O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2008

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-040-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DE EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS COORDENAÇÃO ESTADUAL DO PDE

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA

MARIA ESTER SENGER SCHWAB

ESCALA, UMA DAS REPRESENTAÇÕES

DA PROPORCIONALIDADE

PONTA GROSSA

2008

MARIA ESTER SENGER SCHWAB

ESCALA, UMA DAS REPRESENTAÇÕES

DA PROPORCIONALIDADE

Unidade didática desenvolvida como avaliação parcial no Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE.

Orientadora: Profª. Drª. Marlene Perez.

PONTA GROSSA

2008

Unidade didática: Escala, uma das representações da proporcionalidade.

Conteúdo básico: razão e proporção.

Conteúdo estruturante: números e álgebra.

Conteúdo específico: escala

Os problemas de ampliações e de escala parecem-nos bem adaptados

ao estudo da proporcionalidade. Estes problemas podem mobilizar os

conhecimentos: geométrico, aritmético, numérico e algébrico. O essencial

deste trabalho nesta unidade didática, consiste em usar uma ferramenta, a

escala, que permite resolver problemas além de ser objeto de saber

socialmente organizado e culturalmente reconhecido.

Quando você vai desenhar uma árvore, por exemplo, ela não fica no

tamanho natural. A não ser que você consiga um papel gigante para que o

desenho seja tão grande quanto a árvore. Difícil, não?

Mas, é possível colocar o mundo, um continente, um país, uma região,

um estado, uma cidade que seja numa folha de papel? Ao desenhar, quando

você diminui ou aumenta um objeto mesmo sem saber, você está trabalhando

com uma escala. Quer dizer, cada ponto da figura real tem correspondência

com a figura desenhada e as medidas de uma são proporcionais às medidas

da outra.

Quem de nós não aprecia uma bela representação gráfica? O mundo

vive o momento da imagem. É crescente o aumento da informação com a

ascensão da tecnologia. As leituras destas representações gráficas exigem

nossa interpretação e compreensão. Muitas vezes temos acesso às

informações e imagens, porém, temos que saber ler e interpretá-las. Como o

raciocínio matemático pode contribuir nesta tarefa?

O procedimento é simples: em se tratando de representar uma cidade,

um mapa pode auxiliar acompanhado dos elementos que nela existem. Para

que a representação seja perfeita temos que reduzir tudo em escala para

manter as formas, os tamanhos e as distâncias em dimensões proporcionais às

reais.

Segundo a Sociedade Americana de Fotogrametria (SLAMA, 1980), um

mapa é a representação (geralmente sobre uma superfície plana) de toda ou

de uma região da Terra, mostrando o tamanho relativo e a posição das feições

em uma determinada escala ou projeção.

Se vamos reduzir em escala uma cidade, temos que saber o tamanho

real dela e o tamanho do papel disponível para representá-la. Se vamos reduzir

em escala a cidade em que moramos 10 mil vezes menor do que ela realmente

é, devemos representar seus elementos (praças, ruas, etc.) na mesma

proporção, assim a distância entre eles, também. Esta escala pode ser

expressa em palavras, 1 cm por 100 m, como não podemos trabalhar com

unidades diferentes temos que transformar os 100 m em centímetros. Assim

em fração a razão 1:10000 ou 10000

1, o denominador representa o número de

vezes que a realidade foi reduzida.

Exemplo 1:

Se a distância entre uma Catedral e um ginásio de esportes é de 250 m,

(porque 250 m é igual a 25000 cm, e 25000 dividido pela escala, que é 10000,

é igual a 2,5 cm), no mapa a distância será de 2,5 cm.

Uma escala é um coeficiente de proporcionalidade, cujas dimensões

reais e as dimensões representadas formam séries proporcionais. A escala não

constitui um objeto usado apenas na matemática, ela é um elemento que

permite trazer as matemáticas operatórias para outras disciplinas. A escala é

uma razão que tem muita aplicação no conjunto das ciências, na arquitetura ao

desenhar uma casa ela também é utilizada.

