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O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Produção Didático-Pedagógica
Versão Online ISBN 978-85-8015-053-7Cadernos PDE
VOLU
ME I
I
GOVERNO DO ESTADO DO PARANÁSECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO
SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO
EDUCACIONAL – PDE
MARIA IZABEL DE SOUZA FRISON
O TEOREMA DE PITÁGORAS CONTEXTUALIZADO HISTORICAMENTE
ALTO PIQUIRI2010
MARIA IZABEL DE SOUZA FRISON
O TEOREMA DE PITÁGORAS CONTEXTUALIZADO HISTORICAMENTE
Material didático (Unidade Didática) para Intervenção Pedagógica na Escola, apresentado à Secretaria Estadual de Educação do Estado do Paraná, como requisito parcial à obtenção do título de professor PDE, sob a responsabilidade da Universidade Estadual de Maringá, tendo como orientador o Prof. Dr. Marcos Roberto Teixeira Primo.
ALTO PIQUIRI2010
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 3
2 O TEOREMA DE PITÁGORAS ........................................................................................ 5
2.1 NÚMEROS PITAGÓRICOS ….................................................................................... 8
2.2 DEMOSNTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS …..................................... 9
2.2.1 DEMONSTRAÇÃO DE EUCLIDES .................................................................. 9
2.2.2 DEMONSTRAÇÃO DE PITÁGORAS ............................................................ 12
2.2.3 DEMONSTRAÇÃO DE LEONARDO DA VINCE …................................... 13
2.2.4 O QUADRADO CHINÊS ................................................................................... 14
2.2.5 DEMONSTRAÇÃO DE BHASKARA ….......................................................... 15
3 ATIVIDADES …................................................................................................................. 17
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS….......................................................................... 31
1 INTRODUÇÃO
Novos caminhos têm sido procurados pelos educadores matemáticos no sentido de
melhorar a forma de como os conteúdos são trabalhados no processo ensino-aprendizagem,
objetivando tornar esse processo algo relevante na transformação do indivíduo e da sociedade.
Tornar o conteúdo matemático mais significativo é, para o professor, um desafio
proporcional ao grau de abstração do conteúdo abordado.
Esta Unidade didática apresenta o uso de uma abordagem histórica e
investigatória no Ensino do Teorema de Pitágoras como alternativa pedagógica para a
concretização de um ensino matemático significativo. Centra-se no resgate de situações
problematizadoras que levem os estudantes à construção de sua aprendizagem através de
informações históricas que envolvam essas situações.
De acordo com Mendes, Fossa e Valdés (2008, p. 26), “O enfoque histórico é uma
proposta metodológica que atua como motivação para o aluno, já que através dele descobrirá
a gênese dos conceitos e métodos que aprenderá na sala de aula. Em outras palavras, permitirá
deixar patente a origem das idéias matemáticas”.
Conforme as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná (2008, p. 66), “A
abordagem histórica deve vincular as descobertas matemáticas aos fatos sociais e políticos, às
circunstâncias históricas e às correntes filosóficas que determinaram o pensamento e
influenciaram o avanço científico de cada época. A história da matemática é um elemento
orientador na elaboração de atividades, na criação de situações-problema, na busca de
referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e
discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos”.
Espera-se com este texto, apresentar uma alternativa para o processo ensino-
aprendizagem do Teorema de Pitágoras, utilizando como ferramenta didática o
desenvolvimento histórico deste conteúdo, através da exploração da contextualização
histórica e das situações que são apresentadas nestes textos, e assim contribuir para a
superação das dificuldades no aprendizado desse conteúdo, proporcionando melhores
resultados no processo ensino-aprendizagem. Mais especificamente, pretende-se, desta
maneira, utilizar a História da Matemática como uma metodologia potencializadora no ensino
do Teorema de Pitágoras, tornando o processo ensino-aprendizagem algo mais palpável,
tornando o estudante parte integrante do processo, de maneira que ele sinta prazer em
3
assimilar este conteúdo. A idéia é que o estudante não encare o Teorema de Pitágoras como
mais uma fórmula a ser decorada e aplicada em alguns exercícios.
Pretende-se com as atividades propostas nesta Unidade Didática que o estudante
possa formular o Teorema de Pitágoras a partir de informações históricas sobre sua
construção, bem como demonstrar o referido teorema por meio de alguns recursos existentes
na geometria. Desta forma, acredita-se que será possível que ele interprete o Teorema de
Pitágoras e suas aplicações, construindo conceitos que, historicamente, são considerados
entraves no processo de ensino-aprendizagem da disciplina de Matemática.
4
2 O TEOREMA DE PITÁGORAS
Pitágoras, ao que se sabe, nasceu por volta de 572 a.C. na ilha de Samos, no Mar
Egeu e passou parte de sua vida no porto de Crotona, uma colônia grega situada no sul da
Itália. Conforme Eves (2004, p. 97) “é possível que Pitágoras tenha sido discípulo de Tales,
pois era cinquenta anos mais novo do que este e morava perto de Mileto, onde vivia Tales”.
