11Elizabete Alves de Freitas

C U R S O T É C N I C O E M S E G U R A N Ç A D O T R A B A L H O

Função: definição, domínio e imagem

matemática

coordenadora da Produção dos materias Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco

coordenador de edição Ary Sergio Braga Olinisky

coordenadora de Revisão Giovana Paiva de Oliveira

Design Gráfico Ivana Lima

Diagramação Ivana Lima José Antônio Bezerra Júnior Mariana Araújo de BritoVitor Gomes Pimentel

arte e ilustração Adauto HarleyCarolina CostaHeinkel Huguenin

Revisão tipográfica Adriana Rodrigues Gomes

Design instrucional Janio Gustavo Barbosa Luciane Almeida Mascarenhas de Andrade Jeremias Alves A. Silva Margareth Pereira Dias

Revisão de Linguagem Maria Aparecida da S. Fernandes Trindade

Revisão das Normas da aBNt Verônica Pinheiro da Silva

adaptação para o módulo matemático Joacy Guilherme de Almeida Ferreira Filho

Revisão técnica Rosilene Alves de Paiva

equipe sedis | universidade federal do rio grande do norte – ufrn

Projeto Gráfico

Secretaria de Educação a Distância – SEDIS

Governo Federal

ministério da educação

Você verá

por aqui...

Objetivo

1Matemática a11

...o início de um estudo sobre alguns elementos da Álgebra, como o Sistema de Coordenadas Cartesianas formalizado por Descartes, em 1637, na obra La Geómetrie. Verá também o conceito de uma relação entre conjuntos e o conceito de função, como também os conceitos de domínio, de contradomínio e de imagem de uma função, como elaborar o estudo do sinal de uma função e como determinar o domínio de uma função real. Na próxima aula, concluiremos o estudo sobre funções iniciado aqui, dando maior enfoque à construção de gráficos de funções de vários tipos.

Neste material, apresentamos o conteúdo através de diversos exemplos e disponibilizamos, após cada conteúdo apresentado, algumas atividades (com questões subjetivas) e, ao final de todo o conteúdo, uma lista de exercícios (com questões objetivas). E, na seção Auto-avaliação, ao final desta aula, você encontrará mais uma oportunidade para verificar sua aprendizagem e, se necessário, redirecioná-la.

Na seção Para consulta, disponibilizamos um material de apoio para uma consulta rápida que lhe auxiliará na resolução de atividades relacionadas com o conteúdo aqui estudado.

Saber construir um sistema de coordenadas cartesianas, localizando nesse sistema alguns pontos dados, bem como descrever as coordenadas de pontos situados em planos cartesianos.

Saber conceituar relações entre conjuntos, bem como os conjuntos domínio, contradomínio e imagem de uma relação entre dois conjuntos.

Saber conceituar função, assim como domínio, contradomínio e imagem de uma função.

Saber realizar o estudo do sinal de uma função.

Determinar o domínio de uma função real.

�Matemática a11

Para começo de conversaNa compra de um tecido, o preço a se pagar depende da metragem comprada, ou seja, o preço da compra está em função do comprimento do tecido comprado.

Em um termômetro de mercúrio, a temperatura indicada depende da altura atingida pela coluna desse elemento químico, quando esse se dilata, ou seja, a temperatura é dada em função da altura do mercúrio contido em sua coluna central.

São muitas as situações do cotidiano nas quais utilizamos o conhecimento intuitivo de função, porém no estudo de funções, precisamos compreender alguns conceitos mais formais. Conceitos esses que veremos nesta aula e na próxima. Vamos começar nossos estudos?

º quadranteº quadrante

º quadrante º quadrante

II Q

III Q IV Q

I Q

Eixo

das

ord

enad

as

y

Eixo das abscissas x

�Matemática a11

conhecendo a Linguagem das funçõesSistema de coordenadas cartesianasQuando você envia um e-mail pela internet ou um torpedo pelo celular, precisa incluir informações sobre o destinatário (a pessoa ou grupo de pessoas) que vai receber a mensagem.

Essas informações são as coordenadas para a localização do destinatário.

Em outras situações do dia a dia também utilizamos sistemas de coordenadas, como o nome de um bairro, o nome de uma rua e um número nessa rua que indica a localização de um domicílio, por exemplo. Um ponto sobre a superfície terrestre pode ser localizado também por dois números chamados de latitude e de longitude.

