da escola pÚblica paranaense 2009 · estes filmes precisavam ser rebobinados antes de serem...
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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO Superintendência da Educação
Diretoria de Políticas e Programas Educacionais Programa de Desenvolvimento Educacional
ROSANGELA MARTINS
CADERNO PEDAGÓGICO:
A MODELAGEM MATEMÁTICA ASSOCIADA AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
Londrina
2010
ROSANGELA MARTINS
CADERNO PEDAGÓGICO:
A MODELAGEM MATEMÁTICA ASSOCIADA AO ESTUDO DAS FUNÇÕES
Plano de Trabalho Apresentado ao Programa de
Desenvolvimento Educacional
Orientadora: Profª. Drª Lourdes Maria Werle de Almeida.
Londrina
2010
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ....................................... .................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .............................................................................................. 3
2 MODELAGEM MATEMÁTICA............................. ......................................... 4
3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO...................... ............................... 6
4 ATIVIDADES....................................... .......................................................... 7
4.1 OBJETIVO DAS ATIVIDADES ................................................................... 7
4.1.1 Locação de Filmes ............................ .................................................... 8
4.1.2 Telefonia Celular ............................ ....................................................... 11
4.1.3 Caminhada .................................... ......................................................... 15
4.1.4 Produção de Cana-de-açúcar................... ............................................ 20
REFERÊNCIAS................................................................................................ 27
3
APRESENTAÇÃO
Este caderno Pedagógico faz parte do Programa de
Desenvolvimento Educacional - PDE, da disciplina de Matemática. Nele
apresentamos o desenvolvimento de quatro situações de Modelagem Matemática
que podem orientar o estudo de Funções de 1º e 2º graus. Essas atividades serão
desenvolvidas com alunos de uma turma de 1º ano do Ensino Médio.
1 INTRODUÇÃO
O ensino da Matemática baseado no paradigma do exercício e sem
estabelecer relações com a vida do aluno, não atende aos interesses de alunos que
fazem parte de uma sociedade repleta de inovações tecnológicas. De modo geral,
verificamos que hoje, não há muita relação entre a Matemática que se faz na escola
e a vida dos alunos fora dela.
Se o ensino de Matemática tem como um de seus objetivos,
desenvolver nos alunos sua capacidade de raciocinar, interpretar, experimentar,
analisar de forma crítica soluções encontradas, é preciso introduzir nas aulas de
Matemática, problemas vinculados à realidade, que despertem neles a atenção e
sejam atrativos, envolvendo-os na busca por uma possível solução.
As Diretrizes Curriculares da Educação Básica estabelecem que:
É necessário que o processo pedagógico em Matemática contribua
para que o estudante tenha condições de constatar regularidades,
generalizações e apropriação de linguagem adequada para
descrever e interpretar fenômenos matemáticos e de outras áreas do
conhecimento. (PARANÁ, 2008, p.49)
Uma alternativa pedagógica capaz de contribuir dessa maneira é a
Modelagem Matemática, que tem como forte característica, o trabalho com situações
do cotidiano.
4
Diante desta característica, esta alternativa pedagógica pode
contribuir para a aprendizagem das Funções de 1º e 2º graus que, na maioria das
vezes, são trabalhadas com definições pré-concebidas, utilizando fórmulas já
equacionadas, para resolver problemas que não estão relacionados a situações
vivenciadas pelos alunos.
Deste modo, desenvolveremos neste Caderno Pedagógico algumas
considerações sobre a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica e em
seguida serão apresentadas quatro atividades de Modelagem referentes ao estudo
das Funções de 1º e 2º graus, utilizando temas como Locação de filmes, Telefonia
celular, Caminhada e Produção de cana-de-açúcar. Os três primeiros temas são
mais ligados à realidade dos alunos, o que pode facilitar o desenvolvimento das
atividades por serem situações de interesse dos mesmos.
Para o desenvolvimento destas atividades, faremos uso dos
softwares Calc (Linux) ou Excel (Windows) e Geogebra na construção de tabelas e
gráficos, visando também, facilitar a resolução das mesmas.
Esperamos com este Caderno Pedagógico, contribuir com os
professores, apresentando possibilidades de trabalho com Modelagem, bem como,
desenvolver com os alunos os conteúdos propostos e levá-los a refletir sobre os
problemas apresentados.
2 A MODELAGEM MATEMÁTICA
A Modelagem Matemática é uma alternativa pedagógica, que pode
propiciar aos alunos a aprendizagem de conceitos matemáticos partindo de
situações reais.
