Criterios de Convergencia de Series

Pedro Dias

2012

1 Condensacao de Cauchy

Seja x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ 0 . A serie

∞∑n=1

xn converge se e so se a seguinte serie

converge

∞∑k=0

2kx2k = x1 + 2x2 + 4x4 + 8x8 + ...

2 Comparacao

i) Se |an| ≤ cn para n ≥ n0 onde n0 e um inteiro fixo e se

∞∑n=1

cn converge,

entao

∞∑n=1

an tambem converge.

ii) Se |an| ≥ dn para n ≥ n0 onde n0 e um inteiro fixo e se

∞∑n=1

dn diverge,

entao

∞∑n=1

an tambem diverge.

3 Comparacao do Limite

i) Se limn→∞

anbn

<∞ e

∞∑n=1

bn converge, entao

∞∑n=1

an converge.

ii) Se limn→∞

anbn

> 0 e

∞∑n=1

bn diverge, entao

∞∑n=1

an diverge.

4 Criterio D’Alembert

Seja

∞∑n=1

an uma serie de termos reais nao nulos e suponha-se que

∣∣∣∣an + 1

an

∣∣∣∣−−−→n→∞L

1

Analise Matematica Pedro Dias

i) Se L < 1, entao

∞∑n=1

|an| converge.

ii) Se L > 1, entao

∞∑n=1

|an| diverge.

5 Teste de Raiz (ou de Cauchy)

Seja

∞∑n=1

an uma serie de termos reais.

i) Se limn→∞

n√|cn| < 1, a serie converge absolutamente.

ii) Se limn→∞

n√|cn| > 1, a serie diverge.

6 Teste de Leibniz para series alternadas∞∑

n=1

(−1)n|an|

• an ≥ 0• lim

n→∞an = 0

• a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ... ≥ 0

⇒ an converge

7 Criterio de Raabe

Considere-se a serie tal que os termos sao positivos

∞∑n=0

an

Seja L = limn→∞

n

(1− an+1

an

)• Se L > 1 entao a serie e absolutamente convergente.

• Se L < 1 entao a serie e divergente.

• Se L = 1 nada se pode concluir quanto a natureza da serie.

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