Do mesmo modo, para localizar um ponto sobre um plano, podemos tomar como base o sistema cartesiano ortogonal de coordenadas.

Plano cartesiano

Para localizar um ponto no plano, podemos inserir nesse plano um sistema cartesiano ortogonal de coordenadas chamado comumente de plano cartesiano.

O plano cartesiano, como você pode ver no gráfico 1, é formado pela união de dois eixos perpendiculares entre si que se cruzam no ponto O – origem de ambos os eixos. O eixo horizontal é chamado de eixo das abscissas, eixo dos x ou eixo −−→OX . O eixo vertical é chamado de eixo das ordenadas, eixo dos y ou eixo −−→OY .

Regime de capitalização

O conceito do que

chamamos hoje

de coordenadas

cartesianas já era

utilizado por alguns

matemáticos, quando

René Descartes

(1596-1650), ou

cartesius (em latim),

o formalizou em sua

obra La Géométrie

(1637).

Gráfico 1 – Plano Cartesiano

II Qy

x

III Q IV Q

I Q

P( ; )

T( ; )S( ; )

R( ; )

x > e y <

x > e y > x < e y >

x < e y <

�Matemática a11

Os eixos dividem um plano formando quatro ângulos retos. Cada uma dessas partes do plano é chamada de quadrante. Os quadrantes são enumerados no sentido anti-horário. Temos assim, iniciando do canto superior à direita, primeiro quadrante (I Q), segundo quadrante (II Q), terceiro quadrante (III Q) e quarto quadrante (IV Q).

No plano cartesiano, como pode ser visto no gráfico 2, cada ponto P do plano cartesiano é formado por um par ordenado (a; b) de números reais, indicados entre parênteses, que representam a abscissa e a ordenada do ponto, respectivamente. Cada ponto, indicado por um par ordenado de números chamados de coordenadas do ponto.

Para marcar um ponto P em um plano cartesiano, basta traçar uma perpendicular ao eixo dos y que passa pela abscissa a e uma perpendicular ao eixo dos y que passa pela ordenada b, como pode ser visto no Gráfico 2.

As coordenadas do ponto O (origem do plano cartesiano) é (0; 0), ou seja, os dois eixos se encontram no ponto dos eixos onde x = 0 e y = 0. As coordenadas do ponto P, no Gráfico 3, é (4; 3). A abscissa é 4 e a ordenada é 3. Indicamos o ponto por P (4; 3).

O primeiro número indica a medida do deslocamento horizontal, a partir da origem, para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). O segundo número indica a medida do deslocamento vertical, a partir da origem, para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo).

Observe os sinais de x e de y em cada quadrante, no gráfico 3:

II Qy

x

III Q IV Q

I Q

b P(a;b)

a

Gráfico � – Localização do ponto P (a; b)

Gráfico � – Sinais das coordenadas em cada quadrante

exemplo 1

Gráfico � – Pontos A e B no plano cartesiano

y

x

A( ; )

B( ; )

�Matemática a11

Observe com atenção:

os pontos que se encontram sobre os eixos cartesianos não pertencem a nenhum quadrante;

todo ponto sobre o eixo dos y tem abscissa nula;

todo ponto sobre o eixo dos x tem ordenada nula;

dois pontos são iguais se as abscissas forem iguais e se as ordenadas forem iguais. Ou seja, (a; b) = (m; n), se, e somente se, a = m e b = n.

Veja o exemplo a seguir.

O ponto A(0; 3) localiza-se sobre o eixo −−→OY , pois tem abscissa nula.

O ponto B(1; 0) localiza-se sobre o eixo −−→OX , pois tem ordenada nula.

Os pontos A e B não se localizam sobre nenhum quadrante.

Responda aqui

1Praticando...

v

x

�Matemática a11

1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:

A (0; 0) B (– 5; 0)

C (0; – 5) D (3; – 2)

E (4; 2) F (2; 4)

G (–2; 3) H (–1; -4)

I (3; 0) J (0; 3)

�. Determine o valor real de m para que o ponto C(8; m – 5) se localize sobre o eixo das abscissas.

�. Calcule o valor real de r para que o ponto D(r − 25

; 5) se localize sobre o eixo das ordenadas.

