da escola pÚblica paranaense 2007 - … · pontos do jogo, na formação de grupos, trabalho em...

O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOSDA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE

Produção Didático-Pedagógica 2007

Versão Online ISBN 978-85-8015-038-4Cadernos PDE

VOLU

ME I

I

GOVERNO DO PARANÁ SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO SUPERINTENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE

MARLI BALZAN CAVALARO BENINI

OAC

IES: UNIVERSIDADE ESTADUAL DE LONDRINA – UEL

ORIENTADOR: PROF. Dr.ª REGINA CELIA GUAPO PASQUINI

ÁREA CURRICULAR: MATEMÁTICA

LONDRINA 2007

PROBLEMATIZAÇÃO DO CONTEÚDO

Aprender Matemática

O estigma que “aprender Matemática” carrega não faz jus a beleza

e a importância que essa ciência tem em nossas vidas. A Matemática está

presente, implicitamente ou não, em praticamente tudo o diz respeito ao

estilo de vida “moderno” que levamos.

Concordo que a Matemática é uma ciência complexa e abstrata,

mas a maioria das pessoas, comumente, não entra em contato com essa

parte dela, apenas se beneficia do progresso que ela, silenciosamente,

promove.

Se a Matemática é tão bonita e tão importante, por que muitos não

aprendem, nem sequer o básico dos básicos sobre ela?

Há constatações de crianças que chegam às séries iniciais da escola

desgostando da Matemática, sem, ao menos, conhecê-la. Com isso, muitas

são as dificuldades encontradas por alunos e professores com relação ao

ensino/aprendizagem da mesma, acarretando uma deficiência nessa

ciência e privando pessoas de um saber de fundamental importância.

Existe, então, a necessidade em se repensar a maneira de “ensinar” a

Matemática. Precisamos fazer com que o aluno goste e participe das aulas,

deixando de lado o lugar comum, as receitas prontas, e colocando desafios

para que eles resolvam.

O comentário mais ouvido entre os educadores é de que não se

pode ‘brincar em serviço’, por conta de não conseguir dar conta dos

conteúdos mínimos essenciais de cada série. Concordo com isso. Mas fica

mais fácil quando o aluno se interessa por aquilo que estamos falando. O

interesse do aluno é o primeiro passo para a melhoria das condições de

trabalho e estudo.

É longa a discussão sobre os problemas encontrados em sala de aula

a respeito do por quê o aluno deixa a escola sem saber e sem entender

parte da Matemática.

Com o intuito de minimizar esse problema, pensou-se na utilização de

jogos, envolvendo conteúdos matemáticos, a serem utilizados em sala de

aula.

A história mostra que tal prática não é novidade, de acordo com

Kishimoto (Apud, FERRAREZI, 2005) Platão se utilizou de jogos objetivando

apresentar a Matemática de forma concreta, para depois em um segundo

nível usar abstrações. Também era uma prática romana se utilizar de jogos a

fim de transmitir valores e costumes. Têm-se relatos que os Jesuítas, em suas

aulas, praticavam jogos de emulação1 visando o aperfeiçoamento da

capacidade oratória dos alunos.

Portanto, não é novidade a utilização de jogos para facilitar a

aprendizagem, independente da disciplina a ser estudada.

Borin (1996) apresenta como justificativa a introdução de jogos nas

aulas de matemática a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por

muitos alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para

aprendê-la. A situação de jogo leva o aluno a uma grande motivação, se

envolvendo, ao mesmo tempo, em que esses trabalham com Matemática

sem constrangimentos, apresentando melhor desempenho e atitudes

positivas frente a seus processos de aprendizagem.

Encontramos, destacado, nos Parâmetros Curriculares Nacionais

(PCN, 1997) que um aspecto relevante nos jogos é o desafio que eles

provocam nos alunos, gerando interesse e prazer. Dando ênfase à

importância de que os jogos façam parte da cultura escolar, cabendo ao

professor analisar e avaliar a potencialidade educativa dos diferentes jogos

e o aspecto curricular que deseja desenvolver.

1 Rivalidade, competição.

BORIN, Júlia. Jogos e resolução de problemas: uma estratégia para as aulas

de matemática. IME – USP. São Paulo, 1996

FERRAREZI, Luciana Aparecida, Criando novos tabuleiros para o jogo Tri-Hex

e sua validação didático-pedagógica na formação continuada de

professores de Matemática: uma contribuição para a Geometria das séries

finais do Ensino Fundamental. UNESP - Universidade Estadual Paulista, Instituto

de Geociências e Ciências Exatas, 2005. Dissertação de Mestrado.

Orientador: Laurizete Ferragut Passos.

FIORENTINI, D.; MIORIM, M. A. Uma reflaxão sobre o uso de materiais

concretos e jogos no Ensino da Matemática. Publicado no Boletim SBEM – SP

Ano 4 – nº 7.

Secretaria da Educação Fundamental. PCN – Parâmetros Curriculares

Nacionais. Brasília: MEC: SEF, 1997.

INVESTIGAÇÃO DISCIPLINAR

Não é perda de tempo “jogar” em sala de aula

O objeto de estudo são os jogos em sala de aula e a Investigação

Matemática, enquanto tendências em Educação Matemática, buscando o

aprofundamento acerca dos encaminhamentos metodológicos e a

utilização destas tendências como possíveis alternativas para promover uma

aprendizagem significativa na área de Matemática.

