O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

2009

Produção Didático-Pedagógica

Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CENTRO-OESTE – UNICENTRO-GUARAPUAVA

PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

PRODUÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO PEDAGÓGICO

UNIDADE DIDÁTICA

DADOS DE IDENTIFICAÇÃO

Professor PDE: Angelita Dombrowski

Área PDE: Matemática

NRE: União da Vitória

Professora Orientadora - IES: Michele Regiane Dias Veronez - FAFIUV

IES vinculada: UNICENTRO

Escola de Implementação: Colégio Estadual Adiles Bordin

Público objeto da intervenção: 3ª série do Ensino Médio.

TEMA DE ESTUDO

Matemática Financeira

TÍTULO

Matemática Financeira: reconhecendo sua importância no cotidiano.

1

Introdução

O ensino de Matemática nos últimos anos tem alcançado avanços significativos

principalmente quanto a utilização de novas metodologias por professores que buscam

alternativas para solucionar desafios encontrados em sala de aula.

Quando aplicadas, essas metodologias de ensino podem contribuir na melhoria e na

concretização da aprendizagem, oportunizando a alunos e professores, momentos

diferenciados para interagir, compartilhar e participar de um processo educativo mais

dinâmico e atrativo. Assim, a Matemática passa a ser compreendida como uma ciência viva

e de fundamental importância na resolução de problemas reais.

Nesse contexto, acredita-se que a Matemática Financeira é capaz de estimular o

interesse e a curiosidade dos alunos na realização de atividades elaboradas pelo professor

por abordar conteúdos de fácil contextualização.

Este trabalho tem como proposta discutir e aprimorar alguns conteúdos básicos da

Matemática Financeira na 3ª série do Ensino Médio. Dentre a grande variedade de

conteúdos, foram escolhidos os seguintes: sistema monetário, porcentagem e noção de

descontos, juros simples e compostos, valor atual e orçamento familiar.

Para isso, se buscará na Resolução de Problemas, na História da Matemática e nas

ferramentas tecnológicas, como a calculadora, o computador e a tv pendrive, alternativas

de atividades diferenciadas que favoreçam a aprendizagem. D’Ambrosio (2009, p.32)

afirma que “O grande desafio é desenvolver um programa dinâmico, apresentando a

ciência de hoje relacionada a problemas de hoje e ao interesse dos alunos.” É com base

nessa perspectiva que esperamos um bom desenvolvimento do que está sendo proposto

neste material didático e que a cada aula o professor possa refletir sobre a sua prática

pedagógica e se achar necessário, fazer adaptações conforme sua realidade escolar.

2

1 - Sistema monetário.

Cada país é responsável, juntamente com o seu Banco Central, por controlar e

garantir a emissão de sua moeda em vigência. O conjunto formado por cédulas e moedas

metálicas, regulamentados por lei e utilizadas por um país recebe a denominação de

sistema monetário.

Atualmente, o sistema monetário se apresenta de forma organizada e eficiente, mas

nem sempre foi assim. Durante séculos, passou por muitas transformações e adaptações.

Para entender o processo evolutivo do sistema monetário é preciso recorrer aos

fatos históricos e reconhecer a contribuição e importância que nossos antepassados tiveram

nessa construção, que hoje, nos permite viver em uma sociedade mais organizada

economicamente.

1.1 - Um pouco de história

Por meio da evolução pode-se perceber que nossos ancestrais se depararam com

várias situações desafiadoras, tiveram que aprender a se comunicar e resolver problemas

como forma de garantir a sobrevivência. Essas necessidades foram intensificadas desde o

momento em que deixaram de ser nômades e passaram a viver em comunidade.

Uma das grandes preocupações que tiveram que superar, era aquela voltada ao

consumo. Como era impossível um indivíduo produzir tudo o que necessitava, surgiu então

o comércio primitivo, denominado escambo ou troca direta. Se realizava a princípio, com a

troca de produto por produto e com as sobras do que se produzia .

Devido a certas dificuldades encontradas com a disponibilidade de tempo, validade

dos produtos, transporte e o crescimento do número de trocas a serem realizadas, as coisas

começaram a ficar mais complicadas, havendo a necessidade de um novo modelo que fosse

mais adequado. Substitui-se então, o sistema de troca direta pela moeda-mercadoria, que

variava muito conforme as características econômicas de cada povo e em relação ao espaço

e ao tempo. A moeda-mercadoria teria que ser estabelecida como uma riqueza e que fosse

de aceitação geral.

Foram muitas as tentativas feitas pelas antigas civilizações para se estabelecer as

moedas-mercadoria nos diversos países no decorrer da história. As que mais se destacaram

foram: o gado, o sal, o tabaco, as peles curtidas, o açúcar, os tecidos, os escravos.

