curso de extensão - matematicamonteiro.com · outra metade da distância a 70 /km h. calcule a...

Curso de Extensão

(Curso de 20 horas realizado na ENS – UEA entre Julho e Agosto de 2017)

Professor: Alessandro Monteiro

Resumo, Exercícios e Soluções

Professor Alessandro Monteiro www.matematicamonteiro.com

MÉDIAS E DESIGUALDADES

Média

Quadrática 2 2

, , ,2

a bMQ a b a b reais positivos

Média

Aritmética ,

2

a bMA a b

Média

Geométrica ,MG a b a b

Média

Harmônica

2

,1 1

MH a b

a b

Média

Contra -

Harmônica

2 2

,a b

MN a ba b

Média

Centroidal

2 22

, ,03

a ab bMC a b a b

a b

Média

Logarítmica

, , 0ln ln

b aML a b a b

b a

Idendric

Mean

1

1, , 0

b b a

a

bMI a b a b

e a

Média

de Seiffert

, ,0

2

b aMS a b a b

b aarcsen

b a

Média

de Bencze

, ,0

2

b aMB a b a b

b aarctg

b a

Desigualdade

das Médias max , min ,a b MN MQ MC MB MA MI MS ML MG MH a b

Desigualdade

Triangular

, ,a b a b a b

Desigualdade

Exponencial 1 ,xe x x

Desigualdade

Logarítmica ln 1, 0x x x

Desigualdade

de

Bernoulli

1 1 , 1 \ 0,1

1 1 , 1 0,1

n

n

x nx x e n

x nx x e n


Desigualdade

Binomial

0, 0a c a c

para a b c db d b d

Um

Lema

Poderoso

22 2

, ,a ba b

x y positivosx y x y

Desigualdade

de

Cauchy -

Schwarz

22 2 2 2 , , , ,

, , , .

a b c d ac bd a b c d reais

a bcom igualdade se e somente se

c d

Desigualdade

de

Young

1 1 1 1, , 0, 1,

, , .

p q

p q

ab a b p qp q p q

com igualdade se e somente a b

Desigualdade

de

Hölder

1 1

1 1 1

1

1

1 1, , , , 1, 1,

, , ... .

n n np qp q

i i i i i i

i i i

pp

n

q q

n

a b a b a b positivos p qp q

aacom igualdade se e somente

b b

Desigualdade

de

Minkowski

1 1 1

1 1 1

1

1

, , , 1,

, , ... .

n n np p pp p p

i i i i i i

i i i

n

n

a b a b a b positivos p

aacom igualdade se e somente

b b

Desigualdade

do

Rearranjo

As igualdades ocorrerão se, e somente se,

Desigualdade

de

Tchebishev


Desigualdade

de

Jensen

Desigualdade

de

Schür

Desigualdade

de

Abel

Desigualdade

de

Hadamard

2 2

11

detn n

ij

ji

A A

Desigualdade

de

Heinz

1 1

, , 0, 0,12 2

x y x y x yxy x y


01. Quatro cidades rurais, A, B, C e D, estão situadas geograficamente formando um

quadrilátero convexo. Deseja-se construir uma central de distribuição de energia para as

quatro cidades de modo que a soma total das distâncias da central a cada uma das quatro

cidades seja a mínima possível. Onde deverá ser construída a central?

Resposta: No encontro da diagonais.

02. Duas torres de alturas h1 e h2, respectivamente, estão separadas a uma distância d.

As torres são amarradas por uma corda APB que vai do topo A da primeira torre para

um ponto P no chão, entre as torres, e então até o topo B da segunda torre, como na

Figura abaixo. Qual a posição do ponto P que nos dá o comprimento mínimo da corda a

ser utilizada?

Resposta: Tomando-se C o simétrico de B em relação ao chão, P deve ser o vértice do

triângulo PBC .

03. Um carro percorre metade de uma certa distância a uma velocidade de 50 /km h e a

outra metade da distância a 70 /km h . Calcule a velocidade média do percurso.

Resposta: Média harmônica das velocidades. Aproximadamente, 58,33 km/.

04. Um carro percorre uma estrada por um tempo t a uma velocidade de 50 /km h e

depois durante o mesmo tempo t a uma velocidade de 70 /km h . Calcule a velocidade

média do percurso.

Resposta: Média Aritmética das velocidades, o que resulta em 60 km/h.