De acordo com Bassanezi (2009, p.16) ” A Modelagem consiste na
arte de transformar problemas da realidade em problemas matemáticos e resolvê-los
interpretando suas soluções na linguagem do mundo real”.
Essa característica proporciona ao aluno a oportunidade de ser
atuante na construção de seu conhecimento. Segundo Almeida e Dias (2004), um
outro ponto positivo desta alternativa pedagógica é a realização de atividades em
5
grupo, pois atividades cooperativas, podem levar professores e alunos a uma maior
interação, o que é fundamental para o processo da aprendizagem.
Para o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem
Matemática alguns procedimentos devem ser seguidos, não necessariamente na
ordem em que aparecem. Escolhida uma situação real, define-se o problema a ser
estudado, a partir da organização das informações obtidas, faz-se o levantamento e
a análise das hipóteses, definem-se as variáveis. Utilizando os conceitos
matemáticos faz-se a formulação do modelo e a resolução do problema. Se a
solução encontrada não for satisfatória o processo todo ou parte dele precisa ser
refeito. (Almeida e Dias, 2007).
. Almeida e Dias (2004) sugerem que para alunos que ainda não
estão familiarizados com o desenvolvimento de atividades de Modelagem, elas
podem ser introduzidas de forma gradativa, seguindo três momentos:
Primeiro momento : Partindo de uma situação-problema acompanhada com os
dados qualitativos e quantitativos e do problema já definido, o professor juntamente
com os alunos faz a definição das variáveis, a formulação das hipóteses, a
construção e validação de um modelo matemático para a investigação do problema.
Segundo momento: O professor apresenta aos alunos uma situação-problema
acompanhada por um conjunto de dados. Os alunos orientados pelo professor
fazem as simplificações necessárias, a formulação do problema, a formulação de
hipóteses, a dedução e a validação do modelo, bem como a interpretação dos
resultados obtidos diante da situação inicial.
Terceiro momento : Os alunos, distribuídos em grupo, são incentivados a
conduzirem um processo de Modelagem, a partir de um problema escolhido por
eles, devidamente assessorados pelo professor.
O desenvolvimento de atividades de Modelagem desta maneira tem-
se mostrado eficiente. Na medida em que o aluno passa pelos diferentes momentos,
consegue compreender o processo da resolução dos problemas e passa a refletir
sobre as soluções encontradas.
Segundo Almeida e Dias (2004)
6
Este encaminhamento das atividades de Modelagem Matemática tem-se mostrado bastante adequado na prática de sala de aula em diferentes níveis de ensino. Na medida em que o aluno vai realizando as atividades nos “diferentes momentos”, conforme a seqüência apresentada, a sua compreensão acerca do processo de Modelagem, da resolução dos problemas em estudo e da reflexão sobre as soluções encontradas vai se consolidando (p 7).
3 ENCAMINHAMENTO METODOLÓGICO
As atividades apresentadas neste Caderno Pedagógico serão
desenvolvidas em conjunto, professor e alunos, pois a participação de ambos no
processo de Modelagem é de fundamental importância. O professor atua como um
orientador, auxiliando os alunos em suas atividades sempre que estes solicitarem
e/ou necessitarem.
Primeiramente serão desenvolvidas com os alunos duas atividades
de Modelagem Matemática, nas quais as informações necessárias para o estudo
das situações-problema serão apresentadas pelo professor. A definição do problema
e a sua resolução serão realizadas com a participação dos alunos. Nos referimos a
estas atividades como primeiro momento. Os gráficos e tabelas serão construídos
no laboratório de informática utilizando os softwares Calc (Linux) ou Excel
(Windows) e Geogebra
Posteriormente, em um segundo momento, os alunos, em duplas,
desenvolverão duas atividades de Modelagem Matemática. Para estas atividades as
informações serão ainda fornecidas aos alunos pelo professor. O que
essencialmente diferencia este momento do anterior, diz respeito à participação e
intervenção do professor no desenvolvimento da atividade. Para desenvolver a
atividade deste momento a definição do problema, a definição das variáveis e das
hipóteses passam a ser realizadas pelas duplas de alunos e o professor atua como
orientador, fazendo as intervenções necessárias para a resolução do problema.
Finalmente, num terceiro momento, os alunos desenvolverão
atividades de Modelagem Matemática em grupos de quatro ou cinco. Eles irão
definir uma situação-problema e apresentarão uma resolução para a mesma.
7
Ficarão também responsáveis pela coleta de informações e todo o processo de
desenvolvimento da atividade. O professor atuará como orientador na organização
dos dados e na resolução do problema.