Com referência ao Brasil, Braga (2006, p.5) cita que “no período colonial (1500-

3

1822) a primeira moeda-mercadoria que passou a valer como dinheiro foi o açúcar em

1614”. E Oliveira (2006, p.1-2) descreve que “No Brasil, entre outras, circularam o cauri –

trazido pelo escravo africano –, o pau-brasil, o açúcar, o cacau, o tabaco e o pano, trocado

no Maranhão, no século XVII.”

Com o surgimento do metal, no chamado período da proto-história, considerada

uma época de transição durante a pré-história, que coincidiu com a Idade dos Metais, a

tecnologia da pedra foi substituída pela tecnologia do metal. A partir daí, o ser humano dá

início a fabricação de armas, de instrumentos e utensílios metálicos. Com isso, as antigas

civilizações passaram a utilizar com mais frequência os metais e assim também os

instituíram como moedas-mercadoria.

A partir do momento em que ocorre a descoberta dos metais preciosos, estes

passaram a ter preferência como instrumentos monetários por apresentarem características

físicas e econômicas que preenchiam os requisitos essenciais da moeda.

Inicialmente a comercialização dos metais poderia ser feita em estado natural (in

natura), em barras ou objetos. No caso dos metais preciosos, ainda poderiam ser aceitos

para troca, em pó, pepitas, grãos ou palhetas, lâminas ou fios e em lingotes. Depois de

algum tempo, principalmente para facilitar seu transporte e manuseio, os metais foram

recebendo formas mais apropriadas para serem comercializados pelo ser humano,

começaram então, a surgir réplicas de objetos metálicos. No Oriente, por exemplo, podia-

se encontrar moedas na forma de faca e chave, já na Grécia e no Chipre, o talento, que

recebia o formato de pele de animal, feita de cobre ou bronze.

Com a forma mais definida, os lingotes receberam marcas que certificavam seu

peso e título proveniente de comerciantes, banqueiros, e mais tarde, de chefes de Estado e

acabou por gerar maior confiabilidade por parte da população, que se habituou a utilizá-los

sem a necessidade de sua avaliação ou pesagem.

Foi a partir da fabricação de lingotes em peças e de sua cunhagem por parte de

autoridades da época, que a nova ideia de moeda passa a se impor, se torna pública, com

aceitação obrigatória e toma nova forma física sendo cunhada nas duas faces. Segundo

Hugon (1967, p.23), a moeda passa ter “curso legal, isto é, os credores e os devedores são

obrigados a aceitá-la em pagamento de seus créditos e de suas mercadorias [...] um poder

liberatório: o devedor, ao entregá-lo ao seu credor, liberta-se de sua dívida”.

Dos lingotes de metais evoluiu-se para a cunhagem de moedas com forma circular -

4

mas também existiram, segundo o Banco Central do Brasil, moedas em forma oval,

quadrada, poligonal, entre outras, e já se apresentaram confeccionadas em madeira, couro e

porcelana - em uma de suas faces passou a ser impressa a figura do rosto de um soberano,

que poderia ser um governador, rei ou imperador. Princípio este, que perdura até os dias

atuais, pois em nossas moedas são encontradas impressas efígies, que são representações

real ou simbólica de personalidades que viveram há séculos. A primeira figura histórica a

ter sua efígie registrada numa moeda foi Alexandre, o Grande, da Macedônia, por volta do

ano 330 a. C”. No Brasil, a efígie do Imperador do Brasil, D. Pedro II foi a que mais

apareceu impressa nas moedas, pois durante seus 60 anos de reinado, foram nelas

registradas suas diferentes fases de vida.

Sobre a produção das primeiras moedas, consta que elas surgiram na Ásia Menor,

há pelo menos 2600 anos e foram os gregos que rapidamente adaptaram esta nova ideia e

passaram a produzir moedas semelhantes as atuais, entre elas, a dracma, de prata.

Com o aparecimento do cuproníquel e de outras ligas metálicas, os países de todo o

mundo passaram a adotar o valor nominal ou extrínseco da moeda, neste caso, o seu valor

passou a não corresponder mais ao metal utilizado e sim pelo valor gravado em sua face.

O surgimento da moeda papel está diretamente vinculado à evolução da moeda

metálica. Rossetti explica que com o crescente aumento do volume de moedas em

circulação na segunda metade do século XVIII e após a Revolução Industrial no século

XIX, houve um significativo aumento nas atividades econômicas sendo que o manejo das

moedas apresentava certos riscos e dificuldades no transporte, muitas vezes, por seu

excessivo volume. Esses incômodos acabaram por criar um novo instrumento monetário,

como um meio alternativo de pagamento, surgem as letras de câmbio ou os certificados de

depósitos de moedas metálicas, emitidos pelas casas de custódia – futuras casas bancárias –

ou pelas ourivesarias.

