d complemento raciocinio logico assembleia legislativa 20100203

Complemento - 1

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COMPLEMENTO DE RACIOCÍNIO LÓGICO - ASSEMBLEIA LEGISLATIVA

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA

1. INTRODUÇÃO

Entendemos por grandeza tudo que se pode sermedir ou quantificar. O volume, a massa, a superfície,o comprimento, a capacidade, a velocidade e o temposão alguns exemplos de grandezas.

No nosso dia-a-dia encontramos várias situaçõesem que relacionamos duas ou mais grandezas.

Em uma corrida, quanto maior for a velocidademenor será o tempo gasto nessa prova. Aqui, as gran-dezas são: a velocidade e o tempo.

Numa construção, quanto maior for o número defuncionários menor será o tempo gasto para que estafique pronta. Nesse caso, as grandezas são: númerode funcionário e o tempo.

2. GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são chamadas diretamente proporci-onais quando, aumentamos uma delas a outra tambémaumenta na mesma proporção ou, quando diminuimosuma delas a outra também diminui na mesma propor-ção. Por exemplo: dobrando uma delas a outra tambémdobra; triplicando uma delas a outra também triplica etc.

Exemplo: Em um determinado mês do ano o litrode gasolina custava R$ 0,50. Tomando como base essedado, podemos formar a seguinte tabela.

Se a quantidade de gasolina dobra, o preço a serpago também dobra.

Se a quantidade de gasolina triplica, o preço a serpago também triplica.

Neste caso, as duas grandezas envolvidas, quantia aser paga e quantidade de gasolina são chamadas gran-dezas diretamente proporcionais.

3. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS

Duas grandezas são inversamente proporcionais quan-do aumentando uma delas, a outra se reduz na mesmaproporção. Exemplo: dobrando uma delas, a outra se

reduz para a metade; triplicando uma delas, a outra

se reduz para a terça parte... e assim por diante.

Exemplo: Um professor de matemática tem 24 livrospara distribuir entre os seus melhores alunos. Se ele es-colher apenas 2 alunos, cada um deles receberá 12 livros.Se ele escolher 4 alunos, cada um deles receberá 6 livros.Se ele escolher 6 alunos, cada um deles receberá 4 livros.

Observe a tabela:

Se o número de aluno dobra, a quantidade de li-vros cai pela metade.

Quando duas grandezas são inversamente propor-cionais, os números que expressam essas grandezas va-riam um na razão inversa do outro.

4. REGRA DE TRÊS SIMPLES

Regra de três simples é um processo prático pararesolver problemas que envolvam quatro valores, dosquais conhecemos três deles. Devemos, portanto, de-terminar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples 1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da

mesma espécie em colunas e mantendo na mes-ma linha as grandezas de espécies diferentes emcorrespondência.

2) Identificar se as grandezas são diretamente ou in-versamente proporcionais.

3) Montar a proporção e resolver a equação.

2 - Complemento


Exemplos:

a) Se 8m de tecido custam 156 reais, qual o preço de12m do mesmo tecido?

Observe que as grandezas são diretamente propor-cionais, pois aumentando o metro do tecido, aumenta,na mesma proporção, o preço a ser pago, logo:

Observe que o exercício foi montado respeitando osentido das setas.

Resposta: A quantia a ser paga é de R$ 234,00.

b) Um carro com velocidade de 60km/h faz certo per-curso em 4 horas. Se a velocidade do carro fosse de 80km/h, em quantas horas seria feito o mesmo percurso?

Observe que as grandezas são inversamenteproporcionais,pois aumentando a velocidade, o tem-po diminui na razão inversa, logo:

Observe que o exercício foi montado respeitandoos sentidos das setas, ou seja, colocamos as setas nomesmo sentido.

Resposta: O carro teria feito o percurso em 3 horas.

c) Se três limas custam R$ 144,00, quanto se pagarápor 7 limas iguais às primeiras?

Valendo-se do seguinte raciocínio: “se três limas cus-tam R$ 144,00, aumentando o número de limas au-mentará o preço, logo, a regra é simples.

De acordo com a propriedade fundamental dasproporções, tem-se:

3 . x = 144 . 7

Resolvendo a equação formada, tem-se:

Resposta: O preço das limas será R$ 336,00.

