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César Augusto Torres Paitan

Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados

Dissertação de Mestrado

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio.

Orientador: Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr.

Rio de Janeiro Maio de 2013

DBDPUC-Rio - Certificação Digital Nº 1021817/CA


Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados

Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada

Prof. Eurípedes do Amaral Vargas Jr. Orientador

Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Prof. Tácio Mauro Pereira de Campos. Departamento de Engenharia Civil - PUC-Rio

Dra. Raquel Quadros Velloso.

EDTCT - PUC-Rio

Prof. Luís Manuel Ribeiro e Sousa. Universidade do Porto

Prof. José Eugenio Leal

Coordenador Setorial Centro Técnico Científico PUC-Rio

Rio de Janeiro, 20 de maio de 2013


Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, do autor e do orientador.


Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Nacional de Engenharia – UNI de Lima, Peru, em 2006. Ingressou no mestrado na Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro (PUC-Rio) em 2010, desenvolvendo a dissertação na linha de pesquisa de Geotecnia Ambiental.

Ficha Catalográfica

Paitan, Torres César Augusto.

Modelagem numérica de fluxo em meio fraturados e meios porosos fraturados / César Augusto Torres Paitan; orientador: Eurípides do Amaral Vargas Junior.- 2013.

v.,107f.: il.; 29,7 cm.

Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil)– Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2013.

Inclui referências bibliográficas. 1. Engenharia civil – Teses. 2. Fluxo em meio

poroso. 3. Fluxo em meio fraturado. 4. Fluxo em meio poroso fraturado. 5. Geração de fraturas. 6. Método dos elementos finitos. I. Vargas Júnior, Eurípedes do Amaral. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. III. Título.

CDD: 624


A Deus, à minha mãe, e ao meu pai que está no céu.


Agradecimentos

Ao professor Eurípedes Vargas Jr., pela orientação, ajuda e dedicação no

acompanhamento do meu trabalho. Muito obrigado professor.

À minha irmã Mercedes, à minha sobrinha Danna, meus primos Lorena e Marcial

e meu cunhado Richard, que sempre foram meu apoio à distância.

À Raquel Q. Velloso pela valiosa ajuda e sugestões na última etapa da tese.

Ao Wagner N. Ribeiro pelo apoio e recomendações. Muito obrigado amigo.

À Jackeline Castañeda pela ajuda e apoio durante esse tempo de estudos.

À Isabelle A. Telles e ao João P. Castagnoli pela ajuda em resolver as dúvidas no

manejo dos programas de cálculo.

A meus amigos no Peru, que compartilharam tantos momentos inesquecíveis

comigo à distância.

A meus amigos da “Peña de los Sábados”

A todos meus amigos da pós-graduação PUC-Rio pelos momentos de estudo, conversa e amizade. Às belas pessoas brasileiras e de outras nacionalidades que conheci durante esse tempo. À CAPES, pelo apoio financeiro prestado para a realização deste trabalho.


Resumo

Paitan, César Augusto Torres; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. Modelagem numérica de fluxo em meios fraturados e meios porosos fraturados. Rio de Janeiro, 2013. 107 p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

Este trabalho apresenta o desenvolvimento/montagem de um sistema

computacional para análise de fluxo em meios porosos, meios fraturados, porosos

fraturados e em combinações destes meios, considerando regime permanente ou

transiente, sob condições saturadas e não saturadas. O sistema consiste de quatro

programas, três programas de funções específicas interligadas por rotinas de

programação feitas na linguagem C++ e o quarto é um visualizador de resultados.

O FracGen 3D (Telles, 2006) gera fraturas ou famílias de fraturas de forma

determinística ou probabilística. O programa ICEM CFD v.14 divide o domínio

de interesse em sub-dominios, através da geração de malha de elementos finitos.

O programa FTPF-3D (Telles, 2006) utiliza o método de elementos finitos para

discretizar as equações governantes no espaço e em diferenças finitas no tempo, e

para resolver a não linearidade, utiliza o método iterativo de Picard ou o método

iterativo BFGS e finalmente O Pos3D é o responsável pela visualização dos

resultados. Neste trabalho foram desenvolvidos cinco exemplos, dois deles para a

validação deste procedimento, e três aplicados a um talude típico do Rio de

Janeiro, os quais incluem fraturas verticais e juntas de alívio. Estes casos

estudados verificam a influência das fraturas nos meios porosos em termos de

carga de pressão, totais e campo de velocidades, para a verificação do

comportamento hidráulico dos maciços e de eventuais instabilidades.

Palavras-chave

Fluxo em meios fraturados; fluxo em meios porosos fraturados; geração de

fraturas; métodos dos elementos finitos; ICEM CFD.


Abstract

Paitan, César Augusto Torres; Vargas Jr., Eurípedes do Amaral. Numerical modelling of flow in fractured and fractured porous media. Rio de Janeiro, 2013. 107 p. MSc. Dissertation – Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

This work presents the development/assembly of a computational system for

flow analysis in porous media, fractured and fractured porous media and in

combination of both media, considering steady or transient states under saturated

and unsaturated conditions. The system comprehends four computational

programs, three of them of specific functions interconnected by C++ programing

routines and the last program is an output viewer. FracGen 3D program (Telles,

2006) generates fractures or fracture families in a determinist or probabilistic way.

ICEM CFD v.14 program divides the interest domain in sub-domains by means of

the element finite mesh generation. FTPF-3D program (Telles, 2006) uses the

element finite method to discretize the governing equations in the space domain

and the difference finite method for the time domain and for solving the non-

linearity is used the iterative Picard or BFGS method, so that, finally, Pos3D

viewer program is answerable by visualization of the results. In the present

dissertation five examples were developed, two of them for the validation of this

procedure and the three others applied to a typical slope in Rio de Janeiro, which

include vertical fractures and relief joints on their slopes. All those studied cases

evaluate the influence of the fractures on porous media in terms of pressure and

total heads and velocity fields for verifying of the hydraulic behavior of solid

masses and eventual instabilities.

Keywords

Flow in fractured media; flow in fractured porous media; fracture

generation; finite element method; ICEM CFD.


Sumário

1 Introdução 17

1.1. Contribuição da Dissertação 19

1.2. Estrutura da Dissertação 20

2 Comportamento hidráulico do meio poroso fraturado 22

2.1. Meio poroso 22

2.1.1. Fluxo em meios porosos 23

2.2. Fraturas 24

2.2.1. Características das fraturas 25

2.2.2. Sistemas de fraturas 27

2.3. Meios porosos fraturados 28

2.3.1. Fluxo em meios porosos fraturados 29

2.4. Modelos conceituais de fluxo em meios porosos fraturados 33

2.4.1. Modelo contínuo equivalente 35

2.4.2. Modelo de fraturas discretas 36

2.4.3. Modelo com dupla porosidade 37

3 Modelos matemáticos e formulação numérica 39

3.1. Equações governantes 39

3.2. Método numérico de solução 42

3.2.1. Métodos dos elementos finitos 44

3.2.2. Solução numérica 44

3.2.2.1. Discretização do espaço 44

3.2.2.2. Discretização do tempo 47

3.2.3. Estratégia de solução 47

4 Procedimento para a modelagem 49

4.1. Geração do domínio e das fraturas 50

4.1.1. Geração de fraturas - FracGen 3D 50

4.1.2. Procedimento 53

4.2. Discretização do domínio 54

4.2.1. Geração da malha–ICEM CFD v. 14 56



4.3. Solução numérica e visualização de resultados 61


5 Exemplos 63

5.1. Exemplo 1 – análise de fluxo em um meio poroso fraturado 63

5.1.1. Análise de fluxo em regime permanente – exemplo 1 66

5.1.2. Análise de fluxo em regime transiente – exemplo 1 67

5.2. Exemplo 2 – análise de fluxo em um meio poroso e um meio poroso

fraturado 68


5.2.2. Análise de fluxo em regime transiente – exemplo 2 74

5.3. Exemplo 3 – análise de fluxo aplicado a um talude com uma fratura

vertical 76

5.3.1. Análise de fluxo em regime permanente– exemplo 3 78

5.4. Exemplo 4 – análise de fluxo aplicado a um talude com fraturas

verticais e uma junta de alivio 83

5.4.1. Análise de fluxo em regime permanente– exemplo 4 85

5.5. Exemplo 5 – análise de fluxo aplicado a um talude com uma fratura

vertical e uma junta de alivio 87


6 Conclusões e Sugestões 94

6.1. Conclusões 94

6.2. Sugestões 97

Referências Bibliográficas 100


Lista de Figuras

Figura 2.1: Tamanho do VER, Bear (1972). ............................................. 24

Figura 2.2: Fractal Auto-similar vs. Fractal Autofin, Morales (2008). ........ 26

Figura 2.3: Quartzito que se assemelha ao modelo de duas placas

paralelas. ETS. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011).. 30

Figura 2.4:Sequência do conceito desde fratura natural até o conceito de

placas paralelas, Morales (2008). ..................................................... 30

Figura 2.5: Fluxo entre duas placas paralelas, Morales (2008). ............... 30

Figura 2.6: (a) VER para o meio poroso, (b) VER para o meio fraturado,

ETS Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011). .................. 32