As atividades serão avaliadas pela observação direta dos alunos,
apresentação dos gráficos e resultados obtidos, de relatórios de acompanhamento,
responsabilidade, cooperação e organização dos grupos, relato escrito sobre as
vantagens e dificuldades encontradas no desenvolvimento destas atividades.
4 ATIVIDADES
Neste Caderno Pedagógico serão apresentadas quatro atividades de
Modelagem Matemática, duas delas referentes ao estudo de Função de 1º grau e
outras duas referentes ao estudo de Função de 2º grau.
4.1 OBJETIVOS DAS ATIVIDADES:
Levar o aluno a:
• Buscar solução para uma situação-problema real, fazendo uso da
Matemática.
• Interpretar e retirar dados importantes da situação-problema.
• Introduzir o estudo de Função de 1º grau e Função de 2º grau por meio de
situações-problema.
• Identificar diferentes representações associadas às Funções de 1º grau e
Funções de 2º grau.
• Fazer uso dos softwares Calc (Linux) ou Excel (Windows) e Geogebra na
construção de tabelas e gráficos.
• Encontrar um modelo que resolva o problema apresentado.
8
4.1.1 Locação de Filmes
No meio dos anos 80 começaram a surgir as videolocadoras que
faziam a locação de filmes em VHS1. Naquela época, o vídeo-cassete era visto
como uma espécie de artefato milagroso, um meio mágico de trazer o cinema para
dentro de casa. Estes filmes precisavam ser rebobinados antes de serem
devolvidos, mas isso não era problema, diante do benefício de poder assistir um
filme em casa e na hora que quisesse.
A partir do século XXI, os filmes em VHS foram substituídos pelos
DVDs2, o que tornou antiquado o verbo rebobinar. Este formato digital facilitou o
acesso a filmes e a reprodução de vídeos, e com isso surgiu a pirataria tanto nas
ruas, como pela Internet.
Estima-se que entre 2003 e 2005, havia no Brasil, cerca de 14 mil
videolocadoras. Mas, a partir de 2006, este número começou a cair e hoje há no
máximo 6 mil locadoras. A pirataria e a Internet estão prejudicando este mercado.
Para tentar modificar esse quadro, algumas locadoras estão investindo em locação
de blue-ray, mídia de alta definição e ótima qualidade e que não pode ser
pirateada.
Mas ainda há pessoas que preferem ter qualidade nos filmes que
assistem, e continuam fazendo a locação de DVDs em videolocadoras.
Uma determinada locadora da cidade de Arapongas cobra o valor de
R$ 5,60 na locação de filmes que são lançamentos. Locando apenas um filme o
cliente tem um dia para devolvê-lo. Caso o cliente esqueça de devolvê-lo no prazo
ou queira ficar com o filme por mais alguns dias, é cobrado um valor adicional de R$
1,60 por dia de atraso.
Problema
a) Encontre um modelo matemático que represente o valor a ser pago em função do
tempo que o cliente ficou com o filme.
1 VHS Vídeo Home System ( Sistema de Vídeo Caseiro) 2 DVD Digital Vídeo Disc (Disco de Vídeo Digital)
9
b) Quando o cliente não consegue assistir o filme em um dia , compensa devolver o
filme e fazer uma nova locação, ou compensa ficar com o filme pagando por dia de
atraso?
Dedução das variáveis
t = tempo (dias)
V = valor a pagar (reais)
Dados do problema
• O valor da locação de um filme (lançamento) é de R$ 5,60.
• Valor cobrado por dia de atraso R$ 1,60.
Dedução do modelo
Analisando os dados da tabela observamos que:
INtttV ∈−+= ),1(60,160,5)( ,
é o modelo matemático que representa o valor a ser pago quando o cliente fica
com o filme por t dias.
O gráfico referente ao modelo é dado na figura 1.
t (tempo em dias) V ( valor a ser pago em reais)
1 2 3 4 5 . . . t
V(1) = 5,60 V(2) = 5,60 + 1,60 . (2 – 1) = 7,20 V(3) = 5,60 + 1,60 . (3 – 1) = 8,80 V(4) = 5,60 + 1,60 . (4 – 1) = 10,40 V(5) = 5,60 + 1,60 . (5 – 1) = 12,00 . . . V(t) = 5,60 + 1,60 . (t – 1)
10
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
14,00
0 2 4 6
t (dias)
V (R
$)
V
Figura 1: Gráfico de V(t)
A representação do valor a ser pago pela locação de um filme
entregue no prazo ou com atraso, sinaliza com uma Função de 1º grau.