Acreditamos que tal estratégia não se configura em perda de tempo

e “enrolação” dos alunos, mas sim um outro modo de apresentação de

alguns conteúdos, abrindo uma nova perspectiva de aprendizagem para os

alunos, cunhando uma relação mais intensa entre professor/aluno e

aluno/aluno, quebrando a barreira do “eu não sou inteligente, então não

aprendo matemática”.

O professor poderá usar, basicamente, três tipos de jogos com seus

alunos: aqueles que se compram e estão prontos para o uso, os que se

confeccionam com a ajuda dos alunos e os virtuais. Tudo depende dos

conteúdos e objetivos que o professor pretende alcançar.

Deve-se levar em conta que não é satisfatório conhecer os jogos e

saber jogar. Existe a necessidade de o professor aliar de forma interativa e

dinâmica esse recurso, para alcançar seus objetivos e não apenas criar uma

nova na rotina de sala de aula.

Neste OAC, sugerimos alguns jogos de raciocínio lógico, sem muitos

números, com o intuito de mostrar que Matemática não é só “continhas”,

que estas, são conseqüências de todo um “pensamento” desenvolvido

anteriormente. Com essa linha de ação, quem sabe, possamos ampliar

perspectivas para o desenvolvimento de outros projetos, propiciando uma

aprendizagem significativa da Matemática, levando sempre em conta as

Diretrizes Curriculares para a Educação Básica do Estado do Paraná como

referencial a ser seguido.

PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR

Trabalhando juntos

Trabalhar com jogos é sempre gratificante pela facilidade

de interação com as outras disciplinas da série trabalhada.

Conseguimos, sem muito esforço, aliar ARTES e CIÊNCIAS na

confecção dos jogos, principalmente quando nos utilizamos de materiais

reciclados. A aprendizagem de novas técnicas e materiais se encaixa com o

benefício em se cuidar da natureza e o aquecimento global.

MATEMÁTICA e EDUCAÇÃO FÍSICA se entrosam com a contagem de

pontos do jogo, na formação de grupos, trabalho em equipe, boa

convivência, aceitação e cumprimento de regras e democracia quando

algo não está bem no grupo ou nas regras estipuladas para os jogos.

O que seria do mundo sem a GEOGRAFIA e a HISTÓRIA? Essas duas

disciplinas, aliadas aos jogos trabalhados podem nos dar uma perspectiva

das pessoas e dos países onde os jogos surgiram, a sua importância e traçar

um paralelo da evolução ou não de tal povo e país.

Sem a LÍNGUA PORTUGUESA como poderíamos ler, interpretar e até

mudar as regras dos jogos?

LÍNGUA ESTRANGEIRA: muito importante atualmente no mundo

globalizado e poderá ser de grande valia porque muitos jogos possuem

palavras e expressões que não são da língua portuguesa pois foram criados

em outros países.

CONTEXTUALIZAÇÃO

Usando jogos para ensinar matemática

O jogo faz parte do nosso cotidiano. Muitos jornais trazem um caderno

especial dedicado a ele. Mas não são só os jogos esportivos que existem, é

claro, não podemos negar que estes são os mais difundidos e apreciados

pela população mundial, mas quantidade e variedade de jogos existentes é

incontável e incontrolável, já que a cada momento criam-se novos jogos.

Se perguntarmos a um cidadão comum se ele conhece futebol,

dificilmente ouviremos “não” como resposta, o mesmo não acontece se

perguntarmos sobre gamão, xadrez, a mancala, entre outros.

Historicamente o Brasil é um país de jogos, vejam as loterias, mega-

sena, jogo do bicho (que apesar de ilegal ainda persiste), futebol, bingo, etc.

por que não aproveitar dessa cultura para ensinar Matemática?

Os jogos são hábeis canalizadores das atenções, mesmo que a pessoa

não jogue, ela coloca certa dose de interesse apenas em olhar para o jogo.

E, é assim, chamando a atenção sobre uma nova metodologia que o

professor poderá introduzir conteúdos novos, ou fixar os já trabalhados.

BORIM (1996) e MALBA TAHAN (1965) também compartilham desse

pensamento.

Quando jogamos em sala de aula, noto o interesse e a participação

dos alunos aumentarem e esse envolvimento com os colegas na superação

do entendimento das regras e dos seus adversários faz com que a

aprendizagem aconteça sem ser notada.

Meu objetivo é apresentar, aqui, algumas sugestões de jogos de

raciocínio de fácil confecção, agradável aos alunos, que “caibam” no

tempo disponível do professor em sala de aula e que seja uma coisa passível

de aplicação pelo professor.

Jogos aqui encontrados:

- Cilada;

- Super senha;

- Jogos com Palitos;

- Resta um;

- Jogo das frações: complete o inteiro;

- Sudoku.

BORIN, Júlia. Jogos e Resoluções de problemas: uma estratégia para as aulas

de matemática. CAEM/USP.

TAHAN, Malba. Didática da Matemática – volumes 1 e 2. São Paulo, Saraiva

Livreiros Editores. 1965.

PROPOSTAS DE ATIVIDADES

CILADA

TIPO DE JOGO

– Jogo de tabuleiro, comprado pronto (Fabricante: Estrela);

– Um quebra-cabeça com 50 seqüências possíveis para montar.

CONTEÚDO

– Raciocínio lógico, recomendado, segundo o fabricante, para crianças a

partir dos 6 anos.

OBJETIVOS

– Desenvolvimento de estratégias de raciocínio para resolver problemas;

– Desenvolvimento da organização espacial;

– Desenvolvimento da memória visual;

– Desenvolvimento da atenção e concentração.