Evoluiu-se então, ao ponto em que esses certificados de depósitos perderam o

caráter nominativo e simplesmente passaram a circular como moeda nos pagamentos,

garantidos agora, por possuir o lastro metálico. Só mais tarde, os banqueiros

desempenharam essa função, sob a proteção da lei, quando surgiram os bilhetes de banco.

Esse novo sistema de pagamento passou a ser mais utilizado do que as próprias

moedas metálicas, devido sua grande aceitação, fato determinante que deu origem ao papel

moeda ou moeda fiduciária (do latim fiducia = confiança, fé), cujo valor nominal é

5

superior a seu valor intrínseco, não é lastreada e é emitida pelo Banco Central, passando a

ser desvinculada de quaisquer garantias metálicas.

Na economia atual, a moeda fiduciária é a que está em circulação, de curso forçado

e de poder liberatório, garantido por lei. A economia moderna é constituída pelo papel

moeda, as moedas metálicas e a moeda escritural ou bancária. Esta última, é denominada

pelo uso de depósitos bancários como formas de pagamentos, utilizados principalmente

para liquidar compromissos financeiros. Entre os mais utilizados estão os cheques, as

ordens de pagamentos, os cartões eletrônicos de crédito e débito, títulos de créditos,

transferências e boletos que contém código de barras. Esse tipo de moeda corresponde a

80% dos meios de pagamentos na sociedade moderna e a moeda manual aos outros 20%.

Independente de suas formas utilizadas na moderna economia, a moeda

desempenha funções relevantes como sendo intermediária de troca, medida de valor,

reserva de valor e padrão de pagamentos diferidos. Com base em suas funções, Hugon

(1967, p.26) define a moeda simplesmente “como o instrumento que facilita trocas e

permite conservar e antecipar os valores”.

A evolução das cédulas ocorreu de forma semelhante a da moeda. Com o tempo

recebeu melhoria em sua fabricação e no material utilizado, com a preocupação por parte

dos governos no controle de falsificações, conservação e garantindo o poder de pagamento.

Sobre o surgimento do papel moeda, D’Aquino (2008) esclarece que:As primeiras cédulas surgiram na China, no séc.VII , e eram confeccionadas com cascas de amoreira. Devido ao seu pouco peso era chamado de “dinheiro voador”. O uso do papel-moeda veio a se tornar popular na Europa e nos EUA apenas na segunda metade do século XIX.

< www.monitorinvestimentos.com.br/ >

Hoje, as cédulas são representadas em sua maioria, no formato retangular e suas

inscrições seguem o sentido horizontal, mas existem , as cédulas quadradas, com sentido

vertical, e podem se apresentar em diversos tamanhos. Segundo o Banco Central do Brasil,

nelas estão impressas as mais diversas formas culturais que representam um país, como

paisagens, tipos humanos, fauna e flora, monumentos de arquitetura antiga e

contemporânea, líderes políticos, cenas históricas, etc.

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1.2 - Atividades

O objetivo é resgatar por meio da história do sistema monetário os conhecimentos

necessários para compreender o surgimento da matemática financeira.

Para a realização dessas atividades, são sugeridos a utilização do laboratório de

informática para a consulta dos seguintes endereços eletrônicos:

a) No google acadêmico digite: GJMDEA BRAGA - clicar em [Doc] Recife/Pe. Obs.:

para encontrar o google acadêmico, clica no google o link que está em cima mais e depois

muito mais e por último em Acadêmico. É um artigo que possui fatos interessantes sobre

a história da moeda e da moeda no Brasil, encontrados nas páginas 4 a 8.

b) No google digite: cédulas e moedas do Brasil. Clique em Cédulas e Moedas - Banco

Central do Brasil, depois em Moedas e em 2ª família. Depois clique em Cédulas,

Cédulas do Real e Cédulas Comuns.

c) Clique em Educação e Cultura, depois em BC Jovem e clique em Moedas do Mundo.

Endereços que serão encontrados:

http://www.apjep.org.br/fotos/Artigo%20Cient%C3%ADfico%20Doc..doc

www.bcb.gov.br/htms/bcjovem/default.htm - clicar em moedas do mundo.