Vimos, pelos exemplos resolvidos, que a sucessãoque contém (x) serve de base para saber se qualqueruma outra é direta ou inversa. Se é direta, recebe as setasno mesmo sentido, e se inversa, em sentidos opostos.

5. REGRA DE TRÊS COMPOSTA

A regra de três composta é utilizada em proble-

mas com mais de duas grandezas, diretamente ouinversamente proporcionais.

Exemplos:

a) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 deareia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessári-os para descarregar 125m3?

Coloca-se uma seta para baixo, onde estiver o x.

Aumentando o número de horas de trabalho, pode-mos diminuir o número de caminhões. Portanto, a relaçãoé inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumen-tar o número de caminhões. Portanto a relação é dire-tamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna).

Devemos igualar a razão que contém o termo xcom o produto das outras razões de acordo com osentido das setas.

Resolução:

Resposta: Serão necessários 25 caminhões.

Complemento - 3


b) Quatro operários, em 6 dias, montam 48 bicicletas.Quantas bicicletas do mesmo tipo são montadas por10 operários em 9 dias?

Escrevendo-se as linhas e as colunas:

Comparando cada grandeza com a que tem o ter-mo desconhecido: As grandezas “operários” e “bici-cletas” são diretamente proporcionais (aumentandouma, aumentará a outra), logo, as setas devem ter omesmo sentido, ou seja:

As grandezas “dias” e “bicicletas” são diretamenteproporcionais, logo, as setas devem ter o mesmo sen-tido, ou seja:

Portanto, para escrever a proporção correspondente, deve-se igualar a razão que tem o termo desconhecido com oproduto das razões relativas às outras grandezas. Escreve-se:

Pela propriedade fundamental das proporções, tem-se:4 . x = 48 . 15

Resolvendo-se essa equação, vem: x = 180

Resposta: serão montadas 180 bicicletas.

c) Se 8 operários constroem, em 6 dias, um muro com40 m de comprimento, quantos operários serão neces-sários para construir um outro muro com 70 m, traba-lhando 14 dias?

Solução: Escrevendo-se as linhas e as colunas:

Comparando-se cada grandeza com a que tem otermo desconhecido: As grandezas “operários” e“metros” são diretamente proporcionais (aumentan-do uma, aumentará a outra), logo, as setas devem ter omesmo sentido, ou seja:

As grandezas “operários” e “dias” são inversamen-te proporcionais (aumentando uma, diminuirá a ou-tra), logo, as setas devem ter sentido contrário, ou seja:

Para escrever a proporção correspondente, deve-se igualar a razão da grandeza desconhecida com oproduto da razão inversa da grandeza “dias” pela ra-zão direta da grandeza “metros”.

Resposta: Serão necessários 6 operários.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

a) Regra de Três Simples

01. Se 3 operários fazem 20 metros de um muro

em um dia, quantos metros farão 15 operári-

os, em um dia?

a) 100 b) 103c) 120 d) 130e) 140

02. Um trem, deslocando-se a uma velocidade média

de 400km/h, faz um determinado percurso em 3

horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percur-

so, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?

a) 2h b) 2h 30 minc) 3h d) 3h 30 mine) 4h

4 - Complemento


03. Um determinado relógio atrasou 26 minutos em

48 horas. Quantos minutos atrasará em 30 dias?

a) 390 minb) 360 minc) 330 mind) 300 mine) 270 min

04. Um navio dispõe de reservas suficientes para

alimentar 14 homens durante 45 dias, mas re-

cebe 4 sobreviventes de um naufrágio. As re-

servas de alimento darão para no máximo

quantos dias?

a) 31 diasb) 32 diasc) 33 diasd) 34 diase) 35 dias

05. (OFIC.JUST.STO.ANDRÉ) Um centro soci-

al acolhe 154 internos e possui gêneros alimen-

tícios suficientes para fornecer merenda du-

rante 25 dias. Se esse Centro tivesse acolhido

21 internos a mais, a mesma quantidade de ali-

mento disponível seria suficiente apenas para:


b) Regra de Três Composta

06. Um gramado de 720 metros quadrados foi po-

dado por dois homens, que trabalharam seis

horas por dia durante dois dias. Quantos

metros quadrados três homens conseguiriam

podar se trabalhassem oito horas por dia du-

rante três dias?