MATERIAL NECESSÁRIO

Um tabuleiro e as peças da seqüência a ser montada.

DESENVOLVIMENTO

– Jogo desenvolvido inicialmente para um jogador, mas nada impede de ser

jogado em dupla;

– Separar as peças para a seqüência desejada;

– Encaixar todas as peças da seqüência, sem sobrar espaços ou peças.

SUPER SENHA

TIPO DE JOGO

– Jogo de tabuleiro, comprado pronto (Fabricante: Grow);

– Um quebra-cabeça com infindáveis seqüências possíveis para o oponente

acertar.

CONTEÚDO

– Raciocínio, recomendado, segundo o fabricante, para crianças a partir

dos 10 anos e adultos.

OBJETIVOS





Um tabuleiro.

DESENVOLVIMENTO

– Jogo desenvolvido para dois jogadores, desafiante e desafiado;

– Para melhor entendimento, veja as posições dos pinos nas fotos abaixo;

– O desafiante irá colocar cinco pinos coloridos redondos (com ou sem

repetição de cor, conforme o combinado entre os jogadores) escondidos e

o desafiado deverá acertar a cor e a posição de cada um deles, tendo

para isso, doze chances para fazê-lo.

– Os pinos pretos e brancos, usados pelo desafiante têm dupla função:

. Indicar os acertos de cor e posição

. Marcar os pontos feito pelo desafiante e desafiado.

. Os pinos pretos significam que o desafiado acertou a cor e a posição

dos pinos coloridos que foram colocados escondidos pelo desafiante.

. Os pinos brancos significam que ele acertou somente a cor dos pinos

coloridos que foram colocados escondidos pelo desafiante.

. Caso haja buracos vagos, sem o preenchimento de pinos brancos ou

pretos, quer dizer que não houve acerto de cores.

. Os pinos pretos e brancos podem não estar indicando o lugar correto

das cores que estão certas, isso vai depender do combinado antes do

começo do jogo pelos jogadores.

– O final da partida se dá quando o desafiado reproduzir a formação exata

dos pinos colocados escondidos pelo desafiante;

– Ao final da partida, o desafiante ganha um ponto referente a cada linha

de pinos colocados pelo desafiado.

– Após a contagem de pontos os papéis dos jogadores são invertidos.

3 1 2

1 – Seqüência criada pelo desafiante que deve ficar escondida.

2 – Marcação com os pinos que descrevem a cor e a posição certa em

cada uma das seqüências do jogo.

3 – Local onde se marcam os pontos conseguidos pelos jogadores, cada

buraco corresponde a um ponto.

OBSERVAÇÃO:

Caso queiram jogar on-line, existe um site com um jogo “senha” bem

parecido com este. http://pagemarco.50webs.com/page1024.html

JOGOS COM PALITOS

TIPO DE JOGO

– Jogo para jogar com palitos ou com desenhos de palitos.

– Quebra-cabeça com várias seqüências, adaptadas à idade da criança.

CONTEÚDO

– Raciocínio, recomendado para crianças a partir dos 6 anos.

OBJETIVOS




– Desenvolvimento da atenção e concentração;

– Trabalhar com figuras geométricas;

– Trabalhar com área e perímetro.


– Palitos de sorvete, fósforos, churrasco, canudos plásticos ou ainda lápis de

cor.

DESENVOLVIMENTO


jogado em dupla;

– Colocar o desafio;

– Esperar que os desafiados resolvam.

EXEMPLOS DE JOGOS COM PALITOS:

I) Com cinco palitos, construa:

a) Um triângulo.

b) Dois triângulos.

c) Quatro triângulos.

II) Utilizando doze palitos, construa:

a) Um triângulo.

b) Um quadrilátero.

c) Um pentágono.

d) Um hexágono.

e) Um heptágono.

f) Um octógono.

III) Utilizando doze palitos, construa a figura abaixo:

a) Quantos quadrados há na figura que você construiu?

b) Retire dois palitos para ficar com apenas dois quadrados.

c) À figura inicial, retire dois palitos e obtenha três quadrados.

d) À figura inicial, mova quatro palitos e forme três quadrados.

e) À figura inicial, acrescente quatro palitos e forme mais cinco

quadrados.

f) Com esses mesmos doze palitos, construa seis triângulos eqüiláteros.

g) Ainda com doze palitos, construa uma figura que possui quatro

triângulos eqüiláteros e um losango.

IV) Qual é o menor número de palitos necessários para construir:

– Desenhe, depois conte os palitos;

– Compare sua resposta com a de seus colegas.

a) Um triângulo?

b) Dois triângulos?

c) Três triângulos?

d) Quatro triângulos cujos lados possuem apenas um palito?

e) Um quadrado?

f) Dois quadrados?

g) Três quadrados?

h) Quatro quadrados?

i) Cinco quadrados cujos lados possuem apenas um palito?

j) Dois losangos cujos lados possuem apenas um palito?

RESTA UM ou SOLITÁRIO

TIPO DE JOGO

– Jogo de tabuleiro, comprado pronto (Fabricante: desconhecido) ou

confeccionado em papel e jogado com pedrinhas, milho, moedas ou peças

confeccionadas com papel, plástico ou outro material disponível;

– Quebra-cabeça com várias seqüências, adaptadas à idade da criança.

CONTEÚDO

– Raciocínio, recomendado para crianças a partir dos 6 anos.

OBJETIVOS




– Desenvolvimento da atenção e concentração;


– O jogo em si (comprado) ou o confeccionado com o material escolhido

pelos alunos.