No mesmo endereço, clicando em “Pesquisa Escolar”, encontram-se vários textos

interessantes para leituras sobre cartões de crédito, cheques, cifrão, dinheiro no Brasil,

origem e evolução da moeda, entre outras. E para leitura com adolescentes sugere-se clicar

em Cadernos BC – Série Educativa, em “O que é o dinheiro”.

http://www.bcb.gov.br/?CEDCOMUM

http://www.bcb.gov.br/?MOEDAFAM2

1) Na antiguidade, a primeira moeda semelhante ao modelo que conhecemos surgiu em

que lugar, em que tempo e com que nome?

R: A primeira moeda semelhante ao modelo que conhecemos surgiu na Grécia, por volta do

século III antes de Cristo, com o nome de Dracma.

2) Como surgiu o símbolo cifrão que passou a ser reconhecido em todo o mundo?

R: No ano de 71 da era cristã, Táriq (general Djebel-el-Táriq) mandou gravar, em moedas,

uma linha sinuosa, em forma de "S", representando o longo e tortuoso caminho percorrido

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por conta das incursões muçulmanas levadas ao continente europeu. Ao cortar essa linha

sinuosa mandou colocar, no sentido vertical, duas colunas paralelas, representando as

Colunas de Hércules, com o significado de força, poder, perseverança. O símbolo assim

gravado nas moedas - $ - passou a ser reconhecido, em todo o mundo, ao longo do tempo,

como cifrão, representação gráfica do dinheiro.

3) Do Período Colonial (1500 – 1822), escreva sobre:

a) O primeiro “dinheiro” brasileiro.

R: O primeiro “dinheiro” a circular no Brasil foi a “moeda-mercadoria”.

b) A primeira “moeda” brasileira.

R: A primeira "moeda" brasileira de fato foi o açúcar.

c) As primeiras moedas metálicas: do que eram feitas e quem as trouxe ao nosso país.

R: As primeiras moedas metálicas - de ouro, prata e cobre - chegaram com o início da

colonização portuguesa.

4) Sabe-se que o Brasil passou por vários planos econômicos. Escreva o nome de todas as

moedas adotadas pelo Brasil e seus respectivos símbolos.

R: REAL – R, MIL RÉIS – Rs, CRUZEIRO - Cr$, CRUZEIRO NOVO - NCr$, retorno do

CRUZEIRO - Cr$, CRUZADO - Cz$, CRUZADO NOVO - NCz$, novamente retorno do

CRUZEIRO - Cr$ e atualmente o REAL - R$.

5) Que relação histórica é possível observar na cunhagem das moedas e na fabricação das

cédulas brasileiras atuais?

Resposta individual.

6) Descubra o nome da moeda atualmente utilizada pelos seguintes países:

a) Na América do Sul

Peru: Novo Sol

Paraguai: Guarani

b) Na América do Norte

México: Peso

d) Na Ásia

Japão: Iene

Arábia Saudita: Rial

e) Na África

Líbia: Dinar

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Estados Unidos: Dólar dos EUA

c) Na Oceania

Austrália: Dólar Australiano

Papua Nova Guiné: Kina

Egito: Libra

f) Na Europa

Alemanha: Euro

Noruega: Coroa Norue

2 - Porcentagem e Noção de Desconto.

Sugestão de vídeos.

Na página do Portal Dia-a-dia Educação:

• Matemática Financeira I – Porcentagem. Encontrado em:

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=14472

• Matemática Financeira II – Porcentagem e descontos. Encontrado em:

http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/modules/debaser/singlefile.php?id=14474

Discussão inicial:

É sugerido o seguinte problema encontrado em Carvalho e Reis (2006, p.241):

O preço à vista de uma máquina de lavar roupas é de R$ 800,00. Se for feito um

plano em 10 prestações, cada prestação será de R$ 96,00. Com base nisso, responda:

a) Quanto se pagará se a máquina for comprada em 10 vezes?

Resolução: 96 × 10 = 960.

R: Se for comprada em 10 vezes se pagará R$ 960,00.

b) Qual a diferença entre o preço em 10 vezes e o preço à vista?

Resolução: 960 – 800 = 160

R: A diferença será de R$ 160,00. (Neste momento, se poderá questionar sobre o que

seriam os 160 reais, adiantando o conceito de juros).

c) Uma pessoa que comprar a máquina em 10 vezes estará pagando que percentual a mais

que o preço à vista? (Em outras palavras, essa diferença corresponde a que percentual do

preço à vista?).

Resolução: 160 ÷ 800 = 0,2 × 100 = 20

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R: Estará pagando 20% a mais.

Questionamentos

- Das questões a, b e c, qual você consegue resolver?

- Caso for preciso, faça uma revisão sobre o tema porcentagem.