a) 2160 b) 2560c) 2060 d) 2000e) 2660

07. Trabalhando 8 horas por dia, os 2.500 operá-

rios de uma indústria automobilística produ-

zem 500 veículos em 30 dias. Quantos dias

serão necessários para que 1.200 operários

produzam 450 veículos, trabalhando 10 horas

por dia?

a) 45b) 50c) 55d) 60e) 65

08. (Sta. CASA -SP) Sabe-se que 4 máquinas, ope-

rando 4 horas por dia, durante 4 dias, produ-

zem 4 toneladas de certo produto. Quantas

toneladas do mesmo produto seriam produ-

zidas por 6 máquinas daquele tipo, operando

6 horas por dia, durante 6 dias?

a) 6b) 8c) 15d) 10,5e) 13,5

09. (ESAF) Se 2/3 de uma obra foi realizada em 5

dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por

dia, o restante da obra será feito, agora por 6

operários, trabalhando 10 horas por dia em:


10. (ESAF) 24 operários fazem 2/5 de determi-

nado serviço em 10 dias, trabalhando 7 horas

por dia. Em quantos dias a obra estará termi-

nada, sabendo-se que foram dispensados 4

operários e o regime de trabalho diminuído

de uma hora por dia?

a) 8b) 11c) 12d) 21e) 18

Gabarito dos Exercícios de Fixação

01. A 02. B 03. A 04. E 05. C06. A 07. A 08. E 09. C 10. D

Complemento - 5


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

a) Regra de Três Simples

01. (ESAF) Para proceder auditoria, 6 técnicos

previram sua conclusão em 30 dias. Tendo sido

observada a ausência de um dos componen-

tes da equipe, o trabalho agora deverá ser

executado em:


02. (Empasial) Um digitador consegue dar 20.000

toques de entrada de dados em 5 horas.

Quantos toques dará em 3 horas e meia?

a) 12.300b) 15.000c) 10.000d) 14.000e) 24.000

03. (ATEND.JUD-87) Uma refinaria de petróleo

produz 500 litros de gasolina a cada período

de 10 minutos. Quantos litros serão produzi-

dos ao fim de 24 horas?

a) 720.000b) 72.000c) 50.000d) 12.000e) 7.200

04. (TACRIM-2000) Um veículo fez um percurso sem

paradas em 5 horas, com velocidade média de

63km/h. Para que esse percurso possa ser feito

em 3 horas e meia, a velocidade média deverá ser:

a) 90km/hb) 70km/hc) 85km/hd) 92km/he) 95km/h

05. (ATEND.JUD.-87) Um navio cargueiro, com

30 homens de tripulação, encontrou uns náu-

fragos, durante a viagem, e reduziu a ração

de cada homem de 96dag para 576g. Quantos

eram os náufragos?

a) 20b) 25c) 30d) 35e) 40

b) Regra de Três Composta

06. (ESAF) 12 pedreiros constroem 27m2 de um

muro em 30 dias, de 8 horas. Quantas horas

devem trabalhar por dia 16 pedreiros, durante

24 dias, para construírem 36m2 do mesmo muro?

a) 7 b) 8c) 10 d) 12e) 17

07. (ESAF) Um navio, com uma guarnição de 300

homens, necessita de 120.000 litros de água para

efetuar uma viagem de 20 dias. Aumentando a

guarnição em 50 homens e a água em 6.000 litros,

determine qual poderá ser a duração da viagem.

a) 24 dias b) 22 diasc) 20 dias d) 18 diase) 16 dias

08. (TRF-94) Um motorista fez um certo percur-

so em 5 dias, viajando 6 horas por dia com a

velocidade média de 70 km/hora Se quiser re-

petir o percurso em 4 dias, viajando 7 horas

por dia, a velocidade média deverá ser de:

a) 48km/horab) 65km/horac) 75km/horad) 80km/horae) 102km/hora

09. (ESCR.VOTUPORANGA) Um construtor

utilizando 16 operários trabalhando 6 horas

por dia constrói uma determinada obra em 180

dias. Quantos operários deverá utilizar para

fazer a mesma obra trabalhando 8 horas por

dia no prazo de 120 dias ?

a) 2. b) 25c) 28 d) 18e) 20

10. (ESAF) Um grupo de 10 trabalhadores pode

fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6

horas por dia. Se o mesmo grupo trabalhar 8

horas por dia, a estrada será concluída em:


Gabarito dos Exercícios Propostos

01. A 02. D 03. B 04. A 05. A06. C 07. D 08. C 09. D 10. C

6 - Complemento


FUNÇÕES E INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO E

SEGUNDO GRAU

1. NOÇÕES DE FUNÇÕES

Analisando os diagramas acima:

- O diagrama 1 não satisfaz a condição (1);

- O diagrama 5 não satisfaz a condição (2).

