearmente independentes.

Diagonalização

01

23A Valores próprios: 0det AI

0231

23det

2;1 21 Vectores próprios: 2,1; ivAv iii

2

1

2

1

01

23

i

i

ii

i

v

v

v

v

21 iii vv

1i

iv

1

11v

1

22v



matriz de transformação de coordenadas

Diagonalização

;1

11

v

1

22v

vectores próprios linearmente independentes

11

2121 vvT 01det T

2;1 21

20

01

0

0

2

11

ATTD

txtstsdt

d

0

1

01

23

tsty 12

txtztzdt

d

1

1

20

01

tzty 31



Diagonalização

os valores próprios de A são todos distintos

A é de estrutura simples sempre que:

A é simétrica, i.e., A=AT

TAA

21

11



Solução da equação de estado

nBxnAsns 1 0n

001 BxAss

112 BxAss 1002 BxABxsA

223 BxAss 2100 23 BxABxBxAsA

1

0

10n

k

knn kBxAsAns



nxnsns

0

1

018

1

4

11

kxsnsn

k

knn

0

1

018

1

4

10

018

1

4

1 1

0

1


1

0

10n

k

knn kBxAsAns

?



4

10

02

1

0

0

2

11

ATTD

Cálculo de An

018

1

4

1A é de estrutura simples?

08

1

4

1

18

1

4

1detdet

AI

4

12

1

2

1

A é diagonalizável:

2,1; ivAv iii

2

1

2

1

018

1

4

1

i

i

ii

i

v

v

v

v

21 vvT

21 iii vv

1i

iv

114

1

2

1T



1123 TDTTTDA

112 TDTTDTA

Cálculo de An

4

10

02

1

D

114

1

2

1T

ATTD 1 1TDTA12 TTD

13 TTD

1 TTDA nn

1

114

1

2

1

4

10

02

1

114

1

2

1

n

nA

3

2

3

43

1

3

4

4

10

02

1

114

1

2

1

n

n

nA

nnnn

nnnn

nA

4

1

3

2

2

1

3

1

4

1

3

4

2

1

3

4

4

1

6

1

2

1

6

1

4

1

3

1

2

1

3

2




kxsnsn

k

knn

0

1

018

1

4

10

018

1

4

1 1

0

1

nnnn

nnnn

nA

4

1

3

2

2

1

3

1

4

1

3

4

2

1

3

4

4

1

6

1

2

1

6

1

4

1

3

1

2

1

3

2

kx

sns

n

kknkn

knkn

nnnn

nnnn

1

011

11

4

1

3

4

2

1

3

4

4

1

3

1

2

1

3

2

0

4

1

3

2

2

1

3

1

4

1

3

4

2

1

3

4

4

1

6

1

2

1

6

1

4

1

3

1

2

1

3

2



Resposta no tempo do sistema

nxDkBxACsACny Tn

k

knTnT

1

0

10

nxDnsCny

nBxnAsnsTT

1

1

0

10n

k

knn kBxAsAns

0n



nxnsny 201 Resposta no tempo do sistema

)0(24

1

3

1

2

1

3

2

04

1

6

1

2

1

6

1

4

1

3

1

2

1

3

2

1

0

11

nnxkx

sny

n

k

knkn

nnnn

kxsnsn

kknkn

knkn

nnnn

nnnn

1

011

11

4

1

3

4

2

1

3

4

4

1

3

1

2

1

3

2

0

4

1

3

2

2

1

3

1

4

1

3

4

2

1

3

4

4

1

6

1

2

1

6

1

4

1

3

1

2

1

3

2



Resposta impulsional

nxDkBxACsACny Tn

k

knTnT

1

0

10

nnx nhny

00 sSistema inicialmente em repouso:

nDkBACnh Tn

k

knT

1

0

1

kBAC nT 1

nDkBACnh Tn

k

nT

1

0

1

0;0

1;1

n

n

nDnBuACnh TnT 111




tBxtAstsdt

d 0t

t tAAt dBxesets0

0

txtstsdt

d

0

1

01

23

t tt

dxesets0

01

23

01

23

0

10

?



Cálculo de eAt

01

23A é de estrutura simples

20

01

0

0

2

11

ATTDA é diagonalizável:

11

21Tcom

1 TTDA nn 3322

!3

1

!2

1tAtAAtIeAt

Expansão em série de Taylor de eAt

13322

!3

1

!2

1

TtDtDDtIT 1 TTee DtAt

t

tDt

e

ee

2

1

0

0

tttt

ttttAt

eeee

eeeee

22

22

2

222




tttt

ttttAt

eeee

eeeee

22

22

2

222

t tt

dxesets0

01

23

01

23

0

10

t

tt

tt

tttt

tttt

dxee

ees

eeee

eeeets

0 2

2

22

22 20

2

222

0t



Resposta no tempo do sistema

txDdBxeCseCty Tt tATAtT

00

txDtsCty

tBxtAstsdt

d

TT

t tAAt dBxesets0

0

0t



tsty 12Resposta no tempo do sistema

0303230

222 tdxeeseeeetyt tttttt

t

tt

tt

tttt

tttt

dxee

ees

eeee

eeeets

0 2

2

22

22 20

2

222



Resposta impulsional ttx thty

00 sSistema inicialmente em repouso:

BeC AtT

0;0

0;1

t

t

tDtBueCth TAtT 1

txDdBxeCseCty Tt tATAtT

00

tDdBeCth Tt tAT

0

tDdBeCth TtAtT 0

deec/ ist isabel lourtie sistemas e sinais slits representação no domínio do tempo de sistemas...

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