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1CPV fgvECOnOv2014_1f

FGV – Economia – 1a Fase – 23/nov/2014

CPV o Cursinho que Mais aprova na GV

MATEMÁTICA

01. Observe o diagrama com 5 organizações intergoverna-mentais de integração sul-americana:

Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram exatamente 3 das organizações apenas

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Resolução:

Integram exatamente 3 das organizações apenas 7 países. Alternativa D

Países OrganizaçõesArgentina 3

Bolívia 4Brasil 4Chile 1

Colômbia 3Equador 3Guiana 2

Paraguai 3Peru 3

Suriname 2Uruguai 3

Venezuela 3

02. Sendo x, y e z números reais tais que xy = 7 e

xy = 3,

o valor de x – yy – z

é igual a

a) 54

b) 43

c) 32

d) 53

e) 73

Resolução:

yz

= 7 y – z

z =

7 – 11

y – z

z = 6

Þ Þ

xy

= 3 x – y

y =

3 – 11

x – y

y = 2

Þ x – yy – z

. zy

= 13

Þ x – yy – z

. 17

= 13

Þ x – yy – z

= 73

Alternativa E

FGV-Economia CPV o Cursinho que Mais aprova na GV

CPV fgvECOnOv2014_1f

2

03. Se mn é a fração irredutível que é solução da equação

exponencial 9x – 9x–1 = 1944, então m – n é igual a

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

Resolução:

9x – 9x–1 = 1944 Þ9x (1 – 19 ) = 1944 Þ

Þ9x .

89

= 1944 Þ32x = 37 Þx = 72

Logo: mn

= 72

e m – n = 5 Alternativa D

04. Um álbum de figurinhas possui 35 páginas, cada umacom25figurinhas,distribuídasem5 linhase5colunas. Asfigurinhasestãoordenadasenumeradasde1até875.

Nesse álbum, são consideradas figurinhas especiais a 7a, a 14a, a 21a, a 28a e assim sucessivamente.

Afigurailustraaprimeirapáginadesseálbum.

Depoisqueoálbumforcompletadocomtodasasfigurinhas,aúltimapáginaqueseiniciarácomumafigurinhaespecialé a de número

a) 27 b) 28 c) 32 d) 33 e) 34

Resolução:

Temos duas P.A. com razões iguais a 25 e 7.

A primeira possui último termo 851 (1afiguradaúltimapágina). A segunda possui último termo 875.

Escrevendo em ordem decrescente, temos:

1a (851; 826; 801; 776; 751; 726; 701; 676; ...) 2a (875; 868; 861; 854; 847; 840; 853; 826; ...)

O último termo encontra-se na penúltima página, ou seja, 34.

Alternativa E

3

fgvECOnOv2014_1f CPV

CPV o Cursinho que Mais aprova na GV FGV-Economia

05. Ográficorepresentaafunçãof.

Considerando –2 £ x £ 3, o conjunto solução da equação

f (x + 3) = f (x) + 1 possui

a) um único elemento. b) apenas dois elementos. c) apenas três elementos. d) apenas quatro elementos. e) infinitoselementos.

Resolução:

Dográficoabaixo,concluimosquef(x+3)=f(x)+1.

Para –2 ≤ x ≤ 3, há apenas 2 elementos no Conjunto Solução.

Alternativa B

f(x) + 1

f(x + 3)

f(x)P1 P2

06. As coordenadas (x, y) de cada ponto do segmento AB, descrito na figura, representam o comprimento (x) e alargura (y) de um retângulo, ambos em centímetros.

Por exemplo, o ponto de coordenadas (4, 18) representa um retângulo de comprimento 4 cm e largura 18 cm.

Dentre os infinitos retângulos descritos dessa forma,aquele que possui área máxima tem perímetro, em cm, igual a

a) 20 b) 38 c) 40 d) 45 e) 48

Resolução:

A reta suporte do segmento AB é dada por:

y = 12 – 30( )6 – 0

x + 30 Þ y = – 3x + 30

Logo, as coordenadas (x; y) que estão sobre o segmento AB são:

(x; – 3x + 30).