Logo, somente os diagramas 2, 3 e 4 representamuma função.

2. FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU

Definição

Chama-se função do 1º grau, ou função afim, aqualquer função dada por uma lei da forma:

f(x) = ax + b

Onde a e b são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamadode coeficiente de x e o número b é chamado termoindependente.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do1º grau:

- f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3

- f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7

- f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau,y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixosOx e Oy.

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente an-

gular da reta e está ligado à inclinação da reta emrelação ao eixo Ox.

O termo constante, b, é chamado coeficiente li-

near da reta. Para x = 0, temos y = a . 0 + b = b.

Assim, o coeficiente linear é a ordenada do pontoem que a reta corta o eixo Oy, também conhecidocomo intercepto. Exercício Resolvido

Construir o gráfico da função y = 3x – 1.

Resolução: Como o gráfico é uma reta, basta obter dois deseus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 . 0 - 1 = -1; portanto, umponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto y = ,

e o outro ponto é ( , 0).

Marcamos os pontos (0, -1) e ( , 0) no plano

cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

Complemento - 7


Raiz de uma Função do 1º grau

Chama-se zero ou raiz da função do 1º grauf(x) = ax + b, a 0, o número real x tal que f(x) = 0.

Temos: f(x) = 0 ax + b = 0 x = –

Exercícios Resolvidos

01. Obtenha o zero ou raiz das seguintes funções.

a) f(x) = 2x - 5

b) g(x) = 3x + 6

Resolução:

a) f(x) = 2x - 5

Para obtermos o zero ou a raiz da função f(x) = 2x – 5,faremos f(x) = 0 , portanto:

2x - 5 = 0 x =

b) g(x) = 3x + 6

Para obtermos o zero ou a raiz da funçãog(x) = 3x + 6, faremos g(x) = 0 , portanto:

3x + 6 = 0 x = -2 02. Determine a abscissa do ponto em que o gráfico

da função h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abscissas.

Resolução:

O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x éaquele em que h(x) = 0; então:

h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

Função Crescente e Decrescente

Consideremos a função do 1º grau y = 3x – 1.

Vamos atribuir valores cada vez maiores a x e ob-servar o que ocorre com y:

Notemos que, quando aumentamos os valores de x,os correspondentes valores de y também aumentam.Dizemos, então que a função y = 3x - 1 é crescente.

Vamos considerar agora a função do 1º grau defi-nida por f(x) = -x + 1

Atribuindo valores reais para x, obtemos seus valo-res correspondentes para y.

Notemos que, quando aumentamos os valores dex, os correspondentes valores de y diminuem. Dize-mos, então que a função y = x - 1 é decrescente.

Regra geral:

A função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente

quando o coeficiente de x é positivo (a > 0);

A função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente

quando o coeficiente de x é negativo (a < 0)


01. Construa o gráfico da função determinada por

f(x) = x + 1

Resolução:

Atribuindo valores reais para x, obtemos seus va-lores correspondentes para y.

O conjunto dos pares ordenados determinados éf = {(-2,-1),(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3)}

O gráfico fica:

Observe que sendo a = 1, portanto maior que zero,então a função é crescente.

8 - Complemento


02. Construa o gráfico da função determinada por

f(x) = - x + 1.

Resolução:Atribuindo valores reais para x, obtemos seus va-lores correspondentes para y.

O conjunto dos pares ordenados determinados éf = {(-2,3),(-1,2),(0,1),(1,0),(2,-1)}

O gráfico fica:

Observe que sendo a = -1, portanto menor que zero,então a função é decrescente.

03. Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-

se que: f (2) = 5 e f (3) = -10.