- O que seriam os descontos?

- Nesse momento é bom relembrar como se calcula porcentagem na calculadora.

Exemplo:

Quanto é 25% de 400?

Digita-se: 400

Aperta-se a tecla de multiplicação: ×

Digita-se: 25

Aperta-se a tecla de porcentagem: %

O resultado, como pode ser visto, é 100.

2.1 - Atividades:

1) Com panfletos de ofertas locais, escolha 5 mercadorias e faça os cálculos referentes às

questões a, b e c do problema inicial (fazer uma análise das ofertas).

R: Atividade individual.

2) Leia o texto a seguir encontrado em Giovanni e Parente (2002, p.245) e depois faça o

que se pede:

A Mata Atlântica

A Mata Atlântica é considerada a floresta mais diversificada do planeta, com mais

de 25 000 espécies de plantas. Em sua vegetação rica e densa, destacam-se imensas

árvores, algumas com mais de 30 metros de altura.

À época da descoberta do Brasil, a Mata Atlântica recobria, praticamente, toda a

faixa litorânea, desde Santa Catarina até o Rio Grande do Norte. Hoje, restrita quase que

exclusivamente às vertentes da Serra do Mar, restam apenas pouco mais de 96 000 Km²

dos 1 200 000 Km² de área que esta floresta cobria originalmente.

Estima-se que a devastação da Mata Atlântica tem sido o equivalente a um campo

de futebol a cada quatro minutos. Com isso, alguns dos principais exemplares de sua fauna

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estão ameaçados de extinção, como a onça-pintada, o tamanduá e o mico-leão-dourado,

dentre muitos outros.

Com base nos dados do texto, responda: quantos por cento ainda restam da área

originalmente coberta pela Mata Atlântica?

Resolução:

96 000 ÷ 1 200 000 = 0,008 × 100 = 8%

R: Ainda restam 8% da área originalmente coberta pela Mata Atlântica.

3) Num determinado país, o imposto de renda (IR) é descontado dos salários mensais da

seguinte forma:

• Para salários até $ 1 000,00 o IR é zero.

• A parte do salário entre $ 1 000,00 e $ 3 000,00 é tributada em 10%.

• A parte do salário que excede $ 3 000,00 é tributada em 20%.

Calcule o valor do imposto de renda de quem ganha:

a) $ 800,00;

b) $ 1 800,00;

c) $ 4 500,00; (Iezzi, Hazzan e Degenszajn, 2008, p.17)

Assim temos:

a) O IR vale 0, pois o salário é inferior a $ 1 000,00.

b) O IR é calculado sobre $ 800,00, que é a parte do salário entre $ 1 000,00 e $ 3 000,00.

Portanto, IR = (0,10) . 800,00 = 80,00.

c) A parte do salário entre $ 1 000,00 e $ 3 000,00 e que vale $ 2 000,00 é tributada em

10% e vale portanto:

(0,10) . 2 000,00 = 200,00.

A parte do salário que excede a $ 3 000,00 e que vale $ 1 500,00 é tributada em 20% e vale

portanto

(0,20) . 1 500,00 = 300,00.

Assim, o IR de quem ganha $ 4 500,00 vale

$ 200,00 + $ 300,00 = $ 500,00.

Sugestão: verificar a tabela brasileira do IR. Encontrado em:

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http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ContribFont.htm

3 - Juros simples e juros compostos

Enfim, existem várias situações em que as pessoas podem se envolver com o

pagamento de juros, como empréstimos, prestações, financiamentos, entre outros. A noção

de juro decorre do fato de que a maioria das pessoas prefere consumir seus bens no

presente e não no futuro, com isso estão associadas ao juro, à preferência temporal dessas

pessoas, que é o desejo de efetuar o consumo o mais cedo possível. Marques Filho (2000,

p.7) define que “Juro é uma quantia que se paga por um capital emprestado por um

determinado período”.

Há dois regimes diferenciados para o cálculo de juros e de suas taxas na

Matemática Financeira. O primeiro refere-se aos juros simples, que na prática é um sistema

aplicado em certos pagamentos cujo atraso é de apenas alguns dias. Neste caso, os juros

incidem sempre sobre o capital inicial. Já o regime de juros compostos, é usado por

empresas, órgãos governamentais, investidores, é o mais empregado na economia. Sobre os

juros compostos, Smole e Diniz (2005, p.15) definem que “Nesse regime, após cada

período, os juros são incorporados ao capital inicial, passando a render sobre o novo total.

Dessa forma, os cálculos são efetuados como juros sobre juros”.