As áreas dos retângulos procurados são dadas por:

S = x (– 3x + 30) = – 3x2 + 30x.

O retângulo da área máxima tem

abscissa x = – 30–6

= 5 e ordenada y = – 3 . 5 + 30 = 15.

O perímetro do retângulo de área máxima é dado por

2 . (5 + 15) = 40Alternativa C



4

07. Dos animais de uma fazenda, 40% são bois, 30% vacas, e os demais são caprinos.

Se o dono da fazenda vende 30% dos bois e 70% das vacas, o total de animais da fazenda se reduz em

a) 30% b) 33% c) 45% d) 60% e) 66%

Resolução:

Do total de animais da fazenda, temos:

Houve uma redução de

40% . 30% + 30% . 70%

12% + 21% = 33%Alternativa B

Total 30%

40%

30%

70%

30%

RestanteVenda

30%

70%

RestanteVenda

Caprinos

Bois

Vacas

08. Três números estão em progressão geométrica de razão 32

.

Diminuindo 5 unidades do terceiro número da progressão geométrica, ela se transforma em progressão aritmética.

Sendo k o primeiro dos três números inicialmente em progressão geométrica, então log k é igual à soma de 1 com

a) log 2 b) log 3 c) log 4 d) log 5 e) log 6

Resolução:

A partir do enuncinado, temos:

k; 3k2

; 9k4

P.G.

k; 3k2

; 9k4

– 5 P.A.

Pela média aritmética, temos:

2 . 3k2

= k + 9k4

– 5 Þ k = 20

Assim: log k = log 20 = log 10 + log 2

log k = 1 + log 2Alternativa A

5



09. Conformeindicaafigura,umacaixacontém6letrasFazuise 5 brancas, a outra contém 4 letras G azuis e 7 brancas, e a última caixa contém 6 letras V azuis e 6 brancas.

Em um jogo, uma pessoa vai retirando letras das caixas, umaauma,atéqueformeasiglaFGVcomtodasasletrasda mesma cor.

A pessoa pode escolher a caixa da qual fará cada retirada, massóidentificaacordaletraapósaretirada.

Usando uma estratégia conveniente, o número mínimo de letras que ela deverá retirar para que possa cumprir a tarefa com toda certeza é

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18

Resolução:

Para cumprir a tarefa, vamos adotar a seguinte estratégia:

● retirarde2urnasumaletradecadacor;

● retirarda3a urna uma única que combine com as outras.

Para garantir a certeza de sair duas letras da mesma cor de cada urna, deve-se retirar da caixa F, G e V respectivamente 7, 1 e 7 letras.

Por conveniência, deve-se escolher as caixas F, V e, por último, G.

Assim, o mínimo de letras será: 7 + 7 + 1 = 15 Alternativa B

10. Um código numérico tem a formaABC -DEF -GHIJ,sendo que cada letra representa um algarismo diferente.

Em cada uma das três partes do código, os algarismos estão em ordem decrescente, ou seja, A>B>C,D>E>FeG>H>I>J.

Sabe-seaindaqueD,EeFsãonúmerosparesconsecutivos,equeG,H,IeJsãonúmerosímparesconsecutivos.

Se A + B + C = 17, então C é igual a

a) 9 b) 8 c) 6 d) 2 e) 0

Resolução:

Conforme o enunciado temos:

DEF GHIJ ABC642 7531 980642 9753 810864 7531 920864 9753 210

Alternativa E

Þ C = 0

A + B + C ≠ 17



6

11. AfigurarepresentaumtriânguloABC,comEeDsendopontos sobre AC.

Sabe-se que AB = AD, CB = CE e que EB^ D mede 39º.