Exemplo 2:

A frente de uma casa tem 8,40 m e está representada na figura com

uma grandeza de 4 cm. Vamos calcular a razão entre a grandeza da casa na

figura e a sua grandeza real. Essa razão procurada é a escala. Vamos

calcular?

Primeiro vamos transformar o comprimento da casa em centímetros:

8,40 m = 840 cm

2101

cm 840cm 4

real ocomprimentfigura na ocompriment

Nesse caso, a escala indica que cada centímetro na figura vale, na

realidade, 210 cm. Essa escala pode ser representada usando uma das

seguintes notações:

1: 210 ou 2101

Nos problemas de escala, o plano ou o mapa é um objeto físico sobre o

qual o aluno, é convidado a fazer medições. Para saber o tamanho ou distância

real, deverá interpretar a escala que vem acompanhando o mapa.

Exemplo 3:

Sabendo-se que Porto Alegre e Curitiba em linha reta, separam-se por

560 km e a escala no mapa é de 1:14000000. Com que grandeza seria

representada esta distância?

Primeiro vamos transformar a distância em centímetros:

560 km = 56000000 cm

cm56000000

cmx realdistânciamapa no distância

Nesse caso, a escala do mapa é 1:14000000, que indica cada

centímetro no mapa vale, na realidade, 14000000 cm ou 140 km. Quer dizer

que usando a escala do mapa encontraremos a grandeza que representa a

distância entre Porto Alegre e Curitiba:

56000000

x14000000

1

Assim 1400000056000000x , logo a grandeza que representa a distância entre Porto

Alegre e Curitiba é 4 cm.

Atividades:

1 – Determine a distância real entre as cidades A e B em cada situação:

a) A__________B se no mapa a escala é 1:50000

3 cm

b) A__________B se no mapa a escala é 1:100000

4 cm

c) A__________B se no mapa a escala é 1:250000

2,5 cm

d) A__________B se no mapa a escala é 1:1000000

3,6 cm

2 – Num mapa de escala 1:1000000, a distância entre duas cidades é de 2 cm.

Qual é a distância real? Explique com suas palavras.

3 – Num mapa feito na escala 1:8000 a distância de 6 km com que grandeza

será representada? Explique e escreva a resposta.

4 – Se a distância de 6 km fosse feita num mapa na escala de 1:5000, com que

grandeza seria representada? Explique.

5 – Num mapa pode ler-se: “2 centímetros para 1 quilômetro”. Qual é a escala

deste mapa?

Qual é a importância da leitura dos mapas?

Os mapas são importantes instrumentos para o estudo geográfico, pois

permitem o conhecimento e o domínio sobre determinado território. A arte e a

técnica aplicada na confecção de mapas é objeto de uma ciência: a

Cartografia, ciência ou arte que estuda os mapas.

Carto: carta, mapa.

Grafia: estudo, ciência, conhecimento.

Para que os mapas sejam úteis, é preciso que sigam algumas regras,

chamadas convenções, que são a chamada linguagem cartográfica, ou seja, a

linguagem dos mapas representada pelos símbolos ou legendas, elemento que

indica o significado dos símbolos e cores usados no mapa.

A idéia de fazer mapas é muito antiga, já existem a milhares de anos,

antes mesmo da invenção do papel. Civilizações antigas gravavam em barro,

ou argila os aspectos do espaço que queriam representar de forma bastante

simples. Os mapas procuram representar da melhor maneira fatos e aspectos

que compõem o espaço geográfico. Para tanto, existem vários tipos de mapas,

os quais devem apresentar os seguintes elementos: título, escala e legenda.

Entre os tipos de mapas, temos o mapa político (país dividido em estados, o

mundo dividido em países, que é o mapa mundi), o mapa temático (representa

elementos específicos como mapa das reservas minerais), mapa físico (mostra

aspectos da natureza como o clima, relevo, hidrografia, vegetação), mapa

econômico (mostra a produção industrial, atividades agrícolas, rodovias,

ferrovias), mapa demográfico (mostra a distribuição da população).