Discussão inicial

Mariana pediu R$ 800,00 emprestados a Vinícius para pagar depois de 3 meses, à

taxa de 5% ao mês. Quanto Mariana deverá pagar ao fim desse tempo? (adaptado de

Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr. 2002, p.208)

Questionamentos

Como pode ser resolvido este problema? Quais as sugestões?

A seguir construímos uma tabela para entender melhor o que acontece e com isso

deduzimos a fórmula de juros simples e a do montante. Lembrando que a taxa e o tempo

devem estar sempre na mesma unidade.

Período Capital inicial Juros no período Montante a ser pago

1º mês 800,00 0,05 . 800,00 = 40 M1 = 800 + 40 = 840

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2º mês 800,00 2 . 40 = 80 M2 = 800 + 80 = 880

3º mês 800,00 3 . 40 = 120 M3 = 800 + 120 = 920

J = 800 . 0,05 . t M = 800 + 800 . 0,05 . t

Fórmulas J = C . i . t M = C + J

Para comprovar os resultados, aplique os mesmos dados do problema e substitua

nas fórmulas apresentadas.

Resolução

5% = 5100 = 0,05

J = C.i.t M = C + J

J = 800 . 0,05 . 3 M = 800 + 120

J = 120 M = 920

R: Mariana deverá pagar para Vinícius R$ 920,00.

3.1 - Resolvendo a mesma atividade no Calc.

Obs:

1 - Para o sinal de multiplicação é usado no Calc o asterisco (*).

2 - Para achar o resultado correto, sempre inicia-se com o sinal de igual (=).

Onde está o cursor dê um enter e surgirá a resposta:

13

Para achar o Montante:

Dê um enter:

14

Retomando o mesmo problema da discussão inicial, o que aconteceria se, após cada

período, os juros fossem incorporados ao capital inicial?

Período Capital inicial Juros no período Montante a ser pago

1º mês 800,00 5% . 800,00 = 40 M1 = 800 + 40 = 840

2º mês 840,00 5% . 840,00 = 42 M2 = 840 + 42 = 882

3º mês 882,00 5% . 882,00 = 44,10 M3 = 882 + 44,10 = 926,10

Para dedução de fórmulas:

Tempo Dívida no início Juro do mês Dívida no fim do mês

(mês) do mês (em R$) (montante)

1 C i .C M1 = C + i .C = C(1 + i)

2 M1 i . M1 M2 = M1 + i . M1 = M1(1 + i) =

= C(1 + i) (1 + i) = C(1 + i)²

3 M2 i . M2 M3 = M2 + i . M2 = M2(1 + i)²(1 + i) =

= C( 1 + i)² (1 + i) = C(1 + i)³

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Com essa tabela, percebemos que o cálculo do montante, mês a mês, forma uma

progressão geométrica de razão (1 + i). Dessa forma, para um tempo t, o cálculo do

montante será dado por:

M = C(1 + i)t

Onde C é o capital inicial, i é a taxa e t é o tempo de aplicação do capital.

Assim, para se calcular os juros compostos utiliza-se a fórmula: J = M – C.

Sugestão de vídeo:

• Juros abusivos. Juros dos bancos e a miséria do povo. Encontrado em:

http://www.youtube.com/watch?v=a-gj9tzftBg

Esse vídeo é um pouco antigo (setembro de 2001), mas se destaca por apresentar

fatos reais e a necessidade de se estudar o tema juros. Tem aproximadamente 6 min.

3.2 - Atividades:

1) Neide tomou um empréstimo de R$ 2 000,00 em uma financeira e se comprometeu a

pagar após 6 meses. A taxa de juros combinada foi de 8% ao mês. No final do prazo,

porém, ocorreu um problema: o valor calculado por Neide não coincidia com aquele

cobrado pela financeira. Vejamos como cada um, Neide e o gerente, calculou o valor a ser

pago:

Cálculo de Neide Cálculo do gerente

Em um mês: 8% 1º mês:

Em seis meses: 6 . 8% = 48% 2 000 + 0,08 . 2 000 = 2 000 + 160 = 2 160

2 000 mais 48% de 2 000 = 2º mês:

= 2 000 + 0,48 . 2 000 = 2 160 + 0,08 . 2 160 = 2 332,80

= 2 000 + 960 = 2 960 3º mês:

2 332,80 + 0,08 . 2 332,80 = 2 519,42

4º mês:

2 519,42 + 0,08 . 2 519,42 = 2 720,97

5º mês:

2 720,97 + 0,08 . 2 720,97 = 2 938,65

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6º mês:

2 938,65 + 0,08 . 2 938,65 = 3 173,74

Total a pagar: R$ 2 960,00 Total a pagar: R$ 3 173,74

Faça uma análise dos dados: quem está com a razão? Por que essa confusão

aconteceu?