Nessas condições, a medida de AB^ C é

a) 102º b) 108º c) 111º d) 115º e) 117º

Resolução:

SendoAB=ADeCB=CE,temosafigura:

No ΔBED,

x + 39º + y + 39 + 39º = 180º Þ x + y = 63º

Portanto: med(AB̂C) = x + y + 39º = 102º

Alternativa A

B

y + 39º

x + 39º

A E

x y39º

D C

12. Dois dados convencionais e honestos são lançados simultaneamente. A probabilidade de que a soma dos números das faces seja maior que 4, ou igual a 3, é

a) 3536

b) 1718

c) 1112

d) 89

e) 3136

Resolução:

Na tabela, marcamos com x as situações nas quais a soma é maior que 4 ou igual a 3.

6 X X X X X X5 X X X X X X4 X X X X X X3 X X X X X2 X X X X X1 X X X X

dado2dado1 1 2 3 4 5 6

Assim, a probabilidade pedida é P = 3236

= 89

Alternativa D

7



13. A raiz quadrada da diferença entre a dízima periódica

0,444...eodecimalderepresentaçãofinita0,444...4 é

igual a 1 dividido por

a) 90 000 b) 120 000 c) 150 000 d) 160 000 e) 220 000

Resolução:

A fração geratriz da dízima 0,444... é 49

portanto:

49

– 0,444444444 = 1x

0,000023

= 1x

\ x = 150.000Alternativa C

10 vezes14. A figura representa um trapézio isósceles ABCD,

com AD = BC = 4 cm.

M é o ponto médio de AD, e o ângulo BM^ C é reto.

Figuraforadeescala

O perímetro do trapézio ABCD, em cm, é igual a

a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15 Resolução:

Nafigura,opontoN,médiodeBC,éocircuncentrodotriânguloretângulo BCM.

Logo, MN é o raio do círculo circunscrito e portanto MN = 2 cm.

Ao mesmo tempo, MN é base média do trapézio.

Assim, MN = AB + CD

2 Þ AB + CD = 4.

O perímetro do trapézio ABCD é

AB + CD + AD + BC = 4 + 4 + 4 = 12 cm. Alternativa C

2 2

22

N



8

15. Um dispositivo fará com que uma lâmpada acesa se desloque verticalmente em relação ao solo em x centímetros. Quando a lâmpada se desloca, o comprimento y, em cm, da sombra de um lápis, projetada no solo, também deverá variar.

Admitindo a lâmpada como uma fonte pontual, dos gráficos indicados, aquele que melhor representa y emfunção de x é

a) b)

c) d)

e)

Resolução:

Para um valor de x igual ou menor que a altura do lápis, não haverá sombra, ou seja, y = 0.

Para um valor de x pouco maior que a altura do lápis, começará a formar uma sombra em um horizonte bem distante e y > > > 0.

Conforme a fonte luminosa sobe, a sombra diminuirá, tendendo a zero.

Assim,ográficocorrespondenteserá:

Alternativa C

y

x

9



16. Sueli colocou 40 mL de café em uma xícara vazia de 80 mL, e 40 mL de leite em outra xícara vazia de mesmo tamanho.

Em seguida, Sueli transferiu metade do conteúdo da primeira xícara para a segunda e, depois de misturar bem, transferiu metade do novo conteúdo da segunda xícara de volta para a primeira.

Do conteúdo final da primeira xícara, a fraçãocorrespondente ao leite é

a) 14

b) 13

c) 38

d) 25

e) 12

Resolução:

O problema pode ser resolvido passo a passo.

Xícara 1 Xícara 2

Portanto o volume total da xícara 1 é 50 mL.

Desse total, 20 mL corresponde ao leite. Então 2050

= 25

.

Alternativa D

40 mL de café 40 mL de leite

20 mL de café +

40 mL de leite

10 mL de café +20 mL de leite

20 mL de café

20 mL de café +20 mL de leite +10 mL de café

ß ß

ß ß

17. Uma editora tem preços promocionais de venda de um livro para escolas. A tabela de preços é:

12n, se 1 £ n £ 24 P(n) = 11n, se 25 £ n £ 48 10n, se n ³ 49

em que n é a quantidade encomendada de livros P(n) é o preço total dos n exemplares.