DESENVOLVIMENTO

– O objetivo do jogo é deixar apenas uma bolinha no tabuleiro.


jogado em dupla;

– Colocar o desafio;

– Esperar que os desafiados resolvam.

VARIAÇÕES MAIS CONHECIDAS DO JOGO

1) Com tabuleiro igual ao original:

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2) Com tabuleiro quadrado:

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3) Com tabuleiro triangular:

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OBSERVAÇÃO:

Caso queiram jogar on-line, existem vários sites com esse tipo de jogos:

– Resta um clássico, fácil de mexer as peças, basta arrastar. As instruções

estão em inglês. http://quizes.com.br/jogos/resta_um

– Resta um com desenho clássico mas como um tabuleiro cheio de queijos,

sem o espaço inicial central.

Você clica em qualquer um dos pedaços para começar o jogo e um ratinho

aparece para comer o queijo.

Não é obrigatório deixar o espaço vazio no centro do tabuleiro.

Quando você arrasta o queijo pulando por cima do outro pedaço, o ratinho

vem para comer o pedaço de queijo que deveria sair do tabuleiro.

Creio que isso pode estimular as crianças menores a continuar jogando.

http://www.tabuleiro.com/jogos/resta1.htm

– Resta um triangular. A cada novo jogo, muda o lugar que deve ficar

vago. As instruções estão em inglês.

http://www.eurooscar.com/Jogoiq/iq.htm

DOTS ou PONTINHOS

TIPO DE JOGO

– Jogo feito, geralmente, na última folha dos cadernos dos alunos.

CONTEÚDO

– Raciocínio, recomendado, para crianças a partir dos 6 anos.

OBJETIVOS






Uma folha de caderno, quadriculada ou não.

DESENVOLVIMENTO

– Jogo para duplas, mas nada impede de ser jogado por mais pessoas,

depende do tamanho do tabuleiro;

– Unir os pontos até que consiga fechar um quadrado, ou casa;

– Ganha o jogador que tiver o maior número de “casas”.

DOTS ou PONTINHOS:

– Forma quadrada, encontrada mais comumente.

– Forma hexagonal.

OBSERVAÇÃO:

Caso queiram jogar on-line, existem vários sites com esse tipo de jogo, basta

entrar em um site de busca e procurar por “dots” ou “pontinhos”.

PENTAMINÓS

TIPO DE JOGO

– quebra-cabeça composto por 12 peças diferentes e um tabuleiro

quadriculado de 64 casas (8X8).

CONTEÚDO

– Raciocínio lógico, recomendado, para crianças a partir dos 11 anos.

OBJETIVOS

– Desenvolvimento de estratégias de raciocínio;



– As peças coloridas e o tabuleiro que podem ser confeccionados pelos

próprios alunos.

DESENVOLVIMENTO

– Jogo para duplas;

– Cada jogador, na sua vez, escolhe uma entre as peças disponíveis e a coloca sobre o tabuleiro, de tal modo que os cinco quadrados da peça fiquem colocados sobre casas livres;

– O primeiro que não puder colocar uma nova peça perde.

COMO JOGAR:

I U

V P

L Y N

Z F T W X

– As 12 peças (acima) ficam ao lado do tabuleiro (abaixo), à disposição dos dois jogadores.

– Cada jogador, na sua vez, escolhe uma entre as 12 peças disponíveis e a

coloca sobre o tabuleiro, de tal modo que os cinco quadrados da peça

fiquem colocados sobre casas livres.

– A primeira peça a ser colocada pela pessoa que iniciará o jogo deve

obrigatoriamente cobrir pelo menos uma das quatro casas centrais do

tabuleiro.

– Em seguida, cada peça colocada sobre o tabuleiro deve tocar pelo

menos um lado ou ângulo a peça já colocada. Abaixo seguem um exemplo

errado e dois certos:

OBSERVAÇÃO:

1) Pode-se variar o jogo se, ao invés de deixar as peças ao lado do tabuleiro

para que os jogadores escolham uma peça a cada rodada, ambos dividam

as 12 antes de iniciar a partida a partida.

2) O jogo também pode ser apresentado como um desafio em forma de

quebra-cabeça, para uma única pessoa montar uma determinada figura ou

formar um retângulo de um certo tamanho, usando um certo número de

peças. Por exemplo, formar um retângulo de 6 X 10 utilizando 10 pentaminós

à sua escolha.

3) Caso queiram jogar on-line, existe um site, em inglês, que oferece animais,

meios de transportes, peças de xadrez, entre outras sugestões para se

construir com as peças de um pentaminó comum:

http://matematica5.nosapo.pt/Pentamino.htm

SUGESTÕES DE LEITURA

A PAIS BRILHANTES – PROFESSORES FASCINANTES

KURY, Augusto.

11.ª EDIÇÃO, Rio de Janeiro, Sextante Editora, 2003

Este é um livro que pode interessar não só aos pais com filhos

estudando, da pré-escola à universidade, mas a todos que trabalham

diretamente com outras pessoas e que sentem a necessidade de melhorar

as suas relações sociais.

O livro procura mostrar que para fazer a diferença temos de adquirir

os sete hábitos dos pais brilhantes e dos professores fascinantes e deixar os

sete pecados capitais dos educadores.

Neste livro o psiquiatra e cientista Augusto Cury mostra que é preciso

cultivar a emoção e expandir a inteligência dos jovens. E, para isso, pais e

professores precisam de ferramentas para estimular as crianças e os

adolescentes.