Figura 2.7: (a) Meio poroso fraturado real, (b) Modelo continuo equivalente

(c) Modelo continuo equivalente com zonas de alto fraturamento que

representam zonas com alta condutividade hidráulica, (d) Modelo de

dupla porosidade, (e) Modelo de fraturas discretas.Cook (2003). ..... 34

Figura 2.8: Família de fraturas de espessura b e separação s que

apresentam orientação diferente aos eixos de interesse, vista 2D. .. 35

Figura 2.9: Fraturas cruzadas com alta permeabilidade, bordeada por

bloques de baixa permeabilidade, Bourgeat et al. (2003). ................ 37

Figura 3.1: (a) Zona de influencia de um poço, (b) Modelo discretizado

pelo MDF, (c) Modelo discretizado pelo MEF. .................................. 43

Figura 4.1: Etapas para modelagem de fluxo e transporte em meios

porosos e fraturados, Telles (2006)................................................... 49

Figura 4.2: Fraturas geradas no FracGen 3D de forma determinística. ... 52

Figura 4.3: Famílias de fratura geradas no FracGen 3D de forma

estatística. ......................................................................................... 52

Figura 4.4: Distribuição espacial com 2738 fraturas geradas

aleatoriamente, Telles (2006). ........................................................... 53

Figura 4.5: Fraturas geradas com FracGen 3D. ....................................... 54

Figura 4.6: Compatibilidade dos nós dos elementos representativos do

meio poroso e dos elementos representativos das fraturas, Telles

(2006). ............................................................................................... 55

Figura 4.7: Entorno gráfico ICEM CFD v.14 ............................................. 56


Figura 4.8: Geração das fraturas a partir do script. .................................. 57

Figura 4.9: Geometria inicial das fraturas. ................................................ 58

Figura 4.10: Geometria após edição das fraturas. ................................... 58

Figura 4.11: Verificação da qualidade da malha gerada no ICEM ........... 60

Figura 5.1: Geometria do exemplo 1 contendo as famílias de fraturas e a

malha de elementos finitos triangulares. ........................................... 63

Figura 5.2: A malha de elementos finitos tetraédricos do meio poroso e

das fraturas com elementos triangulares. ......................................... 64

Figura 5.3: Condições iniciais e de contorno do exemplo 1. .................... 65

Figura 5.4: Distribuição das cargas de pressõesdo exemplo1. ................ 66

Figura 5.5: Distribuição das cargas totais do exemplo 1. ......................... 66

Figura 5.6: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo

1 para um tempo de 1 dia. ................................................................ 67

Figura 5.7:Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do Exemplo 1

para um tempo de 7 dias. .................................................................. 67


1 para um tempo de 30 dias. ............................................................. 68


1 para um tempo de 800 dias. ........................................................... 68

Figura 5.10: Geometria do exemplo 2 contendo as famílias de fraturas e a

malha de elementos finitos triangulares. ........................................... 69

Figura 5.11: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios e das

fraturas com elementos finitos triangulares. ...................................... 69

Figura 5.12: Condições iniciais do exemplo 2. ......................................... 71

Figura 5.13: Condições de contorno do exemplo 2. ................................. 71

Figura 5.14: Distribuição das cargas de pressões do exemplo 2. ............ 72

Figura 5.15: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas do exemplo

2. ....................................................................................................... 73

Figura 5.16: Distribuição das cargas totais do exemplo 2. ....................... 73

Figura 5.17: Distribuição das cargas totais das fraturas do exemplo 2. ... 73

Figura 5.18: Campo de velocidades das fraturas do exemplo 2. .............. 74

Figura 5.19 Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do

Exemplo 2 no tempo zero. ................................................................ 74


Figura 5.20:Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do

Exemplo 2 para um tempo de 10 dias. .............................................. 75

Figura 5.21: Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do

Exemplo 2 para um tempo de 100 dias. ............................................ 75

Figura 5.22:Distribuição das cargas totais nas fraturas e meio poroso do

Exemplo 2 para um tempo de 1000 dias. .......................................... 75

Figura 5.23:Geometria do exemplo 3 contendo a fratura isolada e a malha

de elementos finitos triangulares. ..................................................... 76

Figura 5.24:A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios e da

fratura isolada com elementos finitos triangulares. ........................... 76


Figura 5.26: Distribuição das cargas de pressões no talude sem fratura do

Exemplo 3. ........................................................................................ 79

Figura 5.27: Distribuição das cargas de pressões no talude com fratura do

Exemplo 3. ........................................................................................ 79

Figura 5.28: Distribuição das cargas totais no talude sem fratura do

Exemplo 3. ........................................................................................ 80

Figura 5.29: Distribuição das cargas totais no talude com fratura do

Exemplo 3. ........................................................................................ 80

Figura 5.30: Campo de velocidades no talude sem fratura do Exemplo 3.

.......................................................................................................... 81

Figura 5.31: Campo de velocidades no talude com fratura do Exemplo 3.

.......................................................................................................... 81

Figura 5.32: Campo de velocidades na fratura e em no meio poroso do

exemplo 3. ......................................................................................... 82

Figura 5.33: Campo de velocidades do talude no ponto B da Figura 5.32.

.......................................................................................................... 82

Figura 5.34: Campo de velocidades do talude no ponto A da Figura 5.32.

.......................................................................................................... 82

Figura 5.35:Geometria do exemplo 4 contendo a família de fraturas, junta

do alivio e a malha de elementos finitos triangulares. ....................... 83

Figura 5.36: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios, fraturas

e a junta do alívio com elementos finitos triangulares. ...................... 83



Figura 5.38: Distribuição das cargas de pressões nas fraturas e na junta

de alivio do exemplo 4. ...................................................................... 86

Figura 5.39: Distribuição das cargas totais nas fraturas e na junta de alivio

do exemplo 4. .................................................................................... 86

Figura 5.40: Campo de velocidades no talude do exemplo 4. .................. 87

Figura 5.41: Campo de velocidades das fraturas e da junta de alivio do

exemplo 4. ......................................................................................... 87

Figura 5.42:Geometria do exemplo 5 contendo a fratura isolada vertical, a

junta do alivio e a malha de elementos finitos. .................................. 88

Figura 5.43: A malha de elementos finitos tetraédricos dos meios porosos,

a fratura e junta de alivio com elementos triangulares. ..................... 88

Figura 5.44:Condições de contorno do exemplo 5. .................................. 90

Figura 5.45: Distribuição das cargas de pressões no talude do exemplo 5.

.......................................................................................................... 91

Figura 5.46: Distribuição das cargas totais no talude do exemplo 5. ....... 91

Figura 5.47: Distribuição das cargas totais da fratura e junta de alivio do

exemplo 5. ......................................................................................... 92

Figura 5.48: Campo de velocidades do talude do exemplo 5. .................. 92

Figura 5.49: Campo de velocidades da fratura e junta de alivio do exemplo

5. ....................................................................................................... 93


Lista de Tabelas

Tabela 2-1: Vantagens e desvantagens dos modelos conceituais Cook

(2003) ................................................................................................ 38

Tabela 5-1: Características geométricas das famílias de fraturaspara o

exemplo 1. ......................................................................................... 64

Tabela 5-2: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 1 para a

função analítica de Van Genuchten (1980). ...................................... 65

Tabela 5-3: Resumo dos elementos da malha do exemplo 1................... 65

Tabela 5-4:Características geométricas das famílias de fraturas para o

exemplo 2. ......................................................................................... 70

Tabela 5-5: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 2 para a

função analítica de Van Genuchten (1980). ...................................... 70


Tabela 5-7: Características geométricas da fratura do exemplo 3. .......... 77

Tabela 5-8: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 3. ...... 77


Tabela 5-10:Características geométricas da fratura do exemplo 4. ......... 84

Tabela 5-11: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 4. .... 84

Tabela 5-12: Resumo dos elementos da malha do exemplo 4................. 85

Tabela 5-13: Características geométricas da fratura do exemplo 5. ........ 89

Tabela 5-14: Parâmetros hidráulicos dos meios físicos do exemplo 5. .... 89

Tabela 5-15: Resumo dos elementos da malha do exemplo 5................. 89


Lista de Símbolos

2� abertura da fratura

Dh diâmetro hidráulico

� = 2� abertura da fratura

�� abertura da fratura �

� aceleração da gravidade

ℎ

�

gradiente hidráulica na direção �.

hp carga de pressão

hT carga total

� número de fratura da família

�� superfícies da fratura

� permeabilidade intrínseca

�� condutividade hidráulica saturada da fratura

�� condutividade hidráulica saturada

�� coeficiente de permeabilidade da rocha intacta

�� tensor de condutividade hidráulica

�� permeabilidade relativa do meio

�� permeabilidade relativa da fratura

k medida de rugosidades das paredes das fraturas

� condutividade hidráulica

�� tensor de permeabilidade equivalente

� parâmetro da relação analítica de Van Genuchten

� número total de nós

� número total de fraturas da família

�� , ��

� , �� cossenos diretores da fratura normal

�� = −! pressão de capilaridade

"� vazão através da fratura

−" #$%

termo de transferência de fluido entre o meio poroso e a superfície da fratura �

" #$&

termo de transferência de fluido entre o meio poroso e a superfície da fratura ��

' fonte ou um sumidouro.