Mas segundo Boyer (1991, p. 33), “embora alguns relatos afirmem que Pitágoras foi discípulo
de Tales, isto é improvável dada a diferença de meio século entre suas idades”. Da sua
trajetória, pouco se sabe. Ele e seus discípulos, chamados de pitagóricos, não deixaram
nenhum trabalho escrito. Por isso não se pode determinar o que era do próprio Pitágoras e o
que foi criado por seus discípulos, uma vez que toda a irmandade pitagórica assinava seus
manuscritos com um pentagrama1. Ainda segundo Boyer (1991, p. 33), “Conhecimento e
propriedade eram comuns, por isso a atribuição de descobertas não era feita a um membro
específico da escola. É melhor, por isso, não falar na obra de Pitágoras, mas antes, das
contribuições dos pitagóricos, embora na antiguidade fosse usual dar todo o crédito ao
mestre”.
Figura 1 – Pentagrama Fonte:
http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/File/imagens/6matematica/1_pentagrama.jpg
A Escola Pitagórica tinha caráter espiritual e científico. Acreditavam na
imortalidade da alma e na reencarnação e a autorreflexão era um dever consciente e
imprescindível Por outro lado, estudavam matemática, astronomia e música. Outras
informações sobre Pitágoras e os pitagóricos encontram-se no vídeo “Pitágoras de Samos”,
disponível em http://www.youtube.com/watch?v=40dqTzjPpTA.
De acordo com Boyer (1991, p. 97), “A filosofia pitagórica baseava-se na
suposição de que a causa última das várias características do homem e da matéria são os
1 Pentagrama ou estrela de cinco pontas: Formada traçando as cinco diagonais de uma face pentagonal de um dodecaedro regular, era o símbolo especial da escola pitagórica.
5
números inteiros. Isso levava a uma exaltação e ao estudo das propriedades dos números e da
aritmética (no sentido de teoria dos números), junto com a geometria, a música e a
astronomia, que constituíam as artes liberais básicas do programa de estudos pitagórico. Esse
grupo de matéria tornou-se conhecido na Idade Média como quadrivium, ao qual se
acrescentava o trivium, formado de gramática, lógica e retórica. Essas sete artes liberais
vieram a ser consideradas como a bagagem cultural necessária de uma pessoa educada”.
A importância do Teorema de Pitágoras pode ser sentida nas mais diversas áreas
do conhecimento tais como em Arquitetura, Engenharia Civil, Agronomia, Física, entre
outras. Desse modo, o seu conhecimento, compreensão e relação com outras áreas da
Matemática devem ser enfatizados desde as séries iniciais, para que os educandos percebam
suas aplicações no cotidiano e nas ciências de maneira geral.
Os antigos egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente espaçados,
de modo a determinar um ângulo reto ou uma reta perpendicular, com a sobreposição do
primeiro e do décimo terceiro nós, veja figura 2 abaixo. Ao avaliarmos a utilização da corda
de treze nós, fica claro que os egípcios também sabiam que um triângulo de lados com
comprimento 3, 4 e 5 unidades de medida possui um ângulo de 90°.
Figura 2 - Corda de treze nósDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Acredita-se que o teorema que leva o nome de Pitágoras, provavelmente o mais
conhecido enunciado geométrico, não seja de Pitágoras, pois esse resultado já era conhecido
pelos babilônios há cerca de 1000 anos antes. Ele pode ter sido o primeiro a efetivamente
demonstrar sua validade para todo triângulo retângulo.
Conforme afirma Boyer (1991, p. 34), “Dizia-se que o lema da escola pitagórica
era “Tudo é número”. Lembrando que os babilônios tinham associado várias medidas
numéricas às coisas que o cercavam, desde os movimentos nos céus até o valor de seus
6
escravos, podemos perceber nesse lema uma forte afinidade com a Mesopotâmia. Mesmo o
teorema, a que o nome de Pitágoras ainda está ligado, muito provavelmente veio dos
babilônios. Sugeriu-se, como justificativa para chamá-lo teorema de Pitágoras, que foram os
pitagóricos os primeiros a dar uma demonstração dele; mas não há meio de verificar essa
conjetura”.
Segundo Eves (2004, p. 103), “A tradição é unânime em atribuir a Pitágoras a
descoberta independente do teorema sobre os triângulos retângulos hoje universalmente
conhecido pelo seu nome – que o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é
igual à soma dos quadrados sobre os catetos. Já vimos que esse teorema era conhecido pelos
babilônios dos tempos de Hamurabi, mais de um milênio antes, mas sua primeira
demonstração geral pode ter sido dada por Pitágoras”.
Em termos aproximados, o Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo
retângulo a afirmação: “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” é
sempre verdadeira. Se construirmos quadrados sobre os lados de comprimento a, b e c de um
triângulo retângulo, esses quadrados terão áreas a2, b2 e c2, respectivamente, como mostra a
figura 3 abaixo.