O CORPO FALA: A LINGUAGEM SILENCIOSA DA COMUNICAÇÃO NÃO-VERBAL

WEIL, Pierre; TOMPAKOW, Roland.

52.ª edição, Petrópolis, Editora Vozes, 2001.

O livro “Corpo Fala” mostra que não é preciso palavras para se

comunicar, abrindo, de maneira fácil e gostosa o mundo comunicação não

verbal para o homem e a mulher, o jovem e o maduro, o casado e o solteiro,

o profissional de qualquer área, para todo o ser humano.

É um livro divertido, cheio de figuras, que te chamam a atenção por

acontecer cotidianamente conosco.

Já no primeiro capítulo têm-se uma grata surpresa onde o autor pede

que “se passeie” pelo livro antes de começar a leitura, coisa essa que as

crianças ou os curiosos fazem.

Esse livro mostra um pouco mais do ser humano por meio de gestos e

atitudes que comumente passam despercebidos durante a vida.

De acordo com o livro o corpo humano é dividido em três partes:

Águia (cabeça - controle), Leão (tórax - emoção) e Boi (abdômen - desejos

instintivos).

Você anda com a cabeça erguida e coluna reta ou com a cabeça

baixa e a coluna curvada? O que isso quer dizer? Leia o livro!

Seus braços estão cruzados diante de uma pessoa. Isso é sinal que seu

corpo está falando. O isso quer dizer? Leia o livro!

Essas e muitas outras curiosidades poderão ser encontradas nesse livro.

Ficou curioso(a), leia o livro!

A EXPERIÊNCIA MATEMÁTICA

DAVIS, J. P. & HERSH R., A experiência matemática. Rio de Janeiro, Francisco

Alves, 1985.

Este não é um livro qualquer que fala sobre Matemática, é um dos

poucos livros de divulgação científica que encanta, possui uma leitura

agradável, intelectualmente estimulante e que não precisa ser gênio para

poder entender e vir a gostar de Matemática.

Abaixo, alguns depoimentos colhidos a respeito desse livro:

New York Times: "Consegue comunicar ao leitor comum a beleza e o

fascínio pelo tema."

The New Yorker : "Um livro verdadeiramente maravilhoso."

Artigo publicado na revista Gazeta do Mundo de língua portuguesa, nº 7, Primavera/Verão 1996, pp.53-59. Por Fernando Henrique de Passos.

PARA UMA NOVA FILOSOFIA DA MATEMÁTICA Uma abordagem de A Experiência Matemática*

«Le bon critique est celui qui raconte les aventures

de son âme au milieu des chefs-d'oeuvre»

Anatole France Que um ponto fique, desde já assente: quando abrimos A Experiência

Matemática, da autoria de Philip J. Davis e Reuben Hersh, não estamos

perante um livro qualquer – estamos perante o que classificaríamos de «obra-prima», não fosse esta expressão estar tão gasta e banalizada que se torna incapaz de comunicar a sensação de deslumbramento que o livro provoca.

Como descrever essa sensação? Vemos bafientas ideias feitas

desmoronarem-se como castelos de cartas ante o sopro vivificante que percorre estas páginas? Sem dúvida. Mas, mais do que isso, vemos acutilantes gumes abrirem fendas na durísssima carapaça onde se encerra o quase absoluto vazio da falta de ideias da comunidade matemática actual. Vemos correr de novo, por essas fendas, uma seiva cuja corrente fora dramaticamente interrompida pela chamada «crise de fundamentos» do princípio do século e pela falsa resposta que a filosofia formalista lhe deu.

Abrimos os olhos semicerrados pela miopia das últimas dezenas de

anos e vemos a matemática como ela nunca devia ter deixado de ser vista: como um organismo vivo em permanente mutação, de longuíssimas raizes mergulhadas num passado milenar, que não pode ser renegado, e estendendo-se em direcção a um futuro que não está pré-determinado – pois este organismo é também profundamente humano e comunga, portanto, da mais peculiar característica do humano – a imprevisibilidade.

Mas deixemos as alturas para as quais o arrebatamento nos lançou e

procuremos descer até uma atmosfera menos rarefeita – e mais propícia à análise crítica – na tentativa de dar ao leitor um panorama do livro e na esperança de o levar à sua leitura.

Será possível levar a cabo esta tarefa de um modo sistemático? Bem,

sistemático é algo que, à primeira vista, A Experiência Matemática não é, parecendo deliberadamente optar por um estilo impressionista, que vai sugerindo, mais do que mostrando, inquirindo, mais do que afirmando, num subtil jogo cujo elemento estratégico primordial é a surpresa, e que não cabe em esquemas rígidos, pois o âmago do que se pretende atingir é o que há de menos nítido e de mais difuso – é o próprio mistério que envolve a actividade do matemático. Mesmo assim, pensamos conseguir descortinar um plano por detrás deste fogo de artifício de ideias aparentemente dispersas.

Logo nas primeiras linhas do Prefácio é colocada uma série de

questões: «Qual é a natureza da matemática? Qual é o seu significado? Quais são as suas preocupações? Qual é a sua metodologia? Como se cria? Como se aplica? Como se adapta à diversidade da experiência humana? Que benefícios dela decorrem? Que malefícios? Que importância poderá atribuir-se-lhe?».

Vemos assim, desde o início, lançadas as bases de um cerco total ao

conceito de «matemática». Ao longo de todo o livro, este cerco ir-se-á apertando, até culminar, não numa resposta definitiva (afirmar qualquer coisa de definitivo sobre a matemática não estaria de acordo com a

própria visão que dela têm os autores), mas com o apontar de um possível caminho, apenas esboçado, para uma nova filosofia da matemática. E, aqui como em todo o livro, os autores não têm nada a esconder – as epígrafes que precedem a obra anunciam já o seu desfecho.