Para descobrir quem está certo é preciso analisar qual foi o critério usado nos

cálculos de cada um.

Quando um capital é aplicado ou emprestado a uma determinada taxa, o montante

pode crescer segundo dois diferentes critérios ou regimes: de capitalização simples ou de

capitalização composta. Esses dois sistemas também são conhecidos como juros simples,

no primeiro caso, e juros compostos, no segundo.

Observa-se que na tabela, Neide fez os cálculos com base no sistema de juros

simples e o gerente da financeira, com base no sistema de juros compostos. Esse foi o

motivo da confusão.

Para evitar esse tipo de confusão, sempre é preciso esclarecer durante as

negociações que tipo de regime de juros vai ser utilizado. (Smole e Diniz, 2005, p.8)

2) Luís aplicou R$ 2 500,00 à taxa de 2% ao mês, durante 5 meses.

a) quanto receberá de juros se o regime da aplicação for de juros simples?

b) quanto receberá de juros se o regime da aplicação for de juros compostos?

c) em cada caso, que montante ele terá ao fim de cada uma das aplicações? (Smole e Diniz.

2005, p.19)

Resolução

a) J = C . i . t

J = 2 500 . 0,20 . 5

J = 250

R: Luís receberá R$ 250,00 de juros.

b) Para calcular os juros, precisamos primeiro fazer o cálculo do montante que será

recebido após a aplicação:

M = C(1 + i)t

M = 2 500(1 + 0,02)5

17

M = 2 500 . 1,025

M = 2 500 . 1,1040807

M = 2 760,20

O juro será obtido se fizermos:

J = M – C

J = 2 760,20 – 2 500

J = 260,20

R: Dessa forma, em regime de juros compostos, Luís receberá R$ 260,20.

Resolvendo a questão b) no Calc:

Para achar o montante, digita-se os dados conforme o modelo e para obter o

resultado usa-se o asterisco para representar a multiplicação e o acento circunflexo para a

potência.

Dê um enter:

18

Para calcular os juros:

Dê novamente um enter:

c) No caso dos juros simples o montante será:

M = C + J

M = 2 500 + 250 = 2 750

No caso dos juros compostos, teremos:

M = 2 500 + 260,20 = 2 760,20.

R: O montante dos juros simples será de R$ 2 750,00 e o dos juros compostos de

19

R$ 2 760,20.

3) Andréa deseja aplicar R$ 18 000,00 a juros compostos de 0,5% ao mês. Que montante

ela terá após 1 ano de aplicação? (Smole e Diniz. 2005, p.19)

Resolução

1 ano = 12 meses

i = 0,5% = 0,005

M = C (1 + i)t

M = 18 000 . (1 + 0,005)12

M = 18 000 . 1,00512

Como utilizar a calculadora:

a) Simples

1 . 005, depois a tecla X e em seguida digitar 11 vezes a tecla =

b) Científica

1 . 005 yx 12 = ou 1 . 005 shift xy 12 =

M = 18 000 . 1, 062

M = 19 116

R: Andréa terá, após um ano de aplicação, R$ 19 116,00.

Sugestão de atividade:

Uma atividade interessante para ser realizada é a Trilha da Economia do

Laboratório Virtual de Matemática, desenvolvido pela Unijuí. Encontrado em:

http://www.projetos.unijui.edu.br/matematica/fabrica_virtual/Jogo_matematica_financeira/

objeto/index.html.

4 - Valor Atual

Um título possui um valor nominal, que corresponde ao seu valor na data do

vencimento. Quando o devedor paga o título antes do vencimento é normal que se conceda

um abatimento. Este valor, menor que o valor nominal, é chamado valor atual, valor

presente ou ainda valor descontado.

20

Segundo Marques Filho (2000, p.14) alguns exemplos desses títulos são:

• Nota Promissória: representa uma promessa de pagamento. É muito usado entre

pessoas físicas ou pessoas físicas e bancos.

• Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra o seu cliente (pessoa

física ou jurídica).

• Letra de câmbio: é um título ao portador, emitido exclusivamente por uma

instituição financeira.

O valor atual pode ser calculado em qualquer data anterior à do vencimento.

Constata-se que este cálculo é apenas uma operação inversa à do cálculo do montante.

Discussão inicial

É proposto o seguinte problema, encontrado na Revista Carta na Escola (2007,

p.33-34):

Pedro tem duas opções de pagamento na compra de um DVD:

1) três prestações iguais a R$ 100,00, sendo a primeira no ato da compra;

2) quatro prestações iguais a R$ 80,00, com entrada.