Resolução:

Podemos escrever:f (2) = 5 2.a + b = 5 (I)f (3) = - 10 3.a + b = -10 (II)

Subtraindo membro a membro as duas equa-ções, vem:

Substituindo o valor de a na equação (I) fica:2.(- 15) + b = 5.b = 35

Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.

04. Considere a função y = x +1, determine a raiz

desta função.

Resolução:

Basta determinar o valor de x para termos y = 0

Então, x +1= 0 x = -1

Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.

Note que o gráfico da função y = x +1, intercepta-rá (cortará) o eixo x em -1, que é a raiz da função.

05. Determine a raiz da função y = -x +1 e esbo-

ce o gráfico.

Solução:Fazendo y = 0, temos:

0 = -x + 1 x = 1

Gráfico:

Note que o gráfico da função y = -x + 1, interceptará(cortará) o eixo x em 1, que é a raiz da função.

Complemento - 9


3. INEQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU

Chama-se de inequação do primeiro grau, na in-cógnita x, a qualquer sentença que pode ser expressanuma das seguintes formas:

ax + b > 0 ax + b 0ax + b < 0 ax + b 0

Para resolver uma inequação do primeiro grau, de-vemos lembrar de duas propriedades:

a) Quando multiplicamos todos os termos de umainequação por um número positivo, devemos man-

ter o sentido da desigualdade.

Dessa forma se na inequação -3x > 15, multiplicar-mos todos os termos, por exemplo, por 5, a inequaçãoficará da seguinte forma -15x > 75, pois foi mantido osentido da desigualdade.

b) Quando multiplicamos todos os termos de umainequação por um número negativo, devemos in-

verter o sentido da desigualdade.

Dessa forma se na inequação -2x < 16, multiplicar-mos todos os termos, por exemplo, por – 3, inequaçãoficará da seguinte forma 6x > - 48, pois foi invertido

o sentido da desigualdade.


Resolver em U = R, as seguintes inequações:

a) 3x – 5 > 13

b) -3x – 5 > 13

Resolução:

a) 3x – 5 > 13

Para resolvermos, vamos isolar o valor de x3x – 5 > 13 3x > 13 + 5 3x > 18 x > 6

S = {x R | x > 6}

b) -3x – 5 > 13

Para resolvermos, vamos isolar o valor de x-3x – 5 > 13 -3x > 13 + 5 -3x > 18

Agora multiplicaremos a inequação por (-1)-3x > 18 x (-1) 3x < -18 x < - 6.

S = {x R | x < - 6}


01. Suponha que o número y de pessoas que procu-

ram um posto de saúde varie em função do tempo

t, em anos, de acordo com a expressão y = 200 t +

200a, a R. Considerando 1990, como ano zero e

que, em 1998, 4.000 pessoas procuraram este pos-

to, pode-se afirmar que o número de pessoas que

procuraram o posto de saúde em 1995, foi de:

a) 3.100 b) 3.200c) 3.400 d) 3.600e) 4.000

02. O menor número inteiro k que satisfaz a

inequação 8 – 3(2k – 1) < 0 é:

a) -2 b) -1c) 0 d) 1e) 2

03. Quantos números inteiros positivos, satisfa-

zem à inequação 3(1+x)>9

a) nenhumb) 2c) 3d) 4e) infinitos

04. (ESPM-SP) Suponha que o faturamento F,

em reais, obtido na venda de n artigos seja

dado por F = 2,5n e que o custo C, em re-

ais, da produção dos mesmos n artigos seja

C = 0,7n + 360.

Nessas condições, para evitar prejuízo, o nú-

mero mínimo de artigos que devem ser pro-

duzidos e vendidos está compreendido entre:

a) 194 e 197b) 198 e 203c) 207 e 217d) 220 e 224e) 230 e 233

05. (MACK – SP) Duas pessoas A e B disputam

200 partidas de jogo. Sempre que A vence uma

partida, recebe R$ 6,00 de B; e sempre que B

vence, recebe R$ 10,00 de A. O menor número

de partidas que A deve ganhar, para ter lucro é:

a) 168 b) 132c) 141 d) 157e) 126


01. C 02. E 03. E 04. B 05. E

10 - Complemento


4. FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU

A função do 2º grau, também denominada funçãoquadrática, é definida pela expressão do tipo: y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantesreais e a 0, também chamadas de coeficientes.