No entanto, no gráfico não podemos fazer a união dos pontos. Se o
cliente fizer a entrega do filme com atraso de meio dia ou de um dia inteiro, o valor a
ser pago será de R$ 1,60, ou seja, o acréscimo de R$ 1,60 é feito por dia.
Respondendo ao problema:
b) Quando compensa devolver o filme e pagar duas locações, ou
ficar com o filme e pagar por dias de atraso na devolução.
Considerando que o valor de duas locações é R$ 11,20, fazemos:
5,60 + 1,60(t – 1) = 11,20
1,60t – 1,60 = 11,20 – 5,60
1,60t = 11,20 – 5,60 + 1,60
1,60t = 7,20
t = 4,5
Assim temos que:
• Se o cliente assistir o filme em até 4 dias, compensa ficar com o filme e pagar
por dias de atraso na devolução.
• Se o cliente não assistir o filme em até 4 dias, compensa devolvê-lo e locá-lo
novamente, pagando por duas locações.
11
4.1.2 Telefonia Celular 3
Na década de 90 surgiram os primeiros celulares, que custavam
caríssimos e só funcionavam em pouquíssimos lugares. O celular era então, apenas
um telefone e somente adultos dispostos a investirem uma quantia razoável se
dispunham a comprá-lo.
Hoje, o telefone celular é um dos aparatos tecnológicos mais
comuns, são pequenos, leves, tem baterias duradouras e funcionam em quase todos
os lugares e há muito deixaram de ter função apenas de telefone. Os celulares
servem também para ouvir rádio, mp3, assistir TV, tirar fotos, fazer filmes, gravar
voz, jogar vídeo-game, mandar e receber e-mails ou arquivos, acessar Internet,
dentre outras muitas funções.
No Brasil, desde 2008 mais de 50% da população já possui celular.
Este número vem crescendo assustadoramente a cada ano. Porém, o preço deste
serviço em nosso país, é um dos mais caros do mundo. Com isso, para utilizarmos
o celular precisamos pesquisar qual operadora oferece o melhor preço e o melhor
plano.
Se a opção é por um plano mais econômico, temos que comparar
entre os diferentes planos oferecidos pelas operadoras.
Escolhemos dois deles para fazermos esta comparação.
• Plano pré-pago “Infinity-pré”: R$ 1,39 o minuto.
• Plano pós-pago “Infinity 30”: R$ 33,90 com franquia de 30 minutos, com
adicional de R$ 0,95 para cada minuto excedente.
Problema
Quando é mais vantajoso ter um celular pré-pago ou um celular
pós-pago considerando estes dois planos?
Definição das variáveis
3 Esta atividade consta no trabalho: SORIANI, S.A, A Modelagem Matemática como Alternativa Pedagógica para o Ensino das Funções.
12
t = tempo (minutos)
V = valor a pagar (em reais)
Dados do problema
• O valor cobrado no plano pré-pago é de R$ 1,39 o minuto.
• O valor cobrado no plano pós-pago é de R$ 33,90 pela tarifa básica com
franquia de 30 minutos e adicional de R$ 0,95 por minuto excedente.
Dedução dos modelos : Planos pré-pago e pós-pago
T (min) Plano Pré-Pago
V (R$)
Plano Pós-Pago
V (R$)
0 5 10 15 20 25 30 31 32 .
35 .
37 .
40 . .
55 . . . t
V(0) = 1,39 . 0 = V(5) = 1,39 . 5 =
V(10) = 1,39 . 10 = V(15) = 1,39 . 15 = V(20) = 1,39 . 20 = V(25) = 1,39 . 25 = V(30) = 1,39 . 30 = V(31) = 1,39 . 31 = V(32) = 1,39 . 32 =
. V(35) = 1,39 . 35 =
. V(37) = 1,39 . 37 =
. V(40) = 1,39 . 40 =
.
. V(55) = 1,39 . 55 =
.
.
. V(t) = 1,39 . t
0 6,95 13,90 20,85 27,80 34,75 41,70 43,09 44,48
. 48,65
. 51,43
. 55,60
.
. 76,45
.
.
.
V(0) = 33,90 V(5) = 33,90
V(10) = 33,90 V(15) = 33,90 V(20) = 33,90 V(25) = 33,90 V(30) = 33,90
V(31) = 0,95 (31 – 30)+33,90 V(32) = 0,95 (32 – 30)+33,90
. V(35) = 0,95 (35 – 30)+33,90
. V(37) = 0,95 (37 – 30)+33,90
. V(40) = 0,95 (40 – 30)+33,90
.