Figura 3 - Representação geométrica do Teorema de PitágorasFonte:
http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/2filosofia/4teorema_pitagoras
Ou seja, podemos enunciar o Teorema de Pitágoras da seguinte forma: a área do
quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos dois quadrados
construídos sobre os catetos, como mostra a figura 6. Como exemplo da veracidade do
teorema temos a figura 4.
7
Figura 4 – Representação geométrica do Teorema de PitágorasFonte:
http://www.diaadia.pr.gov.br/tvpendrive/arquivos/Image/conteudos/imagens/4matematica/6_teoriemadepitagoras.jpg
2.1 NÚMEROS PITAGÓRICOS
Imenes (1990, pag. 39), afirma que, conhecendo um triângulo retângulo, cujos
comprimentos dos lados são os números inteiros 3, 4, 5, quando se multiplicam essas medidas
por 2, 3, 4, 5, 6,… e assim sucessivamente, consegue-se uma infinidade de triângulos cujos
lados são números inteiros, semelhantes ao primeiro, portanto, também são triângulos
retângulos, conforme mostra a tabela 1.
3 x 1 4 x 1 5 x 1 3, 4, 53 x 2 4 x 2 5 x 2 6, 8, 103 x 3 4 x 3 5 x 3 9, 12, 153 x 4 4 x 4 5 x 4 12, 16, 203 x 5 4 x 5 5 x 5 15, 20, 253 x 6 4 x 6 5 x 6 18, 24, 30
... ... ... ...
Tabela 1 – Números Pitagóricos
Observe na figura 5 os triângulos sobrepostos:
8
Figura 5 – Triângulos RetângulosDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Quando as medidas dos lados de um triângulo retângulo são expressas por três
números inteiros, esses números são chamados números pitagóricos. Usando a linguagem
algébrica, se a, b, e c são três números inteiros e positivos tais que c² = a² + b², dizemos que
a, b e c são números pitagóricos. Dessa forma, os números na quarta coluna da tabela 1, são
alguns exemplos de números pitagóricos.
2.2 DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Serão apresentadas a seguir algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras,
visando ilustrar o emprego de diferentes métodos. Os critérios utilizados na seleção das
mesmas foram a sua importância histórica e a viabilidade de uso em sala de aula.
2.2.1 DEMONSTRAÇÃO DE EUCLIDES
Os Elementos de Euclides têm uma importância excepcional na História da
Matemática. Com efeito, não apresentam a geometria como um mero agrupamento de dados
desconexos, mas como um sistema lógico. As definições, os axiomas2 ou postulados3 e os
2 Axioma: Princípio evidente, que não precisa ser demonstrado. Afirmação aceita sem discussão. 3 Conceitos e proposições admitidos sem demonstração que constituem os fundamentos especificamente
geométricos e fixam a existência dos entes fundamentais: ponto, reta e plano.
9
teoremas não aparecem agrupados ao acaso, mas sim, expostos numa ordem perfeita. Cada
teorema resulta das definições, dos axiomas e dos teoremas anteriores, de acordo com uma
demonstração rigorosa.
Euclides foi o primeiro a utilizar este método, chamado axiomático. Desta
maneira, os Elementos constituem o primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico,
sistema este que muitas outras ciências passaram e continuam a utilizar. No entanto, não
podemos esquecer que Euclides se esforçou por axiomatizar a geometria com os meios que
dispunha à época. É pois, fácil compreender que o sistema que ele escolheu apresente
algumas deficiências. Involuntariamente, em algumas das suas demonstrações admitiu
resultados, muitas vezes intuitivos, que não possuíam demonstração àquela época.
De acordo com Euclides (2009, p. 132), no livro I, em sua proposição 47: “Nos
triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos
quadrados sobre os lados que contêm o ângulo reto”. Essa proposição encontra sua recíproca
em Euclides (2009, p. 134), livro I, proposição 48: “Caso o quadrado sobre um dos lados de
um triângulo retângulo seja igual aos quadrados sobre os dois lados restantes do triângulo, o
ângulo contido pelos dois lados restantes do triângulo é reto”.
Figura 6 – Demonstração de EuclidesDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
A figura 6 ilustra a maneira como Euclides demonstrou o teorema de Pitágoras.
Mostrou que os triângulos ABD e FBC são congruentes4. O mesmo acontecendo com os
triângulos KCB e ACE. Em seguida demonstrou que o retângulo com diagonal BL é igual em
4 Dizemos que duas figuras são congruentes quando colocamos uma sobre a outra e elas coincidem.10
área, ao quadrado BAGF e analogamente que o retângulo com diagonal CL é igual em área ao
quadrado CAHK. Fazendo da seguinte forma:
seja ABC um triângulo retângulo em A.
Constrói-se, sobre o lado BC , o quadrado BDEC, e sobre os lados AB e AC , os
quadrados BAGF e CAHK, respectivamente.
Traça-se AL // BD .
O triângulo ABD é congruente ao triângulo FBC (caso L.A.L)5, pois a medida AB é
igual à medida de FB e a medida de BD é igual à medida de BC (lados de um quadrado) e a
medida do ângulo F B̂ C é igual à medida do ângulo A B̂ D.