Exemplos:

a) y = x²+3x+2 (a = 1; b = 3; c = 2)

b) y = x² (a = 1; b = 0; c = 0)

c) y = x²-4 (a = 1; b = 0; c = -4)

Gráfico de uma Função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Exercício Resolvido

Esboce o gráfico da função y = x²:

Resolução:

Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reaispara x, obtendo seus valores correspondentes para y.

O ponto V representa o vértice da parábola.Coordenadas do Vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode serdeterminada por:

A coordenada y do vértice é obtida por:


Determine as coordenadas do vértice da parábo-la y = x² - 4x + 3

Resolução:

Inicialmente, identificaremos os coeficientes dafunção y = x² - 4x + 3

Temos: a = 1, b = - 4 e c = 3

Agora, calcularemos os valores da coordenada do vértice.

Abscissa do vértice é dada por: , logo:

A ordenada do vértice é dada por:

Resposta: As coordenadas do vértice são (2, -1)

Raízes (ou zeros) da Função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os va-lores de x para os quais ela se anula, isto é:

f(x) = 0

Então, para acharmos as raízes da função do 2ºgrau, basta resolvermos a equação: ax2 + bx + c = 0,utilizando a fórmula de Bháskara.

Interpretação gráfica das raízes

As raízes da função do 2º grau são os valores de xonde a parábola “corta” o eixo x.

Na função y = x² - 4x + 3, que acima acabamos dedeterminar as coordenadas de seus vértices, as raízesda função serão x

1 = 1 e x

2 = 3.

Vejamos o gráfico:

Note que quando x = 1 e x = 3, a parábola inter-cepta (“corta”) o eixo x.

Complemento - 11


Concavidade da Parábola

a) quando a > 0, a concavidade da parábola está vol-tada para cima (boca para cima).

y = x² - 4

b) quando a < 0, a parábola está voltada para baixo(boca para baixo).

y = - x² + 4

Notas:

Quando a concavidade está voltada para cima (a > 0),o vértice representa o valor mínimo da função.

Quando a concavidade está voltada para baixo (a < 0),o vértice representa o valor máximo da função.

Esboço Gráfico Conforme o Valor do DiscriminanteVamos analisar os três casos:

1º) Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de = b2 – 4.a.c = 0, o vértice daparábola encontra-se no eixo x. A coordenada y seráigual a zero.


Construa o gráfico da função f(x) = x² + 2x +1

Resolução:

Vamos inicialmente determinar as raízes da fun-ção, fazendo x² + 2x + 1 = 0.

Calculando o discriminante, teremos:= (2)2 – 4.1.1 = 0

Logo, x1 = x

2 = -1

As coordenadas do vértice serão V = (-1,0).

Gráfico:

2º)Quando o discriminante é maior que zero

Quando o valor de > 0, a parábola intercepta oeixo x em dois pontos.


Construa o gráfico da função f(x) = x² - 4x + 3

Resolução:

Vamos inicialmente determinar as raízes da fun-ção, fazendo x² - 4x + 3 = 0.

Calculando o discriminante, teremos: = (-4)2 – 4.1.3 = 16 – 12 = 4 > 0

Logo as raízes são: x1 = 1 e x

2 = 3

Gráfico:

12 - Complemento


3°)Quando o discriminante é menor que zero

Quando o valor de < 0 , a parábola não inter-cepta o eixo x. Não há raízes ou zeros da função.


Construa o gráfico da função f(x) = x² -x + 2

Resolução:

Vamos inicialmente determinar as raízes da fun-ção, fazendo x² -x + 2 = 0.