. V(55) = 0,95 (55 – 30)+33,90
.
.
. V(t) = 0,95 ( t – 30) + 33,90
33,90 33,90 33,90 33,90 33,90 33,90 33,90 34,85 35,80
. 38,65
. 40,55
. 43,40
.
. 57,65
.
.
.
Plano pré-pago
Observando os valores encontrados, deduzimos que o modelo que
representa o valor a ser pago pelo tempo t no plano pré-pago é de:
V = 1,39 . t
13
Construção do gráfico da função (ver Figura 02).
GRÁFICO DO PLANO PRÉ-PAGO
0,0010,0020,0030,0040,0050,0060,0070,0080,0090,00
0 10 20 30 40 50 60 70
t (minutos)
V (
R$)
V
Figura 02: Gráfico da função V(t)
A representação do plano pré-pago sinaliza para uma função do 1º
grau, no entanto, como o preço cobrado é por minuto inteiro não podemos unir os
pontos, ou seja, em uma ligação de 30 segundos ou 1 minuto o valor a ser pago é o
mesmo.
Plano pós-pago
V(t) = 33,90, para t ≤ 30 e t ∈ IN
V(t) = 0,95 (t – 30) + 33,90, se t > 30
Assim, o modelo matemático que representa o valor a ser pago pelo
tempo t de utilização do plano pós-pago é formado por duas sentenças:
∈>+∈≤
=INtetset
INtparatsetV
30,40,595,0
,30,90,33)(
Construção do gráfico da função (ver Figura 03).
14
GRÁFICO DO PLANO PÓS-PAGO
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
0 10 20 30 40 50 60
t (min)
V (
R$)
Figura 03: Gráfico da função V(t)
Assim, como na representação gráfica do plano pré-pago não vamos
unir os pontos, pois a cobrança é feita por minutos inteiros.
A primeira parte da representação gráfica é dada por pontos
paralelos ao eixo das abscissas, ou seja, é uma função constante representada pela
função:
V(t) = 33,90, para t ≤ 30 e t ∈ IN
Na segunda parte do gráfico, os pontos tem uma inclinação em
relação ao eixo das abscissas, representando uma função afim, que para este
modelo é representada por:
V(t) = 0,95t (t – 30), para t > 30 e t ∈ IN
Entretanto, apenas para uma melhor visualização do comportamento
das funções vamos representar os dois modelos no mesmo plano cartesiano
utilizando retas no lugar dos pontos (ver Figura 04):
15
Figura 04: Representação gráfica das funções V(t) (pré-pago) e V(t) (pós-pago)
Percebemos que o gráfico da função que representa o plano pré-
pago se intercepta num determinado ponto com o gráfico da função que representa
o plano pós-pago na parte que neste é constante.
Igualando a função V(t) = 1,39t à função V(t) = 33,90, temos:
1,39t = 33,90
t ≅ 24 minutos
Percebemos então que o valor a ser pago será o mesmo se o tempo
utilizado for aproximadamente 24 minutos. Se o tempo for inferior ou igual a 24
minutos é mais vantajoso optar pelo plano pré-pago, mas se o tempo for superior a
24 minutos o plano mais vantajoso será o pós-pago.
4.1.3 Caminhada 4
Atualmente o problema com a obesidade tem crescido
assustadoramente. À medida que foram sendo criadas máquinas que substituíram o
homem no trabalho pesado, este não consegue comer e consumir toda a energia 4 Esta atividade consta no trabalho de: BRITO, Dirceu dos Santos. Atribuição de Sentido e construção de significado em, situações de Modelagem Matemática.
16
adquirida. O homem vem se tornando cada vez mais sedentário e a obesidade
atingindo um maior número de pessoas a cada ano. Juntamente com a obesidade,
surge às doenças cardíacas, a hipertensão, o diabetes, entre outros problemas de
saúde, que diminuem a qualidade de vida dessas pessoas.
Para ajudar a minimizar este problema, médicos e nutricionistas
recomendam a caminhada como uma das atividades físicas de baixa intensidade,
capazes de ajudar na queima deste excesso de calorias.
Para que a caminhada dê resultados, é preciso ser uma atividade
constante e com ritmo, ou seja, evitando andar, parar, como se estivesse
passeando. A duração e a intensidade das passadas é que vão determinar o gasto
de energia.
Deste modo podemos pensar em determinar o “melhor tempo” e em
conseqüência a melhor velocidade, para conseguir o melhor gasto de calorias
durante uma caminhada.
Representada a seguir, está uma tabela com informações da
Organização Mundial de Saúde (OMS), relativas ao gasto de energia de uma pessoa
normal ao realizar uma caminhada de 3000 metros.