Chamando de A1 a área do quadrado 1 e de A2 a do quadrado 2, tem-se que:
A1 é igual ao dobro da área do triângulo FBC e a área do triângulo FBC é igual a
2FGFB ⋅
que é igual a 2
2a .
Portanto,
A1 é igual ao dobro da área do triângulo ABD, pois os dois triângulos são congruentes.
Mas,
área (ABD) = 2
DLBD ⋅= área
2BPLD
.
Então,
A1 = a2 = 2. área (FBC) = área (BPLD).
Analogamente,
A 2 = b2 = 2. área (BCK) = área (HCEL).
Portanto, a área do quadrado BCED (c²) formado pelos retângulos BPLD e PCEL é
igual à soma das áreas a2 + b2.
Observando que a2 = área do quadrado 1, b2 = área do quadrado 2 e c2 = área do
quadrado 3, obtemos que
a2 = b2 + c2,
que é a expressão que representa o Teorema de Pitágoras.
5 Congruência lado, ângulo, lado.11
2.2.2 DEMONSTRAÇÃO DE PITÁGORAS
Não se sabe ao certo o método utilizado por Pitágoras para a demonstração do
teorema que leva o seu nome. Supõe-se que foi uma prova por comparação de áreas de figuras
geométricas, como apresentaremos a seguir e pode ser acompanhado na figura 7 abaixo.
Figura 7 - Demonstração de PitágorasDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
1. Desenha-se um quadrado de lado b + a;
2. Traçam-se dois segmentos perpendiculares entre si e paralelos aos lados do quadrado
formando dois retângulos, um de lados a e a+b e outro de lados b e a+b;
3. Dividem-se cada um destes dois retângulos em dois triângulos retângulos, traçando as
diagonais, produzindo assim quatro triângulos retângulos. Chama-se de c o
comprimento de cada diagonal;
4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos retângulos é igual à b² + a²;
5. Reagrupamos os quatro triângulos obtidos no mesmo quadrado de lado b+a, conforme
o desenho mais à direita da figura 7;
6. A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos retângulos é igual à
c².
Considere agora dois quadrados, ambos com lados iguais a (a + b). O primeiro é
composto por seis figuras: um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e quatro triângulos
retângulos de catetos a e b, veja o desenho mais a esquerda da figura 7. Se chamarmos de S a
área de um desses triângulos e sendo a área total da figura (a + b)2, temos que
(a + b)² = a² + b² + 4S.
O segundo quadrado é composto por cinco figuras: quatro triângulos retângulos
iguais aos anteriores e de um quadrado de lado c, que é a hipotenusa dos triângulos
12
retângulos.
Logo, nesse quadrado, temos que
(a + b)² = c² + 4S.
Igualando os segundos membros das equações, resulta que
c² + 4S = a² + b² + 4S
Agora se cancelarmos o termo 4S em ambos os lados da igualdade acima, resulta
expressão central do Teorema de Pitágoras:
c² = a² + b²,
onde a e b são as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, enquanto que c é a medida
da hipotenusa.
2.2.3 DEMONSTRAÇÃO DE LEONARDO DA VINCI
A demonstração do Teorema de Pitágoras utilizando a figura 8 abaixo é atribuída
a Leonardo da Vinci (1452-1519).
Figura 8 - Demonstração de Leonardo da VinceDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
É dado um triângulo EFG retângulo em G e sobre seus lados os quadrados FEJH,
EDCG e FGBA.
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A partir dessa figura são feitas as seguintes construções auxiliares: segmentos AD,
GI, BC.
Os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm mesma área, pois:
a área do quadrado FEJH mais o dobro da área do triângulo FEG é igual à área do
hexágono GEJIHF;
a área do hexágono GEJIHF é igual ao dobro da área do quadrilátero BCDA e
também é igual à área do hexágono ABCDEF;
mas a área do hexágono ABCDEF é igual à área do quadrado CDEG mais a área
do quadrado ABGF, mais o dobro da área do triângulo FEG.
Portanto, o quadrado sobre FE é equivalente à soma dos quadrados sobre GE e
sobre FG.
Fazendo,
c = FE = hipotenusa;
a = GE = cateto maior;
b = FG = cateto menor,
temos que
c² = a² + b²,
obtendo assim a expressão central do Teorema de Pitágoras.
2.2.4 O QUADRADO CHINÊS
Uma das demonstrações mais elegantes do Teorema de Pitágoras é conhecida
como a demonstração do quadrado chinês, veja na figura 9 abaixo. Dado um triângulo
retângulo de catetos a e b e hipotenusa c, construímos dois quadrados de mesmo lado a + b.
Em cada um desses quadrados dispomos quatro cópias do triângulo retângulo, região em
vermelho na figura 9 abaixo. A soma das áreas remanescentes do primeiro quadrado, regiões
em amarelo e verde na figura 9, é igual à área remanescente do segundo quadrado, região em
azul. Comparando essas regiões obtemos que
a² + b² = c²,
completando a demonstração do teorema de Pitágoras.