Quais são as escalas mais conhecidas?

Além das escalas numéricas existem as escalas gráficas que permitem

medir diretamente as distâncias no mapa e convertê-las nas distâncias reais.

As escalas gráficas podem ser apresentadas com um segmento de reta

dividido em partes iguais ou como uma linha curta que dá uma idéia geral das

distâncias reais.

Exemplo 4:

0 50 m 100 m 150 m 200 m

O segmento de reta no mapa é de 6 cm, e no real corresponde a 200 m,

qual é a escala numérica desse mapa?

medida do segmento corresponde no real

6cm 200 m 6cm 20000 cm 3 cm 10000 cm

Logo a escala numérica desse mapa é de 3:10000.

Atividades:

1- Em um mapa da América do Sul com escala gráfica de 1 cm = 650 km na

realidade. Se quisermos calcular a distância real entre Caracas e Brasília

sendo a distância entre elas, no mapa, de 5,5 cm. Qual é a distância real entre

elas?

2- Um projeto simples de planta de uma loja está representado a seguir:

Estoque Espaço de vendas

Escritório

50 metros250

a) Qual é a escala do desenho da loja?

b) Meça o espaço destinado à vendas, o espaço para armazenamento e o

espaço para escritório. Determine a área em metros quadrados, que

corresponde a cada um.

3- Pesquisa:

Para fixar melhor estes conhecimentos procure diferentes tipos de

escalas (numéricas e gráficas) que encontramos nos mapas. Escolha duas

cidades que você sabe a distância que as separa pela estrada, interprete a

legenda da escala e faça os cálculos e compare se a estrada fosse em linha

reta, qual seria a real distância.

Para ampliar, diminuir e para reduzir, aumentar.

A escala é uma das representações da proporcionalidade. A escala é ao

mesmo tempo uma ferramenta que permite resolver problemas e um objeto de

saber socialmente organizado e culturalmente reconhecido. Segundo Douady

(1986 apud Levain 1997, p.104), “dizemos que um conceito é uma ferramenta

desde que concentremos o nosso interesse na utilização que fazemos dela

para resolver um problema.”

A escala de um mapa será sempre uma escala de redução e para saber

quantas vezes o tamanho real da área geográfica foi reduzido de modo que

tornasse possível sua representação num mapa, com uma escala numérica

1:900000 (um por novecentos mil), significa que a medida real foi reduzida

novecentos mil vezes para que fosse possível a sua representação no mapa.

Para representar objetos muito pequenos, usamos uma escala de ampliação

onde representamos dez vezes maior o objeto real (10:1, dez para um) ou cem

vezes maior (100:1, cem para um), dependendo do objeto que se queira

representar. “Desde que um desenho seja o modelo reduzido ou ampliado de

um outro eles estão ‘à escala’ um do outro”. (Levain, 1997, p. 106).

Trabalhar com escalas garante ampliações e reduções bastante fiéis ao

objeto representado, buscando as semelhanças e evitando deformações.

Quanto maior o denominador, menor será a escala, e também menor será a

riqueza de detalhes. Quanto menor o denominador, maior será a escala, e

também a riqueza de detalhes. Ao compararmos duas escalas, é maior a

escala que tem o menor denominador: assim 1:25 000 é maior que 1:100 000.

Como devemos proceder para ampliar e reduzir uma figura?

Ao ampliarmos uma figura estamos aumentando a riqueza de detalhes,

para isto diminuímos o denominador que significa estarmos aumentando a

escala: uma escala 1:100, queremos ampliar 5 vezes, logo o denominador será

reduzido 5 vezes, ficando a nova escala em 1:20.

Ao reduzirmos uma figura estamos reduzindo a riqueza de detalhes,

devemos adotar um procedimento inverso do que foi adotado para ampliar,

aumentar o valor do denominador, e conseqüentemente diminuindo a escala:

uma escala de 1:100, queremos reduzir 5 vezes, logo o denominador será

aumentado 5 vezes, ficando a nova escala em 1:500.