'� fonte ou um sumidouro

�� espaçamento entre fraturas

() coeficiente específico de armazenamento

(� grau de saturação de água

(�� grau de saturação da fratura

(�� saturação residual

* velocidade de descarga

+ carga de elevação

+� carga de elevação da fratura

, parâmetro da relação analítica de Van Genuchten

- contorno do modelo

-. contorno no elemento

∆0 variação do tempo

1 peso específico do fluido

2) teor de umidade volumétrica de saturação

2 teor de umidade volumétrica

2� teor de umidade volumétrica residual

3 viscosidade dinâmica do fluido

4 viscosidade cinemática do fluido

5 densidade do fluido

∅7 funções de interpolação linear

!(9�, 0) carga de pressão

!�(0) cargas de pressões da fratura

!7 carga de pressão nodal

; domínio do modelo

;. domínio no elemento


1 Introdução

A hidráulica dos meios fraturados tem sido investigada desde a década de

40, cujo interesse inicial foi estudar os problemas que ocasiona o escoamento de

fluxo nestes meios. Louis (1974) indica que estudos referentes à hidráulica das

rochas iniciaram-se em diversos países. Na universidade Karlsruhe, na Alemanha,

começou um vasto programa de estudos e foi prosseguida pela Imperial College,

na Inglaterra. Esse programa tinha como objetivos analisar propriedades e

características hidráulicas dos maciços rochosos fraturados, estudar o fenômeno

de escoamento e seus efeitos, e finalmente, explicar o comportamento dos

maciços rochosos submetidos à ação da água subterrânea.

Durante décadas, as formações geológicas fraturadas têm-se mostrado um

campo interessante de investigação por estarem relacionadas a aplicações em

reservatórios de petróleo e de gás, aquíferos, atividades mineiras bem como em

diversas obras civis. Nos últimos 30 anos, grandes progressos têm sido

desenvolvidos no entendimento geral do comportamento hidráulico do meio

poroso fraturado. As engenharias de petróleo, civil, minas e das águas

subterrâneas, cada vez mais necessitam compreender o fenômeno de fluxo de

fluidos nestes meios. Mas foi a preocupação ambiental que deu impulso às

investigações neste campo, devido a que hoje em dia há uma grande demanda na

avaliação do armazenamento de resíduos radioativos ou químicos em formações

geológicas estáveis e de baixa permeabilidade. Este campo de estudo tem

aproximado países e instituições de investigação, vinculados ao estudo desses

processos.

O fluxo do fluido em maciços fraturados está intimamente relacionado às

fraturas, por estas poderem representar caminhos preferenciais para o fluxo.

Representar esta heterogeneidade estrutural das formações geológicas para

simular o escoamento do fluido originou a definição de modelos conceituais que

simplificassem o problema. Existem diversos modelos conceituais, mas

basicamente estão organizados em três grupos: a) Modelo contínuo equivalente


18

(Jeong & Lee, 1992; Liu et al., 2001; Liu et al., 2003; Li et al., 2008 eHe & Chen

2012), b) Modelo discreto de redes de fraturas (Long et al., 1982 e Pan et al.,

2010) e c) Modelos mistos (Barenblatt et al., 1960; Gerke & Van Genuchten,

1993; Therrien & Sudicky, 1996; Juanes & Samper, 2000; Bourgeat et al., 2003 e

Lewandowska et al., 2004). Cada uma destas famílias de modelos mostram suas

próprias vantagens e limitações. De qualquer forma, não existe regra geral para a

escolha do melhor modelo, cada um deles é apropriado para uma situação em

particular. Uma comparação numérica destes três modelos pode ser verificada em

Samardzioska & Popov (2005).

O desenvolvimento de modelos numéricos e melhoras na capacidade

computacional têm permitido, atualmente, usar modelos tridimensionais para

resolver problemas em hidrogeologia subterrânea. A representação das fraturas no

maciço rochoso está conseguindo que os resultados de modelagens de fluxo sejam

mais coerentes. Neste contexto, a modelagem tridimensional tornou-se uma

ferramenta essencial no entendimento do comportamento hidráulico em meios

porosos fraturados. Existem diversos trabalhos de modelagem numérica

tridimensional em meios porosos fraturados, alguns deles podem ser encontrados

em Taniguchi & Fillion (1996), Telles (2006), Alvarenga (2008), Blöcher et al.

(2010), Pan et al. (2010) e Dreuzy et al., (2013).

Na presente dissertação apresenta-se o desenvolvimento/montagem de um

sistema computacional para análise de fluxo em meios porosos, meios fraturados e

porosos fraturados e em combinações destes meios. O modelo conceitual usado é

um modelo de fraturas inseridas em um meio poroso, podendo ser catalogado

como um modelo misto. Nesta formulação, os nós, que pertençam aos planos de

fraturas, pertencem também aos elementos tetraédricos adjacentes do meio

poroso, permitindo, desta forma, garantir a continuidade de cargas e também,

dispensar o termo de transferência, característico em definições de modelos

mistos. Este modelo resolve as equações de fluxo do meio poroso e das fraturas

simultaneamente, e pode ser usado para modelar grandes fraturas com meios

porosos de alta ou baixa permeabilidade. O inconveniente neste modelo está

basicamente relacionado à localização das fraturas. Juanes & Samper (2000)

indicam que este tipo de modelo foi implementado desde os anos setenta, e que foi

adaptado por Kiraly (1987) e posteriormente generalizado por Perrochet (1995),

sendo que atualmente vem apresentando um notável desenvolvimento. Trabalhos


19

relacionados a este modelo podem ser encontrados em Kiraly (1987), Telles

(2006), Alvarenga (2008).

O desenvolvimento/montagem proposta nesta dissertação usa programas

específicos para cada etapa. Estes programas em conjunto compõem um sistema

que será usado neste trabalho para modelar e analisar fluxo em domínios porosos

fraturados. Uma sucinta descrição da metodologia é feita a seguir: o procedimento

inicia-se com a etapa de geração de fraturas de modo probabilístico ou

determinístico, usando o programa FracGen (Telles, 2006), que gera a localização

espacial das fraturas sob características particulares. Posteriormente, determina-se

a geometria do domínio do modelo e discretiza-se pelo método de elementos

finitos, tanto as fraturas quanto os meios porosos, sendo o tempo discretizado pelo

método das diferenças finitas. Para a geração da malha de elementos finitos usou-

se o programa ICEM CFD v.14. Seguidamente, passa-se à etapa de análise de

fluxo na qual se poderão considerar análises de fluxo em condições permanente

ou transiente, saturado ou não saturado. Para esta etapa usou-se o programa FTPF-

3D (Telles, 2006) e para a visualização de resultados utilizou-se o programa

Pos3D.

Programas integrados para análises de fluxo em meios porosos fraturados e

meios fraturados existem na literatura. Diodato (1994) elaborou um resumo de

alguns deles, indicando suas vantagens e limitações. Um resumo mais atual dos

programas envolvidos em análises de fluxos em meios porosos fraturados é

descrito em Telles (2006).

Programas que realizam estes tipos de análises estão disponíveis, porém sob

um custo relativamente alto, apresentando códigos de programação e rotinas

fechadas que os tornam um tanto limitados de implementar e diversificar suas

aplicações, sendo esta uma clara vantagem para o desenvolvimento/montagem

que se apresenta neste trabalho.

1.1. Contribuição da Dissertação

A contribuição principal desta dissertação é o desenvolvimento/montagem

de um sistema de modelagem tridimensional de fluxo em meios fraturados e

meios porosos fraturados capaz de permitir implementações e modificações para


20

melhorar e diversificar as aplicações de análises segundo o problema a ser

abordado. Este sistema de análise proposto relaciona e interage programas de

cálculo e rotinas de programação que criam fraturas, geram malhas de elementos

finitos e desenvolvem análises numéricas de fluxo.

Neste contexto, este trabalho detalha um procedimento sequencial para

implementar um modelo físico e sua posterior análise numérica. Esta metodologia

proposta contém passos e sugestões para o uso de programas como o FracGen

(Telles, 2006) encarregado de gerar as fraturas de forma determinística ou

probabilística, para posteriormente usar o programa ICEM, um programa versátil,

com ferramentas de qualidade e edição de malhas, entre outras características.

Este programa discretiza o domínio do problema criando malhas de elementos

finitos. A partir desses resultados o programa FTPF-3D (Telles, 2006) é

responsável pela análise numérica, baseado no método de elementos finitos para

resolver as equações governantes de fluxo. Como passo final, a visualização dos

resultados é feito no programa POS3D.

1.2. Estrutura da Dissertação

Esta dissertação está estruturada em seis capítulos, inicia-se com o capítulo

1 no qual é feita uma introdução referente a estudos de fluxo em meios porosos

fraturados e ao procedimento seguido para a modelagem de análise de fluxo, bem

como uma rápida descrição da importância deste estudo. É apresentado também o

objetivo principal deste trabalho, indicando os alcances e vantagens deste sistema

montado de análise proposto. E finalmente apresenta-se a estrutura da dissertação.