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a² + b² + área vermelha c² + área vermelha
área vermelha = 4 x (área do triângulo)
Figura 9 – Quadrado ChinêsDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
2.2.5 DEMONSTRAÇÃO DE BHASKARA
Outra demonstração, também obtida da decomposição do quadrado, na figura 10
abaixo, é atribuído a Bhaskara, matemático hindu do Século XII. Segundo Eves (2004, p.
258), “Bhaskara. desenhou a figura e não ofereceu nenhuma explicação, mas tão somente a
palavra "Veja!"”.
Figura 10 – Demonstração de BhaskaraDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Esta demonstração pode ser considerada do tipo geométrico ou do tipo algébrico,
dependendo da estratégia.
O quadrado sobre a hipotenusa da figura 10 à esquerda, é decomposto em quatro
triângulos, cada um deles congruente ao triângulo dado, mais um quadrado cuja medida de
lado é (a-b).
15
Dispondo as partes como mostra a Figura 10 à direita, obtém-se dois quadrados
justapostos. Área da figura 10 à esquerda é igual à área da figura 10 à direita. Como área da
figura 10 à esquerda é igual a c2 e a área da figura 10 à direita é igual à a² + b2. Então,
c2 = a² + b2
Algebricamente, para a figura 10 à direita
c² = 421
ab + (a- b)².
Portanto,
c² = 2ab + a² - 2ab + b².
Logo,
c² = a² + b²,
completando a demonstração do Teorema de Pitágoras.
16
3 ATIVIDADES
Pretende-se incorporar a História da Matemática de forma contextualizada às
atividades do ensino-aprendizagem do Teorema de Pitágoras como um recurso pedagógico,
para que os estudantes passem de meros expectadores a participantes do processo,
compreendendo e questionando o conhecimento matemático escolar de forma ativa, reflexiva
e crítica, relacionando cada saber construído com as necessidades históricas, sociais e
culturais nele existentes.
Os exercícios propostos pretendem demonstrar o teorema de Pitágoras através de
recortes e montagem de quebra-cabeças, de atividades geométricas, resolução de problemas
contextualizados historicamente e cálculos algébricos, utilizando algumas situações
encontradas em textos antigos que levem à compreensão desse teorema, tornando o seu
aprendizado mais motivado e significativo, oportunizando, desta forma, diferentes modos da
abordagem desse tópico da matemática.
O desenvolvimento das atividades práticas e escritas deve acontecer ora
individualmente, ora em grupos de no máximo três alunos e serem desenvolvidas em sala de
aula com a orientação do professor da disciplina.
Atividade 1:
O objetivo dessa atividade é levar os alunos a compreender como os antigos
egípcios utilizavam uma corda com treze nós, igualmente espaçados, de modo a determinar
um ângulo reto ou uma perpendicular, com a sobreposição do primeiro e do décimo terceiro
nós, comprovando que os egípcios também sabiam que um triângulo de lados 3, 4 e 5 possui
um ângulo de 90o. Leia o texto retirado de http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/
materialdidatico/aluno/matematica/Oficina04_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf:
Nos tempos antigos para medir as suas terras próximas ao rio Nilo, os egípcios precisavam usar o triângulo reto. Para obter um ângulo retângulo, eles usavam uma corda com 13 nós igualmente espaçados que a dividia em 12 comprimentos iguais. Se um operário egípcio segurasse as duas pontas da corda juntando os nós 1 e 13 e seus dois ajudantes segurassem a corda nos nós 4 e 8 e esticassem a corda, eles obtinham um triângulo retângulo com o vértice do ângulo reto no nó 4, como ilustrado na figura abaixo. Mesmo não sabendo explicar porque esse fato ocorria, os egípcios usavam esse procedimento sempre que precisavam.
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Figura 11 – Os egípcios e a corda de 13 nós.Desenho: Maria Izabel de Souza Frison
Também os hindus utilizavam o mesmo procedimento para obter ângulos retos fazendo uso não só dos valores 3, 4 e 5, mas também de outros valores tais como: 12, 16 e 20; 15, 20 e 25 etc. Só na Era Cristã é que a primeira explicação foi dada para tal procedimento.
a) Junte-se a mais dois colegas e faça como os egípcios. Pegue um barbante, marque com tinta
de caneta os pontos de 1 a 13 igualmente espaçados e verifique se o triângulo obtido é
retângulo.
b) Use como unidade de medida a distância entre duas marcas. Quais são, nesse caso, as
medidas de cada um dos catetos e da hipotenusa?
c) Use, agora, um barbante com o dobro do comprimento do primeiro. Repita a experiência. O
triângulo ainda é retângulo?
d) Usando como unidade de medida a distância entre os dois nós do primeiro barbante, quais
serão as medidas do segundo triângulo?
e) O segundo triângulo é também retângulo? Por quê?
Atividade 2:
O objetivo dessa atividade é favorecer a compreensão do teorema de Pitágoras
através da área dos quadrados construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Disponível
em
http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina0
4_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf.