A escala nos mapas representa uma área geográfica maior em menor

escala, o mapa mundi pode se apresentar com uma escala 1:40 000 000;

enquanto o estado do Paraná que tem uma área menor geralmente é

apresentado com uma escala maior 1:900 000.

Para explicar melhor convém apresentar a escala em uma só dimensão,

para compreender como isto acontece.

Faça os primeiros exercícios de escala com apenas uma dimensão, por

exemplo: a largura da sala de aula. A primeira escala a ser usada é 1:100 (lê-

se um para cem), pois é a mais simples. Ela determina que cada centímetro do

papel equivale a 100 cm da sala ( 1 metro ). Se a sua sala tiver 5 metros de

largura, nessa escala, terá 5 centímetros, pois 500 centímetros ( 5 metros)

divididos por 100 ( o valor da escala ) resultam em 5 centímetros.

______ 5 cm ______

Para ampliar, diminua a escala.

Com a escala 1:50, é possível representar a mesma largura com um

segmento duas vezes maior. No caso, cada centímetro do papel corresponde a

50 centímetros ( 0,5 metros ) da sala. Os 5 metros serão representados em 10

cm, pois 500 cm divididos por 50 ( o valor da escala ) resultam em 10 cm.

___________10 cm _________

Para reduzir, aumente a escala:

Se o papel onde se está desenhando é pequeno demais, devemos

reduzir a representação. Isso se faz aumentando a escala para, por exemplo,

1:200. No caso, um centímetro da folha equivale a 200 cm ( 2 metros ) da sala.

Para representar os 5 metros, usaremos então um segmento de 2,5

centímetros, pois 500 cm : por 200 ( o valor da escala ) resultam 2,5 cm.

___ 2,5 cm__

Exemplo 5: Entre os desenhos A, B, C, D, E, e F, abaixo, quais são ampliações ou reduções do desenho número 1? Faça um círculo da que estiver correta

Comentários: trata-se de reconhecer uma ampliação e uma redução de uma

figura geométrica. As relações muito simples, do dobro na figura E e da metade

na figura A. A quadrícula 0,5 facilita o reconhecimento da redução. As figuras B

e C estão mais alteradas do que as formas das figuras D e F em relação à

ampliação.

Resolver problemas de ampliação (ou de redução) e de escala dizem

respeito a problemas de proporcionalidade. Resolva os seguintes problemas

para verificar por si próprio as aptidões que você tem neste conteúdo:

Atividades:

1 – Imagine que você tenha um avião em miniatura. Para voar, o seu modelo

precisa ter medidas proporcionais com o avião original.

- Toda escala é diretamente proporcional.

- Quando se diz que um modelo está em escala 1:25, isso significa que ele é

25 vezes menor do que o original. Se a envergadura de asa do avião original

tem 10 metros. Qual será a envergadura do modelo?

2 – Represente as figuras de acordo com as escalas:

3 – Terminar a construção do retângulo A’ B’ C’ D’ para que ele seja uma

ampliação do retângulo ABCD.

A B

C D

3cm

1,5cm

6cmC’ D’

4 – Terminar a construção do retângulo A’ B’ C’ D’ de modo que ele seja uma

ampliação do retângulo ABCD. A B

C D

5cm

3cm

A’

C’

6cm

5 – Terminar a construção do retângulo A’ B’ C’ D’ de modo que ele seja uma

ampliação do retângulo ABCD.

A B

C D

3cm

1,5cm

5cmC’ D’

6 – Terminar a construção do retângulo A’ B’ C’ D’ de modo que ele seja uma

ampliação do retângulo ABCD. A B

C D

5cm

B ’A ’ 9cm

3cm

Como foi utilizada a proporcionalidade antigamente para calcular medidas

inacessíveis?

Segundo Matsubara e Zanirato, (s/d), na antigüidade Tales de Mileto

(624A.C.-546A.C.), filósofo e matemático grego. O mais antigo dos chamados

Sete Sábios da Grécia, se ofereceu para determinar a altura da pirâmide real,

sem escalar o monumento.