Tempo Velocidade
Km/hora Energia
Consumida (kcal)
min horas 60 1 3 155 50 0,833 3,6 183,92 45 0,75 4 190,18 40 0,667 4,5 190,99 30 0,5 6 175,95 20 0,334 9 139,01 10 0,167 18 80,66
Problema
Em quanto tempo uma pessoa deve realizar uma caminhada de
3000 metros para obter o maior gasto de energia?
17
Dedução das variáveis
t = tempo (em horas)
E = energia consumida (em calorias)
Conhecendo as variáveis, podemos representar os dados da tabela
em um plano cartesiano, considerando a variável independente como sendo o tempo
(t) (h) e a variável dependente como sendo a energia consumida (E) (kcal).
A partir dos dados oferecidos na tabela e das variáveis definidas, os
alunos irão para o laboratório de informática onde utilizando os softwares Calc
(Linux) ou Excel (Windows) farão a construção do gráfico da função (ver Figura 05).
GASTO DE ENERGIA EM CAMINHADA DE 3000 METROS
0
50
100
150
200
250
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
t (h)
E (
kcal
)
Figura 05: Gráfico da função E(t)
Hipóteses da solução
Os alunos em conjunto com o professor, farão o levantamento de
hipóteses partindo da observação do gráfico.
A representação no plano cartesiano sugere que neste intervalo de
tempo de realização da caminhada, a energia consumida cresce e depois decresce.
Isto sinaliza, que uma função quadrática pode ser adequada para descrever o
comportamento da situação e para obter o tempo de realização da caminhada em
18
que a energia consumida é máxima. A partir deste tempo encontrado podemos
determinar a velocidade ideal para realizar uma caminhada de 3 000 metros.
Para encontrar uma função quadrática são necessários três pontos.
Dentre os pontos apresentados no gráfico e na tabela, vamos
escolher:
P1 = (1; 155) P2 = (0,667; 190,99) P3 = (0,334; 139,01)
Esta escolha nos permite encontrar uma função do tipo:
E(t) = at2 + bt + c
Levando em consideração o conhecimento sobre função quadrática
sabemos que o parâmetro a deve ser negativo, pois a concavidade da parábola é
voltada para baixo.
Usamos os três pontos para encontrar os parâmetros a, b e c por
meio da resolução de um sistema de equações.
A montagem do sistema e a resolução do mesmo serão feitos
juntamente com o professor fazendo uso de calculadora.
=++=++
=++
01,139333,0)333,0(
99,190677,0)667,0(
155
2
2
cba
cba
cba
A solução deste sistema é:
a = - 395,352 b = 550,98 c = - 0,628
Logo a função que descreve o consumo de calorias em função do
tempo de caminhada é:
E(t) = - 395,352t2 + 550,98t – 0,628
Neste momento, os alunos no laboratório de informática farão a
aplicação da fórmula encontrada no software Geogebra
O gráfico desta função está na figura 06 a seguir:
19
Figura 06: Gráfico da função E(t)
Para responder a questão do problema, devemos encontrar as
coordenadas do ponto máximo desta função, que neste caso corresponde ao vértice
da parábola. Assim fazemos:
a
bxv 2
−= a
yv 4
∆−=
xv = 0,6968 yv = 191,327.
Isto significa que o tempo que torna máxima a energia consumida é
de 0,6968 horas e equivale há aproximadamente 41 minutos para realizar a
caminhada de 3000 metros. Neste caso a quantidade máxima de energia consumida
é de 191,327 kcal.
Vamos agora determinar a velocidade ideal para realizar esta
caminhada.
Inicialmente observamos os dados da tabela:
20
Tempo
Velocidade Km/hora
Energia Consumida
(kcal) min horas 60 1 3 155 50 0,833 3,6 183,92 45 0,75 4 190,18 40 0,667 4,5 190,99 30 0,5 6 175,95 20 0,334 9 139,01 10 0,167 18 80,66
Podemos perceber que a velocidade está entre 4 km/h e 4,5 km/h.
t
dV =
6968,0
3=V
V = 4,3 km/h ⇒ V = 1,19m/s
Utilizando o tempo ideal xv = 0,6968 encontrado, temos que a
velocidade ideal é de 4,3 km/h o que corresponde a 1,19 m/s para realizar uma
caminhada de 3000 m.
