d } o p u ^ ] u µ o } w } } t µ ] ( v ] ] -...

Modelagem e Simulação de Modelagem e Simulação de Processos – Equações Diferenciais

Prof. Dr. Félix Monteiro Pereira

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM(PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)

Um fenômeno importante na indústria de processos é a transferência de massa entre duas correntesfluidas. Em fenômenos como absorção, destilação e retificação, uma corrente líquida flui para baixoe uma corrente em fase gasosa é forçada a subir através da fase líquida. A representaçãoesquemática abaixo considera uma vazão molar L de líquido a uma composição f(t) e uma vazãomolar V de um vapor a uma composição g(t) sendo alimentadas a um "prato" contendo uma massam de líquido no qual se dá a transferência de massa. Deste processo resultam uma corrente líquidade composição x e uma corrente gasosa de composição y. Neste problema, todas as composições sãode composição x e uma corrente gasosa de composição y. Neste problema, todas as composições sãoexpressas em fração molar.

Considerando constantes L, V e m, pode-se obter a seguinte equação diferencial para adeterminação da composição do líquido que sai do prato:

,

K é a constante de equilíbrio líquido-vaporE é a eficiência do prato (uma eficiência de 100% corresponde a uma situação em que x e y são ascomposições de equilíbrio para os componentes).Monte um gráfico (até que seja possível se visualizar o regime permanente) mostrando a variação dacomposição x com o tempo considerando os seguintes dados: a = 1; b = 2,5; f(t) = 0,05 + t parat<=0,5;f(t) = f(0,5) para t>0,5; g(t) = 0,01.Considere que no instante t=0, a composição de saída do líquido corresponde à concentração deentrada (x0=0,05).

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM(PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)

In[48]:= a 1;b 2.5;

g 0.01 ;f t

função por partesPiecewise 0.005 t, t 0.5 , 0.55 , t 0.5

0.005 t t 0.5Out[51]=

0.005 t t 0.50.55 t 0.50 True

In[52]:= xcresolve numéricamente equação diferencialNDSolve x' t a x t a f t b g, x 0 0.05 , x, t, 0, 10

gráficoPlot

calculaEvaluate x t . xc , t, 0, 10 ,

intervalo do gráPlotRange

tudoAll

Out[52]= x InterpolatingFunctionDomain: 0. , 10.Output: scalar

0.6

In[55]:=

mostraShow 53,

legenda dos eixosAxesLabel

forma sem avaliaHoldForm t ,

forma sem avaliaçãoHoldForm x ,

etiqueta de gráfPlotLabel

nenhumNone ,

estilo de etiquetaLabelStyle

tons de cinzasGrayLevel 0

x

Out[53]=

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Out[55]=

2 4 6 8 10t

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6x

Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada

Considere o crescimento de uma determinada bactéria em um biorreator batelada. Sendo a

concentração inicial de microrganismos igual a X0 e a de substrato S0, se considerarmos que apenas

um substrato limite o crescimento, que a quantidade de substrato consumida para a manutenção celular

e para a formação de produtos seja insignificante, e que não haja inibição ao crescimento celular, a

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)

e para a formação de produtos seja insignificante, e que não haja inibição ao crescimento celular, a

velocidade específica de crescimento celular (x) pode ser descrita pelo modelo de Monod:x=rx/X=máx*S/(ks+S) (1)onde:rx=velocidade de crescimento celular (g/[Lh]);X= concentração de bactérias (g/L);t=tempo (h);S=concentração de substrato (g/L);máx=velocidade específica máxima de crescimento (h-1);ks=concentração de substrato quando x=máx/2 (g/L).A velocidade específica de consumo de substrato (s) é dada por:s=rs/X=(1/Yx/s) x (2)onde:onde:Yx/s= conversão de substrato em células;rs= velocidade de consumo de substrato (g/[Lh]);Considerando X0=0.5g/L; S0=50g/L; máx=0.5h-1; ks=1g/L; Yx/s=0.5(g de células/grama de substrato),plote o gráfico das concentrações de substrato e células (X e S) no reator, em função do tempo, atéque todo o substrato seja consumido.