Analisando a tabela de preços praticada pela editora, é correto concluir que, para x valores de n, pode ser mais barato comprar mais do que n livros do que exatamente n livros. Sendo assim, x é igual a

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

Resolução:

Devemos analisar os preços promocionais, quando há quebra de linearidade da função p(n).

Dessa forma, podemos criar a tabela:

n P(n) n P(n)24 288 48 52825 275 49 49026 286 50 50027 297 51 510: : 52 520: : 53 530

Notamos que

para n = 25 e n = 26, o preço é menor que para n = 24 e

para n = 49, n = 50, n = 51 e n = 52, ele é menor que para n = 48.

Assim o número de casos em que é mais barato comprar mais que n livros do que exatamente n livros é x = 6.

Alternativa D



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18. Observe as coordenadas cartesianas de cinco pontos: A(0,100), B(0, –100), C(10, 100), D(10, –100), E(100, 0).

Se a reta de equação reduzida y = mx + n é tal que mn > 0, então, dos cinco pontos dados anteriormente, o único que certamentenãopertenceaográficodessaretaé

a) A b) B c) C d) D e) E

Resolução:

Para que a multiplicação entre o coeficiente angular (m) e o coeficiente linear (n) seja positiva, temos duas configuraçõespossíveisparaográfico:

Os pontos A(0; 100) e C(10;100)encaixam-seno1ºgráfico.

Os pontos B(0; –100) e D(10;–100)seencaixamno2ºgráfico.

O único que nãopertenceanenhumgráficoéopontoE(100; 0).

Alternativa E

y

x

y

x

1a possibilidade 2a possibilidade

19. Seja f : →, tal que f (x) = x2 + bx + 154 ,

com b sendo uma constante real positiva.

Sabendo que a abscissa do ponto demínimo do gráficodessa função é igual à ordenada desse ponto, então b é igual a

a) 112

b) 5

c) 92

d) 4

e) 72

Resolução:

A abscissa do ponto mínimo (xV) é dada por –b2a

. A ordenada do ponto mínimo (yV) é dada por

–Δ4a

.

Logo, +b

2(1) =

+ b2 – 4(1) . 154

4(1)

b2 – 2b – 15 = 0 \ b = 5 ou b = –3

Sabendo que b é real e positivo, b = 5.Alternativa B

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20. Um envelope lacrado contém um cartão marcado com um único dígito. A respeito desse dígito, são feitas quatro afirmações,dasquaisapenastrêssãoverdadeiras.

Asafirmaçõessão:

I. O dígito é 1. II. O dígito não é 2. III. O dígito é 3. IV. O dígito não é 4.

Nesse problema, uma conclusão necessariamente correta é a de que

a) I é verdadeira. b) I é falsa. c) II é verdadeira. d) III é verdadeira. e) IV é falsa. Resolução:

Montandoumatabelaparaasafirmações,emqueV é verdadeiro e F é falso, e sabendo que sempre temos 3 verdadeiras:

I II III IV

V V F V

F V V V

Nas duas possibilidades a II e IV sempre são verdadeiras.Alternativa C

21. Na figura, ABCD representa uma placa em forma detrapézio isósceles de ângulo da base medindo 60°.

A placa está fixada em uma parede por AD, e PA representa uma corda perfeitamente esticada, inicialmente perpendicular à parede.

Nesse dispositivo, o ponto P será girado em sentido horário, mantendo-se no plano da placa, de forma que a cordafiquesempreesticadaaomáximo.

O giro termina quando P atinge M, o ponto médio de CD.