Calculando o discriminante, teremos: = (-1)2 – 4.1.2 = 1 – 8 = - 7 < 0

Gráfico:

Resumindo:


01. Dada a função f(x) = x2 – 5x + 6, o valor de

f(2) + f(- 4) é igual a:

a) 42b) 40c) 38d) 36e) 34

02. O vértice da parábola de equação y = 3x2 – 2x – 1

é o ponto de coordenadas:

a)

b) (1, 0)

c) (0, -1)

d)

e) (3, 3)

03. O valor mínimo da função y = x2 - 2x + 3 é:

a)

b) 2

c)

d) 3

e) 4

04. (G.V.) O custo para se produzir x unidades

de um produto é dado por: C = 2x2 – 100x +

5000. O valor do custo mínimo é em Reais:

a) 3.700b) 3.750c) 3.800d) 3.850e) 3.900

05. Dada uma função do tipo f(x) = ax2 + bx + c,

onde b2 - 4ac > 0 e a < 0, então o gráfico

representativo dessa função será uma pará-

bola que possui concavidade.

a) para baixo e intercepta o eixo das abscissas emdois pontos.

b) para baixo e intercepta o eixo das abscissas emum ponto.

c) para baixo e não intercepta o eixo das abscissas.d) para cima e intercepta o eixo das abscissas em dois

pontos.e) para cima e intercepta o eixo das abscissas em

um ponto.


01. A 02. A 03. B 04. B 05. A

Complemento - 13


5. INEQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

Inequações do segundo grau são aquelas que po-

dem ser expressas na forma f(x) >0, f(x) < 0, f(x) 0

e f(x) 0 onde f(x) é uma expressão do segundo grauna variável x.

Resolver uma inequação é obter todos os valoresde x que satisfazem à inequação.

Para resolver uma inequação do segundo grau, bastafazer o esboço gráfico da função correspondente.


01. Resolver as inequações:

a) x² -x + 2 > 0

b) x² - x + 2 < 0

Resolução:

Para a resolução das inequações, esboçaremos ográfico de f(x) = x² - x + 2, temos:

a) x² -x + 2 > 0

Podemos observar pelo gráfico que f(x) > 0 paraqualquer valor de x, logo

S = R

b) x² - x + 2 < 0

Pelo mesmo gráfico, concluímos que f(x) = x² - x+ 2 nunca assume valores negativos, portanto,

S =

02. Resolver as inequações.

a) x² - 4x + 3 > 0

b) x² - 4x + 3 < 0

Resolução:

Para a resolução das inequações, esboçaremos ográfico de f(x) = x² - 4x + 3

a) x² - 4x + 3 > 0

Observando esse gráfico, concluímos que f(x) >0 para x > 3 ou para x < 1, logo

S = {x R| x > 3 ou x < 1}

b) x² - 4x + 3 < 0

Pelo mesmo gráfico, concluímos que f(x) < 0 para1 < x < 3, logo

S = {x R| 1 < x < 3}


01. Considerada a função y = 4x - x2, a variável y

assume valores positivos quando:

a) x < 0 ou x > 4b) 0 < x < 4c) x 4d) x 0e) x > 0

02. A solução da inequação x2 – 5x + 6 > 0 em R, é:

a) {x R| x < 2 ou x > 3}b) {x R| x < 2 }c) {x R| x > 3}d) Re)


01. B 02. A

14 - Complemento


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01. O gráfico da função do 1º grau definida por

f(x) = 3x + 5 passa pelo ponto P(k,3). O

valor de k é:

a) -3/2b) -2/3c) 3d) 5e) 7

02. O gráfico da função f, de R em R, definida

por f(x) = 2x + 3 corta o eixo das ordenadas

no ponto cujas coordenadas são:

a) (0, 3)b) (3, 0)c) (0, 5)d) (5, 0)e) (0, -3/2)

03. Observe o gráfico abaixo.

Ele estabelece a relação entre consumo de

combustível (em litros) e a distância percor-

rida (em km). A quantidade de litros gastos

para percorrer 28 km é um número compre-

endido entre:

a) 0 e 1b) 1 e 2c) 2 e 3d) 3 e 4e) 4 e 5

04. Sendo a função real definida por f(x) = x2 - 2

podemos afirmar que seu gráfico:

a) passa pela origemb) corta o eixo das abscissas em 2 partesc) tangencia o eixo das abscissasd) não toca o eixo das abscissase) corta o eixo das abscissas em 3 partes

05. (FGV) O lucro mensal de uma empresa é

dado por L = -x2 + 30x – 5, em que x é a

quantidade mensal vendida. Qual o lucro

máximo possível?

a) 200b) 210 .c) 220d) 230e) 240

Gabarito dos Exercícios Propostos

01. B 02. A 03. D 04. B 05. C

d complemento raciocinio logico assembleia legislativa 20100203

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