Calculo vetorial I

Programa1. Introduo funes de vrias variveis (FVV). 1.1 Curvas e Superfcie de Nvel2. Limites e derivadas de FVV.3. Regra da cadeia e derivada direcional.4. Integrao dupla.5. Aplicaes de integrao dupla.6. Integrao tripla.7. Aplicaes de integrao tripla.8. Mudana de variveis.9. Apliacaes de mudana de mudana de variveis.

Curvas de Superfcie de NvelExiste uma outra tcnica grfica, til, para descrever o comportamento de uma funo de duas variveis. O mtodo consiste em descobrir no plano xy os grficos das equaes f(x, y) = k para diferentes valores de k. Os grficos obtidos desta maneira so chamados as curvas de nvel da funo f.

Curvas de Superfcie de Nvel

Exemplo1. z = f(x,y) = altura em relao ao nvel do mar (definida em uma pequena poro aproximadamente plana).Nossas curvas de nvel correspondem s linhas de contorno topogrfico.

Exemplo

Exemplos: Funo Real de Varivel Vetorial - Curvas de Nvel

z = 9z = 4z = 2z = 0Exemplos: Funo Real de Varivel Vetorial - Curvas de Nvel

Exemplos: Funo Real de Varivel Vetorial - Curvas de Nvel

70Exemplos: Funo Real de Varivel Vetorial - Curvas de Nvel

Exemplos: Funo Real de Varivel Vetorial - Curvas de Nvel

Exemplo

Exemplo

Curvas de Superfcie de NvelSe f uma funo de trs variveis x, y, z ento, por definio, as superfcies de nvel de f so os grficos de f(x, y, z) = k, para diferentes valores de k. Em aplicaes, por exemplo, se f(x, y, z) a temperatura no ponto (x, y, z) ento as superfcies de nvel so chamadas superfcies isotermas. Se f(x, y, z) representa potencial elas so chamadas superfcies equipotenciais.

Curvas de Superfcie de Nvel

Exemplo

Exemplo

Exemplo

Curvas de Superfcie de Nvel

Curvas de Nvel X Curvas de ContornoTrao: a curva definida pelo encontro da superfcief(x,y) com os planos xy, xz e yz.

Curvas de Nvel

Curvas de Nvel

ExercciosSeja f(x, y) uma funo com domnio dado por f(x, y) = 9 - x2 - y2 e D = {(x, y)/ x2 + y2 9}. Esboar o grfico da funo. Determine s curvas de nvel par z = 4, z = 6 e z = 8.2) Para as mesmas cotas anteriores, determinar as curvas de nvel da funo z = xy.

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