4.1.4 Produção de Cana-de-açúcar 5
Historicamente a cana-de-açúcar é um dos principais produtos
agrícolas do Brasil, sendo cultivada desde a época da colonização. Do seu processo
de industrialização obtêm-se como produtos o açúcar nas suas mais variadas
formas e tipos, o álcool anidro (aditivo para a gasolina), o álcool hidratado, o vinhoto
ou vinhaça (resíduo que pode ser aproveitado como fertilizante na produção de
biogás, ou na pecuária como complemento de alto teor protéico da ração animal),
5 Esta atividade foi desenvolvida por alunos do 4º ano do curso de Licenciatura em Matemática – UEL - 2006
21
além de possibilitar a geração de energia elétrica por meio da queima do bagaço e a
produção de plástico biodegradável, a partir do açúcar.
Atualmente o Brasil é o maior produtor mundial de cana-de-açúcar.
O estado do Paraná é o segundo maior produtor do país, a primeira posição
pertence ao estado de São Paulo. A produção de cana-de-açúcar contribui com o
meio ambiente, porque ela seqüestra o CO2 da atmosfera diminuindo o efeito do
aquecimento global. A agroindústria de cana-de-açúcar tem adotado políticas de
preservação ambiental que são exemplos mundiais na agricultura.
Para aumentar a produção de cana-de-açúcar no estado do Paraná,
o IAPAR (Instituto Agronômico do Paraná), fez três testes com a aplicação do
nutriente K2O (óxido de potássio), obtendo os resultados demonstrados na tabela a
seguir:
Informações obtidas no IAPAR
Dose do nutriente (kg/ha)
Produção de cana-de-açúcar (ton/ha)
0
42
70
55,59
140
60,39
Fonte: Instituto Agronômico do Paraná (IAPAR)
Preço da cana-de-açúcar: R$ 43,64/tonelada.
Preço do nutriente: R$ 1,45/ kg de óxido de potássio.
Problema
a) Qual é a produção de cana-de-açúcar em função da quantidade de nutriente
adicionada?
b) Qual a quantidade de nutriente que dá a máxima produção de cana por
hectare?
c) Qual a quantidade de nutriente economicamente aconselhável ao produtor?
22
Variáveis
x = dose do nutriente (kg/ha) f(x) = produção de cana-de-açúcar (ton/ha) Utilizando os dados oferecidos na tabela e com as variáveis
definidas, os alunos juntamente com o professor farão a construção do gráfico da
função (ver Figura 07) utilizando os softwares Calc (Linux) ou Excel (Windows).
GRÁFICO DA PRODUÇÃO DE CANA-DE-AÇÚCAR UTILIZANDO O NUTRIENTE K2O
0102030
40506070
0 50 100 150
dose do nutriente (kg/ha)
prod
ução
(ton
/ha)
P
Figura 07: Gráfico da função P(d)
Hipóteses da solução
Partindo da observação do gráfico, os alunos juntamente com o
professor farão o levantamento das hipóteses. Podemos perceber que a
representação no plano cartesiano, sinaliza para uma Função do 2º grau. Partindo
desta hipótese, vamos buscar o modelo matemático adequado que pode responder
ao problema ajustando os dados a função:
Para encontrar uma Função de 2º grau são necessários três pontos.
Estes pontos são:
P1 = (0, 42) P2 = (70; 55,59) P3 = ( 140; 60,39)
Esta escolha nos permite encontrar uma função do tipo:
f(x) = ax2 + bx + c
23
Observando a representação gráfica percebemos que o parâmetro a
deve ser negativo, pois a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
A partir destes dados devemos ter:
f(0) = 42
f(70) = 55,59
f(140) = 60,39
O que nos leva a um sistema linear. Este sistema será montado e
resolvido pelos alunos juntamente com o professor fazendo uso da calculadora.
=++=++
=++
4,6014019600
6,55704900
4200
cba
cba
cba
A solução deste sistema é:
a = - 0,000898 b = 0,2571 c = 42,0
O que resulta na função:
f(x) = - 0,000898x2 + 0,2571x + 42,0
Fazendo uso do software Geogebra, vamos construir o gráfico da
função (ver Figura 08).
Figura 08: Gráfico da função P(d)
24
Analisando a produção máxima:
Encontrando o ponto de máximo da função, ou seja, o vértice da
parábola, obtemos o valor máximo da produção de cana-de-açúcar, assim como a
quantidade de K2O que dará essa produção máxima.
a
bxv 2
−= a
yv 4
∆−=
16,143≅vx 4,60=vy
Calculado o vértice da parábola, verificamos que a quantidade de
K2O que dará a máxima produção de cana-de-açúcar é de aproximadamente 143,16
kg/ha e que esta produção máxima será de 60,4 ton/ha.