No capítulo 2 descreve-se os conceitos básicos e definições importantes

relacionadas ao comportamento do fluxo em meios porosos fraturados e das

fraturas, assim como os modelos conceituais gerais usados em análises de fluxo

nestes meios.

No capítulo 3 apresenta-se o modelo matemático empregado neste trabalho,

sua formulação numérica para o desenvolvimento da análise de fluxo e a

estratégia de solução das equações governantes.


21

No capítulo 4 apresenta-se a metodologia usada para gerar e modelar o fluxo

em meios porosos fraturados. Indicam-se sugestões para gerar as fraturas usando o

programa FracGen3D, e também para a geração da malha de elementos finitos

com o programa ICEM CFD v.14. Algumas sugestões são indicadas para a

criação e edição das malhas tridimensionais. Finalmente, é descrito o uso do

programa numérico de análise de fluxo FTPF-3D e sua visualização gráfica no

programa POSD 3D.

No capítulo 5 apresentam-se cinco exemplos em meios porosos fraturados,

os dois primeiros analisados em condições de fluxo permanente e transiente e em

condições não saturadas. Os três restantes tratam de taludes típicos nas formações

geológicas do Rio de Janeiro. Estes taludes foram analisados em regime

permanente e em condições não saturadas. Os resultados das análises para as

variáveis quantitativas estão expressas em termos de cargas de pressões, cargas

totais e campo de velocidades, sendo necessárias para o entendimento do

comportamento hidráulico destes meios.

No capítulo 6 são apresentadas as conclusões e algumas sugestões para

futuros trabalhos, seguidas das referências bibliográficas.


2 Comportamento hidráulico do meio poroso fraturado

Os estudos e investigações do comportamento hidráulico dos meios porosos

e meios fraturados têm sido desenvolvidos durante muitos anos. Os meios porosos

têm sido investigados com mais antecedência que os meios fraturados; mas nas

últimas décadas os meios fraturados têm capturado o interesse e,

consequentemente, acrescentado o conhecimento nesta área. Isso foi possível na

medida das necessidades de precisar representar com maior realidade o meio

segundo escalas definidas e da utilidade que se desejava dele. As novas

tecnologias e o avanço no estudo permitiu uma representação mais realista da

verdadeira geometria e orientação espacial das estruturas geológicas inseridas no

maciço rochoso.

Telles (2006) descreve quatro aspectos que devem ser levados em conta

quando se faz um estudo de fluxo em meios porosos fraturados:

• Desenvolvimento conceitual de modelos

• Desenvolvimento de soluções analíticas e numéricas

• Descrição das características hidráulicas da fratura

• Desenvolvimento de técnicas probabilísticas para descrever o fluxo

em fraturas e distribuições de parâmetros hidrogeológicos.

Neste capítulo desenvolve-se brevemente os modelos conceituais,

descrevendo as características hidráulicas da fratura e do fluxo em fraturas e

sistemas de fraturas.

2.1. Meio poroso

Um meio poroso pode-se definir como um meio sólido que contém poros,

estes poros são vazios que estão interconectados ou não entre eles e estão

distribuídos aleatoriamente. Estes vazios por sua vez, com formas e tamanhos

variáveis, permitem a percolação de fluidos, e quando conectados constituem


23

redes que podem chegar a ser muito complexas. São exemplos destes meios: a

matriz rochosa e maciços de solo.

2.1.1. Fluxo em meios porosos

O estudo de fluxo em meios porosos requer o conhecimento da

condutividade hidráulica ou coeficiente de permeabilidade � que se define como a capacidade de um meio para permitir o fluxo de água. Este coeficiente reflete

ambas as propriedades, as do meio e do fluido e pode-se expressar como:

� = �� (2.1) Na equação (2.1), �é a condutividade hidráulica, � é a permeabilidade

intrínseca do meio, � é a densidade do fluido, � é a aceleração da gravidade, � é a viscosidade dinâmica do fluido.

A equação de Navier-Stokes é a lei fundamental que descreve a dinâmica

dos fluidos viscosos mais comuns, este em conjunto com as leis de conservação

da massa e da energia permitem descrever seu movimento. No entanto, esta lei

não descreve imediatamente a dinâmica de fluidos que circula por um meio

poroso, em virtude da sua tortuosidade e resistência oferecida pelo meio.

Em 1856, Henri Darcy propôs uma lei que descreve adequadamente a

dinâmica de um fluxo incompressível num meio poroso, esta lei deu início ao

entendimento do comportamento dos fluidos em um meio poroso.

Esta lei se postulou para fluidos na zona saturada e originalmente só para

uma direção, cujo valor só tem validade para fluxos em regime laminar.

Na equação (2.2), � é a velocidade de descarga, � é a condutividade hidráulica, ℎ/� é o gradiente hidráulico na direção �.

Bear (1972) indica que para descrever o comportamento de um fluido em

um domínio de meio poroso, faz-se necessário utilizar o conceito de Volume

Elementar Representativo, VER (volume onde os parâmetros hidráulicos são

considerados constantes). Na Figura 2.1, pode-se observar a que se refere o VER.

� = −� ℎ� (2.2)


24

Figura 2.1: Tamanho do VER, Bear (1972).

O conceito do VER permite substituir o meio real por um modelo teórico de

meio continuo no qual pode-se atribuir valores constantes aos parâmetros como

porosidade, permeabilidades, etc., descrevendo o fluxo dentro de um domínio por

meio de equações diferenciais.

A teoria do comportamento dinâmico dos fluidos em meios porosos é

amplamente descrito em Bear (1972).

2.2. Fraturas

De acordo com Telles (2006), as rochas podem apresentar algumas feições

geológicas como planos de acamamento, falhas, fissuras, fraturas, juntas e outros.

Tais feições são caracterizadas pelo termo descontinuidade. Esse termo foi

primeiramente adotado anos atrás por vários autores (Fookes e Parrish 1969;

Attewell e Woodman 1969; Priest 1975; Goodman 1976) para cobrir uma gama

de imperfeições mecânicas encontradas em formações rochosas.

Vargas e Barreto (2003) explicam como a geologia distingue e define

feições como fraturas, falhas, juntas, diaclases, que são resultados de ações

mecânicas sobre os maciços rochosos em algum momento da sua história

geológica.

No caso de fraturas, Telles (2006) aponta algumas características comuns

destas formações como, de baixa resistência cisalhante, resistência à tração

praticamente nula e alta condutividade hidráulica comparado com a massa

rochosa. As descontinuidades podem ser falhas, juntas, fissuras ou fraturas.


25

Uma fratura é um plano de ruptura da rocha. Em geral, uma fratura se forma

devido a tensões concentradas ao redor de defeitos, heterogeneidades e

descontinuidades físicas. Estas se formam em reposta a tensões tectônicas,

térmicas e pressões altas dos fluxos. Hidraulicamente, cada fratura se comporta

como um canal na qual o fluxo passa, e quase sempre estão conectadas a outras, e

assim, estas formam um sistema de condutividade preferencial dentro do meio.

Neste trabalho a palavra “fratura” é usada como um termo geral.

2.2.1. Características das fraturas

Blöcher et al. (2010) indicam que as fraturas podem representar caminhos

preferenciais para os fluxos, ou podem atuar como barreiras geológicas. Estas

duas opções dependerão essencialmente da origem e da orientação das fraturas em

relação a seu recente campo de esforços (Barton et al., 1995; Gudmundsson, 2001;

Moeck et al., 2008; Sheck-Wenderoth et al., 2008; Magri et al., 2010).

A caracterização da geometria de uma família de fraturas dependerá da

caracterização das fraturas que conformam esta família. Esta caracterização geral

para as famílias envolve definições de:

• Orientação

• Frequência

• Espaçamento

• Forma

• Tamanho

• Abertura

• Material de preenchimento.

Telles (2006) apresenta detalhes dessa caracterização.

Os materiais de preenchimento que se encontram dentro das fraturas podem

ter origem de soluções pneumatolíticas, soluções hidrotermais etc. Quando a

fratura apresenta material de preenchimento, a condutividade hidráulica da fratura

poderia chegar a ter o valor da condutividade hidráulica deste material. Contudo,

isso não seria tão real ou padrão devido a que às vezes este material de


26

preenchimento atua como um material quase-impermeável, tornando a

condutividade hidráulica da fratura menor do que seria se considerar a fratura sem

preenchimento.

Com relação à forma e dimensão das fraturas naturais, estas não são bem

conhecidas, devido à complexidade que apresentam em três dimensões. Esta é

uma das maiores incertezas ao se fazerem medições in-situ das fraturas no maciço

rochoso. Mesmo assim, a geometria é o fator principal para caracterizar e

compreender os processos e fenômenos que ocorrem nele. Consequentemente, as

medidas destas características devem seguir procedimentos adequados para um

maior aprimoramento.

Morales (2008) aponta que as formas geométricas na natureza não têm

formas regulares; sua análise apropriada está condicionada a representar do jeito

mais confiável estas irregularidades. Os fractais têm a particular propriedade de

ter a mesma ou estatisticamente a mesma forma em toda escala.