05. (CMM – 2004) Um tanque tem uma torneira capaz de enchê-lo em 15 horas e outra

capaz de enchê-lo em 10 horas. O ralo é capaz de esvazia-lo em 24 horas. Com os três

abertos simultaneamente, e o tanque estando vazio, no fim de quanto tempo o tanque

ficará cheio?

Resposta: Terça parte da Média Harmônica pondo o ralo como uma torneira inversa. O

que resulta em 8 h.

06. (CMM – 2010) Uma torneira pode encher o tanque em 9 horas e outra pode encher o

mesmo em 12 horas. Se juntamente com estas duas torneiras fosse ligada uma terceira,

o tanque ficaria cheio em 4 horas. Então, qual o tempo que a terceira torneira levaria

para encher sozinha o tanque?

Resposta: Basta igualar a 4 a terça parte da Média Harmônica, tomando-se x horas o

tempo da terceira torneira, e resolver a equação simples. A solução é x = 18 h.

07. (CMRJ – 2000) Uma torneira tem capacidade de encher um tanque em 5 horas.

Outra torneira enche o mesmo tanque em 3 horas. Sabe-se que neste tanque existe um

ralo que o esvazia em 2 horas. Estando o tanque vazio, abrimos as duas torneiras ao

mesmo tempo. Após meia hora, abrimos também o ralo, qual o tempo que este tanque

levará para transbordar? Resposta: As duas torneiras juntas, em meia hora, enchem 4/15

do tanque. Logo, basta tomar 11/15 da terça parte da Média Harmônica das torneiras e o

ralo, este como uma torneira inversa. Após meia hora, o tanque levará 22 h para

transbordar.


08. (OMMR – 2015) Se a, b e c são números reais positivos, então qual o valor mínimo

de 1 1 1

a b ca b c

?

Uma solução: (Aluno Leonardo Pessoa Bentes)

Usando a desigualdade de Cauchy- Schwarz obtemos

Logo, o valor mínimo que a expressão pode assumir é 9.

Uma solução: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)

Usando a desigualdade das medias, MA MG, temos:

(a + b + c) 3

(

+

+

) 3

Multiplicando ambas as desigualdades temos:

(a + b + c) (

+

+

) 9

(a + b + c) (

+

+

) 9

Logo o valor mínimo para (a + b + c) (

+

+

) é 9.

09. Prove que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é sempre menor ou

igual que a metade da hipotenusa. Além disso, a igualdade só ocorre quando o triângulo

retângulo é isósceles (ou seja, seus catetos são iguais).


Seja o triangulo ABC retângulo em A e h a altura relativa à hipotenusa:


Sabemos que (b – c)2 0, então:

b2 – 2bc + c

2 0

b2 + c

2 2bc

Como a2 = b

2 + c

2 e ah = bc, então

a2 2ah

Portanto h

.

E a igualdade ocorre quando b = c, ou seja, quando o triângulo é retângulo e isósceles.

10. Prove que se x, y e z são números reais positivos então

2 2 2 .x y z xy yz xz

Duas soluções: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)

Demonstração 1:

Usando que MA MG temos:

xy

yz

xz

Somando as três desigualdades obtemos:

xy + yz + xz.

Ou seja

xy + yz + xz x2

+ y2 + z

2 xy + yz + xz.

Demonstração 2: Usando a desigualdade de Cauchy – Schwarz, temos:

( xy + yz + xz)2 (x

2 + y

2 + z

2)( x

2 + y

2 + z

2)


( xy + yz + xz)2 (x

2 + y

2 + z

2)

2

Logo, x2 + y

2 + z

2 xy + yz + xz.


Tomando-se por base que então

.

Isto é, 2. .

Logo, .

11. (Desigualdade Isoperimétrica para Triângulos). O perímetro de um triângulo de

lados a, b e c é a soma p = a + b + c. Mostre que entre todos os triângulos com

perímetro fixado p o de maior área é o triângulo equilátero.

Uma solução: (Professor Alessandro Monteiro)


12. Mostre que se x, y e z são números reais positivos então

2

3 .x y z xy yz xz


Somando-se 2(xy + yz + xz) em ambos os lados da desigualdade x2 + y

2 + z

2 xy + yz

+ xz, provada na décima questão, temos:

x2 + y

2 + z

2 + 2(xy + yz + xz) xy + yz + xz + 2(xy + yz + xz).

Como ( x + y + z)2 = x

2 + y

2 + z

2 + 2(xy + yz + xz), então

( x + y + z)2 3(xy + yz + xz).