Nas condições descritas, o percurso total realizado por P, em cm, será igual a:

a) 50π3

b) 40π3

c) 15π d) 10π e) 9π Resolução:

Considereafiguraabaixo:

Temos: PQ = 112

. 2π . 40 = 20 π3

cm

QR = 16

. 2π . 20 = 20 π3

cm

RM = 16

. 2π . 10 = 10 π3

cm

Portanto: PQ + QR + RM = 50 π3

cmAlternativa A

40 cm30o

60o

60o

20 cm

10 cm

R

Q



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22. Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em 8 andares,conformeindicaafigura.Oedifíciofoifeitoemum terreno cuja inclinação em relação à horizontal mede α graus. A altura de cada sala é 3 m, a extensão 10 m, e a altura da pilastra de sustentação, que mantém o edifício na horizontal, é 6 m.

Usando os dados da tabela, a melhor aproximação inteira para α é:

a) 4° b) 5° c) 6° d) 7° e) 8°

Resolução:

Devemos ter tg a = 6

60 = 0,1.

Pela tabela dada temos que a @ 6º. Alternativa C

23. Determinada marca de ervilhas vende o produto em embalagens com a forma de cilindros circulares retos.

Uma delas tem raio da base 4 cm. A outra é uma ampliação perfeita da embalagem menor, com raio da base 5 cm.

O preço do produto vendido na embalagem menor é de R$ 2,00. A embalagem maior dá um desconto, por mL de ervilha, de 10% em relação ao preço por mL de ervilha da embalagem menor.

Nas condições dadas, o preço do produto na embalagem maior é de, aproximadamente,

a) R$ 3,51 b) R$ 3,26 c) R$ 3,12 d) R$ 2,81 e) R$ 2,25 Resolução:

Considere as embalagens dadas abaixo:

π . 42 . H

2 =

π . 52 . 1,25 HP

Þ P = 54

. 52 . 18

P' = 0,9 . P = R$ 3,51.Alternativa A

H

R = 4 cm

1,25 H

R = 5 cm

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24. O total de números pares não negativos de até quatro algarismos que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetir algarismos, é igual a:

a) 26 b) 27 c) 28 d) 29 e) 30

Resolução:

Números pares que podemos formar com os números dados:

1 algarismo: 0 e 2 2 algarismos: 10, 12, 20, 30, 32 3 algarismos: 102, 120, 130, 132, 210, 230, 302, 310, 312, 320 4 algarismos: 1032, 1230, 1302, 1320, 2130, 2310, 3012, 3102, 3120, 3210

Total: 2 + 5 + 10 + 10 = 27Alternativa B

25. Os elementos da matriz A = (aij)3x3 representam a quantidade de voos diários apenas entre os aeroportos i, de um país, e os aeroportos j, de outro país.

A respeito desses voos, sabe-se que:

● quandoj=2,onúmerodevoosésempreomesmo,

● quandoi=j,onúmerodevoosésempreomesmo,

● quandoi=3,onúmerodevoosésempreomesmo;

● a11 ≠ 0, e det A = 0.

De acordo com as informações, é correto afirmar que oconjunto solução com as possibilidades de a11 é igual a:

a) {a21 , a13} b) {a21 , a23} c) {a22 , a13} d) {a21 , a22} e) {a13 , a22}

Resolução:

A matriz dada é A = x x a13( a21 x a23 ) x x x

Devemos ter det A = 0 Û

x3 + x2a23 + x a21 . a13 – x2a13 – x2a21 – x2a23 = 0

x [x2 – x (a13 + a21) + a21a13] = 0

x = 0 (não pode) ou x2 – x (a13 + a21) + a21a13 = 0

De onde obtemos: x1 + x2 = a13 + a21 x1 . x2 = a13 . a21

As raízes são: a13 e a21Alternativa A



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26. Em uma sala estão presentes n pessoas, com n > 3.

Pelo menos uma pessoa da sala não trocou aperto de mão com todos os presentes na sala, e os demais presentes trocaram apertos de mão entre si, e um único aperto por dupla de pessoas.