A influência da rugosidade das paredes das fraturas no escoamento e

transporte vem sendo estudada, mostrando que as paredes são geralmente

irregulares, possuindo propriedades e natureza fractal com auto-afinidade

Berkowitz (2002 apud Marin, 2011). Na Figura 2.2 pode-se observar as

características do fractal auto-similar e o fractal auto-afim.

Figura 2.2: Fractal Auto-similar vs. Fractal Autofin, Morales (2008).

A fractalidade da rugosidade parece não depender da mineralogia, direção

da fratura ou mecanismo de formação da mesma. O entendimento do motivo da


27

fractalidade com auto-afinidade e as diversas escalas de rugosidade são ainda um

problema aberto, apesar dos avanços recentes (Davy et al., 2010; Bae et al., 2011).

Para descrever características similares das fraturas que podem aparecer a

diferentes escalas, a análise fractal poderia ser uma alternativa para caracterizá-

las. O uso dos fractais também tem sido usado para modelar fluxo em fraturas

(Morales, 2008).

Para descrever aleatoriamente as características geométricas das fraturas se

usam diversas distribuições estatísticas, entre elas, a distribuição normal,

lognormal etc. Bonnet et al. (2001 apud Marin, 2011) explicam como estudos

recentes de propriedades de escala têm mostrado um ajuste melhor usando

descrições baseadas em leis de potência e características fractais. Bear et al. (1993

apud Marin, 2011) indicam que um dado interessante sobre os sistemas que

mostram comportamento fractal é a ausência de uma escala de homogeneização, o

que previne o uso da definição do volume elementar representativo VER. Porém,

o uso dos métodos fractais para descrever características das fraturas ainda

continua em discussão. Para maior detalhe revisar Sahimi (1995), Giménez et. al.

(1997), Morales (2008), Monachesi & Guarracino (2010).

Em resumo, devido a que as fraturas têm uma variedade de tamanhos,

formas e espaçamentos dentro de um mesmo maciço rochoso, o maior desafio,

portanto, seria compreender o comportamento do fluido em meios fraturados que

permita gerar uma melhor representação espacial das condições geométricas que

as fraturas apresentam.

2.2.2. Sistemas de fraturas

Existem dois caminhos para esquematizar as famílias de fraturas de um

maciço rochoso, a maneira determinística e a probabilística. No modo

determinístico as fraturas apresentam características conhecidas, e no modo

probabilístico, as fraturas são geradas de maneira aleatória, na qual suas

características seguem distribuições probabilísticas. Para maiores detalhes revisar

Telles (2006).


28

Entre os métodos mais comuns para caracterizar um maciço rochoso

deterministicamente, podem-se citar os seguintes:

• Levantamentos geológicos

• Técnicas geofísicas

• Exploração geotécnica por meio de sondagens (à percussão,

rotativas, etc.).

Marin (2011) indica que medidas diretas das características das fraturas não

são possíveis de serem obtidas com os métodos mencionados acima, porque

geralmente são medidas as respostas devido à presença de fraturas. Então para o

estudo de fraturas, as descrições probabilísticas e de interpolação são

complementares e comumente usadas.

Os maciços rochosos contêm famílias de fraturas que estão entrecortadas

entre elas, cada família com suas próprias características geométricas. Porem não

necessariamente o alto grau de fraturamento indica uma boa condutividade

hidráulica. Um maciço rochoso pode apresentar famílias de fraturas, mas elas não

necessariamente estão conectadas, e como resposta este maciço apresenta uma

permeabilidade menor da esperada. Para estimar a conectividade das fraturas em

uma região, o conceito de percolação é uma ferramenta válida, esta poderia ser

verificada, por exemplo, em testes em poços, entre outros.

Como a rugosidade na fratura, a percolação poderia ser tratada sob a teoria

fractal. Idealizando desta forma a conectividade das famílias dentro de um maciço

rochoso. Trabalhos sobre este tema podem ser revisados em Berkowitz (2002);

Neuman (2005) e Hunt (2005).

2.3. Meios porosos fraturados

O estudo das formações geológicas fraturadas é de interesse considerável

devido à aplicação que pode ser feita em diversos campos como em petróleo,

exploração de reservatórios, fundações de barragens, depósitos de resíduos e

fontes de água.

O meio poroso fraturado pode ser descrito como uma rede de fraturas

interligadas dentro de um meio contínuo ou em um meio contínuo equivalente.


29

Esta descrição vai depender da intensidade de fraturamento, da escala do

problema e da disponibilidade de dados. Para entender e quantificar o fluxo nestas

formações fraturadas é importante ter em conta a compreensão das propriedades

hidráulicas deste meio e a interação entre meio poroso e rede de fraturas.

Modelar uma rede de fratura inserida em um meio poroso precisa de uma

investigação detalhada dos condicionantes geológicos que regem a circulação da

água nestes meios. Estas investigações deverão ser os adequados para que

permitam inferir caminhos preferenciais de fluxo, e que possibilitem a eleição do

modelo conceitual que represente melhor a realidade física do problema. Apesar

de que em rochas fraturadas os aspectos quantitativos são poucos conhecidos,

como por exemplo, a porosidade, permeabilidade entre outras que apresentam

maior incerteza, estas serão estimadas a partir de testes de campo, ensaios de

laboratório, analiticamente ou inferidos estatisticamente que permitam modelar o

fluxo para o modelo conceitual eleito.

2.3.1. Fluxo em meios porosos fraturados

Compreender o que acontece com o comportamento do fluxo em uma rede

de fraturas inserida um meio poroso não é uma tarefa fácil, ao contrário, apresenta

complexidade para análise do fenômeno de percolação por ser um meio

essencialmente heterogêneo e anisotrópico, no qual as fraturas oferecem ao fluxo

caminhos preferenciais dentro do meio.

Para conseguir entender a questão do fluxo nas redes de fraturas dentro do

meio poroso, o tratamento fundamental é saber o que acontece em uma única

fratura. Louis (1969) sugere que a primeira etapa seja o estudo das leis de

percolação em uma fratura elementar em regimes laminar e turbulento, levando-se

em consideração todos os parâmetros que possam intervir, dentre desses, a

rugosidade, a forma geométrica da fratura e a presença de materiais de

preenchimento. Para maiores alcances desta parte, revisar Louis (1969).

Similarmente aos meios porosos, os meios fraturados também precisam da

determinação da condutividade hidráulica. O modelo mais simples para uma

fratura é o modelo de placas paralelas, na qual a fratura tem uma abertura

constante, não apresenta material de preenchimento nem rugosidade. Na Figura


30

2.3 pode-se observar um quartzito que se assemelha ao modelo de duas placas

paralelas. Na Figura 2.4 se indica a sequência a partir de uma fratura natural até o

conceito de placas paralelas.

Figura 2.3: Quartzito que se assemelha ao modelo de duas placas paralelas. ETS.

Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (2011).

Figura 2.4:Sequência do conceito desde fratura natural até o conceito de placas

paralelas, Morales (2008).

Nesta analogia, o fluxo é considerado laminar e com uma distribuição de

velocidades parabólicas na seção transversal da fratura, como representado na

Figura 2.5.

Figura 2.5: Fluxo entre duas placas paralelas, Morales (2008).

O estudo de fluxo no plano de fratura é baseado nas equações de Navier-

Stokes. De acordo com Vargas e Barreto (2003) a partir da integração das


31

equações de Navier-Stokes para a geometria de duas placas paralelas saturadas,

com abertura constante, fluxo viscoso e incompressível e desprezando as forças de

inércia, chega-se á:

� =− ��12� ℎ� (2.3) Na equação (2.3), � é a velocidade de escoamento, � é o peso especifico do

fluido, � é a viscosidade dinâmica do fluido, �é��bertura da fratura eℎ/� é o gradiente hidráulico na direção �.

A vazão (��) através da fratura também pode ser obtida a partir da equação (2.4):

�� = − ��12�ℎ� (2.4) Da equação (2.4) pode-se notar que a vazão é proporcional ao cubo da

abertura, sendo chamada, portanto, de lei cúbica.

Vargas e Barreto (2003) indicam que o fluxo em fraturas passa do regime

laminar para turbulento de acordo com um valor crítico do número Reynolds,

sendo este valor crítico dependente da relação k/Dh onde k é uma medida da

rugosidade das paredes das fraturas e Dh é o diâmetro hidráulico que é

basicamente função de � e da abertura da fratura. Para mais detalhes revisar Louis (1969).

O modelo de placas paralelas não representa um comportamento do fluxo na

fratura tão real, este modelo apresenta muitas simplificações, como por exemplo,

assume que as fraturas são planas, que a rugosidade é desprezível, não existindo

perda de carga; que as fraturas não contêm material de preenchimento, fraturas

com abertura constante. No entanto, sabe-se que a abertura real de uma fratura vai

depender do campo de tensões, dos deslocamentos tangenciais produzindo

aumento ou diminuição da abertura, e da profundidade onde se encontram as

fraturas, na qual as fraturas horizontais poderiam estar mais fechadas, entre outras.