Na presença do rei Amasis teve lugar a prova. O sábio percebeu a areia

do deserto egípcio até a extremidade da sombra projetada pelo monumento.

Precisamente no vértice da sombra, cravou sua bengala no solo, verticalmente.

A sombra do bastão revelava a Tales a procurada altura da pirâmide.

Vara de medir

Raios de sol

Estaca

Suponha que, para facilitar o problema, Tales tenha aguardado o

momento em que, atingida uma certa altura pelo sol, o comprimento da sombra

do bastão tivesse se tornado igual ao seu próprio comprimento. Nesse caso,

bastava um raciocínio muito simples para inferir que no mesmo instante o

comprimento da sombra da pirâmide era igual a altura da mesma.

Diz-se que o rei Amasis se mostrou profundamente surpreendido com

essa aplicação prática de uma ciência abstrata.

A pirâmide, o bastão e a sombra de ambos representam a primeira

construção geométrica pura que nos é transmitida pela história.

Atividades:

1 - A fotografia tirada da escola tem 12 cm de comprimento por 9 cm de altura.

Deseja-se ampliá-la, de forma que tenha 36 cm de comprimento. Qual será a

altura da ampliação?

2 - Na feira de ciência um grupo vai trabalhar com escalas e resolveu fazer

uma miniatura semelhante a pirâmide de Quéops no Egito, que tem sua base

quadrada com aproximadamente 230 metros de lado e a altura

aproximadamente de 146 metros. Será trabalhada numa escala de 1:400. Qual

será o comprimento do lado e da altura?

3 - Dentre as alternativas dos quadros, qual é a outra forma correta da escala 1

cm : 3,5 km?

1 : 3,5 1 : 3500 1 : 350000

4 - De Brasília a Santiago, em linha reta num mapa da América do Sul, são 4,5

cm são os que as separam. Se a escala no mapa indica 0_____650km, o que

significa que cada centímetro no mapa representa na realidade. Qual é a

distância real que separa a capital do Brasil à capital do Chile?

Fonte: Graça Maria Lemos Ferreira, Moderno

atlas geográfico. São paulo, Moderna, 1997

Quando estamos diante de seqüências que formam uma proporção, ou

seja, se dividirmos ou multiplicarmos os elementos de uma mesma coluna pelo

mesmo número, o resultado é sempre igual. Dizemos que as grandezas são

diretamente proporcionais.

Uma maneira prática para sabermos se duas grandezas são diretamente

proporcionais, basta fazermos a pergunta: se dobrarmos, triplicarmos, etc. uma

das grandezas o que acontece com a outra grandeza? Se ela também duplicar,

triplicar, etc. as grandezas serão diretamente proporcionais.

Com certeza você já teve a oportunidade de ver uma planta baixa de

uma casa ou de um apartamento.

Qual é a diferença entre a planta baixa e um mapa?

Ao colocarmos no papel a nossa casa, nossa escola, colocamos todas

as informações de uma área pequena, em que todos os detalhes podem ser

desenhados. Estamos fazendo a representação de uma planta baixa, diferente

de um mapa que representa uma área grande onde é praticamente impossível

inserir todos os detalhes. Para representar uma planta baixa, também usamos

a escala.

Dormitório Dormitório

Escala 1:200

Escada

E1

HallW.C.

Cozinha

AS

Sala

E2

1,5 cm

A escala é a razão entre cada comprimento indicado na planta e o comprimento real correspondete. Cada centímetro nessa planta equivale, na realidade, a 200 cm, ou seja 2 metros. A largura da sala no desenho é 1,5 cm, o que significa que a largura real é 200 vezes 1,5 cm, isto é, 3 metros. Desafio: Agora você é o arquiteto. Faça a planta de sua casa. Utilize a escala 1:100.

Atividades: 1 - Complete a tabela: Escala 1:500 1:800 Comprimento na planta

2 cm cm 1,4 cm

Comprimento real m 40 m 2,80 cm

2 – Um arquiteto fez uma maquete e para representar um imóvel de 25 metros

de altura ele usou uma caixa de fósforos de 5 cm de altura. Por qual número

devemos multiplicar a caixa de fósforos para obtermos a altura do imóvel?