O terceiro problema nos leva a discussão de fatores econômicos, ou
seja, qual a quantidade de nutriente economicamente aconselhável para o produtor?
Primeiramente, vamos calcular a receita bruta, que representa o
ganho total, para em seguida retirada às despesas, verificarmos a quantidade de
nutriente aconselhável a produção.
Para calcularmos a receita bruta (R), vamos chamar:
y = f(x) a produção de cana-de-açúcar;
w = o preço da tonelada do produto.
Então a receita bruta será dada por:
R = w . y
Para calcularmos as despesas, temos:
m = a parte fixa;
t = o custo de 1 kg de nutriente;
x = a quantidade de nutriente;
A receita líquida (z) é dada pela receita bruta menos as despesas,
ou seja,
z = wy – m – tx
25
Como vimos anteriormente, a função que representa a produção de
cana-de-açúcar é dada por:
f(x) = y = - 0,000898x2 + 0,2571x + 42
Temos:
z = w(- 0,000898x2 + 0,2571x + 42) – m – tx , para o cálculo da
receita líquida.
Onde,
w = preço da cana-de-açúcar: R$ 43,64/ ton
t = preço do nutriente: R$ 1,45/ kg de nutriente (óxido de potássio)
x = é a quantidade de nutriente
Logo,
z = - 0,0391887x2 + 9,769844x + [1832,88 – m]
Observamos que, trata-se de uma função de 2º grau (gráfico na
figura 09) e que a quantidade de nutriente que maximiza a receita é a coordenada x
do vértice da parábola, podemos escrever:
xv = a
b
2−
ou seja,
xv = 124,6634 kg/ha
Portanto, percebemos que a quantidade de nutriente que maximiza a
receita (124,6634 kg/ha), não é a mesma que maximiza a produção (143,16 kg/ha).
Considerando que o interesse do produtor é otimizar a receita, e que a quantidade
de adubo que maximiza a receita é inferior àquela que maximiza a produção, o
produtor deve usar 124,6634 kg/ha de adubo.
26
0
10
20
30
40
50
60
70
0 50 100 150 200 250 300
Dose de nutriente (Kg/ha)
Pro
duçã
o de
can
a-de
-açú
car
(ton/
ha)
Figura 09: Gráfico da função P(d)
27
REFERÊNCIAS ALMEIDA. Lourdes Maria Werle de; DIAS. Michele Regiane. Um estudo sobre o uso de Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem. BOLEMA, ano12, nº 22, p.19-35.2004. ___________. Lourdes Maria Werle de; DIAS, Michele Regiane. Modelagem Matemática em cursos de formação de professores. In: Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisa e práticas educacionais; Org: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. L. Recife, SBEM, p.253-268,2007. BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Veritati , n.4, p.73-80, 2004. BASSANEZI, Rodney Carlos. Ensino-aprendizagem com Modelagem Matemática: uma nova estratégia . São Paulo: Editora Contexto, 2009 BRITO, Dirceu dos Santos. Atribuição de Sentido e construção de significado em, situações de Modelagem Matemática . Dissertação de Mestrado. UEL, 2004. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática. Curitiba: SEED, 2009. SORIANI, S.A. A Modelagem Matemática como alternativa pedagógica para o ensino das funções . Londrina,2009. Monografia de Especialização em Modelagem matemática, Universidade Estadual de Londrina. SOUZA, Ana Paula. Mercado de locadoras de filmes cai pela metade. Folha de São Paulo. Disponível em:< http://www.papokult.jex.com.br >. Acesso em 30 maio 2010 FIGUEIREDO, Rafael. Produção de cana-de-açúcar . Disponível em: < http://www.webartigos.com/articles/20320/1/PRODUCAO-DE-CA... >. Acesso em 19 maio 2010. BOMBONATTI, Pedro. Pesquisa demonstra situação atual de telefonia celu lar no Brasil . Disponível em: <http://professordigital.wordpress.com/2010/01/13uso-pedagogico-d >. Acesso em 26 maio 2010. GALO, Bruno; CABRAL, Rafael. As locadoras de filmes perdem espaço para a Internet. O Estado de São Paulo. Disponível em: < http://www.scribd.com/doc/19281194/ >. Acesso em:30 maio 2010. Sites consultados: < http://www2.dbd.puc-rio.br/pergamum/tesesabertas/0310214_05_cap_02.pdf > Acesso em 01 jun. 2010. < http://www.mobolipedia.com.br/noticias/pesquisa-demonstração-situacao > Acesso em 25 maio 2010.
28
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