�. Calcule os valores reais de t para que o ponto H

−75;t− 22

pertença

ao 2º quadrante.

�. Calcule entre os números reais os valores de a e de b de modo que pontos M(a – 3; – 2) e N(2; b + 5) sejam iguais.

exemplo �

Figura 1 – Diagrama do produto cartesiano AXB

Figura � – Diagrama do produto cartesiano BXA

B A

BXA = {(5; 1), (5; 2), (5; 3), (7; 1), (7; 2), (7; 3)}

Figura � – Diagrama do produto cartesiano AXA

A A

AXA = {(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3), (3; 1), (3; 2), (3; 3)}

7Matemática a11

Produto cartesianoSendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B.

AXB = {(x; y) x ∈ A e y ∈ B}

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}. Assim, podemos obter os produtos cartesianos AXB, BXA, AXA e BXB como você pode ver a seguir.

A B

AXB = {(1; 5), (1; 7), (2; 5), (2; 7), (3; 5), (3; 7)}

exemplo �

Figura � – Diagrama do produto cartesiano BXB

B B

BXB = {(5; 5), (5; 7), (7; 5), (7; 7)}

yF G H

C D E

x

C ( ; )D ( ; )E ( ; )F ( ; )G ( ; )H ( ; )

Gráfi co � – Produto cartesiano AXB

8Matemática a11

Há duas maneiras de representar o produto cartesiano. Uma delas é a representação por um diagrama, como fi zemos no exemplo 2 ou por uma representação em um plano cartesiano. Veja como fazer uma representação de AXB no plano cartesiano, no exemplo a seguir.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}.

Temos AXB = {(1; 5), (2; 5), (3; 5), (1; 7), (2; 7), (3; 7)}, como você pode observar no gráfi co 5.

�Matemática a11

�Praticando...

1. Complete o quadro com as coordenadas de cada um dos pontos destacados no plano cartesiano do gráfico 6.

Ponto Abscissa OrdenadaABCDEFGHIJKLMNPRT

�. Construa um plano cartesiano para representar o produto cartesiano CXD, onde C = {1, 3, 5, 7} e D = {0, 2, 4}.

Responda aqui

F T A

H T

C N G

B R P

MK

L

I

D

E

y

x

J

Gráfico � – Pontos em um plano cartesiano

exemplo �

10Matemática a11

Relação entre conjuntos

Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Em uma relação R de A em B todo par ordenado tem a forma (a; b), tal que a ∈ A e b ∈ B. Uma relação de A em B também é chamada de relação binária de A em B.

Considerando os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {5, 7}, o conjunto {(1; 7), (2; 7), (3; 7)} é uma relação, pois é um subconjunto do produto cartesiano AXB.

Observe que 1∈A, 2∈A, 3∈A e 7∈B.

( ; )( ; )( ; )y

x

Gráfi co 7 – A relação R1 no plano cartesiano

A

D(R ) Im(R )

B

Figura � – Diagrama de R1

exemplo �

11Matemática a11

Na relação R1, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B, conjunto de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elemento de cada par ordenado de R1 formam o domínio da relação, cuja notação é D(R1). Ou seja, D(R1) = {1; 2; 3} = A. Na relação R1, o conjunto de partida coincide com o domínio da relação.

Os segundos elementos de cada par ordenado de R1 compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im (R1). Ou seja, Im(R1) = {7}.

Que tal mais um exemplo?

Considere os conjuntos C = {-2; 0; 1; 2} e D = {0; 2; 3; 4}. Construa o diagrama da relação R2 = {(x; y) | x ∈ C e y ∈D, onde y = x2}.

1º. Passo: devemos desenhar uma linha circular para cada conjunto e inserir seus elementos correspondentes no interior dessas linhas.

C D

�º. Passo: indicar com setas as correspondências entre os elementos do domínio da relação e os do conjunto-imagem.

Observe que, na relação R2, o domínio não coincide com o conjunto de partida. O conjunto de partida é C e o domínio de R2 é D(R2) = {– 2, 0, 2}. O conjunto de chegada (ou contradomínio) é D e o conjunto-imagem é Im(R2) = {0, 4}.

Figura � – Diagrama de R2

�Praticando...