Outra questão importante levantada por Vargas e Barreto (2003) está

relacionada à validade da lei cúbica para quaisquer valores de abertura.

Relacionado a este aspecto, distinguem-se duas definições de abertura. Uma

abertura real da fratura e outra abertura hidráulica, sendo que esta última obedece

à lei cúbica. De acordo com os autores, experimentos demostram que a abertura

real da fratura coincide com a abertura hidráulica até valores pequenos da abertura


32

real a partir do qual o modelo da lei cúbica perde rapidamente a validade.

Portanto, considerar a lei cúbica válida para análises de fluxo subterrâneo em

hidrogeologia é aceite com certas restrições.

Na análise do fluxo subterrâneo, massas de rochas que se encontrem a pouca

profundidade podem apresentar várias famílias de fraturas com diferentes

aberturas e material de preenchimento; porém, este maciço rochoso pode ser

considerado como um conjunto de blocos de rochas intactas separadas por

descontinuidades, que para o presente trabalho denominamos fraturas; assim estes

“blocos” de massa rochosa podem ser considerados como meios porosos

contínuos que estão separados das outras pelas fraturas e que tem comportamento

hidráulico diferente. Assim o fluxo através deste meio complexo dependerá da

magnitude de condutividade hidráulica destes dois regimes (Pan et al., 2010).

Todavia, a condutividade hidráulica da rocha intacta poderia ser muito menor que

da fratura, portanto, a permeabilidade do maciço rochoso dependerá quase

totalmente das fraturas, de suas famílias e de sua interligação delas dentro do

meio.

Para os meios fraturados, que são essencialmente meios altamente

heterogêneos o VER poderia não existir ou ser muito maior que a escala de

observação do problema. A Figura 2.6 permite observar a diferença do VER para

um meio poroso e para um meio fraturado.

Figura 2.6: (a) VER para o meio poroso, (b) VER para o meio fraturado, ETS Ingenieros

de Caminos, Canales y Puertos (2011).


33

O meio fraturado tem um caráter heterogéneo maior do que o meio poroso,

sendo desnecessário pensar na média de parâmetros como permeabilidade ou

porosidade para análises rigorosas por não representar o comportamento

hidráulico do meio mais próximo ao comportamento real; mas como foi

mencionado anteriormente, este vai depender do grau de faturamento, da escala e

do problema físico a analisar.

A avaliação do comportamento do fluxo em um meio poroso fraturado pode

ser enfocada, essencialmente, de três formas. A primeira considerando um meio

hidraulicamente equivalente, na qual a condutividade hidráulica do sistema de

fraturas será concebida por um tensor de permeabilidade resultante. A segunda

forma considerando um meio discreto, na qual as fraturas mantenham sua

orientação espacial e geometria natural, e estas serão mantidas assim na resolução

do problema. E a terceira forma, a partir do conceito de dupla porosidade que é,

fundamentalmente, uma combinação das duas formas anteriores.

2.4. Modelos conceituais de fluxo em meios porosos fraturados

Alvarenga (2008) explica que a modelagem dos sistemas naturais têm duas

componentes básicas: o modelo conceitual e o modelo matemático. O modelo

conceitual é a representação simbólica qualitativa do sistema através de ideias,

palavras, figuras, esquemas, etc. O modelo matemático é a representação do

modelo conceitual através de equações.

Os modelos simplificados, segundo a abordagem da heterogeneidade

associada às fraturas, têm três enfoques gerais. O primeiro deles é o meio contínuo

equivalente, na qual as propriedades hidráulicas do meio são estimadas usando

coeficientes equivalentes, tais como a permeabilidade e porosidade, e que

represente o comportamento das fraturas dentro do volume do maciço rochoso. O

segundo modelo conceitual é um meio com enfoque discreto, na qual o meio é

heterogêneo, apresentando propriedades diferenciadas dentro de seu domínio, as

características singulares das fraturas são levadas em consideração na modelagem.

E um terceiro com uma abordagem mista deles, na qual as propriedades do meio

equivalente são diferenciadas das propriedades das fraturas, e se define um termo

de transferência entre estes meios.


34

Na análise do fluxo em meios porosos fraturados, a escolha do modelo

conceitual adequado não tem regra geral, e será feita essencialmente segundo a

escala do problema e também do grau de fraturamento do maciço rochoso. Na

Figura 2.7 podem-se observar para um mesmo problema hidráulico os diferentes

modelos conceituais que poderiam ser abordados.

Figura 2.7: (a) Meio poroso fraturado real, (b) Modelo continuo equivalente (c) Modelo

continuo equivalente com zonas de alto fraturamento que representam zonas com alta

condutividade hidráulica, (d) Modelo de dupla porosidade, (e) Modelo de fraturas

discretas.Cook (2003).

Geralmente uma rocha fraturada é considerada heterogênea e anisotrópica, e

não é uma boa aproximação considerá-la como um meio homogêneo, porém,

quando a rocha apresenta um forte fissuramento, e dependendo da escala do

problema, poderia ser tratada dessa forma. Esta simplificação é feita para quando

os cálculos não necessitam muito detalhe nem precisão como se fosse para uma

análise de transporte de solutos por exemplo.

Estes modelos podem ser usados para os casos de análise de fluxo em

condições saturadas e não saturadas. Para o caso de fluxo não saturado em meios

porosos, a análise parte da teoria do fluxo capilar. Para o caso de fluxo não

saturado em fraturas, a análise é baseada na teoria do fluxo capilar e também na

teoria do fluxo tipo película. Para mais detalhes revisar Alvarenga (2008).

A seguir, descrevem-se de maneira resumida os modelos que têm sido

desenvolvidos na literatura para conceituar o comportamento hidráulico do meio

poroso fraturado.


35

2.4.1. Modelo contínuo equivalente

Este modelo geralmente representa um meio na qual se pode estimar um

VER (Volume elementar representativo). Este é aplicável em meios porosos e em

meios fraturados que apresentem fraturamento intenso para a escala do problema.

Neste modelo o meio fraturado com alto grau de fissuramento é tratado como um

meio poroso equivalente, mas esta abordagem pode apresentar algumas limitações

devido a sua escala e as características geológicas do maciço rochoso. Em alguns

casos o VER pode resultar muito maior ao tamanho físico do problema e não ser

mais representativo.

Dentro de um meio poroso fraturado se sabe que existem várias famílias de

fraturas entrecruzadas, cada uma delas com suas próprias características

geométricas, assim assume-se que estas famílias estão conformadas por fraturas

planas com aberturas constantes, um espaçamento uniforme e uma orientação

dominante. Na Figura 2.8 apresenta-se uma família de fraturas em 2D.

Figura 2.8: Família de fraturas de espessura b e separação s que apresentam orientação

diferente aos eixos de interesse, vista 2D.

Uma solução analítica simples para uma rede de fraturas dentro de um

maciço rochoso pode ser abordada mediante o cálculo de um tensor de

permeabilidade equivalente.

He & Chen (2012) indicam que o tensor de permeabilidade equivalente é

essencial para a aplicação do modelo do meio poroso equivalente que é

comumente usado na simulação numérica de percolação para maciços rochosos

fraturados.

O tensor de permeabilidade equivalente fica definido na equação (2.5).


36

�� = � ��12��

�� !!!"1 − #$%� &

� −$'� $%� −$(� $%�−$'� $%� 1 − #$'� &� −$'� $(�−$(� $%� −$'� $(� 1 − #$(� &�)***+ + -�. �. �./ (2.5)

Na equação (2.5), �� é o tensor de permeabilidade equivalente, $ é o número total de fraturas da família, 0 é o número de fratura da família, ��é a abertura da fratura 0, �� é o espaçamento entre fraturas, $%� , $'� , $(� são os cossenos diretores do vetor unitário normal à fratura, �. é o coeficiente de permeabilidade da matriz rochosa, � é o coeficiente de viscosidade cinemática e � é a aceleração da gravidade.

Para maiores alcances desta parte recomenda-se revisar Li et al. (2008) e He

& Chen (2012).

2.4.2. Modelo de fraturas discretas

O modelo de redes de fraturas discretas é um modelo mais realista para

modelar fraturas em comparação com os modelos anteriores, em virtude à

localização espacial das fraturas, e é utilizado para redes de fraturas inseridas em

matriz rochosa com permeabilidade intrínseca muito baixa, porém, podem

encontrar-se fissuras pequenas e tênues que poderiam dar um caráter de efeito de

dupla porosidade ao meio; mas como foi explicado nos itens anteriores, a

depender da escala do problema.

Neste modelo a localização espacial das fraturas tem um papel

determinante na modelagem do meio fraturado, mas como uma grande

desvantagem deste modelo apropriado para os meios fraturados é a obtenção dos

dados de campo.

Na análise de fluxo em meio poroso fraturado, o meio mesmo às vezes

pode ser simplificado considerando somente as redes de fraturas, em virtude à

baixa permeabilidade que pode ter a matriz em comparação à permeabilidade da

rede de fraturas. Porém, às vezes a matriz rochosa deverá ser considerada quando

o problema compreende a análise de transporte de solutos. Neste caso, a fraturas

seriam canais preferencias de fluxo e apresentariam coeficiente de armazenamento


37

baixo, na matriz rochosa pelo contrário, o meio apresenta uma permeabilidade

baixa e um coeficiente de armazenamento considerável.