Para as duas opções a loja já cobra uma taxa de juros de 20% ao mês. Qual das

opções ele deve preferir?

Durante o debate, uma sugestão muito comum que aparece é somar os valores em cada

opção e decidir pela menor:

1ª opção: 3 x 100 = 300,00

2ª opção: 4 x 80 = R$ 320,00

Dessa forma, a opção preferida seria a primeira. Certo?

Errado! Eles caíram na ilusão da medida. Faltam elementos a serem considerados.

Comete-se aqui um erro que é o de somar valores referentes a épocas diferentes. Para se

decidir sobre opções de pagamento numa mesma época, num mesmo período.

Primeiro faremos o diagrama de pagamento em cada caso:

100 100 100

↑ ↑ ↑

0 1 2

21

80 80 80 80

↑ ↑ ↑ ↑

0 1 2 3

Vejamos o valor das opções no tempo zero, isto é, como se estivéssemos buscando

o valor à vista do produto. Aplicando a fórmula do valor presente ou atual que provém da

fórmula do montante: M = C . (1 + i)n para cada prestação, temos a seguinte expressão:

V1 é o valor do DVD na data 0 na opção 1

V1 = 100 + 10010,2

+ 10010,22

= 100 + 83,33 + 69,44 = R$ 252,77

V2 é o valor do DVD na data 0 na opção 2

V2 = 80 + 8010,2

+ 8010,22 + 80

10,23 = 80 + 66,67 + 55,56 + 46,30

V2 = R$ 248,53

Conclusão: a melhor opção é a segunda, para o espanto de alguns.

4.1 - Atividade:

Um comerciante vende uma geladeira, cujo preço à vista é R$ 900,00, em 3

prestações mensais iguais e consecutivas. Sabendo que a primeira prestação é paga um mês

após a compra e que o juro composto é de 3% ao mês, calcule o valor das prestações.

(Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr. 2002, p.215)

Resolução

R$ 900,00(plano à vista) P1 = x P2 = x P3 = x

↑ ↑ ↑ ↑ meses

0 1 2 3

VP = VF

1i n

22

900 =P1

1i + P2

1i 2 + P3

1i 3

900 =x

10,03 + x

10,032+

x10,033

900 = x1,03 +

x1,032 +

x1,033

mmc( 1,03; 1,032 ; 1,033) = 1,033

900 . 1,033 = 1,032x + 1,03x +x

900 . 1,092727 = 1,061x + 1,03x + x

983,4543 = 3,091x

x = 318,17

R: O valor de cada prestação é de R$ 318,17.

4.2 – Resolvendo a mesma atividade no Calc

Primeiramente clique em f(x):

Aparecerá a seguinte tela:

23

Na Categoria, clique em Financeiras e na Função clique em PGTO.

Clique ainda em Próximo e complete conforme os dados do problema:

Taxa = 3% NPER = 3 meses VP = 900 reais Tipo = 0 (não se paga com

entrada, caso contrário, é igual a 1).

Agora é só observar o Resultado que é o valor de cada prestação: R$ 318,18.

Devido ao número de casas decimais utilizadas, houve o acréscimo de 1 centavo ao

resultado.

5 - Orçamento familiar

Como forma de controlar melhor o dinheiro é preciso ter clareza dos objetivos que

se quer atingir, disciplina e organização. Essa organização pode ser realizada por meio de

planilhas, que pode ser manual ou eletrônica.

Sugestão de vídeos:

• Vídeo sobre: Orçamento familiar. Economize em suas compras.

http://www.youtube.com/watch?v=gfMThXUH93w

• Vídeo sobre: Orçamento familiar 2009

http://www.youtube.com/watch?v=3lbWI-3Ub5Y

24

Sugestão de planilha sobre orçamento.

http://claudia.abril.com.br/carreira_e_trabalho/planilha_orcamento.xls

ou digitar no google: Planilha orçamento familiar Elaine Toledo.

Salvar a planilha no compartilhamento público dos computadores no laboratório de

informática. Assim, é possível copiar e salvar na pasta pessoal, preencher e observar o

resultado da análise gráfica. Para isso, se faz necessário o preenchimento antecipado em

xérox, de no mínimo, um mês.

25

6 - Referências

BRASIL. Banco Central do Brasil. Origem e evolução do dinheiro.

Site:http://www.bcb.gov.br/?ORIGEMOEDA. Consultado em 01/11/2009.

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Uma Nova Abordagem. Ensino Médio. Volume Único. SP. FTD. 2002.

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IDENTIDADETV. Orçamento Familiar. Economize em suas compras. 2009. 1min.

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