3 - A planta de uma casa está na escala 1:200. A largura da sala no desenho é

de 1,5 cm. Qual é a largura real?

4 - Um jardim retangular mede 50 metros de comprimento e 30 metros de

largura. Representamos este jardim por um desenho à escala de 1:100. Qual é

o comprimento do jardim nesse desenho?

5 - Imagine um quarto ideal e dê as suas dimensões. Este quarto mede ______

metros de comprimento e ______ metros de largura. Calcule uma escala que te

permita representar este quarto numa folha A4 (formato 21 x 29,7 cm). O plano

deve ser o maior possível. Escreva a escala desse quarto representado no

papel.

6 - Queres fazer a planta de um laboratório que mede 14 m de comprimento

por 9 m de largura. Por quanto deves dividir as dimensões desse laboratório

para representá-lo em uma folha A4 (formato 21 x 29,7 cm)? A planta deve ser

a maior possível.

7 - A planta baixa é também uma representação de uma construção (casa,

apartamento, ou salas de escritórios) vista de cima, em tamanho reduzido,

cujas medidas são proporcionais as medidas reais.

A planta baixa ao lado representa um conjunto de escritórios e uma sala de recepção na escala 1 : 200. Responda: a) Qual o significado da escala 1 : 200? b) Qual é a largura real do escritório 1, em metros? c) Qual é a área do escritório 1 em metros quadrados? d) Quais são as dimensões em metros do escritório 3? e) Faça o desenho de um cômodo retangular cujas dimensões são 3,5 m por 6 m, usando essa escala.

Sala derecepção

Banheiro

Escritório 3 Escritório 2

Escritório 1

8 - Faça uma estimativa:

ÁREADE

SERVIÇO

BANHEIRO

COZINHA

SALA

QUARTO QUARTO

Na planta baixa ao lado, qual você imagina que seja a escala? Isto é cada centímetro no papel deve corresponder a quantos centímetros no real?

Considerações finais:

Toledo e Toledo (1997), escrevem que a proporcionalidade constitui um dos temas de maior importância no ensino de matemática, pois é a partir dela que se formam as noções de razão, proporção, número racional, medida, regra de três, porcentagem, probabilidades, semelhança de figuras, escalas. Pesquisas de vários autores comprovam que o esquema de proporcionalidade só estará completamente construído quando o aluno atingir o período operatório formal, por volta dos 15 anos. Mas, desde os primeiros anos de vida a criança já utiliza de forma prática as relações proporcionais. Apesar do uso prático no cotidiano, o conceito de proporcionalidade, apresenta grandes dificuldades em termos de formulação e aplicação. Cabe à escola colocar os alunos em situações do dia a dia, como as que envolvem escala, nas quais pratiquem, de modo intuitivo a idéia de razão e proporção. Com esta familiarização, inicia-se a etapa do estabelecimento de relações, da descoberta de propriedades que poderá levá-los a elaborar o conceito de proporcionalidade.

REFERÊNCIAS:

BIANCHINI, E. e PACCOLA, H. A matemática tem razão. São Paulo:

moderna, 1998

LEVIAN, J.P. Aprender a matemática de outra forma. Lisboa: Artes Gráficas,

1997.

MATSUBARA, R. e ZANIRATTO, A. BIG MAT: Matemática. 6ª série. São

Paulo: Instituto Brasileiro de Edições Pedagógicas, s/d.

PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares do

Estado do Paraná. Curitiba: SEED, 2006.

TOLEDO, Marilia e TOLEDO, Mauro. Didática da Matemática: como dois e

dois: a construção da matemática. FTD, São Paulo, 1997.

SOCIEDADE AMERICANA de FOTOGRAMETRIA – SLAMA – (Mapa), 1980.

Disponível em <http://br.geocities.com/sousaraujo/ano1_texto5.html>. Acesso

em 14 outubro 2008.