Responda aqui

1�Matemática a11

1. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem em cada uma das relações R:A→B a seguir, quando:

a) A = {1, 2, 3}, B = {-1, 0, 1, 2} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a – 2}

b) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a}

c) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = 2 – a2}

d) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 4} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2}

e) A = {-1, 0, 1, 2}, B = {0, 1, 2, 3} e R = {(a; b) ∈ AXB| b = a2 – 1}

exemplo �

1�Matemática a11

Funções no Plano cartesianoConsidere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {8, 9, 10, 11, 12, 13} e a relação de A em B descrita por R3 = {(1; 8), (2; 9), (3; 9), (4; 10)}.

Observe a representação dessa relação no diagrama (Figura 7).

A B

Figura 7 – Diagrama de R3

Note que todo elemento do conjunto A está relacionado a um único elemento do conjunto B. Com essa característica especial, essa relação é chamada de função.

Toda relação de A em B, em que cada elemento do conjunto A é também elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B.

Uma das notações mais comuns para representar uma função de A em B, é: f: A→B.

Veja que nem todas as relações são funções, como você pode observar nos dois exemplos a seguir.

Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R4 = {(1, 5), (2, 6), (3, 6), (4, 7), (1, 7)} não é uma função em AXB, pois o valor 1 do domínio da relação está associado a dois valores distintos do contradomínio, que são 5 e 7.

A B

Figura 8 – Diagrama de R4

exemplo 7

1�Matemática a11

Seja A = {1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7}. A relação R5 = {(1, 5), (2, 6), (4, 7)} não é uma função em AXB, pois nem todos os elementos domínio da relação (o conjunto A) estão associados a elementos do contradomínio (o conjunto B). Veja que o valor 3 (do domínio) não tem correspondente no contradomínio.

A B

Figura � – Diagrama de R5

São três conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem.

O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser defi nida.

O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

O conjunto-imagem é o conjunto de valores que efetivamente se corresponde com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do contradomínio.

Uma função f: A→B continua sendo uma relação, por isso os conceitos de domínio (D), contradomínio (CD) e conjunto-imagem (Im) continuam válidos. Ou seja: se R é uma função f: A→B, temos que:

o domínio da relação R e da função f é o mesmo conjunto A, ou seja, D(R) = D(f) = A;

O contradomínio da relação R e da função f é o conjunto B, ou seja, CD(R) = CD(f) = B.

Agora observe os exemplos a seguir.

exemplo 10

1�Matemática a11

exemplo 8Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é a imagem de x = – 2?

O que precisamos determinar é o valor de f(– 2), ou seja, o valor da função quando x = – 2.

Logo, basta substituir o valor de x por – 2 e calcular o valor numérico da expressão resultante.

Assim: f (–2) = – 2 + 2 ⇒ f(– 2) = 0.

Ou seja, a imagem de –2 é 0.

exemplo �Seja a função f: ℜ→ℜ definida pela lei de formação f(x) = x + 2. Qual é o elemento do domínio cuja imagem é igual a – 2?

O que se quer descobrir nessa questão é qual o valor de x que tem f(x) igual a – 2, ou seja:

f(x) = – 2 ⇒ x + 2 = – 2 ⇒ x = – 2 – 2 ⇒ x = – 4

O valor do domínio que tem imagem –2 é x = – 4.

O aluguel de imóveis teve reajuste anual de 12%. Qual é a lei de formação da função que calcula o novo valor após o reajuste do aluguel de imóveis? Quanto se pagará mensalmente pelo aluguel de um apartamento cujo contrato previa o pagamento mensal de R$ 300,00, no contrato anterior?

1�Matemática a11

Podemos calcular o valor após o reajuste multiplicando a taxa de reajuste (12% = 0,12) pelo valor x do aluguel e somando esse produto ao valor original x. Assim, a lei de formação da função do reajuste do aluguel é f(x) = 0,12x + x ⇒ f(x) = 1,12x.

Calcular o novo valor do aluguel é o mesmo que calcular o valor de f(300), ou seja, é a imagem de 300. Assim: f(300) = 1,12 X 300 = 336.

O valor a ser pago no novo contrato é R$ 336,00.

�Praticando...

1. Determine a imagem de x = 3 na função real f(x) =

x− 23

.

�. Qual é o elemento do domínio da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x + 3 que tem imagem igual a – 2?