Como então

Usando que resultado demonstrado na questão 9,

temos

Logo, podemos concluir que

13. (Desigualdade Isoperimétrica para Paralelepípedos). Mostre que entre todos os

paralelepípedos com área total fixada A o de maior volume é o cubo (ou seja, o

paralelepípedo com todos seus lados iguais).


Sejam a, b e c as dimensões deste paralelepípedo. Temos que 2A ab ac bc e

V abc . Pela desigualdade das médias aritmética e geométrica podemos escrever que

3

2 3 232 2 2

8 23 3 6

ab bc ac A Aabc V V

.

Deste modo,

3

max6

AV

, e este valor é atingido quando 2 2 2ab ac bc . Isto é,

quando as dimensões são iguais.


14. Sejam a, b e c números reais positivos. Prove que

1 1 18.a b c

b c a


Note que

. Pois usando que MA≥MG, vem que

≥

. (*)

Desenvolvendo o produto, temos que

=

Como por (*) temos que cada um dos parênteses é maior ou igual que 2. Então,

.


Usando que MA MG temos as seguintes desigualdades:

(

) 2

(

) 2

(

) 2


(

)(

)(

) 8

Logo, (a +

)(b +

)(c +

) 8.


15. Entre todos os triângulos retângulos de catetos a e b e hipotenusa c fixada, o que tem

maior soma dos catetos s = a + b é o triângulo isósceles.


Pelo teorema de Pitágoras, temos que 2 2 2a b c . Assim, usando a desigualdade entre

as médias quadrática e aritmética, temos:

2 2

22 2

a b a ba b c

.

Logo, a maior soma s = a + b dos catetos é 2c e este valor é atingido quando a = b, ou

seja, quando o triângulo for isósceles.

16. Sejam a, b,c e d números inteiros positivos. Mostre que

1 1 1 1

16.a b c da b c d


Usando a desigualdade de Cauchy - Shwarz, temos que

Logo,



i)

a + b + c + d 4

ii)

+

+

+

4


Multiplicando ambas as desigualdades obtemos:

(a + b + c + d)(

+

+

+

) 16

,

Portando (a + b + c + d)(

+

+

+

) 16.

17. Prove a desigualdade de Bernoulli: 1 1n

x nx , para qualquer x positivo e n

inteiro positivo.


Usando a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica dos termos

1,

1,1,1,...,1,1

n termos

nx

, temos:

1,

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1n termos nn

nx

nx nxn

Mas disso temos também que 1 1nx nx .

Logo, elevando-se a enésima potência, obtemos

1 1n

x nx .

18. Prove que 0a , 0b e 0c , então

.ab bc ac a bc b ac c ab


Como MA ≥ MG, então

(i)

(ii)

( iii)

Somando (i) (ii) e ( iii) , temos

.

Logo, .


19. Mostre que se a, b e c são reais positivos, então

8a b b c a c abc .


Usando que MA ≥ MG, temos

Multiplicando-se (i) por (ii) e (iii) temos

.

20. Se x, y e z são reais positivos, mostre que

6xy x y yz y z xz x z xyz .


Dividindo-se essa inequação por xyz obtemos

6xy x y yz y z xz x z xyz =

Mas,

Logo, segue o resultado desejado.

21. Prove que para quaisquer números reais positivos a1, a2, . . . an ,



Usando que MA ≥ MH, temos

Logo,


Usando a desigualdade das medias, MA MG, temos:

(a1 + a2 + ...+ an) n

(

+

+ ... +

) n


(a1 + a2 + ...+ an)(

+

+ ... +

) n

2

Logo,

(a1 + a2 + ...+ an)(

+

+ ... +

) n

2.

22. Sejam a, b e c números reais positivos tais que 1abc . Prove a desigualdade

3

.1 1 1 1 1 1 4

a b c

a b b c c a


Expandindo-se esta desigualdade, obtemos:

3 1 3 2 6ab ac bc a b c abc .