Temos uma citação de Platão – «O conhecimento a que a

geometria aspira é o conhecimento do eterno» – e outra de Lakatos (inequivocamente o «ídolo» de Davis e Hersh) – «Aquela por vezes cristalina [...] e por vezes difusa substância [...] que é [...] a matemática». A primeira remete para a filosofia inconsciente e não assumida da maioria dos matemáticos, que será dialecticamente reavaliada, trazida das profundezas do inconsciente para a luz do dia e assumida numa forma mitigada e aberta à discussão.

A segunda tem a carga simbólica de um estandarte, valendo

sobretudo pelo nome do seu subscritor – a principal influência da obra é desde logo assumida – e é reforçada pela terceira, do romancista Boris Pasternak: «Aquilo que é regular, ordenado, factual, nunca basta para abranger toda a verdade: a vida extravasa sempre a borda de qualquer taça».

A diversidade das questões colocadas no Prefácio, acima referidas,

configura a estrutura de A Experiência Matemática: esta ciência será encarada de todos os ângulos possíveis, exploradas serão todas as vias que a podem pôr em contacto com a realidade palpável, num esforço gigantesco para decifrar a sua essência – que transcenderá esta teia de relações com o mundo exterior sem, no entanto, delas ser independente.

A melhor maneira de dar início a uma obra com os objectivos acima

delineados é, obviamente, a de enunciar a definição mais corrente de matemática, aquela que poderia ser «adequada às páginas de um dicionário». Como seria de esperar, caso contrário o livro estaria concluído ao fim das primeiras linhas, anuncia-se que essa definição – «ciência da quantidade e do espaço» – terá que ser posta em causa.

Rapidamente, através do exemplo da geometria, na qual o método

tem sido considerado tão importante, pelo menos, como o objecto de estudo, chega-se a nova definição, talvez um pouco estranha para o leitor mais desprevenido: «a matemática é a ciência de inferir condições necessárias» (C. S. Peirce, meados do século XIX). Se a primeira definição era demasiado restritiva, a última peca pelo defeito oposto. Algures entre as duas, situar-se-ia a definição correcta, se tal coisa existisse. Mas a tese defendida é a da subjectividade do conceito de matemática, conceito irredutível a qualquer síntese exaustiva.

No resto do primeiro capítulo, «A Paisagem Matemática», o cerco

começa a fechar-se. Somos confrontados com algumas manifestações «concretas» de matemática e postos perante a dicotomia matemática

criada pelo homem / matemática pré-existente, com o objectivo de nos fazer interrogar sobre o seu estatuto ontológico.

É-nos apresentada uma resenha histórica brevíssima, através da qual

surge o contraste entre a actividade matemática actual e aquela que se processava em tempos não muito recuados – começa a surgir o factor humano... Uma secção aparentemente inócua, sobre «As ferramentas do ofício», acaba por ser quase inteiramente dedicada à avaliação do papel dos computadores na investigação matemática, abrindo uma nova frente de combate: a dicotomia entre matemática construtivista e não construtivista.

A propósito da gigantesca quantidade de conhecimento

matemático acumulada nos nossos dias, é feita uma incursão sobre outro problema de crucial importância: o modo como esse conhecimento se estrutura e evolui. Deparamos depois com uma situação quase caricata, a que os autores chamam «dilema de Ulam», numa referência ao primeiro matemático que para ela chamou a atenção.

O dilema de Ulam coloca-se em termos muito simples: uma

estimativa aproximada mostra que são publicados por ano 100 000 a 200 000 novos teoremas; «se o número de teoremas é superior ao que qualquer ser humano poderá examinar, a quem poderemos confiar o cargo de juiz do que é "importante"?». Note-se que a ênfase está na faceta da matemática como actividade humana – de qualquer outra perspectiva, o problema nem se colocaria.

Problema que não é, de modo nenhum, meramente académico –

alguém tem que decidir que linhas de investigação serão financiadas... A conclusão mais relevante é a de que «problemas inevitáveis do quotidiano da prática da matemática conduzem a questões fundamentais de epistemologia e ontologia» (os sublinhados são nossos).

Vaie-se cimentando a ideia de matemática como um todo complexo

em que prática e sentido estão inextrincavelmente entrelaçados. O capítulo termina com uma curta reflexão sobre o futuro da matemática, com mais uma mão cheia de ideias estimulantes (é impressionante o elevadíssimo valor que assume, neste livro, o número de ideias por centímetro quadrado).

Pensamos que não se torna necessário fazer para os restantes sete

capítulos um resumo deste tipo. O leitor já terá ficado com uma noção dos moldes em que a obra está concebida. Limitar-nos-emos, então, a referir alguns dos pontos mais relevantes que se nos deparam até ao final.

O segundo capítulo, «A variedade da experiência matemática»,

começa em tom de sátira, com uma caricatura brilhante do «matemático ideal» (no sentido, não de matemático perfeito, mas de estereótipo do matemático contemporâneo). O tema central desta

sátira, ilustrada por impagáveis diálogos imaginários que o «matemático ideal» entretem com diversos tipos de pessoas, é a falta de consciência que esse mesmo matemático tem da natureza da sua própria actividade, e do estatuto do mundo que é objecto do seu estudo, deficiência descoberta pelos autores à sua própria custa, como confessam na Introdução.