�. Na função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x – 5, determine

o valor de f32

.

�. Considere os conjuntos A = {–3, –1, 0, 1, 3} e B = {–9, –3, 0, 1, 3, 27}. Determine o domínio, o contradomínio e o conjunto imagem da função f ={(x; y) com x ∈ A e y ∈ B y = 3x2}.

�. Certo modelo de automóvel tem depreciação anual de preço de 10% sobre o preço de compra x. Determine a lei de formação para a função f que calcula o valor do automóvel após depreciação do preço ao final de t anos.

Responda aqui

f(x)

Leonhard euler (1707-

1783), médico, teólogo,

astrônomo e matemático

suíço, desenvolveu,

entre outros trabalhos,

a idéia de função. Foi

o responsável também

pela adoção do símbolo

f(x) para representar

uma função f de x.

17Matemática a11

Domínio de uma função real e outras característicasEm geral, se costuma representar uma função por sua lei de formação – uma lei que associa elementos do domínio da função a elementos do contradomínio da função. Costuma-se denotar por f(x) o elemento que a função f associa ao elemento x.

exemplo 1�

exemplo 11

18Matemática a11

A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x + 1 é a função que relaciona todo o valor de x do domínio ao valor x + 1 no contradomínio.

ℜ ℜ

Figura 10 – Diagrama de f(x) = x + 1

A função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x2 é a função que relaciona todo o valor de x do conjunto domínio ao valor de seu quadrado (x2) no contradomínio.

ℜ ℜ

Figura 11 – Diagrama de f(x) = x2

exemplo 1�

exemplo 1�

1�Matemática a11

Quando queremos garantir que uma relação seja função, devemos definir para essa relação um domínio no qual sua lei de formação tenha sentido, ou seja, um domínio no qual, através dessa lei de formação, cada um dos seus elementos tenha um único correspondente no contradomínio.

Em geral, quando não há indicação em contrário, o domínio de uma função f é um subconjunto de ℜ, a não ser nos casos que isso está explicitamente indicado de outra forma. Toda função que tem como domínio um subconjunto de ℜ é chamada de função real.

É possível determinar o domínio de uma função real conhecendo apenas a lei de formação dessa função.

Quando a variável aparece no denominador ou no radicando de um radical de índice par, na lei de formação da função, temos que lembrar quais são as condições para que essa lei de formação resulte em um número real.

Veja mais alguns exemplos:

Determine o domínio da função real f(x) =√x− 9 .

Para que o radical √x− 9 resulte em um número real, o radicando deve ser

um número não negativo, ou seja, x – 9 ≥ 0 ⇒ x ≥ 9

A função real f(x) =√x− 9 tem como domínio o conjunto:

D(f)={x ∈ℜ x ≥ 9}

Determine o domínio da função real f(x) =x + 15− x

.

Como na expressão x+ 15− x

, o denominador tem que ser diferente de zero, temos:

5 – x ≠ 0 ⇒ x ≠ – 5 ⇒ x ≠ 5

Logo, o domínio da função real f(x) =x + 15− x é D (f) = {x ∈ ℜ|x ≠ 5}.

exemplo 1�

�0Matemática a11

Determine o domínio da função real f(x) =x− 2√x− 4

.

Como o radical √x− 4 encontra-se no denominador, o radicando x – 4 não

pode ser negativo nem nulo. Ou seja, x – 4 > 0 ⇒ x > 4.

Assim, D(f) = {x ∈ℜ| x > 4} é o domínio da função real f(x) =x− 2√x− 4 .

Cada função, nos exemplos a seguir, tem características distintas. As funções apresentam a mesma lei de formação, mas o domínio não é o mesmo. Observe qual é o conjunto imagem em cada exemplo:

exemplo 17

A função f: [0,2] → ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta D(f) = [0,2], CD(f) = ℜ e Im(f) = [0,4].

exemplo 1�

A função f: ℜ→ ℜ, definida pela lei de formação f(x) = x2, apresenta

D(f) = ℜ, CD(f) = ℜ e Im(f) = ℜ+.

�Praticando...