E esta pode ser facilmente obtida, pois


1 1 1

1 1 1

1 1 12 2 2 ,

6.

ab ac bc a b c a b cc b a

a b ca b c

a b c pois MA MGa b c

23. Sejam a, b, c e d números reais positivos tais que 2 2 2 2 4a b c d . Prove a

desigualdade

.a b c d ab bc cd da


Note que

1 11.

a b c d ab bc cd da a b c d a c b d

a c b d

Por ser MQ MA , temos

2 2 2 2 41

4 4

a b c d a b c d

a b c d

(I)

Por ser MA MH , temos

1 1 4

a c b d a b c d

(II)

E pelas desigualdades I e II temos que .a b c d ab bc cd da

24. Sejam a, b e c números reais positivos tal que 1ab bc ac . Prove que

2 2 21 1 1

16.a b cb c a


Sabemos que para todo x,y e z maiores ou igual a zero.

Assim,


.

Como ab + bc + ac = 1, então vem que

.

Note que,

, pois por MA ,

.

E também que

.

Logo,

.

25. Prove que se 0x , então 3 23 6 4 0x x .



2

2x2.

Assim, 3x3 + 4 6x

2.

Portanto

3x3 – 6x

2 + 4 0.

26. Prove que se 0x , então 8

2 43

x x .


Usando o lema

22 2

, ,a ba b

x y positivosx y x y

, temos:


2 2

2 28 2 4 42

1 33 2 2

2 2

42

2

x x x xx

xx

Mas, usando a desigualdade MA MG , temos também que

44 2

2

xx x

Logo,

82 4

3x x .

Obs.: Essa questão foi tirada do Livro Iniciação à Matemática da SBM. Nele aparece

3/8 no lugar de 8/3, mas isso torna a desigualdade falsa. Basta notar que ela fura para x

= 1, x = 2, e x = 3. Ajustamos para 8/3 e agora temos uma desigualdade válida para todo

x maior ou igual a zero!

27. Prove que 4 4 4a b c abc a b c .


Sabemos que é verdade. Então,

=

abc( a + b + c)

Logo,

.

28. Demonstrar que, se 1 2, ,..., na a a são números positivos tais que 1 2 ... 1na a a então

1 21 1 ... 1 2n

na a a .

Uma solução: (Alunos: Leonardo Pessoa Bentes e Ernandes Santos – Finalista 2017 )

Usando que MA ≥ MG, temos


...

Assim, multiplicando-se esses resultados obtemos

.

Portanto, .

29. (PROFMAT - 2011) Uma caixa retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z

(veja figura, onde as linhas tracejadas indicam segmentos de arestas obstruídos por

alguma face).

a) Exprima a área e o volume da caixa em função de x, y e z.

b) Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é 32, então

sua área é maior ou igual a 48.

c) Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.

Uma solução: (Aluno: Ernandes Santos – Finalista 2017)

a) V = xyz e A = 2xz + 2yz + xy onde V é o volume da caixa e A é a área.

b) Usando MA MG na seguinte expressão, obtemos:

Logo A 48.


c) A área atinge o valor mínimo de 48 quando 2xz = 2yz = xy. Assim, temos x = y e z =

x/2. Como xyz = 32, então x3 = 64, o que implica em x = 4 e consequentemente y = 4 e

z = 2.

30. (PROFMAT - 2012) A média aritmética de 10 números positivos é igual a 1. Os

números são agrupados aos pares e os números de cada par somados, resultando daí um

conjunto de 5 números positivos.

a) O que se pode dizer sobre a média aritmética desses 5 números?

b) Mostre que o produto desses 5 números é menor ou igual a 32.

Uma solução: (Aluno: Filipe Fortes – Finalista 2018)

31. (PROFMAT - 2013) Sejam R o raio e h a altura de um cilindro circular reto. Use a

desigualdade das médias para calcular qual a menor área total possível para um cilindro

circular reto com um volume V dado. Que relação deve existir entre o raio da base e a

altura desse cilindro para que ele tenha essa menor área possível?



Seja 22 2A Rh R a área total e 2V R h o volume desse cilindro. Pela

desigualdade MA-MG, temos que

23 2 4 2 3 22

2 23 3

A Rh Rh RR h V

Logo, a menor área total possível é 3 23 2A V e ela ocorre quando 22Rh R . Ou

seja, quando 2h R .

32. (PROFMAT - 2014) Dados a e b dois números reais positivos, use a desigualdade

das médias para encontrar o valor mínimo e o ponto em que esse valor mínimo ocorre,

para cada uma das funções abaixo:

a) 2

2: 0, ,

bf R f x ax

x .

b) 2: 0, ,b

f R f x axx

.

Encontre também o valor máximo, e o ponto que esse valor ocorre, na função abaixo:

c) 2: 0, ,

5

xf R f x

x

.