Observe a figura 12 abaixo:
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Figura 12 – Área formada nos lados do triângulo retânguloDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Na figura 12, o triângulo é retângulo. Usando o quadradinho como unidade de
medida de área, verifique se a área do quadrado maior é igual à soma da área do quadrado
médio com a área do quadrado pequeno, respondendo às perguntas a seguir.
a) Qual a área do quadrado grande?
b) E a área do quadrado médio?
c) E a área do quadrado pequeno?
d) Que relação existe entre elas?
As atividades 3 e 4 têm por objetivo apresentar a demonstração do Teorema de
Pitágoras através de procedimentos geométricos e utilizando a comparação de áreas através da
confecção de quebra-cabeças.
Atividade 3:
A demonstração dessa atividade está disponível em
http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curgeo/modulo/tpit.html.
Henry Perigal, um livreiro em Londres, publicou em 1873 a demonstração que se
pode verificar na figura 13 abaixo. Trata-se da forma mais evidente de entender que a soma da
área do quadrado maior é igual à soma da área dos dois quadrados menores.
Para montar o quadrado maior da figura 13, basta transportar as peças do
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quadrado médio e completar o centro com o quadrado menor. Os vetores de translação têm
origem no ponto M e extremidades nos vértices do quadrado maior.
A "figura chave" desta demonstração é o paralelogramo BCDF da figura 13.
1. Os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 que compõem o quadrado médio da figura 13 são
congruentes, pois os lados DF e EG resultam da rotação das diagonais, mantendo,
assim, a área das figuras constante. Observe com o auxílio das diagonais pontilhadas.
2. Observe na mesma figura que os segmentos DF e CB são congruentes, assim como os
segmentos CD e BF, pois são lados opostos de um paralelogramo.
3. Os segmentos DM, MF, EM e MG são congruentes (de 1) e, portanto, com
comprimento igual à metade da medida do lado do quadrado maior (de 1 e 2).
4. Como os quadriláteros 1, 2, 3 e 4 dessa figura 13 possuem um ângulo reto, eles
encaixam-se no quadrado maior.
5. O quadrado vermelho restante tem lado AC, pois CD-AD=AC e CD=BF.
Agora é sua vez. Para melhor compreensão da demonstração do teorema de
Pitágoras representado pela figura 13, siga os critérios abaixo e construa um quebra-cabeças
em folhas coloridas de E.V.A6. As diagonais pontilhadas desenhadas na figura 13 abaixo vão
auxiliar a visualização durante a demonstração.
• Considerar o quadrado médio (de lado AB).
• Encontrar o centro M deste quadrado.
• Traçar retas paralelas aos lados do quadrado maior (de lado BC) passando por M.
• O quadrado médio está, agora, divido em quatro partes.
• Preencha o quadrado maior com o quadrado menor e com as peças do quadrado
médio.
• Escreva a sua conclusão.
6 E.V.A.: Etil Vinil Acetato – Material utilizado na confecção de artesanato ou trabalhos manuais voltados para a área do aprendizado em escolas. Conhecido popularmente como "Material Emborrachado", que por sua vez, destaca-se pela sua flexibilidade, a versatilidade de cores e a infinidade de produtos que se pode confeccionar com ele.
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Figura 13 – Quebra cabeçaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Outras demonstrações do Teorema de Pitágoras podem ser vistas acessando o
vídeo “O Mistério dos Triângulos” em http://www.youtube.com/watch?v=mf-0PxEDx-M.
A tividade 4:
Esta atividade está disponível em
http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina0
4_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf
Construa um quebra-cabeça utilizando os materiais e critérios abaixo:
• Materiais: lápis, borracha, régua, esquadro, canetas hidrográficas, tesouras e folhas
coloridas de E.V.A.
• Trace a figura abaixo em uma folha de E.V.A.;
• Recorte as 5 peças da figura 14 que se encontra abaixo;
• Encaixe as peças 1, 2, 3, 4, e 5 no quadrado base de forma que juntas o preencham
completamente;
• Agora responda: a área do quadrado base é igual à soma das áreas das 5 peças? Que
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conclusão podemos tirar?
Figura 14 – Quebra cabeçaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Atividade 5:
O objetivo dessa atividade é fazer com que o aluno verifique a veracidade dos
números pitagóricos e da obtenção de números quadrados perfeitos através da soma de
números ímpares a partir do número 1.
Em Berlingoff e Gouvêa (2008, p. 149) encontra-se a seguinte atividade: “Desde
muito cedo, os matemáticos estavam interessados em descobrir triângulos retângulos cujos
lados tivessem cumprimentos inteiros. Pelo Teorema de Pitágoras, isso se reduz ao problema
de encontrar números a, b e c tais que c² = a² + b².
a) Verifique que (6, 8, 10) também é solução. Como ela se relaciona com (3, 4, 5)?
b) Verifique que (5, 12, 13) é uma solução. Soluções como essa, nas quais os números não
têm fatores comuns, são chamadas primitivas.