Saliente-se a referência ao que poderíamos chamar de falta de rigor

da própria noção de demonstração rigorosa, a crítica à «filosofia» típica (ou falta dela...) do matemático actual e a abordagem da questão da «existência» em matemática, retomando uma interrogação do primeiro capítulo e preparando novas incursões neste campo, absolutamente central. De sublinhar que a sátira ao «matemático ideal» termina com uma nota de simpatia para com esta bizarra espécie, na qual os próprios autores humildemente se incluem.

Não resistimos a citar: «Naturalmente, nada disto prova que estamos

errados na percepção de que possuímos um método seguro para a descoberta de verdades objectivas. Devemos, contudo, parar um momento para nos apercebermos de que, fora do nosso conventículo, muito do que fazemos é incompreensível. É impossível convencer um céptico confiante de que aquilo de que falamos faz sentido, quanto mais de que "existe"».

Se, contra o que nos tínhamos proposto, ainda nos detivemos com

alguma demora na secção acabada de resumir, é porque ela se reveste de um significado muito especial: foi a tomada de consciência, por parte de Davis e Hersh, do quase absurdo da sua actividade, que os levou a meter ombros à tarefa de escrever A Experiência Matemática. Retomemos agora o projecto de dar uma visão mais global da obra.

Se o que se pretende é atingir a essência mais profunda da

matemática, há uma velhíssima questão que não pode ser ignorada e que, naturalmente, os autores não ignoram: como explicar a adequação da matemática à realidade exterior? Dentro do espírito vivo e aberto que caracteriza o livro, nada melhor, para começar, do que ouvir o que tem um físico a dizer sobre o assunto. O sumário da entrevista (pp.57-63) a William F. Taylor (nome fictício, por os autores temerem não ter transmitido «completa e fielmente as posições» do entrevistado) é um belo repositório das ideias sobre a matemática mais espalhadas entre os cientistas não matemáticos.

O tema é mais tarde desenvolvido pelos próprios autores na secção

«Por que funciona a matemática: uma resposta convencionalista», onde se começa pela clássica resposta segundo a qual «Deus é matemático», passando-se de seguida à exposição do ponto de vista pragmático, que vê o homem a forçar a matemática a ajustar-se à realidade e não a descobrir a matemática na realidade, e cujos adeptos substituíram a palavra «teoria» pela palavra «modelo». Ainda sobre esta questão, parece-nos oportuno recuar umas páginas para citar: «Richard Courant escreveu, há muitos anos, que o rio da matemática, se separado da

física, poderia dividir-se em muitos regatos isolados e eventualmente secar por completo».

A mesma questão da aplicabilidade da matemática converte-se, por

uma pequena mudança de perspectiva, na questão da utilidade da matemática. Entre as duas posições extremas constituídas pelo «hardyismo» e pelo «maoismo», defendendo a primeira que a matemática deve ser encarada como uma arte, tanto mais nobre quanto mais inútil, e a segunda que só deve interessar a matemática que responda a exigências de produção (!), é advogado um meio termo, uma posição de equilíbrio, que é «aquilo que se pretende, na matemática, como em tudo». De notar que esta procura do equilíbrio entre extremos dialecticamente antagónicos é uma constante de toda a obra, sendo recorrentes as situações antinómicas.

Das várias relações postas a descoberto entre a matemática e outras

esferas do humano, destacamos o que é dito sobre as relações entre matemática e religião. Um elo óbvio entre as duas está já implícito na afirmação comentada pelos autores, e acima citada, segundo a qual «Deus é matemático». Mas podemos ir muito mais longe, e analisar até duas possibilidades diferentes. Por um lado, a matemática como religião.

Veja-se, a este propósito, a extensíssima citação de I. R. Shafarevitch

(pp. 63-65), um representante da escola neoplatonista, a qual, no fim de contas, mais não faz do que retomar uma tradição velha de mais de dois milénios, pois «os filósofos gregos viam a matemática como uma ligação entre a teologia e o mundo físico perceptível». Por outro lado, a teologia feita em moldes matemáticos, isto é, segundo o paradigma lógico-. dedutivo. Aqui, remetemos para a secção «A abstracção e a teologia escolástica», onde se faz o estudo da obra de Saadia Gaon, filósofo e teólogo judeu do século X. A este propósito, é ainda de citar, por exemplo, parte de uma passagem de Herman Weyl: «a própria investigação puramente matemática (...) eleva o espírito humano a uma proximidade do divino maior do que é alcançável por qualquer outro meio» (pág. 112). Na mesma linha estão muitos outros pensadores, como Nicolau de Cusa, Kepler ou Novalis (cf. pp. 113 e 114). Preferimos, no entanto, terminar a referência a esta questão dando a palavra aos próprios autores: «Na medida em que tem como objecto um conhecimento ideal e estuda as relações entre esse ideal e o mundo tal como o conhecemos, a matemática tem algo de comum com uma religião» (p.112). E um pouco mais adiante: «Poderemos concluir que a matemática é uma forma de religião, talvez mesmo a verdadeira religião?» (pág. 116).