Crescimento Microbiano em Biorreator Batelada:

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM (PROBLEMAS DE VALOR INICIAL)

In[120]:= x0 0.5;

s0 50;m 0.5;ks 1;yxs 0.5;

xsresolve numéricamente equação diferencialNDSolve x' t m s t x t ks s t , s' t x' t yxs, x 0 x0, s 0 s0 , x, s , t, 0, 10

Out[125]= x InterpolatingFunctionDomain: 0. , 10.Output: scalar

, s InterpolatingFunctionDomain: 0. , 10.Output: scalar

In[129]:=

gráficoPlot

calculaEvaluate x t . xs ,

calculaEvaluate s t . xs , t, 0, 10 ,


tudoAll

50

Out[129]=

2 4 6 8 10

10

20

30

40

Vários métodos numéricos: shooting, métodos de colocação, etc. No scilab pode-se utilizar a função bvode

Reação-difusão em catalisador poroso

Considere o fenômeno de reação-difusão envolvido na reação catalítica AB que ocorre em uma partícula catalíticaporosa, presente em um reator. Para que a reação ocorra, o reagente A deve difundir do meio externo para o interiorda partícula catalítica porosa (pois o elemento que catalisa a reação estará distribuido nos poros das partículas).Para uma cinética de ordem n qualquer, o balanço material adimensionalizado é dado pela seguinte equaçãodiferencial.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM(PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO)

diferencial.

(1)Onde:ca é a concentração adimensional de reagente A no interior da partícula, calculada pela da divisão da concentração nointerior da partícula pela concentração de reagente no meio fluido externo à partícula;xa é a coordenada espacial que corresponde à divisão entre a posição medida a partir do centro da partícula e ocomprimento entre o centro e a superfície da partícula;α é o fator correspondente à geometria da partícula (α =1 para geometria retangular, α =2 para geometria cilíndrica eα =3 para geometria esférica); é o módulo de Thiele (que incorpora parâmetros de reação e de difusão).

As condições de contorno, são apresentadas pelas seguintes equações: para xa = 0; para xa=1.

O fator de efetividade (η), o qual é a razão entre a velocidade de reação real (incluindo a restrição difusional) e a

na

a

a

aa

a cdx

dc

xdx

cd 222

2 1

0a

dx

dc 1acO fator de efetividade (η), o qual é a razão entre a velocidade de reação real (incluindo a restrição difusional) e avelocidade de reação nas condições da superfície da partícula (sem restrição difusional) pode ser calculado a partir daseguinte equação:

a) Plote as curvas de concentração adimensionalizada (ca) em função de xa para xa variando entre 0 e 1 com umpasso de 0,01, para uma reação de primeira ordem e para a geometria esférica, para = 0,5, = 1, = 2, = 4 e = 8;

b) Obtenha a solução analítica para os perfis de concentração e para o fator de efetividade;c) Compare os valores obtidos numericamente para o fator de efetividade para os módulos de Thiele do item a) com

a solução analítica do fator de efetividade para geometria esférica:

adx

1

2

1

axa

a

dx

dc


In[42]:= 3;0.5;

s05resolve numéricamente equação diferencialNDSolve c'' x

1

xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c, x, 10 16, 1 ;

NDSolveValue c'' x 1x

c' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 105n

NDSolveValue c'' xx

c' x c x , c' 10 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 , 1

2

Out[45]= 0.876249

In[46]:= 1;


1

xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c, x, 10 16, 1 ;

1nNDSolveValue c'' x 1

xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 1

2

Out[48]= 0.671636Out[48]= 0.671636

In[49]:= 2;


1

xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c, x, 10 16, 1 ;


xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 1

2

Out[51]= 0.416673


In[52]:= 4;


1

xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c, x, 10 16, 1 ;

NDSolveValue c'' x 1 c' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 14n

NDSolveValue c'' x 1x

c' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 1

2

Out[54]= 0.229179

In[55]:= 8;


1

xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c, x, 10 16, 1 ;


xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 1

2

0.166022Out[57]= 0.166022

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM

In[58]:=

gráficoPlot

calculaEvaluate c x . s05, c x . s1, c x . s2, c x . s4, c x . s8 , x, 0, 1 ,


tudoAll

Out[58]=0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

Obs. o método não convergiu para =8, para convergir é necessário reduzir o passo de integração do método numérico

In[59]:= s8resolve numéricamente equação diferencialNDSolve c'' x

1x

c' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c, x, 10 16, 1 ,passo máximo fracionárioMaxStepFraction 1 100 ;


xc' x 2 2 c x , c' 10 16 0, c 1 1 , c' 1 , x, 10 16, 1 , MaxStepFraction 1 100

2

Out[60]= 0.119098

In[61]:=

gráficoPlot

calculaEvaluate c x . s05, c x . s1, c x . s2, c x . s4, c x . s8 , x, 0, 1 ,


tudoAll

Out[61]=

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0


Soluções analíticas:

In[62]:=

apagaClear , x ;