2.4.3. Modelo com dupla porosidade

O modelo de dupla porosidade consiste de dois subdomínios que interatuam

com propriedades hidráulicas diferenciadas, uma delas consiste em uma matriz

porosa e outra em um conjunto de macroporos, fissuras, ou fraturas que são

altamente condutoras em comparação com a matriz (Lewandowska et al., 2004).

O modelo foi introduzido por Barenblatt et al. (1960), o qual considera dois

tipos de meios porosos com diferente condutividade hidráulica, uma delas com

blocos de poros de baixa permeabilidade, denominada comumente de matriz, que

abraça outro meio poroso conectado com maior permeabilidade, denominado,

comumente de rede de fraturas. Na Figura 2.9, mostra-se um exemplo de modelo

de dupla porosidade.

Figura 2.9: Fraturas cruzadas com alta permeabilidade, bordeada por bloques de baixa

permeabilidade, Bourgeat et al. (2003).

Neste modelo que contém duas regiões uma de alta e outra de baixa

permeabilidade são tratadas como dois meios que se sobrepõem, com duas

equações, um para cada subdomínio. Estas equações estão acopladas por um

termo de transferência que descreve a troca de água entre as duas regiões. Este

termo de transferência é o componente mais critico a ser estimado.

Desses três enfoques para descrever o comportamento do fluxo em um meio

poroso fraturado, cada uma delas têm suas vantagens e desvantagens. Na Tabela

2-1, foi elaborado um resumo das vantagens e desvantagens destes modelos,

originalmente descrito por Cook (2003).


38

Tabela 2-1: Vantagens e desvantagens dos modelos conceituais Cook (2003)

Modelo Vantagens Desvantagens

Modelo

contínuo

equivalente

-Um enfoque mais simples com uma menor quantidade de dados necessários. -As zonas altamente fraturadas podem ser simuladas como zonas com alta porosidade e condutividade hidráulica. -Mais conveniente para aplicações à escala regionais de fluxo permanente, mas não representa as fraturas a grandes escalas.

-Aplicação limitada para problemas de fluxo transiente. -Aplicação limitada para problemas de transporte de solutos. -Supõe-se que o VER pode ser definido, predições confiáveis somente podem ser feitas apenas em escalas maiores ou igual à escala que foi definida o VER. -A determinação dos parâmetros a estas escalas podem ser difícil.

Modelo de

fraturas

discretas

-Uma representação explícita de fraturas isoladas e redes de fraturas. -Pode permitir o intercâmbio de água e soluto entre a matriz e a fratura. -Bom para entender o processo conceptual dentro de um marco simplificado. -Útil para a determinação de parâmetros contínuos equivalentes baseados em caracterização explicita.

-Requer o conhecimento mais detalhado do campo, isto é raramente disponível. -Dificuldade para extrapolar parâmetros de pequenas escalas para escalas maiores de interesse. -Requer uma capacidade computacional alta para simular redes complexas.

Modelo de

dupla

porosidade

-Adequada para sistemas na qual a matriz tem alta porosidade e permeabilidade. -Um enfoque simples, faz deste um modelo atrativo. -Permite o intercâmbio de água e soluto entre a matriz e a fratura. -Pode-se registrar as demoras das respostas de intercâmbio de água e soluto entre a matriz e fraturas devido à armazenagem da matriz.

-Este modelo tende a sobre regularizar e simplificar a geometria do problema. -Apresenta dificuldade para quantificar os parâmetros necessários de entrada para este modelo. -Assume que o VER pode ser definido. -Predições confiáveis podem ser feitas apenas em escalas maior que ou igual à dimensão que foi definida o VER.


3 Modelos matemáticos e formulação numérica

Os modelos matemáticos para fluxos em meios porosos fraturados que

transformam os modelos conceituais em equações seguem basicamente a equação

de Richards que se baseia na lei de Darcy e na equação de continuidade. A

formulação numérica usada para resolver estas equações diferenciais de fluxo será

solucionada pelo método dos elementos finitos.

Neste capítulo se aborda brevemente as equações diferenciais governantes

dos fluxos em meios porosos fraturados e o enfoque para sua solução numérica.

3.1. Equações governantes

As equações que descrevem o fluxo em meios porosos fraturados com

saturação variável requerem que as equações cumpram certas condições tanto para

a matriz porosa quanto para as fraturas. Therrien & Sudicky (1996) indicam as

seguintes suposições a serem consideradas na modelagem: a) o fluido é

incompressível, b) o meio poroso fraturado não é deformável e c) o sistema está

em condições isotérmicas. A seguir, brevemente indicam-se as equações que vêm

sendo usadas para estas análises de fluxo em meios porosos fraturados.

A equação que descreve o fluxo para um modelo contínuo equivalente de

um meio não saturado é uma forma modificada da equação de Richards, Cooley

(1983) e Huyakorn et al. (1984).

�� + �� ± � =

�� , � = 1,2,3 (3.1)

Na equação (3.1), �� é o tensor de condutividade hidráulica, ��= ��(�� é a permeabilidade relativa do meio com relação ao grau de saturação de água ��,


40

= ��, � é a carga de pressão, � é a carga de elevação, e �� é teor de umidade volumétrica de saturação ou porosidade, � pode ser uma fonte ou um sumidouro.

O grau de saturação pode ser obtido da equação (3.2).

�� = �� (3.2) sendo � a umidade volumétrica.

A equação (3.1) é altamente não linear e pode ser resolvida em termos e ��, sendo �� = ��

, na qual esta relação geralmente é obtida experimentalmente. A permeabilidade relativa pode ser expressa em termos de

carga total ou grau de saturação.

As relações usadas para fluxo não saturado seguem as relações apresentadas

por Van Genuchten (1980) que baseou seu trabalho no de Mualem (1976 apud

Therrien & Sudicky, 1996), na qual a relação saturação – pressão é expressa na

equação (3.3):

�� = � 11 + � !"#$ , % = 1 − 1'; 0 < % < 1 (3.3)

E a permeabilidade relativa é expressa na equação (3.4).

+�� = ��,/. /1 − 01 − ��,/$1$2. (3.4) Nestas expressões, �� representa o grau de saturação, � e % são parâmetros

obtidos de ajustar as equações (3.3) e (3.4) com resultados experimentais,

! = − é a pressão de capilaridade e �� pode ser obtida da equação(3.5):

�� = �� − ��1 − �� =� − �� − �� (3.5)

onde, �� é a saturação residual, �� é o teor umidade volumétrica residual e �� é o teor umidade volumétrica de saturação.

Para maiores detalhes desta parte, revisar Van Genuchten (1980), Bear et al.

(1993), Therrien & Sudicky (1996), Šimůnek et al. (2003) e Telles (2006).


41

Zhou et al.(2003) indicam que para a zona não saturada do meio poroso

fraturado, o modelo de redes de fraturas discretas precisa da capacidade de

simular o fluxo na matriz, assim como nas fraturas. Cada fratura deverá ter

assinado uma curva de condutividade hidráulica e uma curva de retenção. Estas

curvas características serão obtidas a partir das formulações de Van Genuchten

(1980) para pressões capilares e permeabilidade relativa.

Therrien & Sudicky (1996) indicam que as fraturas são idealizadas como

um modelo de placas paralelas em duas dimensões, isto implica que, a carga total

seja uniforme através da fratura. Berkowitz et al. (1988), Sudicky e McLaren

(1992) indicam que a equação que descreve o fluxo não saturado para um modelo

de fraturas discretas de uma abertura uniforme 2b pode ser conseguida a partir da

equação de fluxo não saturado de uma fratura. Esta equação é descrita a seguir:

�� 23��4��4�04 + �41�� − 5 678 + 5 679 ± �4 = 23

��4�� , � = 1,2

(3.6)

Na equação (3.6), 23 é a abertura da fratura, ��4 é a permeabilidade relativa da fratura, 4 = 4� e �4 são as cargas de pressões e de elevação, para a fratura respectivamente, ��4 é o grau de saturação da fratura, e �4 indicaria uma fonte ou um sumidouro.

De acordo com Bear (1972) a condutividade hidráulica saturada da fratura

�4 e dada por:

�4 = :;23.12< (3.7) Na equação (3.7), : e < são a densidade do fluido e viscosidade,

respectivamente, e ; é a aceleração da gravidade. As equações (3.1) e (3.6) estão relacionadas através da transferência de

fluxo −5 678e 5 679que são os termos de transferência nas superfícies => e =? da fratura com o meio poroso ou meio contínuo equivalente.


42

Para maiores detalhes desta parte, revisar Bear et al. (1993), Therrien &

Sudicky (1996), Šimůnek et al. (2003), Zhang e Fredlund (2003) e Liu et al.

(2003).

3.2. Método numérico de solução

As equações governantes estabelecidas anteriormente necessitam ser

resolvidas para validar as hipóteses do modelo assumido do comportamento de

fluxo no meio poroso fraturado, de acordo a condições inicias e de contorno

particulares. As soluções das equações parciais podem ser obtidas de forma

analítica ou usando métodos numéricos.