Deixando as relações da matemática com o ambiente que a cerca e mergulhando na matemática em si, Davis e Hersh guiam-nos com perícia através de um mundo que conhecem admiravelmente bem, sobretudo desde que tiveram a coragem de dar o difícil salto intelectual que consistiu em colocarem-se de fora desse mundo e passarem a vê-lo do exterior e não do interior (cf. a Introdução). As três principais componentes do modus operandis do matemático – abstracção,

generalização, formalização – são cuidadosamente avaliadas e ponderadas. De passagem, as posições filosóficas dos autores vão sendo reafirmadas e ilustradas: a quase inevitabilidade do platonismo em matemática, numa ou noutra forma; a condenação da filosofia formalista; a necessidade ou, pelo menos, o interesse de um estudo «psico-histórico» da génese dos conceitos matemáticos. Nesta viagem ao centro da matemática, guiados pelos autores, passamos de seguida à questão do significado que a palavra «existir» assume no seu âmbito, questão para cuja importância já fora chamada a atenção; retomamos também, de forma mais extensa, a reflexão sobre o conceito de demonstração (terminando a secção que lhe é dedicada a esse conceito com três parágrafos admiráveis, atestando uma magnífica capacidade de análise/síntese, e repletos de sensatez e abertura de espírito); debruçamo-nos, a propósito do conceito ideal e abstracto de «linha recta», sobre a dicotomia intuição/formalismo, saindo reforçadas, mais uma vez, as limitações do último; abordamos a teoria das probabilidades, com toda a sua aura de mistério e paradoxo; confrontamo-nos com a incontornável importância dos critérios estéticos em matemática; espantamo-nos com uma inesperada analogia entre física e matemática, ao constatarmos que também a última busca muitas vezes extrair uma ordem, essencial mas oculta, de um caos aparente (o que só vem reforçar a tese platónica); deparamos com mais uma dicotomia, aquela existente entre «matemática dialéctica» e «matemática algorítmica»; encontramos, finalmente, dois motores do progresso da matemática – a busca de explicação para certos milagres matemáticos (caso, por exemplo, de métodos que funcionam bem, mesmo violando regras aparentemente bem estabelecidas) e a ânsia de unificar.

Com isto, estão cobertos os primeiros quatro capítulos do livro.

Correndo o risco de este texto assumir as características de um movimento uniformemente acelerado, vamos ser ainda mais breves na apreciação dos restantes quatro. De qualquer modo, o essencial já ficou dito, pois ao longo da obra, como ao longo de uma sinfonia, voltam a surgir os mesmo temas, repetidamente retomados, embora sempre trabalhados de forma diferente. Do quinto capítulo, salientamos apenas que a escolha dos tópicos que são objecto de exposição mais detalhada é altamente criteriosa.

Quanto ao capítulo dedicado ao ensino e aprendizagem da

matemática, digamos que devia ser lido não só por muitos professores, como também pelos responsáveis por programas, que fariam melhor, uns e outros, em dar mais ênfase ao desenvolvimento histórico das ideias, que é, quase sempre, pura e simplesmente ignorado, e em mudar a sua atitude do «oiçam, digo-lhes que é assim» para o «venham, vamos raciocinar em conjunto», como escrevem os autores. (Não podemos aqui deixar de fazer justiça a alguns professores que tivemos, quer no ensino liceal, quer no universitário, que seguiam a segunda linha de actuação). O capítulo acaba por deslizar para questões mais gerais, nesta incessante busca do verdadeiro significado do fazer matemática.

No capítulo «Da certeza à falibilidade», são abordados, finalmente, de forma explícita, os problemas centrais da filosofia da matemática. As posições «ortodoxas», ou «oficiais», são meticulosamente desmontadas... E vamos desembocar em Lakatos, na secção «Lakatos e a filosofia da dúvida», de leitura verdadeiramente empolgante.

Todo o livro está construído no sentido de alcançar aqui o seu clímax,

e resta perguntar: por que razão não dão os autores a obra por concluída neste ponto? A resposta não nos parece difícil de encontrar. A referida secção não apresenta conclusões definitivas (o próprio Lakatos faleceu demasiado cedo para poder dar por concluída a sua obra) e, assim, o derradeiro capítulo apresenta-se como ponto de partida para futuros desenvolvimentos desta nova e ainda emergente filosofia da matemática, desenvolvimentos esses, quem sabe, a serem levados a cabo por algum leitor mais audaz, que aceite o desafio que, no fundo, nos lança a todos este livro extraordinário.

Gostaríamos de dar aqui por concluída esta nossa breve apreciação

mas, infelizmente, não podemos terminar sem apontar, pelo menos, alguns dos erros mais graves da tradução portuguesa. Em primeiro lugar, a absurda designação, ao longo de todo o livro, de «análise não standardizada» para o que já tem a designação universalmente aceite de «análise não standard». Também «rede» em vez de «reticulado» (p.45), «equações de funções» em vez de «equações funcionais» (p.97), «campo» em vez de «corpo» (p.187), Meno em vez de Ménon (p.305) e, por várias vezes, «números infinitos» ou «pontos infinitos» em vez de «infinitos números» ou «infinitos pontos, respectivamente (pp.150, 203, por duas vezes, 245 e 252), «Pelo contrário» em vez de «Reciprocamente» (p.278).

Também de referir a frequente tradução de «eventually» por

«eventualmente», quando o correcto é «finalmente» ou «mais tarde ou mais cedo». É desnecessário indicar uma a uma diversas gralhas que, no entanto, a Gradiva deverá ter o cuidado de corrigir numa futura reedição.

Para não terminarmos em tom menor, mas antes com uma nota

positiva, concluamos dizendo que a leitura deste livro nos fez passar a gostar ainda mais de matemática!

Retirado de http://www.harmoniadomundo.net/Ciencias/Matematica.htm

em 13 de janeiro de 2008 às 22h 47 min.

da escola pÚblica paranaense 2007 - … · pontos do jogo, na formação de grupos, trabalho em...

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