Responda aqui

�1Matemática a11

1. Dada a função f: ℜ→ ℜ, tal que f(x) = 3 – x, calcule:

a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d)f12

�. Observe o gráfico da função f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–3, –2, –1, 0, 1}. Determine:

a) f(–2) b) f(–1) c) f(0) d) f(1) e) f(2) f) 2f(−2)

f(2) + f(−1)

�. Considere: f: A→B, em que A = {–2, –1, 0, 1, 2} e B = {–3, –2, –1, 0, 1}. Qual o valor do domínio de f possui como imagem o número 4:

�. Determine os valores do domínio da função f: ℜ*→ ℜ, definida pela lei

de formaçãof(x) =x2 + 1

x que possui imagem igual a –2.

�. Determine o domínio de cada função real a seguir:

a) f(x) =3x− 52− 4x

b) f(x) =√

3x + 15 c)f(x) =3x + 5√4− 2x

��Matemática a11

estudo de sinal de uma funçãoSendo uma função de domínio D, dizemos que:

f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;

f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;

f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.

Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento.

exemplo 18

Dada a função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação f(x) = 5 – x, observe que o sinal da função para x = 0, x = 3 negativo, para x = 5 nulo e para x = 6 positivo.

Realizar o estudo do sinal de uma função é analisar para quais valores do domínio a função é positiva, negativa ou nula. Veja o exemplo a seguir.

exemplo 1�

�Praticando...

��Matemática a11

Considere a função f: ℜ→ℜ, tal que f(x) = x – 4. Determine o estudo do sinal da função.

Para determinar para quais valores do domínio a função assume cada um dos sinais, basta substituir a lei de formação nas seguintes expressões:

f(x) > 0, f(x) = 0 e f(x) < 0.

Assim:

f(x) > 0 ⇒x – 4 > 0 ⇒ x > 4

f(x) = 0 ⇒x – 4 = 0 ⇒ x = 4

f(x) < 0 ⇒x – 4 < 0 ⇒ x < 4

Ou seja, o estudo do sinal da função é:

f(x) > 0, quando x > 4

f(x) = 0, quando x = 4

f(x) < 0, quando x < 4

1. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) = x – 5, para

a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6

�. Elabore o estudo de sinal da função f: ℜ→ℜ, definida pela lei de formação

f(x) =x− 3

2.

Responda aqui

Agora que você resolveu todas as atividades, que tal resolver a lista de exercícios a seguir?

��Matemática a11

exer

cíci

osRE

VISÃO

��Matemática a11

1. Os valores reais de t para os quais o ponto P (3m – 5; 2m + 1) se localiza no terceiro quadrante são

a) todos os números reais menores que

53.

b) todos os números reais maiores que

53.

c) todos os números reais menores que −12.

d) todos os números reais maiores que −12.

�. O valor real de m para que o ponto Am− 7

2;12

pertença ao eixo das

ordenadas é

a) −12

. b) 7. c) 2. d) -7.

�. Os valores reais de t para os quais o ponto B (3t + 15; 4t 2 – 36) pertença ao eixo das abscissas são

a) – 1 e 1. b) – 2 e 2. c) – 3 e 3. d) – 5 e 5.

�. O domínio da função real f(x) =8x− 12√5x− 1

é formado por todos os números reais

a) maiores que 0,2. b) menores que 0,2.

c) maiores que – 0,2. d) menores que – 0,2.

�. Um termômetro de parede apresenta as indicações de temperatura conforme o quadro a seguir. A lei de formação da função que relaciona a temperatura (em graus Celsius) e a altura da coluna de mercúrio do termômetro é

a) f(x) = 8x – 5 b) f(x) = 8 – 4x c) f(x) =8x− 12√5x− 1

d) f(x) = 5x – 12

Temperatura em graus Celsius

Altura da coluna em milímetros

0 45 1225 4430 52

Res

post

a

��Matemática a11

auto-avaliação

�7Matemática a11

Nesta aula, você aprendeu: a utilizar o Sistema de Coordenadas Cartesianas, na localização de pontos; a representar relações entre conjuntos através de um plano cartesiano ou em diagramas de setas; a conceituar e identificar o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma relação entre conjuntos; a conceituar e identificar funções, o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem de uma função e analisar o sinal de uma função.