In[63]:= sresolve equação diferencialDSolve c'' x

1x

c' x 2 2 c x , c' 0 0, c 1 1 , c x , x, 0, 1

3 1 x 2 1 6 x 2

Out[63]= c x

3 1 x 1 6 x

1 6 2 x

In[64]:= ssimplifica completamenteFullSimplify

3 1 x 1 6 x

1 6 x

Out[64]=Csch 3 Sinh 3 x

x

In[65]:= caCsch 3 Sinh 3 x

x

Csch 3 Sinh 3 xOut[65]=

Csch 3 Sinh 3 x

x

In[66]:= effD ca, x

2

Out[66]=

3 Cosh 3 x Csch 3x

Csch 3 Sinh 3 x

x2

3 2

In[67]:=

3 Cosh 3 Csch 31

Csch 3 Sinh 31

3 2

Out[67]=1 3 Coth 3

3 2


Respostas analíticas:

In[68]:=

In[69]:= fca :Csch 3 Sinh 3 x

x;

f :1 3 Coth 3

3 2;

Erro numérico:

In[76]:= 05n 05a

1n 1af :3 2

;

05avalor numéricoN f 0.5

1avalor numéricoN f 1




Out[71]= 0.876249

2n 2a

4n 4a

8n 8a

Out[76]= 5.50956 10 10

Out[77]= 3.75116 10 8

Out[78]= 6.34635 10 7

Out[79]= 0.0000125818

Out[72]= 0.671636

Out[73]= 0.416673

Out[74]= 0.229167

Out[75]= 0.119792

Out[80]= 0.000693219

Reação-difusão em catalisador poroso

Considere o fenômeno de reação-difusão envolvido na reação catalítica AB que ocorre em uma partícula catalíticaporosa, presente em um reator. Para que a reação ocorra, o reagente A deve difundir do meio externo para o interior dapartícula catalítica porosa (pois o elemento que catalisa a reação estará distribuido nos poros das partículas).Para uma cinética de ordem n qualquer, o balanço material adimensionalizado, no regime transiente, é dado pelaseguinte equação diferencial.

ESTUDO DE PROBLEMAS DE ENGENHARIA QUÍMICA E BIOQUÍMICAPROBLEMAS ENVOLVENDO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

2 1dc d c dc

(1)Onde:ca é a concentração adimensional de reagente A no interior da partícula, calculada pela da divisão da concentração nointerior da partícula pela concentração de reagente no meio fluido externo à partícula;xa é a coordenada espacial que corresponde à divisão entre a posição medida a partir do centro da partícula e ocomprimento entre o centro e a superfície da partícula;α é o fator correspondente à geometria da partícula (α =1 para geometria retangular, α =2 para geometria cilíndrica e α=3 para geometria esférica);Da é o número de Damköhler (que incorpora parâmetros de reação e de difusão).

A condição inicial é representada pela seguinte equação:As condições de contorno, são apresentadas pelas seguintes equações: para xa = 0; para xa=1.

2

2

1a a a

a aa a a

dc d c dcD c

d dx x dx

0a

a

dx

dc 1ac(0, ) 0ac

a) Plote a curva de concentração adimensionalizada (ca) em função de xa para xa variando entre 0 e 1 com um passode 0,01, para uma reação de primeira ordem e para a geometria esférica, para Da = 10 e τ=0.1.

Obs. Analise a programação apresentada a seguir.


In[1]:= 10;

tau .1;sol

resolve numéricamente equação diferencialNDSolve

derivadaD c r, t , t, 1

derivadaD c r, t , r, 2 2 r

derivadaD c r, t , r, 1

c r, t ,derivadaD c r, t , r, 1 . r 10 ^ 10 0, c 1, t 1,

c r, 0exponencialExp 10000 1 r^2 , c, r, 10 ^ 10, 1 , t, 0, 2

Out[3]= c InterpolatingFunction Domain: 1. 10 10 , 1. , 0. , 2.

Output: scalar

In[4]:=

gráficoPlot c r, t . sol . t tau, r, 0, 1 ,

intervalo do gráficoPlotRange 0, 1.0 , 0.1, 1.1 ,

origem dos eixosAxesOrigin 0, 0.4 ,

quadroFrame

verdaTrue ,

grade de linhasGridLines

automáticoAutomatic ,

estilo do gráficoPlotStyle

matizHue 4 tau 5 ,

espessoThick ,

tamanho da imagemImageSize 400 1, 1 ,

quociente de aspectoAspectRatio 1,

legenda do quadroFrameLabel

estiloStyle "r R0", 16,

itálicoItalic ,

estiloStyle "c r c0", 16,

itálicoItalic

d } o p u ^ ] u µ o } w } } t µ ] ( v ] ] -...

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