Uma solução: (Aluno: Ernandes Santos – Finalista 2017)

a) Usando que MA MG obtemos:

=

= , ou seja, f(x) 2 .

Então o valor mínimo de f(x) é 2 . E ele ocorre quando =

, ou seja, para

4b

xa

.

b) Temos que

2f(x) =

.

Usando que MA MG obtemos:

=

f(x)

.

Então o valor mínimo de f(x) será

. E ocorre quando

.

Isto é, para 3

2

bx

a .



c) Temos:

2

1 1

5 5 5 5 5

3 3 3

x

x x x x xx x x x

x x x x

E, pela desigualdade das médias aritmética e geométrica temos também

4 4

5 5 55 5 5 1253 3 3

4 3 3 3 27

x x xx x

x x xx x x x xx x x

Assim,

41 1 27

4 1255 5 5

3 3 3

x x xx x

x x x

.

Logo o valor máximo de f é 41 27

4 125 e ocorre quando

5

3

xx x

x . Ou seja, quando

15

3x .

33. (PROFMAT - 2015) Sejam x, y e z números positivos.

a) Prove que 2 2 2 .x y z xy yz xz

b) Prove que 3 .3 3

x y z xy yz xzxyz

c) Use o item (b) para mostrar que se a equação 3 2 0t at bt c , em que a, b e c são

números positivos, possui três raízes reais, então 6 3 227 729a b c .


a) Tome por base que, , temos:

Isto é,

2.

Dividindo-se a inequação por 2, concluímos que

.


b) Parte 1: Vamos resolver a primeira desigualdade,

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos

O que implica em

Ou seja,

(*)

Sabemos que (*) é verdade. Portanto,

Parte 2: Provar a segunda desigualdade

Vamos usar a desigualdade MA ≥ MG, temos

O que equivale a

Tirando-se a raiz quadrada dos dois lados da inequação, temos

Como queríamos demonstrar.


c)


34. (UECE – 2017) Se x e y são números reais tais que 5 2 10y x , então, qual o

menor valor que 2 2x y pode assumir?


Pela desigualdade de Cauchy- Schwarz temos que

2 2 2 2 25 2 5 2y x y x .

Ou seja, 2 2 100

29x y . Logo, o valor mínimo da expressão é

100

29.

35. Mostre que 2018 2018 20182015 2016 2017 .


Note que,

.

Vamos provar que . Vejamos:

Usando a desigualdade de Bernoulli, temos


Logo,

.

36. Se a, b e c são números reais tais que 2 2 2 1a b c , então qual o valor máximo de

ab bc ac ?

Duas soluções: (Aluno Ernandes Santos – Finalista 2017)

Solução 1:

Basta encontrarmos um número real K tal que ab + bc + ac K. Usando a desigualdade

MA MG temos:

ab

.

Assim, usando de maneira análoga a mesma desigualdade para os números b e c, e

também a e c, podemos afirmar que

ab + bc + ac

=

.

Fazendo-se = ab + bc + ac, temos

.

Logo 1.

Portanto o valor máximo de ab + bc + ac é 1 e esse valor é atingido quando a=b=c. Isto

é, quando 3

3a b c .

Solução 2:

Usando a desigualdade de Cauchy – Schwarz, temos:

(ab + bc + ac)2 ( .

Como = 1, então temos que:

ab + bc + ac 1.

Logo o valor máximo de ab + bc + ac é 1.


37. (África do Sul – 1995) Sejam a, b, c e d números reais positivos, prove que

1 1 4 16 64

a b c d a b c d

.


Basta usar o lema, pois

+

+

+

=

+

+

+

=

=

.

38. Se a e b são números reais positivos, prove que

44 48 a b a b .


Pela desigualdade de Cauchy- Schwarz temos que

2 24 4 2 2 2 2

22 2

8 2 2

2 2 .

a b a b

a b

Pela desigualdade MQ MA temos também que

22 2 2 2

22 2

2 42 2

2 2 2 4

2 2

2 2 .

a ba b a b a b

a b a b

a b a b

Logo, 44 48 a b a b .

39. (República Tcheca – 99) Para a, b e c números reais positivos, prove a desigualdade

12 2 2

a b c

b c c a a b

.


Note que

+

+

=

+

+

.


Assim temos

+

+

Como foi provado na questão 12 que ( x + y + z)2 3(xy + yz + xz) para todo x, y e z

reais positivos. Então

1.

Portanto,

+

+

1.