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c) Os pitagóricos descobriram que, se você somar números ímpares começando com 1, a
soma será sempre um quadrado. Assim:
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 = 6²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49 = 7²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 = 9²
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 + 19 = 100 = 10².
Você sabe explicar por que isso é verdade? Sabe demonstrá-lo? (Os pitagóricos
provavelmente fizeram isso dispondo ordenadamente pedras em tabelas quadradas. Compare
dois desses quadrados).
d) Se um número somado for ele próprio um quadrado, isso favorece um trio de Pitágoras. Por
exemplo:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7 + 9) + 9 = 25
Fornece o trio (3, 4, 5). Use essa ideia e gere outros dois trios de Pitágoras.”
As atividades 6, 7, 8 e 9 têm por objetivos resolver problemas de contexto
histórico aplicando o teorema de Pitágoras.
Atividade 6:Essa atividade encontra-se disponível em
http://www.malhatlantica.pt/mathis/problemas/pitagoras/pitagoricos.htm.
O seguinte problema foi retirado de um manuscrito alemão de Peter van Halle,
escrito em 1568, mas, salvo as unidades de medida em que está formulado, é muito
semelhante a muitos dos problemas, envolvendo o teorema de Pitágoras, que encontramos nos
nossos manuais escolares.
Há uma torre com 200 pés de altura, e à volta da torre há um canal com 60 pés de
largura. Alguém precisa fazer uma escada que passe por cima da água até ao topo da torre. A
pergunta é: que comprimento deve ter a escada?
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Figura 15 – Torre de 200 pés de alturaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Atividade 7:Essa atividade encontra-se disponível em
http://www.malhatlantica.pt/mathis/problemas/pitagoras/pitagoricos.htm.
No Tratado da Prática D'aritmética, do português Gaspar Nicolas, publicado em
1519, aparecem diversos problemas, em que se utiliza o teorema de Pitágoras, envolvendo
torres. O seguinte envolve, igualmente, uma escada. No entanto, a escada, ao contrário do que
acontece no problema anterior, não está fixa, desliza, o que torna o problema relativamente
mais complicado, mas também menos realista.
É uma torre de 20 braças de altura. E está uma escada encostada a ela, de tamanho
igual à dita torre e a escada afastou-se 12 braças do pé da torre.
Pergunta-se: quanto abaixou de cima?
Figura 16 – Torre de 20 braças de alturaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
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Atividade 8:
Essa atividade encontra-se disponível em
http://www.malhatlantica.pt/mathis/problemas/pitagoras/pitagoricos.htm.
Na China, o livro Nove Capítulos da Arte Matemática, provavelmente do século II
a.C., contém um capítulo apenas com problemas sobre o teorema de Pitágoras. Neste, aparece
ao que se sabe, pela primeira vez a seguinte versão:
Há um bambu com 1 zhang7 de altura, partiu-se e a parte de cima toca o chão a 3
chih8 da base do bambu. Qual é a altura da quebra?
Este problema parece ter passado da China para a Índia, aparecendo em oito
trabalhos indianos desde Bhaskara I (629) a Raghumath-raja (1597). A seguinte é a versão
que aparece em Bhaskara II (cerca de 1150):
Se um bambu medindo 32 cúbitos9 e estando em pé, se partisse, num local, por
ação do vento, e a sua extremidade encontrasse o chão a 16 cúbitos da base do bambu. Diz,
matemático, a quantos cúbitos da raiz é que ele se partiu?
Ao entrar na Europa esta versão parece ter deixado o bambu, planta tipicamente
chinesa, para passar a figurar com uma árvore. Resolva a seguinte versão que aparece no
Tratado da Prática D'aritmética, do português Gaspar Nicolas, publicado em 1519:
É uma árvore de 50 braças10 e está ao pé de um rio de 30 braças de largura e esta
árvore quebrou por tal altura que foi a ponta além da borda do rio. Pergunta-se: A que altura a
árvore quebrou?
Figura 17 – Árvore quebradaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
7 Zhang: Unidade chinesa de medida. Valor relativo igual a 10. Valor métrico igual a 3 1/3 de m8 Chih: Valor relativo igual a 1. Valor métrico 33 1/3 de cm9 Cúbito: Unidades de medida baseadas no comprimento entre o cotovelo e a ponta do dedo médio.10 Braça: Antiga medida de extensão correspondente a 2,20 m
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Atividade 9:Em Brito, Miguel, Carvalho e Mendes (2005, p. 104), encontra-se a seguinte
atividade: “Os povos antigos aplicavam o Teorema de Pitágoras na construção de habitações,
na arquitetura, na agrimensura, na construção de canais, na abertura de túneis, na astronomia
etc. Na época da colheita de forragens, alguns povos que viviam nas montanhas amarravam e
soltavam os feixes de feno numa roda-polia, que desliza até o vale por um cabo de ferro,
conforme a figura abaixo. Sabendo que o desnível entre o ponto do qual a polia é solta e o
ponto mais baixo que ela atinge é de 1600m e que a distância horizontal é de 3000 m, calcule
qual deve ser o comprimento do cabo de aço?”