De forma analítica podem obter-se soluções exatas, mas precisaria que os

parâmetros e contornos sejam quase ideais. A vantagem da uma solução analítica

é que oferece uma solução que resulta ser relativamente simples de se obter.

Existem soluções analíticas para a equação de fluxo, a maioria destas relacionadas

a resolver a questão hidráulica de poços que mostram uma simetria radial

simplificando a solução.

Para os casos no qual o método analítico de resolução não proporciona uma

adequada adaptação física do problema, um caminho alternativo é a aproximação

numérica. Isto se consegue fazendo que as variáveis contínuas sejam substituídas

por variáveis discretas que são definidas nas células ou nós da malha, desta forma,

a equação diferencial que estava definida em todo o domínio do problema é

substituída por um número de equações algébricas finitas que poderão ser

resolvidas utilizando técnicas matriciais. Telles (2006) aponta que neste tipo de

solução se pode considerar qualquer tipo de variação no espaço e no tempo dos

parâmetros dentro do domínio do problema.

Konikow & Mercer (1988) indicam que existem essencialmente duas

categorias de métodos numéricos aceitas para resolver estas equações de fluxo, o

método de diferencias finito (MDF) e o método dos elementos finitos (MEF).

Estas por sua vez têm alternativas e diferentes tratamentos quando

implementadas. Ambas as abordagens requerem que o domínio seja subdivido por

uma grelha (malha) para um número de subdomínios pequenos (células ou

elementos) que estão associadas com os pontos nodais (sejam nos centros ou


43

periferias das subáreas). Um estudo mais detalhado sobre este assunto pode ser

encontrado em Remson et al. (1971), Mercer & Faust (1981) e Wang & Anderson

(1982).

Estes métodos numéricos apresentam vantagem e limitações, de acordo com

a utilidade e problema físico a abordar. No caso das diferenças finitas, sua

matemática é mais simples e relativamente mais fácil de implementar

computacionalmente, por apresentarem malhas retangulares regulares, facilitando,

desta forma, o ingresso dos dados. Nos métodos dos elementos finitos a

matemática relacionada à solução de problemas é mais complexa, o ingresso de

dados é mais caprichoso, desde que este método permite a elaboração de malha de

formas mais irregulares. Porém, na maioria dos casos os resultados são mais

precisos em comparação ao método das diferenças finitas.

No método dos elementos finitos as malhas podem contornar geometrias

complexas e mais reais, com adaptabilidade e flexibilidade aceitável, permitindo

refinar a malha em zonas que requer maior precisão dos resultados. Em

contraparte, o método de diferenças finitas não permite que a malha se ajuste a

geometrias irregulares, sendo esta uma limitação deste método de marcada

diferença com o método dos elementos finitos. Na Figura 3.1 podemos observar

uma aplicação hipotética das malhas de diferenças finitas e de elementos finitos

para um domínio de contorno irregular.

Figura 3.1: (a) Zona de influencia de um poço, (b) Modelo discretizado pelo MDF, (c)

Modelo discretizado pelo MEF.

Para o presente trabalho, o método de elementos finitos será usado como

método para resolver as equações governantes de fluxo.


44

3.2.1. Métodos dos elementos finitos

O método de elementos finitos (MEF) é um procedimento de análise

numérico que divide o domínio de integração contínuo em um número finito de

pequenas regiões que se denominam “elementos finitos”. Desta forma, o meio

continuo torna-se um meio discreto na qual os pontos de interseção das linhas dos

elementos finitos se denominam nós e é nos nós onde se calculamos valores

pontuais (ex. carga de pressão, etc.) utilizando-se uma função base para

determinar o valor da variável de estado dentro do elemento.

Para este trabalho se utilizará o método de Galerkin para transformar as

equações diferenciais em equações algébricas. Para maiores detalhes sobre a

formulação do método recomenda-se revisar Neuman (1975), Zienkiewicz (1977)

e Pinder & Gray (1977).

3.2.2. Solução numérica

O método dos elementos finitos será aplicado para discretizar o domínio e o

método de diferenças finitas para discretizar o tempo. Com esta metodologia se

dará solução a equação (3.1) correspondente a um modelo contínuo equivalente. A

mesma metodologia poderá ser usada posteriormente para o tratamento da

equação (3.6) relacionado aos meios porosos fraturados. Neste item, apenas para a

equação (3.1), a discretização do domínio e do tempo está sendo desenvolvida.

3.2.2.1. Discretização do espaço

O primeiro passo é definir uma função de aproximação para a carga de

pressão. Neste caso ":

@ �, A, �, � = B∅"�, A, �, �"

D

"E,� (3.8)

Na equação (3.8), ∅" são funções lineares básicas ou funções de interpolação linear, "é a carga de pressão nodal desconhecida, solução da equação (3.1), e F é o numero total de nós.


45

O método de Galerkin usado para discretizar um domínio G, a partir da equação (3.1), propõe a seguinte forma:

H I�� − �� 0@ + �1�� ± �J∅"K LG = 0 (3.9)

os termos:

�� Podem ser expressos:

�� ≅ �� + �� (3.10)

+��

= �� (3.11) Sendo �� o coeficiente específico de armazenamento do meio poroso. Então,

a equação (3.9) é reescrita como:

H I�� @�� + �� − �� +��0@ 1�0@ + �1�� ± �J∅"K LG = 0 (3.12)

Separando os termos da integral, a equação (3.9) pode ser reescrita como:

H �� @�� + �� ∅"LG − H I �� +��0@ 1�0@ + �1�� JKK ∅"LG

+H �∅"LGK = 0 (3.13) No segundo termo da equação (3.13), a integral se desenvolve por partes,

sendo esta modificada para:

H I �� +��0@ 1�0@ + �1�� J∅"LG =−H +��0@ 1

�0@ + �1��K�∅"�� LGK


46

+H +��0@ 1N�@�� ∅"LO (3.14)

Na equação (3.14), o termo P +��0@ 1N QRSQTU ∅"LO é o fluxo normal ao contorno O do domínio G. Como a carga de elevação não tem variação nos eixos x e y, então:

�V�W = �V�X = 0, Y �V�V = 1

A equação (3.14) é reescrita desta forma:

H I �� +��0@ 1�0@ + �1�� J∅"LG =−H +��0@ 1

�@��K�∅"�� LGK

−H +�Z0@ 1 �∅"��K LG + H +��0@ 1N�@�� ∅"LO (3.15)

Substituindo a equação (3.15) na equação (3.13), temos:

H �� @�� + �� ∅"LG +K H +��0@ 1�@��K

�∅"�� LG + H +�Z0@ 1�∅"��K LG − H +��0@ 1N

�@�� ∅"LO + H �∅"LGK = 0 (3.16)

Substituindo a equação (3.8) na equação (3.16) para um elemento, temos:

[BH \�� + �� ]∅"LG�K^� _�� + [BH +��

�∅"��K^

�∅"�� LG�� _ +BH +�Z

�∅"��K^ LG�� −BH +��0@ 1N̂

�@�� ∅"LO�� +B�H ∅"LG�K^ = 0� (3.17)

A equação (3.17) pode ser expressa da seguinte forma:

`

+ a

LL� + b

− c + d = 0 (3.18)


47

onde,

`

= BH +��

�∅"��K^�∅"�� LG�� (3.19)

a

= BH \�� + �� ]∅"LG�K^� (3.20) b

= BH +�Z

�∅"��K^ LG�� (3.21) c =BH +��0@ 1N̂

�@�� ∅"LO�� (3.22) d =B�H ∅"LG�K^� (3.23)

A solução numérica da equação de fluxo para meios fraturados é descrita em

Telles (2006).

3.2.2.2. Discretização do tempo

Para discretizar o tempo é usado o método das diferenças finitas, assim, a

equação (3.18) é expressa de seguinte forma:

`$?,ef$?, + a$?, ef$?, − ef$∆� + b$?, − c$?, + d$?, (3.24)

Na equação (3.24), %+ 1 é o passo de tempo na qual a solução esta sendo analisada, % é o passo de tempo anterior, ∆� é variação do tempo.

3.2.3. Estratégia de solução

A equação (3.24) é uma equação algébrica não linear, para resolvê-la se terá

que usar um método iterativo para obter soluções das equações da matriz global

correspondente a um tempo determinado. Os métodos iterativos são métodos que

progressivamente vão calculando a solução de uma equação fazendo

aproximações, este vai-se repetindo, melhorando o resultado anterior até que o


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resultado mais recente satisfaça as tolerâncias indicadas. Para cada iteração, o

sistema de equações já deverá ter sido relacionado com suas condições de

contorno. A solução do sistema de equações é feita usando-se a eliminação de

Gauss para problemas com um número de nós menor a 500 ou com uma largura

de banda menor a 20, e nos outros casos, que são a maioria, se resolverá com o

método do gradiente conjugado pré-condicionado com matriz

césar augusto torres paitan modelagem numérica de fluxo em ... 3.2. método numérico de solução...

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