Nessas condições, o número máximo de apertos trocados pelas n pessoas é igual a:

a) n2 + 3n – 22

b) n2 – n + 22

c) n2 + 2n – 22

d) n2 – 3n + 22

e) n2 – n – 22

Resolução:

O número máximo de apertos se dá quando somente uma pessoa não comprimenta as demais, assim:

C = (n – 1) . (n – 2)

2

C = n2 – n – 2n + 2

2 =

n2 – 3n + 22

Alternativa D

27. Se x2 – x – 1 é um dos fatores da fatoração de

mx3 + nx2 + 1, com m e n inteiros, então n + m é igual a:

a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2

Resolução:

mx3 + nx2 + 1 = (x2 – x – 1) (mx + b)

mx3 + nx2 + 1 = mx3 + bx2 – mx2 – bx – mx – b

mx3 + nx2 + 1 = mx3 + (b – m)x2 – (b + m)x – b

Assim,

m = m b – m = n Þ b = m + n Þ m + n = – 1 b + m = 0 b = – 1 – b = 1

Alternativa B

15



28. Considere o polinômio P(X) tal que P x( )3 = x2 + x + 1.

A soma de todas as raízes da equação P(3x) = 7 é igual a:

a) – 19

b) – 13

c) 0

d) 59

e) 53

Resolução:

Sendo y = x3

, temos:

P (y) = (3y)2 + (3y) + 1

P (y) = 9y2 + 3y + 1

Assim: P (3x) = 9 (3x2) + 3 (3x) + 1 = 81x2 + 9x + 1

P (3x) = 7 Þ 81x2 + 9x + 1 = 7

Þ 81x2 + 9x – 6 = 0

e a soma das raízes é –981

= – 19 Alternativa A

29. A seta indica um heptágono com

AB=GF=2AG=4BC=4FE=20cm.

Sabe-se ainda que CD = ED e que o ângulo CD^ E é reto.

Nas condições dadas, a área da região limitada por essa seta, em cm2, é:

a) 250 b) 260 c) 280 d) 300 e) 320

Resolução:

Temos: x2 + x2 = (5 + 10 + 5)2 Þ 2x2 = 400 Þ x = 10 2

Atotal = AABFG + ACDE

Atotal = 20 . 10 + 10 2 . 10 22

Atotal = 200 + 100 = 300 cm2

Alternativa D

x

x5

5 20

20

10



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30. Se 1 + cos α + cos2 α + cos3 α + cos4 α + ... = 5,

com 0 < α < π2

, então sen 2α é igual a:

a) 0,84 b) 0,90 c) 0,92 d) 0,94 e) 0,96

Resolução:

AsomadadaéasomadeumaP.G.infinitadea1 = 1 e q = cos α.

Assim: 1

1 – cos α = 5 Þ cos α =

45

PeloTeoremaFundamentaldaTrigonometria,temos:

sen2α + cos2α = 1 Þ sen2α + 4( )5

2 = 1 Þ sen α =

35

Portanto, sen 2α = 2 sen α . cos α = 2 .

35

. 45

= 2425

= 0,96

Alternativa E

COMENTÁRIO DO CPV

AProvadeMatemáticadoProcessoSeletivodaFGVEconomia(novembro de 2014) manteve o seu formato tradicional, com questões claras e objetivas.

A Banca Examinadora abordou o programa de forma equilibrada,tantonoconteúdoquantonograudedificuldade,obtendo um resultado bastante adequado aos propósitos da DireçãodaFaculdadedeselecionarosmelhoresvestibulandos.

A cobertura dos assuntos foi abrangente:

1 questão Conjuntos1 questão Razão e Proporção1 questão Exponenciais1 questão Porcentagem1 questão Probabilidades1 questão Geometria Analítica1 questão Geometria Espacial1 questão Matrizes2 questões Sequências2 questões Aritmética2 questões Trigonometria2 questões Análise Combinatória2 questões Polinômios3 questões Lógica4questões Funções5 questões Geometria Plana

cpv m a gv -...

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