Figura 18 – Colheita de forragensDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Atividade 10:
Essa atividade tem por objetivo demonstrar o Teorema de Pitágoras explorando
recursos visuais e está disponível em
http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina0
4_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf.
Observe a figura 19 constituída de triângulos retângulos isósceles, todos iguais.
Ao redor do triângulo retângulo central estão dispostos três quadrados, mas os que formam o
quadrado da hipotenusa formam também os quadrados dos catetos. Verifique.
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Figura 19 – Pitágoras no triângulo retângulo isósceles.Desenho: Maria Izabel de Souza Frison
O que você pode concluir?
As atividades 11, 12 e 13 têm como objetivos a resolução de problemas algébricos
que envolvam situações do cotidiano, todas disponíveis em
http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/teopitago/index.htm.
Atividade11:
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Agora determine, de acordo com os dados da figura, os valores de x e y.
Figura 20 – Barco à velaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
Atividade 12:
A figura abaixo representa uma ilha em escala 1:1000000 (1cm no desenho
corresponde a 1000000 no real). Se cada quadradinho do quadriculado tem 1 cm de lado,
quantos quilômetros, em linha reta, separam os dois pontos? Use a raiz de 29 = 5,38
Figura 21 - IlhaDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
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Atividade 13:O acesso à garagem de uma casa, situada no subsolo desta casa, é feito por rampa,
conforme nos mostra o desenho. Sabe-se que a rampa AC tem 10,25 m de comprimento e
altura BC da garagem é 2,25 m, Qual a distância AB entre o portão e a entrada da casa?
Figura 22 – Garagem no subsolo.Desenho: Maria Izabel de Souza Frison
Atividade 14:
O objetivo dessa atividade é aplicar nas figuras 23 e 24, o conhecimento algébrico
do teorema de Pitágoras construído historicamente, utilizando o conceito de área e perímetro.
Disponível em
http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina0
4_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf.
Qual é a área de cada quadrado colorido?
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a)
Figura 23 – Área do quadrado maiorDesenho: Maria Izabel de Souza Frison
b)
Figura 24 – Área do quadrado menor.Desenho: Maria Izabel de Souza Frison
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4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BERLINGOFF, William P. & GOUVÊA, Fernando Q. A Matemática Através dos Tempos. Um Guia Fácil e Prático Para Professores e Entusiastas. Tradução: GOMIDE, Elza F. & CASTRO, Helena.. Edição Ampliada. São Paulo. Edgard Blücher. 2008.
[2] BOYER, Carl B. História da Matemática. Tradução: GOMIDE, Elza F. 2ª ed. São Paulo. Edgard Blücher. 1991.
[3] BRITO, A. J.; MIGUEL, A; CARVALHO, D. L.; MENDES, I. A. História da Matemática em atividades didáticas. Natal. EDUFRN. 2005.
[4] DUARTE, Denise. Pitágoras de Samos. Vídeo disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=40dqTzjPpTA>. Acesso em 20/09/2009.
[5] EUCLIDES, Os Elementos. Tradução: BICUDO, Irineu. São Paulo. Unesp. 2009.
[6] EVES, Howard. - Introdução à História da Matemática. Tradução: DOMINGUES, Higino H. Campinas. UNICAMP. 2004.
[7] IMENES,Luiz M. Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 5ª ed. São Paulo. Scipione. 1990.
[8] MENDES, I. A.; FOSSA, J. A.; VALDES, J. E. Nápoles. História como agente de cognição na Educação Matemática. Porto Alegre: Sulina, 2006.
[9] PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação do. Diretrizes Curriculares da RedePública do Estado do Paraná – Matemática. Curitiba: SEED, 2008.
[10] PITÁGORAS DE SAMOS. Vídeo disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=40dqTzjPpTA>. Acesso em 29/09/2009
[11] O TEOREMA DE PITÁGORAS ATRAVÉS DE RECORTES. Disponível em <http://penta.ufrgs.br/edu/telelab/mundo_mat/curgeo/modulo/tpit.html >. Acesso 16/03/10.
[12] O TEOREMA DE PITÁGORAS E SUAS APLICAÇÕES. Disponível em <http://www.projovemurbano.gov.br/userfiles/file/materialdidatico/aluno/matematica/Oficina04_Matem%C3%A1tica_ECII.pdf>. Acesso em 17/03/10.
[13] O TEOREMA DE PITÁGORAS. Disponível em <http://www.dm.ufscar.br/hp/hp0/hp0.html>. Acesso em 17/03/10.
[14] TEOREMA de Pitágoras. Vídeo disponível em <http://www.youtube.com/watch?v=mf-0PxEDx-M>. Acesso em 20/09/2009.
[15] TEOREMA DE PITÁGORAS. Disponível em <http://www.projetozk.ufjf.br/base_p/ensaios/ensaio3/ant_teopitagoras1.htm> .Acesso em 17/03/10.
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