1. Represente, no plano cartesiano, os seguintes pontos:

A (0; 4) B (– 6; 0)

C (0; 0) D (3; – 2)

E (5;– 3) F (– 1; 6)

G (– 2; 3) H (7; – 4)

I (5; 0) J (0; – 6)

�. Calcule o valor real de m para que o ponto C75;3 + 2m2

se localize

sobre o eixo das abscissas.

�. Determine o valor real de r para o ponto D (5;3r − 25

) se localizar sobre o eixo das ordenadas.

�. Determine os valores reais de a e de b de modo que:

(– 5; 2a + 8) = (b + 5; 2).

�. Determine a imagem de x = – 3 na função real f(x) =2− x

6.

�. Dada a função f: ℜ→ℜ tal que f(x) = 5 – x, calcule:

a) f(– 3) b) f(0) c) f

12

d)

3f(−5)f(2) + f(−1)

7. Determine o sinal da função f: ℜ→ℜ, f(x) =2− x

6, para

a) x = –1 b) x = 0 c) x = 2 d) x = 5 e) x = 6

Para consulta

º quadranteº quadrante

º quadrante º quadrante

II Q

III Q IV Q

I Q

Eixo

das

ord

enad

as

y

Eixo das abscissas x

Gráfico 1 – Plano Cartesiano

II Q y

x

III Q IV Q

I Q

P( ; )

T( ; )S( ; )

R( ; )

x > e y <

x > e y > x < e y >

x < e y <

Gráfico � – Sinais das coordenadas em cada quadrante

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Sistema de coordenadas cartesianas

Sinais das coordenadas em cada quadrante

Produto cartesiano

Sendo A e B dois conjuntos não vazios, chamamos de produto cartesiano de A por B o conjunto de todos os pares ordenados de modo que x pertence ao conjunto A e y pertence ao conjunto B. Ou seja, AXB = {(x; y) |x ∈ A e y ∈ B}.

Relação entre conjuntos

Chama-se relação de A em B qualquer subconjunto do produto cartesiano AXB. Na relação R:A→B, o conjunto A é chamado de conjunto de partida e o conjunto B é o conjunto de chegada ou contradomínio da relação. Os primeiros elementos de cada par ordenado de R formam o domínio da

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relação, cuja notação é D(R). Os segundos elementos de cada par ordenado de R compõem o conjunto-imagem da relação, cuja notação é Im(R).

Funções no Plano cartesiano

Toda relação de A em B, onde cada elemento do conjunto A é também elemento do domínio da relação e cada um desses elementos se corresponde com um único elemento no conjunto-imagem, é chamada de função de A em B. Ou seja: Uma relação em AXB, que associa cada elemento x, do conjunto A, a um único y em B é denominada uma função f de A em B. Notação: f: A→B.

São três os conjuntos especiais associados à função: o domínio, o contradomínio e o conjunto-imagem.

O domínio é o conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função deve ser definida.

O contradomínio é o conjunto que contém os elementos que podem ser relacionados a elementos do domínio.

O conjunto-imagem como o conjunto de valores que efetivamente se correspondem com o domínio da função. O conjunto-imagem é um subconjunto do contradomínio.

estudo de sinal de uma função

Sendo uma função de domínio D, dizemos que:

f é positiva para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) > 0;

f é negativa para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) < 0;

f é nula para um elemento x, com x ∈ D, se, e somente se, f(x) = 0.

Observe que o sinal de f(x) para um elemento x não é o sinal desse elemento x. O sinal de f(x) para um dado elemento x é o sinal da imagem desse elemento.

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ReferênciasBARRETO FILHO, Benigno; SILVA, Cláudio Xavier da. matemática: aula por aula: ensino médio. São Paulo: FTD, 2000. p. 43-70.

DANTE, Luiz Roberto. Funções. In: DANTE, Luiz Roberto. matemática: contexto e aplicações. Ensino Médio. São Paulo: Ática, 2003. p. 30-48.

PAIVA, Manoel. A linguagem das funções. In: PAIVA, Manoel. matemática. São Paulo: Moderna, 2003. p. 56-67.

PEREIRA, Rossana M. M.; SODRÉ, Ulysses Sodré. ensino médio: relações e funções. Disponível em: <http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/fu ncoes/funcoes.htm>. Acesso em: 12 out. 2008.

WIKIPÉDIA. Função. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3% A7%C3%A3o>. Acesso em: 1 out. 2008.

anotações

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anotações

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