40. (IMO – 1995) Sejam a, b e c números reais positivos tais que abc = 1. Prove que

3 3 3

1 1 1 3

2a b c b a c c a b

.


Observe que

+

+

=

+

+

Observe também que

. E como sabemos que abc = 1, então

. Usando o mesmo artifício nas outras expressões temos:

+

+

=

.+

+

=

.+

+

.

Aplicando a seguinte desigualdade

.+

+

, obtemos

.+

+

.

Por ser MA MG podemos dizer que

.

Logo,

+

+

.

41. Sejam se a, b, c > 0. Prove que

3 3 3

.a b c

a b cbc ca ab



Temos que é valida a seguinte desigualdade:

a4 + b

4 + c

4 abc(a + b + c). (exercício 27)

Dividindo ambos os lados desta desigualdade por abc obtemos:

(a + b + c)

Isto é,

+

+

(a + b + c). Portanto

+

+

(a + b + c).

42. Demonstre que 2 2 2 2 2 2 2 2 .

Uma solução: (Aluno Dirley Souza – Finalista 2017)

Iremos resolver pela desigualdade de Cauchy-Schwarz:

.

Vejamos:

Fazendo-se , , , temos:

Assim,

.

Isto é,

Logo

Para a igualdade ocorrer deve ser válida a igualdade

=

. Mas, .

Portanto, concluímos que


43. Resolva a equação 100200 20016 1 1 16x y xy .


Utilizando a relação entre as médias aritmética e geométrica, temos:

44. Resolva a equação 2

8 2 2 2

8 2

1 1cos 2 4cos

cos 2 4sen x x x

sen x x

.


Usando a desigualdade entre as médias MA- MG, temos

8 28 2

8 2

8 2

1 1cos 2 1 1cos 2. cos 2 1

2 2 cos 2

sen x xsen x x sen x x

sen x x

.

Logo, 8 2

8 2

1 1cos 2 4

cos 2sen x x

sen x x

. Com isso deve ocorre que

22 24cos 4

4x

e 8 2cos 2sen x x . Então

2 2 22 2 2 2cos 1 cos 1 ,

4 4 4x x x k k

.

Ou seja, 2

2 2 2

4x k

. Como

22 2

4k

para todo inteiro 0k então podemos

afirmar que k deve ser nulo e portanto 2

x

.


45. (Série Harmônica) Prove que 1 1

lnn

n n

para todo natural não nulo. Use esta

desigualdade para mostrar que a série

1 1 1 11 ... ...

2 3 4 n

é divergente.


Fazendo-se x =

na desigualdade 1 + x, obtemos:

1 +

.

Como a igualdade só ocorre para x = 0, então

.

Continuação: (Professor Alessandro Monteiro)


46. Prove que a Desigualdade de Bernoulli implica na desigualdade

2

a bab

.


Fazendo-se 1A

xa

, onde 2

a bA

, e n=2 na desigualdade de Bernoulli

1 1n

x nx , temos

2 2

2

2 2

2

2 2 2 2

2 2

2

1 1 1 2 1 2 1

21 0

4

2 4 4 4 0

2 4

2

.2

A A A A

a a a a

a ab a a b

a a

a ab b a ab a

a ab b ab

a bab

a bab

47. Resolva a equação

4 42 21 1 1 1 2x x .


Pela desigualdade de Bernoulli, temos que

1 1

4 44 42 2 2 2

2 2

1 1 1 1 1 1 1 1

1 11 1 1 1

4 4

2

x x x x

x x

Mas, a igualdade ocorre quando 21 0x .

Logo, 1.x


48. Demonstre que

9a b ch h h r ,

onde ah , ,b ch h são as alturas de um triângulo arbitrário e r é o raio da circunferência

inscrita no mesmo.


49. Encontre o valor mínimo da função definida por

6 3

3

5 5

1

x xf x

x

.


Olhando somente para o numerador da função temos que:

= ( + 1)2 + ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) + 1


Aplicando que MA MG obtemos:

= .

Assim,

f(x) 5.

Logo o valor mínimo de f(x) é 5 e ocorre quando , ou seja,

para x = 0.

50. Seja 0,2

. Encontre o valor mínimo de

cottg g .


Usando a desigualdade MA MG obtemos:

.

Portando 2 e a igualdade ocorre quando , ou seja, para

, uma vez que 0,2

.

curso de extensão - matematicamonteiro.com · outra metade da distância a 70 /km h. calcule a...

Documents